Definícia: Bod x0 sa nazýva bod lokálneho maxima (alebo minima) funkcie, ak v niektorom okolí bodu x0 funkcia nadobúda najväčšiu (alebo najmenšiu) hodnotu, t.j. pre všetky x z nejakého okolia bodu x0 je splnená podmienka f(x) f(x0) (alebo f(x) f(x0)).

Miestne maximálne alebo minimálne body sa kombinujú spoločný názov- body lokálneho extrému funkcie.

Všimnite si, že v bodoch lokálnych extrémov funkcia dosahuje svoje maximum resp najnižšia hodnota len v nejakej miestnej oblasti. Môžu nastať prípady, kedy podľa hodnoty уmaxуmin.

Nevyhnutný znak existencie lokálneho extrému funkcie

Veta . Ak nepretržitá funkcia y = f(x) má lokálny extrém v bode x0, potom je v tomto bode prvá derivácia buď nulová, alebo neexistuje, t.j. lokálny extrém sa vyskytuje v kritických bodoch prvého druhu.

V lokálnych extrémnych bodoch je buď dotyčnica rovnobežná s osou 0x, alebo existujú dve dotyčnice (pozri obrázok). Všimnite si, že kritické body sú nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou pre lokálny extrém. Lokálny extrém sa vyskytuje iba v kritických bodoch prvého druhu, ale nie vo všetkých kritických bodoch sa vyskytuje lokálny extrém.

Napríklad: kubická parabola y = x3 má kritický bod x0 = 0, v ktorom je derivácia y/(0)=0, ale kritický bod x0=0 nie je extrémnym bodom, ale inflexným bodom v ňom (pozri nižšie).

Dostatočný znak existencie lokálneho extrému funkcie

Veta . Ak, keď argument prechádza cez kritický bod prvého druhu zľava doprava, prvá derivácia y / (x)

zmení znamienko z „+“ na „-“, potom má spojitá funkcia y(x) v tomto kritickom bode lokálne maximum;

zmení znamienko z „-“ na „+“, potom má spojitá funkcia y(x) v tomto kritickom bode lokálne minimum

nezmení znamienko, potom v tomto kritickom bode neexistuje lokálny extrém, je tu inflexný bod.

Pre lokálne maximum je oblasť rastúcej funkcie (y/0) nahradená oblasťou klesajúcej funkcie (y/0). Pre lokálne minimum je oblasť klesajúcej funkcie (y/0) nahradená oblasťou rastúcej funkcie (y/0).

Príklad: Preskúmajte monotónnosť, extrém funkcie y = x3 + 9x2 + 15x - 9 a zostrojte graf funkcie.

Poďme nájsť kritické body prvého druhu tak, že definujeme deriváciu (y/) a prirovnáme ju k nule: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Rozhodnime sa kvadratická trojčlenka pomocou diskriminantu:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Číselnou os rozdelíme na 3 oblasti s kritickými bodmi a určíme v nich znamienka derivácie (y/). Pomocou týchto znakov nájdeme oblasti monotónnosti (zvyšovania a znižovania) funkcií a zmenou znakov určíme body lokálneho extrému (maximum a minimum).

Výsledky výskumu uvádzame vo forme tabuľky, z ktorej možno vyvodiť tieto závery:

• 1. Na intervale y /(-10) 0 funkcia monotónne narastá (znamienko derivácie y bolo odhadnuté pomocou riadiaceho bodu x = -10 zobratého v tomto intervale);
• 2. Na intervale (-5 ; -1) y /(-2) 0 funkcia monotónne klesá (znamienko derivácie y bolo odhadnuté pomocou kontrolného bodu x = -2, braného v tomto intervale);
• 3. Na intervale y /(0) 0 funkcia monotónne narastá (znamienko derivácie y bolo odhadnuté pomocou riadiaceho bodu x = 0, prijatého v tomto intervale);
• 4. Pri prechode cez kritický bod x1k = -5 derivácia zmení znamienko z „+“ na „-“, preto je tento bod lokálnym maximálnym bodom
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 = 16);
• 5. Pri prechode cez kritický bod x2k = -1 derivácia zmení znamienko z „-“ na „+“, preto je tento bod lokálnym minimálnym bodom
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x-5 (-5; -1)-1

