Podstawowe własności dodawania i mnożenia liczb.
Właściwość przemienna dodawania: przestawianie wyrazów nie zmienia wartości sumy. Dla dowolnych liczb aib równość jest prawdziwa
Kombinacyjna właściwość dodawania: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch liczb, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej do pierwszej liczby. Dla dowolnych liczb a, b i c równość jest prawdziwa
Przemienna właściwość mnożenia: przestawianie czynników nie zmienia wartości iloczynu. Dla dowolnych liczb a, b i c równość jest prawdziwa
Kombinacyjna właściwość mnożenia: aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej.
Dla dowolnych liczb a, b i c równość jest prawdziwa
Własność rozdzielcza: Aby pomnożyć liczbę przez sumę, możesz pomnożyć tę liczbę przez każdy wyraz i dodać wyniki. Dla dowolnych liczb a, b i c równość jest prawdziwa
Z przemienności i kombinatywnych właściwości dodawania wynika: w dowolnej sumie możesz dowolnie zmieniać układ wyrazów i dowolnie łączyć je w grupy.
Przykład 1 Obliczmy sumę 1,23+13,5+4,27.
Aby to zrobić, wygodnie jest połączyć pierwszy termin z trzecim. Otrzymujemy:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Z przemienności i kombinacyjności mnożenia wynika: w dowolnym iloczynie można w dowolny sposób przestawiać czynniki i dowolnie łączyć je w grupy.
Przykład 2 Znajdźmy wartość iloczynu 1,8·0,25·64·0,5.
Łącząc pierwszy czynnik z czwartym, a drugi z trzecim, mamy:
1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.
Właściwość rozdzielności jest również prawdziwa, gdy liczba jest mnożona przez sumę trzech lub więcej wyrazów.
Na przykład dla dowolnych liczb a, b, c i d równość jest prawdziwa
a(b+c+d)=ab+ac+reklama.
Wiemy, że odejmowanie można zastąpić dodawaniem, dodając do odjemnika przeciwną liczbę odejmowania:
Umożliwia to wyrażenie numeryczne wpisz a-b uważać za sumę liczb a i -b, wyrażenie liczbowe w postaci a+b-c-d uważać za sumę liczb a, b, -c, -d itd. Rozważane właściwości działań obowiązują również dla takich sum.
Przykład 3 Znajdźmy wartość wyrażenia 3,27-6,5-2,5+1,73.
To wyrażenie jest sumą liczb 3,27, -6,5, -2,5 i 1,73. Stosując własności dodawania, otrzymujemy: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.
Przykład 4 Obliczmy iloczyn 36·().
Mnożnik można traktować jako sumę liczb i -. Korzystając z rozdzielności mnożenia, otrzymujemy:
36()=36·-36·=9-10=-1.
Tożsamości
Definicja. Dwa wyrażenia, których odpowiadające wartości są równe dla dowolnych wartości zmiennych, nazywane są identycznie równymi.
Definicja. Równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych, nazywa się tożsamością.
Znajdźmy wartości wyrażeń 3(x+y) i 3x+3y dla x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3,5+3,4=15+12=27.
Otrzymaliśmy ten sam wynik. Z własność rozdzielcza wynika z tego, że ogólnie dla dowolnych wartości zmiennych odpowiadające im wartości wyrażeń 3(x+y) i 3x+3y są równe.
Rozważmy teraz wyrażenia 2x+y i 2xy. Gdy x=1, y=2 przyjmują równe wartości:
Można jednak określić wartości x i y tak, aby wartości tych wyrażeń nie były równe. Na przykład, jeśli x=3, y=4, to
Wyrażenia 3(x+y) i 3x+3y są identycznie równe, ale wyrażenia 2x+y i 2xy nie są identycznie równe.
Równość 3(x+y)=x+3y, prawdziwa dla dowolnych wartości x i y, jest tożsamością.
Prawdziwe równości liczbowe są również uważane za tożsamości.
Zatem tożsamości są równościami wyrażającymi podstawowe właściwości operacji na liczbach:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Można podać inne przykłady tożsamości:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Identyczne przekształcenia wyrażeń
Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie równym wyrażeniem nazywa się identyczną transformacją lub po prostu transformacją wyrażenia.
Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi przeprowadza się w oparciu o właściwości operacji na liczbach.
Aby znaleźć wartość wyrażenia xy-xz dla podanych wartości x, y, z, należy wykonać trzy kroki. Na przykład przy x=2,3, y=0,8, z=0,2 otrzymujemy:
xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.
Wynik ten można uzyskać wykonując tylko dwa kroki, jeśli użyje się wyrażenia x(y-z), które jest identycznie równe wyrażeniu xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.
Uprościliśmy obliczenia, zastępując wyrażenie xy-xz identycznym wyrażeniem x(y-z).
Identyczne przekształcenia wyrażeń są szeroko stosowane przy obliczaniu wartości wyrażeń i rozwiązywaniu innych problemów. Niektóre przemiany tożsamości Musiałem już wykonać np. redukcję wyrazów podobnych i rozwinięcie nawiasów. Przypomnijmy zasady wykonywania tych przekształceń:
aby wprowadzić podobne terminy, należy dodać ich współczynniki i wynik pomnożyć przez wspólną część literową;
jeżeli przed nawiasem znajduje się znak plus, to nawiasy można pominąć, zachowując znak każdego terminu ujętego w nawiasy;
Jeżeli przed nawiasami znajduje się znak minus, nawiasy można pominąć, zmieniając znak każdego wyrazu zawartego w nawiasach.
