Začetne informacije o kotih
Dajmo nam dva poljubna žarka. Položimo jih eno na drugo. Potem
Definicija 1
Kot bomo imenovali dva žarka, ki imata enak izvor.
Definicija 2
Točko, ki je začetek žarkov v okviru definicije 3, imenujemo vrh tega kota.
Kot bomo označili z njegovimi tremi točkami: ogliščem, točko na enem od žarkov in točko na drugem žarku, oglišče kota pa zapišemo na sredini njegove oznake (slika 1).
Določimo sedaj, kolikšna je velikost kota.
Da bi to naredili, moramo izbrati nekakšen "referenčni" kot, ki ga bomo vzeli kot enoto. Najpogosteje je ta kot tisti kot, ki je enak $\frac(1)(180)$ delu razprtega kota. Ta količina se imenuje stopinja. Ko izberemo tak kot, z njim primerjamo kote, katerih vrednost je treba najti.
Obstajajo 4 vrste kotov:
Definicija 3
Kot se imenuje oster, če je manjši od $90^0$.
Definicija 4
Kot imenujemo top, če je večji od $90^0$.
Definicija 5
Kot se imenuje razvit, če je enak $180^0$.
Opredelitev 6
Kot se imenuje pravi, če je enak $90^0$.
Poleg zgoraj opisanih vrst kotov ločimo vrste kotov v medsebojnem odnosu, in sicer navpične in sosednje kote.
Sosednji koti
Razmislite o obrnjenem kotu $COB$. Iz njegovega oglišča potegnemo žarek $OA$. Ta žarek bo prvotnega razdelil na dva kota. Potem
Opredelitev 7
Dva kota bomo imenovali sosednja, če je en par njunih stranic razvit kot, drugi par pa sovpada (slika 2).
IN v tem primeru kota $COA$ in $BOA$ sta sosednja.
1. izrek
vsota sosednji vogali je enako $180^0$.
Dokaz.
Poglejmo sliko 2.
Po definiciji 7 bo kot $COB$ v njej enak $180^0$. Ker drugi par stranic sosednjih kotov sovpada, bo žarek $OA$ delil razgrnjeni kot z 2, torej
$∠COA+∠BOA=180^0$
Izrek je dokazan.
Razmislimo o rešitvi problema z uporabo tega koncepta.
Primer 1
Poiščite kot $C$ na spodnji sliki
Po definiciji 7 ugotovimo, da sta kota $BDA$ in $ADC$ sosednja. Zato po izreku 1 dobimo
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
Po izreku o vsoti kotov v trikotniku imamo
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Odgovor: 40$^0$.
Navpični koti
Razmislite o raztegnjenih kotih $AOB$ in $MOC$. Poravnajmo njuni oglišči drug z drugim (to pomeni, da točko $O"$ postavimo na točko $O$), tako da nobena stranica teh kotov ne sovpada. Potem
Opredelitev 8
Dva kota bomo imenovali navpični, če so pari njihovih stranic razgrnjeni koti in njihove vrednosti sovpadajo (slika 3).
V tem primeru sta kota $MOA$ in $BOC$ navpična in tudi kota $MOB$ in $AOC$ sta navpična.
2. izrek
Navpični koti so med seboj enaki.
Dokaz.
Poglejmo sliko 3. Dokažimo na primer, da je kot $MOA$ enak kotu $BOC$.
kotiček do raztegnjenega, to je enako 180°, tako da jih najdemo tako, da od tega odštejemo znano vrednost glavnega kota α₁ = α₂ = 180°-α.Od tega obstajajo. Če sta dva kota sosednja in enaka, potem sta prava kota. Če je eden od sosednjih kotov pravi, to je 90 stopinj, potem je tudi drugi kot pravi. Če je eden od sosednjih kotov oster, potem bo drugi top. Podobno, če je eden od kotov tup, bo drugi v skladu s tem oster.