3) Na základe výsledkov štúdie vytvoríme graf pomocou dodatočných výpočtov funkčných hodnôt v kontrolných bodoch:

zostrojiť pravouhlý súradnicový systém Oxy;

Súradnicami zobrazujeme body maxima (-5; 16) a minima (-1;-16);

na objasnenie grafu vypočítame hodnotu funkcie v kontrolných bodoch, pričom ich vyberieme vľavo a vpravo od maximálnych a minimálnych bodov a vo vnútri priemerného intervalu, napríklad: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) a (0;-9) - vypočítané kontrolné body, ktoré nakreslíme na zostavenie grafu;

Graf zobrazujeme vo forme krivky konvexnej smerom nahor v maximálnom bode a konvexnej smerom nadol v minimálnom bode a prechádzajúc cez vypočítané kontrolné body.

>>Extrémne

Extrém funkcie

Definícia extrému

Funkcia volá sa y = f(x). zvyšujúci sa (klesajúci) v určitom intervale, ak pre x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Ak diferencovateľná funkcia y = f (x) rastie (klesá) na intervale, potom jej derivácia na tomto intervale f " (X)> 0

(f"(X)< 0).

Bodka X O volal miestny maximálny bod (minimálne) funkcia f (x), ak existuje okolie bodu x o, pre všetky body, ktorých nerovnosť f (x) platí≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Maximálny a minimálny počet bodov sa nazýva extrémne body a hodnoty funkcie v týchto bodoch sú jej extrémy.

Extrémne body

Nevyhnutné podmienky pre extrém . Ak bod X O je extrémny bod funkcie f (x), potom buď f " (xo) = 0 alebo f(x o ) neexistuje. Takéto body sa nazývajú kritický, a samotná funkcia je definovaná v kritickom bode. Medzi jej kritickými bodmi treba hľadať extrémy funkcie.

Prvá postačujúca podmienka. Nechaj X O - kritický bod. Ak f" (x ) pri prechode bodom X O zmení znamienko plus na mínus a potom na bod x o funkcia má maximum, inak má minimum. Ak pri prechode cez kritický bod derivácia nezmení znamienko, potom v bode X O neexistuje extrém.

Druhá postačujúca podmienka. Nech má funkcia f(x).
f" (x ) v blízkosti bodu X O a druhá derivácia v samotnom bode x o. Ak f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o je bod lokálneho minima (maxima) funkcie f (x). Ak = 0, potom musíte použiť prvú dostatočnú podmienku alebo použiť vyššie.

Na segmente môže funkcia y = f (x) dosiahnuť svoju minimálnu alebo maximálnu hodnotu buď v kritických bodoch alebo na koncoch segmentu.

Príklad 3.22.

Riešenie. Pretože f " (

Problémy nájdenia extrému funkcie

Príklad 3.23. a

Riešenie. X A r r
0 ≤ X≤
> 0 a kedy x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcie kv. Jednotky).

Príklad 3.24. p ≈

Riešenie. p p
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Príklad 3.22.Nájdite extrémy funkcie f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Riešenie. Pretože f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), potom kritické body funkcie x 1 = 2 a x 2 = 3. Extrémy môžu byť iba v týchto bodoch. Keďže pri prechode bodom x 1 = 2 derivácia mení znamienko z plus na mínus, tak v tomto bode má funkcia maximum. Pri prechode bodom x 2 = 3 derivácia zmení znamienko z mínus na plus, takže v bode x 2 = 3 má funkcia minimum. Po vypočítaní funkčných hodnôt v bodoch
x 1 = 2 a x 2 = 3, nájdeme extrémy funkcie: maximum f (2) = 14 a minimum f (3) = 13.

Príklad 3.23.Pri kamennom múre je potrebné vybudovať obdĺžnikovú plochu tak, aby bola z troch strán oplotená drôteným pletivom a štvrtá strana priliehala k múru. Pre toto existuje a lineárne metre pletiva. Pri akom pomere strán bude mať stránka najväčšiu plochu?

