Enačbo oblike ax4 + bx2 + c \u003d 0 imenujemo bikvadratna enačba. Absolutno vsako enačbo te vrste je mogoče rešiti tako, da vnesemo novo spremenljivko in nato rešimo enačbo glede nanjo. Nato se izvede obratna zamenjava in najde se zahtevani x.
Oglejmo si, kako uporabiti to metodo pri reševanju racionalne enačbe.
Podana je enačba: x4 - 4x2 + 4 \u003d 0.
Sklep
Za rešitev te enačbe je treba uvesti novo spremenljivko, ki ima obliko y \u003d x2. Velja tudi naslednja enakost: x4 \u003d (x2) 2 \u003d y2. Izvirno enačbo prepišemo na naslednji način: y2 - 4y + 4 \u003d 0. To je navadna kvadratna enačba, pri kateri dobimo korenine y1 \u003d y2 \u003d 2. Ker je y \u003d x2, se rešitev tega problema zmanjša na reševanje še ene enačbe, in sicer: x2 \u003d 2. Odgovor najdemo: + -√2.
V tej situaciji je bil način uvajanja spremenljivke "primeren situaciji", torej je bilo jasno vidno, kateri izraz zamenjati z novo spremenljivko, vendar to ni vedno tako. V osnovi se izraz, ki ga je mogoče zamenjati, pojavi šele v postopku pretvorbe in poenostavitve prvotnega izraza. Analizo takšnega primera si lahko ogledate v video vadnici.
Lastnosti funkcije y \u003d k / x za k\u003e 0
V video vadnici se boste seznanili z osnovnimi lastnostmi hiperbole, ki temelji na njenem geometrijskem modelu.
1. D (f) \u003d (-∞; 0) ∪ (0; ∞) - domeno funkcije sestavljajo vsa števila, razen 0.
2. Za x\u003e 0 \u003d\u003e y\u003e 0 in za x< 0 => y< 0.
3. Pri k\u003e 0 se funkcija zmanjša na odprtem žarku (-∞; 0) in na odprtem žarku (0; ∞).
4. Funkcija y \u003d k / x nima zgornjih in spodnjih omejitev.
5. Funkcija y \u003d k / x nima najvišjih in najnižjih vrednosti.
6. Neprekinjeno na intervalu (-∞; 0) in (0; ∞), pri čemer je diskontinuiteta pri x \u003d 0.
Način uvajanja nove spremenljivke pri reševanju racionalnih enačb z eno spremenljivko ste spoznali v tečaju algebre 8. razreda. Bistvo te metode za reševanje sistemov enačb je enako, vendar s tehničnega vidika obstaja nekaj lastnosti, o katerih bomo razpravljali v naslednjih primerih.
3. primer Rešite sistem enačb
Sklep. Uvedemo novo spremenljivko Nato lahko prvo enačbo sistema napišemo v več preprosta oblika: 
Rešimo to enačbo za spremenljivko t:
Obe vrednosti izpolnjujeta pogoj in sta torej korenini racionalne enačbe s spremenljivko t. Toda to pomeni, da bodisi od tam, kjer najdemo, da je x \u003d 2y, ali
Tako smo z metodo uvajanja nove spremenljivke tako rekoč uspeli prvo enačbo sistema, ki je na videz precej zapletena, "razdeliti" na dve enostavnejši enačbi:
x \u003d 2 y; y - 2x.
Kaj je naslednje? Potem je treba vsako od dobljenih enostavnih enačb v sistemu upoštevati po enačbi z enačbo x 2 - y 2 \u003d 3, ki se je še nismo spomnili. Z drugimi besedami, problem se zmanjša na reševanje dveh sistemov enačb:
Poiskati je treba rešitve prvega sistema, drugega sistema in v odgovor vključiti vse dobljene pare vrednosti. Rešimo prvi sistem enačb:
Uporabili bomo metodo substitucije, še posebej, ker je tu že vse pripravljeno: v drugi enačbi sistema namesto x nadomestite izraz 2y. Dobimo
Ker je x \u003d 2y, najdemo x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Tako dobimo dve rešitvi danega sistema: (2; 1) in (-2; -1). Rešimo drugi sistem enačb:
Ponovno uporabimo substitucijsko metodo: v drugi enačbi sistema izraz 2x nadomestimo z y. Dobimo
Ta enačba nima korenin, kar pomeni, da tudi sistem enačb nima rešitev. Tako bi morale biti v odgovor vključene le rešitve prvega sistema.
Odgovor: (2; 1); (-2; -1).
