Da bi razumeli, kaj je temeljni sistem odločanja si lahko ogledate video vadnico za isti primer s klikom. Zdaj pa preidimo na dejanski opis vseh potrebnih del. To vam bo pomagalo podrobneje razumeti bistvo tega vprašanja.
Kako najti temeljni sistem rešitev linearne enačbe?
Vzemimo ta sistem kot primer linearne enačbe:
Poiščimo rešitev za to linearni sistem enačbe Za začetek mi morate zapisati matriko koeficientov sistema.
Pretvorimo to matriko v trikotno. Prvo vrstico prepišemo brez sprememb. In vsi elementi, ki so pod $a_(11)$, morajo biti ničle. Če želite namesto elementa $a_(21)$ narediti ničlo, morate od druge vrstice odšteti prvo in v drugo vrstico zapisati razliko. Če želite namesto elementa $a_(31)$ narediti ničlo, morate od tretje vrstice odšteti prvo in v tretjo vrstico zapisati razliko. Če želite namesto elementa $a_(41)$ narediti ničlo, morate od četrte vrstice odšteti prvo, pomnoženo z 2, in v četrto vrstico zapisati razliko. Če želite namesto elementa $a_(31)$ narediti ničlo, morate od pete vrstice odšteti prvo, pomnoženo z 2, in razliko zapisati v peto vrstico. 
Prvo in drugo vrstico prepišemo brez sprememb. In vsi elementi, ki so pod $a_(22)$, morajo biti ničle. Če želite namesto elementa $a_(32)$ narediti ničlo, morate od tretje vrstice odšteti drugo, pomnoženo z 2, in v tretjo vrstico zapisati razliko. Če želite namesto elementa $a_(42)$ narediti ničlo, morate od četrte vrstice odšteti sekundo, pomnoženo z 2, in v četrto vrstico zapisati razliko. Če želite namesto elementa $a_(52)$ narediti ničlo, morate od pete vrstice odšteti sekundo, pomnoženo s 3, in razliko zapisati v peto vrstico. 
To vidimo zadnje tri vrstice so enake, torej če od četrtega in petega odštejete tretjino, bosta postala nič. 
Po tej matriki zapisati nov sistem enačbe.
Vidimo, da imamo le tri linearno neodvisne enačbe in pet neznank, tako da bo osnovni sistem rešitev sestavljen iz dveh vektorjev. Torej mi zadnji dve neznanki moramo premakniti v desno.
Zdaj začnemo izražati tiste neznanke, ki so na levi strani, skozi tiste, ki so na desni strani. Začnemo z zadnjo enačbo, najprej izrazimo $x_3$, nato dobljeni rezultat nadomestimo v drugo enačbo in izrazimo $x_2$, nato pa v prvo enačbo in tukaj izrazimo $x_1$. Tako smo vse neznanke, ki so na levi strani, izrazili skozi neznanke, ki so na desni strani. 
Nato lahko namesto $x_4$ in $x_5$ zamenjamo poljubna števila in poiščemo $x_1$, $x_2$ in $x_3$. Vsakih pet od teh števil bo korenin našega izvirnega sistema enačb. Če želite najti vektorje, ki so vključeni v FSR nadomestiti moramo 1 namesto $x_4$ in nadomestiti 0 namesto $x_5$, poiskati $x_1$, $x_2$ in $x_3$, nato pa obratno $x_4=0$ in $x_5=1$.
Homogen sistem je vedno konsistenten in ima trivialno rešitev 
. Za obstoj netrivialne rešitve je nujno, da je rang matrike 
je bil manjše število neznano:
.
Temeljni sistem rešitev
homogeni sistem 
imenujemo sistem rešitev v obliki stolpčnih vektorjev 
, ki ustrezajo kanonični osnovi, tj. osnova, v kateri poljubne konstante 
so izmenično enake ena, ostale pa na nič.
Takrat ima splošna rešitev homogenega sistema obliko:
Kje 
- poljubne konstante. Z drugimi besedami, celotna rešitev je linearna kombinacija temeljnega sistema rešitev.
