Na vyriešenie niektorých problémov bude užitočná tabuľka trigonometrických identít, ktorá výrazne uľahčí transformáciu funkcií:

Najjednoduchšie trigonometrické identity

Podiel delenia sínusu uhla alfa kosínusom toho istého uhla sa rovná tangente tohto uhla (vzorec 1). Pozri aj dôkaz o správnosti transformácie najjednoduchších goniometrických identít.
Podiel delenia kosínusu uhla alfa sínusom toho istého uhla sa rovná kotangensu toho istého uhla (vzorec 2)
Sekans uhla sa rovná jednému vydelenému kosínusom toho istého uhla (vzorec 3)
Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu rovnakého uhla sa rovná jednej (vzorec 4). pozri aj dôkaz súčtu druhých mocnín kosínusu a sínusu.
Súčet jednej a dotyčnice uhla sa rovná pomeru jedna ku druhej mocnine kosínusu tohto uhla (vzorec 5)
Jedna plus kotangens uhla sa rovná podielu jednej delenej druhou mocninou tohto uhla (vzorec 6)
Súčin tangens a kotangens toho istého uhla sa rovná jednej (vzorec 7).

Prevod záporných uhlov goniometrických funkcií (párne a nepárne)

Aby ste sa zbavili zápornej hodnoty miera stupňa uhla pri výpočte sínusu, kosínusu alebo tangensu môžete použiť nasledujúce goniometrické transformácie (identity) založené na princípoch párnych alebo nepárnych goniometrických funkcií.

Ako je vidieť, kosínus a sekanta je dokonca funkciu , sínus, tangens a kotangens sú nepárne funkcie.

Sínus záporného uhla sa rovná záporná hodnota sínus rovnakého kladného uhla (mínus sínus alfa).
Kosínus mínus alfa poskytne rovnakú hodnotu ako kosínus uhla alfa.
Tangenta mínus alfa sa rovná mínus dotyčnica alfa.

Vzorce na zmenšenie dvojitých uhlov (sínus, kosínus, tangens a kotangens dvojitých uhlov)

Ak potrebujete rozdeliť uhol na polovicu alebo naopak, presunúť sa z dvojitého uhla na jeden uhol, môžete použiť nasledujúce trigonometrické identity:

Konverzia dvojitého uhla (sínus dvojitého uhla, kosínus dvojitého uhla a tangens dvojitého uhla) v jedinom nastáva tým dodržiavanie pravidiel:

Sínus dvojitého uhla rovná dvojnásobku súčinu sínusu a kosínusu jedného uhla

Kosínus dvojitého uhla rovná rozdielu medzi druhou mocninou kosínusu jednoduchého uhla a druhou mocninou sínusu tohto uhla

Kosínus dvojitého uhla rovná dvojnásobku druhej mocniny kosínusu jedného uhla mínus jedna

Kosínus dvojitého uhla rovná jednému mínus dvojitému sínusu na druhú mocninu jednoduchého uhla

Tangenta dvojitého uhla sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je dvojnásobkom dotyčnice jedného uhla a menovateľ sa rovná jednej mínus druhá mocnina dotyčnice jediného uhla.

Kotangens dvojitého uhla sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je druhá mocnina kotangensu jedného uhla mínus jedna a menovateľ sa rovná dvojnásobku kotangensu jedného uhla

Vzorce pre univerzálnu trigonometrickú substitúciu

Nižšie uvedené prevodné vzorce môžu byť užitočné, keď potrebujete vydeliť argument goniometrickej funkcie (sin α, cos α, tan α) dvomi a zmenšiť výraz na hodnotu polovice uhla. Z hodnoty α získame α/2.

Tieto vzorce sú tzv vzorce univerzálnej goniometrickej substitúcie. Ich hodnota spočíva v tom, že pomocou nich sa trigonometrický výraz redukuje na vyjadrenie tangens polovice uhla, bez ohľadu na to, aké goniometrické funkcie (sin cos tan ctg) boli pôvodne vo výraze. Potom je oveľa jednoduchšie vyriešiť rovnicu s dotyčnicou polovice uhla.

Trigonometrické identity pre transformácie s polovičným uhlom

Nasledujú vzorce na trigonometrický prevod polovice uhla na jeho celú hodnotu.
Hodnota argumentu goniometrickej funkcie α/2 sa zníži na hodnotu argumentu goniometrickej funkcie α.