Metoda uvajanja novih spremenljivk pri reševanju sistemov dveh enačb z dvema spremenljivkama je uporabljena v dveh različicah. Prva možnost: ena nova spremenljivka je uvedena in uporabljena samo v eni enačbi sistema. To je točno tako v primeru 3. Druga možnost: dve novi spremenljivki sta hkrati uvedeni in uporabljeni v obeh enačbah sistema. Tako bo v primeru 4.
4. primer Rešite sistem enačb
Lekcija na temo: Reševanje enačb
Sestavila: Vera V. Volkova - učiteljica matematike
Tema lekcije: Reševanje enačb z uvedbo nove spremenljivke.
Cilji lekcije: 1. Študentje seznaniti z novo metodo reševanja enačb;
2. utrditi veščine reševanja kvadratne enačbe in izbira metod za njihovo rešitev;
3. izvedite prvo konsolidacijo nove teme;
4. razviti sposobnost zagovarjanja svojega stališča, voditi utemeljen dialog s sošolci;
Razvijte pozornost, spomin in logično razmišljanje, opazovanje
Vzgojiti komunikacijske veščine in komunikacijsko kulturo
Vzpostaviti samostojne delovne spretnosti
Med poukom
1. Orgmoment
Sporočanje teme lekcije in določanje ciljev.
2. Ponavljanje
V prejšnjih lekcijah smo se naučili reševanja kvadratnih enačb različne poti in enačbe. Kar se lahko zmanjša na kvadrat.
Katera enačba se imenuje kvadratna.
Katere načine njihovega reševanja poznate
Katere enačbe lahko zmanjšamo na kvadrat
a) (x + 3) 2 + (x-2) 2 + (x + 5) (x -5) \u003d 11x +20
b) x 2 (x + 1) - (x + 4) x \u003d 12 (x-1) 2
c) x 2 + x + 9 \u003d 3x-7,
d) x + 1 + x \u003d 2,5
X x + 1
e) x 2 + 2x + 2 + x 2 + 2x + 3 \u003d 9
X 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 6 10?
3. Učenje novega gradiva.
Zdaj bomo delali v skupinah (opozoriti na delovni postopek in pravila vedenja pri delu v skupinah). Vaša naloga je rešiti predlagane enačbe (razdelijo se kartice z nalogo, na tablo se obesi plakat).
in) x + 1 + x \u003d 2,5
X x + 1
b) x 2 + 2x + 2 + x 2 + 2x + 3 \u003d 9
X 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 6 10
Učitelj opazuje potek dela in izbere obliko preverjanja prve enačbe:
Ustno ali na tabli, odvisno od uspeha predavanja.
Preverimo, kaj imaš.
Prva enačba se zmanjša na kvadratno enačbo x 2 + x -2 \u003d 0.
Rešitev tega sta števili -2 in 1.
Zdaj pa pojdimo k reševanju druge enačbe. V vseh skupinah se je izkazala enačba četrte stopnje, ki je ne veste, kako rešiti.
Poskusimo se vseeno spoprijeti s tem.
Tako kot reševanje katerega koli problema tudi enačba vključuje več stopenj:
- Analiza enačbe
- Priprava načrta rešitve.
- Izvajanje tega načrta.
- Preverjanje rešitve.
- Analiza metode reševanja sistematizacije izkušenj.
- - Kako se običajno opravi analiza enačb?
Najprej odgovorimo na vprašanje, ali smo se že srečali s tovrstnimi enačbami?
Da, spoznali smo - to je delna racionalna enačba.
Lahko poskusite rešiti to "težko" enačbo ali pa se vrnete v
enačbo in jo znova analizirajte.
Za to:
- Izberimo nekaj elementov enačbe,
- Ugotovimo njihove splošne lastnosti,
- Preučimo povezave med različnimi elementi enačbe,
- Te podatke uporabljamo.
Delajmo 5 minut v skupinah po tem načrtu.
Večina je poudarila element, ki je vključen v števce in imenovalce ulomkov v enačbi. Za poenostavitev enačbe zamenjajmo ta izraz z eno črko, na primer Z:
X 2 + 2x \u003d Z
Z +2 + Z +3 \u003d 9
Z +5 Z +6 10
Lahko ga obravnavamo kot novo enačbo za novo neznano Z. Spremenljivka x v njej ni eksplicitno prisotna.
Pravijo, da je spremenljivka zamenjana.
Ali je takšna zamenjava priporočljiva? Če želite odgovoriti na to vprašanje, je dovolj, da ugotovite:
Ali je mogoče rešiti novo enačbo in najti vrednosti Z,
Ali je mogoče z Z najti vrednost spremenljivke x za prvotno enačbo?
