Dana matici
Nájsť: 1) AA - BB,
Rozhodnutie: 1) Nájdite postupne pomocou pravidiel množenia matrice na číslo a pridanie matríc.
2. Nájdite A * B, ak
Rozhodnutie: Použite multiplikačné pravidlo matríc
Odpoveď: 
3. Pre danú matricu nájdite menšie M 31 a vypočítajte determinant.
Rozhodnutie: Minor M 31 je determinant matrici, ktorý sa získa
po prekročení reťazca 3 a stĺpca 1. Nájdite
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Transformujeme matricu A, bez toho, aby sme zmenili jeho determinant (robia nuly v riadku 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Teraz vypočítame determinant matrice a rozkladu na riadku 1
Odpoveď: M 31 \u003d 0, Deta \u003d 0
Snáď metódou gauss a metóda cramer.
2x 1 + x 2 + x 3 \u003d 2
x 1 + x 2 + 3x 3 \u003d 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 \u003d 5
Rozhodnutie: Skontrolujte
Môžete použiť metódu Craver
Riešenie roztoku: X1 \u003d D 1 / D \u003d 2, X2 \u003d D2 / D \u003d -5, X3 \u003d D 3 / D \u003d 3
Aplikujte metódu Gauss.
Rozšírená systémová matica poskytuje trojuholníkový formulár.
Pre pohodlie výpočtovej techniky zmeňte riadky na miestach:
Vynásobte 2 riadok na (K \u003d -1 / 2 \u003d -1 / 2 ) A pridať do 3.:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Vynásobte 1 riadok na (K \u003d -2 / 2 \u003d -1 ) A pridať do 2.:
Teraz môže byť zdrojový systém napísaný ako:
x 1 \u003d 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 \u003d 13 - (6x 3)
Z 2. riadkov Express
Z prvého riadku vyjadrujeme
Riešenie toho istého.
Odpoveď: (2; -5; 3)
Nájdite všeobecné riešenie systému a FSR
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 \u003d 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 \u003d 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 \u003d 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 \u003d 0
Rozhodnutie: Aplikujte metódu Gaussa. Rozšírená systémová matica poskytuje trojuholníkový formulár.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| X 1 | x 2 | x 3. | x 4. | x 5. |
Vynásobte 1. riadku na (-11). Vynásobte 2 riadok na (13). Pridajte 2. riadok do 1.:
| -2 | -2 | -3 | ||
Vynásobte 2 riadok na (-5). Vynásobte 3. riadku na (11). Pridávame 3. riadok na 2.:
Vynásobte 3. riadku na (-7). Vynásobte 4. riadok na (5). Pridajte 4 reťazec na 3.:
Druhá rovnica je lineárnou kombináciou zvyšku
Nájdeme hodnosť matice.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| X 1 | x 2 | x 3. | x 4. | x 5. |
Pridelené menšie má najvyššiu objednávku (z možných baníkov) a líši sa od nuly (je rovná produktu prvkov na reverznom uhlopriečke), preto zazvonil (A) \u003d 2.
Táto menšia je základná. Zahŕňa koeficienty v neznámej x 1, x 2, čo znamená neznámy X 1, X 2 - závislý (BASIC) a X 3, X 4, X 5 sú zadarmo.
Systém s koeficientmi tejto matrice je ekvivalentný zdrojovému systému a má formu:
18x 2 \u003d 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 \u003d - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Metóda vylúčenia neznámeho nájdeme spoločné rozhodnutie:
x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5
x 1 \u003d - 1/3 x 3
Nachádzame systém základných riešení (FSW), ktorý sa skladá z (N-R) riešenia. V našom prípade N \u003d 5, R \u003d 2, preto základný systém riešení pozostáva z 3 roztokov a tieto riešenia musia byť lineárne nezávislé.
Aby boli čiary lineárne nezávislé, je potrebné a dostatočné, že hodnosť matrice, zloženej z prvkov radov, sa rovná počtu riadkov, to znamená 3.
Stačí dať voľný neznámy x 3, x 4, x 5 z radov determinantu 3. objednávky, odlišný od nuly a vypočítať X 1, X2.
Najjednoduchší determinant iný ako nula je jediná matrica.
