Układy równań liniowych dla manekinów. Metoda Gaussa rozwiązywania macierzy. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą Gaussa

Rozwiązanie systemowe równania liniowe Metoda Gaussa. Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie układu N równania liniowe z N nieznane zmienne
którego wyznacznik macierzy głównej jest różny od zera.

Istota metody Gaussa polega na sekwencyjnym eliminowaniu nieznanych zmiennych: pierwsza eliminacja x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego, jest dodatkowo wykluczone x 2 ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego i tak dalej, aż w ostatnim równaniu pozostanie tylko nieznana zmienna x rz. Ten proces przekształcania równań układu w celu sekwencyjnego eliminowania nieznanych zmiennych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po zakończeniu postępu metody Gaussa, od ostatniego równania, które znajdujemy x rz, używając tej wartości z przedostatniego równania, które obliczamy xn-1 i tak dalej, począwszy od pierwszego równania, które znajdziemy x 1. Nazywa się proces obliczania nieznanych zmiennych podczas przechodzenia od ostatniego równania układu do pierwszego odwrotność metody Gaussa.

Opiszmy pokrótce algorytm eliminacji nieznanych zmiennych.

Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, przestawiając równania układu. Wyeliminuj nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. W tym celu do drugiego równania układu dodajemy pierwsze pomnożone przez , do trzeciego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez , i tak dalej n-ty do równania dodajemy pierwszy, pomnożony przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie i .

Gdybyśmy wyrazili, doszlibyśmy do tego samego wyniku x 1 poprzez inne nieznane zmienne w pierwszym równaniu układu, a powstałe wyrażenie podstawiono do wszystkich pozostałych równań. Zatem zmienna x 1 wyłączone ze wszystkich równań, zaczynając od drugiego.

Następnie postępujemy w podobny sposób, ale tylko z częścią powstałego układu, co zaznaczono na rysunku

W tym celu do trzeciego równania układu dodajemy drugie pomnożone przez , do czwartego równania dodajemy drugie pomnożone przez i tak dalej n-ty do równania dodajemy drugą, pomnożoną przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie i . Zatem zmienna x 2 wyłączone ze wszystkich równań, począwszy od trzeciego.

Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomego x 3, w tym przypadku postępujemy podobnie z zaznaczoną na rysunku częścią układu

Kontynuujemy zatem bezpośredni postęp metody Gaussa, aż system przyjmie formę

Od tego momentu zaczynamy odwrotność metody Gaussa: obliczamy x rz z ostatniego równania as, wykorzystując otrzymaną wartość x rz znaleźliśmy xn-1 z przedostatniego równania i tak dalej, znajdujemy x 1 z pierwszego równania.

Przykład.

Rozwiązywać układ równań liniowych Metoda Gaussa.

Jedną z uniwersalnych i skutecznych metod rozwiązywania liniowych układów algebraicznych jest Metoda Gaussa , polegający na sekwencyjnej eliminacji niewiadomych.

Przypomnijmy, że oba systemy to tzw równowartość (równoważne), jeśli zbiory ich rozwiązań pokrywają się. Innymi słowy, systemy są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego z nich jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie. Równoważne systemy uzyskuje się, gdy elementarne przemiany równania układu:

pomnożenie obu stron równania przez liczbę różną od zera;

dodanie do jakiegoś równania odpowiednich części innego równania, pomnożonych przez liczbę różną od zera;

przekształcenie dwóch równań.

Niech będzie dany układ równań

Proces rozwiązywania tego układu metodą Gaussa składa się z dwóch etapów. W pierwszym etapie (ruch bezpośredni) układ za pomocą przekształceń elementarnych zostaje zredukowany do krok po kroku , Lub trójkątny postaci, a w drugim etapie (odwrotnym) następuje sekwencyjne, zaczynając od ostatniej liczby zmiennej, wyznaczanie niewiadomych z powstałego układu schodkowego.

Załóżmy, że współczynnik tego układu
, w przeciwnym razie w systemie pierwszy wiersz można zamienić z dowolnym innym wierszem, tak aby współczynnik wynosił była różna od zera.

Przekształćmy system, eliminując nieznane we wszystkich równaniach z wyjątkiem pierwszego. Aby to zrobić, pomnóż obie strony pierwszego równania przez i dodaj wyraz po wyrazie do drugiego równania układu. Następnie pomnóż obie strony pierwszego równania przez i dodaj go do trzeciego równania układu. Kontynuując ten proces, otrzymujemy układ równoważny

Tutaj
– nowe wartości współczynników i wolnych terminów, które uzyskuje się po pierwszym kroku.