Przykład 1 Przedstawmy wyrazy podobne w sumie 5x+2x-3x.
Skorzystajmy z reguły redukcji wyrazów podobnych:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Transformacja ta opiera się na rozdzielności mnożenia.
Przykład 2 Otwórzmy nawiasy w wyrażeniu 2a+(b-3c).
Stosowanie zasady otwierania nawiasów poprzedzonych znakiem plus:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Przeprowadzona transformacja opiera się na kombinacyjnej właściwości dodawania.
Przykład 3 Otwórzmy nawiasy w wyrażeniu a-(4b-c).
Skorzystajmy z reguły otwierania nawiasów poprzedzonych znakiem minus:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Przeprowadzona transformacja opiera się na rozdzielnej właściwości mnożenia i kombinacyjnej właściwości dodawania. Pokażmy to. Przedstawmy drugi człon -(4b-c) w tym wyrażeniu jako iloczyn (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Stosując określone właściwości akcji, otrzymujemy:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Liczby i wyrażenia tworzące oryginalne wyrażenie można zastąpić identycznymi wyrażeniami. Taka transformacja pierwotnego wyrażenia prowadzi do wyrażenia, które jest mu identyczne.
Na przykład w wyrażeniu 3+x liczbę 3 można zastąpić sumą 1+2, co da wyrażenie (1+2)+x, które jest identyczne z wyrażeniem pierwotnym. Inny przykład: w wyrażeniu 1+a 5 potęgę a 5 można zastąpić identycznie równym iloczynem, na przykład postaci a·a 4. To da nam wyrażenie 1+a·a 4 .
Przekształcenie to ma niewątpliwie charakter sztuczny i stanowi zwykle przygotowanie do dalszych przekształceń. Na przykład w sumie 4 x 3 +2 x 2, biorąc pod uwagę właściwości stopnia, termin 4 x 3 można przedstawić jako iloczyn 2 x 2 2 x. Po tej transformacji oryginalne wyrażenie przyjmie postać 2 x 2 2 x+2 x 2. Oczywiście wyrazy w otrzymanej sumie mają wspólny współczynnik 2 x 2, dlatego możemy wykonać następującą transformację - nawias. Po tym dochodzimy do wyrażenia: 2 x 2 (2 x+1) .
Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby
Inną sztuczną transformacją wyrażenia jest dodawanie i jednoczesne odejmowanie tej samej liczby lub wyrażenia. Ta transformacja jest identyczna, ponieważ jest zasadniczo równoważna dodaniu zera, a dodanie zera nie zmienia wartości.
Spójrzmy na przykład. Weźmy wyrażenie x 2 +2·x. Jeśli dodasz do tego jeden i odejmiesz jeden, pozwoli ci to w przyszłości wykonać kolejną identyczną transformację - podnieś dwumian do kwadratu: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliografia.
- Algebra: podręcznik dla 7 klasy ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasa. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla studentów instytucje edukacyjne/ A. G. Mordkovich. - wyd. XVII, dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: il. ISBN 978-5-346-02432-3.
Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Wyrazy wielomianu nazywane są wyrazami wielomianu. Jednomiany są również klasyfikowane jako wielomiany, uznając jednomian za wielomian składający się z jednego elementu.
Na przykład wielomian
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
można uprościć.
Przedstawmy wszystkie terminy w postaci jednomianów postaci standardowej:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Przedstawmy podobne wyrazy w otrzymanym wielomianie:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatem jest wielomian, którego wszystkie terminy są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywane są wielomiany postaci standardowej.
Za stopień wielomianu w standardowej formie przejmują najwyższe uprawnienia swoich członków. Zatem dwumian \(12a^2b - 7b\) ma trzeci stopień, a trójmian \(2b^2 -7b + 6\) ma drugi stopień.
Zazwyczaj wyrazy wielomianów w postaci standardowej zawierające jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności wykładników. Na przykład:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) do wielomianu w postaci standardowej.
Czasami wyrazy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy zamykające są odwrotną transformacją nawiasów otwierających, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „+”, wówczas określenia ujęte w nawiasy są pisane tymi samymi znakami.
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „-”, wówczas określenia zawarte w nawiasie zapisuje się znakami przeciwnymi.
Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu
Korzystając z rozdzielności mnożenia, możesz przekształcić (uprościć) iloczyn jednomianu i wielomianu w wielomian. Na przykład:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego składnika wielomianu.
Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.
Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy wyraz wielomianu.
Korzystaliśmy już z tej reguły kilka razy, aby pomnożyć przez sumę.
Iloczyn wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów
Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego wyrazu jednego wielomianu i każdego wyrazu drugiego.
Zwykle stosowana jest następująca reguła.
Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.
Skrócone wzory na mnożenie. Suma kwadratów, różnice i różnica kwadratów
Z pewnymi wyrażeniami w przekształcenia algebraiczne muszą mieć do czynienia częściej niż inni. Być może najczęstszymi wyrażeniami są \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnica i różnica kwadratów. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, np. \((a + b)^2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy aib . Jednak kwadrat sumy a i b nie występuje zbyt często, z reguły zamiast liter a i b zawiera różne, czasem dość skomplikowane, wyrażenia.
Wyrażenia \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) można łatwo przekształcić (uprościć) na wielomiany postaci standardowej; w rzeczywistości napotkałeś już to zadanie przy mnożeniu wielomianów:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Warto zapamiętać otrzymane tożsamości i zastosować je bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kwadrat sumy równa sumie kwadratów i podwoić iloczyn.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kwadrat różnicy jest równy sumie kwadratów bez iloczynu podwójnego.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.
