Ako skontrolovať paritu funkcie. Ako identifikovať párne a nepárne funkcie

Ktoré vám boli do istej miery povedomé. Bolo tam tiež poznamenané, že zásoba funkčných vlastností sa bude postupne dopĺňať. V tejto časti sa budú diskutovať o dvoch nových vlastnostiach.

Definícia 1.

Funkcia y = f(x), x є X sa volá aj vtedy, ak pre ľubovoľnú hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) = f (x).

Definícia 2.

Funkcia y = f(x), x є X sa nazýva nepárna, ak pre ľubovoľnú hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) = -f (x).

Dokážte, že y = x 4 je párna funkcia.

Riešenie. Máme: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ale (-x) 4 = x 4. To znamená, že pre ľubovoľné x platí rovnosť f(-x) = f(x), t.j. funkcia je párna.

Podobne sa dá dokázať, že funkcie y - x 2, y = x 6, y - x 8 sú párne.

Dokážte, že y = x 3 ~ nepárna funkcia.

Riešenie. Máme: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3. To znamená, že pre ľubovoľné x platí rovnosť f (-x) = -f (x), t.j. funkcia je nepárna.

Podobne sa dá dokázať, že funkcie y = x, y = x 5, y = x 7 sú nepárne.

O tom, že nové pojmy v matematike majú najčastejšie „pozemský“ pôvod, t.j. dajú sa nejako vysvetliť. To je prípad párnych aj nepárnych funkcií. Pozri: y - x 3, y = x 5, y = x 7 sú nepárne funkcie, zatiaľ čo y = x 2, y = x 4, y = x 6 sú párne funkcie. A vo všeobecnosti pre akúkoľvek funkciu tvaru y = x" (nižšie budeme konkrétne študovať tieto funkcie), kde n je prirodzené číslo, môžeme dospieť k záveru: ak n nie je párne číslo, potom funkcia y = x" je nepárna; ak je n párne číslo, potom funkcia y = xn je párna.

Existujú aj funkcie, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takou je napríklad funkcia y = 2x + 3. Skutočne, f(1) = 5 a f (-1) = 1. Ako vidíte, tu teda ani identita f(-x) = f (x), ani identitu f(-x) = -f(x).

Takže funkcia môže byť párna, nepárna alebo žiadna.

Štúdium otázky, či túto funkciu párne alebo nepárne sa zvyčajne nazýva štúdium funkcie pre paritu.

Definície 1 a 2 sa týkajú hodnôt funkcie v bodoch x a -x. To predpokladá, že funkcia je definovaná v bode x aj v bode -x. To znamená, že bod -x patrí do definičného oboru funkcie súčasne s bodom x. Ak číslo nastavené X spolu s každým svojim prvkom x obsahuje aj opačný prvok -x, potom sa X nazýva symetrická množina. Povedzme, že (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sú symetrické množiny, zatiaľ čo \).

Keďže \(x^2\geqslant 0\) , potom je ľavá strana rovnice (*) väčšia alebo rovná \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Rovnosť (*) teda môže platiť iba vtedy, keď sa obe strany rovnice rovnajú \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A to znamená, že \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Preto nám vyhovuje hodnota \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

odpoveď:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Úloha 2 #3923

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každú z nich je graf funkcie \

symetrické podľa pôvodu.

Ak je graf funkcie symetrický podľa počiatku, potom je takáto funkcia nepárna, to znamená, že \(f(-x)=-f(x)\) platí pre ľubovoľné \(x\) z definičného oboru. funkcie. Preto je potrebné nájsť tie hodnoty parametrov, pre ktoré \(f(-x)=-f(x).\)

\[\začiatok(zarovnané) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(zarovnané)\]

Posledná rovnica musí byť splnená pre všetky \(x\) z oblasti \(f(x)\), preto, \(\sin(2\pi a)=0 \šípka doprava a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

odpoveď:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Úloha 3 #3069

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každé z nich má rovnica \ 4 riešenia, kde \(f\) je párna periodická funkcia s periódou \(T=\dfrac(16)3\) definované na celej číselnej osi a \(f(x)=ax^2\) pre \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Úloha od predplatiteľov)

Keďže \(f(x)\) je párna funkcia, jej graf je symetrický okolo ordinátnej osi, teda keď \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Teda kedy \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) a toto je segment dĺžky \(\dfrac(16)3\) , funkcia \(f(x)=ax^2\) .

1) Nech \(a>0\) . Potom bude graf funkcie \(f(x)\) vyzerať takto:


Potom, aby rovnica mala 4 riešenia, je potrebné, aby graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) prechádzal bodom \(A\) :


teda \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\koniec (zarovnané)\koniec (zhromaždené)\vpravo. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(zarovnané) \end( zhromaždené)\vpravo.\] Keďže \(a>0\) , potom je vhodné \(a=\dfrac(18)(23)\).

2) Nechajte \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Je potrebné, aby graf \(g(x)\) prechádzal bodom \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(zarovnané) \end(zhromaždené)\vpravo.\] Keďže \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Prípad, keď \(a=0\) nie je vhodný, odvtedy \(f(x)=0\) pre všetky \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) a rovnica bude mať iba 1 koreň.

odpoveď:

\(a\v \vľavo\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\vpravo\)\)

Úloha 4 #3072

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite všetky hodnoty \(a\) , pre každú z nich platí rovnica \

má aspoň jeden koreň.

(Úloha od predplatiteľov)

Prepíšme rovnicu do tvaru \ a zvážte dve funkcie: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) a \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Funkcia \(g(x)\) je párna a má minimálny bod \(x=0\) (a \(g(0)=49\) ).
Funkcia \(f(x)\) pre \(x>0\) je klesajúca a pre \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
V skutočnosti, keď \(x>0\) sa druhý modul otvorí kladne (\(|x|=x\) ), preto bez ohľadu na to, ako sa otvorí prvý modul, \(f(x)\) bude rovnaký na \( kx+A\) , kde \(A\) je výraz \(a\) a \(k\) sa rovná buď \(-9\) alebo \(-3\) . Keď \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Nájdite hodnotu \(f\) v maximálnom bode: \

Aby rovnica mala aspoň jedno riešenie, je potrebné, aby grafy funkcií \(f\) a \(g\) mali aspoň jeden priesečník. Preto potrebujete: \ \\]

odpoveď:

\(a\v \(-7\)\pohári\)

Úloha 5 #3912

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každú z nich rovnicu \

má šesť rôznych riešení.

Urobme náhradu \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Potom bude mať rovnica tvar \ Postupne vypíšeme podmienky, za ktorých bude mať pôvodná rovnica šesť riešení.
Všimnite si, že kvadratická rovnica \((*)\) môže mať maximálne dve riešenia. Každá kubická rovnica \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) nemôže mať viac ako tri riešenia. Preto, ak rovnica \((*)\) má dve rôzne riešenia (kladné!, pretože \(t\) musí byť väčšie ako nula) \(t_1\) a \(t_2\) , potom urobením naopak substitúciou, dostaneme: \[\left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\koniec (zarovnané)\koniec (zhromaždené)\vpravo.\] Pretože každé kladné číslo môže byť do určitej miery reprezentované ako \(\sqrt2\), napr. \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), potom sa prvá rovnica množiny prepíše do tvaru \ Ako sme už povedali, žiadna kubická rovnica nemá viac ako tri riešenia, preto každá rovnica v množine nebude mať viac ako tri riešenia. To znamená, že celý súbor nebude mať viac ako šesť riešení.
To znamená, že aby mala pôvodná rovnica šesť riešení, kvadratická rovnica \((*)\) musí mať dve rôzne riešenia a každá výsledná kubická rovnica (z množiny) musí mať tri rôzne riešenia (a nie jediné riešenie jedna rovnica by sa mala zhodovať s ktoroukoľvek - podľa rozhodnutia druhej!)
Je zrejmé, že ak má kvadratická rovnica \((*)\) jedno riešenie, potom nedostaneme šesť riešení pôvodnej rovnice.

Plán riešenia je teda jasný. Spíšme si podmienky, ktoré musia byť splnené bod po bode.

1) Aby rovnica \((*)\) mala dve rôzne riešenia, jej diskriminant musí byť kladný: \

2) Je tiež potrebné, aby oba korene boli kladné (keďže \(t>0\) ). Ak je súčin dvoch koreňov kladný a ich súčet kladný, potom samotné korene budú kladné. Preto potrebujete: \[\začiatok(prípady) 12-a>0\\-(a-10)>0\koniec (prípady)\štvorica\šípka vľavo\štvorica a<10\]

Takto sme si už poskytli dva rôzne kladné korene \(t_1\) a \(t_2\) .