Riešenie.Označme strany plošiny pomocou X A r. Plocha lokality je S = xy. Nechaj r- toto je dĺžka strany priľahlej k stene. Potom podľa podmienky musí byť splnená rovnosť 2x + y = a. Preto y = a - 2x a S = x (a - 2x), kde
0 ≤ X≤ a /2 (dĺžka a šírka oblasti nemôže byť záporná). S " = a - 4x, a - 4x = 0 pri x = a/4, odkiaľ
y = a - 2 x a/4 = a/2. Pretože x = a /4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pri x a /4 S "> 0 a kedy x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcie S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (kv. Jednotky). Keďže S je nepretržite zapnuté a jeho hodnoty na koncoch S(0) a S(a /2) sú rovné nule, nájdená hodnota bude najvyššia hodnota funkcie. Najpriaznivejší pomer strán lokality za daných podmienok úlohy je teda y = 2x.

Príklad 3.24.Vyžaduje sa výroba uzavretej valcovej nádrže s objemom V=16 p ≈ 50 m3. Aké by mali byť rozmery nádrže (polomer R a výška H), aby sa na jej výrobu spotrebovalo čo najmenej materiálu?

Riešenie.Námestie celoplošný valec sa rovná S = 2 p R(R+H). Poznáme objem valca V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Takže S(R) = 2 p (R2+16/R). Nájdeme deriváciu tejto funkcie:
S"(R) = 2 p (2R-16/R2) = 4 p (R-8/R2). S" (R) = 0 pri R3 = 8, preto,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Pre funkciu f(x) mnohých premenných je bod x vektor, f'(x) je vektor prvých derivácií (gradientu) funkcie f(x), f ′ ′(x) je symetrická matica druhej parciálne derivácie (Hessova matica - Hessova) funkcie f(x).
Pre funkciu mnohých stavové premenné optimality sú formulované nasledovne.
Nevyhnutná podmienka pre lokálnu optimalitu. Nech f(x) je diferencovateľné v bode x * R n . Ak x * je lokálny extrémny bod, potom f’(x *) = 0.
Rovnako ako predtým, body, ktoré sú riešením systému rovníc, sa nazývajú stacionárne. Povaha stacionárneho bodu x * je spojená s určitým znamienkom Hessovej matice f′ ′(x).
Znamienko matice A závisí od znamienok kvadratickej formy Q(α)=< α A, α >pre všetky nenulové α∈R n .
Tu a ďalej označuje skalárny súčin vektorov x a y. A-priory,

Matica A je kladne (nezáporná) definitívna, ak Q(α)>0 (Q(α)≥0) pre všetky nenulové α∈R n ; negatívny (nepozitívny) určitý, ak Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 pre nejaké nenulové α∈R n a Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Dostatočný stav pre lokálnu optimalitu. Nech f(x) je dvakrát diferencovateľné v bode x * R n a f’(x *)=0, t.j. x * − stacionárny bod. Potom, ak je matica f′′(x *) kladne (záporná) definitná, potom x * je bod lokálneho minima (maxima); ak matica f′′(x *) nie je definovaná, potom x * je sedlový bod.
Ak je matica f′′(x *) nezáporne (nepozitívne) definitívna, potom na určenie povahy stacionárneho bodu x * je potrebné študovať derivácie vyššieho rádu.
Na kontrolu znamienka matice sa spravidla používa Sylvesterovo kritérium. Podľa tohto kritéria je symetrická matica A pozitívne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky jej uhlové minority kladné. V tomto prípade je uhlová minor matice A determinantom matice zostavenej z prvkov matice A umiestnených na priesečníku riadkov a stĺpcov s rovnakými (a prvými) číslami. Ak chcete skontrolovať symetrickú maticu A na negatívnu definitívnosť, musíte skontrolovať maticu (−A) na pozitívnu definitívnosť.
Algoritmus na určenie lokálnych extrémnych bodov funkcie mnohých premenných je teda nasledujúci.
1. Nájdite f′(x).
2. Systém sa rieši