Te trzy tożsamości pozwalają na zamianę jego części lewych na prawe w przekształceniach i odwrotnie - części prawych na lewe. Najtrudniej jest zobaczyć odpowiednie wyrażenia i zrozumieć, w jaki sposób zmienne a i b są w nich zastępowane. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.
Wyrażenia numeryczne i algebraiczne. Konwersja wyrażeń.
Co to jest wyrażenie w matematyce? Dlaczego potrzebujemy konwersji wyrażeń?
Pytanie, jak mówią, jest interesujące... Faktem jest, że pojęcia te stanowią podstawę wszelkiej matematyki. Cała matematyka składa się z wyrażeń i ich przekształceń. Niezbyt jasne? Pozwól mi wyjaśnić.
Powiedzmy, że masz przed sobą zły przykład. Bardzo duży i bardzo złożony. Załóżmy, że jesteś dobry z matematyki i niczego się nie boisz! Czy możesz udzielić odpowiedzi od razu?
Będziesz musiał decydować ten przykład. Konsekwentnie, krok po kroku, ten przykład uproszczać. Przez pewne zasady, naturalnie. Te. Do konwersja wyrażeń. Im skuteczniej przeprowadzisz te przekształcenia, tym silniejszy będziesz w matematyce. Jeśli nie wiesz, jak wykonać właściwe przekształcenia, nie będziesz w stanie tego zrobić na matematyce. Nic...
Aby uniknąć tak niewygodnej przyszłości (lub teraźniejszości...), nie zaszkodzi zrozumieć ten temat.)
Najpierw dowiedzmy się co to jest wyrażenie w matematyce. Co się stało wyrażenie numeryczne i co jest wyrażenie algebraiczne.
Co to jest wyrażenie w matematyce?
Wyrażenie w matematyce– to bardzo szerokie pojęcie. Prawie wszystko, z czym mamy do czynienia w matematyce, jest zbiorem wyrażeń matematycznych. Wszelkie przykłady, wzory, ułamki, równania i tak dalej - to wszystko składa się z wyrażenia matematyczne.
3+2 to wyrażenie matematyczne. s 2 - d 2- to także wyrażenie matematyczne. Zarówno zdrowy ułamek, jak i jedna liczba są wyrażeniami matematycznymi. Na przykład równanie wygląda następująco:
5x + 2 = 12
składa się z dwóch wyrażeń matematycznych połączonych znakiem równości. Jedno wyrażenie znajduje się po lewej stronie, drugie po prawej.
W ogólna perspektywa termin " wyrażenie matematyczne"jest używane najczęściej, aby uniknąć buczenia. Zapytają Cię na przykład, co to jest ułamek zwykły? I jak odpowiedzieć?!
Pierwsza odpowiedź: „To jest... mmmmmm... coś takiego... w którym... Czy mogę napisać ułamek lepiej? Który chcesz?"
Druga odpowiedź: „ Ułamek zwykły- to jest (wesoło i radośnie!) wyrażenie matematyczne , który składa się z licznika i mianownika!”
Druga opcja będzie w jakiś sposób bardziej efektowna, prawda?)
Taki jest cel wyrażenia „ wyrażenie matematyczne "bardzo dobrze. Zarówno poprawne, jak i solidne. Ale dla praktyczne zastosowanie trzeba się dobrze znać specyficzne typy wyrażeń w matematyce .
Konkretny typ to inna sprawa. Ten To zupełnie inna sprawa! Każdy typ wyrażenia matematycznego ma kopalnia zbiór zasad i technik, które należy zastosować przy podejmowaniu decyzji. Do pracy z ułamkami - jeden zestaw. Do pracy z wyrażeniami trygonometrycznymi - drugi. Do pracy z logarytmami - trzeci. I tak dalej. Gdzieś te zasady się pokrywają, gdzieś znacznie się różnią. Ale nie bój się tych strasznych słów. W odpowiednich sekcjach opanujemy logarytmy, trygonometrię i inne tajemnicze rzeczy.
Tutaj opanujemy (lub – powtórzmy, w zależności od kogo…) dwa główne typy wyrażeń matematycznych. Wyrażenia numeryczne i wyrażenia algebraiczne.
Wyrażenia numeryczne.
Co się stało wyrażenie numeryczne? Jest to bardzo prosta koncepcja. Już sama nazwa wskazuje, że jest to wyrażenie zawierające liczby. Tak właśnie jest. Wyrażenie matematyczne składające się z liczb, nawiasów i symboli działania arytmetyczne zwane wyrażeniem numerycznym.
7-3 to wyrażenie numeryczne.
(8+3,2) 5,4 jest także wyrażeniem liczbowym.
I ten potwór:
także wyrażenie numeryczne, tak...
Zwykła liczba, ułamek, dowolny przykład obliczenia bez X i innych liter – wszystko to są wyrażenia numeryczne.
Główny znak liczbowy wyrażenia - w nim żadnych liter. Nic. Tylko liczby i ikony matematyki(jeśli jest to konieczne). To proste, prawda?
A co można zrobić z wyrażeniami liczbowymi? Wyrażenia numeryczne zazwyczaj można policzyć. By to zrobić zdarza się, że trzeba otworzyć nawiasy, zmienić znaki, skrócić, zamienić terminy – czyli np. Do konwersje wyrażeń. Ale o tym poniżej.