Tako lahko osnovne rešitve dobimo iz splošne rešitve, če prostim neznankam zaporedoma dodelimo vrednost ena, pri čemer vse druge postavimo na nič.
Primer. Poiščimo rešitev za sistem
Sprejmimo , potem dobimo rešitev v obliki:
Sestavimo zdaj temeljni sistem rešitev:
.
Splošna rešitev bo zapisana kot:
Rešitve sistema homogenih linearnih enačb imajo naslednje lastnosti:
Z drugimi besedami, vsaka linearna kombinacija rešitev homogenega sistema je spet rešitev.
Reševanje sistemov linearnih enačb z Gaussovo metodo
Reševanje sistemov linearnih enačb zanima matematike že več stoletij. Prvi rezultati so bili pridobljeni v 18. stoletju. Leta 1750 je G. Kramer (1704–1752) objavil svoja dela o determinantah kvadratnih matrik in predlagal algoritem za iskanje inverzne matrike. Leta 1809 je Gauss orisal novo metodo rešitve, znano kot metoda eliminacije.
Gaussova metoda ali metoda zaporednega izločanja neznank je sestavljena iz dejstva, da se sistem enačb z uporabo elementarnih transformacij zmanjša na enakovreden sistem stopničaste (ali trikotne) oblike. Takšni sistemi omogočajo zaporedno iskanje vseh neznank v določenem vrstnem redu.
Predpostavimo, da je v sistemu (1) 
(kar je vedno možno).
(1)
Množenje prve enačbe eno za drugo s ti primerne številke
in seštejemo rezultat množenja z ustreznimi enačbami sistema, dobimo enakovredni sistem, v katerem v vseh enačbah razen prve ne bo nobene neznanke X 1
(2)
Pomnožimo zdaj drugo enačbo sistema (2) s primernimi števili ob predpostavki, da 
,
in ga seštejemo z nižjimi, izločimo spremenljivko 
iz vseh enačb, začenši s tretjo.
Nadaljevanje tega procesa, po 
korak dobimo:
(3)
Če je vsaj ena od številk 
ni enaka nič, potem je ustrezna enakost protislovna in sistem (1) nekonsistenten. Nasprotno pa za vsak skupni številski sistem 
so enake nič. številka 
ni nič drugega kot rang matrike sistema (1).
Prehod iz sistema (1) v (3) imenujemo naravnost naprej Gaussova metoda in iskanje neznank iz (3) – obratno .
Komentiraj : Bolj priročno je izvajati transformacije ne s samimi enačbami, temveč z razširjeno matriko sistema (1).
Primer. Poiščimo rešitev za sistem
.
Zapišimo razširjeno matriko sistema:
.
Dodajmo prvo v vrstice 2,3,4, pomnoženo z (-2), (-3), (-2):
.
Zamenjajmo vrstici 2 in 3, nato pa v dobljeni matriki seštej vrstico 2 vrstici 4, pomnoženo z 
:
.
Vrstici 4 dodajte vrstico 3, pomnoženo s 
:
.
To je očitno 
, torej je sistem dosleden. Iz nastalega sistema enačb
rešitev najdemo z obratno zamenjavo:
,
,
,
.
Primer 2. Poiščite rešitev za sistem:
.
Očitno je, da je sistem nekonsistenten, saj 
, A 
.
Prednosti Gaussove metode :
Manj delovno intenzivna kot Cramerjeva metoda.
Nedvoumno ugotavlja združljivost sistema in omogoča iskanje rešitve.
Omogoča določitev ranga poljubnih matrik.
Homogeni sistem linearnih enačb nad poljem
OPREDELITEV. Osnovni sistem rešitev sistema enačb (1) imenujemo neprazen linear neodvisni sistem njegove rešitve, katerih linearni razpon sovpada z množico vseh rešitev sistema (1).
Upoštevajte, da homogeni sistem linearnih enačb, ki ima samo ničelno rešitev, nima temeljnega sistema rešitev.
PREDLOG 3.11. Katera koli dva temeljna sistema rešitev homogenega sistema linearnih enačb sta sestavljena iz enakega števila rešitev.