V dôsledku toho sa vypočítajú stacionárne body x i.
3. Nájdite f′′(x), nastavte i=1.
4. Nájdite f′′(x i)
5. Vypočítajú sa uhlové minority matice f′′(x i). Ak nie sú všetky uhlové minority nenulové, potom určenie povahy stacionárneho bodu x i vyžaduje štúdium derivátov vyššieho rádu. V tomto prípade sa vykoná prechod na krok 8.
V opačnom prípade prejdite na krok 6.
6. Analyzujú sa znaky uhlových minorov f′′(x i). Ak je f′′(x i) pozitívne definitné, potom x i je bod lokálneho minima. V tomto prípade sa vykoná prechod na krok 8.
V opačnom prípade prejdite na krok 7.
7. Vypočítajú sa uhlové minority matice -f′′(x i) a analyzujú sa ich znamienka.
Ak je -f′′(x i) − kladne definitné, potom f′′(x i) je záporne definitné a x i je lokálny maximálny bod.
Inak f′′(x i) nie je definované a x i je sedlový bod.
8. Kontroluje sa podmienka určenia charakteru všetkých stacionárnych bodov i=N.
Ak je splnená, výpočty sú ukončené.
Ak podmienka nie je splnená, potom sa predpokladá i=i+1 a vykoná sa prechod na krok 4.

Príklad č.1. Určte body lokálnych extrémov funkcie f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2









Keďže všetky uhlové minority sú nenulové, charakter x 2 je určený pomocou f′′(x).
Keďže matica f′′(x 2) je kladne definitná, x 2 je bod lokálneho minima.
Odpoveď: funkcia f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 má lokálne minimum v bode x = (5/3; 8/3).

Hovorí sa, že funkcia má vo vnútornom bode
regiónu D miestne maximum(minimálne), ak existuje takéto okolie bodu
, za každý bod
ktorý drží nerovnosť

Ak má funkcia v bode
lokálne maximum alebo lokálne minimum, potom hovoríme, že v tomto bode má lokálny extrém(alebo proste extrém).

Veta (nevyhnutnou podmienkou existencie extrému). Ak diferencovateľná funkcia dosiahne extrém v bode
, potom každá parciálna derivácia funkcie prvého rádu v tomto bode sa stáva nulou.

Nazývajú sa body, v ktorých miznú všetky parciálne derivácie prvého rádu stacionárne body funkcie
. Súradnice týchto bodov možno nájsť riešením sústavy o rovníc

.

Nevyhnutnú podmienku existencie extrému v prípade diferencovateľnej funkcie možno stručne sformulovať takto:

Existujú prípady, keď v jednotlivých bodoch majú niektoré parciálne derivácie nekonečné hodnoty alebo neexistujú (zatiaľ čo ostatné sú rovné nule). Takéto body sa nazývajú kritické body funkcie. Tieto body by sa tiež mali považovať za „podozrivé“ pre extrém, rovnako ako stacionárne.

V prípade funkcie dvoch premenných nevyhnutná podmienka extrém, konkrétne nulová rovnosť parciálnych derivácií (diferenciálov) v bode extrému, má geometrickú interpretáciu: dotykovej roviny k povrchu
v extrémnom bode musí byť rovnobežná s rovinou
.

20. Dostatočné podmienky pre existenciu extrému

Splnenie nevyhnutnej podmienky existencie extrému v určitom okamihu vôbec nezaručuje existenciu extrému tam. Ako príklad si môžeme vziať všade diferencovateľnú funkciu
. Obidve jeho parciálne derivácie a samotná funkcia v bode zanikajú
. V každom susedstve tohto bodu sú však obe pozitívne (veľké
) a negatívne (menšie
) hodnoty tejto funkcie. Preto v tomto bode podľa definície nie je pozorovaný žiadny extrém. Preto je potrebné poznať dostatočné podmienky, za ktorých je bod podozrivý z extrému extrémnym bodom skúmanej funkcie.