Ale je to vhodnejšie vziať
Nájdite pomocou všeobecného riešenia:
a) x 3 \u003d 6, x 4 \u003d 0, x 5 \u003d 0 þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d -2, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d - 4 þ
I Rozhodnutie FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 \u003d 0, x 4 \u003d 6, x 5 \u003d 0 þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d 0, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d - 6 Þ
II ROZHODNUTIE FSR: (0; -6; 0; 6; 0)
c) X3 \u003d 0, X4 \u003d 0, X5 \u003d 6 þ X1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d 0, X2 \u003d - 4/3 x 3 - X 4 - 3/2 x 5 \u003d -9 Þ
III Rozhodnutie FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)
6. Dana: Z1 \u003d -4 + 5i, Z2 \u003d 2 - 4i. Nájsť: a) z 1 - 2Z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Rozhodnutie: A) Z1 - 2Z 2 \u003d -4 + 5i + 2 (2-4I) \u003d -4 + 5I + 4-8I \u003d -3I
b) Z 1 Z2 \u003d (-4 + 5i) (2-4I) \u003d -8 + 10I + 16I-20I 2 \u003d (I 2 \u003d -1) \u003d 12 + 26I
Odpoveď: A) -3i b) 12 + 26i c) -1,4 - 0,3I
Menovanie služby. Online kalkulačka je navrhnutá tak, aby našla non-triviálne a základné riešenie spoločnosti Slava. Výsledný roztok sa uloží do súboru slov (pozri príkladný roztok).
Inštrukcie. Vyberte rozmer matice:
Vlastnosti systémov lineárnych homogénnych rovníc
Aby systém netriviálne riešeniaJe to potrebné a dosť na hodnosť jej matricu byť nižšia ako počet neznámych.Teorem. Systém v prípade M \u003d N má netriviálny roztok, ak je len vtedy, ak je determinant tohto systému nulový.
Teorem. Akákoľvek lineárna kombinácia systémových riešení je tiež riešením tohto systému.
Definícia. Súbor riešení systému lineárnych homogénnych rovníc sa nazýva základné systémové riešeniaAk sa táto kombinácia skladá z lineárne nezávislých riešení a akékoľvek riešenie systému je lineárnou kombináciou týchto roztokov.
Teorem. Ak je Rank R systému Matrix menšia ako číslo n Neznáme, potom existuje základný systém riešenia pozostávajúci z (N-R) roztokov.
Algoritmus na riešenie systémov lineárnych homogénnych rovníc
- Nájdeme hodnosť matice.
- Zdôrazňujeme základné menšie. Prideľujeme závislé (základné) a zadarmo neznáme.
- Vyháňam tieto systémovú rovnicu, ktorých koeficienty nie sú zahrnuté v základnej menšej miere, pretože sú dôsledkami zvyšku (podľa základne menšej teoremity).
- Členovia rovníc, ktoré obsahujú bezplatné neznáme osoby prenosom na pravej strane. V dôsledku toho získame systém z R Equaces s R o neznámy, čo je ekvivalentné, ktorých determinant sa líši od nuly.
- Výsledný systém vyriešime vylúčením neznámeho. Nájdeme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné prostredníctvom slobodného.
- Ak sa RAG z matrice nie je rovná počtu premenných, potom nájdeme základné riešenie systému.
- V prípade ROG \u003d N máme triviálne riešenie.
Príklad. Nájdite základy systému vektorov (A 1, A 2, ..., A a M), Rank a Express Vektory založené na základni. Ak A 1 \u003d (0,0,1, -1), a 2 \u003d (1,1,2,0) a 3 \u003d (1,1,1,1), a 4 \u003d (3,2,1, 4 ) a 5 \u003d (2,1,0,3).
Zapíšeme hlavnú systémovú maticu:
Vynásobte 3. riadku na (-3). Pridajte 4. riadok do 3.:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Vynásobte 4 reťazec na (-2). Vynásobte 5RD na (3). Pridajte 5. riadok na 4. mieste:
Pridajte druhý reťazec na 1. mieste:
Nájdeme hodnosť matice.
Systém s koeficientmi tejto matrice je ekvivalentný zdrojovému systému a má formu:
- x 3 \u003d - x 4
- x 2 - 2x 3 \u003d - x 4
2x 1 + x 2 \u003d - 3x 4
Okrem neznámych, nájdeme netriviálne riešenie:
Prijaté vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 1, x 2, x 3 prostredníctvom voľného x 4, to znamená, že zistili všeobecné riešenie:
x 3 \u003d x 4
x 2 \u003d - X 4
x 1 \u003d - x 4
Jednotné systémy lineárnych algebraických rovníc
V lekciách metóda gauss a Nedokončené systémy / systémy so všeobecným riešenímuvažovali sme sa inhomogénne systémy lineárnych rovníckde voľný péro(čo je zvyčajne správne) aspoň jeden Z rovníc sa líši od nuly.
A teraz, po dobrom tréningu maticaBudeme naďalej brúsiť zariadenie základné transformácie na homogénny systém lineárnych rovníc.
Podľa prvých odsekov sa materiál môže zdať nudný a obyčajný, ale tento dojem je klamný. Okrem ďalších pracovných technických techník bude veľa nových informácií, takže sa snažte zanedbávať príklady tohto článku.
Čo je homogénny systém lineárnych rovníc?
