Równanie koła. Równanie koła znalezienia równania koła

okrąg Istnieje wiele punktów samolotu równoznaczny z tego punktu, zwany centrum.

Jeśli punkt C jest środkiem okręgu, R jest jego promieniem, a M jest dowolnym punktem okręgu, a następnie określenie okręgu

Równość (1) jest równanie kręgu Radius R z centrum w punkcie S.

Niech prostokątny system współrzędnych Kartańczyków (rys. 104) i punkt C ( ale; B.) - środek kręgu promienia R. Let M x; W.) - arbitralny punkt tego kręgu.

Jak więc | cm | \u003d (sqrt ((x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2), a następnie równanie (1) można napisać jako:

(sqrt ((x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2) \u003d r

(x - A.) 2 + (u - B.) 2 \u003d R2 (2)

Nazywany jest równanie (2) ogólne równanie kręgu lub równanie kręgu Radius R ze środkiem w punkcie ( ale; B.). Na przykład równanie

(x. - l) 2 + ( y. + 3) 2 = 25

istnieje równanie kręgu promienia R \u003d 5 z centrem w punkcie (1; -3).

Jeśli środek okręgu zbiega się z początkiem współrzędnych, równanie (2) ma formę

x. 2 + w. 2 \u003d r 2. (3)

Nazywany jest równanie (3) równanie obwodu kanonicznego .

Zadanie 1. Napisz równanie kręgu promienia R \u003d 7 z centrum na początku współrzędnych.

Zostanie uzyskana bezpośrednia podstawienie wartości promienia w równaniu (3)

x. 2 + w. 2 = 49.

Zadanie 2. Napisz równanie kręgu promienia R \u003d 9 z środkiem w punkcie C (3; -6).

Podstawianie wartości punktów współrzędnych punktu C i wartości promienia we wzorze (2), otrzymujemy

(h. - 3) 2 + (w. - (-6)) 2 \u003d 81 lub ( h. - 3) 2 + (w. + 6) 2 = 81.

Zadanie 3.Znajdź centrum i promień okręgu

(h. + 3) 2 + (w.-5) 2 =100.

Porównując to równanie ze wspólnym równaniem koła (2), widzimy to ale = -3, b. \u003d 5, R \u003d 10. Dlatego z (-3; 5), R \u003d 10.

Zadanie 4.Udowodnij, że równanie

x. 2 + w. 2 + 4h. - 2y. - 4 = 0

jest równaniem koła. Znajdź jej centrum i promień.

Przekształcimy lewą część tego równania:

x. 2 + 4h. + 4- 4 + w. 2 - 2w. +1-1-4 = 0

(h. + 2) 2 + (w. - 1) 2 = 9.

To równanie jest równaniem koła z centrum w punkcie (-2; 1); Promień koła jest 3.

Zadanie 5.Napisz równanie kręgu o środku w punkcie z (-1; -1) dotyczącą bezpośredniego AB, jeśli A (2; -1), B (- 1; 3).

Napisz równanie Direct Av:

lub 4. h. + 3y.-5 = 0.

Ponieważ krąg dotyczy linii, a następnie promień przeprowadzony do punktu dotyku jest prostopadle do tej linii prostej. Aby znaleźć promień konieczny, aby znaleźć odległość od punktu C (-1; -1) - środek okręgu do linii prostej 4 h. + 3y.-5 = 0:

Napisz równanie pożądanego kręgu

(x. +1) 2 + (y. +1) 2 = 144 / 25

Niech okrąg w prostokątnym układzie współrzędnych x. 2 + w. 2 \u003d r 2. Rozważ jego arbitralny punkt M ( x; W.) (Rys. 105).

Niech promień-wektor Om. \u003e Punkty M tworzy kąt wielkości t. z pozytywnym kierunkiem osi h., potem odcięta i rzędna punkt m róża w zależności od t.

(0 t.x i y przez t.Odnaleźć

x. \u003d R cos. t. ; y. \u003d R grzech. t. , 0 t.