Tutaj mamy do czynienia z takim zabawnym przypadkiem, gdy chodzi o wyrażenie liczbowe nie musisz nic robić. No cóż, zupełnie nic! Ta przyjemna operacja - Nic nie robić)- jest wykonywane, gdy wyrażenie nie ma sensu.
Kiedy wyrażenie liczbowe nie ma sensu?
Oczywiste jest, że jeśli zobaczymy przed sobą jakąś abrakadabrę, np
wtedy nic nie zrobimy. Ponieważ nie jest jasne, co z tym zrobić. Jakiś nonsens. Może policz plusy...
Ale są na pozór całkiem przyzwoite wyrażenia. Na przykład to:
(2+3): (16 - 2 8)
Jednak to wyrażenie również nie ma sensu! Z prostego powodu, że w drugim nawiasie – jeśli policzysz – otrzymasz zero. Ale nie możesz dzielić przez zero! Jest to operacja zabroniona w matematyce. Dlatego też z tym wyrażeniem nie trzeba nic robić. Dla każdego zadania z takim wyrażeniem odpowiedź będzie zawsze taka sama: „To wyrażenie nie ma znaczenia!”
Aby dać taką odpowiedź, musiałem oczywiście obliczyć, co będzie w nawiasach. A czasami w nawiasach jest mnóstwo rzeczy… Cóż, nic nie można na to poradzić.
W matematyce nie ma zbyt wielu zakazanych operacji. Jest tylko jeden w tym temacie. Dzielenie przez zero. Dodatkowe ograniczenia wynikające z pierwiastków i logarytmów omówiono w odpowiednich tematach.
A więc pomysł, co to jest wyrażenie numeryczne- dostał. Pojęcie wyrażenie numeryczne nie ma sensu- uświadomił sobie. Przejdźmy dalej.
Wyrażenia algebraiczne.
Jeśli w wyrażeniu liczbowym pojawią się litery, wyrażenie to stanie się... Wyrażenie stanie się... Tak! Staje się wyrażenie algebraiczne. Na przykład:
5a 2; 3x-2 lata; 3(z-2); 3,4 m/n; x2 +4x-4; (a+b) 2; ...
Takie wyrażenia są również nazywane wyrażenia dosłowne. Lub wyrażenia ze zmiennymi. To praktycznie to samo. Wyrażenie 5a +c na przykład dosłowne i algebraiczne oraz wyrażenie ze zmiennymi.
Pojęcie wyrażenie algebraiczne - szersze niż numeryczne. To obejmuje i wszystkie wyrażenia numeryczne. Te. wyrażenie liczbowe jest również wyrażeniem algebraicznym, tylko bez liter. Każdy śledź to ryba, ale nie każda ryba to śledź...)
Dlaczego alfabetyczny- Jest jasne. No cóż, skoro są litery... Fraza wyrażenie ze zmiennymi To też nie jest zbyt zastanawiające. Jeśli rozumiesz, że pod literami ukryte są cyfry. Pod literami można ukryć wszelkiego rodzaju liczby... Oraz 5, -18 i wszystko inne. Oznacza to, że może być list zastępować NA różne liczby. Dlatego właśnie nazywają się te litery zmienne.
W wyrazie y+5, Na przykład, Na- wartość zmienna. Albo po prostu mówią: „ zmienny", bez słowa „wielkość”. W przeciwieństwie do pięciu, które jest wartością stałą. Lub po prostu - stały.
Termin wyrażenie algebraiczne oznacza, że do pracy z tym wyrażeniem należy używać praw i reguł algebra. Jeśli arytmetyka działa zatem z określonymi liczbami algebra- ze wszystkimi numerami na raz. Prosty przykład dla wyjaśnienia.
W arytmetyce możemy to zapisać
Ale jeśli napiszemy taką równość za pomocą wyrażeń algebraicznych:
za + b = b + a
podejmiemy decyzję od razu Wszystko pytania. Dla wszystkie liczby udar mózgu. Za wszystko nieskończone. Bo pod literami A I B ukryty Wszystko liczby. I nie tylko liczby, ale nawet inne wyrażenia matematyczne. Tak działa algebra.
Kiedy wyrażenie algebraiczne nie ma sensu?
Wszystko w wyrażeniu liczbowym jest jasne. Nie można tam dzielić przez zero. A czy za pomocą liter można dowiedzieć się, według czego dzielimy?!
Weźmy na przykład to wyrażenie ze zmiennymi:
2: (A - 5)
Czy jest sens? Kto wie? A- Jakikolwiek numer...
Jakikolwiek, dowolny... Ale znaczenie jest jedno A, dla którego to wyrażenie Dokładnie nie ma sensu! A co to za numer? Tak! To jest 5! Jeśli zmienna A zamień (mówią „zastąpić”) cyfrą 5, w nawiasach otrzymasz zero. Którego nie da się podzielić. Okazuje się więc, że nasze wyrażenie nie ma sensu, Jeśli a = 5. Ale dla innych wartości A Czy jest sens? Czy można zastąpić inne liczby?
Z pewnością. W takich przypadkach po prostu mówią, że wyrażenie
2: (A - 5)
ma sens dla dowolnych wartości A, z wyjątkiem a = 5 .
Cały zestaw liczb Móc nazywa się podstawienie do danego wyrażenia region dopuszczalne wartości to wyrażenie.
Jak widać, nie ma nic trudnego. Przyjrzyjmy się wyrażeniu ze zmiennymi i zastanówmy się: przy jakiej wartości zmiennej uzyskuje się zabronioną operację (dzielenie przez zero)?
A potem koniecznie spójrz na pytanie dotyczące zadania. O co pytają?
nie ma sensu, odpowiedzią będzie nasze zakazane znaczenie.