Trigonometrické vzorce na sčítanie uhlov

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangent a kotangens súčtu uhlov alfa a beta je možné konvertovať pomocou nasledujúcich pravidiel na prevod goniometrických funkcií:

Tangent súčtu uhlov sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je súčtom dotyčnice prvého a dotyčnice druhého uhla a menovateľ je jedna mínus súčin dotyčnice prvého uhla a dotyčnice druhého uhla.

Tangenta rozdielu uhla sa rovná zlomku, ktorého čitateľ sa rovná rozdielu medzi dotyčnicou uhla, ktorý sa zmenšuje, a dotyčnicou uhla, ktorý sa odčítava, a menovateľ je jedna plus súčin dotyčníc týchto uhlov.

Kotangens súčtu uhlov sa rovná zlomku, ktorého čitateľ sa rovná súčinu kotangens týchto uhlov plus jedna, a menovateľ sa rovná rozdielu kotangensu druhého uhla a kotangensu prvého uhla.

Kotangens rozdielu uhla sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je súčin kotangens týchto uhlov mínus jedna, a menovateľ rovná súčtu kotangens týchto uhlov.

Tieto trigonometrické identity sú vhodné na použitie, keď potrebujete vypočítať napríklad tangens 105 stupňov (tg 105). Ak to predstavíte ako tg (45 + 60), potom môžete použiť dané identické premeny tangens súčtu uhlov, potom jednoducho dosaďte tabuľkové hodnoty tangens 45 a tangens 60 stupňov.

Vzorce na prevod súčtu alebo rozdielu goniometrických funkcií

Výrazy predstavujúce súčet tvaru sin α + sin β možno transformovať pomocou nasledujúcich vzorcov:

Vzorce s trojitým uhlom – prevod sin3α cos3α tan3α na sinα cosα tanα

Niekedy je potrebné transformovať trojitú hodnotu uhla tak, aby argumentom goniometrickej funkcie bol uhol α namiesto 3α.
V tomto prípade môžete použiť vzorce transformácie troch uhlov (identít):

Vzorce na prevod súčinov goniometrických funkcií

Ak je potrebné transformovať súčin sínusov rôznych uhlov, kosínusov rôznych uhlov alebo dokonca súčin sínusov a kosínusov, môžete použiť nasledujúce trigonometrické identity:


V tomto prípade sa súčin funkcií sínus, kosínus alebo tangens rôznych uhlov prevedie na súčet alebo rozdiel.

Vzorce na redukciu goniometrických funkcií

Redukčnú tabuľku musíte použiť nasledovne. V riadku vyberieme funkciu, ktorá nás zaujíma. V stĺpci je uhol. Napríklad sínus uhla (α+90) v priesečníku prvého riadku a prvého stĺpca zistíme, že sin (α+90) = cos α.

Ako nájsť sínus?

Štúdium geometrie pomáha rozvíjať myslenie. Tento predmet je nevyhnutne zahrnutý do školskej prípravy. V bežnom živote môžu byť znalosti z tohto predmetu užitočné – napríklad pri plánovaní bytu.

Z histórie

Súčasťou kurzu geometrie je aj trigonometria, ktorá študuje goniometrické funkcie. V trigonometrii študujeme sínusy, kosínusy, dotyčnice a kotangensy uhlov.

Ale na tento moment Začnime tým najjednoduchším – sínusoidom. Pozrime sa bližšie na úplne prvý koncept - sínus uhla v geometrii. Čo je sínus a ako ho nájsť?

Pojem „sínusový uhol“ a sínusoidy

Sínus uhla je pomer hodnôt opačnej strany a prepony pravouhlého trojuholníka. Toto je priama goniometrická funkcia, ktorá je napísaná ako „sin (x)“, kde (x) je uhol trojuholníka.

Na grafe je sínus uhla označený sínusovou vlnou s vlastnými charakteristikami. Sínusová vlna vyzerá ako súvislá vlnovka, ktorá leží v určitých medziach na rovine súradníc. Funkcia je nepárna, preto je symetrická okolo 0 na rovine súradníc (vychádza z počiatku súradníc).