Ostri kot je tisti, katerega stopinjska mera je manjša od 90 stopinj, vendar večja od 0. Topi kot ima stopinjsko mero večjo od 90 stopinj, vendar manjšo od 180.
Druga lastnost sosednjih kotov je formulirana takole: če sta dva kota enaka, so enaki tudi koti, ki mejijo nanju. To pomeni, da če obstajata dva kota, za katera je stopinjska mera enaka (na primer je 50 stopinj) in ima hkrati eden od njiju sosednji kot, potem vrednosti teh sosednjih kotov tudi sovpadajo ( v primeru bo njihova stopinjska mera enaka 130 stopinj).
Viri:
- Veliki enciklopedični slovar - Sosednji koti
- kot 180 stopinj
Beseda "" ima različne interpretacije. V geometriji je kot del ravnine, ki ga omejujeta dva žarka, ki izhajata iz ene točke – oglišča. Ko govorimo o ravnih, ostrih in razgrnjenih kotih, mislimo na geometrijske kote.
Kot vse figure v geometriji lahko tudi kote primerjamo. Enakost kotov se določi z gibanjem. Kot je enostavno razdeliti na dva enaka dela. Razdelitev na tri dele je nekoliko težja, a še vedno lahko z ravnilom in šestilom. Mimogrede, ta naloga se je zdela precej težka. Opis, da je en kot večji ali manjši od drugega, je geometrijsko preprost.
Merska enota za kote je 1/180
Kaj je sosednji kot
Kotiček- To geometrijski lik(slika 1), ki ga tvorita dva žarka OA in OB (strani kota), ki izhajata iz ene točke O (vrh kota).
SOSEDNJI VOGALI- dva kota, katerih vsota je 180°. Vsak od teh kotov dopolnjuje drugega do polnega kota.
Sosednji koti- (Agles adjacets) tiste, ki imajo skupen vrh in skupno stran. Večinoma se to ime nanaša na kote, katerih preostali dve strani ležita v nasprotnih smereh ene premice, ki je narisana skozi.
Dva kota imenujemo sosednja, če imata eno skupno stranico in sta drugi strani teh kotov komplementarni polpremici.
riž. 2
Na sliki 2 sta kota a1b in a2b sosednja. Imata skupno stranico b, stranici a1, a2 pa sta dodatni polpremici.
riž. 3
Slika 3 prikazuje premico AB, točka C se nahaja med točkama A in B. Točka D je točka, ki ne leži na premici AB. Izkazalo se je, da sta kota BCD in ACD sosednja. Imata skupno stranico CD, stranici CA in CB pa sta dodatni polpremici premice AB, saj sta točki A, B ločeni z izhodiščem C.
Izrek o sosednjem kotu
Izrek: vsota sosednjih kotov je 180°
Dokaz:
Kota a1b in a2b sta sosednja (glej sliko 2). Žarek b poteka med stranicama a1 in a2 razgrnjenega kota. Zato je vsota kotov a1b in a2b enaka razvitemu kotu, to je 180°. Izrek je dokazan.
Kot, ki je enak 90°, imenujemo pravi kot. Iz izreka o vsoti sosednjih kotov sledi, da je kot, ki meji na pravi kot, tudi pravi kot. Kot, manjši od 90°, imenujemo oster, kot, večji od 90°, pa top. Ker je vsota sosednjih kotov 180°, potem je sosednji kot ostri kot- tupi kot. In kot, ki meji na tupi kot- oster kot.
Sosednji koti- dva kota s skupnim vrhom, katerih ena stran je skupna, preostale strani pa ležijo na isti ravni črti (ne sovpadajo). Vsota sosednjih kotov je 180°.
Definicija 1. Kot je del ravnine, ki ga omejujeta žarka s skupnim izhodiščem.
Opredelitev 1.1. Kot je lik, sestavljen iz točke - vrha kota - in dveh različnih polpremic, ki izhajata iz te točke - strani kota.