Podobnie, biorąc pod uwagę główny element
, wyklucz nieznane ze wszystkich równań układu z wyjątkiem pierwszego i drugiego. Kontynuujmy ten proces tak długo, jak to możliwe, a w rezultacie otrzymamy system etapowy

,

Gdzie ,
,…,– główne elementy systemu
.

Jeżeli w procesie redukcji układu do postaci krokowej pojawią się równania, tj. Równości postaci
, są one odrzucane, ponieważ są spełnione przez dowolny zbiór liczb
. Jestem gruby
pojawi się równanie postaci, który nie ma rozwiązań, oznacza to niezgodność systemu.

Podczas skoku wstecznego pierwsza niewiadoma jest wyrażana z ostatniego równania przekształconego układu schodkowego przez wszystkie inne niewiadome
które nazywane są bezpłatny . Następnie wyrażenie zmienne z ostatniego równania układu podstawia się do przedostatniego równania i z niego wyraża się zmienną
. Zmienne definiuje się sekwencyjnie w podobny sposób
. Zmienne
, wyrażone za pomocą zmiennych wolnych, nazywane są podstawowy (zależny). Rezultatem jest ogólne rozwiązanie układu równań liniowych.

Znaleźć rozwiązanie prywatne systemy, wolne nieznane
w rozwiązaniu ogólnym przypisuje się dowolne wartości i oblicza wartości zmiennych
.

Z technicznego punktu widzenia wygodniej jest poddać elementarnym przekształceniom nie same równania układu, ale rozszerzoną macierz układu

.

Metoda Gaussa jest metodą uniwersalną, która pozwala rozwiązywać nie tylko układy kwadratowe, ale także prostokątne, w których liczba niewiadomych
nie równa liczbie równań
.

Zaletą tej metody jest również to, że w procesie rozwiązywania jednocześnie badamy układ pod kątem kompatybilności, gdyż mając podaną rozszerzoną macierz
do postaci schodkowej, łatwo jest wyznaczyć rządy macierzy i rozszerzoną matrycę
i zastosuj Twierdzenie Kroneckera-Capelliego .

Przykład 2.1 Rozwiązać układ metodą Gaussa

Rozwiązanie. Liczba równań
i ilość niewiadomych
.

Stwórzmy rozszerzoną macierz układu, przypisując współczynniki po prawej stronie macierzy kolumna wolnych członków .

Przedstawmy macierz do widoku trójkątnego; W tym celu za pomocą przekształceń elementarnych uzyskamy „0” poniżej elementów znajdujących się na głównej przekątnej.

Aby otrzymać „0” na drugiej pozycji pierwszej kolumny, pomnóż pierwszy wiersz przez (-1) i dodaj go do drugiego wiersza.

Zapisujemy tę transformację jako liczbę (-1) w stosunku do pierwszej linii i oznaczamy ją strzałką przechodzącą od pierwszej linii do drugiej linii.

Aby otrzymać „0” na trzeciej pozycji pierwszej kolumny, pomnóż pierwszy wiersz przez (-3) i dodaj do trzeciego wiersza; Pokażmy tę akcję za pomocą strzałki biegnącej od pierwszej do trzeciej linii.

.

W wynikowej macierzy, zapisanej jako druga w łańcuchu macierzy, w drugiej kolumnie na trzeciej pozycji otrzymujemy „0”. Aby to zrobić, pomnożyliśmy drugą linię przez (-4) i dodaliśmy do trzeciej. W wynikowej macierzy pomnóż drugi wiersz przez (-1), a trzeci podziel przez (-8). Wszystkie elementy tej macierzy leżące poniżej elementów przekątnych są zerami.

Ponieważ , system opiera się na współpracy i jest zdefiniowany.

Układ równań odpowiadający ostatniej macierzy ma postać trójkątną:

Z ostatniego (trzeciego) równania
. Podstaw do drugiego równania i otrzymaj
.

Zastąpmy
I
do pierwszego równania, znajdujemy


.

Metoda Gaussa jest łatwa! Dlaczego? Słynny niemiecki matematyk Johann Carl Friedrich Gauss już za życia zyskał uznanie jako największy matematyk wszechczasów, geniusz, a nawet przydomek „Króla matematyki”. A wszystko genialne, jak wiadomo, jest proste! Swoją drogą pieniądze dostają nie tylko frajerzy, ale i geniusze – portret Gaussa widniał na banknocie 10 marek niemieckich (przed wprowadzeniem euro), a Gauss do dziś uśmiecha się tajemniczo do Niemców ze zwykłych znaczków pocztowych.

