© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometrija, 8. razred TRIKOTNIK ŠTIRI ZNAMENITE TOČKE
Presek središč trikotnika Presek simetral trikotnika Presek višin trikotnika Presek simetral pravokotnic trikotnika
Mediana (BD) trikotnika je odsek, ki povezuje oglišče trikotnika z razpoloviščem nasprotne stranice. A B C D Srednja vrednost
Mediane trikotnika se sekajo v eni točki (težišču trikotnika) in jih ta točka deli v razmerju 2:1, šteto od vrha. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1
Simetrala (A D) trikotnika je simetrala notranjega kota trikotnika.
Vsaka točka simetrale nerazvitega kota je enako oddaljena od njegovih stranic. Nasprotno: vsaka točka, ki leži znotraj kota in je enako oddaljena od stranic kota, leži na njegovi simetrali. A M B C
Vse simetrale trikotnika se sekajo v eni točki – središču kroga, včrtanega v trikotnik. C B 1 M A V A 1 C 1 O Polmer kroga (OM) je navpičnica, spuščena iz središča (TO) na stran trikotnika
VIŠINA Nadmorska višina (C D) trikotnika je pravokotni odsek, ki poteka od vrha trikotnika do premice, ki vsebuje nasprotno stran. A B C D
Višini trikotnika (ali njuni podaljški) se sekata v eni točki. A A 1 B B 1 C C 1
SREDINSKI PRAVOKOTNIK Simetrala (DF) je premica, ki je pravokotna na stranico trikotnika in ga deli na pol. A D F B C
A M B m O Vsaka točka simetrale (m) na odsek je enako oddaljena od koncev tega odseka. Nasprotno: vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev odseka, leži na simetrali, ki je pravokotna nanj.
Vse pravokotne simetrale stranic trikotnika se sekajo v eni točki - središču okrog trikotnika urejenega kroga. A B C O Polmer opisanega kroga je razdalja od središča kroga do poljubnega oglišča trikotnika (OA). m n str
Naloge za učence S pomočjo šestila in ravnila sestavi krog, včrtan v tupokotni trikotnik. To naredite tako: Sestavite simetrale v tupokotnem trikotniku s pomočjo šestila in ravnila. Presek simetral je središče krožnice. Konstruirajte polmer kroga: pravokotnico iz središča kroga na stranico trikotnika. Konstruiraj v trikotnik včrtan krog.
2. S šestilom in ravnilom sestavi krog, ki obkroža tupi trikotnik. To storite tako: Konstruirajte pravokotne simetrale na stranice tupokotnega trikotnika. Točka presečišča teh navpičnic je središče opisanega kroga. Polmer kroga je razdalja od središča do katerega koli vrha trikotnika. Okoli trikotnika sestavi krog.
Ministrstvo za splošno in strokovno izobraževanje Sverdlovske regije.
Mestna izobraževalna ustanova Jekaterinburg.
Izobraževalna ustanova - MOUSOSH št. 212 "Ekaterinburški kulturni licej"
Izobraževalna smer – matematika.
Predmet - geometrija.
Izjemne točke trikotnika
referent: učenka 8. razreda
Selitski Dmitrij Konstantinovič.
Znanstveni svetnik:
Rabkanov Sergej Petrovič.
Ekaterinburg, 2001
Uvod 3
Opisni del:
Ortocenter 4
Icenter 5
Težišče 7
Obkrožje 8
Eulerjeva črta 9
Praktični del:
Ortocentrični trikotnik 10
Sklep 11
Reference 11
Uvod.
Geometrija se začne s trikotnikom. Dve tisočletji in pol je bil trikotnik simbol geometrije. Njegove nove lastnosti se nenehno odkrivajo. Govoriti o vseh znanih lastnostih trikotnika bo vzelo veliko časa. Zanimalo me je t.i. Čudovite točke trikotnik." Primer takih točk je presečišče simetral. Zanimivo je, da če vzamete tri poljubne točke v prostoru, iz njih sestavite trikotnik in narišete simetrale, potem se bodo (simetrale) sekale v eni točki! Zdi se, da to ni mogoče, ker smo vzeli poljubne točke, vendar to pravilo vedno velja. Druge "izjemne točke" imajo podobne lastnosti.
