Ruch krzywoliniowy jednostajnie przyspieszony

Ruchy krzywoliniowe - ruchy, których trajektorie nie są liniami prostymi, ale zakrzywionymi. Planety i wody rzeczne poruszają się po krzywoliniowych trajektoriach.

Ruch krzywoliniowy jest zawsze ruchem z przyspieszeniem, nawet jeśli bezwzględna wartość prędkości jest stała. Ruch krzywoliniowy z stałe przyspieszenie występuje zawsze w płaszczyźnie, w której znajdują się wektory przyspieszenia i początkowe prędkości punktu. W przypadku ruchu krzywoliniowego ze stałym przyspieszeniem w płaszczyźnie xOy rzuty vx i vy jego prędkości na osie Ox i Oy oraz współrzędne x i y punktu w dowolnym momencie t są określone wzorami

Nierówny ruch. Prędkość przy nierównym ruchu

Żadne ciało nie porusza się przez cały czas stała prędkość. Rozpoczynając ruch samochód porusza się coraz szybciej. Przez chwilę może poruszać się równo, ale potem zwalnia i zatrzymuje się. W takim przypadku samochód pokonuje jednocześnie różne odległości.

Ruch, w którym ciało porusza się po nierównych odcinkach toru w równych odstępach czasu, nazywa się nierównym. Przy takim ruchu wielkość prędkości nie pozostaje niezmieniona. W tym przypadku możemy mówić tylko o średniej prędkości.

Średnia prędkość pokazuje, jakie przemieszczenie przechodzi ciało w jednostce czasu. Jest równy stosunkowi ruchu ciała do czasu ruchu. Średnia prędkość, podobnie jak prędkość ciała w ruchu jednostajnym, jest mierzona w metrach podzielonych przez sekundę. W celu dokładniejszego scharakteryzowania ruchu w fizyce wykorzystuje się prędkość chwilową.

Prędkość ciała w danym momencie lub w danym punkcie trajektorii nazywana jest prędkością chwilową. Prędkość chwilowa jest wielkością wektorową i jest skierowana w taki sam sposób jak wektor przemieszczenia. Możesz zmierzyć swoją prędkość chwilową za pomocą prędkościomierza. W System Internationale prędkość chwilowa jest mierzona w metrach podzielonych przez sekundę.

prędkość ruchu punktowego nierówna

Ruch ciała po okręgu

W przyrodzie i technice ruch krzywoliniowy jest bardzo powszechny. Jest bardziej skomplikowany niż prostoliniowy, ponieważ istnieje wiele trajektorii krzywoliniowych; ruch ten jest zawsze przyspieszony, nawet jeśli moduł prędkości się nie zmienia.

Ale ruch po dowolnej krzywoliniowej trajektorii można z grubsza przedstawić jako ruch po łukach koła.

Kiedy ciało porusza się po okręgu, kierunek wektora prędkości zmienia się z punktu do punktu. Dlatego mówiąc o prędkości takiego ruchu mają na myśli prędkość chwilową. Wektor prędkości jest skierowany wzdłuż stycznej do okręgu, a wektor przemieszczenia wzdłuż cięciw.

Ruch jednostajny po okręgu to ruch, podczas którego nie zmienia się moduł prędkości ruchu, zmienia się tylko jego kierunek. Przyspieszenie takiego ruchu jest zawsze skierowane w stronę środka koła i nazywane jest dośrodkowym. Aby znaleźć przyspieszenie ciała poruszającego się po okręgu, należy podzielić kwadrat prędkości przez promień okręgu.

Oprócz przyspieszenia ruch ciała po okręgu charakteryzuje się następującymi wielkościami:

Okres obrotu ciała to czas potrzebny ciału na wykonanie jednego pełnego obrotu. Okres rotacji jest oznaczony literą T i mierzony w sekundach.

Częstotliwość obrotu ciała to liczba obrotów na jednostkę czasu. Prędkość obrotowa jest oznaczona literą? i jest mierzony w hercach. Aby znaleźć częstotliwość, należy podzielić jednostkę przez okres.