Oblasť definície tejto funkcie leží v rozsahu od -1 do +1 na karteziánskom súradnicovom systéme. Perióda funkcie sínusového uhla je 2 Pi. To znamená, že každé 2 Pi sa vzor opakuje a sínusová vlna prechádza celým cyklom.

Sínusová rovnica

• hriech x = a/c
• kde a je rameno opačné k uhlu trojuholníka
• c - prepona pravouhlého trojuholníka

Vlastnosti sínusu uhla

1. sin(x) = - sin(x). Táto funkcia demonštruje, že funkcia je symetrická a ak sú hodnoty x a (-x) vynesené v súradnicovom systéme v oboch smeroch, súradnice týchto bodov budú opačné. Budú od seba v rovnakej vzdialenosti.
2. Ďalšou vlastnosťou tejto funkcie je, že graf funkcie sa zväčšuje na segmente [- P/2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], kde n je ľubovoľné celé číslo. Pokles v grafe sínusu uhla bude pozorovaný na segmente: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn].
3. sin(x) > 0, keď je x v rozsahu (2Пn, П + 2Пn)
4. (X)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Hodnoty sínusov uhla sa určujú pomocou špeciálnych tabuliek. Takéto tabuľky boli vytvorené na uľahčenie procesu výpočtu zložitých vzorcov a rovníc. Ľahko sa používa a obsahuje nielen hodnoty funkcie sin(x), ale aj hodnoty ďalších funkcií.

Okrem toho je tabuľka štandardných hodnôt týchto funkcií zahrnutá do štúdie povinnej pamäte, ako je tabuľka násobenia. To platí najmä pre triedy s fyzickým a matematickým zaujatím. V tabuľke môžete vidieť hodnoty hlavných uhlov používaných v trigonometrii: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 a 360 stupňov.

K dispozícii je tiež tabuľka definujúca hodnoty goniometrických funkcií neštandardných uhlov. Pomocou rôznych tabuliek môžete jednoducho vypočítať sínus, kosínus, tangens a kotangens niektorých uhlov.

Rovnice sa vytvárajú pomocou goniometrických funkcií. Riešenie týchto rovníc je jednoduché, ak poznáte jednoduché goniometrické identity a redukcie funkcií, napríklad sin (P/2 + x) = cos (x) a iné. Pre takéto zníženia bola zostavená aj samostatná tabuľka.

Ako nájsť sínus uhla

Keď je úlohou nájsť sínus uhla a podľa podmienky máme len kosínus, tangens alebo kotangens uhla, môžeme pomocou trigonometrických identít jednoducho vypočítať, čo potrebujeme.

• hriech 2 x + cos 2 x = 1

Z tejto rovnice môžeme nájsť sínus aj kosínus, podľa toho, ktorá hodnota je neznáma. Dostaneme goniometrickú rovnicu s jednou neznámou:

• hriech 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• postieľka 2 x + 1 = 1 / hriech 2 x

Z tejto rovnice môžete nájsť hodnotu sínusu, pričom poznáte hodnotu kotangens uhla. Pre zjednodušenie nahraďte sin 2 x = y a máte jednoduchú rovnicu. Napríklad hodnota kotangens je 1, potom:

• 1 + 1 = 1/rok
• 2 = 1/r
• 2u = 1
• y = 1/2

Teraz vykonáme opačnú výmenu prehrávača:

• hriech 2 x = ½
• hriech x = 1 / √2

Keďže sme vzali hodnotu kotangens pre štandardný uhol (45 0), získané hodnoty je možné skontrolovať v tabuľke.

Ak dostanete tangensovú hodnotu a potrebujete nájsť sínus, pomôže vám iná trigonometrická identita:

• tg x * ctg x = 1

Z toho vyplýva, že:

• detská postieľka x = 1 / opálenie x

Aby ste našli sínus neštandardného uhla, napríklad 240 0, musíte použiť vzorce na zníženie uhla. Vieme, že π zodpovedá 180 0. Svoju rovnosť teda vyjadrujeme pomocou štandardných uhlov expanziou.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Potrebujeme nájsť nasledovné: hriech (180 0 + 60 0). V trigonometrii existujú redukčné vzorce, ktoré v tomto prípade príde vhod. Toto je vzorec:

• sin (π + x) = - sin (x)

Sínus uhla 240 stupňov sa teda rovná:

• hriech (180 0 + 60 0) = - hriech (60 0) = - √3/2

V našom prípade x = 60 a P 180 stupňov. Hodnotu (-√3/2) sme našli z tabuľky hodnôt funkcií štandardných uhlov.

