Wykłady z fizyki. Graficzne przedstawienie ruchu liniowego równomiernie przyspieszonego. Poruszanie się ruchem jednostajnie przyspieszonym

Pytania.

1. Zapisz wzór, dzięki któremu możesz obliczyć rzut wektora prędkości chwilowej ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego, jeśli znasz: a) rzut wektora prędkości początkowej i rzut wektora przyspieszenia; b) rzut wektora przyspieszenia przy założeniu, że prędkość początkowa wynosi zero.

2. Jaki jest wykres rzutowy wektora prędkości ruchu jednostajnie przyspieszonego przy prędkości początkowej: a) równej zeru; b) nierówny zeru?

3. W jaki sposób ruchy, których wykresy przedstawiono na rysunkach 11 i 12, są podobne i różne od siebie?

W obu przypadkach ruch odbywa się z przyspieszeniem, przy czym w pierwszym przypadku przyspieszenie jest dodatnie, a w drugim ujemne.

Ćwiczenia.

1. Hokeista lekko uderzył kijem krążek, nadając mu prędkość 2 m/s. Jaka będzie prędkość krążka po 4 s od uderzenia, jeżeli w wyniku tarcia o lód porusza się on z przyspieszeniem 0,25 m/s 2?

2. Narciarz zjeżdża z góry ze stanu spoczynku z przyspieszeniem równym 0,2 m/s 2 . Po jakim czasie jego prędkość wzrośnie do 2 m/s?

3. Na tych samych osiach skonstruuj wykresy rzutu wektora prędkości (na oś X, współkierunkowo z wektorem prędkości początkowej) dla prostoliniowej ruch jednostajnie przyspieszony dla przypadków: a) v ox = 1 m/s, a x = 0,5 m/s 2 ; b) v wół = 1 m/s, a x = 1 m/s 2; c) v wół = 2 m/s, a x = 1 m/s 2.
Skala jest we wszystkich przypadkach taka sama: 1 cm - 1 m/s; 1cm - 1s.

4. Na tych samych osiach sporządzić wykresy rzutu wektora prędkości (na oś X, współkierunkowo z wektorem prędkości początkowej) dla ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego dla przypadków: a) v ox = 4,5 m/s, a x = -1,5 m/s2; b) v wół = 3 m/s, a x = -1 m/s 2
Wybierz skalę samodzielnie.

5. Rysunek 13 przedstawia wykresy modułu wektora prędkości w funkcji czasu dla ruchu prostoliniowego dwóch ciał. Z jakim przyspieszeniem bezwzględnym porusza się ciało, którym się poruszam? ciało II?

Graficzne przedstawienie równomiernie przyspieszonego ruch prostoliniowy.

Poruszanie się ruchem jednostajnie przyspieszonym.

Ipoziom.

Wiele wielkości fizycznych opisujących ruchy ciał zmienia się w czasie. Dlatego dla większej przejrzystości opisu ruch często przedstawia się graficznie.

Pokażmy, jak graficznie przedstawiono zależności czasowe wielkości kinematycznych opisujących ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony.

Ruch liniowy równomiernie przyspieszony- jest to ruch, podczas którego prędkość ciała zmienia się jednakowo w równych odstępach czasu, czyli jest to ruch, w którym przyspieszenie ma stałą wielkość i kierunek.

a=const - równanie przyspieszenia. Oznacza to, że a ma wartość liczbową, która nie zmienia się w czasie.

Z definicji przyspieszenia

Stąd już znaleźliśmy równania zależności prędkości od czasu: v = v0 + at.

Zobaczmy, jak można wykorzystać to równanie do graficznego przedstawienia ruchu jednostajnie przyspieszonego.

Przedstawmy graficznie zależności wielkości kinematycznych od czasu dla trzech ciał

.