Prędkość liniowa - stosunek ruchu ciała do czasu. Aby obliczyć prędkość liniową ciała po okręgu, należy podzielić obwód przez okres (obwód jest 2 razy większy od promienia).

Prędkość kątowa - wielkość fizyczna, równy stosunkowi kąta obrotu promienia okręgu, po którym porusza się ciało, do czasu ruchu. Prędkość kątowa jest oznaczona literą? i jest mierzony w radianach podzielonych przez sekundę. Możesz znaleźć prędkość kątową dzieląc 2? na okres. Prędkość kątowa i prędkość liniowa. Aby znaleźć prędkość liniową, należy pomnożyć prędkość kątową przez promień okręgu.

Rysunek 6. Ruch w kole, wzory.

Doskonale zdajesz sobie sprawę, że w zależności od kształtu trajektorii ruch dzieli się na prostoliniowy oraz krzywolinijny. Na poprzednich lekcjach dowiedzieliśmy się, jak pracować z ruchem prostoliniowym, a mianowicie rozwiązać główny problem mechaniki dla tego typu ruchu.

Widać jednak, że w świecie rzeczywistym najczęściej mamy do czynienia z ruchem krzywoliniowym, gdy trajektoria jest linią krzywą. Przykładami takiego ruchu są trajektoria ciała rzuconego pod kątem do horyzontu, ruch Ziemi wokół Słońca, a nawet trajektoria twoich oczu, które teraz podążają za tym abstraktem.

Lekcja ta będzie poświęcona pytaniu, jak rozwiązuje się główny problem mechaniki w przypadku ruchu krzywoliniowego.

Na początek określmy, jakie fundamentalne różnice ma ruch krzywoliniowy (rys. 1) względem prostoliniowego i do czego te różnice prowadzą.

Ryż. 1. Trajektoria ruchu krzywoliniowego

Porozmawiajmy o tym, jak wygodnie jest opisywać ruch ciała, gdy ruch krzywoliniowy.

Możesz podzielić ruch na oddzielne sekcje, z których każdy ruch można uznać za prostoliniowy (ryc. 2).

Ryż. 2. Podział ruchu krzywoliniowego na sekcje ruch prostoliniowy

Jednak następujące podejście jest wygodniejsze. Przedstawimy ten ruch jako zbiór kilku ruchów po łukach kół (ryc. 3). Zauważ, że takich przegród jest mniej niż w poprzednim przypadku, ponadto ruch po okręgu jest krzywoliniowy. Ponadto bardzo powszechne są przykłady ruchu w kole w przyrodzie. Z tego możemy wywnioskować:

Aby opisać ruch krzywoliniowy, musisz nauczyć się opisywać ruch po okręgu, a następnie arbitralny ruch reprezentować w postaci zestawów ruchów wzdłuż łuków kół.

Ryż. 3. Podział ruchu krzywoliniowego na ruchy po łukach okręgów

Zacznijmy więc badanie ruchu krzywoliniowego od badania ruchu jednostajnego po okręgu. Zobaczmy, jakie są podstawowe różnice między ruchem krzywoliniowym i prostoliniowym. Na początek przypomnijmy, że w dziewiątej klasie badaliśmy fakt, że prędkość ciała poruszającego się po okręgu jest skierowana stycznie do trajektorii (ryc. 4). Nawiasem mówiąc, możesz zaobserwować ten fakt w praktyce, jeśli przyjrzysz się, jak poruszają się iskry podczas używania kamienia szlifierskiego.

Rozważ ruch ciała po łuku kołowym (ryc. 5).

Ryż. 5. Prędkość ciała podczas poruszania się po okręgu

Należy pamiętać, że w ta sprawa moduł prędkości ciała w punkcie jest równy modułowi prędkości ciała w punkcie:

Jednak wektor nie jest równy wektorowi . Mamy więc wektor różnicy prędkości (ryc. 6):

Ryż. 6. Wektor różnicy prędkości

Co więcej, zmiana prędkości nastąpiła po pewnym czasie. W ten sposób otrzymujemy znaną kombinację:

To nic innego jak zmiana prędkości w czasie lub przyspieszenie ciała. Możemy wyciągnąć bardzo ważny wniosek:

Ruch po zakrzywionej ścieżce jest przyspieszony. Istotą tego przyspieszenia jest ciągła zmiana kierunku wektora prędkości.