Týmto spôsobom je možné rozšíriť neštandardné uhly, napríklad: 210 = 180 + 30.

Základné trigonometrické vzorce sú vzorce, ktoré vytvárajú spojenia medzi základnými goniometrickými funkciami. Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú vzájomne prepojené mnohými vzťahmi. Nižšie uvádzame hlavné trigonometrické vzorce a pre pohodlie ich zoskupíme podľa účelu. Pomocou týchto vzorcov môžete vyriešiť takmer akýkoľvek problém zo štandardného kurzu trigonometrie. Okamžite si všimnime, že nižšie sú len samotné vzorce a nie ich záver, o ktorom sa bude diskutovať v samostatných článkoch.

Základné identity trigonometrie

Trigonometrické identity poskytujú vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla, čo umožňuje, aby sa jedna funkcia vyjadrila v podmienkach inej.

Trigonometrické identity

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 2 = 1 sin α

Tieto identity vyplývajú priamo z definícií jednotkového kruhu, sínus (sin), kosínus (cos), tangens (tg) a kotangens (ctg).

Redukčné vzorce

Redukčné vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými a ľubovoľne veľkými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od 0 do 90 stupňov.

Redukčné vzorce

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cosα π - . + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α, c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Redukčné vzorce sú dôsledkom periodicity goniometrických funkcií.

Goniometrické sčítacie vzorce

Sčítacie vzorce v trigonometrii umožňujú vyjadriť goniometrickú funkciu súčtu alebo rozdielu uhlov pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov.

Goniometrické sčítacie vzorce

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin α t g . ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Na základe sčítacích vzorcov sú odvodené trigonometrické vzorce pre viaceré uhly.

Vzorce pre viac uhlov: dvojitý, trojitý atď.

Vzorce s dvojitým a trojitým uhlom

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α s t g 2 α = s t g 2 α - 1 2 · s t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 . = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Vzorce polovičného uhla

Poluhlové vzorce v trigonometrii sú dôsledkom dvojuhlových vzorcov a vyjadrujú vzťah medzi základnými funkciami polovičného uhla a kosínusu celého uhla.

Vzorce polovičného uhla

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Vzorce na zníženie stupňa

Vzorce na zníženie stupňa

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Pri výpočtoch je často nepohodlné pracovať s ťažkopádnymi právomocami. Vzorce na zníženie stupňa vám umožňujú znížiť stupeň goniometrickej funkcie z ľubovoľne veľkého na prvý. Tu je ich všeobecný pohľad:

Všeobecný pohľad na vzorce znižovania stupňov

pre párne n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = Cn 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

za nepárne n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Rozdiel a súčet goniometrických funkcií možno znázorniť ako súčin. Faktorovanie rozdielov sínusov a kosínusov je veľmi výhodné pri riešení goniometrických rovníc a zjednodušení výrazov.

Súčet a rozdiel goniometrických funkcií

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - 2 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Súčin goniometrických funkcií

Ak vzorce pre súčet a rozdiel funkcií umožňujú prejsť k ich súčinu, potom vzorce súčinu goniometrických funkcií vykonávajú spätný prechod - od súčinu k súčtu. Do úvahy sa berú vzorce pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínu.

Vzorce na súčin goniometrických funkcií

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Univerzálna trigonometrická substitúcia

Všetky základné goniometrické funkcie - sínus, kosínus, tangens a kotangens - možno vyjadriť pomocou tangens polovičného uhla.

Univerzálna trigonometrická substitúcia

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 α - t g 2 2 t g α 2

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií

Poznámka. Táto tabuľka hodnôt goniometrických funkcií používa na označenie znak √ odmocnina. Na označenie zlomku použite symbol "/".

pozri tiež užitočné materiály:

Pre určenie hodnoty goniometrickej funkcie, nájdite ho na priesečníku priamky označujúcej goniometrickú funkciu. Napríklad sínus 30 stupňov - hľadáme stĺpec s nadpisom sin (sínus) a nájdeme priesečník tohto stĺpca tabuľky s riadkom „30 stupňov“, na ich priesečníku čítame výsledok - jednu polovicu. Podobne nájdeme kosínus 60 stupne, sínus 60 stupňov (ešte raz, na priesečníku stĺpca sin a 60 stupňovej čiary nájdeme hodnotu sin 60 = √3/2) atď. Hodnoty sínusov, kosínusov a dotyčníc iných „populárnych“ uhlov sa nachádzajú rovnakým spôsobom.