Na primer, kot BOC na sliki 1. Najprej razmislimo o dveh sekajočih se premicah. Ko se ravne črte sekajo, tvorijo kote. Obstajajo posebni primeri:
Definicija 2.Če so stranice kota dodatne polpremice ene ravne črte, se kot imenuje razvit.
Definicija 3. Pravi kot je kot, ki meri 90 stopinj.
Definicija 4. Kot, manjši od 90 stopinj, imenujemo ostri kot.
Definicija 5. Kot, večji od 90 stopinj in manjši od 180 stopinj, imenujemo top kot.
sekajoče se črte.
Opredelitev 6. Dva kota, katerih ena stran je skupna, druge strani pa ležijo na isti ravni črti, imenujemo sosednja.
Opredelitev 7. Koti, katerih stranice se nadaljujejo, imenujemo navpični koti.
Na sliki 1:
sosednji: 1 in 2; 2 in 3; 3 in 4; 4 in 1
navpično: 1 in 3; 2 in 4
1. izrek. Vsota sosednjih kotov je 180 stopinj.
Za dokaz si oglejte sl. 4 sosednji koti AOB in BOC. Njihova vsota je razvit kot AOC. Zato je vsota teh sosednjih kotov 180 stopinj.
riž. 4
Povezava matematike in glasbe
»Ob razmišljanju o umetnosti in znanosti, o njunih medsebojnih povezavah in protislovjih, sem prišel do zaključka, da sta matematika in glasba na skrajnih polih človeškega duha, da je vsa ustvarjalna duhovna dejavnost človeka omejena in določena s tema dvema antipodoma in da vse leži med njima. kar je človeštvo ustvarilo na področju znanosti in umetnosti."
G. Neuhaus
Zdi se, da je umetnost zelo abstraktno področje od matematike. Vendar pa je povezava med matematiko in glasbo določena tako zgodovinsko kot notranje, kljub temu, da je matematika najbolj abstraktna znanost, glasba pa najbolj abstraktna oblika umetnosti.
Sozvočje določa prijeten zvok strune
Ta glasbeni sistem je temeljil na dveh zakonih, ki nosita imena dveh velikih znanstvenikov – Pitagore in Arhita. To so zakoni:
1. Dve zveneči struni določata sozvočje, če sta njuni dolžini povezani kot cela števila, ki tvorita trikotno število 10=1+2+3+4, tj. kot 1:2, 2:3, 3:4. Še več, kot manjše število n glede na n:(n+1) (n=1,2,3), bolj soglasen je nastali interval.
2. Frekvenca nihanja w zveneče strune je obratno sorazmerna z njeno dolžino l.
w = a:l,
kjer je a koeficient, ki označuje fizične lastnosti strune.
Ponudil vam bom tudi smešno parodijo o prepiru dveh matematikov =)
Geometrija okoli nas
Geometrija v našem življenju nima majhnega pomena. Zaradi tega, ko se ozrete okoli sebe, ne bo težko opaziti, da nas obdajajo različne geometrijske oblike. Srečujemo jih povsod: na ulici, v razredu, doma, v parku, v telovadnici, v šolski jedilnici, v bistvu kjer koli smo. Toda tema današnje lekcije so sosednji premogi. Poglejmo torej naokoli in poskusimo najti kote v tem okolju. Če natančno pogledate okno, lahko vidite, da nekatere veje dreves tvorijo sosednje vogale, v predelnih stenah na vratih pa lahko vidite veliko navpičnih kotov. Navedite svoje primere sosednjih kotov, ki jih opazujete v svojem okolju.
1. vaja.
1. Na mizi na stojalu za knjige je knjiga. Kakšen kot tvori?
2. Toda študent dela na prenosnem računalniku. Iz katerega kota vidite tukaj?
3. Pod kakšnim kotom tvori okvir za fotografije na stojalo?
4. Ali menite, da je možno, da sta dva sosednja kota enaka?
Naloga 2.
Pred vami je geometrijski lik. Kakšna figura je to, poimenujte jo? Zdaj poimenujte vse sosednje kote, ki jih lahko vidite na tem geometrijskem liku.