Odpoveď navrhuje. Systém lineárnych rovníc je homogénny, ak je voľný vták každý Systémové rovnice sú nula. Napríklad:
Je to celkom jasné homogénny systém je vždy koordinovanýTo znamená, že má vždy riešenie. A predovšetkým takzvané oko ponáhľa trhavý rozhodnutie 
. Triviálne, pre tých, ktorí nerozumejú význam prídavného mena, čo znamená, že limit. Nie akademické, samozrejme, ale potom je to zrozumiteľné \u003d) ... Čo ísť okolo a o, poďme zistiť, či tento systém má akékoľvek iné riešenia:
Príklad 1.
Rozhodnutie: Vyriešiť homogénny systém, ktorý potrebujete na nahrávanie systémová matica A s pomocou elementárnych transformácií ho viesť k stupňovitej forme. Upozorňujeme, že nie je potrebné zaznamenať vertikálnu čiaru a nulový stĺpec slobodných členov - pretože nerobia s nulami, zostanú Zeros: 
(1) Druhý riadok pridal prvý reťazec vynásobený -2. Na tretí riadok pridal prvý reťazec vynásobený -3.
(2) Na tretí riadok pridal druhý reťazec vynásobený -1.
Zdieľanie tretieho riadku na 3 nerobí veľa zmyslu.
V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný homogénny systém. 
A, ktorým sa aplikuje spätný chod metódy Gauss, je ľahké sa uistiť, že riešenie je jedinečné.
Odpoveď:
Vypracujeme zjavné kritérium: Homogénny systém lineárnych rovníc má iba triviálne riešenie, Ak rank Matrix System (V tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade - 3 ks.).
Predhrejte a utiahnite rádio do vlny základných transformácií:
Príklad 2.
Riešiť homogénny systém lineárnych rovníc 
Z článku Ako nájsť hodnosť matice? Pamätáme na racionálny príjem súvisiacich znížení počtu matricových čísel. V opačnom prípade budete musieť znížiť veľké a často body. Príkladná vzorová vzorová konštrukcia úlohy na konci hodiny.
Zeros sú dobré a pohodlné, avšak v praxi je prípad oveľa bežnejší, keď riadky systémovej matrice lineárne závislé. A potom je vznik všeobecného riešenia nevyhnutný:
Príklad 3.
Riešiť homogénny systém lineárnych rovníc 
Rozhodnutie: Píšeme systémový maticu a pomocou elementárnych transformácií, dávame ho stupňovitým formulárom. Prvá akcia je nasmerovaná nielen na získanie jednej hodnoty, ale aj na zníženie počtu v prvom stĺpci:
(1) Na prvý riadok pridal tretí reťazec vynásobený -1. Druhý riadok pridal tretí reťazec vynásobený -2. Vľavo v hornej časti som dostal jednotku s "mínus", ktorá je často oveľa pohodlnejšia pre ďalšie transformácie.
(2) Prvé dva riadky sú rovnaké, jeden z nich bol odstránený. Úprimne, nezodpovedali rozhodnutie - to sa stalo. Ak vykonáte šablónu konverzie, potom lineárna závislosť Riadky by sa objavili o niečo neskôr.
(3) Na tretí riadok pridal druhý reťazec vynásobený 3.
(4) Prvý riadok zmenil znak.
V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný systém: 
Algoritmus funguje rovnakým spôsobom ako nehomogénne systémy. Premenné, "sedieť na krokoch" - hlavná, premenná, ktorá nedostala "kroky" - zadarmo.
Vyjadrite základné premenné prostredníctvom bezplatnej premennej: 
Odpoveď: Spoločné rozhodnutie: 
Triviálny roztok je zahrnutý vo všeobecnom vzorci a napíše ho samostatne zbytočne.
Kontrola sa vykonáva aj v obvyklej schéme: Výsledný všeobecný roztok musí byť nahradený do ľavej časti každej rovnice systému a získať legitímnu nulu pri všetkých substitúciach.
To by mohlo byť ticho dokončené, ale riešenie homogénneho systému rovníc je často potrebné na odoslanie vo forme vektora cez základné systémové riešenia. Zabudnite analytická geometria, Odkedy to bude o vektoroch vo všeobecnom algebraickom zmysle, o ktorom som mal trochu v článku matica. Terminológia nemusí byť kontrolovaná, všetko je celkom jednoduché.
Riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (Slava) je nepochybne najdôležitejšou témou lineárnej algebry. Obrovské množstvo úloh zo všetkých častí matematiky sa znižuje na riešenie systémov lineárnych rovníc. Tieto faktory vysvetľujú dôvod na vytvorenie tohto článku. Článok článok je vybraný a štruktúrovaný tak, že s ním môžete
- vyberte si optimálny spôsob riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
- preskúmajte teóriu zvolenej metódy,
- vyriešte svoj systém lineárnych rovníc, podrobne preskúmaný demontáž riešenia charakteristických príkladov a úloh.