Po branju literature na to temo sem si določil definicije in lastnosti petih čudovitih točk in trikotnika. Toda moje delo se tu ni končalo; te točke sem želel raziskati sam.
Zato tarča To delo je študija nekaterih izjemnih lastnosti trikotnika in študija ortocentričnega trikotnika. V procesu doseganja tega cilja lahko ločimo naslednje faze:
Izbira literature, s pomočjo učitelja
Preučevanje osnovnih lastnosti izjemnih točk in črt trikotnika
Posplošitev teh lastnosti
Sestavljanje in reševanje naloge z ortocentričnim trikotnikom
Predstavil sem rezultate, pridobljene v tem raziskovalnem delu. Vse risbe sem naredil z uporabo računalniške grafike (urejevalnik vektorske grafike CorelDRAW).
Ortocenter. (točka presečišča višin)
Dokažimo, da se višine sekajo v eni točki. Popeljemo vas med vrhove A, IN in Z trikotnik ABC ravne črte, vzporedne z nasprotnimi stranicami. Te črte tvorijo trikotnik A 1 IN 1 Z 1 . višina trikotnika ABC sta simetrali pravokotnici na stranice trikotnika A 1 IN 1 Z 1 . zato se sekata v eni točki – središču okroglega kroga trikotnika A 1 IN 1 Z 1 . Točka presečišča višin trikotnika se imenuje ortocenter ( H).
Icenter je središče včrtanega kroga.
(Točka presečišča simetral)
Dokažimo, da so simetrale kotov trikotnika ABC sekata v eni točki. Razmislite o bistvu O presečišča simetral kotov A in IN. vse točke simetrale kota A so enako oddaljene od premic AB in AC, in katera koli točka simetrale kota IN enako oddaljeni od ravnih črt AB in sonce, torej točka O enako oddaljeni od ravnih črt AC in sonce, tj. leži na simetrali kota Z. pika O enako oddaljeni od ravnih črt AB, sonce in SA, kar pomeni, da obstaja krog s središčem O, ki se dotikajo teh premic, dotične točke pa ležijo na samih stranicah in ne na njihovih podaljških. Pravzaprav koti na ogliščih A in IN trikotnik AOB ostra torej projekcijska točka O neposredno AB leži znotraj segmenta AB.
Za zabave sonce in SA dokaz je podoben.
Središče ima tri lastnosti:
Če je nadaljevanje simetrale kota Z seka opisani krog trikotnika ABC na točki M, To MA=MV=MO.
če AB- osnova enakokrakega trikotnika ABC, nato krog, ki se dotika stranic kota DIA na točkah A in IN, poteka skozi točko O.
Če premica, ki poteka skozi točko O vzporedno s stranjo AB, prečka stranice sonce in SA na točkah A 1 in IN 1 , To A 1 IN 1 =A 1 IN+AB 1 .
Težišče. (Točka presečišča median)
Dokažimo, da se mediani trikotnika sekata v eni točki. Za to upoštevajte točko M, pri katerem se mediani sekata AA 1 in BB 1 . narišimo v trikotnik BB 1 Z srednja črta A 1 A 2 , vzporedno BB 1 . Potem A 1 M: zjutraj=IN 1 A 2 :AB 1 =IN 1 A 2 :IN 1 Z=VA 1 :SONCE=1:2, tj. sredinska točka presečišča BB 1 in AA 1 deli mediano AA 1 v razmerju 1:2. Podobno presečišče median SS 1 in AA 1 deli mediano AA 1 v razmerju 1:2. Zato je presečišče median AA 1 in BB 1 sovpada s presečiščem median AA 1 in SS 1 .
Če je presečišče median trikotnika povezano z oglišči, bodo trikotniki razdeljeni na tri enako velike trikotnike. Dovolj je namreč dokazati, da če R– katera koli točka mediane AA 1 v trikotniku ABC, nato površine trikotnikov AVR in AKP so enaki. Navsezadnje mediane AA 1 in RA 1 v trikotnike ABC in RVS narežemo jih na enako velike trikotnike.
Velja tudi obratna trditev: če za neko točko R, ki leži znotraj trikotnika ABC, območje trikotnikov AVR, V SREDO in SAR so enaki, torej R– točka presečišča median.