Naloga 3.
Tukaj je slika risbe in slike. Pozorno si jih oglejte in mi povejte, katere vrste rib vidite na sliki in iz kakšnih kotov vidite na sliki.
Reševanje problema
1) Dana sta dva kota, ki sta med seboj povezana kot 1: 2, in sosednja kota - kot 7: 5. Te kote morate najti.2) Vemo, da je eden od sosednjih kotov 4-krat večji od drugega. Čemu sta enaka sosednja kota?
3) Treba je najti sosednje kote, pod pogojem, da je eden od njih 10 stopinj večji od drugega.
Matematični narek za ponavljanje že naučene snovi
1) Dokončajte risbo: ravne črte a I b se sekajo v točki A. Manjši od oblikovanih kotov označite s številko 1, preostale kote pa zaporedno s številkami 2,3,4; komplementarna žarka premice a gresta skozi a1 in a2, premica b pa skozi b1 in b2.2) Z dokončano risbo vnesite potrebne pomene in pojasnila v vrzeli v besedilu:
a) kot 1 in kot .... sosednji ker...
b) kot 1 in kot…. navpično, ker...
c) če je kot 1 = 60°, potem je kot 2 = ..., ker...
d) če je kot 1 = 60°, potem je kot 3 = ..., ker...
Reši probleme:
1. Ali je lahko vsota 3 kotov, ki jih tvori presečišče 2 ravnih črt, enaka 100°? 370°?
2. Na sliki poišči vse pare sosednjih kotov. In zdaj navpični koti. Poimenujte te kote.
3. Najti morate kot, ko je trikrat večji od sosednjega.
4. Dve ravni črti sta se sekali. Kot rezultat tega križišča so nastali štirje vogali. Določite vrednost katerega koli od njih, če:
a) vsota 2 kotov od štirih je 84°;
b) razlika med 2 kotoma je 45°;
c) en kot je 4-krat manjši od drugega;
d) vsota treh od teh kotov je 290°.
Povzetek lekcije
1. poimenuj kote, ki nastanejo pri sekanju 2 premic?
2. Poimenuj vse možne pare kotov na sliki in določi njihovo vrsto.
Domača naloga:
1. Poiščite odnos stopenjske mere sosednja kota, kadar je eden od njiju za 54° večji od drugega.
2. Poiščite kote, ki nastanejo, ko se sekata 2 ravni črti, pod pogojem, da je eden od kotov enak vsoti 2 drugih kotov, ki mejijo nanj.
3. Treba je najti sosednja kota, ko simetrala enega od njih tvori s stranico drugega kot, ki je za 60° večji od drugega kota.
4. Razlika med 2 sosednjima kotoma je enaka tretjini vsote teh dveh kotov. Določite vrednosti dveh sosednjih kotov.
5. Razlika in vsota dveh sosednjih kotov sta v razmerju 1:5. Poiščite sosednje kote.
6. Razlika med dvema sosednjima je 25 % njune vsote. Kako sta povezani vrednosti dveh sosednjih kotov? Določite vrednosti dveh sosednjih kotov.
vprašanja:
- Kaj je kot?
- Katere vrste kotov obstajajo?
- Kakšna je lastnost sosednjih kotov?
Vprašanje 1. Katere kote imenujemo sosednji?
Odgovori. Dva kota imenujemo sosednja, če imata eno skupno stranico in sta drugi strani teh kotov komplementarni polpremici.
Na sliki 31 sta kota (a 1 b) in (a 2 b) sosednja. Skupna jima je stranica b, stranici a 1 in a 2 pa sta dodatni polpremici.
2. vprašanje Dokaži, da je vsota sosednjih kotov 180°.
Odgovori. Izrek 2.1. Vsota sosednjih kotov je 180°.
Dokaz. Naj imata kot (a 1 b) in kot (a 2 b) podana sosednja kota (glej sliko 31). Žarek b poteka med stranicama a 1 in a 2 ravnega kota. Zato je vsota kotov (a 1 b) in (a 2 b) enaka razgrnjenemu kotu, to je 180°. Q.E.D.