Równania (4) są nazywane parametryczne równania koła z centrum na początku współrzędnych.

Zadanie 6. Krąg jest ustawiony przez równania

x. \u003d (Sqrt (3)) cos t., y. \u003d (Sqrt (3)) grzech t., 0 t.

Napisz kanoniczne równanie tego kręgu.

Z warunków następuje x. 2 \u003d 3 cos 2 t., w. 2 \u003d 3 grzech 2 t.. Do tej pory składanie tych równości

x. 2 + w. 2 \u003d 3 (cos 2 t.+ SIN 2. t.)

lub x. 2 + w. 2 = 3

Klasa: 8

Cel lekcji: Wprowadź równanie koła, uczyć uczniów sporządzić równanie kręgu na gotowym rysunku, aby zbudować krąg wzdłuż danego równania.

Ekwipunek: Deska interaktywna.

Plan lekcji:

Moment organizacyjny - 3 min.
Wielokrotne powtarzanie. Organizacja aktywności umysłowej - 7 min.
Wyjaśnienie nowego materiału. Wyjście równania koła wynosi 10 minut.
Mocowanie materiału badanego - 20 min.
Wynik lekcji wynosi 5 minut.

Podczas zajęć

2. Powtórzenie:

− (Załącznik 1 Slajd 2.) Napisz formułę znalezienia współrzędnych środka segmentu;

− (Slide 3) sodległość wzoru audytu między punktami (długość segmentu).

3. Wyjaśnienie nowego materiału.

(Slajdy 4 - 6) Definicja równania koła. Usuń równanie koła z centrum w punkcie ( ale;b.) iz centrum na początku współrzędnych.

(h. – ale ) 2 + (w. – b. ) 2 = R. 2 - Równanie kręgu z centrum Z (ale;b.) , promień R. , h. i W. – współrzędne arbitralnego punktu obwodowego .

h. 2 + U. 2 = R. 2 - Równanie kręgu z centrum na początku współrzędnych.

(Slide 7)

Aby sporządzić równanie kręgu, konieczne jest:

znać współrzędne centrum;
znać długość promienia;
zastąp współrzędnych środków i długości promienia w równaniu koła.

4. Rozwiązywanie zadań.

W problemach nr 1 - nr 6, wykonaj równania kręgu na gotowych rysunkach.

(Slide 14)

№ 7. Wypełnij stół.

(Slide 15)

№ 8. Zbuduj w notebookach okręgu ustawione przez równania:

ale) ( h. – 5) 2 + (w. + 3) 2 = 36;
b.) (h. + 1) 2 + (w.– 7) 2 = 7 2 .

(Slide 16)

№ 9. Znajdź współrzędne centrum i długość promienia, jeśli Au. - Średnica okręgu.

Dany:		Decyzja:
Dany:		R.	Współrzędne centrum
1	ALE(0 ; -6) W(0 ; 2)	Au. 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; Au. 2 = 64; Au. = 8 .	ALE(0; -6) W(0 ; 2) Z(0 ; – 2) – Środek
2	ALE(-2 ; 0) W(4 ; 0)	Au. 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; Au. 2 = 36; Au. = 6.	ALE (-2;0) W (4 ;0) Z(1 ; 0) – Środek

(Slajd 17)

№ 10. Zrób równanie koła z centrum na początku współrzędnej przechodzenia przez punkt DO(-12;5).

Decyzja.

R2. \u003d OK. 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R \u003d.13;

Równanie koła: x 2 + y 2 \u003d 169 .

(Slajd 18)

№ 11. Zrób równanie kręgu przechodzącego przez pochodzenie współrzędnej z centrum w punkcie Z(3; - 1).

Decyzja.

R 2 \u003d. OS. 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Równanie koła: ( x -3) 2 + (w +.1) 2 = 10.

(Slajd 19)

№ 12. Zrób równanie koła z centrum ALE(3; 2) przechodząc W(7;5).