Dokaz. Pravzaprav sta katera koli dva temeljna sistema rešitev homogenega sistema enačb (1) enakovredna in linearno neodvisna. Zato so po predlogu 1.12 njuni rangi enaki. Posledično je število rešitev, vključenih v en temeljni sistem, enako številu rešitev, vključenih v kateri koli drug temeljni sistem rešitev.
Če je glavna matrika A homogenega sistema enačb (1) enaka nič, potem je vsak vektor iz rešitev sistema (1); v tem primeru je vsaka zbirka linearna neodvisni vektorji je temeljni sistem rešitev. Če je rang stolpca matrike A enak , ima sistem (1) samo eno rešitev - nič; zato v tem primeru sistem enačb (1) nima temeljnega sistema rešitev.
IZREK 3.12. Če je rang glavne matrike homogenega sistema linearnih enačb (1) manjši od števila spremenljivk , potem ima sistem (1) temeljni sistem rešitev, sestavljen iz rešitev.
Dokaz. Če je rang glavne matrike A homogenega sistema (1) enak nič ali , potem je zgoraj prikazano, da izrek drži. Zato se spodaj predpostavlja, da Ob predpostavki , bomo predpostavili, da so prvi stolpci matrike A linearno neodvisni. V tem primeru je matrika A ekvivalentna reducirani stopenjski matriki, sistem (1) pa je enakovreden naslednjemu reduciranemu stopenjskemu sistemu enačb:
Preprosto je preveriti, da kateri koli sistem prostih vrednosti sistemske spremenljivke(2) ustreza eni in samo eni rešitvi sistema (2) in s tem tudi sistema (1). Zlasti samo ničelna rešitev sistema (2) in sistema (1) ustreza sistemu ničelnih vrednosti.
V sistemu (2) bomo eni od prostih spremenljivk dodelili vrednost enako 1, preostalim spremenljivkam pa vrednosti nič. Kot rezultat dobimo rešitve sistema enačb (2), ki jih zapišemo v obliki vrstic naslednje matrike C:
Sistem vrstic te matrike je linearno neodvisen. Dejansko za vse skalarje iz enakosti
sledi enakopravnost
in s tem enakost
Dokažimo, da linearni razpon sistema vrstic matrike C sovpada z množico vseh rešitev sistema (1).
Poljubna rešitev sistema (1). Nato vektor
je tudi rešitev sistema (1) in
V šoli je vsak od nas študiral enačbe in najverjetneje sisteme enačb. Toda malo ljudi ve, da jih je mogoče rešiti na več načinov. Danes bomo podrobno analizirali vse metode za reševanje linearnega sistema algebraične enačbe, ki je sestavljena iz več kot dveh enakosti.
Zgodba
Danes je znano, da umetnost reševanja enačb in njihovih sistemov izvira iz starega Babilona in Egipta. Vendar pa so se enakosti v znani obliki pojavile po pojavu enakega znaka "=", ki ga je leta 1556 uvedel angleški matematik Record. Mimogrede, ta znak je bil izbran z razlogom: pomeni dva vzporedna enaka segmenta. In res je najboljši primer enakosti si ni mogoče izmisliti.
Utemeljitelj modernih črkovnih oznak za neznanke in stopinjske znake je francoski matematik, vendar so se njegove oznake bistveno razlikovale od današnjih. Na primer, kvadrat neznanega števila je označil s črko Q (lat. »quadratus«), kocko pa s črko C (lat. »cubus«). Ta zapis se zdaj zdi neroden, a takrat je bil najbolj razumljiv način zapisovanja sistemov linearnih algebrskih enačb.
Vendar je bila pomanjkljivost takratnih metod reševanja ta, da so matematiki upoštevali le pozitivne korenine. Morda je to posledica dejstva, da negativne vrednosti ni imel nobenega praktična uporaba. Tako ali drugače so bili italijanski matematiki Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano in Raphael Bombelli tisti, ki so v 16. stoletju prvi prešteli negativne korenine. A moderen videz, je bila glavna metoda reševanja (preko diskriminanta) ustvarjena šele v 17. stoletju zahvaljujoč delu Descartesa in Newtona.