Točka presečišča ima še eno lastnost: če iz poljubnega materiala izrežete trikotnik, nanj narišete mediane, pritrdite palico na presečišče median in pritrdite vzmetenje na stojalo, potem bo model (trikotnik) v stanje ravnovesja, torej presečišče ni nič drugega kot težišče trikotnika.
Središče kroga.
Dokažimo, da obstaja točka, ki je enako oddaljena od oglišč trikotnika, ali z drugimi besedami, da obstaja krožnica, ki poteka skozi tri oglišča trikotnika. Geografsko mesto točk, ki so enako oddaljene od točk A in IN, je pravokotna na segment AB, ki poteka skozi njegovo sredino (pravokotno simetralo na segment AB). Razmislite o bistvu O, v kateri se sekajo simetrale navpičnic na segmente AB in sonce. Pika O enako oddaljeni od točk A in IN, pa tudi iz točk IN in Z. torej je enako oddaljena od točk A in Z, tj. leži tudi na simetrali pravokotnici na odsek AC.
Center O opisani krog leži znotraj trikotnika le, če je trikotnik ostrokoten. Če je trikotnik pravokoten, potem točka O sovpada s sredino hipotenuze, in če je kot pri vertex Z topo in nato ravno AB loči točke O in Z.
V matematiki se pogosto zgodi, da se objekti, definirani na popolnoma različne načine, izkažejo za enake. Pokažimo to s primerom.
Pustiti A 1 , IN 1 ,Z 1 – središča stranic sonce,SA in AB. Lahko se dokaže, da so opisani krogi trikotnikov AB 1 Z, A 1 sonce 1 in A 1 IN 1 Z 1 sekata v eni točki in ta točka je središče kroga trikotnika ABC. Imamo torej dve na videz popolnoma različni točki: presečišče pravokotnih simetral na stranice trikotnika ABC in presečišče opisanih krogov trikotnikov AB 1 Z 1 , A 1 sonce in A 1 IN 1 Z 1 . vendar se izkaže, da ti dve točki sovpadata.
Eulerjeva premica.
Večina neverjetna lastnina Izjemna točka trikotnika je, da so nekateri med seboj povezani z določenimi odnosi. Na primer, težišče M, ortocenter N in središče opisanega kroga O ležita na isti premici, točka M pa deli odsek OH, tako da velja relacija OM:MN=1:2. Ta izrek je leta 1765 dokazal švicarski znanstvenik Leonardo Euler.
Ortocentrični trikotnik.
Ortocentrični trikotnik(ortotrikotnik) je trikotnik ( MNTO), katerih oglišča so osnove višin tega trikotnika ( ABC). Ta trikotnik ima veliko zanimivih lastnosti. Dajmo enega od njih.
Lastnina.
Dokaži:
Trikotniki AKM, CMN in BKN podoben trikotniku ABC;
Koti ortotrikotnika MNK so: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.
Dokaz:
Imamo AB cos A, A.K. cos A. torej A.M./AB = A.K./A.C..
Ker pri trikotnikih ABC in AKM kotiček A– skupni, potem sta si podobna, iz česar sklepamo, da kot L AKM = L C. Zato L BKM = L C. Naslednji imamo L MKC= π/2 – L C, L NKC= π/2 – - - L C, tj. SK– simetrala kota MNK. Torej, L MNK= π – 2 L C. Preostale enakosti dokažemo podobno.
Zaključek.
Na koncu tega raziskovalnega dela je mogoče narediti naslednje zaključke:
Pomembne točke in črte trikotnika so:
ortocenter trikotnika je presečišče njegovih višin;
andcentre trikotnik je presečišče simetral;
težišče trikotnika je točka presečišča njegovih median;
circumcenter– je presečišče simetralnih navpičnic;
Eulerjeva premica- to je premica, na kateri ležijo težišče, ortocenter in središče opisanega kroga.
Ortocentrični trikotnik deli dani trikotnik tri podobne temu.
Po opravljenem delu sem se veliko naučil o lastnostih trikotnika. To delo je bilo zame pomembno z vidika razvoja mojega znanja na področju matematike. V prihodnje nameravam razvijati to zanimivo temo.
Bibliografija.
Kiselyov A.P. Elementarna geometrija. – M.: Izobraževanje, 1980.
Coxeter G.S., Greitzer S.L. Nova srečanja z geometrijo. – M.: Nauka, 1978.