Decyzja.

1. Circle Center - ALE(3;2);
2. R. = Au.;
Au. 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; Au. = 5;
3. Równanie koła ( h. – 3) 2 + (w. − 2) 2 = 25.

(Slajd 20)

№ 13. Sprawdź, czy kłamią punkty ALE(1; -1), W(0;8), Z(-3; -1) na okręgu zdefiniowanym przez równanie ( h. + 3) 2 + (w. − 4) 2 = 25.

Decyzja.

JA.. Zastępujemy współrzędnych punktu ALE(1; -1) do równania obwodu:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - Równość jest nieprawidłowa, oznacza to ALE(1; -1) nie kłam na okręgu podanym przez równanie ( h. + 3) 2 + (w. − 4) 2 = 25.

II.. Zastępujemy współrzędnych punktu W(0; 8) do równania obwodu:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
W(0;8) kłamstwo h. + 3) 2 + (w. − 4) 2 = 25.

III.Zastępujemy współrzędnych punktu Z(-3; -1) W równaniu obwodowym:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 \u003d 25 - równość poprawnie, oznacza to Z(-3; -1) kłamstwo na okręgu podanym przez równanie ( h. + 3) 2 + (w. − 4) 2 = 25.

Wynik lekcji.

Powtórz: Równanie koła, równanie koła z centrum na początku współrzędnych.
(Slide 21) Zadanie domowe.

Równanie linii na płaszczyźnie

Przedstawiamy, aby rozpocząć koncepcję równania linii w dwuwymiarowym układzie współrzędnych. Załóżmy, że w systemie współrzędnych kartezjańskich, arbitralna linia $ L $ (Rys. 1) została skonstruowana.

Rysunek 1. Linia arbitralna w układzie współrzędnych

Definicja 1.

Równanie z dwoma zmiennymi $ X $ i $ Y $ zmienne nazywane jest równaniem $ L $ line, jeśli równanie jest zadowolone ze współrzędnych dowolnego punktu należącego do $ L $ line i nie spełnia żadnego punktu, który nie należy do $ L. $

Równanie kręgu

Wykierujemy równanie obwodu w systemie współrzędnych kartezjańskich $ Xoy $. Pozwól centrum okręgu $ C $ mieć współrzędne $ (X_0, Y_0) $, a promień koła jest $ r $. Niech punkt $ M $ z koordynatami $ (x, y) $ - arbitralny punkt tego kręgu (rys. 2).

Rysunek 2. Okrąg w systemie współrzędnych kartezjańskich

Odległość od środka okręgu do punktu $ M $ jest obliczana w następujący sposób.

Ale od $ m $ kłamie na okręgu, dostajemy $ cm \u003d r $. Potem otrzymujemy

Równanie (1) I istnieje równanie koła z centrum w punkcie $ (X_0, Y_0) $ i promień $ r $.

W szczególności, jeśli środek kręgu zbiega się na początku współrzędnych. Następnie równanie obwodu ma widok

Równanie bezpośrednie.

Wykierujemy równanie Direct $ L $ w systemie współrzędnych kartezjańskich $ Xoy $. Niech punkty $ A $ A $ B $ mieli współrzędne $ w lewo (X_1, Y_1 Prawa) $ i $ (x_2, y_2) $, i punkty $ A $ a $ b $ są wybrane tak, co jest bezpośrednim $ l $ - środkowy prostopadle do $ AB $ segment. Wybierz arbitralny punkt $ M \u003d \\ (x, y) $ należący do bezpośredniego $ l $ (rys. 3).

Odkąd Direct $ L $ to środek prostopadle do sekcji $ A $ A, a następnie $ M $ punkt jest równy końcom tego segmentu, to znaczy, am \u003d bm $.