Stručný opis materiálu článku.
Po prvé, poskytneme všetky potrebné definície, pojmy a zaviesť notáciu.
Ďalej považujeme metódy riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedno riešenie. Po prvé, zameriavame sa na metódu Cramer, po druhé, ukážeme matricu metódu riešenia takýchto systémov rovníc, po tretie, budeme analyzovať metódou Gauss (metóda konzistentného vylúčenia neznámych premenných). Na zabezpečenie teórie bude nevyhnutne vyriešiť niekoľko spomalení rôznymi spôsobmi.
Potom pokračujeme v riešení systémov lineárnych algebraických rovníc spoločnej formy, v ktorej sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo hlavnou maticou systému je degenerovaná. Formulujeme teoreem Krocecker - Capelli, ktorý vám umožní vytvoriť kompatibilitu spoločnosti Slava. Budeme analyzovať riešenie systémov (v prípade ich kompatibility) s pomocou koncepcie základného menšieho matice. Budeme tiež zvážiť metódu gauss a podrobne popíšeme riešenia príkladov.
Určite sa zameriavame na štruktúru celkového riešenia homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc. Dávame koncepciu systému základného riešenia a ukáže, ako je všeobecné riešenie napísané do Slava pomocou vektorov systému základných riešení. Pre lepšie pochopenie budeme analyzovať niekoľko príkladov.
Na záver, považujeme systém rovníc, ktoré sú znížené na lineárne, ako aj rôzne úlohy, pri riešení, ktoré dochádza k svahu.
Navigácia.
Definície, koncepty, notácie.
Budeme zvážiť systémy z Lineárnych algebraických rovníc s N neznámymi premennými (P môže byť rovný n)
Neznáme premenné - koeficienty (niektoré platné alebo zložité čísla) - bezplatné členovia (platné alebo komplexné čísla).
Takáto forma napísaného sa volá súradnica.
V tvar matici Záznamy Tento systém rovníc má formulár
Kde 
- Hlavná matrica systému, - matricový stĺpec neznámych premenných, - matricový stĺpec voľných členov.
Ak pridáte do matici a pridajte stĺpový stĺpový stĺpový stĺpec, potom dostaneme tzv. rozšírená matrica Systémy lineárnych rovníc. Typicky je expandovaná matrica označená písmenom t a stĺpec voľných členov je oddelený vertikálnou čiarou zo zvyšných stĺpcov, to znamená 
Riešením systému lineárnych algebraických rovníc Zavolajte súbor hodnôt neznámych premenných a pridávajte všetky rovnice systému v identitách. Matricová rovnica pre tieto hodnoty neznámych premenných tiež rieši identitu.
Ak má systém rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva spojenie.
Ak systém riešení nemá, potom sa nazýva nepretržite.
Ak má jediné riešenie jediné rozhodnutie, potom sa nazýva definovaný; \\ T Ak sú riešenia viac ako jedno, potom - neistý.
Ak sú voľné podmienky všetkých systémových rovníc nulové 
Potom sa systém nazýva uniforma, inak - heterogénny.
Riešenie základných systémov lineárnych algebraických rovníc.
Ak sa počet systémových rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matrice nie je nula, potom sa takýto svah základný. Takéto systémy rovníc majú jedno riešenie av prípade homogénny systém sú všetky neznáme premenné nula.
Začali sme študovať na strednej škole taká lebka. Keď boli vyriešené, zaujali sme nejakú rovnicu, vyjadrili jednu neznáma premennú prostredníctvom iných a nahradil ju do zostávajúcich rovníc, nasledovala nasledujúca rovnica, vyjadrila nasledujúcu neznáme variabilné a nahradené do iných rovníc a tak ďalej. Alebo použil spôsob pridávania, to znamená, že dve alebo viac rovníc zložených na vylúčenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa podrobne zastaviť na týchto metódach, pretože sú v podstate modifikácie metód Gaussu.
Hlavnými metódami riešenia základných systémov lineárnych rovníc sú metódou krímy, matricová metóda a metóda gauss. Budeme ich analyzovať.
Riešenie systémov lineárnych rovníc podľa metódy štrbiny.
Potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc 
V ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matrice systému je odlišný od nuly, to znamená,
Nechať - determinant hlavnej matrice systému a 
- Determinanty matríc, ktoré sa získavajú z náhrady 1., 2., ..., n-wow Stĺpec, resp. Na stĺpci voľných členov: 
S takýmto notáciou sa nevypočítajú neznáme premenné pomocou vzorcov metódy Cramers 
. Takže existuje riešenie systému lineárnych algebraických rovníc metódou štrbiny.
Príklad.
Metóda Cramer 
.
Rozhodnutia.