Sínus pí, kosínus pí, tangens pí a ďalšie uhly v radiánoch

Nižšie uvedená tabuľka kosínusov, sínusov a dotyčníc je vhodná aj na nájdenie hodnoty goniometrických funkcií, ktorých argument je udáva sa v radiánoch. Na tento účel použite druhý stĺpec hodnôt uhla. Vďaka tomu môžete previesť hodnotu obľúbených uhlov zo stupňov na radiány. Napríklad nájdime v prvom riadku uhol 60 stupňov a pod ním odčítajme jeho hodnotu v radiánoch. 60 stupňov sa rovná π/3 radiánov.

Číslo pí jednoznačne vyjadruje závislosť obvodu od stupňovitej miery uhla. Pi radiány sa teda rovnajú 180 stupňom.

Akékoľvek číslo vyjadrené v pi (radiánoch) možno ľahko previesť na stupne nahradením pi (π) 180.

Príklady:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
teda sínus pi je rovnaký ako sínus 180 stupňov a rovná sa nule.

2. Kosínus pí.
cos π = cos 180 = -1
teda kosínus pí je rovnaký ako kosínus 180 stupňov a rovná sa mínus jedna.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
teda dotyčnica pi je rovnaká ako dotyčnica 180 stupňov a rovná sa nule.

Tabuľka hodnôt sínusu, kosínusu, dotyčnice pre uhly 0 - 360 stupňov (bežné hodnoty)

hodnota uhla α (stupne)	hodnota uhla α v radiánoch (cez pi)	hriech (sinus)	cos (kosínus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)	sek (sekant)	cosec (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ak je v tabuľke hodnôt goniometrických funkcií namiesto funkčnej hodnoty uvedená pomlčka (tangens (tg) 90 stupňov, kotangens (ctg) 180 stupňov), potom pre danú hodnotu miery uhla je funkcia nemá konkrétnu hodnotu. Ak tam nie je pomlčka, bunka je prázdna, čo znamená, že sme ešte nezadali požadovanú hodnotu. Zaujíma nás, na aké dotazy k nám používatelia chodia a dopĺňame tabuľku o nové hodnoty, napriek tomu, že aktuálne údaje o hodnotách kosínusov, sínusov a dotyčníc najbežnejších hodnôt uhlov úplne postačujú na vyriešenie väčšiny problémy.

Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií sin, cos, tg pre najobľúbenejšie uhly
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupňov
(numerické hodnoty „podľa tabuliek Bradis“)

hodnota uhla α (stupne)	hodnota uhla α v radiánoch	hriech (sine)	cos (kosínus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Pojmy sínus, kosínus, tangens a kotangens sú hlavné kategórie trigonometrie, odvetvia matematiky, a sú neoddeliteľne spojené s definíciou uhla. Zvládnutie tejto matematickej vedy si vyžaduje zapamätanie a pochopenie vzorcov a teorém, ako aj rozvinuté priestorové myslenie. To je dôvod, prečo trigonometrické výpočty často spôsobujú ťažkosti školákom a študentom. Aby ste ich prekonali, mali by ste sa lepšie oboznámiť s goniometrickými funkciami a vzorcami.

Pojmy v trigonometrii

Aby ste pochopili základné pojmy trigonometrie, musíte najprv pochopiť, čo je pravouhlý trojuholník a uhol v kruhu a prečo sú s nimi spojené všetky základné trigonometrické výpočty. Trojuholník, v ktorom jeden z uhlov meria 90 stupňov, je pravouhlý. Historicky túto postavu často používali ľudia v architektúre, navigácii, umení a astronómii. V súlade s tým ľudia skúmaním a analýzou vlastností tohto čísla dospeli k výpočtu zodpovedajúcich pomerov jeho parametrov.

Hlavné kategórie spojené s pravouhlými trojuholníkmi sú prepona a nohy. Prepona - opačná strana trojuholníka pravý uhol. Nohy sú zvyšné dve strany. Súčet uhlov ľubovoľných trojuholníkov je vždy 180 stupňov.