Jeśli zapytasz, przy jakiej wartości zmiennej wyrażenie ma znaczenie(poczuj różnicę!), odpowiedź będzie brzmiała wszystkie inne liczby z wyjątkiem tego, co zakazane.
Dlaczego potrzebujemy znaczenia wyrażenia? On tam jest, nie ma go... Jaka jest różnica?! Rzecz w tym, że to pojęcie staje się bardzo ważne w szkole średniej. Bardzo ważny! Na tym opierają się tak solidne pojęcia, jak dziedzina dopuszczalnych wartości czy dziedzina funkcji. Bez tego w ogóle nie będziesz w stanie rozwiązać poważnych równań ani nierówności. Lubię to.
Konwersja wyrażeń. Transformacje tożsamości.
Zapoznaliśmy się z wyrażeniami numerycznymi i algebraicznymi. Rozumieliśmy, co oznacza wyrażenie „wyrażenie nie ma znaczenia”. Teraz musimy dowiedzieć się, co to jest transformacja wyrażeń. Odpowiedź jest prosta, aż do hańby.) Jest to dowolne działanie posiadające wyraz. To wszystko. Robicie te przemiany od pierwszej klasy.
Weźmy fajne wyrażenie numeryczne 3+5. Jak można to przekonwertować? Tak, bardzo proste! Oblicz:
To obliczenie będzie transformacją wyrażenia. To samo wyrażenie możesz zapisać inaczej:
Tutaj w ogóle nic nie liczyliśmy. Właśnie zapisałem wyrażenie w innej formie. Będzie to również transformacja wyrażenia. Można to napisać w ten sposób:
To także jest przekształcenie wyrażenia. Możesz dokonać dowolnej liczby takich przekształceń.
Każdy działanie na ekspresję każdy zapisanie go w innej formie nazywa się przekształcaniem wyrażenia. I to wszystko. Wszystko jest bardzo proste. Ale jest tutaj jedna rzecz bardzo ważna zasada. Na tyle ważne, że można śmiało nazwać główna zasada cała matematyka. Złamanie tej zasady nieuchronnie prowadzi do błędów. Wchodzimy w to?)
Powiedzmy, że przekształciliśmy nasze wyrażenie w sposób przypadkowy, w ten sposób:
Konwersja? Z pewnością. Napisaliśmy wyrażenie w innej formie, co tu jest nie tak?
To nie tak.) Chodzi o to, że transformacje "losowo" w ogóle nie interesują się matematyką.) Cała matematyka opiera się na przekształceniach, w których wygląd, ale istota wyrażenia się nie zmienia. Trzy plus pięć można zapisać w dowolnej formie, ale musi to być osiem.
Przekształcenia, wyrażenia, które nie zmieniają istoty są nazywane identyczny.
Dokładnie przemiany tożsamości i pozwól nam, krok po kroku, dokonywać transformacji złożony przykład w prostym wyrażeniu, zachowując istota przykładu. Jeśli popełnimy błąd w łańcuchu przekształceń, wykonamy NIE identyczną transformację, wtedy podejmiemy decyzję inny przykład. Z innymi odpowiedziami, które nie są powiązane z poprawnymi.)
Jest to główna zasada rozwiązywania wszelkich zadań: zachowanie tożsamości przekształceń.
Dla przejrzystości podałem przykład z wyrażeniem liczbowym 3+5. W wyrażeniach algebraicznych przekształcenia tożsamości są dane za pomocą wzorów i reguł. Powiedzmy, że w algebrze istnieje wzór:
a(b+c) = ab + ac
Oznacza to, że w dowolnym przykładzie możemy zamiast wyrażenia a(b+c)śmiało napisz wyrażenie ab + ak. I wzajemnie. Ten identyczna transformacja. Matematyka daje nam wybór pomiędzy tymi dwoma wyrażeniami. I z którego pisać - od konkretny przykład zależy.
Inny przykład. Jednym z najważniejszych i niezbędnych przekształceń jest podstawowa właściwość ułamka. Więcej szczegółów znajdziesz w linku, ale tutaj przypomnę tylko zasadę: Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę lub wyrażenie, które nie jest równe zero, ułamek nie ulegnie zmianie. Oto przykład transformacji tożsamości przy użyciu tej właściwości:
Jak zapewne się domyślacie, łańcuch ten można ciągnąć w nieskończoność...) Bardzo ważna właściwość. To właśnie pozwala zamienić wszelkiego rodzaju przykładowe potwory w białe i puszyste.)
Istnieje wiele wzorów definiujących identyczne przekształcenia. Ale tych najważniejszych jest całkiem rozsądna liczba. Jednym z podstawowych przekształceń jest faktoryzacja. Jest stosowany w całej matematyce - od podstawowej do zaawansowanej. Zacznijmy od niego. Na następnej lekcji.)
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Ważne notatki!
1. Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Jak to zrobić w przeglądarce jest napisane tutaj:
2. Zanim zaczniesz czytać artykuł, zwróć uwagę przede wszystkim na nasz nawigator przydatne źródło Dla
Często słyszymy to nieprzyjemne zdanie: „uprość wyrażenie”. Zwykle widzimy takiego potwora:
„To znacznie prostsze” – mówimy, ale taka odpowiedź zwykle nie działa.
Teraz nauczę Cię, jak nie bać się takich zadań.
Co więcej, pod koniec lekcji sam uprościsz ten przykład do (tylko!) zwykłej liczby (tak, do diabła z tymi literami).