Znajdź długości danych stron przez formułę odległości między kropkami:

W związku z tym

Oznaczono o $ A \u003d 2 Left (X_1-X_2 Prawo), B \u003d 2 Left (Y_1-Y_2 PRAWO), C \u003d (x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2- (x_1) ^ 2 - (y_1) ^ 2 $, uzyskujemy, że równanie bezpośrednie w koordynacji systemu kartezjańskim ma następującą formę:

Przykładem zadania znalezienia równania linii w systemie współrzędnych kartezjańskich

Przykład 1.

Znajdź równanie koła z centrum w punkcie $ (2, 4) $. Przechodząc przez pochodzenie i bezpośrednia, równoległa oś $ OX, $ przechodząc przez centrum.

Decyzja.

Najpierw znajdziemy równanie tego kręgu. W tym celu użyjemy równania ogólnego obwodu (pochodzącego powyżej). Ponieważ centrum kręgu leży w $ (2, 4) $, otrzymujemy

[(X-2)) ^ 2 + ((y-4)) ^ 2 \u003d r ^ 2

Znajdujemy promień ronda jako odległość od punktu $ (2, 4) $ do punktu $ (0,0) $

Dostajemy równanie obwodu:

[(X-2)) ^ 2 + ((y-4)) ^ 2 \u003d 20

Teraz znajdziemy równanie obwodu, przy użyciu specjalnego przypadku 1. Otrzymuj

Lekcja tematyczna: Równanie kręgu

Lekcja celów:

Edukacyjny: Aby uzyskać równanie obwodowe, biorąc pod uwagę rozwiązanie tego problemu jako jedną z możliwości zastosowania metody współrzędnych.

Być w stanie:

– Rozpoznaj równanie koła wzdłuż proponowanego równania, uczą uczniów, aby uczynić równanie kręgu na gotowym rysunku, zbuduj okrąg zgodnie z danym równaniem.

Edukacyjny : Tworzenie krytycznego myślenia.

Rozwój : Rozwój zdolności do opracowania recept algorytmicznych i zdolności do działania zgodnie z proponowanym algorytmem.

Być w stanie:

– Zobacz problem i zarys jego rozwiązania.

– Krótko wyrazić swoje myśli doustnie i pisanie.

Rodzaj lekcji: Asmolowanie nowej wiedzy.

Ekwipunek : PC, projektor multimedialny, ekran.

Plan lekcji:

1. Otwieranie słowa - 3 min.

2. Aktualizacja wiedzy - 2 minuty.

3. Oświadczenie o problemie i jego decyzji -10 min.

4. Frontal Mocowanie nowego materiału - 7 minut.

5. Niezależna praca w grupach - 15 min.

6. Prezentacja pracy: Dyskusja - 5 min.

7. Wynik lekcji. Praca domowa - 3 minuty.

Podczas zajęć

Celem tego etapu jest: Psychologiczna postawa studentów; Zaangażowanie wszystkich studentów w proces edukacyjny, tworząc sytuację sukcesu.

1. Organizowanie czasu.

3 minuty

Faceci! Dzięki koła spotkałeś się w 5 i 8 klasach. Co o niej wiesz?

Znasz wiele, a dane te mogą być używane podczas rozwiązywania zadań geometrycznych. Ale aby rozwiązać problemy, w których stosowana jest metoda współrzędnych, to nie wystarczy.Dlaczego?

Dokładnie tak.

Dlatego głównym celem dzisiejszej lekcji wyciągnęłem równanie kręgu na właściwościach geometrycznych tej linii i użycie go do rozwiązania zadań geometrycznych.

Odpuść sobielekcja motto Słowy Azji Środkowej Akademicki i Encyklopedystę Al-Biruni będą: "Wiedza jest najbardziej doskonałym posiadaniem. Wszyscy dążą do niego, nie przychodzi.

Zapisz temat Lekcji w notebooku.

Definiowanie koła.

Promień.

Średnica.

Akord. Itp.

Nadal nie znamy ogólnego widoku równania koła.

Studenci wymieniają wszystko, co wie o kręgu.