Metoda Gaussa jest o tyle prosta, że ​​do jej opanowania wystarczy WIEDZA UCZNIA PIĄTEJ KLASY. Musisz umieć dodawać i mnożyć! To nie przypadek, że nauczyciele często rozważają metodę sekwencyjnego wykluczania niewiadomych w szkolnych przedmiotach do wyboru z matematyki. To paradoks, ale uczniowie uważają, że metoda Gaussa jest najtrudniejsza. Nic dziwnego – wszystko zależy od techniki i będę się starał przystępna forma mówić o algorytmie metody.

Na początek usystematyzujmy trochę wiedzy o układach równań liniowych. Układ równań liniowych może:

1) Mieć unikalne rozwiązanie.
2) Mają nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Nie mają rozwiązań (być niekompatybilny).

Metoda Gaussa jest najpotężniejszym i najbardziej uniwersalnym narzędziem do znalezienia rozwiązania każdy układy równań liniowych. Jak pamiętamy, Reguła Cramera i metoda macierzowa są nieodpowiednie w przypadkach, gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Oraz metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych W każdym razie doprowadzi nas do odpowiedzi! NA ta lekcja Ponownie rozważymy metodę Gaussa dla przypadku nr 1 (jedynego rozwiązania układu), artykuł poświęcony jest sytuacjom z punktów nr 2-3. Zwracam uwagę, że algorytm samej metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach.

Wróćmy do najprostszy system z zajęć Jak rozwiązać układ równań liniowych?
i rozwiązać go metodą Gaussa.

Pierwszym krokiem jest zapisanie rozbudowana matryca systemu:
. Myślę, że każdy może zobaczyć, według jakiej zasady zapisywane są współczynniki. Pionowa linia wewnątrz matrycy nie ma żadnego znaczenia matematycznego – jest po prostu przekreśleniem dla ułatwienia projektowania.

Odniesienie :Polecam pamiętać warunki algebra liniowa. Matryca systemu jest macierzą złożoną wyłącznie ze współczynników niewiadomych, w tym przykładzie macierzą układu: . Rozszerzona matryca systemu jest tą samą macierzą systemu plus kolumna wolnych terminów, w w tym przypadku: . Dla uproszczenia każdą z macierzy można po prostu nazwać macierzą.

Po napisaniu rozszerzonej macierzy systemu należy wykonać z nią pewne działania, które są również nazywane elementarne przemiany.

Istnieją następujące przekształcenia elementarne:

1) Smyczki matryce Móc przemieniać w niektórych miejscach. Na przykład w rozważanej macierzy możesz bezboleśnie zmienić układ pierwszego i drugiego wiersza:

2) Jeżeli w macierzy są (lub pojawiły się) proporcjonalne (w szczególnym przypadku - identyczne) wiersze, to należy usuwać Wszystkie te wiersze pochodzą z macierzy, z wyjątkiem jednego. Rozważmy na przykład macierz . W tej macierzy ostatnie trzy wiersze są proporcjonalne, więc wystarczy zostawić tylko jeden z nich: .

3) Jeżeli podczas przekształceń w macierzy pojawia się wiersz zerowy, to też powinien tak być usuwać. Nie będę oczywiście rysować, linia zerowa to linia, w której wszystkie zera.

4) Wiersz macierzy może być mnożyć (dzielić) na dowolny numer niezerowy. Rozważmy na przykład macierz . W tym przypadku wskazane jest podzielenie pierwszej linii przez –3 i pomnożenie drugiej linii przez 2: . Akcja ta jest bardzo przydatna, gdyż ułatwia dalsze przekształcenia macierzy.

5) Ta transformacja sprawia najwięcej trudności, ale tak naprawdę nie ma też nic skomplikowanego. Do rzędu macierzy można dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różny od zera. Spójrzmy na naszą macierz na praktycznym przykładzie: . Najpierw opiszę przemianę bardzo szczegółowo. Pomnóż pierwszą linię przez –2: , I do drugiej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –2: . Teraz pierwszą linię można podzielić „wstecz” przez –2: . Jak widać, linia ADD LI – nie uległo zmianie. Zawsze zmienia się linia DO KTÓREGO JEST DODAWANA Ut.