Prasolov V.V. Problemi v planimetriji. – M.: Nauka, 1986. – 1. del.
Sharygin I.F. Geometrijske težave: Planimetrija. – M.: Nauka, 1986.
Scanavi M.I. Matematika. Težave z rešitvami. – Rostov na Donu: Phoenix, 1998.
Berger M. Geometrija v dveh zvezkih - M: Mir, 1984.
Vsebina
Uvod……………………………………………………………………………………3
Poglavje 1.
1.1 Trikotnik………………………………………………………………………………..4
1.2. Mediane trikotnika
1.4. Višine v trikotniku
Zaključek
Seznam uporabljene literature
Knjižica
Uvod
Geometrija je veja matematike, ki se ukvarja z različnimi figurami in njihovimi lastnostmi. Geometrija se začne s trikotnikom. Dve tisočletji in pol je bil trikotnik simbol geometrije; vendar ni le simbol, trikotnik je atom geometrije.
V svojem delu bom obravnaval lastnosti presečišč simetral, median in višin trikotnika ter govoril o njihovih izjemnih lastnostih in premicah trikotnika.
Takšne točke, ki se preučujejo v šolskem tečaju geometrije, vključujejo:
a) presečišče simetral (središče včrtanega kroga);
b) presečišče simetralnih navpičnic (središče opisanega kroga);
c) presečišče višin (ortocenter);
d) točka presečišča median (centroid).
Ustreznost: razširiti svoje znanje o trikotniku,njegove lastnostičudovite točke.
Cilj: raziskovanje trikotnika do njegovih izjemnih točk,jih preučujeklasifikacije in lastnosti.
Naloge:
1. Raziščite potrebno literaturo
2. Preučite razvrstitev izjemnih točk trikotnika
3. Znati sestaviti izjemne trikotne točke.
4. Povzemite preučeno gradivo za oblikovanje knjižice.
Projektna hipoteza:
sposobnost iskanja izjemnih točk v katerem koli trikotniku vam omogoča reševanje geometrijskih konstrukcijskih problemov.
Poglavje 1. Zgodovinski podatki o izjemnih točkah trikotnika
V četrti knjigi Elementov Evklid rešuje problem: "Vrisati krog v dani trikotnik." Iz rešitve sledi, da se tri simetrale notranjih kotov trikotnika sekajo v eni točki - središču včrtane krožnice. Iz rešitve drugega evklidskega problema sledi, da se navpičnice, ki so bile vzpostavljene na stranice trikotnika v njihovih središčih, sekajo tudi v eni točki - središču obremenjenega kroga. Elementi ne pravijo, da se tri višine trikotnika sekajo v eni točki, imenovani ortocenter (grška beseda "orthos" pomeni "ravno", "pravilno"). Ta predlog pa so poznali Arhimed, Papus in Proklo.
Četrta singularna točka trikotnika je točka presečišča median. Arhimed je dokazal, da je to težišče (bariscenter) trikotnika. Obravnavane so bile zgornje štiri točke Posebna pozornost, od 18. stoletja pa jih imenujejo "izjemne" ali "posebne" točke trikotnika.
Preučevanje lastnosti trikotnika, povezanega s temi in drugimi točkami, je služilo kot začetek za nastanek nove veje elementarne matematike - "geometrije trikotnika" ali "nove geometrije trikotnika", katere eden od ustanoviteljev je bil Leonhard Euler. Leta 1765 je Euler dokazal, da v katerem koli trikotniku ortocenter, baricenter in cirkumcenter ležijo na isti premici, kasneje imenovani "Eulerjeva premica".
Trikotnik
Trikotnik - geometrijski lik, sestavljen iz treh točk, ki ne ležijo na isti premici, in treh segmentov, ki te točke povezujejo v parih. Točke -vrhovi trikotnik, segmenti -straneh trikotnik.
IN A, B, C - oglišča
AB, BC, SA - strani
A C
Z vsakim trikotnikom so povezane štiri točke:
Presečišče median;
presečišče simetral;
Točka presečišča višin.
Točka presečišča pravokotnih simetral;
1.2. Mediane trikotnika
Medina trikotnika - , ki povezuje vrh od sredine nasprotne strani (slika 1). Točka, kjer mediana seka stranico trikotnika, se imenuje osnova mediane.