Jeszcze raz zauważamy, że nawet jeśli mówi się, że ciało porusza się jednostajnie po okręgu, oznacza to, że moduł prędkości ciała się nie zmienia. Jednak taki ruch jest zawsze przyspieszony, ponieważ zmienia się kierunek prędkości.

W dziewiątej klasie uczyłeś się, czym jest to przyspieszenie i jak jest kierowane (ryc. 7). przyspieszenie dośrodkowe zawsze skierowany w stronę środka koła, po którym porusza się ciało.

Ryż. 7. Przyspieszenie dośrodkowe

Moduł przyspieszenia dośrodkowego można obliczyć ze wzoru:

Przechodzimy do opisu ruchu jednostajnego ciała po okręgu. Umówmy się, że prędkość, której użyłeś opisując ruch translacyjny, będzie teraz nazywana prędkością liniową. A przez prędkość liniową zrozumiemy prędkość chwilową w punkcie trajektorii wirującego ciała.

Ryż. 8. Ruch punktów dysku

Rozważmy dysk, który dla pewności obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Na jego promieniu zaznaczamy dwa punkty i (ryc. 8). Rozważ ich ruch. Przez pewien czas punkty te będą poruszać się po łukach koła i staną się punktami i . Oczywiście punkt przesunął się bardziej niż punkt. Z tego możemy wywnioskować, że im dalej punkt znajduje się od osi obrotu, tym większa prędkość liniowa się porusza.

Jeśli jednak uważnie przyjrzymy się punktom i , możemy powiedzieć, że kąt, o który obróciły się względem osi obrotu, pozostał niezmieniony. Jest to charakterystyka kątowa, której użyjemy do opisania ruchu po okręgu. Zauważ, że do opisania ruchu w kole możemy użyć narożnik cechy.

Rozważanie ruchu po okręgu zacznijmy od najprostszego przypadku - ruchu jednostajnego po okręgu. Przypomnijmy, że jednostajny ruch postępowy to ruch, w którym ciało wykonuje te same przemieszczenia w równych odstępach czasu. Przez analogię możemy podać definicję ruchu jednostajnego po okręgu.

Ruch jednostajny po okręgu to ruch, w którym w równych odstępach czasu ciało obraca się o te same kąty.

Podobnie jak w przypadku prędkości liniowej, wprowadzono pojęcie prędkości kątowej.

Prędkość kątowa ruchu jednostajnego ( nazywana wielkością fizyczną równą stosunkowi kąta, pod jakim ciało się obróciło, do czasu, w którym nastąpił ten obrót.

W fizyce najczęściej używana jest miara kąta w radianach. Na przykład kąt przy jest równy radianom. Prędkość kątowa jest mierzona w radianach na sekundę:

Znajdźmy zależność między prędkością kątową punktu a prędkością liniową tego punktu.

Ryż. 9. Związek między prędkością kątową i liniową

Podczas obrotu punkt przechodzi po łuku o długości, obracając się o kąt. Z definicji miary kąta w radianach możemy napisać:

Podzielmy lewą i prawą część równości przez przedział czasu , dla którego wykonano ruch, wtedy użyjemy definicji prędkości kątowej i liniowej:

Zauważ, że im dalej punkt znajduje się od osi obrotu, tym wyższa jest jego prędkość liniowa. A punkty znajdujące się na samej osi obrotu są stałe. Przykładem jest karuzela: im bliżej środka karuzeli, tym łatwiej na niej pozostać.

Ta zależność prędkości liniowej i kątowej jest wykorzystywana w satelitach geostacjonarnych (satelitach znajdujących się zawsze nad tym samym punktem powierzchnia ziemi). Dzięki takim satelitom jesteśmy w stanie odbierać sygnały telewizyjne.