1 ciało porusza się wzdłuż osi 0X, zwiększając jednocześnie swoją prędkość (wektor przyspieszenia a jest współkierunkowy z wektorem prędkości v). vx > 0, akh > 0

2 ciało porusza się wzdłuż osi 0X, jednocześnie zmniejszając swoją prędkość (wektor przyspieszenia a nie jest współkierunkowy z wektorem prędkości v). vx > 0, ach< 0

2 ciało porusza się względem osi 0X, zmniejszając jednocześnie swoją prędkość (wektor przyspieszenia nie jest współkierunkowy z wektorem prędkości v). vx< 0, ах > 0

Wykres przyspieszenia

Przyspieszenie z definicji jest wartością stałą. Wówczas dla zaprezentowanej sytuacji wykres przyspieszenia w funkcji czasu a(t) będzie wyglądał następująco:

Z wykresu przyspieszenia można określić, jak zmieniła się prędkość - wzrosła lub spadła oraz o jaką wartość liczbową zmieniła się prędkość i dla którego ciała prędkość zmieniła się bardziej.

Wykres prędkości

Jeśli porównamy zależność współrzędnej od czasu w ruchu jednostajnym i zależność rzutu prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym, zobaczymy, że zależności te są takie same:

x= x0 + vx T vx = w 0 X + A X T

Oznacza to, że wykresy zależności mają taki sam wygląd.

Aby skonstruować ten wykres, na osi odciętych naniesiono czas ruchu, a na osi rzędnych prędkość (rzut prędkości) ciała. W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość ciała zmienia się w czasie.

Poruszanie się ruchem jednostajnie przyspieszonym.

W ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym prędkość ciała określa wzór

vx = w 0 X + A X T

We wzorze tym υ0 jest prędkością ciała T = 0 (prędkość początkowa ), A= const – przyspieszenie. Na wykresie prędkości υ ( T) zależność ta wygląda jak linia prosta (ryc.).

Przyspieszenie można określić na podstawie nachylenia wykresu prędkości A ciała. Odpowiednie konstrukcje pokazano na ryc. dla wykresu I. Przyspieszenie jest liczbowo równe stosunkowi boków trójkąta ABC: MsoNormalTable">

Im większy kąt β, jaki wykres prędkości tworzy z osią czasu, tj. tym większe nachylenie wykresu ( stromość), tym większe jest przyspieszenie ciała.

Dla wykresu I: υ0 = –2 m/s, A= 1/2 m/s2.

Dla wykresu II: υ0 = 3 m/s, A= –1/3 m/s2.

Wykres prędkości pozwala również określić projekcję ruchu S ciała przez jakiś czas T. Wybierzmy na osi czasu pewien mały odcinek czasu Δ T. Jeżeli ten okres czasu jest wystarczająco mały, to zmiana prędkości w tym okresie jest niewielka, czyli ruch w tym okresie można uznać za równomierny z pewną średnią prędkością, która jest równa chwilowej prędkości υ ciała w środek przedziału Δ T. Dlatego przemieszczenie Δ S w czasie Δ T będzie równe Δ S = υΔ T. Ruch ten jest równy obszarowi zacieniowanego paska (ryc.). Podział okresu czasu od 0 do pewnego momentu T dla małych odstępów Δ T, stwierdzamy, że ruch S na dany czas T przy równomiernie przyspieszonym ruchu prostoliniowym jest równy obszarowi trapezu ODEF. Odpowiednie konstrukcje wykonano dla wykresu II na ryc. 1.4.2. Czas T przyjęto równy 5,5 s.

Ponieważ υ – υ0 = Na S T zostanie zapisany w postaci:

Aby znaleźć współrzędne y ciała w dowolnym momencie T potrzebne do współrzędnej początkowej y 0 dodaj ruch w czasie T: DIV_ADBLOCK189">

Ponieważ υ – υ0 = Na, ostateczna formuła ruchu S ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym w przedziale czasu od 0 do T zostanie zapisany w postaci: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_57.gif" szerokość="146 wysokość=55" wysokość="55">

Analizując ruch jednostajnie przyspieszony czasami pojawia się problem określenia ruchu ciała na podstawie zadanych wartości prędkości i przyspieszenia początkowego υ0 i końcowego υ A. Problem ten można rozwiązać za pomocą równań zapisanych powyżej, eliminując z nich czas T. Wynik zapisuje się w formularzu

Jeżeli prędkość początkowa υ0 wynosi zero, wzory te przyjmują postać MsoNormalTable">

Należy jeszcze raz zaznaczyć, że wielkości υ0, υ zawarte we wzorach na ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony S, A, y 0 to wielkości algebraiczne. W zależności od konkretnego rodzaju ruchu każda z tych wielkości może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne.