Poskusite v skupinah odgovoriti na prvi del vprašanja.
Učitelj opazuje potek dela. Nato se preverijo rezultati iskanja vrednosti spremenljivke Z.
Tako smo našli vrednosti spremenljivke Z: Z 1 \u003d 0, Z 2 \u003d - 61 | enajst
Zanimajo pa nas vse vrednosti spremenljivke x, ki ustrezajo prvotni enačbi. Poiščimo te vrednosti. Povezava med koreninami prvotne in nove enačbe je vsebovana v formuli x 2 + 2x \u003d Z. Vrednosti spremenljivke Z smo že našli. Posledično je kateri koli koren izvirne delne racionalne enačbe koren ene od enačb: x 2 + 2x \u003d Z 1 ali x 2 + 2x \u003d Z 2
Te enačbe rešite sami glede na možnosti.
Preverimo rezultate: prva enačba ima korenine x 1 \u003d 0, x 2 \u003d -2, druga enačba pa nima korenin.
Preveriti je treba rezultate, pridobljene za prvotno enačbo, in zapisati odgovor.
Odgovor: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d -2.
Torej smo prvotno enačbo rešili z novo metodo, ki se imenuje z uvedbo nove spremenljivke.
Naredite algoritem za reševanje naše enačbe z uvedbo nove spremenljivke.(Delo v skupinah)
- Izberite izraz x 2 + 2x;
- Označujemo ta izraz ene črke x 2 + 2x \u003d Z;
- Izvedemo zamenjavo in dobimo novo enačbo;
- Pripeljemo ga na kvadrat in rešimo;
- Z vrednostmi spremenljivke Z najdemo vrednosti spremenljivke x;
- Dobljene rezultate preverimo in odgovor zapišemo.
3. Pritrditev materiala.
Ali menite, da je bilo mogoče spremeniti spremenljivke? (Na primer x 2 + 2x
2 \u003d Z ali x 2 + 2x +6 \u003d Z.) Kakšno obliko bo imela potem enačba? Kako jih rešiti? Ali je mogoče prvo domačo enačbo rešiti z uvedbo nove spremenljivke? Kateri izraz lahko nadomestimo z novo spremenljivko? Kakšna je enačba? Kako to rešiti? Kakšne so vrednosti spremenljivke Z? Kakšne so vrednosti spremenljivke x?
4. Povzetek.
- Kaj smo se danes naučili na lekciji?
- Kaj nov način ste našli rešitve enačb?
- Kakšna je metoda za uvedbo nove spremenljivke?
- Kakšen je algoritem za to metodo?
- Se vam je zdela ta metoda težka, neprijetna?
- Ali ga je mogoče uporabiti za vse enačbe?
5. Domača naloga.
- Zapišite in se naučite algoritma za uporabo metode uvajanja nove spremenljivke;
- Rešite s to metodo št. 2.43 (1; 2) ГИА str.117.
Vaša zasebnost nam je pomembna. Iz tega razloga smo razvili pravilnik o zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in hranimo vaše podatke. Preberite našo politiko zasebnosti in nas obvestite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki pomenijo podatke, s katerimi je mogoče določiti določeno osebo ali stopiti v stik z njo.
Ko se obrnete na nas, boste morda kadar koli pozvani, da navedete svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu pustite zahtevo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom e-naslov itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da stopimo v stik z vami in prijavimo edinstvene ponudbe, promocije in druge dogodke ter prihajajoče dogodke.
- Občasno lahko vaše osebne podatke uporabimo za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabimo tudi za notranje namene, kot so izvajanje revizij, analiza podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam zagotovili priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, natečaju ali podobnem promocijskem dogodku, lahko podatke, ki jih navedete, uporabimo za upravljanje takšnih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Podatkov, ki smo jih prejeli od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Po potrebi - v skladu z zakonom, sodno odredbo, sodnimi postopki in / ali na podlagi javnih prošenj ali prošenj vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Informacije o vas lahko tudi razkrijemo, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih družbeno pomembnih razlogov.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno tretjo osebo - prevzemnika.
Zaščita osebnih podatkov
Sprejemamo varnostne ukrepe - vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi - za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, našim zaposlenim predstavljamo pravila o zaupnosti in varnosti ter strogo spremljamo izvajanje ukrepov zaupnosti.