Przypomnijmy, że wcześniej wprowadziliśmy pojęcia okresu i częstotliwości rotacji.

Okres obrotu to czas jednego pełnego obrotu. Okres obrotu jest oznaczony literą i mierzony w sekundach w SI:

Częstotliwość obrotu jest wielkością fizyczną równą liczbie obrotów wykonywanych przez ciało w jednostce czasu.

Częstotliwość jest oznaczona literą i jest mierzona w odwrotności sekund:

Są one powiązane poprzez:

Istnieje związek między prędkością kątową a częstotliwością rotacji ciała. Jeśli pamiętamy, że pełny obrót to , łatwo zauważyć, że prędkość kątowa wynosi:

Podstawiając te wyrażenia do zależności między prędkością kątową a liniową, otrzymujemy zależność prędkości liniowej od okresu lub częstotliwości:

Zapiszmy też zależność między przyspieszeniem dośrodkowym a tymi wielkościami:

Znamy więc zależność pomiędzy wszystkimi cechami ruchu jednostajnego po okręgu.

Podsumujmy. W tej lekcji zaczęliśmy opisywać ruch krzywoliniowy. Zrozumieliśmy, jak powiązać ruch krzywoliniowy z ruchem kołowym. Ruch kołowy jest zawsze przyspieszony, a obecność przyspieszenia powoduje, że prędkość zawsze zmienia swój kierunek. Takie przyspieszenie nazywamy dośrodkowym. Na koniec przypomnieliśmy sobie pewne cechy ruchu po okręgu (prędkość liniowa, prędkość kątowa, okres i częstotliwość obrotu) i znaleźliśmy między nimi zależność.

Bibliografia

G.Ya. Myakishev, B.B. Buchowcew, N.N. Sockiego. Fizyka 10. - M .: Edukacja, 2008.
AP Rymkiewicz. Fizyka. Zeszyt problemów 10-11. - M.: Drop, 2006.
O.Ya. Sawczenko. Problemy fizyki. - M.: Nauka, 1988.
AV Peryszkin, W.W. Krauklisa. Kurs fizyki. T. 1. - M .: Stan. uch.-ped. wyd. min. edukacja RFSRR, 1957.

Ayp.ru ().
Wikipedia ().

Praca domowa

Rozwiązywanie problemów dla ta lekcja, będziesz mógł przygotować się do pytań 1 GIA oraz pytań A1, A2 egzaminu.

Problemy 92, 94, 98, 106, 110 - sob. zadania A.P. Rymkiewicz, wyd. dziesięć
Oblicz prędkość kątową wskazówki minutowej, sekundowej i godzinowej zegara. Oblicz przyspieszenie dośrodkowe działające na końcówki tych strzałek, jeśli promień każdej z nich wynosi jeden metr.

Przy ruchu krzywoliniowym zmienia się kierunek wektora prędkości. W takim przypadku jego moduł, czyli długość, również może ulec zmianie. W tym przypadku wektor przyspieszenia rozkłada się na dwie składowe: styczną do trajektorii i prostopadłą do trajektorii (rys. 10). Składnik nazywa się styczny przyspieszenie (styczne), składowa - normalna(przyspieszenie dośrodkowe.

Przyspieszenie krzywoliniowe

Przyspieszenie styczne charakteryzuje szybkość zmiany prędkości liniowej, a przyspieszenie normalne charakteryzuje szybkość zmiany kierunku.