W praktyce oczywiście nie piszą tego tak szczegółowo, ale piszą krótko:

Jeszcze raz: do drugiej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez –2. Wiersz jest zwykle mnożony ustnie lub w wersji roboczej, a proces obliczeń w myślach przebiega mniej więcej tak:

„Przepisuję macierz i przepisuję pierwszą linijkę: »

"Pierwsza kolumna. Na dole muszę uzyskać zero. Dlatego mnożę tę na górze przez –2: , a pierwszą dodaję do drugiej linii: 2 + (–2) = 0. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„Teraz druga kolumna. Na górze mnożę -1 przez -2: . Pierwszy dodaję do drugiego wiersza: 1 + 2 = 3. Wynik zapisuję w drugim wierszu: »

„I trzecia kolumna. Na górze mnożę -5 przez -2: . Pierwszy dodaję do drugiego wiersza: –7 + 10 = 3. Wynik zapisuję w drugim wierszu: »

Proszę dokładnie zrozumieć ten przykład i zrozumieć algorytm obliczeń sekwencyjnych, jeśli to rozumiesz, to metoda Gaussa jest praktycznie w twojej kieszeni. Ale oczywiście nadal będziemy pracować nad tą transformacją.

Przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań

! UWAGA: uważane za manipulacje nie można użyć, jeśli zaproponowano ci zadanie, w którym macierze są podawane „same w sobie”. Na przykład w przypadku „klasycznego” operacje na macierzach W żadnym wypadku nie należy przestawiać czegokolwiek wewnątrz macierzy!

Wróćmy do naszego systemu. Jest praktycznie rozebrany na kawałki.

Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i korzystając z przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci widok schodkowy:

(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. I jeszcze raz: dlaczego mnożymy pierwszą linię przez –2? Aby uzyskać zero na dole, co oznacza pozbycie się jednej zmiennej w drugiej linii.

(2) Podziel drugą linię przez 3.

Cel przekształceń elementarnych – sprowadź macierz do postaci krokowej: . Projektując zadanie, po prostu zaznaczają „schody” prostym ołówkiem, a także zakreślają liczby znajdujące się na „stopniach”. Sam termin „widok krokowy” nie jest całkowicie teoretyczny; w literaturze naukowej i edukacyjnej jest często nazywany widok trapezowy Lub widok trójkątny.

W wyniku elementarnych przekształceń otrzymaliśmy równowartość oryginalny układ równań:

Teraz system należy „rozwinąć” w przeciwnym kierunku - proces ten nazywa się od dołu do góry odwrotność metody Gaussa.

W dolnym równaniu mamy już gotowy wynik: .

Rozważmy pierwsze równanie układu i podstawmy już do niego znana wartość„T”:

Rozważmy najczęstszą sytuację, gdy metoda Gaussa wymaga rozwiązania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi.

Przykład 1

Rozwiąż układ równań metodą Gaussa:

Napiszmy rozszerzoną macierz układu:

Teraz od razu narysuję wynik, do którego dojdziemy podczas rozwiązania:

I powtarzam, naszym celem jest doprowadzenie macierzy do postaci krokowej za pomocą elementarnych przekształceń. Gdzie zacząć?

Najpierw spójrz na liczbę w lewym górnym rogu:

Powinien być tu prawie zawsze jednostka. Ogólnie rzecz biorąc, wystarczy –1 (a czasem inne liczby), ale jakoś tradycyjnie tak się składa, że ​​zwykle jest tam umieszczana. Jak zorganizować jednostkę? Patrzymy na pierwszą kolumnę - mamy gotową jednostkę! Transformacja pierwsza: zamień pierwszą i trzecią linię:

Teraz pierwsza linia pozostanie niezmieniona aż do końca rozwiązania. Teraz dobrze.

Jednostka w lewym górnym rogu jest zorganizowana. Teraz musisz uzyskać zera w tych miejscach:

Zera otrzymujemy stosując „trudną” transformację. Najpierw zajmujemy się drugą linią (2, –1, 3, 13). Co należy zrobić, aby na pierwszym miejscu pojawiło się zero? Potrzebować do drugiej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –2. W myślach lub w szkicu pomnóż pierwszą linię przez –2: (–2, –4, 2, –18). I konsekwentnie przeprowadzamy (znowu w myślach lub na szkicu) dodawanie, do drugiej linii dodajemy pierwszą linię, już pomnożoną przez –2:

Wynik zapisujemy w drugiej linii:

W ten sam sposób postępujemy z trzecią linią (3, 2, –5, –1). Aby uzyskać zero na pierwszej pozycji, potrzebujesz do trzeciej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –3. W myślach lub w szkicu pomnóż pierwszą linię przez –3: (–3, –6, 3, –27). I do trzeciej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –3:

Wynik zapisujemy w trzeciej linii:

W praktyce czynności te najczęściej wykonywane są ustnie i spisywane w jednym kroku:

Nie trzeba liczyć wszystkiego na raz i w tym samym czasie. Kolejność obliczeń i „wpisywania” wyników spójny i zwykle jest tak: najpierw przepisujemy pierwszą linijkę i powoli się zaciągamy - KONSEKWENCJONALNIE i UWAŻNIE:


Omówiłem już proces myślowy samych obliczeń powyżej.