Przykład rozwiązania problemu:

Petya zjeżdża po zboczu góry ze stanu spoczynku z przyspieszeniem 0,5 m/s2 w ciągu 20 s, a następnie porusza się po odcinku poziomym. Po przebyciu 40 m zderza się z ziejącą Wasią i wpada w zaspę, zmniejszając prędkość do 0 m/s. Z jakim przyspieszeniem Petya poruszał się po poziomej powierzchni w stronę zaspy śnieżnej? Jaka jest długość zbocza góry, z którego Petya tak bezskutecznie zjechał?

Scena 1.

Równanie prędkości Petita na końcu zejścia z góry wygląda następująco:

w 1 = w 01 + A 1T 1.

W rzutach na oś X otrzymujemy:

w 1X = A 1XT.

Napiszmy równanie łączące rzuty prędkości, przyspieszenia i przemieszczenia Petyi w pierwszym etapie ruchu:

lub dlatego, że Petya jechał z samego szczytu wzgórza z prędkością początkową V01=0

(Gdybym był Petyą, byłbym ostrożny przy zjeżdżaniu z tak wysokich wzgórz)

Biorąc pod uwagę, że początkowa prędkość Petyi na tym drugim etapie ruchu jest równa jego końcowej prędkości na pierwszym etapie:

w 02 X = w 1 X, w 2X = 0, gdzie v1 to prędkość, z jaką Petya dotarł do podnóża wzgórza i zaczął zbliżać się do Wasii. V2x - prędkość Petyi w zaspie śnieżnej.

2. Przez ten harmonogram przyspieszenie, powiedz nam, jak zmienia się prędkość ciała. Zapisz równania zależności prędkości od czasu, jeżeli w chwili rozpoczęcia ruchu (t=0) prędkość ciała wynosi v0х=0. Należy pamiętać, że z każdą kolejną sekcją ruchu ciało zaczyna biec z określoną prędkością (którą udało się osiągnąć poprzednim razem!).

3. Pociąg metra wyjeżdżając ze stacji w ciągu 20 s może osiągnąć prędkość 72 km/h. Określ, z jakim przyspieszeniem oddala się od Ciebie zapomniana w wagonie metra torba. Jak daleko pojedzie?

4. Rowerzysta poruszający się z prędkością 3 m/s zaczyna zjeżdżać z góry z przyspieszeniem 0,8 m/s2. Oblicz długość góry, jeśli zejście trwało 6 s.

5. Po rozpoczęciu hamowania z przyspieszeniem 0,5 m/s2 pociąg przejechał do przystanku odległość 225 m. Jaka była jego prędkość przed rozpoczęciem hamowania?

6. Piłka, zaczynając się poruszać, osiągnęła prędkość 50 m/s, przebyła drogę 50 m i uderzyła w okno. Oblicz czas, w jakim piłka przebyła tę drogę oraz przyspieszenie, z jakim się poruszała.

7. Czas reakcji sąsiada wujka Olega = 1,5 minuty, w tym czasie zorientuje się, co się stało z jego oknem i będzie miał czas wybiec na podwórko. Określ, jaką prędkość powinni rozwijać młodzi piłkarze, aby radośni właściciele okna ich nie dogonili, jeśli będą musieli dobiec 350 m do swojego wejścia.

8. Dwaj rowerzyści jadą ku sobie. Pierwszy, jadąc z prędkością 36 km/h, zaczął wspinać się po górze z przyspieszeniem 0,2 m/s2, a drugi, mając prędkość 9 km/h, zaczął schodzić z góry z przyspieszeniem 0,2 m/s2. 0,2 m/s2. Po jakim czasie i w jakim miejscu zderzą się ze względu na swoją roztargnienie, jeśli długość góry wynosi 100 m?

Jednolity ruch– jest to ruch ze stałą prędkością, czyli gdy prędkość się nie zmienia (v = const) i nie następuje przyspieszanie lub zwalnianie (a = 0).

Ruch po linii prostej- jest to ruch po linii prostej, to znaczy trajektoria ruchu prostoliniowego jest linią prostą.

Jednolity ruch liniowy- jest to ruch, podczas którego ciało wykonuje równe ruchy w równych odstępach czasu. Przykładowo, jeśli podzielimy pewien przedział czasu na jednosekundowe odstępy, to przy ruchu jednostajnym ciało w każdym z tych odstępów czasu przebędzie tę samą odległość.