Uvažujme prípad funkcie dvoch premenných. Predpokladajme, že funkcia
definované, spojité a má spojité parciálne derivácie až do druhého rádu vrátane v okolí nejakého bodu
, čo je stacionárny bod funkcie
, teda spĺňa podmienky

,
.

Predstavme si nasledujúci zápis:

Veta (dostatočné podmienky pre existenciu extrému). Nechajte funkciu
spĺňa vyššie uvedené podmienky, a to: je diferencovateľný v niektorom okolí stacionárneho bodu
a je dvakrát diferencovateľný v samotnom bode
. Potom ak

Ak
potom funkcia
v bode
dosiahne

miestne maximum pri
A

miestne minimum pri
.

Vo všeobecnosti pre funkciu
postačujúcou podmienkou existencie v bode
miestneminimálne(maximálne) je pozitívne(negatívne) istota druhého diferenciálu.

Inými slovami, nasledujúce tvrdenie je pravdivé.

Veta . Ak v bode
pre funkciu

pre všetky, ktoré sa v rovnakom čase nerovnajú nule
, potom v tomto bode funkcia má minimálne(podobný maximálne, Ak
).

Príklad 18.Nájdite miestne extrémne body funkcie

Riešenie. Nájdite parciálne derivácie funkcie a prirovnajte ich k nule:

Pri riešení tohto systému nájdeme dva možné extrémy:

Nájdite parciálne derivácie druhého rádu pre túto funkciu:

V prvom stacionárnom bode teda a
Preto je v tomto bode potrebný ďalší výskum. Hodnota funkcie
v tomto bode je nula:
ďalej

pri

A

pri

Preto v akomkoľvek okolí bodu
funkciu
nadobúda hodnoty tak veľké
a menšie
, a teda v bode
funkciu
, podľa definície nemá žiadny lokálny extrém.

V druhom stacionárnom bode



teda teda, keďže
potom v bode
funkcia má lokálne maximum.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Hovorí sa, že má $f$ miestne maximum v bode $x_(0) \in E$, ak existuje susedstvo $U$ bodu $x_(0)$ také, že pre všetky $x \in U$ je nerovnosť $f\left(x\right) ) \leqslant f je splnený \left(x_(0)\right)$.

Lokálne maximum je tzv prísny , ak je možné vybrať okolie $U$ tak, že pre všetky $x \in U$ odlišné od $x_(0)$ je $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definícia
Nech $f$ je reálna funkcia na otvorenej množine $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Hovorí sa, že má $f$ miestne minimum v bode $x_(0) \in E$, ak existuje susedstvo $U$ bodu $x_(0)$ také, že pre všetky $x \in U$ je nerovnosť $f\left(x\right) ) \geqslant f je splnený \left(x_(0)\right)$.

Miestne minimum sa nazýva prísne, ak je možné vybrať okolie $U$ tak, že pre všetky $x \in U$ odlišné od $x_(0)$ je $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\vpravo)$.

Lokálny extrém kombinuje pojmy lokálne minimum a lokálne maximum.

Veta (nevyhnutná podmienka pre extrém diferencovateľnej funkcie)
Nech $f$ je reálna funkcia na otvorenej množine $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ak má v bode $x_(0) \in E$ funkcia $f$ v tomto bode lokálny extrém, potom $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Rozdiel rovný nule je ekvivalentný skutočnosti, že všetky sú rovné nule, t.j. $$\displaystyle\frac(\čiastočné f)(\čiastočné x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

V jednorozmernom prípade je to – . Označme $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kde $h$ je ľubovoľný vektor. Funkcia $\phi$ je definovaná pre hodnoty $t$, ktoré sú dostatočne malé v absolútnej hodnote. Okrem toho je diferencovateľný vzhľadom na , a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Nech $f$ má lokálne maximum v bode x $0$. To znamená, že funkcia $\phi$ pri $t = 0$ má lokálne maximum a podľa Fermatovej vety $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Takže sme dostali, že $df \left(x_(0)\right) = 0$, t.j. funkcia $f$ v bode $x_(0)$ sa rovná nule na ľubovoľnom vektore $h$.