3. vprašanje Dokaži, da če sta kota enaka, sta enaka tudi sosednja kota.
Odgovori.
Iz izreka 2.1
Iz tega sledi, da če sta dva kota enaka, sta tudi njuna sosednja kota enaka.
Recimo, da sta kota (a 1 b) in (c 1 d) enaka. Dokazati moramo, da sta tudi kota (a 2 b) in (c 2 d) enaka.
Vsota sosednjih kotov je 180°. Iz tega sledi, da je a 1 b + a 2 b = 180° in c 1 d + c 2 d = 180°. Zato je a 2 b = 180° - a 1 b in c 2 d = 180° - c 1 d. Ker sta kota (a 1 b) in (c 1 d) enaka, dobimo, da je a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Iz lastnosti tranzitivnosti enakega znaka sledi a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
4. vprašanje Kateri kot se imenuje pravi (oster, top)?
Odgovori. Kot, ki je enak 90°, imenujemo pravi kot.
Kot, manjši od 90°, imenujemo ostri kot.
Kot, večji od 90° in manjši od 180°, imenujemo top.
5. vprašanje Dokaži, da je kot, ki meji na pravi kot, pravi kot.
Odgovori. Iz izreka o vsoti sosednjih kotov sledi, da je kot, ki meji na pravi kot, pravi kot: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
6. vprašanje Kateri koti se imenujejo navpični?
Odgovori. Dva kota imenujemo navpična, če sta strani enega kota komplementarni polpremici stranic drugega.
7. vprašanje. Dokaži to navpični koti so enaki.
Odgovori. Izrek 2.2. Navpični koti so enaki.
Dokaz. Naj sta (a 1 b 1) in (a 2 b 2) dana navpična kota (slika 34). Kot (a 1 b 2) je sosednji kotu (a 1 b 1) in kotu (a 2 b 2). Od tu z uporabo izreka o vsoti sosednjih kotov sklepamo, da vsak od kotov (a 1 b 1) in (a 2 b 2) dopolnjuje kot (a 1 b 2) na 180°, tj. kota (a 1 b 1) in (a 2 b 2) sta enaka. Q.E.D.
8. vprašanje. Dokaži, da če je pri sekanju dveh premic eden od kotov pravi, potem so tudi ostali trije koti pravi.
Odgovori. Recimo, da se premici AB in CD sekata v točki O. Denimo, da je kot AOD 90°. Ker je vsota sosednjih kotov 180°, dobimo, da je AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Kot COB je navpičen na kot AOD, zato sta enaka. To je kot COB = 90°. Kot COA je navpičen na kot BOD, zato sta enaka. To je kot BOD = 90°. Tako so vsi koti enaki 90°, torej so vsi pravi koti. Q.E.D.
vprašanje 9. Katere premice imenujemo pravokotne? S katerim znakom označujemo pravokotnost črt?
Odgovori. Dve premici pravimo pravokotni, če se sekata pod pravim kotom.
Pravokotnost črt je označena z znakom \(\perp\). Vnos \(a\perp b\) se glasi: "Premica a je pravokotna na premico b."
vprašanje 10. Dokaži, da lahko skozi katero koli točko na premici potegneš premico pravokotno nanjo in samo eno.
Odgovori. Izrek 2.3. Skozi vsako črto lahko narišete črto pravokotno nanjo in samo eno.
Dokaz. Naj bo a dana premica in A dana točka na njej. Z 1 označimo eno od polpremic premice a z izhodiščem A (slika 38). Od polpremice a 1 odštejmo kot (a 1 b 1), ki je enak 90°. Potem bo premica, ki vsebuje žarek b 1, pravokotna na premico a.
Predpostavimo, da obstaja še ena premica, ki prav tako poteka skozi točko A in je pravokotna na premico a. Označimo s c 1 polpremico te premice, ki leži v isti polravnini z žarkom b 1 .