Ale zanim zaczniesz tę działalność, musisz to zrobić obsługiwać ułamki I wielomiany czynnikowe.
Dlatego jeśli nie robiłeś tego wcześniej, pamiętaj o opanowaniu tematów „” i „”.
Czytałeś to? Jeśli tak, to jesteś teraz gotowy.
Chodźmy, chodźmy!)
Podstawowe operacje upraszczania wyrażeń
Przyjrzyjmy się teraz podstawowym technikom używanym do upraszczania wyrażeń.
Najprostszy jest
1. Przynoszenie podobnych
Jakie są podobne? Robiłeś to w siódmej klasie, kiedy w matematyce po raz pierwszy pojawiły się litery zamiast cyfr.
Podobny- są to terminy (jednomiany) posiadające tę samą część literową.
Na przykład w sumie podobnymi terminami są i.
Pamiętasz?
Daj podobne- oznacza dodanie do siebie kilku podobnych terminów i otrzymanie jednego terminu.
Jak możemy połączyć litery? - ty pytasz.
Bardzo łatwo to zrozumieć, jeśli wyobrazisz sobie, że litery są pewnego rodzaju przedmiotami.
Na przykład litera to krzesło. Zatem czemu równa się to wyrażenie?
Dwa krzesła plus trzy krzesła, ile to będzie? Zgadza się, krzesła: .
Teraz wypróbuj to wyrażenie: .
Aby uniknąć zamieszania, niech różne litery reprezentują różne obiekty.
Na przykład - to (jak zwykle) krzesło, a - to stół.
krzesła stoły krzesła stoły krzesła krzesła stoły
Nazywa się liczby, przez które mnożone są litery w takich terminach współczynniki.
Na przykład w jednomianie współczynnik jest równy. I w tym jest równa.
Zatem zasada sprowadzania podobnych jest następująca:
Przykłady:
Podaj podobne:
Odpowiedzi:
2. (i podobne, ponieważ zatem terminy te mają tę samą część literową).
2. Faktoryzacja
Zwykle tak jest najważniejsza część upraszczania wyrażeń.
Po podaniu podobnych najczęściej potrzebne jest wyrażenie wynikowe rozkładać na czynniki, czyli prezentowany w postaci produktu.
Zwłaszcza to ważne w ułamkach: w końcu, aby móc zmniejszyć ułamek, Licznik i mianownik należy przedstawić jako iloczyn.
Szczegółowo omówiłeś metody rozkładu wyrażeń na czynniki w temacie „”, więc tutaj musisz tylko zapamiętać, czego się nauczyłeś.
Aby to zrobić, rozwiąż kilka przykładów (musisz je rozłożyć na czynniki)
Przykłady:
Rozwiązania:
3. Redukcja ułamka.
Cóż może być przyjemniejszego niż przekreślenie części licznika i mianownika i wyrzucenie ich ze swojego życia?
Na tym polega piękno downsizingu.
To proste:
Jeśli licznik i mianownik zawierają te same czynniki, można je zmniejszyć, to znaczy usunąć z ułamka.
Zasada ta wynika z podstawowej właściwości ułamka:
Oznacza to, że istota operacji redukcji polega na tym Licznik i mianownik ułamka dzielimy przez tę samą liczbę (lub przez to samo wyrażenie).
Aby skrócić ułamek, potrzebujesz:
1) licznik i mianownik rozkładać na czynniki
2) jeżeli licznik i mianownik zawierają Wspólne czynniki, można je przekreślić.
Przykłady:
Myślę, że zasada jest jasna?
Chciałbym zwrócić uwagę na jeden typowy błąd przy skracaniu. Chociaż temat jest prosty, wiele osób robi wszystko źle, nie rozumiejąc tego zmniejszyć- to znaczy dzielić licznik i mianownik są tą samą liczbą.
Brak skrótów, jeśli licznik lub mianownik jest sumą.
Na przykład: musimy uprościć.
Niektórzy ludzie tak robią: co jest całkowicie błędne.
Inny przykład: redukcja.
„Najmądrzejszy” zrobi to:
Powiedz mi, co tu jest nie tak? Wydawałoby się: - jest to mnożnik, czyli można go zmniejszyć.
Ale nie: - jest to współczynnik tylko jednego wyrazu w liczniku, ale sam licznik jako całość nie jest rozkładany na czynniki.
Oto kolejny przykład: .
To wyrażenie jest rozkładane na czynniki, co oznacza, że można je zredukować, czyli podzielić licznik i mianownik przez, a następnie przez:
Można od razu podzielić to na:
Aby uniknąć takich błędów, pamiętaj łatwy sposób jak ustalić, czy wyrażenie jest rozłożone na czynniki:
Operacja arytmetyczna wykonywana jako ostatnia przy obliczaniu wartości wyrażenia jest operacją „główną”.
Oznacza to, że jeśli zamiast liter podstawimy jakieś (dowolne) liczby i spróbujemy obliczyć wartość wyrażenia, to jeśli ostatnią akcją będzie mnożenie, to otrzymamy iloczyn (wyrażenie jest rozkładane na czynniki).
Jeśli ostatnią czynnością jest dodawanie lub odejmowanie, oznacza to, że wyrażenie nie jest rozkładane na czynniki (i dlatego nie można go zmniejszyć).
Aby to wzmocnić, rozwiąż samodzielnie kilka przykładów:
Przykłady:
Rozwiązania:
4. Dodawanie i odejmowanie ułamków. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.
Dodawanie i odejmowanie zwykłe ułamki- operacja jest dobrze znana: szukamy wspólnego mianownika, mnożymy każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodajemy/odejmujemy liczniki.