Hlavná matica systému má formulár 
. Vypočítavame jeho determinant (ak je to potrebné, pozri článok): 
Vzhľadom k tomu, determinant hlavnej matrice systému je odlišný od nuly, systém má jediné riešenie, ktoré možno nájsť podľa metódy Cramer.
Vytvoríme a vypočítame potrebné determinanty 
(Získavame determinant, nahradenie v matrici a prvom stĺpci na stĺpci voľných členov, determinant - nahradenie druhého stĺpca na stĺpci voľných členov, - nahradenie tretieho stĺpca matrice a na stĺpci voľných členov ): 
Nájdeme neznáme premenné podľa vzorcov 
:
Odpoveď:
Hlavná nevýhoda metódy Cramer (ak sa dá nazývať nevýhodou), je zložitosť výpočtu determinantov, keď počet systémových rovníc je viac ako tri.
Riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc podľa matricovej metódy (s použitím reverznej matrice).
Nech je systém lineárnych algebraických rovníc špecifikovaný v matricovej forme, kde matrica A má rozmer n na n a jeho determinant sa líši od nuly.
Vzhľadom k tomu, potom matrica A je reverzibilná, to znamená, že je tu reverzná matrica. Ak vynásobíte obe časti rovnosti doľava, získavame vzorec pre nájdenie stĺpca neznámeho premennej. Takže sme získali riešenie systému lineárnych algebraických rovníc metódou matrici.
Príklad.
Rozhodnúť o systéme lineárnych rovníc Matrixová metóda.
Rozhodnutia.
Revízujem systém rovníc v matici: 
Ako
Že svah môže byť vyriešený metódou matrici. Pomocou reverznej matrice sa môže riešenie tohto systému nájsť ako 
.
Vytvárame inverznú matricu s použitím matrice z algebraických prídavných prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok): 
Zostáva vypočítať - maticu neznámych premenných, vynásobením návratnej matrice 
Na matricovom stĺpci slobodných členov (v prípade potreby pozri článok): 
Odpoveď:
Alebo v inom zázname x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Hlavným problémom pri riešení riešení lineárnych algebraických rovníc, matricová metóda spočíva v zložitosti inverznej matrice, najmä pre štvorcové matice objednávky nad tretou.
Riešenie systémov lineárnych rovníc podľa Gauss Metóda.
Potrebujeme nájsť riešenie systému z n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými 
Determinant hlavnej matrice sa líši od nuly.
Podstatou metód GAUSS Skladá sa v sekvenčnom vylúčení neznámych premenných: najprv vylučuje x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhým, potom x 2 všetkých rovníc, počnúc tretím, a tak ďalej, až kým neznáme neznáme variabilné XN v poslednej rovnici. Takýto proces konverzie systémových rovníc pre konzistentné vylúčenie neznámych premenných sa nazýva priame beh metódy gauss. Po odstránení priameho pohybu metód GAUSS z poslednej rovnice je x N, s pomocou tejto hodnoty z predposlednej rovnice, X n-1 sa vypočíta, a tak ďalej, X1 sa vypočíta z prvej rovnice. Proces výpočtu neznámych premenných pri jazde z poslednej rovnice systému na prvú sa nazýva návrat metódy GAUSS.
Stručne opíšte algoritmus, aby ste vylúčili neznáme premenné.
Budeme predpokladať, že keďže vždy môžeme dosiahnuť túto permutáciu systémových rovníc. Okrem neznámej premennej x 1 všetkých rovníc systému, počnúc druhým. Ak to chcete urobiť, druhá rovnica systému pridá prvé, vynásobené, na tretiu rovnicu, pridať prvé, vynásobené, a tak ďalej, na N-Th rovnicu pridať prvé, vynásobené. Systém rovníc po takýchto transformáciách bude mať formu 
kde. 
.
Boli by sme dospeli k rovnakému výsledku, ak by X1 vyjadril X 1 prostredníctvom iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz substituovaný do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhým.
Ďalej konáme tiež, ale len s časťou získaného systému, ktorý je označený na obrázku 
Aby sme to urobili, pridávame druhú, vynásobenú, na štvrtú rovnicu na štvrtú rovnicu, druhý, vynásobený, a tak ďalej na N-TH Rovnicu, pridajte druhú, vynásobenú. Systém rovníc po takýchto transformáciách bude mať formu 
kde. 
. Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.
Ďalej prejdite na vylúčenie neznámej x 3, pričom koná podobne ako časť systému označeného na obrázku 
Pokračujeme v priamom pohybe metód GAUSS, zatiaľ čo systém neberie 
Od tej chvíle, začneme reverzným priebehom metódy Gaussa: Vypočítajte XN z poslednej rovnice, pretože používanie výsledného XN, nájdeme X n-1 z predposlednej rovnice, a tak ďalej, nájdeme X 1 z prvej rovnica.
Príklad.