Całkowite przyspieszenie jest równe sumie wektorowej przyspieszeń stycznych i normalnych:

(15)

Całkowity moduł przyspieszenia wynosi:

Rozważ jednostajny ruch punktu po okręgu. W którym oraz . Niech punkt będzie w pozycji 1 w rozważanym czasie t (rys. 11). Po czasie Δt punkt znajdzie się w pozycji 2, po przebyciu ścieżki s, równy łukowi 1-2. W tym przypadku zwiększa się prędkość punktu v v, w wyniku czego wektor prędkości, pozostając niezmienioną wielkością, obróci się o kąt Δφ , pokrywająca się co do wielkości z kątem środkowym opartym na łuku długości s:

(16)

gdzie R jest promieniem okręgu, po którym porusza się punkt. Znajdźmy przyrost wektora prędkości Aby to zrobić, przesuniemy wektor aby jego początek pokrywał się z początkiem wektora . Wtedy wektor będzie reprezentowany przez odcinek narysowany od końca wektora do końca wektora . Ten segment służy jako podstawa trójkąta równoramiennego o bokach i i kąt Δφ u góry. Jeśli kąt Δφ jest mały (co jest prawdziwe dla małego Δt), dla boków tego trójkąta możemy w przybliżeniu zapisać:

Podstawiając tutaj Δφ z (16), otrzymujemy wyrażenie na moduł wektora:

Dzieląc obie części równania przez Δt i dokonując przejścia do granicy otrzymujemy wartość przyspieszenia dośrodkowego:

Tutaj ilości v oraz R są stałe, więc można je wyjąć poza znak graniczny. Ograniczeniem stosunku jest moduł prędkości Nazywa się to również prędkością liniową.

Promień krzywizny

Promień okręgu R nazywa się promień krzywizny trajektorie. Odwrotność R nazywa się krzywizną ścieżki:

gdzie R jest promieniem danego okręgu. Jeżeli α jest kątem środkowym odpowiadającym łukowi koła s, to, jak wiadomo, między R, α i s zachodzi następująca zależność:

s = Ra. (18)

Pojęcie promienia krzywizny dotyczy nie tylko okręgu, ale każdej zakrzywionej linii. Promień krzywizny (lub jej odwrotność - krzywizny) charakteryzuje stopień krzywizny linii. Im mniejszy promień krzywizny (odpowiednio im większa krzywizna), tym bardziej linia jest wygięta. Rozważmy tę koncepcję bardziej szczegółowo.

Okrąg krzywizny prostej w pewnym punkcie A jest położeniem granicznym okręgu przechodzącego przez punkt A i dwa inne punkty B 1 i B 2, gdy zbliżają się w nieskończoność do punktu A (na rys. 12 krzywa jest narysowana przez linia ciągła, a krąg krzywizny jest przerywany). Promień okręgu krzywizny podaje promień krzywizny danej krzywej w punkcie A, a środek tego okręgu jest środkiem krzywizny krzywej dla tego samego punktu A.

Narysuj w punktach B 1 i B 2 styczne B 1 D i B 2 E do okręgu przechodzącego przez punkty B 1 , A i B 2 . Normalne do tych stycznych B 1 C i B 2 C będą promieniami R okręgu i przecinają się w jego środku C. Wprowadźmy kąt Δα między normalnymi B1C i B2 C; oczywiście jest równy kątowi między stycznymi B 1 D i B 2 E. Oznaczmy odcinek krzywej między punktami B 1 i B 2 jako Δs. Następnie według wzoru (18):

Koło krzywizny płaskiej zakrzywionej linii

Określanie krzywizny krzywej płaskiej w różnych punktach

Na ryc. 13 pokazuje okręgi krzywizny prostej linii w różnych punktach. W punkcie A 1 , gdzie krzywa jest bardziej płaska, promień krzywizny jest odpowiednio większy niż w punkcie A 2 , krzywizna linii w punkcie A 1 będzie mniejsza niż w punkcie A 2 . W punkcie A 3 krzywa jest jeszcze bardziej płaska niż w punktach A 1 i A 2 , więc promień krzywizny w tym punkcie będzie większy, a krzywizna mniejsza. Ponadto okrąg krzywizny w punkcie A3 leży po drugiej stronie krzywej. Dlatego wielkości krzywizny w tym punkcie przypisuje się znak przeciwny do znaku krzywizny w punktach A 1 i A 2: jeśli krzywizna w punktach A 1 i A 2 jest uważana za dodatnią, wówczas krzywizna w punkcie A 3 będzie negatywny.