W tym przykładzie jest to łatwe do zrobienia; dzielimy drugą linię przez –5 (ponieważ wszystkie liczby w niej są podzielne przez 5 bez reszty). Jednocześnie dzielimy trzecią linię przez –2, bo co mniejsza liczba, te prostsze rozwiązanie:

NA Ostatni etap elementarne transformacje musisz uzyskać tutaj kolejne zero:

Dla tego do trzeciej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –2:


Spróbuj sam wymyślić tę akcję - pomnóż w myślach drugą linię przez –2 i wykonaj dodawanie.

Ostatnią wykonaną akcją jest fryzura wyniku, podziel trzecią linię przez 3.

W wyniku elementarnych przekształceń otrzymano równoważny układ równań liniowych:

Fajny.

Teraz wchodzi w grę odwrotność metody Gaussa. Równania „rozwijają się” od dołu do góry.

W trzecim równaniu mamy już gotowy wynik:

Spójrzmy na drugie równanie: . Znaczenie słowa „zet” jest już znane, a zatem:

I na koniec pierwsze równanie: . „Igrek” i „zet” są znane, to tylko kwestia drobiazgów:

Odpowiedź:

Jak wielokrotnie podkreślano, dla każdego układu równań możliwe i konieczne jest sprawdzenie znalezionego rozwiązania, na szczęście jest to łatwe i szybkie.

Przykład 2

To jest przykład dla niezależna decyzja, przykładowe wykończenie i odpowiedź na końcu lekcji.

Należy zauważyć, że Twój postęp decyzji może nie pokrywać się z moim procesem decyzyjnym, i jest to cecha metody Gaussa. Ale odpowiedzi muszą być takie same!

Przykład 3

Rozwiązać układ równań liniowych metodą Gaussa

Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:

Patrzymy na lewy górny „krok”. Powinniśmy mieć tam jednostkę. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma jednostek, więc zmiana kolejności wierszy niczego nie rozwiąże. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana przy użyciu transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Ja to zrobiłem:
(1) Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez –1 i dodaliśmy pierwszą i drugą linię, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.

Teraz w lewym górnym rogu znajduje się „minus jeden”, co nam całkiem odpowiada. Każdy, kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkowy ruch: pomnożyć pierwszą linię przez –1 (zmienić jej znak).

(2) Pierwsza linia pomnożona przez 5 została dodana do drugiej linii. Pierwsza linia pomnożona przez 3 została dodana do trzeciej linii.

(3) Pierwsza linia została pomnożona przez –1, w zasadzie dotyczy to piękna. Zmieniono także znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, dzięki czemu na drugim „kroku” mieliśmy już wymaganą jednostkę.

(4) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez 2.

(5) Trzecia linia została podzielona przez 3.

Zły znak wskazujący na błąd w obliczeniach (rzadziej literówkę) to „zły” wynik końcowy. To znaczy, jeśli mamy coś takiego jak poniżej i odpowiednio , to z dużym prawdopodobieństwem można powiedzieć, że przy przekształceniach elementarnych popełniono błąd.

My obciążamy odwrotnie, przy projektowaniu przykładów często nie przepisuje się samego układu, ale równania „bierze się bezpośrednio z danej macierzy”. Skok odwrotny, przypominam, to działa, od dołu do góry. Tak, oto prezent:

Odpowiedź: .

Przykład 4

Rozwiązać układ równań liniowych metodą Gaussa

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie, jest to nieco bardziej skomplikowane. Nie ma problemu, jeśli ktoś się pomyli. Kompletne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji. Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego.

W ostatniej części przyjrzymy się niektórym cechom algorytmu Gaussa.
Pierwszą cechą jest to, że czasami w równaniach układu brakuje niektórych zmiennych, na przykład:

Jak poprawnie napisać rozszerzoną macierz systemu? Mówiłem już o tym punkcie na zajęciach. Reguła Cramera. Metoda matrycowa. W rozszerzonej macierzy systemu w miejsce brakujących zmiennych wstawiamy zera:

Swoją drogą, to ładne łatwy przykład, ponieważ w pierwszej kolumnie jest już jedno zero i jest mniej elementarnych konwersji do wykonania.