Zapamiętajmy:
Odpowiedzi:
1. Mianowniki i są względnie pierwsze, to znaczy nie mają wspólnych czynników. Dlatego LCM tych liczb jest równy ich iloczynowi. To będzie wspólny mianownik:
2. Tutaj wspólnym mianownikiem jest:
3. Pierwsza rzecz tutaj frakcje mieszane zamieniamy je na nieprawidłowe, a następnie postępujemy zgodnie ze zwykłym schematem:
Zupełnie inna sprawa, jeśli ułamki zawierają litery, np.:
Zacznijmy od czegoś prostego:
a) Mianowniki nie zawierają liter
Wszystko tutaj jest takie samo jak w zwykłym ułamki liczbowe: znajdź wspólny mianownik, pomnóż każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodaj/odejmij liczniki:
Teraz w liczniku możesz podać podobne, jeśli takie istnieją, i rozłożyć je na czynniki:
Spróbuj sam:
Odpowiedzi:
b) Mianowniki zawierają litery
Pamiętajmy o zasadzie znajdowania wspólnego mianownika bez liter:
· przede wszystkim określamy czynniki wspólne;
· następnie zapisujemy po kolei wszystkie wspólne czynniki;
· i pomnóż je przez wszystkie inne, nietypowe czynniki.
Aby określić wspólne czynniki mianowników, najpierw rozkładamy je na czynniki pierwsze:
Podkreślmy wspólne czynniki:
Teraz wypiszmy po kolei wspólne czynniki i dodajmy do nich wszystkie czynniki nietypowe (niepodkreślone):
To jest wspólny mianownik.
Wróćmy do liter. Mianowniki podaje się dokładnie w ten sam sposób:
· uwzględnij mianowniki;
· określić wspólne (identyczne) czynniki;
· wypisz raz wszystkie wspólne czynniki;
· pomnóż je przez wszystkie inne, nietypowe czynniki.
Zatem w kolejności:
1) rozłóż mianowniki na czynniki:
2) określić wspólne (identyczne) czynniki:
3) wypisz raz wszystkie wspólne czynniki i pomnóż je przez wszystkie pozostałe (niepodkreślone) czynniki:
Zatem jest tu wspólny mianownik. Pierwszy ułamek należy pomnożyć przez, drugi - przez:
Nawiasem mówiąc, jest jeden trik:
Na przykład: .
W mianownikach widzimy te same czynniki, tylko wszystkie z różnymi wskaźnikami. Wspólnym mianownikiem będzie:
do pewnego stopnia
do pewnego stopnia
do pewnego stopnia
do pewnego stopnia.
Skomplikujmy zadanie:
Jak sprawić, aby ułamki miały ten sam mianownik?
Przypomnijmy sobie podstawową własność ułamka:
Nigdzie nie jest napisane, że tę samą liczbę można odjąć (lub dodać) od licznika i mianownika ułamka. Bo to nieprawda!
Przekonaj się: weź na przykład dowolny ułamek i dodaj do licznika i mianownika jakąś liczbę, na przykład . Czego się nauczyłeś?
Zatem kolejna niezachwiana zasada:
Sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika, używaj tylko operacji mnożenia!
Ale przez co trzeba pomnożyć, żeby otrzymać?
Więc pomnóż przez. I pomnóż przez:
Wyrażenia, których nie można rozłożyć na czynniki, będziemy nazywać „czynnikami elementarnymi”.
Na przykład - jest to czynnik elementarny. - To samo. Ale nie: można to rozłożyć na czynniki.
A co z wyrażeniem? Czy to elementarne?
Nie, ponieważ można to rozłożyć na czynniki:
(o faktoryzacji czytałeś już w temacie „”).
Zatem elementarne czynniki, na które rozszerzasz wyrażenie literami, są analogami czynniki pierwsze, na które rozkładasz liczby. I poradzimy sobie z nimi w ten sam sposób.
Widzimy, że oba mianowniki mają mnożnik. W stopniu będzie to sprzęgać wspólny mianownik (pamiętasz dlaczego?).
Czynnik jest elementarny i nie mają wspólnego czynnika, co oznacza, że pierwszy ułamek będzie musiał po prostu zostać przez niego pomnożony:
Inny przykład:
Rozwiązanie:
Zanim w panice pomnożysz te mianowniki, musisz pomyśleć o tym, jak je rozłożyć na czynniki? Obaj reprezentują:
Świetnie! Następnie:
Inny przykład:
Rozwiązanie:
Jak zwykle, rozłóżmy mianowniki na czynniki. W pierwszym mianowniku po prostu usuwamy go z nawiasów; w drugim - różnica kwadratów:
Wydawać by się mogło, że nie ma wspólnych czynników. Ale jeśli przyjrzysz się uważnie, są podobne... I to prawda:
Napiszmy zatem:
Oznacza to, że wyglądało to tak: w nawiasie zamieniliśmy terminy, a jednocześnie znak przed ułamkiem zmienił się na przeciwny. Pamiętaj, że będziesz musiał to robić często.
A teraz sprowadźmy to do wspólnego mianownika:
Rozumiem? Sprawdźmy to teraz.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Odpowiedzi:
5. Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.
Cóż, najtrudniejsza część już za nami. A przed nami najprostsze, ale jednocześnie najważniejsze:
Procedura
Jaka jest procedura liczenia? wyrażenie numeryczne? Pamiętaj, obliczając znaczenie tego wyrażenia:
Czy policzyłeś?