Sférická trigonometria je časť trigonometrie, ktorá sa v škole neštuduje, ale v aplikovaných vedách, ako je astronómia a geodézia, ju vedci používajú. Zvláštnosťou trojuholníka v sférickej trigonometrii je, že má vždy súčet uhlov väčší ako 180 stupňov.

Uhly trojuholníka

V pravouhlom trojuholníku je sínus uhla pomer nohy oproti požadovanému uhlu k prepone trojuholníka. V súlade s tým je kosínus pomer susednej vetvy a prepony. Obe tieto hodnoty majú vždy hodnotu menšiu ako jedna, pretože prepona je vždy dlhšia ako noha.

Tangenta uhla je hodnota rovnajúca sa pomeru protiľahlej strany k susednej strane požadovaného uhla alebo sínusu ku kosínusu. Kotangens je zase pomer priľahlej strany požadovaného uhla k opačnej strane. Kotangens uhla možno získať aj delením jedného hodnotou dotyčnice.

Jednotkový kruh

Jednotková kružnica v geometrii je kružnica, ktorej polomer sa rovná jednej. Takáto kružnica je zostrojená v karteziánskom súradnicovom systéme, pričom stred kružnice sa zhoduje s počiatočným bodom a počiatočná poloha vektora polomeru je určená pozdĺž kladného smeru osi X (os úsečka). Každý bod na kružnici má dve súradnice: XX a YY, teda súradnice úsečky a ordináty. Výberom ľubovoľného bodu na kružnici v rovine XX a pustením kolmice z nej na os x získame pravouhlý trojuholník tvorený polomerom k vybranému bodu (označený písmenom C), kolmica nakreslená na os X (priesečník je označený písmenom G) a úsečka os úsečky medzi počiatkom (bod je označený písmenom A) a priesečníkom G. Výsledný trojuholník ACG je pravouhlý trojuholník vpísaný do kruhu, kde AG je prepona a AC a GC sú nohy. Uhol medzi polomerom kružnice AC a segmentom osi x s označením AG je definovaný ako α (alfa). Takže, cos α = AG/AC. Ak vezmeme do úvahy, že AC je polomer jednotkovej kružnice a rovná sa jednej, ukáže sa, že cos α=AG. Rovnako aj hriech α=CG.

Okrem toho, ak poznáte tieto údaje, môžete určiť súradnicu bodu C na kruhu, pretože cos α=AG a sin α=CG, čo znamená, že bod C má dané súradnice (cos α;sin α). Keď vieme, že dotyčnica sa rovná pomeru sínusu ku kosínusu, môžeme určiť, že tan α = y/x a cot α = x/y. Zohľadnením uhlov v zápornom súradnicovom systéme môžete vypočítať, že sínusové a kosínusové hodnoty niektorých uhlov môžu byť záporné.

Výpočty a základné vzorce

Hodnoty goniometrickej funkcie

Po zvážení podstaty goniometrických funkcií cez jednotkový kruh môžeme odvodiť hodnoty týchto funkcií pre niektoré uhly. Hodnoty sú uvedené v tabuľke nižšie.

Najjednoduchšie trigonometrické identity

Rovnice, v ktorých je pod znamienkom goniometrickej funkcie neznáma hodnota, sa nazývajú trigonometrické. Totožnosti s hodnotou sin x = α, k - ľubovoľné celé číslo:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. hriech x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, žiadne riešenia.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, žiadne riešenia.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arktan α + πk.

Totožnosti s hodnotou ctg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. detská postieľka x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Redukčné vzorce

Táto kategória konštantné vzorce označuje metódy, pomocou ktorých môžete prejsť z goniometrických funkcií formulára na funkcie argumentu, to znamená znížiť sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla ľubovoľnej hodnoty na zodpovedajúce ukazovatele uhla intervalu od 0 do 90 stupňov pre väčšie pohodlie pri výpočtoch.

Vzorce na redukciu funkcií pre sínus uhla vyzerajú takto:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = hriech α.

Pre kosínus uhla:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + a) = -cos a;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Použitie vyššie uvedených vzorcov je možné pri dodržaní dvoch pravidiel. Po prvé, ak možno uhol znázorniť ako hodnotu (π/2 ± a) alebo (3π/2 ± a), hodnota funkcie sa zmení:

• od hriechu k cos;
• od cos k hriechu;
• od tg do ctg;
• z ctg do tg.