Definícia
Body, v ktorých je diferenciál nulový, t.j. tie, v ktorých sú všetky parciálne derivácie rovné nule, sa nazývajú stacionárne. Kritické body funkcie $f$ sú tie body, v ktorých $f$ nie je diferencovateľné alebo sa rovná nule. Ak je bod stacionárny, potom z toho nevyplýva, že funkcia má v tomto bode extrém.

Príklad 1
Nech $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Potom $\displaystyle\frac(\čiastočné f)(\čiastočné x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\čiastočné f)(\čiastočné y) = 3 \cdot y^(2 )$, takže $\left(0,0\right)$ je stacionárny bod, ale funkcia v tomto bode nemá extrém. Skutočne, $f \left(0,0\right) = 0$, ale je ľahké vidieť, že v akomkoľvek okolí bodu $\left(0,0\right)$ funkcia nadobúda kladné aj záporné hodnoty.

Príklad 2
Funkcia $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ má vo svojom počiatku stacionárny bod, ale je jasné, že v tomto bode neexistuje žiadny extrém.

Veta (dostatočná podmienka pre extrém).
Nech je funkcia $f$ dvakrát spojito diferencovateľná na otvorenej množine $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Nech $x_(0) \in E$ je stacionárny bod a $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x_(i) \čiastočné x_(j)) \ľavé(x_(0)\vpravo)h^(i)h^(j).$ $ Potom

1. ak $Q_(x_(0))$ – , potom funkcia $f$ v bode $x_(0)$ má lokálny extrém, konkrétne minimum, ak je tvar kladne určitý, a maximum, ak je tvar negatívny definitívny;
2. ak kvadratická forma $Q_(x_(0))$ nie je definovaná, potom funkcia $f$ v bode $x_(0)$ nemá extrém.

Využime rozšírenie podľa Taylorovho vzorca (12,7 s. 292). Ak vezmeme do úvahy, že parciálne derivácie prvého rádu v bode $x_(0)$ sú rovné nule, dostaneme $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ vpravo) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x_(i) \čiastočné x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ kde $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ a $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ pre $h \rightarrow 0$, potom bude pravá strana kladná pre akýkoľvek vektor $h$ dostatočne malej dĺžky.
Dospeli sme teda k záveru, že v určitom okolí bodu $x_(0)$ platí nerovnosť $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$, ak len $ x \neq x_ (0)$ (vložíme $x=x_(0)+h$\vpravo). To znamená, že v bode $x_(0)$ má funkcia prísne lokálne minimum a tým je dokázaná prvá časť našej vety.
Predpokladajme teraz, že $Q_(x_(0))$ – neurčitá forma. Potom sú tu vektory $h_(1)$, $h_(2)$ také, že $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 USD. Potom dostaneme $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ vľavo[ ​​\lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Pre dostatočne malé $t>0$ je pravá ruka strana je pozitívna. To znamená, že v akomkoľvek okolí bodu $x_(0)$ funkcia $f$ nadobúda hodnoty $f \left(x\right)$ väčšie ako $f \left(x_(0)\right)$.
Podobne zistíme, že v akomkoľvek okolí bodu $x_(0)$ funkcia $f$ nadobúda hodnoty menšie ako $f \left(x_(0)\right)$. To spolu s predchádzajúcim znamená, že v bode $x_(0)$ funkcia $f$ nemá extrém.

Uvažujme špeciálny prípad tejto vety pre funkciu $f \left(x,y\right)$ dvoch premenných, definovaných v nejakom okolí bodu $\left(x_(0),y_(0)\right) )$ a majúce spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Predpokladajme, že $\left(x_(0),y_(0)\right)$ je stacionárny bod a označte $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y) \left(x_( 0) ), y_(0)\vpravo), a_(22)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2)) \ľavé(x_(0), y_(0)\vpravo ) .$$ Potom predchádzajúca veta nadobúda nasledujúci tvar.