2.2.3. Metoda za uvedbo nove spremenljivke.
Močno orodje za reševanje iracionalnih enačb je metoda uvajanja nove spremenljivke ali "nadomestna metoda". Metoda se običajno uporablja v primeru, ko se izraz večkrat pojavi v enačbi, odvisno od neznane količine. Potem je smiselno ta izraz označiti z novo črko in poskusiti enačbo najprej rešiti glede na uvedeno neznano, nato pa najti prvotno neznano. V nekaterih primerih uspešno uvedene nove neznanke včasih omogočajo hitrejše in lažje iskanje rešitve; včasih je težave nemogoče rešiti brez zamenjave. ,
Primer 7. Reši enačbo.
Sklep. Če torej dobimo bistveno preprostejšo iracionalno enačbo. Kvadriramo obe strani enačbe:
;
;
;
Preverjanje najdenih vrednosti z njihovo nadomestitvijo v enačbo kaže, da je koren enačbe in je tuj koren.
Če se vrnemo k prvotni spremenljivki x, dobimo enačbo, to je kvadratno enačbo 
, po rešitvi katerega najdemo dve korenini:,. Preverjanje kaže, da obe korenini ustrezata prvotni enačbi.
Zamenjava je še posebej koristna, če se posledično doseže nova kakovost, na primer iracionalna enačba postane kvadratna.
Primer 8. Reši enačbo.
Sklep. Napišimo enačbo na naslednji način:
Razvidno je, da če uvedemo novo spremenljivko 
, potem enačba dobi obliko 
, od kod ,.
Zdaj se problem zmanjša na reševanje enačbe 
in enačbe 
... Prva od teh rešitev nima, od druge pa dobimo ,. Preverjanje kaže, da obe korenini ustrezata prvotni enačbi.
Upoštevajte, da bi "nepremišljena" uporaba v primeru 8 metode "osamitve radikala" in kvadriranja privedla do enačbe četrte stopnje, katere rešitev je na splošno izjemno zahtevna naloga.
Primer 9. Reši enačbo 
.
Uvedimo novo spremenljivko
Posledično ima prvotna iracionalna enačba obliko kvadrata
,
od kod, ob upoštevanju omejitve, dobimo. Rešimo enačbo, dobimo koren. Test pokaže, da ustreza prvotni enačbi.
Včasih je mogoče s pomočjo neke substitucije iracionalno enačbo zmanjšati na racionalno obliko, kot v primerih 8, 9. V tem primeru pravijo, da ta substitucija racionalizira obravnavano iracionalno enačbo, in ji pravijo racionalizacija. Na podlagi uporabe racionalizacijskih nadomestkov se imenuje metoda racionalizacije.
Pri vseh učencih pri pouku te metode reševanja iracionalnih enačb ni treba razstaviti, vendar jo je mogoče upoštevati v okviru izbirnih predmetov ali krožnih ur matematike pri dijakih, ki kažejo povečano zanimanje za matematiko.
Na podlagi znanja o razmerju med rezultatom in komponentami aritmetične operacije (tj. poznavanje načinov iskanja neznanih komponent). Te programske zahteve določajo metodologijo za delo z enačbami. 2. Metodologija preučevanja neenakosti v srednji šoli 2.1 Vsebina in vloga vrstice enačb in neenakosti v sodobnem šolskem tečaju matematike Glede na pomembnost in obsežnost snovi ...
Na kakovostno novo raven obvladovanja vsebine šolske matematike. Poglavje II. Metodično - pedagoške osnove samostojnega dela kot načina poučevanja reševanja enačb v 5-9. Razredu. § 1. Organizacija samostojnega dela pri poučevanju reševanja enačb v 5-9. Razredu. Kdaj tradicionalni način poučevanja učitelj učence pogosto postavi v predmetni položaj ...
Sklepamo lahko, da v današnjem času preučevanega vprašanja ni dovolj metodološka literatura... Cilj raziskovalnega dela: proces poučevanja matematike. Zadeva: oblikovanje sposobnosti reševanja kvadratnih enačb pri učencih 8. razreda. Pogojni: učenci 8. razreda. Poglavje 1. Teoretični vidiki učenje reševanja enačb v 8. razredu 1.1. Iz zgodovine nastanka kvadrata ...
Številski argument, zato pri tem pristopu obstaja določena odvečnost pri oblikovanju funkcije kot splošnega pojma. 2. Glavne smeri uvajanja pojma funkcije v šolski tečaj matematike V sodobnem šolskem tečaju matematike se genetski pristop šteje za vodilni pristop z dodajanjem logičnih elementov. Oblikovanje konceptov in idej, metod in tehnik kot del ...