Prędkość jednostajnego ruchu prostoliniowego nie zależy od czasu i w każdym punkcie trajektorii jest skierowana w taki sam sposób, jak ruch ciała. Oznacza to, że wektor przemieszczenia pokrywa się w kierunku z wektorem prędkości. W tym przypadku prędkość średnia w dowolnym okresie czasu jest równa prędkości chwilowej:

Prędkość jednolitego ruchu prostoliniowego jest wielkością wektora fizycznego równą stosunkowi ruchu ciała w dowolnym okresie czasu do wartości tego przedziału t:

Zatem prędkość jednostajnego ruchu prostoliniowego pokazuje, ile ruchu wykonuje punkt materialny w jednostce czasu.

Poruszający przy jednostajnym ruchu liniowym określa się ze wzoru:

Przebyty dystans w ruchu liniowym jest równy modułowi przemieszczenia. Jeżeli dodatni kierunek osi OX pokrywa się z kierunkiem ruchu, to rzut prędkości na oś OX jest równy wielkości prędkości i jest dodatni:

v x = v, czyli v > 0

Rzut przemieszczenia na oś OX jest równy:

s = vt = x – x 0

gdzie x 0 jest początkową współrzędną ciała, x jest końcową współrzędną ciała (lub współrzędną ciała w dowolnym momencie)

Równanie ruchu, czyli zależność współrzędnych ciała od czasu x = x(t), przyjmuje postać:

Jeżeli dodatni kierunek osi OX jest przeciwny do kierunku ruchu ciała, to rzut prędkości ciała na oś OX jest ujemny, prędkość jest mniejsza od zera (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Zależność prędkości, współrzędnych i drogi od czasu

Zależność rzutu prędkości ciała od czasu pokazano na rys. 1.11. Ponieważ prędkość jest stała (v = const), wykres prędkości jest linią prostą równoległą do osi czasu Ot.

Ryż. 1.11. Zależność rzutu prędkości ciała od czasu dla ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Rzut ruchu na oś współrzędnych jest liczbowo równy polu prostokąta OABC (ryc. 1.12), ponieważ wielkość wektora ruchu jest równa iloczynowi wektora prędkości i czasu, w którym ruch był zrobiony.

Ryż. 1.12. Zależność rzutu przemieszczenia ciała od czasu dla ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Wykres przemieszczenia w funkcji czasu pokazano na ryc. 1.13. Wykres pokazuje, że rzut prędkości jest równy

v = s 1 / t 1 = tan α

gdzie α jest kątem nachylenia wykresu do osi czasu.

Im większy kąt α, tym szybciej porusza się ciało, to znaczy większa jest jego prędkość (im dłuższą drogę ciało pokonuje w krótszym czasie). Tangens stycznej do wykresu współrzędnych w funkcji czasu jest równa prędkości:

Ryż. 1.13. Zależność rzutu przemieszczenia ciała od czasu dla ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Zależność współrzędnej od czasu pokazano na ryc. 1.14. Z rysunku wynika, że

tan α 1 > tan α 2

zatem prędkość ciała 1 jest większa niż prędkość ciała 2 (v 1 > v 2).

tan α 3 = v 3< 0

Jeżeli ciało znajduje się w spoczynku, to wykres współrzędnych jest linią prostą równoległą do osi czasu

Ryż. 1.14. Zależność współrzędnych ciała od czasu dla ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Zależność wielkości kątowych i liniowych

Poszczególne punkty obracającego się ciała mają różne prędkości liniowe. Prędkość każdego punktu, skierowana stycznie do odpowiedniego okręgu, stale zmienia swój kierunek. Wielkość prędkości wyznaczana jest przez prędkość obrotu ciała i odległość R danego punktu od osi obrotu. Pozwól ciału obrócić się o kąt w krótkim czasie (rysunek 2.4). Punkt położony w odległości R od osi porusza się po drodze równej

Prędkość liniowa punktu z definicji.

Przyspieszenie styczne

Korzystając z tej samej zależności (2.6) otrzymujemy

Zatem zarówno przyspieszenia normalne, jak i styczne rosną liniowo wraz z odległością punktu od osi obrotu.