Rozhodnúť o systéme lineárnych rovníc Gauss metóda.
Rozhodnutia.
Poďme vylúčiť neznáme variabilné x 1 z druhej a tretej rovnice systému. Aby ste to urobili, pridávame zodpovedajúce časti prvej rovnice do oboch častí druhej a tretej rovnice, vynásobenej a na adrese: \\ t 
Teraz, z tretej rovnice, vylúčiť x 2, pridanie do jeho ľavej a pravej časti ľavého a pravej časti druhej rovnice vynásobené: 
Na tomto sa dokončí priamy ťah metód GAUSS, začneme opak.
Z poslednej rovnice získaného systému rovníc nájdeme X 3: 
Z druhej rovnice dostaneme.
Z prvej rovnice nájdeme zostávajúcu neznáme premennú a tieto splnia reverzný pohyb metód GAUSS.
Odpoveď:
X 1 \u003d 4, X2 \u003d 0, X3 \u003d -1.
Riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného formulára.
Vo všeobecnom prípade sa počet rovníc systému P nezhoduje s počtom neznámych premenných N:
Takýto sklon nemusí mať riešenia, majú jedno rozhodnutie alebo majú nekonečne veľa riešení. Toto vyhlásenie tiež odkazuje na systémy rovníc, ktorých hlavná matrica je štvorcová a degenerovaná.
Veta Kronkera - Capelli.
Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné stanoviť jej zlučiteľnosť. Odpoveď na otázku, keď je Slava spolu, a keď je neúplné, dáva koncheker Theorem - Capelli:
Aby bol systém z POVRCHOVÝCH ROVOKOV NÍZKAMI NÍZKAME (P môže byť rovný n), je potrebné a dostatočné, že hodnosť hlavnej matrice systému bola rovná hodnosti rozšírenej matrice, to znamená A) \u003d Rank (t).
Zvážte príklad používania veta Krakeker - Capelli na určenie kompilácie systému lineárnych rovníc.
Príklad.
Zistite, či systém lineárnych rovníc má 
Riešenia.
Rozhodnutia.
. Používame metódu rušnej drobnosti. Minor z druhej objednávky 
Odlišné od nuly. Prekonávame neplnoleté osoby tretích objednávok z popredia: 
Vzhľadom k tomu, všetky tretieria objednávky základné neplnoleté osoby sú nula, hodnosť hlavnej matrice je dva.
Zase, hodnosť rozšírenej matrice 
rovná tri, ako menšie tretieho poriadku 
Odlišné od nuly.
Touto cestou, Ras zazvonil (A), preto na Krakecker Theorem - Capelli možno dospieť k záveru, že počiatočný systém lineárnych rovníc je neúplný.
Odpoveď:
Systém riešení nemá č.
Takže sme sa dozvedeli, ako vytvoriť neúplnosť systému pomocou Klekeker - Capelli Theorem.
Ako však nájsť riešenie pre Slava, ak je jeho kompatibilita nainštalovaná?
Na tento účel potrebujeme koncepciu základného menšieho matice a teorem na kruhu matrice.
Minor najvyššieho poradia matrice A, odlišné od nuly, sa nazýva základ.
Z definície základnej menšej miery vyplýva, že jej objednávka sa rovná rozpätiu matrice. Pre nenulovú matricu, ale môže existovať niekoľko základných menšín, jedno základné menšie je vždy.
Zvážte napríklad maticu 
.
Všetci maloletí tretieho poradia tejto matrice sú nula, pretože prvky tretieho riadku tejto matrice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.
Základné sú nasledovné neplnoleté osoby druhého poriadku, pretože sa líšia od nuly 
Menšina 
Základné nie sú, ako sú nulové.
Veta na hodnosti matrice.
Ak je krúžok poradia P na n rovný R, potom všetky prvky reťazcov (a stĺpcov) matrici, ktoré netvoria vybranú bázickú maloletou, sú lineárne exprimované prostredníctvom zodpovedajúcich prvkov strunov (a stĺpcov) tvoriacich základňa.
Čo nám dáva teorem na hodnosti matice?
Ak na vevere KRECONEKER - Capelli, nastavili jednotky systému, vyberieme akúkoľvek základnú menšiu malú maticu systému (jeho objednávka je rovná R) a vylúčiť zo systému všetkých rovníc, ktoré nie vytvorte vybranú základňu. Takto získaný svah bude ekvivalentný originálu, pretože zlikvidované rovnice sú stále zbytočné (sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc v smere teoremity matrice).
Výsledkom je, že po odstránení nadbytočných rovníc systému sú možné dva prípady.
Ak sa počet ROVOVÝCH ROVERNÝCH ROVERNÝCH ROVERNOSTI rovný počtu neznámych premenných, bude to isté a jediným riešením nájdete metódu Cramer, metóda matice alebo Gauss metóda.
Príklad.