Kota (a 1 b 1) in (a 1 c 1), vsak enak 90°, sta položena v eni polravnini od polpremice a 1. Toda iz polpremice a 1 lahko v dano polravnino postavimo samo en kot, ki je enak 90°. Zato ne more obstajati druga premica, ki bi potekala skozi točko A in bila pravokotna na premico a. Izrek je dokazan.
vprašanje 11. Kaj je pravokotno na premico?
Odgovori. Navpičnica na dano premico je odsek premice, pravokoten na dano premico, katerega konci so na presečišču. Ta konec segmenta se imenuje osnova pravokotno.
vprašanje 12. Pojasnite, iz česa je sestavljen dokaz s protislovjem.
Odgovori. Dokazna metoda, ki smo jo uporabili v izreku 2.3, se imenuje dokaz s protislovjem. Ta metoda dokaza je, da najprej naredimo predpostavko, ki je nasprotna temu, kar navaja izrek. Nato s sklepanjem, opiranjem na aksiome in dokazane izreke pridemo do zaključka, ki je v nasprotju bodisi s pogoji izreka bodisi z enim od aksiomov ali s predhodno dokazanim izrekom. Na podlagi tega sklepamo, da je bila naša predpostavka napačna, zato trditev izreka drži.
vprašanje 13. Kaj je simetrala kota?
Odgovori. Simetrala kota je žarek, ki izhaja iz vrha kota, poteka med njegovimi stranicami in deli kot na pol.
Koti, pri katerih je ena stranica skupna, druge stranice pa ležijo na isti premici (na sliki sta kota 1 in 2 sosednja). riž. k čl. Sosednji koti... Velika sovjetska enciklopedija
SOSEDNJI VOGALI- koti, ki imajo skupno oglišče in eno skupno stranico, drugi dve stranici pa ležita na isti premici... Velika politehnična enciklopedija
Glej kot ... Velik enciklopedični slovar
SOSEDNJA KOTNIKA, dva kota, katerih vsota je 180°. Vsak od teh kotov se dopolnjuje do polnega kota... Znanstveni in tehnični enciklopedični slovar
Glej Kot. * * * SOSEDNJI VOGALI SOSEDNJI VOGALI, glej Kot (glej KOT) ... enciklopedični slovar
- (Sosednji koti) tisti, ki imajo skupno oglišče in skupno stranico. Večinoma se to ime nanaša na takšne C. kote, katerih drugi dve strani ležita v nasprotnih smereh ene ravne črte, narisane skozi vrh ... Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Efron
Glej kot ... Naravoslovje. enciklopedični slovar
Dve ravni črti se sekata, da ustvarita par navpičnih kotov. En par sestavljata kota A in B, drugi pa C in D. V geometriji dva kota imenujemo navpična, če nastaneta s presečiščem dveh ... Wikipedia
Par komplementarnih kotov, ki se dopolnjujeta do 90 stopinj Komplementarni koti so pari kotov, ki se dopolnjujeta do 90 stopinj. Če sta dva komplementarna kota sosednja (tj. imata skupno oglišče in sta ločena le... ... Wikipedia
Par komplementarnih kotov, ki se dopolnjujeta do 90 stopinj. Komplementarni koti so pari kotov, ki se dopolnjujeta do 90 stopinj. Če sta dva komplementarna kota z... Wikipedia
knjige
- O dokazu v geometriji, A. I. Fetisov Ta knjiga bo izdelana v skladu z vašim naročilom s tehnologijo Print-on-Demand. Nekoč, na samem začetku šolsko leto, moral sem slišati pogovor med dvema dekletoma. Najstarejši med njimi ...
- Obsežen zvezek za kontrolo znanja. Geometrija. 7. razred. Zvezni državni izobraževalni standard, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. V priročniku so predstavljena kontrolno-merilna gradiva (KM) iz geometrije za izvajanje tekočega, tematskega in zaključnega preverjanja kakovosti znanja učencev 7. razreda. Vsebina priročnika ...