Podstawowe koncepcje.

Okresowe oscylacje to proces, podczas którego układ (np. mechaniczny) po pewnym czasie powraca do tego samego stanu. Ten okres czasu nazywany jest okresem oscylacji.

siła regeneracji- siła, pod wpływem której zachodzi proces oscylacyjny. Siła ta ma tendencję do przywracania ciała lub punktu materialnego odchylonego od położenia spoczynkowego do jego pierwotnego położenia.

W zależności od charakteru uderzenia w ciało oscylacyjne rozróżnia się drgania swobodne (lub naturalne) i drgania wymuszone.

Wibracje swobodne występuje, gdy na ciało oscylacyjne działa tylko siła przywracająca. W przypadku, gdy nie następuje rozproszenie energii, swobodne oscylacje nie są tłumione. Jednak rzeczywiste procesy oscylacyjne są tłumione, ponieważ na ciało oscylacyjne działają siły oporu ruchu (głównie siły tarcia).

Wymuszone wibracje wykonywane są pod wpływem zewnętrznej, okresowo zmieniającej się siły, zwanej wymuszaniem. W wielu przypadkach systemy podlegają oscylacjom, które można uznać za harmoniczne.

Wibracje harmoniczne nazywane są ruchami oscylacyjnymi, podczas których przemieszczenie ciała z położenia równowagi następuje zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa:

Aby zilustrować znaczenie fizyczne, rozważmy okrąg i obróć promień OK z prędkością kątową ω w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (7.1) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Jeżeli w początkowej chwili OK leżał w płaszczyźnie poziomej, to po czasie t przesunie się o kąt. Jeśli kąt początkowy jest niezerowy i równy φ 0 , to kąt obrotu będzie równy. Rzut na oś XO 1 jest równy . Gdy promień OK obraca się, zmienia się wielkość rzutu, a punkt będzie oscylował względem punktu - w górę, w dół itp. W tym przypadku maksymalna wartość x jest równa A i nazywana jest amplitudą oscylacji; ω – częstotliwość kołowa lub cykliczna, – faza oscylacji, – faza początkowa. Podczas jednego obrotu punktu K wokół okręgu jego rzut spowoduje jedno pełne oscylowanie i powrót do punktu początkowego.

Koniec dyskusji nazywany jest czasem jednego pełnego oscylacji. Po czasie T powtarzają się wartości wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących oscylacje. W jednym okresie punkt oscylacyjny pokonuje drogę równą liczbowo czterem amplitudom.

Prędkość kątowa wyznacza się z warunku, że w okresie T promień OK wykona jeden obrót, tj. obróci się o kąt 2π radianów:

Częstotliwość oscylacji- liczba oscylacji punktu na sekundę, tj. częstotliwość oscylacji definiuje się jako odwrotność okresu oscylacji:

Siły sprężystości wahadła sprężystego.

Wahadło sprężynowe składa się ze sprężyny i masywnej kuli zamontowanej na poziomym pręcie, po którym może się przesuwać. Niech kulka z otworem zostanie przymocowana do sprężyny i przesuwa się wzdłuż osi prowadzącej (pręta). Na ryc. 7.2a przedstawia położenie piłki w spoczynku; na ryc. 7.2, b - maksymalna kompresja i na ryc. 7.2,c - dowolna pozycja piłki.

Pod wpływem siły przywracającej równej sile ściskającej kula będzie drgać. Siła ściskająca F = -kx, gdzie k jest współczynnikiem sztywności sprężyny. Znak minus wskazuje, że kierunek siły F i przemieszczenie x są przeciwne. Energia potencjalna ściśniętej sprężyny

kinetyczny

Aby wyprowadzić równanie ruchu kuli, konieczne jest powiązanie x i t. Wniosek opiera się na prawie zachowania energii. Całkowita energia mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej układu. W tym przypadku:

. W pozycji b): .

Ponieważ w rozpatrywanym ruchu spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej, możemy napisać:

. Określmy prędkość stąd:

Ale z kolei i dlatego . Oddzielmy zmienne . Całkując to wyrażenie, otrzymujemy: ,

gdzie jest stałą całkowania. Z tego ostatniego wynika, że

Zatem pod działaniem siły sprężystej ciało wykonuje oscylacje harmoniczne. Siły o innym charakterze niż sprężyste, ale w których spełniony jest warunek F = -kx, nazywane są quasi-sprężystymi. Pod wpływem tych sił ciała wykonują również drgania harmoniczne. W której:

Wahadło matematyczne.

Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej, nieważkiej nici, wykonujący ruch oscylacyjny w jednej płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły ciężkości.

Takie wahadło można uznać za ciężką kulę o masie m, zawieszoną na cienkiej nitce, której długość l jest znacznie większa niż rozmiar kuli. Jeśli zostanie odchylony o kąt α (rys. 7.3.) od pionu, to pod wpływem siły F, będącej jedną ze składowych ciężaru P, będzie drgał. Drugi element, skierowany wzdłuż gwintu, nie jest brany pod uwagę, ponieważ jest równoważony przez napięcie nici. Przy małych kątach przemieszczenia współrzędną x można zmierzyć w kierunku poziomym. Z ryc. 7.3 jasno wynika, że ​​składnik ciężaru prostopadły do ​​gwintu jest równy

Znak minus po prawej stronie oznacza, że ​​siła F jest skierowana w stronę zmniejszania kąta α. Biorąc pod uwagę małość kąta α

Aby wyprowadzić prawo ruchu wahadeł matematycznych i fizycznych, korzystamy z podstawowego równania dynamiki ruchu obrotowego

Moment siły względem punktu O: i moment bezwładności: M=FL. Moment bezwładności J w tym przypadku Przyspieszenie kątowe:

Biorąc te wartości pod uwagę mamy:

Jego decyzja ,

Jak widać, okres drgań wahadła matematycznego zależy od jego długości i przyspieszenia ziemskiego, a nie zależy od amplitudy drgań.

Tłumione oscylacje.

Wszystkie rzeczywiste układy oscylacyjne są rozpraszające. Energia drgań mechanicznych takiego układu jest stopniowo zużywana na pracę przeciw siłom tarcia, dlatego drgania swobodne zawsze zanikają – ich amplituda stopniowo maleje. W wielu przypadkach, gdy nie występuje tarcie suche, w pierwszym przybliżeniu można założyć, że przy małych prędkościach ruchu siły powodujące tłumienie drgań mechanicznych są proporcjonalne do prędkości. Siły te, niezależnie od ich pochodzenia, nazywane są siłami oporu.

Przepiszmy to równanie w następujący sposób:

i oznaczać:

gdzie oznacza częstotliwość, z jaką występowałyby swobodne oscylacje układu przy braku oporu otoczenia, tj. przy r = 0. Częstotliwość ta nazywana jest częstotliwością drgań własnych układu; β jest współczynnikiem tłumienia. Następnie

Będziemy szukać rozwiązania równania (7.19) w postaci, gdzie U jest pewną funkcją t.

Zróżniczkujmy to wyrażenie dwukrotnie ze względu na czas t i podstawiając wartości pierwszej i drugiej pochodnej do równania (7.19), otrzymujemy

Rozwiązanie tego równania zależy w istotny sposób od znaku współczynnika w punkcie U. Rozważmy przypadek, gdy współczynnik ten jest dodatni. Wprowadźmy zatem zapis. Przy rzeczywistym ω rozwiązaniem tego równania, jak wiemy, jest funkcja

Zatem w przypadku małej rezystancji ośrodka rozwiązaniem równania (7.19) będzie funkcja

Wykres tej funkcji pokazano na rys. 7.8. Linie przerywane pokazują granice, w których mieści się przemieszczenie punktu oscylacyjnego. Wielkość ta nazywana jest naturalną częstotliwością cykliczną oscylacji układu rozpraszającego. Oscylacje tłumione są oscylacjami nieokresowymi, ponieważ nigdy nie powtarzają się np. maksymalnych wartości przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia. Wielkość tę nazywa się zwykle okresem drgań tłumionych, a właściwie okresem warunkowym drgań tłumionych,

Logarytm naturalny stosunku amplitud przemieszczeń następujących po sobie w przedziale czasu równym okresowi T nazywany jest logarytmicznym ubytkiem tłumienia.