Sredi 18. stoletja je švicarski matematik Gabriel Cramer ugotovil nov način za lažje reševanje sistemov linearnih enačb. Ta metoda je kasneje po njem dobila ime in jo uporabljamo še danes. Toda o Cramerjevi metodi bomo govorili malo kasneje, zdaj pa razpravljajmo o linearnih enačbah in metodah za njihovo reševanje ločeno od sistema.
Linearne enačbe
Linearne enačbe so najenostavnejše enačbe s spremenljivko (spremenljivkami). Uvrščamo jih med algebraične. pišite splošni pogled torej: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. V tej obliki jih bomo morali predstaviti pri poznejšem prevajanju sistemov in matrik.
Sistemi linearnih algebrskih enačb
Opredelitev tega izraza je: je niz enačb, ki imajo skupne neznane količine in skupno rešitev. V šoli so praviloma vsi reševali sisteme z dvema ali celo tremi enačbami. Obstajajo pa sistemi s štirimi ali več komponentami. Najprej ugotovimo, kako jih zapisati, da bo v prihodnosti priročno reševati. Prvič, sistemi linearnih algebrskih enačb bodo videti bolje, če bodo vse spremenljivke zapisane kot x z ustreznim indeksom: 1,2,3 itd. Drugič, vse enačbe je treba spraviti v kanonično obliko: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.
Po vseh teh korakih lahko začnemo govoriti o tem, kako najti rešitve sistemov linearnih enačb. Matrice bodo zelo koristne za to.
Matrike
Matrika je tabela, ki je sestavljena iz vrstic in stolpcev, na njihovem presečišču pa so njeni elementi. To so lahko specifične vrednosti ali spremenljivke. Najpogosteje se za označevanje elementov pod njimi postavijo indeksi (na primer 11 ali 23). Prvi indeks pomeni številko vrstice, drugi pa številko stolpca. Nad matricami se lahko izvajajo različne operacije, tako kot na katerem koli drugem matematičnem elementu. Tako lahko:
2) Pomnožite matriko s poljubnim številom ali vektorjem.
3) Transponiranje: spremeni matrične vrstice v stolpce in stolpce v vrstice.
4) Pomnožite matrike, če je število vrstic ene od njih enako številu stolpcev druge.
O vseh teh tehnikah se pogovorimo podrobneje, saj nam bodo v prihodnosti koristile. Odštevanje in seštevanje matrik je zelo preprosto. Ker vzamemo matrike enake velikosti, je vsak element ene tabele v korelaciji z vsakim elementom druge tabele. Tako seštejemo (odštejemo) ta dva elementa (pomembno je, da stojita na istih mestih v svojih matricah). Pri množenju matrike s številom ali vektorjem preprosto pomnožite vsak element matrike s tem številom (ali vektorjem). Transpozicija je zelo zanimiv proces. Včasih ga je zelo zanimivo videti resnično življenje, na primer pri spreminjanju usmerjenosti tablice ali telefona. Ikone na namizju predstavljajo matriko, ki se ob spremembi položaja prestavi in postane širša, vendar se zmanjša v višino.
Oglejmo si še en postopek, kot je: Čeprav ga ne bomo potrebovali, ga bo še vedno koristno poznati. Dve matriki lahko pomnožite le, če je število stolpcev v eni tabeli enako številu vrstic v drugi. Zdaj pa vzemimo elemente vrstice ene matrike in elemente ustreznega stolpca druge. Pomnožimo jih drug z drugim in jih nato seštejemo (to pomeni, da bo na primer produkt elementov a 11 in a 12 z b 12 in b 22 enak: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Tako dobimo en element tabele, ki ga polnimo naprej na podoben način.
Zdaj lahko začnemo obravnavati, kako se sistem linearnih enačb reši.
Gaussova metoda
Ta tema se začne obravnavati v šoli. Pojem “sistem dveh linearnih enačb” dobro poznamo in znamo ju reševati. Kaj pa, če je število enačb večje od dveh? To nam bo pomagalo
Seveda je ta metoda primerna za uporabo, če iz sistema naredite matriko. Vendar vam ga ni treba preoblikovati in rešiti v čisti obliki.