Slajd 2.

Slajd 3.

Celem etapu jest uzyskanie idei jakości uczenia się, aby poznać materiał, aby określić wiedzę referencyjną.

2. Aktualizacja wiedzy.

2 minuty

Po zwolnieniu równania koła Będziesz potrzebować dobrze znanej definicji koła i formuły, co pozwala znaleźć odległość między dwoma punktami przez ich współrzędne.Pamiętajmy o tych faktach / P.materiał Main. Studiował wcześniej /:

– Zapisz segment segmentu średnich współrzędnych.

– Rejestrowa formuła obliczania długości wektorowej.

– Zapisz formułę znalezienia odległości między punktami (Długość segmentu).

Regulacja rekordów ...

Geometryczne rozgrzewka.

ZwrotnicaA (-1; 7) iW (7; 1).

Oblicz współrzędne środka segmentu AB i jego długość.

Sprawdza poprawność wykonania, koryguje obliczenia ...

Jeden student na pokładzie, a reszta w notebookach są rejestrowane formuły

Koło jest nazywany geometrycznym kształtem składającym się ze wszystkich punktów znajdujących się w danej odległości od tego momentu.

| AV | \u003d √ (xh) ² + (y -y) ²

M (x; y), a (x; y)

Oblicz: C (3; 4)

|. Av |. \u003d 10.

Z lite 4.

Slajd 5.

3. Tworzenie nowej wiedzy.

12 minut

Cel: Powstawanie koncepcji jest równaniem obwodu.

Rozwiąż zadanie:

W prostokątnym układzie współrzędnych jest skonstruowany jest koło z centrum A (X; Y). M (x; y) - arbitralny punkt kręgu. Znajdź promień koła.

Czy współrzędne każdego innego punktu będą zadowoleni z tej równości? Dlaczego?

Wzniesie obie części równości na placu.W rezultacie mamy:

r² \u003d (X --x) ² + (y -H) ²-równania okręgu, gdzie (x; y) -kordinaty środka okręgu, (x; y) -Cordinates arbitralnego punktu Obwód koła, R-Radius.

Rozwiąż zadanie:

Jaki rodzaj równania obwodu z centrum na początku współrzędnych?

Więc należy znać, aby skompilować równanie koła?

Zaproś algorytm do kompilowania równania koła.

Wniosek: ... Zapisz do notebooka.

Promień nazywa się segmentem łączącym środek okręgu z dowolnym punktem leżącego na okręgu. Dlatego r \u003d | am | \u003d √ (x -) ² + (y -y) ²

Każdy punkt kręgu leży na tym kręgu.

Uczniowie prowadzą rekordy w notebooku.

(0; 0) -Cordinates centrum okręgu.

x² + U² \u003d R², gdzie R-Radius koła.

Współrzędne centrum okręgu, promień, dowolnego punktu obwodu ...

Oferuj algorytm ...

Zapisz algorytm w notebooku.

Slajd 6.

Slajd 7.

Slajd 8.

Nauczyciel rejestruje równość na planszy.

Slajd 9.

4. Pierwotna konsolidacja.

23 minuty

Cel, powód: Reprodukcja uczniów tylko postrzegany materiał, aby zapobiec utracie uformowanej i koncepcji. Konsolidacja nowej wiedzy, pomysłów, koncepcji opartych na ich Aplikacje.

Kontrola ZUN.

Zastosuj wiedzę zdobytą w rozwiązywaniu następujących zadań.

Zadanie: Z proponowanych równań nazwa liczby tych, które są równaniami obwodowej. A jeśli równanie jest równaniem koła, a następnie nazwij współrzędne centrum i określić promień.

Nie każde drugie równanie z dwoma zmiennymi ustawia koło.

4xqm + U² \u003d 4-równanie elipsy.

x² + U² \u003d 0-punkt.

x² + U² \u003d -4-to równanie nie określa żadnego kształtu.

Faceci! Co musisz wiedzieć, aby sporządzić równanie koła?