Slika 1. Mediane trikotnika
Konstruirajmo razpolovišča stranic trikotnika in narišimo odseke, ki povezujejo vsako od oglišč z razpoloviščem nasprotne stranice. Takšni segmenti se imenujejo mediane.
In spet opazimo, da se ti segmenti sekajo v eni točki. Če izmerimo dolžine nastalih medianih segmentov, lahko preverimo še eno lastnost: presečišče median deli vse mediane v razmerju 2:1, šteto od oglišč. Pa vendar je trikotnik, ki leži na konici igle v presečišču median, v ravnotežju! Točka s to lastnostjo se imenuje težišče (baricenter). Središče enake mase včasih imenujemo centroid. Zato lahko lastnosti median trikotnika formuliramo takole: mediane trikotnika se sekajo v težišču in jih deli presečišče v razmerju 2:1, šteto od oglišča.
1.3. Simetrale trikotnika
Simetrala klical simetrala kota, potegnjena iz vrha kota do njegovega presečišča z nasprotno stranico. Trikotnik ima tri simetrale, ki ustrezajo njegovim trem ogliščem (slika 2).
Slika 2. Simetrala trikotnika
V poljubnem trikotniku ABC narišemo simetrale njegovih kotov. In spet, pri natančni konstrukciji se bodo vse tri simetrale sekale v eni točki D. Tudi točka D je nenavadna: enako oddaljena je od vseh treh stranic trikotnika. To lahko preverimo tako, da spustimo pravokotnice DA 1, DB 1 in DC1 na stranice trikotnika. Vsi so med seboj enaki: DA1=DB1=DC1.
Če narišete krožnico s središčem v točki D in polmerom DA 1, se bo dotikala vseh treh strani trikotnika (to pomeni, da bo imela z vsako od njih samo eno skupno točko). Tak krog se imenuje včrtan v trikotnik. Simetrale kotov trikotnika se torej sekajo v središču včrtanega kroga.
1.4. Višine v trikotniku
Višina trikotnika - , padla z vrha na nasprotno stran ali ravno črto, ki sovpada z nasprotno stranjo. Odvisno od vrste trikotnika je lahko višina znotraj trikotnika (npr trikotnik), sovpadajo z njegovo stranico (be trikotnik) ali prehajajo izven trikotnika pri topem trikotniku (slika 3).
Slika 3. Višine v trikotnikih
Če sestavite tri višine v trikotniku, se bodo vse sekale v eni točki H. Ta točka se imenuje ortocenter. (slika 4).
Z uporabo konstrukcij lahko preverite, da se ortocenter nahaja drugače glede na vrsto trikotnika:
za akutni trikotnik - znotraj;
za pravokotno - na hipotenuzo;
pri topem kotu je na zunanji strani.
Slika 4. Ortocenter trikotnika
Tako smo spoznali še eno izjemno točko trikotnika in lahko rečemo, da se višine trikotnika sekajo v ortocentru.
1.5. Simetrale pravokotnice na stranice trikotnika
Simetrala odseka je premica, ki je pravokotna na dani odsek in poteka skozi njegovo središče.
Narišimo poljuben trikotnik ABC in na njegove stranice narišimo pravokotnici. Če je konstrukcija izvedena natančno, se bodo vse pravokotnice sekale v eni točki - točki O. Ta točka je enako oddaljena od vseh oglišč trikotnika. Z drugimi besedami, če narišete krog s središčem v točki O, ki poteka skozi eno od oglišč trikotnika, potem bo šel tudi skozi njegovi drugi dve oglišči.
Krog, ki poteka skozi vsa oglišča trikotnika, se imenuje okoli njega opisan. Zato lahko uveljavljeno lastnost trikotnika formuliramo na naslednji način: pravokotne simetrale na stranice trikotnika se sekajo v središču opisanega kroga (slika 5).
Slika 5. Trikotnik, včrtan v krog
Poglavje 2. Preučevanje izjemnih točk trikotnika.
Študija višine v trikotnikih
Vse tri višine trikotnika se sekajo v eni točki. To točko imenujemo ortocenter trikotnika.
Višine ostrega trikotnika se nahajajo strogo znotraj trikotnika.
Skladno s tem se točka presečišča višin nahaja tudi znotraj trikotnika.