Torej, kako ta metoda rešuje sistem linearnih Gaussovih enačb? Mimogrede, čeprav je ta metoda poimenovana po njem, so jo odkrili že v starih časih. Gauss predlaga naslednje: izvajati operacije z enačbami, da bi končno reducirali celoten niz na obliko korakov. To pomeni, da je potrebno, da se od zgoraj navzdol (če je pravilno urejeno) od prve enačbe do zadnje neznanka zmanjšuje. Z drugimi besedami, poskrbeti moramo, da dobimo recimo tri enačbe: v prvi so tri neznanke, v drugi dve, v tretji ena. Nato iz zadnje enačbe poiščemo prvo neznanko, njeno vrednost nadomestimo v drugo ali prvo enačbo in nato poiščemo preostali dve spremenljivki.
Cramerjeva metoda
Za obvladovanje te metode je ključnega pomena imeti veščine seštevanja in odštevanja matrik, poleg tega pa morate znati najti determinante. Torej, če vse to počnete slabo ali sploh ne znate, se boste morali naučiti in vaditi.
Kaj je bistvo te metode in kako narediti tako, da dobimo sistem linearnih Cramerjevih enačb? Vse je zelo preprosto. Sestaviti moramo matriko numeričnih (skoraj vedno) koeficientov sistema linearnih algebrskih enačb. Za to preprosto vzamemo števila pred neznankami in jih razvrstimo v tabelo po vrstnem redu, kot so zapisana v sistemu. Če je pred številko znak »-«, potem zapišemo negativni koeficient. Tako smo sestavili prvo matriko koeficientov za neznanke, pri čemer ne vključujemo števil za enačaji (seveda je treba enačbo reducirati na kanonično obliko, ko je na desni samo številka, vse neznanke s koeficienti pa na leva). Nato morate ustvariti še več matrik - eno za vsako spremenljivko. Da bi to naredili, zamenjamo vsak stolpec s koeficienti v prvi matriki po vrsti s stolpcem številk za znakom enačaja. Tako dobimo več matrik in nato poiščemo njihove determinante.
Ko smo našli determinante, je to majhna stvar. Imamo začetno matriko in obstaja več dobljenih matrik, ki ustrezajo različnim spremenljivkam. Da bi dobili rešitve sistema, delimo determinanto nastale tabele z determinanto začetne tabele. Dobljeno število je vrednost ene od spremenljivk. Podobno najdemo vse neznanke.
Druge metode
Obstaja več drugih metod za pridobivanje rešitev sistemov linearnih enačb. Na primer tako imenovana Gauss-Jordanova metoda, ki se uporablja za iskanje rešitev sistema kvadratne enačbe in je povezana tudi z uporabo matrik. Obstaja tudi Jacobijeva metoda za reševanje sistema linearnih algebrskih enačb. Najlažje se prilagodi računalniku in se uporablja v računalništvu.
Zapleteni primeri
Zapletenost običajno nastane, ko je število enačb manjše od števila spremenljivk. Potem lahko z gotovostjo rečemo, da je sistem nekonzistenten (torej nima korenin) ali pa se število njegovih rešitev nagiba k neskončnosti. Če imamo drugi primer, potem moramo zapisati splošno rešitev sistema linearnih enačb. Vsebovala bo vsaj eno spremenljivko.
Zaključek
Prišli smo do konca. Povzemimo: ugotovili smo, kaj sta sistem in matrika, ter se naučili najti splošno rešitev sistema linearnih enačb. Poleg tega smo razmišljali o drugih možnostih. Ugotovili smo, kako rešiti sistem linearnih enačb: Gaussova metoda in se pogovarjali težkih primerih in druge načine za iskanje rešitev.
Pravzaprav je ta tema veliko obsežnejša in če jo želite bolje razumeti, priporočamo branje bolj specializirane literature.
Še naprej bomo izpopolnjevali našo tehnologijo elementarne transformacije na homogeni sistem linearnih enačb.
Glede na prve odstavke se gradivo morda zdi dolgočasno in povprečno, vendar je ta vtis varljiv. Poleg nadaljnjega razvoja tehnike Veliko bo novih informacij, zato poskusite ne zanemariti primerov v tem članku.