6. ruch krzywoliniowy. Przemieszczenie kątowe, prędkość kątowa i przyspieszenie ciała. Droga i przemieszczenie podczas ruchu krzywoliniowego ciała.

Ruch krzywoliniowy- jest to ruch, którego trajektoria jest linią krzywą (na przykład okrąg, elipsa, hiperbola, parabola). Przykładem ruchu krzywoliniowego jest ruch planet, koniec wskazówki zegara na tarczy itp. Ogólnie prędkość krzywoliniowa zmiany wielkości i kierunku.

Ruch krzywoliniowy punktu materialnego jest uważany za ruch jednostajny, jeśli moduł prędkość stały (na przykład ruch jednostajny po okręgu) i jednostajnie przyspieszony, jeśli moduł i kierunek prędkość zmiany (na przykład ruch ciała rzuconego pod kątem do horyzontu).

Ryż. 1.19. Trajektoria i wektor przemieszczenia w ruchu krzywoliniowym.

Podczas poruszania się po zakrzywionej ścieżce wektor przemieszczenia skierowane wzdłuż cięciwy (ryc. 1.19), oraz ja- długość trajektorie . Prędkość chwilowa ciała (czyli prędkość ciała w danym punkcie trajektorii) jest skierowana stycznie do tego punktu trajektorii, w którym aktualnie znajduje się poruszające się ciało (rys. 1.20).

Ryż. 1.20. Prędkość chwilowa w ruchu krzywoliniowym.

Ruch krzywoliniowy jest zawsze ruchem przyspieszonym. To znaczy przyspieszenie krzywoliniowe jest zawsze obecny, nawet jeśli moduł prędkości się nie zmienia, ale zmienia się tylko kierunek prędkości. Zmiana prędkości na jednostkę czasu wynosi przyspieszenie styczne :

lub

Gdzie v τ , v 0 są prędkości w danym momencie t 0 + t oraz t 0 odpowiednio.

Przyspieszenie styczne w danym punkcie trajektorii kierunek pokrywa się z kierunkiem prędkości ciała lub jest do niego przeciwny.

Normalne przyspieszenie to zmiana prędkości w kierunku na jednostkę czasu:

Normalne przyspieszenie skierowane wzdłuż promienia krzywizny trajektorii (w kierunku osi obrotu). Normalne przyspieszenie jest prostopadłe do kierunku prędkości.

przyspieszenie dośrodkowe jest normalnym przyspieszeniem dla jednostajnego ruchu okrężnego.

Pełne przyspieszenie przy równie zmiennym ruchu krzywoliniowym ciała równa się:

Ruch ciała po trajektorii krzywoliniowej można w przybliżeniu przedstawić jako ruch po łukach niektórych okręgów (ryc. 1.21).

Ryż. 1.21. Ruch ciała podczas ruchu krzywoliniowego.

Ruch krzywoliniowy

Ruchy krzywoliniowe- ruchy, których trajektorie nie są proste, ale zakrzywione. Planety i wody rzeczne poruszają się po krzywoliniowych trajektoriach.

Ruch krzywoliniowy jest zawsze ruchem z przyspieszeniem, nawet jeśli bezwzględna wartość prędkości jest stała. Ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem występuje zawsze w płaszczyźnie, w której znajdują się wektory przyspieszenia i początkowe prędkości punktu. W przypadku ruchu krzywoliniowego ze stałym przyspieszeniem w płaszczyźnie xOy projekcje v x oraz v tak jego prędkość na osi Wół oraz Oy i współrzędne x oraz tak punkty w dowolnym momencie t określone przez formuły

Szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego jest ruch kołowy. Ruch kołowy, nawet jednostajny, jest zawsze ruchem przyspieszonym: moduł prędkości jest zawsze skierowany stycznie do trajektorii, stale zmieniając kierunek, więc ruch kołowy zawsze występuje z przyspieszeniem dośrodkowym, gdzie r to promień okręgu.