V pravokotnem trikotniku dve nadmorski višini sovpadata s stranicami. (To so višine, narisane iz oglišč ostrih kotov do krakov).
Na hipotenuzo narisana višina leži znotraj trikotnika.
AC je višina, potegnjena iz oglišča C na stranico AB.
AB je višina, potegnjena iz oglišča B na stranico AC.
AK - višina, potegnjena iz vrha pravi kot In na hipotenuzo BC.
Višini pravokotnega trikotnika se sekata v oglišču pravega kota (A je ortocenter).
V tupokotnem trikotniku je znotraj trikotnika le ena nadmorska višina - tista, ki je narisana iz vrha tupega kota.
Ostali dve nadmorski višini ležita zunaj trikotnika in sta spuščeni na nadaljevanje stranic trikotnika.
AK je višina, narisana na stranico BC.
BF - višina narisana na nadaljevanje stranice AC.
CD je višina, narisana na nadaljevanje stranice AB.
Točka presečišča višin tupokotnega trikotnika je prav tako zunaj trikotnika:
H je ortocenter trikotnika ABC.
Preučevanje simetral v trikotniku
Simetrala trikotnika je del simetrale kota trikotnika (žarek), ki je znotraj trikotnika.
Vse tri simetrale trikotnika se sekajo v eni točki.
Točka presečišča simetral v ostrem, topem in pravokotnem trikotniku je središče včrtanega kroga v trikotniku in se nahaja znotraj.
Preučevanje median v trikotniku
Ker ima trikotnik tri oglišča in tri stranice, obstajajo tudi trije segmenti, ki povezujejo oglišče in sredino nasprotne stranice.
Ko sem pregledal te trikotnike, sem ugotovil, da se v vsakem trikotniku mediane sekajo v eni točki. Ta točka se imenuje težišče trikotnika.
Preučevanje simetral pravokotnic na stranico trikotnika
Pravokotna simetrala trikotnika je navpičnica, narisana na sredino stranice trikotnika.
Tri pravokotne simetrale trikotnika se sekajo v eni točki in so središče opisanega kroga.
Točka presečišča pravokotnih simetral v ostrokotnem trikotniku leži znotraj trikotnika; v tupem kotu - zunaj trikotnika; v pravokotnem - na sredini hipotenuze.
Zaključek
Med opravljenim delom smo prišli do naslednjih ugotovitev:
Cilj dosežen:raziskal trikotnik in našel njegove izjemne točke.
Zadane naloge so bile rešene:
1). Študirali smo potrebno literaturo;
2). Študirali smo klasifikacijo izjemnih točk trikotnika;
3). Naučili smo se graditi čudovite trikotne točke;
4). Preučeno gradivo smo povzeli za oblikovanje knjižice.
Hipoteza, da sposobnost iskanja izjemnih točk trikotnika pomaga pri reševanju konstrukcijskih problemov, je bila potrjena.
Delo dosledno opisuje tehnike za gradnjo izjemnih točk trikotnika, zagotavlja zgodovinske informacije o geometrijskih konstrukcijah.
Informacije iz tega dela so lahko koristne pri pouku geometrije v 7. razredu. Knjižica lahko postane referenčna knjiga o geometriji na predstavljeno temo.
Bibliografija
Učbenik. L.S. Atanasyan "Geometrija razredi 7-9Mnemozina, 2015.
Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png
Portal Škrlatna jadra
Vodenje izobraževalni portal Rusija http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157
V tej lekciji si bomo ogledali štiri čudovite točke trikotnika. Podrobneje se posvetimo dvema od njih, spomnimo se dokazov pomembnih izrekov in rešimo problem. Spomnimo se in označimo preostala dva.
Zadeva:Ponavljanje predmeta geometrije za 8. razred
Lekcija: Štiri čudovite točke trikotnika
Trikotnik je najprej trije segmenti in trije koti, zato so lastnosti segmentov in kotov temeljne.
Podan je odsek AB. Vsak segment ima razpolovišče in skozenj lahko narišemo navpičnico - označimo jo kot p. Torej je p simetrala pravokotnice.
Izrek (glavna lastnost simetrale pravokotnice)
Vsaka točka, ki leži na simetrali pravokotnice, je enako oddaljena od koncev odseka.