Kaj je homogeni sistem linearnih enačb?
Odgovor se nakazuje sam od sebe. Sistem linearnih enačb je homogen, če je prosti člen vsi enačba sistema je nič. Na primer:
To je popolnoma jasno homogeni sistem je vedno konsistenten, torej vedno ima rešitev. In najprej ti pade v oči t.i trivialno rešitev 
. Trivialno, za tiste, ki sploh ne razumejo pomena pridevnika, pomeni brez bahanja. Seveda ne akademsko, ampak razumljivo =) ...Zakaj bi se pogovarjali, poglejmo, ali ima ta sistem še kakšne druge rešitve:
Primer 1
rešitev: za rešitev homogenega sistema je potrebno pisati sistemska matrika in ga s pomočjo elementarnih transformacij spravite v stopenjsko obliko. Upoštevajte, da tukaj ni treba zapisati navpične vrstice in ničelnega stolpca prostih izrazov - navsezadnje, ne glede na to, kaj počnete z ničlami, bodo ostale ničle: 
(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –3.
(2) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1.
Deljenje tretje vrstice s 3 nima pravega smisla.
Kot rezultat elementarnih transformacij dobimo enakovredni homogeni sistem 
, in prijava vzvratni hod Z Gaussovo metodo je enostavno preveriti, da je rešitev edinstvena.
Odgovori: 
Oblikujmo očiten kriterij: homogeni sistem linearnih enačb ima samo trivialna rešitev, Če rang sistemske matrike(V v tem primeru 3) enako številu spremenljivk (v tem primeru – 3 kosi).
Ogrejmo in uglasimo naš radio na val elementarnih transformacij:
Primer 2
Rešite homogeni sistem linearnih enačb 
Da končno utrdimo algoritem, analizirajmo končno nalogo:
Primer 7
Reši homogeni sistem, odgovor zapiši v vektorski obliki. 
rešitev: zapišimo matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike: 
(1) Predznak prve vrstice je spremenjen. Še enkrat opozarjam na tehniko, ki je bila večkrat naletela, kar vam omogoča, da bistveno poenostavite naslednje dejanje.
(1) Prva vrstica je bila dodana 2. in 3. vrstici. Prva vrstica, pomnožena z 2, je bila dodana 4. vrstici.
(3) Zadnje tri vrstice so sorazmerne, dve sta odstranjeni.
Kot rezultat dobimo standardno matriko korakov in rešitev se nadaljuje vzdolž narebričene proge:
– osnovne spremenljivke;
– proste spremenljivke.
Izrazimo osnovne spremenljivke s prostimi spremenljivkami. Iz 2. enačbe:
– nadomestimo v 1. enačbo:
Splošna rešitev je torej:
Ker so v obravnavanem primeru tri proste spremenljivke, osnovni sistem vsebuje tri vektorje.
Zamenjajmo trojček vrednosti 
v splošno rešitev in dobimo vektor, katerega koordinate zadoščajo vsaki enačbi homogenega sistema. In še enkrat ponavljam, da je zelo priporočljivo preveriti vsak prejeti vektor - ne bo vzelo veliko časa, vendar vas bo popolnoma zaščitilo pred napakami.
Za trojček vrednosti 
poiščite vektor
In končno za tri 
dobimo tretji vektor:
Odgovori: , Kje
Tisti, ki se želijo izogniti delnim vrednostim, lahko razmislijo o trojčkih 
in dobite odgovor v enakovredni obliki:
Ko smo že pri ulomkih. Poglejmo matriko, dobljeno v nalogi 
in se vprašajmo: ali je možno nadaljnjo rešitev poenostaviti? Konec koncev smo tukaj najprej izrazili osnovno spremenljivko skozi ulomke, nato skozi ulomke osnovno spremenljivko in, moram reči, ta postopek ni bil najbolj preprost in ne najbolj prijeten.
Druga rešitev:
Ideja je poskusiti izberite druge osnovne spremenljivke. Poglejmo matriko in opazimo dve enici v tretjem stolpcu. Zakaj torej ne bi imeli ničle na vrhu? Izvedimo še eno osnovno transformacijo:
