Teória pravdepodobnosti je špeciálna časť matematiky, ktorá sa učia len študenti vyšších vzdelávacích inštitúcií. Máte radi výpočty a vzorce? Nie ste vystrašený vyhliadkami na oboznámenie s normálnou distribúciou, entropia súboru, matematické očakávania a disperzie diskrétnej náhodnej premennej? Potom bude táto téma veľmi zaujímavá. Zoznámte sa s niekoľkými základnými základnými koncepciami tejto sekcie vedy.
Pripomeňme si základy
Aj keď si spomeniete najjednoduchším konceptom teórie pravdepodobnosti, nezanedbávajte prvé odseky článku. Faktom je, že bez jasného pochopenia základov nebudete schopní pracovať s uvedenými vzorcami.
Takže existuje nejaká náhodná udalosť, určitý experiment. V dôsledku akcií môžeme získať niekoľko výsledkov - niektoré z nich sú častejšie, iné - menej často. Pravdepodobnosť udalosti je pomer počtu skutočne získaných výsledkov rovnakého typu na celkový počet možných. Len s vedomím klasickej definície tejto koncepcie, môžete pokračovať v štúdii matematických očakávaní a disperzie nepretržitých náhodných premenných.
Priemeru
Stále v škole v lekciách matematiky ste začali pracovať s priemerným aritmetickým. Tento koncept je široko používaný v teórii pravdepodobnosti, a preto nie je možné obísť stranu. Hlavnou vecou pre nás v súčasnosti je, že budeme čeliť vo vzorcoch matematického očakávania a disperzie náhodnej premennej.
Máme poradie čísel a chcete nájsť aritmetický priemer. Všetko, čo sa vyžaduje od nás, je zhrnúť všetko, čo je k dispozícii a vydelené počtom prvkov v poradí. Nech máme čísla od 1 do 9. Množstvo prvkov sa rovná 45 a táto hodnota sa rozdelíme o 9. Odpoveď: - 5.
Disperzia
Hovoriť vedeckým jazykom, disperzia je priemerný štvorec odchýlok získaných príznakov funkcie z priemerného aritmetika. Je indikovaný jedným titulom Latinský list D. Čo potrebujete na výpočet? Pre každý prvok sekvencie vypočítame rozdiel medzi existujúcim číslom a priemerným aritmetickým a postavenými do námestia. Hodnoty sa zobrazia presne tak, ako sa udalosti, ktoré uviedli, môžu byť. Ďalej sumarizujeme všetko získané a vydelené počtom prvkov v poradí. Ak máme päť výsledkov, rozdelíme päť.
Disperzia má vlastnosti, ktoré treba pripomenúť, aby sa pri riešení úloh uplatňovali. Napríklad, s nárastom náhodnej premennej v x časoch, disperzia sa zvyšuje do X v štvorcových časoch (t.j. x * x). Nikdy sa nestane menšie ako nula a nezávisí od posunu hodnôt na rovnakú hodnotu vo veľkej alebo menšej strane. Okrem toho, pre nezávislé testy, je disperzia s množstvom rovná množstvu disperzií.
Teraz musíme zvážiť príklady disperzie diskrétneho náhodného rozptylu a matematického očakávania.
Predpokladajme, že sme strávili 21 experimentov a získali 7 rôznych výsledkov. Každý z nich sme pozorovali, resp. 1,2,2,3,4,4 a 5-krát. Čo bude disperzia rovná?
Po prvé, zvážte aritmetický priemer: súčet prvkov, samozrejme, sa rovná 21. Rozdeľujeme ho na 7, prinášame 3. Teraz z každého počtu počiatočnej sekvencie bude odpočítaná 3, každá hodnota je postavená do štvorca a výsledky sa spolu pridávajú dohromady. Ukazuje sa 12. Teraz musíme rozdeliť číslo na počte prvkov a zdá sa, že všetko. Ale je tu snag! Poďme diskutovať.
Závislosť od počtu experimentov
Ukazuje sa, že pri výpočte disperzie v denominátore môže byť jeden z dvoch čísel: buď n alebo n-1. Tu n je počet experimentov alebo počet prvkov v sekvencii (čo je v podstate rovnaké). Na čo závisí?
Ak sa počet testov meria stovkami, potom musíme umiestniť N. denominátor, ak jednotky, potom n-1. Hraničný vedci sa rozhodli, že sú symbolicky symbolicky: Dnes prechádza podľa obrázku 30. Ak sme strávili menej ako 30 experimentov, rozdelíme sumu na n-1, a ak je viac - potom na N.
Úloha
Vráťme sa k nášmu príkladu riešenia problému disperzie a matematického očakávania. Získali sme prechodné číslo 12, ktoré bolo potrebné rozdeliť na N alebo N-1. Keďže experimenty sme uskutočnili 21, čo je menej ako 30, vyberte druhú možnosť. Takže odpoveď: disperzia je 12/2 \u003d 2.
Očakávaná hodnota
Poďme na druhú koncepciu, ktorú musíme zvážiť tento článok. Matematické očakávania je výsledkom pridania všetkých možných výsledkov, vynásobených zodpovedajúcimi pravdepodobnosťmi. Je dôležité pochopiť, že získaná hodnota, ako aj výsledok výpočtu disperzie, sa ukazuje len raz za celú úlohu, bez ohľadu na to, ako nie je potrebné zvážiť.
Vzorec matematického očakávania je pomerne jednoduchý: Vezmeme výsledok, vynásobíme jeho pravdepodobnosť, pridávame to isté pre druhý, tretí výsledok atď. Všetko, čo súvisí s touto koncepciou, sa vypočíta ľahko. Napríklad, množstvo advokátov sa rovná súčtu sumy. Pre prácu je relevantná. Takéto jednoduché operácie umožňuje vykonať ďaleko od každej hodnoty v teórii pravdepodobnosti. Urobme úlohu a zvážte dôležitosť konceptov, ktoré sme študovali naraz. Okrem toho sme boli rozptyľovaní teóriou - je čas na prax.
Ešte jeden príklad
Strávili sme 50 testov a dostali sme 10 typov výsledkov - čísla od 0 do 9 - objavujú sa v rôznych percentách. To: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Pripomeňme, že na získanie pravdepodobnosti je potrebné rozdeliť hodnoty v percentách za 100. Takže získavame 0,02; 0,1, atď. Predstavte si, že zobrazenie náhodného rozptylu a matematického očakávania problému problému.
Aritmetický priemer sa vypočíta vzorcom, ktorý si pamätám od mladšej školy: 50/10 \u003d 5.
Teraz budeme preniesť pravdepodobnosť počtu výsledkov "v kusoch", takže je pohodlnejšie počítať. Získame 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5, 7, 1, 1, 9, 3, 8, 5, a 9. Z každej získanej hodnoty sa po odpočítaní priemerného aritmetika Každý z výsledkov získaných do námestia. Pozrite sa, ako to urobiť, v príklade prvého prvku: 1 - 5 \u003d (-4). Ďalej: (-4) * (-4) \u003d 16. Pre zostávajúce hodnoty sa tieto operácie sami. Ak ste urobili všetko správne, potom po pridaní dostanete 90.
Pokračujte v výpočte disperzie a matematických očakávaní, rozdelenie 90 na N. Prečo si vyberieme N, a nie n-1? To je pravda, pretože počet vykonaných experimentov presahuje 30. Takže: 90/10 \u003d 9. Disperzia, ktorú sme dostali. Ak máte iné číslo, nezúfajte. S najväčšou pravdepodobnosťou ste pri výpočte urobili banálnu chybu. Skontrolujte napísané, a určite všetko spadne na svoje miesto.
Nakoniec si pamätajte vzorec očakávania. Nebudeme dať všetky výpočty, napíšte iba odpoveď, ktorú môžete spracovať, dokončením všetkých požadovaných postupov. Materializácia sa rovná 5,48. Pripomeňme, ako vykonávať operácie, v príklade prvých prvkov: 0 * 0.02 + 1 * 0,1 ... A tak ďalej. Ako vidíte, jednoducho znásobujeme hodnotu výsledku jeho pravdepodobnosti.
Odchýlka
Ďalší koncept, úzko spojený s disperziou a matematickým očakávaním - priemerná kvadratická odchýlka. To je indikované buď latinskými SD písmenami, alebo grécke malé písmená "Sigma". Tento koncept ukazuje, aký priemer sú hodnoty z centrálneho znaku vychýlené. Ak chcete nájsť jeho hodnotu, musíte vypočítať odmocninu z disperzie.
Ak vybudujete tabuľku normálnej distribúcie a chcete vidieť priamo na ňom kvadratickej odchýlky, to môže byť vykonané v niekoľkých etapách. Vezmite polovicu obrazu doľava alebo vpravo od režimu (centrálna hodnota), vykonajte kolmo na horizontálnu os, takže oblasť obrázkov bola rovnaká. Veľkosť segmentu medzi stredom distribúcie a výslednou projekciou na horizontálnej osi budú sekundárnou kvadratickou odchýlkou.
Softvér
Ako možno vidieť z opisov vzorcov a príkladov, ktoré sú uvedené, výpočty disperzie a matematických očakávaní nie sú najjednoduchším postupom z aritmetického hľadiska. Aby sme nemali tráviť čas, má zmysel používať program používaný vo vyšších vzdelávacích inštitúciách - sa nazýva "r". Má funkcie, ktoré vám umožnia vypočítať hodnoty pre mnoho konceptov zo štatistiky a teórie pravdepodobnosti.
Napríklad zadáte hodnoty vektora. Toto sa vykonáva nasledovne: Vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Nakoniec
Disperzia a matematické očakávania sú, bez ktorých je ťažké vypočítať čokoľvek iné. V hlavnom roku prednášok na univerzitách sa už v prvých mesiacoch štúdia predmetu. Je to preto, že nedorozumenie týchto najjednoduchších koncepcií a neschopnosti ich vypočítať, mnohí študenti okamžite začnú zaostriť za programom a neskôr získať zlé známky na základe výsledkov zasadnutia, ktoré ich zbavuje štipendií.
Prax aspoň jeden týždeň pol hodiny denne, riešenie úloh podobných tým, ktoré sú uvedené v tomto článku. Potom, na akomkoľvek kontrole na teórii pravdepodobnosti, budete spracovať príklady bez zahraničných tipov a postieľky.
Matematické očakávania je priemerná hodnota náhodnej premennej.Matematické očakávania diskrétnej náhodnej premennej sa nazýva množstvo diel všetkých svojich možných hodnôt pre ich pravdepodobnosť:
Príklad.
X -4 6 10
P 0,2 0,3 0,5
Riešenie: Matematické očakávania sa rovná množstvu výrobkov všetkých možných hodnôt X na ich pravdepodobnosť:
M (x) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.
Ak chcete vypočítať matematické očakávania, je vhodné vykonávať výpočty v programe Excel (najmä ak existuje veľa údajov), navrhujeme použiť hotový vzor ().
Príklad pre nezávislé riešenie (môžete použiť kalkulačku).
Nájdite matematické očakávania diskrétnej náhodnej hodnoty X, ako je definované v zákone o distribúcii:
X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
Matematické očakávania má nasledujúce vlastnosti.
Majetok 1. Matematické očakávania konštantnej hodnoty sa rovná najstrašnejšia: m (c) \u003d p.
Nehnuteľnosť 2. Konštantný multiplikátor môže byť vyrobený pre znamenie matematických očakávaní: m (cx) \u003d cm (x).
Nehnuteľnosť 3. Matematické očakávania práce vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná produktu matematických očakávaní faktorov: m (x1x2 ... HP) \u003d m (x1) m (x2) *. .. * m (xn)
Majetok 4. Matematické očakávania súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní komponentov: m (xg + x2 + ... + xn) \u003d m (xg) + m (x2) + ... + m (xn).
Úloha 189. Nájdite matematické očakávania náhodného dlhu z, ak sú známe matematické očakávania Xh Y: Z \u003d X + 2Y, M (X) \u003d 5, M (Y) \u003d 3;
Riešenie: Použitie vlastností matematického očakávania (matematické očakávania sumy sa rovná súčtu matematických očakávaní komponentov; konštantný faktor môže byť vykonaný pre znamenie matematického očakávania), získavame M (Z) \u003d M (x + 2Y) \u003d m (x) + m (2Y) \u003d m (x) + 2M (Y) \u003d 5 + 2 * 3 \u003d 11.
190. S použitím vlastností maatatívneho očakávania dokázať, že: a) m (x - y) \u003d m (x) -M (y); b) Matematické očakávania odchýlky x-m (x) je nula.
191. Diskrétna náhodná hodnota x trvá tri možné hodnoty: X1 \u003d 4 s pravdepodobnosťou P1 \u003d 0,5; X3 \u003d 6 s pravdepodobnosťou P2 \u003d 0,3 a X3 s pravdepodobnosťou P3. Nájsť: X3 a P3, s vedomím, že m (x) \u003d 8.
192. Dan zoznam možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej X: X1 \u003d -1, X2 \u003d 0, X3 \u003d 1, sú tiež známe matematické očakávania tejto veľkosti a jeho štvorcové: m (x) \u003d 0,1, m (x ^ 2) \u003d 0, deväť. Nájdite pravdepodobnosť P1, P2, P3 zodpovedajúce možným hodnotám XI
194. Časť 10 častí obsahuje tri neštandardné. Myseľ vybrali dve detaily. Nájdite matematické očakávania diskrétnej náhodnej hodnoty X je počet neštandardných častí medzi oboma vybranými.
196. Nájdite matematické očakávania diskrétnej náhodnej premennej X-číslo takéhoto odlievania piatich hracích kostí, z ktorých každý je jeden bod na dvoch kosti, ak je celkový počet obsadení dvadsať.
Matematické očakávania binomiálnej distribúcie sa rovná produktom počtu testov na pravdepodobnosti udalostí v jednom teste:
Matematické očakávania diskrétnej náhodnej premennej sa nazýva množstvo diel všetkých možných hodnôt pre ich pravdepodobnosť.
Nech si náhodná hodnota môže trvať iba hodnoty pravdepodobnosti, ktorého sú rovnaké, potom matematické očakávania náhodnej premennej je určené rovnosťou
Ak diskrétna náhodná hodnota trvá spočítateľnú sadu možných hodnôt, potom
Okrem toho, matematické očakávania existuje, ak je riadok na pravej strane rovnosti konverguje absolútne.
Komentár. Z definície z toho vyplýva, že matematické očakávania diskrétnej náhodnej premennej je non-náhodná (konštantná) hodnota.
Definícia matematického očakávania vo všeobecnom prípade
Definujeme matematické očakávania náhodnej premennej, ktorej distribúcia nie je nevyhnutne diskrétne. Začnime s prípadom negatívnych náhodných premenných. Myšlienka bude aproximácia takýchto náhodných premenných s pomocou diskrétneho, pre ktoré je už definované matematické očakávania, a matematické očakávania sa má rovnať limitom matematických očakávaní svojich diskrétnych náhodných premenných. Mimochodom, to je veľmi užitočná celková myšlienka, čo je, že niektoré charakteristiky sa najprv určí pre jednoduché objekty, a potom pre zložitejšie objekty je určené aproximáciou ich jednoduchšie.
Lemma 1. Nech je ľubovoľná negatívna náhodná hodnota. Potom je tu sekvencia diskrétnych náhodných premenných
Dôkazov. Rozbijeme segmenty na rovnaké segmenty a definujú
Potom sú vlastnosti 1 a 2 ľahko sledované pred definíciou náhodnej premennej a
Lemma 2. Nechajte negatívnu náhodnú hodnotu a dve sekvencie diskrétnych náhodných premenných s vlastnosťami 1-3 lemmy 1. Potom
Dôkazov. Všimnite si, že pre negatívne náhodné premenné pripúšťame
Kvôli vlastnostiam 3 je ľahké vidieť, že existuje postupnosť kladných čísel
Z toho vyplýva, že
Používanie vlastností matematických očakávaní pre diskrétne náhodné premenné, dostaneme
Pokračujeme na limit, keď získame schválenie Lemma 2.
Definícia 1. Predpokladajme, že negatívna náhodná hodnota, sekvencia diskrétnych náhodných premenných s vlastnosťami 1-3 lemmy 1. Matematické očakávania náhodnej premennej sa nazýva číslo
Lemma 2 zaisťuje, že nezávisí od výberu aproximácie sekvencie.
Dovoľte, aby ste boli ľubovoľnou náhodnou hodnotou. Určiť
Z definície a ľahko to vyplýva
Definícia 2. Matematické očakávania ľubovoľnej náhodnej premennej sa nazýva číslo
Ak je to samozrejme aspoň jeden z čísel v pravej časti tejto rovnosti.
Vlastnosti matematického očakávania
Majetku 1. Matematické očakávania trvalej hodnoty sa rovná najstrašnejším:
Dôkazov. Budeme zvážiť konštantné ako diskrétnu náhodnú hodnotu, ktorá má jednu možnú hodnotu a v dôsledku toho ho prijíma s pravdepodobnosťou,
Poznámka 1. Určite produkt s konštantnou hodnotou na diskrétnu náhodnú hodnotu ako diskrétne náhodné možné hodnoty, ktoré sú rovnaké ako konštantné práce pre možné hodnoty; Pravdepodobnosť možných hodnôt sa rovnajú pravdepodobnosťou zodpovedajúcich možných hodnôt, napríklad ak je pravdepodobnosť možnej hodnoty rovnaká ako pravdepodobnosť, že hodnota bude mať hodnotu rovnajúcu sa
Majetku 2. Konštantný multiplikátor môže byť vykonaný známku matematického očakávania:
Dôkazov. Nechajte náhodnú hodnotu špecifikovanú zákonom o rozdelení pravdepodobnosti:
Vzhľadom na poznámku 1 písať zákon o distribúcii náhodnej premennej
Poznámka 2. Pred pokračovaním do nasledujúcej nehnuteľnosti, uvádzame, že dve náhodné premenné sa nazývajú nezávislé, ak transakcia distribučná zákon nezávisí od toho, ktoré možnosti iné ako druhá prijatá hodnota. V opačnom prípade sú náhodné premenné závislé. Niekoľko náhodných premenných sa nazýva vzájomne nezávislé, ak zákony distribúcie akéhokoľvek počtu z nich nezávisí od toho, čo zostali možné hodnoty zostávajúce hodnoty.
POZNÁMKA 3. Definujeme produkt nezávislých náhodných premenných a ako náhodná hodnota možných hodnôt, z ktorých sa rovná dielam každej možnej hodnoty pre každú možnú hodnotu pravdepodobnosti možných hodnôt výrobku sú rovnaké pravdepodobnosti možných hodnôt faktorov. Napríklad, ak je pravdepodobnosť možnej hodnoty rovnaká, pravdepodobnosť možnej hodnoty sa rovná pravdepodobnosti možnej hodnoty rovnajúcej sa
Majetok 3. Matematické očakávania práce dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná produktu ich matematických očakávaní:
Dôkazov. Nechajte nezávislé náhodné premenné a sú dané ich zákony o rozdelení pravdepodobnosti:
Urobíme všetky hodnoty, že náhodná hodnota môže zmeniť všetky možné hodnoty pre každú možnú hodnotu; V dôsledku toho sa dostávame a zvažujeme poznámku 3, napíšte zákon o distribúcii za jednoduchosť, že všetky možné hodnoty práce sú odlišné (ak nie, dôkaz sa vykonáva podobne):
Matematické očakávania sa rovná množstvu diel všetkých možných hodnôt pre ich pravdepodobnosť:
Corollary. Matematické očakávania diela niekoľkých vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná produktu ich matematických očakávaní.
Majetok 4. Matematické očakávania súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní podmienok:
Dôkazov. Nechajte náhodné premenné a sú uvedené nasledujúcimi zákonmi o distribúcii:
Uskutočníme všetky možné hodnoty hodnôt pre túto možnú hodnotu pridať každú možnú hodnotu; Budeme predpokladať, že tieto možné hodnoty sú iné (ak nie je tak, dôkaz sa vykonáva podobne) a označujeme ich pravdepodobnosť, resp.
Matematické očakávania veľkosti sa rovná množstvu výrobkov možných hodnôt pre ich pravdepodobnosť:
Dokážeme, že udalosť, ktorá bude mať hodnotu (pravdepodobnosť tejto udalosti je rovná), znamená udalosť, ktorá je, že to bude mať hodnotu alebo (pravdepodobnosť tejto udalosti pridávaním teoremity je rovná) a späť . Z toho vyplýva, že sa preukáže rovnosť podobne
Nahradenie správnych častí týchto rovnosti v pomere (*), dostaneme
alebo konečne
Disperzia a priemerná kvadratická odchýlka
V praxi je často potrebné odhadnúť rozptyl možných hodnôt náhodnej premennej okolo svojej priemernej hodnoty. Napríklad je dôležité, aby ste delostrelectvo vielo, ako kĺbové škrupiny padnú v blízkosti cieľa, ktorý by mal byť prekvapený.
Na prvý pohľad sa môže zdať, že odhadnutie rozptylu, najjednoduchší spôsob, ako vypočítať všetky možné hodnoty odchýlky náhodnej premennej a potom ich nájsť priemer. Táto cesta však nedá nič, pretože priemerná hodnota odchýlky, t.j. Pre ľubovoľnú náhodnú premennú sa rovná nule. Táto vlastnosť je vysvetlená tým, že niektoré možné odchýlky sú pozitívne, a iné sú negatívne; V dôsledku vzájomného splácania je priemerná hodnota deformácie nula. Tieto úvahy hovoria o vhodnosti, aby nahradili možné odchýlky podľa svojich absolútnych hodnôt alebo ich štvorcov. Tak príďte v praxi. Je pravda, že v prípade, že ich možné odchýlky ich nahradia absolútnymi hodnotami, je potrebné pracovať s absolútnymi hodnotami, čo niekedy vedie k vážnym ťažkostiam. Preto, najčastejšie prejsť inou cestou, t.j. Vypočítajte priemernú hodnotu deformácie, ktorá sa nazýva disperzia.
Matematické očakávania a disperzia - najčastejšie aplikuje numerické vlastnosti náhodnej premennej. Charakterizujú najdôležitejšie prvky distribúcie: jeho poloha a stupeň disperzie. V mnohých úlohách má prax úplnú, komplexnú charakteristiku náhodnej premennej - Zákon distribúcie - alebo nie je možné získať vôbec, alebo nie je vôbec potrebné. V týchto prípadoch obmedzený približný opis náhodnej premennej pomocou numerických charakteristík.
Matematické očakávania sa často nazýva len priemerná hodnota náhodnej premennej. Disperzia náhodnej premennej je charakteristika disperzie, rozptyl náhodnej premennej v blízkosti matematického očakávania.
Matematické očakávania diskrétnej náhodnej premennej
Poďme na koncepciu matematického očakávania, najprv na základe mechanického výkladu distribúcie diskrétnej náhodnej premennej. Nechajte jednotku hmotnostnú alokáciu medzi bodmi osi osí x.1 , x.2 , ..., x.n., navyše, každý materiálový bod má zodpovedajúcu hmotnosť p. \\ t1 , p. \\ t2 , ..., p. \\ tn.. Je potrebné si vybrať jeden bod na osi osi, ktorý charakterizuje pozíciu celého systému materiálových bodov, s prihliadnutím na ich masy. Prirodzene, ako takýto bod, vezmite centrum hromadného systému materiálových bodov. Toto je priemerná váhaná hodnota náhodnej premennej. X.ktorá je osôb každého bodu x.i. Vstupuje do "hmotnosti" rovnajúcej sa zodpovedajúcej pravdepodobnosti. Priemerná hodnota takto získanej náhodnej premennej X. Nazýva sa jeho matematické očakávania.
Matematické očakávania diskrétnej náhodnej premennej je množstvo diel všetkých svojich možných hodnôt na pravdepodobnosti týchto hodnôt:
Príklad 1. Organizuje sa lotéria Win-Win. Existuje 1000 výhier, z ktorých 400 je 10 rubľov. 300 - 20 rubľov. 200 - 100 rubľov. a 100 - 200 rubľov. Aká je priemerná výhra veľká veľkosť pre kúpil jeden lístok?
Rozhodnutia. Priemerné výhry nájdeme, ak je celkové množstvo výhier, ktoré sa rovná 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 \u003d 50 000 rubľov, rozdeliť 1000 (celkové výhry). Potom dostaneme 50000/1000 \u003d 50 rubľov. Výraz pre priemerný výherný výpočet môže byť znázornený takto:
Na druhej strane, v týchto podmienkach je množstvo výhier náhodnou hodnotou, ktorá môže mať hodnoty 10, 20, 100 a 200 rubľov. s pravdepodobnosťmi rovnými 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. V dôsledku toho sa očakávané priemerné výhry rovnajú množstvom veľkosti výrobku výhier o pravdepodobnosti ich prijatia.
Príklad 2. Vydavateľ sa rozhodol zverejniť novú knihu. Bude predať knihu pre 280 rubľov, z toho 200 sa dostane, 50 - kníhkupectva a 30 - autor. Tabuľka poskytuje informácie o nákladoch na publikovanie knihy a pravdepodobnosti predaja určitého počtu kópií knihy.
Nájdite očakávaný zisk vydavateľ.
Rozhodnutia. Náhodná veľkosť "Zisk" sa rovná rozdielu v príjmoch z predaja a nákladov na náklady. Napríklad, ak sa predáva 500 kópií knihy, potom príjmy z predaja sa rovná 200 * 500 \u003d 100000 a náklady na vydanie je 225 000 rubľov. Vydavateľ teda ohrozuje stratu 125 000 rubľov. Nasledujúca tabuľka sumarizuje očakávané hodnoty náhodných premenných - zisky:
| Číslo | Zisk x.i. | Pravdepodobnosť p. \\ ti. | x.i. p. \\ ti. |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Celkom: | 1,00 | 25000 |
Dostaneme teda matematické očakávania ziskov vydavateľa:
.
Príklad 3. Pravdepodobnosť biť jedného výstrelu p. \\ t \u003d 0,2. Určite poplatky za tok, ktoré poskytujú matematické očakávania počtu hitov rovných 5.
Rozhodnutia. Z rovnakého vzorca pre očakávania, ktoré sme doteraz používali, Express x. - Spotreba škrupín:
.
Príklad 4. Určiť matematické očakávania náhodnej premennej x. Počet hitov na troch záberoch, ak je pravdepodobnosť biť každú záber p. \\ t = 0,4 .
Tip: pravdepodobnosť náhodných hodnôt nájsť bernoulli Formula .
Vlastnosti matematického očakávania
Zvážte vlastnosti matematického očakávania.
Nehnuteľnosť 1.Matematické očakávania trvalej hodnoty sa rovná tejto konštantácii:
Nehnuteľnosť 2.Trvalý multiplikátor môže byť vykonaný pre znamenie matematického očakávania:
Nehnuteľnosť 3.Matematické očakávania množstva (rozdiel) náhodných premenných sa rovná množstvu (rozdielu) ich matematických očakávaní:
Nehnuteľnosť 4.Matematické očakávania práce náhodných premenných sa rovná produktu ich matematických očakávaní:
Nehnuteľnosť 5.Ak sú všetky hodnoty náhodnej premennej X. Znížiť (Zväčšiť) na rovnakom čísle ZZníži sa jeho matematické očakávania (zvýši) na rovnakom čísle:
Keď nemôžete byť obmedzený na matematické očakávania
Vo väčšine prípadov nemôže len matematické očakávania dostatočne charakterizovať náhodné množstvo.
Nechajte náhodné premenné X. a Y. Špecifikované nasledujúcimi zákonmi o distribúcii: \\ t
| Hodnota X. | Pravdepodobnosť |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Hodnota Y. | Pravdepodobnosť |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Matematické očakávania týchto hodnôt sú rovnaké - nula je rovnaká:
Povaha distribúcie je však iný. Náhodná hodnota X. môže mať len hodnoty, ktoré sa líšia od matematického očakávania, ale náhodnú hodnotu Y. Majú hodnoty výrazne odchýliť sa od matematického očakávania. Podobný príklad: Priemerná plat nie je možné posúdiť špecifickú váhu vysoko a nízko platených pracovníkov. Inými slovami, podľa matematického očakávania, nie je možné posúdiť, aké odchýlky od neho sú aspoň v priemere možné. Ak to chcete urobiť, musíte nájsť disperziu náhodnej premennej.
Disperzná diskrétna náhodná premenná
Disperzia Diskrétna náhodná premenná X. Nazýva sa matematické očakávania námestia jeho odchýlky od matematického očakávania:
Priemerná kvadratická odchýlka náhodnej premennej X. Nazýva sa aritmetická hodnota odmocniny jeho disperzie:
.
Príklad 5.Vypočítať disperzie a stredné kvadratické odchýlky náhodných premenných X. a Y.V tabuľkách vyššie sú uvedené v tabuľkách vyššie.
Rozhodnutie. Matematické očakávania náhodných premenných X. a Y.Ako sa zistilo vyššie, sú nula. Podľa disperzného vzorca E.(h.)=E.(y.) \u003d 0 Získajte:
Potom priemerné kvadratické odchýlky náhodných premenných X. a Y. makeup
.
Tak, s rovnakými matematickými očakávaniami disperzie náhodnej premennej X. veľmi malé, ale náhodná premenná Y. - významné. Je to dôsledok rozdielov v ich distribúcii.
Príklad 6. Investor má 4 alternatívny investičný projekt. Tabuľka sumarizuje údaje o očakávanom zisku v týchto projektoch s primeranou pravdepodobnosťou.
| Projekt 1. | Projekt 2. | Projekt 3. | Projekt 4. |
| 500, P. \\ t=1 | 1000, P. \\ t=0,5 | 500, P. \\ t=0,5 | 500, P. \\ t=0,5 |
| 0, P. \\ t=0,5 | 1000, P. \\ t=0,25 | 10500, P. \\ t=0,25 | |
| 0, P. \\ t=0,25 | 9500, P. \\ t=0,25 |
Nájdite za každú alternatívnu matematické očakávania, disperziu a sekundárnu kvadratickú odchýlku.
Rozhodnutie. Ukážeme, ako sa tieto hodnoty vypočítajú pre 3. alternatívu:
Tabuľka sumarizuje nájdené hodnoty pre všetky alternatívy.
Všetky alternatívy sú rovnaké matematické očakávania. To znamená, že v dlhodobom období má každý rovnaký príjem. Štandardná odchýlka môže byť interpretovaná ako jednotka merania rizika - ako je viac, tým väčšie je riziko investícií. Investor, ktorý nechce veľké riziko, si vyberie projekt 1, pretože má najmenšiu štandardnú odchýlku (0). Ak investor uprednostňuje riziko a väčšie výnosy v krátkom čase, vyberie projekt s najväčšou štandardnou odchýlkou \u200b\u200b- projektom 4.
Vlastnosti disperzie
Dávame vlastnosti disperzie.
Nehnuteľnosť 1.Disperzia konštantnej hodnoty je nula:
Nehnuteľnosť 2.Trvalý multiplikátor môže byť vykonaný pre disperzné označenie, pričom ho umiestnite na námestie:
.
Nehnuteľnosť 3.Disperzia náhodnej premennej sa rovná matematickému očakávaniu štmedu tejto hodnoty, z ktorého sa odpočítame štvorec matematického očakávania hodnoty:
,
kde 
.
Nehnuteľnosť 4.Disperzia množstva (rozdiel) náhodných premenných sa rovná množstvu (rozdielu) ich disperzií:
Príklad 7. Je známe, že diskrétna náhodná hodnota X. Trvá len dve hodnoty: -3 a 7. Okrem toho je známe matematické očakávania: E.(X.) \u003d 4. Nájdite disperziu diskrétnej náhodnej premennej.
Rozhodnutie. Zaznamenaný p. \\ t pravdepodobnosť, s ktorou náhodná hodnota má hodnotu x.1 = −3 . Potom pravdepodobnosť významu x.2 = 7 bude 1 - p. \\ t . Dávame rovnicu pre matematické očakávania:
E.(X.) = x.1 p. \\ t + x.2 (1 − p. \\ t) = −3p. \\ t + 7(1 − p. \\ t) = 4 ,
kde dostanete pravdepodobnosť: p. \\ t \u003d 0,3 a 1 - p. \\ t = 0,7 .
Zákon distribúcie náhodnej premennej:
| X. | −3 | 7 |
| p. \\ t | 0,3 | 0,7 |
Disperzia tejto náhodnej premennej sa vypočíta vzorcom z disperzných vlastností 3:
D.(X.) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Nájdite matematické očakávania náhodnej premennej, a potom vidieť rozhodnutie
Príklad 8. Diskrétna náhodná variabilita X. Trvá len dve hodnoty. Viac z hodnôt 3 trvá s pravdepodobnosťou 0,4. Okrem toho je známa disperzia náhodnej premennej. D.(X.) \u003d 6. Nájdite matematické očakávania náhodnej premennej.
Príklad 9. V UrN 6 bielych a 4 čiernych guličiek. Z URN sú vybraté 3 loptičky. Počet bielych guličiek medzi rezu loptičiek je diskrétna náhodná premenná X. . Nájdite matematické očakávania a disperziu tejto náhodnej premennej.
Rozhodnutie. Náhodná hodnota X. môže mať hodnoty 0, 1, 2, 3. Pravdepodobnosť zodpovedajúca nim môže byť vypočítaná pravidlo pravdepodobnosti množenia . Zákon distribúcie náhodnej premennej:
| X. | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p. \\ t | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Preto matematické očakávania tejto náhodnej premennej:
M.(X.) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Disperzia tejto náhodnej premennej:
D.(X.) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Matematické očakávania a disperzia nepretržitej náhodnej premennej
Pre nepretržitú náhodnú premennú, mechanická interpretácia matematického očakávania si zachová rovnaký význam: centrum hmotnosti pre jednu hmotu, nepretržite distribuovaná na osi osi s hustotou f.(x.). Na rozdiel od diskrétnej náhodnej hodnoty, ktorá má funkciu argumentu x.i. Zmení HOPPY, v nepretržitej náhodnej premennej, argument sa neustále mení. Matematické očakávania nepretržitej náhodnej premennej je však spojené s jeho priemernou hodnotou.
Ak chcete nájsť matematické očakávania a disperziu nepretržitej náhodnej premennej, musíte nájsť určité integrály. . Ak je funkcia hustoty poskytnutá nepretržitá náhodná premenná, potom priamo vstupuje do integrácie. Ak je funkcia rozdelenia pravdepodobnosti, potom ju rozlišuje, musíte nájsť funkciu hustoty.
Aritmetický priemer všetkých možných hodnôt nepretržitej náhodnej premennej je nazývaný. matematické očakávaniaoznačované alebo.
Matematické očakávania náhodnej hodnoty X sa nazýva priemerná hodnota.
1. m (c) \u003d c
2. M (cx) \u003d cm (x)kde C. \u003d const
3. m (x ± y) \u003d m (x) ± m (y)
4. Ak sú náhodné premenné X. a Y. Nezávislý, T. M (xy) \u003d m (x) · m (y)
Disperzia
Disperzia náhodnej premennej sa nazýva
D (x) \u003d s (x - m (x)) 2 p \u003d m (x 2 ) - M. 2 (X).
Disperzia je mierou odchýlok náhodných hodnôt z jeho priemernej hodnoty.
1. D (c) \u003d 0
2. D (x + c) \u003d d (x)
3. D (cx) \u003d c 2 D (x)kde C. \u003d const
4. Pre nezávislé náhodné premenné
D (x ± y) \u003d d (x) + d (y)
5. D (x ± y) \u003d d (x) + d (y) ± 2COV (x, y)
Druhý koreň z disperzie náhodnej hodnoty X sa nazýva priemerná kvadratická odchýlka. 
.
@ Úloha 3.: Nechať náhodnú hodnotu X prijímať iba dve hodnoty (0 alebo 1) s pravdepodobnosťmi q, P.kde p + q \u003d 1. Nájsť matematické očakávania a disperziu.
Rozhodnutie:
M (x) \u003d 1 · p + 0 · q \u003d p; D (x) \u003d (1 - p) 2 p + (0 - p) 2 q \u003d pq.
@ Úloha 4.: Matematické očakávania a disperzia náhodnej premennej X. 8. Nájdite matematické očakávania a disperziu náhodných premenných: A) X - 4.; \\ T b) 3x - 4..
Roztok: m (x - 4) \u003d m (x) - 4 \u003d 8 - 4 \u003d 4; D (x - 4) \u003d d (x) \u003d 8; M (3x - 4) \u003d 3M (x) - 4 \u003d 20; D (3x - 4) \u003d 9d (x) \u003d 72.
@ Úloha 5.: Kombinácia rodín má nasledujúcu distribúciu podľa počtu detí:
| x I. | x 1 | x 2 | ||
| p I. | 0,1 | p 2. | 0,4 | 0,35 |
Určiť x 1, x 2 a p 2.Ak je známe, že M (x) \u003d 2; D (x) \u003d 0,9.
Riešenie: Pravdepodobnosť P2 je P2 \u003d 1 - 0,1 - 0,4 - 0,35 \u003d 0,15. Neznámy X sú z rovníc: m (x) \u003d x 1 · 0,1 + x 2 · 0,15 + 2 · 0,4 + 3 · 0,35 \u003d 2; D (x) \u003d · 0,1 + · 0,15 + 4 · 0,4 + 9 · 0,35 - 4 \u003d 0,9. x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1.
Všeobecná agregácia a vzorka. Odhady parametrov
Selektívne pozorovanie
Štatistické pozorovanie môže byť organizované pevné a nie pevné. Pevné pozorovanie stanovuje prieskum všetkých jednotiek spoločného agregátu (všeobecná populácia). Všeobecný agregát Ide o veľa fyzických alebo právnických osôb, ktoré výskumné pracovisko podľa svojej úlohy. To je často ekonomicky nerentabilné a niekedy nemožné. V tomto ohľade sa skúma len časť všeobecnej populácie - selektívny agregát .
Výsledky získané na základe selektívneho agregátu sa môžu rozšíriť na všeobecnú agrátu, ak dodržiavajú tieto zásady: \\ t
1. Selektívny súbor by sa mal určiť náhodne.
2. Počet jednotiek selektívneho agregátu by mal byť dostatočný.
3. Musí sa poskytnúť reprezentatívnosť ( review) Odber vzoriek. Reprezentatívna vzorka je menšia veľkosť, ale presný model všeobecnej populácie, ktorý by mal odrážať.
Typy vzoriek
V praxi sa používajú tieto typy vzoriek:
a) skutočne-náhodné, b) mechanické, c) typické, d) sériové, e) kombinované.
Vlastne náhodná vzorka
Pre samočinná vzorka Výber jednotiek selektívneho agregátu sa náhodne vyrába, napríklad pomocou remízy alebo generátora náhodných čísel.
Vzorky sa opakujú a reptujú. Keď je opakovane vzorka, jednotka, ktorá spadla do vzorky, sa vráti a šetrí rovnakú príležitosť, aby sa znovu dostala do vzorky. S korpuitívnou vzorkou, jednotka celkovej úplnosti, ktorá spadla do vzorky, nie je zapojený do vzorky.
Uplynul selektívnym pozorovaním, vyplývajúcim zo skutočnosti, že selektívna sada nie je úplne reprodukovať všeobecnú populáciu, sa nazýva Štandardné chyby . Sú priemerným kvadratickým rozporom medzi hodnotami ukazovateľov získaných vzorkou a zodpovedajúcimi hodnotami ukazovateľov všeobecnej populácie.
Vypočítané vzorce štandardnej chyby v prípade náhodného re-výberu je nasledovné:, a nasledovné je ako náhodný posun: 
kde S 2 je disperzia selektívneho agregátu, n / N -vzorkovanie n, N.- počet jednotiek v selektívnej a všeobecnej populácii. Pre n \u003d N. Štandardná chyba M \u003d 0.
Mechanická vzorka
Pre Mechanická vzorka Všeobecný agregát je rozdelený do rovnakých intervalov a z každého intervalu sa náhodne vyberie na jednej jednotke.
Napríklad, s 2% frakciou vzorky zo zoznamu všeobecnej populácie, je vybraná každá 50. jednotka.
Štandardná mechanická chyba odberu vzoriek je definovaná ako chyba náhodného náhodného odberu vzoriek.
Typická vzorka
Pre typická vzorka Všeobecný agregát je rozdelený do homogénnych typických skupín, potom sú jednotky náhodne vybrané z každej skupiny.
Typická vzorka sa používa v prípade nehomogénnej všeobecnej populácie. Typická vzorka poskytuje presnejšie výsledky, pretože je poskytnutá reprezentatívnosť.
Napríklad učitelia, ako všeobecná populácia, sú rozdelené do skupín na tieto vlastnosti: pohlavie, skúsenosti, kvalifikácie, vzdelávanie, mestské a vidiecke školy atď.
Štandardné typické chyby odberu vzoriek sú definované ako chyby náhodnej vzorky, s jediným rozdielom, že S 2.nahradené strednou veľkosťou z intragroupových disperzií.
Sériová vzorka
Pre Sériová vzorka Všeobecný agregát je rozdelený na oddelené skupiny (série), potom náhodne vybrané skupiny sú podrobené pevnému pozorovaniu.
Štandardné chyby sériového odberu vzoriek sú definované ako chyby náhodnej vzorky, s jediným rozdielom S 2. Nahradené priemerom medziskupinových disperzií.
Kombinovaná vzorka
Kombinovaná vzorka Je to kombinácia dvoch alebo viacerých typov vzoriek.
Odhad bodu
Konečným cieľom selektívneho pozorovania je nájsť vlastnosti všeobecnej populácie. Vzhľadom k tomu, že nie je možné vykonať priamo, charakteristiky selektívneho súboru šíreného na všeobecnej populácii.
Ukázalo sa, že hlavná možnosť určenia priemernej aritmetickej všeobecnej populácie podľa priemernej vzorky teorem chebyshev. S neobmedzeným zvýšením n. Pravdepodobnosť, že rozdiel medzi selektívnym priemerom všeobecného priemeru bude malý, hľadá 1.
To znamená, že charakteristika všeobecnej populácie s presnosťou. Toto hodnotenie sa volá utlmiť .
Intervalový odhad
Základom odhadu intervalu je centrálne limit teorem..
Intervalový odhad Umožňuje odpovedať na otázku: Vo vnútri intervalu a s akým pravdepodobnosťou sú neznáme, požadovaná hodnota parametra všeobecného obyvateľstva?
Zvyčajne hovoria o pravdepodobnosti dôvery p. \\ t = 1 – A, s ktorým bude v intervale – D.< < + D, где D = tm\u003e 0 maximálna chyba vzorky, a - Úroveň významnosti (pravdepodobnosť, že nerovnosť bude nesprávna), t - kritická hodnota, ktorá závisí od hodnôt n. a. S malou vzorkou n< 30 t Nastavuje kritickú hodnotu T-distribúcie bilaterálneho na dvojstrannú pokrivku n. - 1 stupňa slobody s úrovňou významnosti A ( t(n -1, A) sa nachádza od "kritickej distribúcie T-distribúcie T-DISTRIBÚCE", DODATOK 2). Pre n\u003e 30, t - Toto je kvantifikovaný zákon o normálnom distribúcii ( t Je z tabuľky hodnôt laplaplace f (t) \u003d (1) – a) / 2 ako argument). Na p \u003d 0,954 kritickej hodnoty t \u003d 2 na p \u003d 0,997 kritickej hodnoty t \u003d 3. To znamená, že chyba limitu je zvyčajne viac ako štandardná chyba 2-3 krát.
Podstatou metódy odberu vzoriek je teda, že na základe štatistických údajov, niektoré malej časti všeobecnej populácie, je možné nájsť interval, v ktorom s dôvernou pravdepodobnosťou p. \\ t Na všeobecnej populácii je požadovaná charakteristika (priemerný počet pracovníkov, priemerné skóre, priemerný výnos, priemerná kvadratická odchýlka atď.).
@ Úloha 1.Na určenie miery výpočtov s veriteľmi podnikov korporácií v obchodnej banke sa uskutočnilo náhodná vzorka 100 platobných dokladov, pre ktoré sa priemerný čas zdvíhania a prijatie peňazí rovnalo 22 dní (\u003d 22) so štandardom Odchýlka 6 dní (s \u003d 6). S pravdepodobnosťou p. \\ t \u003d 0,954 určiť limit selektívneho média a intervalu spoľahlivosti priemernej doby trvania osídlení podnikov tejto spoločnosti.
Riešenie: Selektívny stredný nástroj(1) rovnýD \u003d 2· 0,6 \u003d 1,2 a interval spoľahlivosti je definovaný ako (22 - 1,2; 22 + 1,2), t.j. (20.8; 23.2).
§6.5 Korelácia a regresia