.
Rozhodnutia.
Rank Hlavný systém Matrix 
rovná dvom, ako je to druhá objednávka 
Odlišné od nuly. Rank rozšírenej matrice 
Tiež rovné dvom, pretože jediné menšie tretieho poriadku je nula 
A vyššie uvedená vyššie uvedená prvá objednávka sa líši od nuly. Na základe vety Krocecker - Capelli je možné schváliť zdieľanie pôvodného systému lineárnych rovníc, pretože Rank (A) \u003d Rank (t) \u003d 2.
Ako základné menšie . Vytvára koeficienty prvej a druhej rovnice: 
Tretia rovnica systému nie je zapojená do tvorby základnej menšej mienky, preto ho vylučujeme zo systému založeného na teorem na matici Ring: 
Tak sme získali základný systém lineárnych algebraických rovníc. Riešením ho pomocou kráteru: 
Odpoveď:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Ak je počet ROVOVÝCH ROVOV VÝKONNOSTI VYKONÁVATEĽA NIEKOĽKOSTI NEZNAMENÝCH PREHRANÍ N, potom v ľavých častiach rovníc, opustíme komponenty, ktoré tvoria základňu, zvyšok komponentov sa prenáša na správne časti systémových rovníc s opačným znamením.
Neznáme premenné (ich ks) zostávajúce v ľavých častiach rovníc základný.
Neznáme premenné (ich n-rs), ktoré boli v pravej časti, sa nazývajú zadarmo.
Teraz sme presvedčení, že bezplatné neznáme premenné môžu urobiť ľubovoľné hodnoty, zatiaľ čo R základné neznáme premenné budú vyjadrené bezplatnými neznámymi premennými jedinou cestou. Ich výrazom je možné nájsť riešenie výslednej vzorky metódou pohonu, matricová metóda alebo metóda gauss.
Budeme analyzovať príklad.
Príklad.
Rozhodnúť o systéme lineárnych algebraických rovníc 
.
Rozhodnutia.
Nájdeme hodnosť hlavnej matice systému 
Spôsob rušných maloletých. Ako nenulové menšie z prvej objednávky, užívajte 1 1 \u003d 1. Začnime hľadať druhú objednávku no nulové menšie, čo znižuje tento menší: 
Tak sme zistili nezmyselný menší z druhého poriadku. Začnime vyhľadávanie nonzero hraničiacich tretej objednávky: 
Takže hodnosť hlavnej matrice je tri. Rank rozšírenej matrice je tiež rovná tri, to znamená, že systém je koordinovaný.
Založená nenulová menšia z tretieho poriadku bude mať ako základný.
Pre jasnosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základnú malú: 
Nechápeme komponenty systému v ľavej časti rovníc zapojených do základnej menšie, zvyšok sa prenesie s opačnými značkami na správnych častiach: 
Dajte bezplatné neznáme premenné X 2 a X 5 ľubovoľné hodnoty, to znamená, že budeme mať 
Kde - ľubovoľné čísla. Zároveň sa sklon vezme 
Výsledný základný systém lineárnych algebraických rovníc riešením riadiaceho systému: 
Teda.
V reakcii na nezabudnite zadať bezplatné neznáme premenné.
Odpoveď:
Kde - ľubovoľné čísla.
Sumarizovať.
Na vyriešenie systému lineárnych algebraických rovníc spoločného typu sa najprv zistíme jeho kompatibilitu pomocou teoremity Konpeker - Capelli. Ak sa hodnosť hlavnej matrice nie je rovná hodnosti rozšírenej matrice, potom sme uzavreli neúplnosť systému.
Ak sa hodnosť hlavnej matrice rovná hodnosti rozšírenej matice, potom vyberieme základňu Minor a zlikvidujeme rovnicu systému, ktorý sa nezúčastňuje na formácii zvolenej základne.
Ak sa poradie základnej menšej miery rovná počtu neznámych premenných, potom má Slava jediné riešenie, ktoré nájdeme akúkoľvek metódu, ktorá nám bola známa.
Ak je poradie základného menšieho menšieho, ako je počet neznámych premenných, potom v ľavej časti systémových rovníc opustíme komponenty s hlavnými neznámymi premennými, zostávajúce komponenty sa prenášajú na správne časti a poskytujú bezplatné neznáme premenné ľubovoľné hodnoty. Z výsledného systému lineárnych rovníc nájdeme hlavné neznáme premenné výrobcom, metóda matice alebo metóda Gaussa.
Metóda gauss na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného formulára.
Metóda Gauss môže vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez predchádzajúceho výskumu jednotiek. Proces konzistentného vylúčenia neznámych premenných nám umožňuje ukončiť tak zlučiteľnosť a neúplnosť spoločnosti Slava av prípade existencie riešenia ju umožňuje nájsť.