Druga cecha jest taka. We wszystkich rozważanych przykładach umieściliśmy „kroki” albo –1, albo +1. Czy mogą być tam inne numery? W niektórych przypadkach mogą. Rozważ system: .

Tutaj, w lewym górnym „kroku”, mamy dwójkę. Ale zauważamy, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2 bez reszty - a druga to dwa i sześć. A te dwa w lewym górnym rogu będą nam odpowiadać! W pierwszym kroku należy wykonać następujące przekształcenia: dodać do drugiej linii pierwszą linię pomnożoną przez –1; do trzeciej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –3. W ten sposób uzyskamy wymagane zera w pierwszej kolumnie.

Lub inny konwencjonalny przykład: . Tutaj trójka w drugim „kroku” również nam odpowiada, ponieważ 12 (miejsce, w którym musimy uzyskać zero) jest podzielne przez 3 bez reszty. Należy przeprowadzić następującą transformację: dodać drugą linię do trzeciej linii, pomnożoną przez –4, w wyniku czego otrzymamy potrzebne nam zero.

Metoda Gaussa jest uniwersalna, ale ma jedną osobliwość. Rozwiązywania układów innymi metodami (metoda Cramera, metoda macierzowa) można śmiało nauczyć się dosłownie za pierwszym razem – mają one bardzo rygorystyczny algorytm. Ale żeby mieć pewność co do metody Gaussa, trzeba ją opanować i rozwiązać przynajmniej 5-10 układów. Dlatego na początku może pojawić się zamieszanie i błędy w obliczeniach i nie ma w tym nic niezwykłego ani tragicznego.

Za oknem deszczowa jesienna pogoda.... A więc dla każdego, kto chce więcej złożony przykład dla rozwiązania niezależnego:

Przykład 5

Rozwiąż układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi, stosując metodę Gaussa.

Takie zadanie nie jest w praktyce tak rzadkie. Myślę, że nawet czajniczek, który dokładnie przestudiował tę stronę, zrozumie algorytm intuicyjnego rozwiązania takiego systemu. W zasadzie wszystko jest takie samo – jest tylko więcej akcji.

Przypadki, w których układ nie ma rozwiązań (niespójny) lub ma nieskończenie wiele rozwiązań, omówione są na lekcji Systemy niekompatybilne i systemy z rozwiązaniem ogólnym. Tam możesz naprawić rozważany algorytm metody Gaussa.

Życzę Ci sukcesu!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie : Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej.


Wykonane przekształcenia elementarne:
(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –1. Uwaga! W tym przypadku możesz ulec pokusie, aby odjąć pierwszą linię od trzeciej; zdecydowanie odradzam jej odejmowanie – ryzyko błędu znacznie wzrasta. Po prostu złóż!
(2) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez –1). Druga i trzecia linia zostały zamienione miejscami. notatka, że na „stopniach” zadowalamy się nie tylko jednym, ale także –1, co jest jeszcze wygodniejsze.
(3) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez 5.
(4) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez –1). Trzecia linia została podzielona przez 14.

Odwracać:

Odpowiedź: .

Przykład 4: Rozwiązanie : Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:

Wykonane konwersje:
(1) Do pierwszego wiersza dodano drugi wiersz. W ten sposób żądana jednostka jest zorganizowana w lewym górnym „kroku”.
(2) Pierwsza linia pomnożona przez 7 została dodana do drugiej linii. Pierwsza linia pomnożona przez 6 została dodana do trzeciej linii.

Z drugim „krokiem” wszystko się pogarsza , „kandydatami” do tego są liczby 17 i 23, a my potrzebujemy albo jednego, albo –1. Transformacje (3) i (4) będą miały na celu uzyskanie pożądanej jednostki

(3) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –1.
(4) Trzecia linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –3.
(3) Do trzeciej linii dodano drugą linię, pomnożoną przez 4. Do czwartej linii dodano drugą linię, pomnożoną przez –1.
(4) Zmieniono znak drugiej linii. Czwarta linia została podzielona przez 3 i umieszczona w miejscu trzeciej linii.
(5) Do czwartej linii dodano trzecią linię, pomnożoną przez –5.