Oznaczmy przez τ okres czasu, w którym amplituda oscylacji maleje e-krotnie. Następnie

W konsekwencji współczynnik tłumienia jest wielkością fizyczną odwrotną do okresu czasu τ, w którym amplituda maleje o współczynnik e. Wielkość τ nazywana jest czasem relaksacji.

Niech N będzie liczbą oscylacji, po których amplituda maleje o współczynnik e, Następnie

Zatem logarytmiczny ubytek tłumienia δ wynosi wielkość fizyczna, odwrotność liczby oscylacji N, po czym amplituda maleje e-krotnie

Wymuszone wibracje.

W przypadku drgań wymuszonych układ drga pod wpływem siły zewnętrznej (wymuszającej) i dzięki działaniu tej siły straty energii układu są okresowo kompensowane. Częstotliwość drgań wymuszonych (częstotliwość wymuszająca) zależy od częstotliwości zmian siły zewnętrznej.Wyznaczmy amplitudę drgań wymuszonych ciała o masie m, biorąc pod uwagę drgania nietłumione pod wpływem stale działającej siły.

Niech ta siła zmienia się w czasie zgodnie z prawem gdzie jest amplituda siły napędowej. Siła przywracająca i siła oporu Drugie prawo Newtona można zapisać w następującej postaci.

Jeżeli znana jest trajektoria ruchu punktu, to zależność drogi, jaką przebył punkt od upływającego przedziału czasu, daje Pełny opis ten ruch. Widzieliśmy, że dla ruchu jednostajnego taką zależność można zapisać w postaci wzoru (9.2). Zależność pomiędzy i dla poszczególnych punktów w czasie można także określić w formie tabeli zawierającej odpowiadające im wartości okresu czasu i przebytej drogi. Załóżmy, że prędkość pewnego ruchu jednostajnego wynosi 2 m/s. Wzór (9.2) w tym przypadku ma postać . Zróbmy tabelę ścieżki i czasu takiego ruchu:

Zależność jednej wielkości od drugiej często wygodnie jest przedstawić nie za pomocą wzorów czy tabel, ale wykresów, które wyraźniej pokazują obraz zmian zmiennych wielkości i mogą ułatwić obliczenia. Stwórzmy wykres przebytej drogi w funkcji czasu dla danego ruchu. Aby to zrobić, weź dwie wzajemnie prostopadłe linie proste - osie współrzędnych; Jedną z nich (oś odciętych) nazwiemy osią czasu, a drugą (oś rzędnych) osią ścieżki. Wybierzmy skalę do zobrazowania przedziałów czasowych i ścieżek i przyjmijmy punkt przecięcia osi jako moment początkowy i punkt początkowy trajektorii. Narysujmy na osiach wartości czasu i przebytej drogi dla rozpatrywanego ruchu (ryc. 18). Aby „powiązać” wartości przebytej drogi z momentami w czasie, rysujemy prostopadłe do osi z odpowiednich punktów na osiach (na przykład punkty 3 s i 6 m). Punkt przecięcia prostopadłych odpowiada jednocześnie obu wielkościom: drodze i momentowi, w ten sposób osiąga się „wiązanie”. Tę samą konstrukcję można wykonać dla dowolnych innych punktów w czasie i odpowiadających im ścieżek, uzyskując dla każdej takiej pary czasu - wartości ścieżki jednego punktu na wykresie. Na ryc. 18 wykonuje się taką konstrukcję, zastępując oba rzędy tabeli jednym rzędem punktów. Gdyby taką konstrukcję przeprowadzić dla wszystkich punktów w czasie, to zamiast poszczególnych punktów otrzymalibyśmy linię ciągłą (również pokazaną na rysunku). Linia ta nazywana jest wykresem ścieżki w funkcji czasu lub w skrócie wykresem ścieżki.

Ryż. 18. Wykres toru ruchu jednostajnego z prędkością 2 m/s

Ryż. 19. Do ćwiczenia 12.1

W naszym przypadku wykres ścieżki okazał się linią prostą. Można wykazać, że wykres toru ruchu jednostajnego jest zawsze linią prostą; i odwrotnie: jeśli wykres drogi w funkcji czasu jest linią prostą, to ruch jest jednostajny.