Wektor przyspieszenia podczas poruszania się po okręgu jest skierowany w stronę środka okręgu i prostopadle do wektora prędkości.

W ruchu krzywoliniowym przyspieszenie można przedstawić jako sumę składowych normalnych i stycznych:

Przyspieszenie normalne (dośrodkowe) skierowane jest w stronę środka krzywizny trajektorii i charakteryzuje zmianę prędkości w kierunku:

v- chwilowa prędkość, r jest promieniem krzywizny trajektorii w danym punkcie.

Przyspieszenie styczne (styczne) jest skierowane stycznie do trajektorii i charakteryzuje zmianę prędkości modulo.

Całkowite przyspieszenie, z jakim porusza się punkt materialny, jest równe:

Oprócz przyspieszenia dośrodkowego najważniejszymi cechami ruchu jednostajnego po okręgu są okres i częstotliwość obrotu.

Okres obiegu to czas potrzebny ciału na wykonanie jednego obrotu .

Okres jest oznaczony literą T c) i określa wzór:

gdzie t- czas realizacji P- liczba obrotów wykonanych w tym czasie.

Częstotliwość obiegu- jest to wartość liczbowo równa liczbie obrotów wykonanych na jednostkę czasu.

Częstotliwość jest oznaczona grecką literą (nu) i jest określona wzorem:

Częstotliwość mierzona jest w 1/s.

Okres i częstotliwość są wielkościami wzajemnie odwrotnymi:

Jeśli ciało porusza się po okręgu z prędkością w, wykonuje jeden obrót, wtedy drogę przebytą przez to ciało można znaleźć mnożąc prędkość v na jedną turę:

l = vT. Z drugiej strony ta ścieżka jest równa obwodowi 2π r. Dlatego

vT= 2π r,

gdzie w(od 1) - prędkość kątowa.

Przy stałej częstotliwości obrotu przyspieszenie dośrodkowe jest wprost proporcjonalne do odległości od poruszającej się cząstki do środka obrotu.

Prędkość kątowa (w) jest wartością równą stosunkowi kąta obrotu promienia, na którym znajduje się punkt obrotu, do przedziału czasu, w którym nastąpił ten obrót:

Zależność między prędkością liniową i kątową:

Ruch ciała można uznać za znany tylko wtedy, gdy wiadomo, jak porusza się każdy z jego punktów. Najprostszy ruch ciał sztywnych ma charakter translacyjny. Tłumaczenie zwany ruchem ciało stałe, w którym każda linia prosta narysowana w tym ciele porusza się równolegle do siebie.

Rozważając krzywoliniowy ruch ciała, zobaczymy, że jego prędkość jest różna w różnych momentach. Nawet jeśli moduł prędkości się nie zmienia, nadal następuje zmiana kierunku prędkości. W ogólnym przypadku zmienia się zarówno moduł, jak i kierunek prędkości.

Tak więc przy ruchu krzywoliniowym prędkość stale się zmienia, tak że ruch ten występuje z przyspieszeniem. Aby określić to przyspieszenie (przez moduł i kierunek), konieczne jest znalezienie zmiany prędkości jako wektora, tj. znalezienie przyrostu modułu prędkości i zmiany jego kierunku.

Ryż. 49. Zmiana prędkości podczas ruchu krzywoliniowego

Niech np. punkt poruszający się krzywoliniowo (ryc. 49) ma w pewnym momencie prędkość, a po krótkim czasie prędkość. Przyrost prędkości to różnica między wektorami i . Ponieważ te wektory mają różne kierunki, musimy wziąć ich różnicę wektorów. Przyrost prędkości będzie wyrażony przez wektor reprezentowany przez bok równoległoboku z przekątną i drugą stroną. Przyspieszenie to stosunek przyrostu prędkości do przedziału czasu, dla którego wystąpił ten przyrost. Więc przyspieszenie

Kierunek pokrywa się z wektorem .

Wybierając wystarczająco małe, dochodzimy do pojęcia przyspieszenia chwilowego (por. § 16); z dowolnym wektorem będzie reprezentować średnie przyspieszenie w okresie czasu.