Hodnota funkcie zostáva nezmenená, ak možno uhol znázorniť ako (π ± a) alebo (2π ± a).

Po druhé, znamienko zníženej funkcie sa nemení: ak bolo pôvodne pozitívne, tak to zostane. To isté s negatívnymi funkciami.

Sčítacie vzorce

Tieto vzorce vyjadrujú hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens súčtu a rozdielu dvoch uhlov natočenia prostredníctvom ich trigonometrických funkcií. Typicky sú uhly označené ako α a β.

Vzorce vyzerajú takto:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Tieto vzorce platia pre všetky uhly α a β.

Vzorce s dvojitým a trojitým uhlom

Goniometrické vzorce s dvojitým a trojitým uhlom sú vzorce, ktoré spájajú funkcie uhlov 2α a 3α s goniometrickými funkciami uhla α. Odvodené zo sčítacích vzorcov:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Prechod od sumy k produktu

Ak vezmeme do úvahy, že 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), zjednodušením tohto vzorca dostaneme identitu sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobne sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Prechod od produktu k sume

Tieto vzorce vyplývajú z identít prechodu sumy na súčin:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα* cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Vzorce na zníženie stupňa

V týchto identitách môžu byť druhé mocniny a kubické mocniny sínusu a kosínusu vyjadrené ako sínus a kosínus prvej mocniny viacnásobného uhla:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 a = (1 + cos2a)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzálna náhrada

Vzorce pre univerzálnu goniometrickú substitúciu vyjadrujú goniometrické funkcie v zmysle tangens polovičného uhla.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), pričom x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• detská postieľka x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), pričom x = π + 2πn.

Špeciálne prípady

Špeciálne prípady najjednoduchších goniometrických rovníc sú uvedené nižšie (k je akékoľvek celé číslo).

Podiely pre sínus:

Hodnota hriechu x	x hodnota
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk alebo 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk alebo -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk alebo 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk alebo -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk alebo 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk alebo -2π/3 + 2πk

Podiely pre kosínus:

hodnota cos x	x hodnota
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Podiely pre tangens:

hodnota tg x	x hodnota
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Podiely pre kotangens:

hodnota ctg x	x hodnota
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Vety

Sínusová veta

Existujú dve verzie vety - jednoduchá a rozšírená. Jednoduchá sínusová veta: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tomto prípade sú a, b, c strany trojuholníka a α, β, γ sú opačné uhly.

Rozšírená sínusová veta pre ľubovoľný trojuholník: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V tejto identite R označuje polomer kružnice, do ktorej je daný trojuholník vpísaný.

Kosínusová veta

Identita sa zobrazí nasledovne: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Vo vzorci sú a, b, c strany trojuholníka a α je uhol opačný k strane a.

Tangentová veta

Vzorec vyjadruje vzťah medzi dotyčnicami dvoch uhlov a dĺžkou strán proti nim. Strany sú označené a, b, c a zodpovedajúce opačné uhly sú α, β, γ. Vzorec tangentovej vety: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotangensová veta

Spája polomer kruhu vpísaného do trojuholníka s dĺžkou jeho strán. Ak a, b, c sú strany trojuholníka a A, B, C sú uhly oproti nim, r je polomer vpísanej kružnice a p je polobvod trojuholníka: identity sú platné:

• detská postieľka A/2 = (p-a)/r;
• detská postieľka B/2 = (p-b)/r;
• detská postieľka C/2 = (p-c)/r.

Aplikácia

Trigonometria nie je len teoretická veda spojená s matematickými vzorcami. Jeho vlastnosti, vety a pravidlá využívajú v praxi rôzne odvetvia ľudskej činnosti – astronómia, letecká a námorná navigácia, hudobná teória, geodézia, chémia, akustika, optika, elektronika, architektúra, ekonómia, strojárstvo, meračské práce, počítačová grafika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika, inžinierstvo kartografia, oceánografia a mnohé iné.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné pojmy trigonometrie, pomocou ktorých možno matematicky vyjadriť vzťahy medzi uhlami a dĺžkami strán v trojuholníku a pomocou identít, teorémov a pravidiel nájsť požadované veličiny.