3) Pozrime sa na túto rovnicu \ Na čo \(t\) bude mať tri rôzne riešenia?
Zvážte funkciu \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Možno faktorizovať: \ Preto sú jeho nuly: \(x=-1;2\) .
Ak nájdeme deriváciu \(f"(x)=3x^2-6x\) , dostaneme dva extrémne body \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Graf teda vyzerá takto:


Vidíme, že akákoľvek vodorovná čiara \(y=k\) , kde \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) mali tri rôzne riešenia, je potrebné, aby \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Potrebujete teda: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Okamžite si tiež všimnime, že ak sa čísla \(t_1\) a \(t_2\) líšia, potom čísla \(\log_(\sqrt2)t_1\) a \(\log_(\sqrt2)t_2\) budú rôzne, čo znamená rovnice \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) A \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) bude mať rôzne korene.
Systém \((**)\) je možné prepísať takto: \[\začiatok(prípady) 1

Takto sme určili, že oba korene rovnice \((*)\) musia ležať v intervale \((1;4)\) . Ako napísať túto podmienku?
Korene si nebudeme výslovne zapisovať.
Uvažujme funkciu \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Jeho grafom je parabola s vetvami nahor, ktorá má dva priesečníky s osou x (túto podmienku sme si zapísali v odseku 1)). Ako by mal vyzerať jeho graf, aby priesečníky s osou x boli v intervale \((1;4)\)? Takže:


Po prvé, hodnoty \(g(1)\) a \(g(4)\) funkcie v bodoch \(1\) a \(4\) musia byť kladné, a po druhé, vrchol parabola \(t_0\ ) musí byť tiež v intervale \((1;4)\) . Preto môžeme systém napísať: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) má vždy aspoň jeden koreň \(x=0\) . To znamená, že na splnenie podmienok úlohy je potrebné, aby rovnica \

mal štyri rôzne korene, odlišné od nuly, predstavujúce spolu s \(x=0\) aritmetickú postupnosť.

Všimnite si, že funkcia \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) je párna, čo znamená, že ak \(x_0\) je koreňom rovnice \( (*)\ ) , potom \(-x_0\) bude tiež jeho koreň. Potom je potrebné, aby korene tejto rovnice boli čísla zoradené vzostupne: \(-2d, -d, d, 2d\) (potom \(d>0\)). Potom týchto päť čísel vytvorí aritmetickú postupnosť (s rozdielom \(d\)).

Aby tieto korene boli číslami \(-2d, -d, d, 2d\) , je potrebné, aby čísla \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) boli koreňmi rovnicu \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Potom podľa Vietovej vety:

Prepíšme rovnicu do tvaru \ a zvážte dve funkcie: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) a \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funkcia \(g(x)\) má maximálny bod \(x=0\) (a \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nulová derivácia: \(x=0\) . Keď \(x<0\) имеем: \(g">0\), pre \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funkcia \(f(x)\) pre \(x>0\) je rastúca a pre \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
V skutočnosti, keď \(x>0\) sa prvý modul otvorí kladne (\(|x|=x\)), preto bez ohľadu na to, ako sa otvorí druhý modul, \(f(x)\) bude rovnaký do \( kx+A\) , kde \(A\) je výraz \(a\) a \(k\) sa rovná buď \(13-10=3\) alebo \(13+10 =23\). Keď \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Nájdite hodnotu \(f\) v minimálnom bode: \

Aby rovnica mala aspoň jedno riešenie, je potrebné, aby grafy funkcií \(f\) a \(g\) mali aspoň jeden priesečník. Preto potrebujete: \ Vyriešením tejto sady systémov dostaneme odpoveď: \\]

odpoveď:

\(a\v \(-2\)\poháre\)

Na tento účel použite milimetrový papier alebo grafickú kalkulačku. Vyberte ľubovoľný počet hodnôt nezávislých premenných x (\displaystyle x) a zapojte ich do funkcie na výpočet hodnôt závislej premennej y (\displaystyle y). Nakreslite nájdené súradnice bodov na rovine súradníc a potom tieto body spojte, aby ste vytvorili graf funkcie.

• Do funkcie nahraďte kladné číselné hodnoty x (\displaystyle x) a zodpovedajúce záporné číselné hodnoty. Napríklad vzhľadom na funkciu . Nahraďte do nej nasledujúce hodnoty x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1, 3) ​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Dostali sme bod so súradnicami (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Dostali sme bod so súradnicami (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Dostali sme bod so súradnicami (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)).