Dokaži to
Dokaz:
Razmislite o trikotnikih in (glej sliko 1). So pravokotne in enake, ker. imata skupni krak OM, kraka AO in OB pa sta po pogoju enaka, torej imamo dva pravokotna trikotnika, enaka v dveh krakih. Iz tega sledi, da sta tudi hipotenuzi trikotnikov enaki, kar je bilo treba dokazati.
riž. 1
Obratni izrek drži.
Izrek
Vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev odseka, leži na simetrali, ki je pravokotna na ta odsek.
Podan je odsek AB, pravokotna simetrala p, točka M, ki je enako oddaljena od koncev odseka (glej sliko 2).
Dokažite, da točka M leži na simetrali odseka.
riž. 2
Dokaz:
Razmislite o trikotniku. Je enakokrak, glede na stanje. Razmislite o mediani trikotnika: točka O je sredina baze AB, OM je mediana. Glede na lastnost enakokrakega trikotnika je mediana, potegnjena na njegovo osnovo, hkrati višina in simetrala. Sledi, da . Toda tudi premica p je pravokotna na AB. Vemo, da je v točki O možno potegniti eno samo navpičnico na odsek AB, kar pomeni, da premici OM in p sovpadata, iz tega sledi, da točka M pripada premici p, kar smo morali tudi dokazati.
Če je treba okoli enega segmenta opisati krog, je to mogoče storiti in takšnih krogov je neskončno veliko, vendar bo središče vsakega od njih ležalo na simetrali, ki je pravokotna na segment.
Pravijo, da je simetrala pravokotnica geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od koncev odseka.
Trikotnik je sestavljen iz treh segmentov. Na dve od njiju narišimo bisektoralni navpičnici in dobimo točko O njunega presečišča (glej sliko 3).
Točka O pripada simetrali navpičnici na stranico BC trikotnika, kar pomeni, da je enako oddaljena od njegovih oglišč B in C, to razdaljo označimo z R: .
Poleg tega se točka O nahaja na simetrali pravokotnici na segment AB, tj. , hkrati pa od tukaj.
Torej točka O presečišča dveh razpolovnic
riž. 3
navpičnici trikotnika je enako oddaljena od njegovih oglišč, kar pomeni, da leži tudi na tretji simetrali navpičnici.
Ponovili smo dokaz pomembnega izreka.
Tri pravokotne simetrale trikotnika se sekajo v eni točki – v središču okolice okoli njega.
Torej, pogledali smo prvo izjemno točko trikotnika - točko presečišča njegovih bisektoralnih navpičnic.
Preidimo na lastnost poljubnega kota (glej sliko 4).
Kot je podan, njegova simetrala je AL, točka M leži na simetrali.
riž. 4
Če točka M leži na simetrali kota, potem je enako oddaljena od stranic kota, to pomeni, da sta razdalji od točke M do AC in do BC strani kota enaki.
Dokaz:
Razmislite o trikotnikih in . To sta pravokotna trikotnika in sta enaka, ker... imata skupno hipotenuzo AM, kota pa sta enaka, saj je AL simetrala kota. Tako so pravokotni trikotniki enaki v hipotenuzi in ostrem kotu, iz tega sledi, da je , kar je bilo treba dokazati. Tako je točka na simetrali kota enako oddaljena od stranic tega kota.
Obratni izrek drži.
Izrek
Če je točka enako oddaljena od stranic nerazvitega kota, potem leži na njegovi simetrali (glej sliko 5).
Podan je nerazvit kot, točka M, tako da so razdalje od nje do stranic kota enake.
Dokaži, da leži točka M na simetrali kota.
riž. 5
Dokaz:
Razdalja od točke do premice je dolžina navpičnice. Iz točke M potegnemo navpičnici MK na stranico AB in MR na stranico AC.
Razmislite o trikotnikih in . To sta pravokotna trikotnika in sta enaka, ker... imata skupno hipotenuzo AM, kraka MK in MR sta po pogoju enaka. Tako sta pravokotna trikotnika enaka po hipotenuzi in nogi. Iz enakosti trikotnikov sledi enakost ustreznih elementov, nasproti pa ležijo enake stranice enaki koti, torej, 
Zato leži točka M na simetrali danega kota.
Če morate v kot vpisati krog, je to mogoče storiti in takih krogov je neskončno veliko, vendar njihova središča ležijo na simetrali danega kota.