Powtarzając konstrukcję dla innej prędkości, stwierdzamy, że punkty wykresu dla wyższych prędkości leżą wyżej niż odpowiadające im punkty wykresu dla niższych prędkości (rys. 20). Zatem im większa jest prędkość ruchu jednostajnego, tym bardziej stromy jest wykres ścieżki prostoliniowej, tj. im większy kąt tworzy on z osią czasu.

Ryż. 20. Wykresy toru ruchu jednostajnego przy prędkościach 2 i 3 m/s

Ryż. 21. Wykres tego samego ruchu jak na ryc. 18, narysowany w innej skali

Nachylenie wykresu zależy oczywiście nie tylko od wartości liczbowej prędkości, ale także od wyboru skali czasu i długości. Przykładowo wykres pokazany na ryc. 21 przedstawia ścieżkę w funkcji czasu dla tego samego ruchu, co wykres na ryc. 18, chociaż ma inne nachylenie. Stąd jasno wynika, że ​​możliwe jest porównywanie ruchów według nachylenia wykresów tylko wtedy, gdy są one narysowane w tej samej skali.

Korzystając z wykresów ścieżki, można łatwo rozwiązać różne problemy związane z ruchem. Na przykład na ryc. 18 liniami przerywanymi przedstawia konstrukcje niezbędne do rozwiązania następujących problemów dla danego ruchu: a) znaleźć drogę przebytą w czasie 3,5 s; b) oblicz czas potrzebny na przebycie drogi 9 m. Na rysunku odpowiedzi przedstawiono graficznie (linie przerywane): a) 7 m; b) 4,5 s.

Na wykresach opisujących jednostajny ruch prostoliniowy współrzędne poruszającego się punktu można wykreślić wzdłuż osi rzędnych zamiast po ścieżce. Ten opis otwiera ogromne możliwości. W szczególności umożliwia rozróżnienie kierunku ruchu względem osi. Ponadto, przyjmując początek czasu za zero, można pokazać ruch punktu we wcześniejszych chwilach czasu, co należy uznać za ujemne.

Ryż. 22. Wykresy ruchów z tą samą prędkością, ale w różnych położeniach początkowych poruszającego się punktu

Ryż. 23. Wykresy kilku ruchów z prędkościami ujemnymi

Na przykład na ryc. 22 prosta I to wykres ruchu zachodzącego przy dodatniej prędkości 4 m/s (tj. w kierunku osi), przy czym w chwili początkowej punkt ruchu znajdował się w punkcie o współrzędnej m. Dla porównania to samo rysunek przedstawia wykres ruchu zachodzącego z tą samą prędkością, ale przy którym w chwili początkowej punkt ruchu znajduje się w punkcie o współrzędnej (linia II). Prosty. III odpowiada przypadkowi, gdy w tej chwili punkt ruchomy znajdował się w punkcie o współrzędnej m. Wreszcie prosta IV opisuje ruch w przypadku, gdy punkt ruchomy miał w chwili c współrzędną.

Widzimy, że nachylenie wszystkich czterech wykresów jest takie samo: nachylenie zależy tylko od prędkości poruszającego się punktu, a nie od jego położenia początkowego. Przy zmianie pozycji początkowej cały wykres jest po prostu przesuwany równolegle do siebie wzdłuż osi w górę lub w dół w odpowiedniej odległości.

Wykresy ruchów zachodzących przy prędkościach ujemnych (czyli w kierunku przeciwnym do kierunku osi) przedstawiono na rys. 23. Są proste, pochylone w dół. W przypadku takich ruchów współrzędna punktu maleje z czasem., miał współrzędne

Wykresy ścieżki można także konstruować dla przypadków, w których ciało porusza się jednostajnie przez pewien okres czasu, następnie porusza się równomiernie, ale z inną prędkością przez kolejny okres czasu, a następnie ponownie zmienia prędkość itp. Na przykład na rys. 26 przedstawia wykres ruchu, na którym ciało poruszało się przez pierwszą godzinę z prędkością 20 km/h, przez drugą godzinę z prędkością 40 km/h, a przez trzecią godzinę z prędkością 15 km/h.

Ćwiczenia: 12.8. Skonstruuj wykres drogi ruchu, po której w kolejnych odstępach godzinowych ciało osiągało prędkości 10, -5, 0, 2, -7 km/h. Jakie jest całkowite przemieszczenie ciała?