Odwracać:

Dzisiaj zrozumiemy metodę Gaussa do rozwiązywania układów liniowych równania algebraiczne. O tym, czym są te układy, przeczytacie w poprzednim artykule poświęconym rozwiązywaniu tych samych SLAE metodą Cramera. Metoda Gaussa nie wymaga żadnej szczególnej wiedzy, wystarczy uważność i konsekwencja. Pomimo tego, że z matematycznego punktu widzenia do jej zastosowania wystarczy edukacja szkolna, uczniom często trudno jest opanować tę metodę. W tym artykule postaramy się zredukować je do zera!

Metoda Gaussa

M Metoda Gaussa– najbardziej uniwersalna metoda rozwiązywania SLAE (z wyjątkiem bardzo dużych systemów). W przeciwieństwie do tego, co omówiono wcześniej, nadaje się nie tylko do systemów, które mają jedno rozwiązanie, ale także do systemów, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań. Istnieją tutaj trzy możliwe opcje.

1. Układ ma rozwiązanie unikalne (wyznacznik macierzy głównej układu nie jest równy zero);
2. Układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań;
3. Nie ma rozwiązań, system jest niekompatybilny.

Mamy więc układ (niech ma jedno rozwiązanie) i rozwiążemy go metodą Gaussa. Jak to działa?

Metoda Gaussa składa się z dwóch etapów - w przód i w tył.

Skok bezpośredni metody Gaussa

Najpierw napiszmy rozszerzoną macierz układu. Aby to zrobić, dodaj kolumnę wolnych członków do głównej macierzy.

Cała istota metody Gaussa polega na doprowadzeniu tej macierzy do postaci schodkowej (lub, jak to mówią, trójkątnej) poprzez elementarne przekształcenia. W tej postaci pod (lub nad) główną przekątną macierzy powinny znajdować się tylko zera.

Co możesz zrobić:

1. Możesz zmienić kolejność wierszy macierzy;
2. Jeśli w macierzy są równe (lub proporcjonalne) wiersze, możesz usunąć wszystkie z nich oprócz jednego;
3. Możesz pomnożyć lub podzielić ciąg przez dowolną liczbę (z wyjątkiem zera);
4. Wiersze zerowe są usuwane;
5. Do ciągu można dołączyć ciąg pomnożony przez liczbę inną niż zero.

Odwrotna metoda Gaussa

Po przekształceniu systemu w ten sposób, jeden nieznany Xn staje się znana i możesz znaleźć wszystkie pozostałe niewiadome w odwrotnej kolejności, podstawiając znane już x do równań układu, aż do pierwszej.

Kiedy Internet jest zawsze pod ręką, możesz rozwiązać układ równań metodą Gaussa online. Wystarczy wprowadzić współczynniki do kalkulatora online. Ale trzeba przyznać, że znacznie przyjemniej jest uświadomić sobie, że przykład nie został rozwiązany program komputerowy, ale własnym mózgiem.

Przykład rozwiązania układu równań metodą Gaussa

A teraz - przykład, aby wszystko stało się jasne i zrozumiałe. Niech będzie dany układ równań liniowych i trzeba go rozwiązać metodą Gaussa:

Najpierw piszemy rozszerzoną macierz:

Teraz wykonajmy transformacje. Pamiętamy, że musimy osiągnąć trójkątny wygląd matrycy. Pomnóżmy pierwszą linię przez (3). Pomnóż drugą linię przez (-1). Dodaj drugą linię do pierwszej i otrzymaj:

Następnie pomnóż trzecią linię przez (-1). Dodajmy trzecią linię do drugiej:

Pomnóżmy pierwszą linię przez (6). Pomnóżmy drugą linię przez (13). Dodajmy drugą linię do pierwszej:

Voila - system zostaje doprowadzony do odpowiedniej formy. Pozostaje znaleźć niewiadome:

System w tym przykładzie ma unikalne rozwiązanie. Rozwiązywanie układów o nieskończonej liczbie rozwiązań rozważymy w osobnym artykule. Być może na początku nie będziesz wiedział od czego zacząć transformację macierzy, ale po odpowiedniej praktyce opanujesz to i będziesz łamać SLAE metodą Gaussa jak orzechy. A jeśli nagle natrafisz na umowę SLA, która okaże się zbyt trudna do zgryzienia, skontaktuj się z naszymi autorami! możesz to zrobić zostawiając wniosek w Biurze Korespondencji. Razem rozwiążemy każdy problem!