Zdecyduj zadanie №966 str.245 (podręcznik).

Nauczyciel dzwoni do studenta do zarządu.

Czy wystarczy, że są wskazane w stanie problemu, aby sporządzić równanie koła?

Zadanie:

Wpisz równanie koła z centrum na początku współrzędnych i średnicy 8.

Zadanie : Budowanie okręgu.

Centrum ma współrzędne?

Określ promień ... i buduj

Zadanie na stronie 263. (Samouczek) zdemontować ustnie.

Korzystając z problemu rozwiązania problemu z P.243, rozwiązać zadanie:

Zrób równanie koła z centrum w punkcie A (3; 2), jeśli krąg przechodzi przez punkt (7; 5).

1) (X-5) ² + (Y-3) ² \u003d 36- równania okręgu; (5; 3), R \u003d 6.

2) (X - 1) ² + U² \u003d 49- równanie kręgu; (1; 0), R \u003d 7.

3) X² + U² \u003d 7- równanie kręgu; (0; 0), R \u003d √7.

4) (x + 3) ² + (y-8) ² \u003d 2- równanie kręgu; (-3; 8), r \u003d √2.

5) 4xqm + U² \u003d 4 nie jest równaniem koła.

6) X² + U² \u003d 0- nie jest równaniem koła.

7) X² + U² \u003d -4- nie jest równaniem koła.

Znać współrzędne centrum okręgu.

Długość promienia.

Aby zastąpić współrzędne centrum i długości promienia do równania obwodu ogólnego formularza.

Zdecyduj zadanie nr 966 str.245 (podręcznik).

Dane wystarczy.

Rozwiązać zadanie.

Ponieważ średnica okręgu jest dwa razy więcej z jej promienia, a następnie r \u003d 8 ÷ 2 \u003d 4. Dlatego X² + U² \u003d 16.

Wykonać budowę kół

Pracuj nad podręcznikiem. Zadanie na stronie 263.

Iscorely: a (3; 2) centrum skupione; W (7; 5) є (A; R)

Znajdź: równanie koła

Roztwór: R² \u003d (XH) ² + (y -y) ²

r² \u003d (X -3) \u200b\u200b² + (y -2) ²

r \u003d av, r² \u003d av²

r² \u003d (7-3) ² + (5-2) ²

r² \u003d 25.

(x -3) ² + (y -2) ² \u003d 25

Odpowiedź: (x -3) ² + (y -2) ² \u003d 25

Slajd 10-13.

Rozwiązywanie typowych zadań, wymawiając rozwiązanie do rozwiązywania w mowie.

Nauczyciel wzywa jednego ucznia na rejestrowanie wynikającego z tego równania.

Wróć do slajdu 9

Dyskusja planu decyzyjnego dla tego zadania.

Ślizgać się. piętnaście. Nauczyciel wzywa jednego ucznia do zarządu do rozwiązania tego zadania.

Slajd 16.

Slajd 17.

5. Wynik lekcji.

5 minut

Odbicie aktywności w lekcji.

Praca domowa: §3, str.91, sprawdź pytania №16,17.

Zadania Numer 959 (B, G, D), 967.

Zadanie dodatkowe (problem z problemem): skonstruuj koło określone przez równanie

x² + 2x + U²-4 \u003d 4.

A co z lekcją, o której rozmawialiśmy?

Co chciałeś dostać?

Jaki cel został umieszczony w lekcji?

Jakie zadania pozwala nam rozwiązać "Otwarcie"?

Który z was uważa, że \u200b\u200bosiągnął cel ustalony na lekcji nauczyciela o 100%, o 50%; nie dotarł do celu ...?

Oszacowanie.

Nagraj lekcje.

Studenci odpowiadają na pytania dostarczone przez nauczyciela. Prowadzić samoanalizację własnych działań.

Uczniowie muszą być wyrażone w wyniku słowa i sposobów na osiągnięcie.