Kierunek przyspieszenia podczas ruchu krzywoliniowego nie pokrywa się z kierunkiem prędkości, natomiast dla ruchu prostoliniowego kierunki te pokrywają się (lub są przeciwne). Aby znaleźć kierunek przyspieszenia podczas ruchu krzywoliniowego, wystarczy porównać kierunki prędkości w dwóch bliskich punktach trajektorii. Skoro prędkości są skierowane wzdłuż stycznych do trajektorii, to z postaci samej trajektorii można wywnioskować, w jakim kierunku z trajektorii skierowane jest przyspieszenie. Rzeczywiście, ponieważ różnica prędkości w dwóch bliskich punktach trajektorii jest zawsze skierowana w kierunku, w którym trajektoria jest zakrzywiona, oznacza to, że przyspieszenie jest zawsze skierowane w kierunku wklęsłości trajektorii. Na przykład, gdy kula toczy się po zakrzywionym rynnie (rys. 50), jej przyspieszenie w odcinkach i jest skierowane tak, jak pokazują strzałki i nie zależy to od tego, czy piłka toczy się z do, czy w przeciwnym kierunku.

Ryż. 50. Przyspieszenia podczas ruchu krzywoliniowego są zawsze skierowane w stronę wklęsłości trajektorii

Ryż. 51. Do wyprowadzenia wzoru na przyspieszenie dośrodkowe

Rozważ jednostajny ruch punktu po trajektorii krzywoliniowej. Wiemy już, że jest to ruch przyspieszony. Znajdźmy przyspieszenie. Aby to zrobić, wystarczy wziąć pod uwagę przyspieszenie dla konkretnego przypadku ruchu jednostajnego po okręgu. Przyjmijmy dwie bliskie pozycje i ruchomy punkt, oddzielone małym odstępem czasu (ryc. 51, a). Prędkości poruszającego się punktu w i są równe w wartości bezwzględnej, ale różne w kierunku. Znajdźmy różnicę między tymi prędkościami za pomocą reguły trójkątów (ryc. 51, b). Trójkąty i podobne, jak trójkąty równoramienne z równe kąty na górze. Długość boku reprezentującego wzrost prędkości w czasie może być ustawiona na , gdzie jest modułem pożądanego przyspieszenia. Strona podobna do niej to cięciwa łuku; ze względu na niewielki rozmiar łuku długość jego cięciwy można w przybliżeniu przyjąć jako równą długości łuku, tj. . Dalej, ; , gdzie jest promieniem trajektorii. Z podobieństwa trójkątów wynika, że stosunki podobnych boków w nich są równe:

gdzie znajdujemy moduł wymaganego przyspieszenia:

Kierunek przyspieszenia jest prostopadły do cięciwy. Dla wystarczająco małych przedziałów czasowych możemy założyć, że styczna do łuku praktycznie pokrywa się z jego cięciwą. Oznacza to, że przyspieszenie można uznać za skierowane prostopadle (zwykle) do stycznej do trajektorii, czyli wzdłuż promienia do środka okręgu. Dlatego takie przyspieszenie nazywa się przyspieszeniem normalnym lub dośrodkowym.

Jeżeli trajektoria nie jest okręgiem, ale dowolną zakrzywioną linią, to we wzorze (27.1) należy przyjąć promień okręgu najbliżej krzywej w danym punkcie. Kierunek normalnego przyspieszenia w tym przypadku będzie również prostopadły do stycznej do trajektorii w danym punkcie. Jeżeli podczas ruchu krzywoliniowego przyspieszenie jest stałe pod względem wielkości i kierunku, można je określić jako stosunek przyrostu prędkości do przedziału czasu, w którym ten przyrost wystąpił, niezależnie od tego, jaki jest ten przedział czasu. Tak więc w tym przypadku przyspieszenie można znaleźć ze wzoru

podobny do wzoru (17.1) dla ruchu prostoliniowego ze stałym przyspieszeniem. Oto prędkość ciała w chwili początkowej, a prędkość w chwili .