Pravijo, da je simetrala geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic kota.
Trikotnik je sestavljen iz treh kotov. Sestavimo simetrali dveh od njiju in dobimo točko O njunega presečišča (glej sliko 6).
Točka O leži na simetrali kota, kar pomeni, da je enako oddaljena od njegovih stranic AB in BC, razdaljo označimo z r: . Tudi točka O leži na simetrali kota, kar pomeni, da je enako oddaljena od njegovih strani AC in BC: , , od tu.
Lahko opazimo, da je presečišče simetral enako oddaljeno od stranic tretjega kota, kar pomeni, da leži na
riž. 6
simetrala kota. Tako se vse tri simetrale trikotnika sekajo v eni točki.
Tako smo se spomnili dokaza še enega pomembnega izreka.
Simetrale kotov trikotnika se sekajo v eni točki – središču včrtanega kroga.
Torej, pogledali smo drugo izjemno točko trikotnika - točko presečišča simetral.
Pregledali smo simetralo kota in opazili njene pomembne lastnosti: točki simetrale sta enako oddaljeni od stranic kota, poleg tega sta tangentni odseki, narisani na krožnico iz ene točke, enaki.
Uvedimo nekaj zapisov (glej sliko 7).
Z x, y in z označimo enake tangentne odseke. Stranico BC, ki leži nasproti oglišča A, označimo z a, podobno AC z b, AB s c.
riž. 7
1. problem: v trikotniku sta znana polobseg in dolžina stranice a. Poiščite dolžino tangente, vlečene iz oglišča A - AK, ki jo označimo z x.
Očitno trikotnik ni povsem definiran in takih trikotnikov je veliko, vendar se izkaže, da imajo nekaj skupnih elementov.
Za probleme, ki vključujejo včrtani krog, lahko predlagamo naslednjo metodo rešitve:
1. Nariši simetrale in dobi središče včrtane krožnice.
2. Iz središča O potegnemo navpičnice na stranice in dobimo dotične točke.
3. Označite enake tangente.
4. Izpiši razmerje med stranicami trikotnika in tangentami.
ŠTIRI POMEMBNE TOČKE
TRIKOTNIK
Geometrija
8. razred
Saharova Natalija Ivanovna
Srednja šola MBOU št. 28 Simferopol
- Presek sredin trikotnika
- Presek simetral trikotnika
- Točka presečišča višin trikotnika
- Točka presečišča pravokotnih median trikotnika
Mediana
Mediana (BD) trikotnika je odsek, ki povezuje oglišče trikotnika z razpoloviščem nasprotne stranice.
Mediane trikotniki se sekajo na eni točki (težišče trikotnik) in se delijo s to točko v razmerju 2:1, šteto od vrha.
SEMEKTRICA
Simetrala (AD) trikotnika je simetrala notranjega kota trikotnika. ∟ SLABO = ∟CAD.
Vsaka točka simetrale nerazvitega kota je enako oddaljen od njegovih stranic.
Nazaj: vsaka točka, ki leži znotraj kota in je enako oddaljena od stranic kota, leži na njem simetrala.
Vse simetrale trikotniki se sekajo v eni točki - središče vpisanega v trikotnik krogih.
Polmer kroga (OM) je pravokotnica, spuščena iz središča (TO) na stranico trikotnika.
VIŠINA
Višina (CD) trikotnika je pravokoten odsek, narisan iz vrha trikotnika na premico, ki vsebuje nasprotno stranico.
Višine trikotniki (ali njihovi podaljški) se sekajo eno točka.
SREDNJA PRAVOKOJNICA
Simetrala (DF) imenovana ravna črta, ki je pravokotna na stranico trikotnika in jo deli na pol.
Vsaka točka pravokotna simetrala(m) na segment je enako oddaljen od koncev tega segmenta.
Nazaj: vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev segmenta, leži na sredini pravokotno njemu.
Vse pravokotne simetrale stranic trikotnika se sekajo v eni točki - središče opisanega blizu trikotnika krog .
Polmer opisanega kroga je razdalja od središča kroga do katerega koli vrha trikotnika (OA).
Stran 177 št. 675 (risba)
Domača naloga
Str. 173 § 3 definicije in izreki str. 177 Št. 675 (konec)