The kalkulator internetowy znajduje rozwiązanie układu równań liniowych (SLE) przy użyciu metody Gaussa. Podano szczegółowe rozwiązanie. Aby obliczyć, wybierz liczbę zmiennych i liczbę równań. Następnie wprowadź dane do komórek i kliknij przycisk „Oblicz”.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Reprezentacja liczbowa:

Liczby całkowite i/lub Ułamki zwykłe
Liczby całkowite i/lub ułamki dziesiętne

Liczba miejsc po separatorze dziesiętnym

×

Ostrzeżenie

Wyczyścić wszystkie komórki?

Zamknij Wyczyść

Instrukcje wprowadzania danych. Liczby wprowadza się jako liczby całkowite (przykłady: 487, 5, -7623 itd.), ułamki dziesiętne (np. 67., 102,54 itd.) lub ułamki zwykłe. Ułamek należy wpisać w formie a/b, gdzie a i b (b>0) są liczbami całkowitymi lub dziesiętnymi. Przykłady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Metoda Gaussa

Metoda Gaussa to metoda przejścia od pierwotnego układu równań liniowych (za pomocą przekształceń równoważnych) do układu łatwiejszego do rozwiązania niż układ pierwotny.

Równoważne transformacje układu równań liniowych to:

• zamiana dwóch równań w układzie,
• pomnożenie dowolnego równania układu przez niezerową liczbę rzeczywistą,
• dodanie do jednego równania innego równania pomnożonego przez dowolną liczbę.

Rozważmy układ równań liniowych:

(1)

Zapiszmy układ (1) w postaci macierzowej:

Topór=b

(2)

(3)

A- zwana macierzą współczynników układu, B− prawa strona ograniczeń, X− wektor zmiennych do znalezienia. Niech ranga ( A)=P.

Transformacje równoważne nie zmieniają rangi macierzy współczynników i rangi rozszerzonej macierzy układu. Zbiór rozwiązań układu również nie zmienia się pod wpływem przekształceń równoważnych. Istotą metody Gaussa jest redukcja macierzy współczynników A do przekątnej lub schodkowej.

Zbudujmy rozszerzoną macierz układu:

W kolejnym etapie resetujemy wszystkie elementy kolumny 2, poniżej elementu. Jeśli ten element ma wartość zero, wówczas ten wiersz jest zamieniany z wierszem leżącym pod tym wierszem i posiadającym niezerowy element w drugiej kolumnie. Następnie zresetuj wszystkie elementy kolumny 2 poniżej elementu wiodącego A 22. Aby to zrobić, dodaj linie 3, ... M z ciągiem 2 pomnożonym przez − A 32 /A 22 , ..., −A m2/ A Odpowiednio 22. Kontynuując procedurę, otrzymujemy macierz o postaci diagonalnej lub schodkowej. Niech otrzymana rozszerzona macierz będzie miała postać:

(7)

Ponieważ zadzwoniłA=zadzwonił(A|b), to zbiór rozwiązań (7) wynosi ( n-p)− różnorodność. Stąd n-p niewiadome można wybrać dowolnie. Pozostałe niewiadome z układu (7) oblicza się w następujący sposób. Z ostatniego równania wyrażamy X p przez pozostałe zmienne i wstaw do poprzednich wyrażeń. Następnie z przedostatniego równania wyrażamy X p-1 przez pozostałe zmienne i wstaw do poprzednich wyrażeń itp. Przyjrzyjmy się metodzie Gaussa na konkretnych przykładach.

Przykłady rozwiązywania układu równań liniowych metodą Gaussa

Przykład 1. Znajdź ogólne rozwiązanie układu równań liniowych za pomocą metody Gaussa:

Oznaczmy przez A ij elementy I-ta linia i J kolumna.

A jedenaście. Aby to zrobić, dodaj linie 2,3 do linii 1, pomnożone odpowiednio przez -2/3, -1/2:

Typ zapisu matrycy: Topór=b, Gdzie

Oznaczmy przez A ij elementy I-ta linia i J kolumna.

Wykluczmy elementy pierwszej kolumny macierzy znajdującej się poniżej elementu A jedenaście. Aby to zrobić, dodaj linie 2,3 do linii 1, pomnożone odpowiednio przez -1/5, -6/5:

Każdy wiersz macierzy dzielimy przez odpowiedni element wiodący (jeśli element wiodący istnieje):

Gdzie X 3 , X

Zastępując górne wyrażenia dolnymi, otrzymujemy rozwiązanie.

Następnie rozwiązanie wektorowe można przedstawić w następujący sposób:

Gdzie X 3 , X 4 to dowolne liczby rzeczywiste.