Powinno działać.
Więc pozwól, że ci przypomnę.
Pierwszym krokiem jest obliczenie stopnia.
Po drugie, mnożenie i dzielenie. Jeżeli jednocześnie wykonywanych jest kilka mnożeń i dzieleń, można je wykonać w dowolnej kolejności.
Na koniec wykonujemy dodawanie i odejmowanie. Jeszcze raz, w dowolnej kolejności.
Ale: wyrażenie w nawiasach jest oceniane poza kolejnością!
Jeśli kilka nawiasów jest mnożonych lub dzielonych przez siebie, najpierw obliczamy wyrażenie w każdym z nawiasów, a następnie je mnożymy lub dzielimy.
A co jeśli w nawiasach jest więcej nawiasów? Cóż, pomyślmy: w nawiasach zapisane jest jakieś wyrażenie. Co należy zrobić najpierw, obliczając wyrażenie? Zgadza się, oblicz nawiasy. Cóż, rozpracowaliśmy to: najpierw obliczamy nawiasy wewnętrzne, potem wszystko inne.
Zatem procedura dla powyższego wyrażenia jest następująca (bieżąca akcja jest podświetlona na czerwono, to znaczy akcja, którą właśnie wykonuję):
OK, wszystko jest proste.
Ale to nie jest to samo, co wyrażenie z literami?
Nie, to jest to samo! Tylko zamiast operacji arytmetycznych musisz wykonywać operacje algebraiczne, czyli czynności opisane w poprzedniej sekcji: przynosząc podobne, dodawanie ułamków, zmniejszanie ułamków i tak dalej. Jedyną różnicą będzie działanie rozkładu wielomianów na czynniki (często używamy tego podczas pracy z ułamkami). Najczęściej, aby dokonać rozkładu na czynniki, należy użyć I lub po prostu wyjąć wspólny czynnik z nawiasów.
Zwykle naszym celem jest przedstawienie wyrażenia jako iloczynu lub ilorazu.
Na przykład:
Uprośćmy wyrażenie.
1) Najpierw upraszczamy wyrażenie w nawiasach. Tam mamy różnicę ułamków i naszym celem jest przedstawienie jej jako iloczynu lub ilorazu. Sprowadzamy więc ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy:
Nie da się już tego wyrażenia uprościć, wszystkie czynniki są tutaj elementarne (pamiętasz jeszcze, co to oznacza?).
2) Otrzymujemy:
Mnożenie ułamków zwykłych: co może być prostszego.
3) Teraz możesz skrócić:
OK, wszystko już skończone. Nic skomplikowanego, prawda?
Inny przykład:
Uprość wyrażenie.
Najpierw spróbuj rozwiązać problem samodzielnie, a dopiero potem spójrz na rozwiązanie.
Rozwiązanie:
Przede wszystkim ustalmy kolejność działań.
Najpierw dodajmy ułamki w nawiasach, aby zamiast dwóch ułamków otrzymać jeden.
Następnie zajmiemy się dzieleniem ułamków. Cóż, dodajmy wynik z ostatniego ułamka.
Ponumeruję kroki schematycznie:
Na koniec dam Ci dwie przydatne wskazówki:
1. Jeżeli są podobne, należy je natychmiast sprowadzić. Kiedykolwiek w naszym kraju pojawią się podobne, warto je natychmiast poruszyć.
2. To samo dotyczy redukcji ułamków: gdy tylko pojawi się możliwość redukcji, należy z niej skorzystać. Wyjątkiem są ułamki, które dodajesz lub odejmujesz: jeśli teraz tak jest same mianowniki, to redukcję należy odłożyć na później.
Oto kilka zadań, które możesz rozwiązać samodzielnie:
I to co obiecano na samym początku:
Odpowiedzi:
Rozwiązania (krótkie):
Jeśli poradziłeś sobie przynajmniej z trzema pierwszymi przykładami, to opanowałeś temat.
Teraz do nauki!
KONWERSJA WYRAŻEŃ. PODSUMOWANIE I PODSTAWOWE FORMUŁY
Podstawowe operacje upraszczające:
- Przynosząc podobne: aby dodać (skrócić) podobne terminy, należy dodać ich współczynniki i przypisać część literową.
- Faktoryzacja: wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów, zastosowanie go itp.
- Zmniejszanie ułamka: Licznik i mianownik ułamka można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę niezerową, co nie zmienia wartości ułamka.
1) licznik i mianownik rozkładać na czynniki
2) jeżeli licznik i mianownik mają wspólne dzielniki, można je przekreślić.WAŻNE: zmniejszać można tylko mnożniki!
- Dodawanie i odejmowanie ułamków:
; - Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych:
;
No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.
Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!
Teraz najważniejsza rzecz.
Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.
Problem w tym, że to może nie wystarczyć...
Po co?
Dla pomyślne Ujednolicony egzamin państwowy umożliwiający przyjęcie na studia z ograniczonym budżetem i, co NAJWAŻNIEJSZE, na całe życie.
Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...
Osoby, które otrzymały Dobra edukacja, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy ich nie otrzymali. To jest statystyka.
Ale to nie jest najważniejsze.
Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...
Ale pomyśl samodzielnie...
Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?
Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.
Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.
Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.
A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.
To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.
Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółowa analiza i decyduj, decyduj, decyduj!
Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.
Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.
Jak? Istnieją dwie opcje:
- Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule -
- Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - Kup podręcznik - 499 RUR
Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.
Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁY okres istnienia witryny.
Podsumowując...
Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.
„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.
Znajdź problemy i rozwiąż je!