Z hľadiska výpočtovej prevádzky je uprednostňovaná metóda gaussu.
Pozrite si podrobný opis a rozobraté príklady v článku. metóda Gauss na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného formulára.
Všeobecné riešenie homogénnych a nehomogénnych systémov lineárneho algebraických s použitím vektorov systému základných riešení.
V tejto časti budeme diskutovať o spoločných homogénnych a nehomogénnych systémoch lineárnych algebraických rovníc, ktoré majú nekonečné nastavené roztoky.
Najprv pochopíme homogénne systémy.
Základné systémové riešenia Homogénny systém od Lineárnych algebraických rovníc s N neznámymi premennými sa nazývajú Set (N-R) lineárne nezávislé riešenia tohto systému, kde R je poradie základnej menšej z hlavnej matrice systému.
Ak označíte lineárne nezávislé roztoky homogénneho svahu ako X (1), X (2), ..., X (NR) (X (1), X (2), ..., X (NR) - sú matice rozmerových stĺpcov n o 1), všeobecný roztok tohto homogénneho systému je prezentovaný vo forme lineárnej kombinácie vektorov základného systému roztokov s ľubovoľným konštantným koeficientom s 1, C 2, ..., C (nr), to znamená,
Čo označuje termín všeobecného riešenia homogénneho systému lineárnych algebraických rovníc (orostal)?
Význam je jednoduchá: vzorec nastaví všetky možné riešenia pôvodnej Slava, inými slovami, pričom v súlade so všetkým množstvom hodnôt ľubovoľných konštánt C1, C2, ..., C (NR), podľa vzorca, Dostaneme jeden z riešení počiatočného homogénneho svahu.
Ak teda nájdeme základný systém riešení, budeme môcť položiť všetky riešenia tohto homogénneho svahu ako.
Ukážme proces budovania základného systému riešenia s homogénnym svahom.
Vyberieme základné menšie menšie z pôvodného systému lineárnych rovníc, vylučujeme všetky ostatné rovnice zo systému a prevedené na správne časti systémových rovníc s opačnými značkami, všetky termíny obsahujúce bezplatné neznáme premenné. Dajte nám poskytnuté bezplatné neznáme variabilnú hodnotu 1.0.0, ..., 0 a vypočítať hlavné neznáme, riešenie výsledného elementárneho systému lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad metódou pohonu. Získa sa tak x (1) - prvé riešenie základného systému. Ak dáte bezplatnú neznámu hodnotu 0,1.0,0, ..., 0 a vypočítajte hlavné neznáme, potom získame X (2). Atď. Ak bezplatné neznáme premenné dávajú hodnotu 0,0, ..., 0,1 a vypočítajte hlavné neznáme, potom získame X (N-R). To bude vybudovaný základný systém riešení homogénneho svahu a jeho všeobecné riešenie môže byť zaznamenané.
V prípade nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc je všeobecný roztok reprezentovaný vo forme, kde je všeobecný roztok zodpovedajúceho homogénneho systému a súkromného riešenia počiatočného nehomogénneho svahu, ktoré dostaneme, čo dáva bezplatnú neznámu hodnotu 0,0, ..., 0 a výpočet hodnôt hlavných neznámych.
Budeme analyzovať príklady.
Príklad.
Nájdite systém základných riešení a všeobecné riešenie homogénny systém lineárnych algebraických rovníc. 
.
Rozhodnutia.
Rank hlavnej matrice homogénnych systémov lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matrice. Nájdeme hodnosť hlavnej matrice metódou rušných maloletých. Ako nenovo minoritné z prvej objednávky, vezmite prvok A 1 1 \u003d 9 hlavnej matrice systému. Nájdeme hraničné nenulové menšie z druhej objednávky: 
Minor z druhej objednávky, odlišné od nuly, nájdené. Budeme prekonať menšie potraviny tretej objednávky pri hľadaní no nula: 
VŠETKO TRETÍCH OBJEDNÁVKOVÉHO SIVERNÍKU sú nula, preto je hodnosť hlavnej a rozšírenej matrice dva. Berieme základné menšie. Poznamenávame jasnosť prvky systému, ktoré ho tvoria: 
Tretia rovnica pôvodného svahu sa nezúčastňuje na formácii základného menšieho, preto môže byť vylúčená: \\ t 
Zosúladenie ponecháme hlavné neznáme v pravej časti rovníc, a nosíme termíny s voľnými neznámymi do správnych častí:
Vytvárame základný systém riešení počiatočného homogénneho systému lineárnych rovníc. Základným systémom riešení tohto sklonu sa skladá z dvoch riešení, pretože počiatočný sklon obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základného menšiny je dva. Ak chcete nájsť X (1), dajte nám poskytnúť bezplatnú neznámu variabilnú hodnotu x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, potom hlavné neznáme nájsť zo systému rovníc 
.