Veta
Nech $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. potom:

1. ak $\Delta>0$, potom funkcia $f$ má lokálny extrém v bode $\left(x_(0),y_(0)\right)$, konkrétne minimum, ak $a_(11)> 0 $ a maximálne, ak $a_(11)<0$;
2. ak $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Príklady riešenia problémov

Algoritmus na nájdenie extrému funkcie mnohých premenných:

1. Hľadanie stacionárnych bodov;
2. Nájdite diferenciál 2. rádu vo všetkých stacionárnych bodoch
3. Pomocou postačujúcej podmienky pre extrém funkcie mnohých premenných uvažujeme diferenciál 2. rádu v každom stacionárnom bode

1. Preskúmajte funkciu pre extrém $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Riešenie

   Nájdeme parciálne derivácie 1. rádu: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Poskladáme a vyriešime systém: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\čiastočné f)(\čiastočné y)= 0\koniec (prípady) \Šípka doprava \začiatok(prípady)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\koniec(prípady) \šípka doprava \začiatok(prípady)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cbodka y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Z 2. rovnice vyjadríme $x=4 \cdot y^(2)$ - dosadíme do 1. rovnice: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Výsledkom sú 2 stacionárne body:
   1) $y=0 \šípka doprava x = 0, M_(1) = \vľavo(0, 0\vpravo)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Šípka doprava y^(3)=\frac(1)(8) \Šípka doprava y = \frac(1)(2) \Šípka doprava x=1 , M_(2) = \vľavo(\frac(1)(2), 1\vpravo)$
   Pozrime sa, či je splnená dostatočná podmienka pre extrém:
   $$\displaystyle \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x^(2))=6 \cdot x; \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y)=-6; \frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Pre bod $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y) \vľavo(0,0\vpravo)=-6; C_(1)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2)) \ľavé(0,0\vpravo)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Pre bod $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y) \vľavo(1,\frac(1)(2)\vpravo)=-6; C_(2)=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, čo znamená, že v bode $M_(2)$ je extrém, a keďže $A_(2)> 0 $, potom je to minimum.
   Odpoveď: Bod $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimálny bod funkcie $f$.
   

2. Preskúmajte funkciu pre extrém $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Riešenie

   Nájdeme stacionárne body: $$\displaystyle \frac(\čiastočné f)(\čiastočné x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\čiastočné f)(\čiastočné y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2,$$
   Poskladáme a vyriešime systém: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Šípka doprava \začiatok(prípady)2 \cbodka y - 4= 0\\2 \cbodka y + 2 \cbodka x - 2 = 0\koniec (prípady) \šípka doprava \začiatok (prípady) y = 2\\y + x = 1\koniec (prípady) \šípka doprava x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ je stacionárny bod.
   Skontrolujeme, či je splnená dostatočná podmienka pre extrém: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné x \čiastočné y) \ľavé(-1,2\vpravo)=2; C=\frac(\čiastočné^(2) f)(\čiastočné y^(2)) \ľavé(-1,2\vpravo)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odpoveď: neexistujú žiadne extrémy.
   

Časový limit: 0

Navigácia (iba čísla úloh)

0 zo 4 dokončených úloh

Informácie

Urobte si tento kvíz a otestujte si svoje znalosti o téme, ktorú ste práve čítali: Lokálne extrémy funkcií viacerých premenných.

Test ste už absolvovali. Nemôžete to znova spustiť.

Testovacie načítanie...

Na spustenie testu sa musíte prihlásiť alebo zaregistrovať.

Na spustenie tohto testu musíte vykonať nasledujúce testy:

výsledky

Správne odpovede: 0 zo 4

Tvoj čas:

Čas vypršal

Získali ste 0 z 0 bodov (0)

Váš výsledok bol zaznamenaný vo výsledkovej tabuľke

1. S odpoveďou
2. So značkou pohľadu

Úloha 1 zo 4

1 .

Počet bodov: 1

Preskúmajte funkciu $f$ pre extrémy: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Správny


Nesprávne


1. Úloha 2 zo 4

   2 .

   Počet bodov: 1

   Má funkcia $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ extrém