Trójkąt, kwadrat, sześciokąt - te figury są znane prawie każdemu. Ale nie wszyscy wiedzą, czym jest wielokąt foremny. Ale to wszystko jest to samo. Wielokąt foremny to taki, który ma równe kąty i boki. Takich liczb jest wiele, ale wszystkie mają te same właściwości i odnoszą się do nich te same formuły.
Właściwości wielokątów foremnych
W okrąg można wpisać dowolny wielokąt foremny, czy to kwadrat, czy ośmiokąt. Ta podstawowa właściwość jest często używana podczas konstruowania figury. Ponadto w wielokąt można wpisać okrąg. W takim przypadku liczba punktów styku będzie równa liczbie jego boków. Ważne jest, aby okrąg wpisany w wielokąt foremny miał z nim wspólny środek. Te figury geometryczne podlegają tym samym twierdzeniom. Każdy bok regularnego n-kąta jest powiązany z promieniem otaczającego go okręgu R. Można go zatem obliczyć ze wzoru: a = 2R ∙ sin180°. Przez nie można znaleźć nie tylko boki, ale także obwód wielokąta.
Jak znaleźć liczbę boków wielokąta foremnego
Każdy składa się z pewnej liczby równych sobie segmentów, które po połączeniu tworzą zamknięta linia. W takim przypadku wszystkie kąty powstałej figury mają tę samą wartość. Wielokąty dzielą się na proste i złożone. Do pierwszej grupy zalicza się trójkąt i kwadrat. Złożone wielokąty mają większa liczba boki Należą do nich także postacie w kształcie gwiazd. W przypadku złożonych wielokątów foremnych boki wyznacza się wpisując je w okrąg. Dajmy dowód. Narysuj wielokąt foremny o dowolnej liczbie boków n. Narysuj wokół niego okrąg. Ustaw promień R. Teraz wyobraź sobie, że otrzymujesz n-gon. Jeżeli punkty jego kątów leżą na okręgu i są sobie równe, to boki można wyznaczyć ze wzoru: a = 2R ∙ sinα: 2.
Znajdowanie liczby boków wpisanego trójkąta foremnego
Trójkąt równoboczny jest wielokątem foremnym. Mają do niego zastosowanie te same wzory, co do kwadratu i n-kąta. Trójkąt będzie uważany za regularny, jeśli jego boki są równej długości. W tym przypadku kąty wynoszą 60⁰. Skonstruujmy trójkąt o danej długości boku a. Znając jego medianę i wysokość, możesz znaleźć wartość jego boków. W tym celu posłużymy się metodą znajdowania poprzez wzór a = x: cosα, gdzie x jest medianą lub wzrostem. Ponieważ wszystkie boki trójkąta są równe, otrzymujemy a = b = c. Wtedy prawdziwe będzie stwierdzenie: a = b = c = x: cosα. Podobnie możesz znaleźć wartość boków w trójkącie równoramiennym, ale x będzie podaną wysokością. W takim przypadku należy go rzutować ściśle na podstawę figury. Zatem znając wysokość x, znajdujemy bok a trójkąta równoramiennego, korzystając ze wzoru a = b = x: cosα. Po znalezieniu wartości a możesz obliczyć długość podstawy c. Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa. Będziemy szukać wartości połowy podstawy c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α): cos^2α = x ∙ tanα. Wtedy c = 2xtanα. W ten prosty sposób możesz znaleźć liczbę boków dowolnego wielokąta wpisanego.
Obliczanie boków kwadratu wpisanego w okrąg
Jak każdy inny wielokąt foremny wpisany, kwadrat ma równe boki i kąty. Mają do niego zastosowanie te same wzory, co do trójkąta. Boki kwadratu można obliczyć, korzystając z wartości przekątnej. Rozważmy tę metodę bardziej szczegółowo. Wiadomo, że przekątna dzieli kąt na pół. Początkowo jego wartość wynosiła 90 stopni. W ten sposób po podzieleniu powstają dwa, których kąty u podstawy będą równe 45 stopni. Odpowiednio każdy bok kwadratu będzie równy, czyli: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, gdzie e jest przekątną kwadratu, czyli podstawą prawego trójkąta powstałego po dział. Nie jest to jedyny sposób na znalezienie boków kwadratu. Wpiszmy tę figurę w okrąg. Znając promień tego okręgu R, znajdujemy bok kwadratu. Obliczymy to następująco: a4 = R√2. Promienie wielokątów foremnych oblicza się ze wzoru R = a: 2tg (360 o: 2n), gdzie a jest długością boku.
Jak obliczyć obwód n-kąta
Obwód n-gonu jest sumą wszystkich jego boków. Łatwo to obliczyć. Aby to zrobić, musisz znać znaczenie wszystkich stron. Dla niektórych typów wielokątów istnieją specjalne formuły. Pozwalają znacznie szybciej znaleźć obwód. Wiadomo, że każdy wielokąt foremny ma równe boki. Dlatego, aby obliczyć jego obwód, wystarczy znać przynajmniej jeden z nich. Wzór będzie zależał od liczby boków figury. Ogólnie wygląda to tak: P = an, gdzie a to wartość boku, a n to liczba kątów. Na przykład, aby znaleźć obwód ośmiokąta foremnego o boku 3 cm, należy go pomnożyć przez 8, czyli P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Dla sześciokąta o boku 5 cm obliczamy następująco: P = 5 ∙ 6 = 30 cm I tak dla każdego wielokąta.
Znalezienie obwodu równoległoboku, kwadratu i rombu
W zależności od tego, ile boków ma wielokąt foremny, oblicza się jego obwód. To znacznie ułatwia zadanie. Rzeczywiście, w przeciwieństwie do innych postaci, w tym przypadku nie trzeba szukać wszystkich jej stron, wystarczy jedna. Stosując tę samą zasadę, znajdujemy obwód czworokątów, czyli kwadratu i rombu. Pomimo tego, że są to różne figury, wzór na nie jest taki sam: P = 4a, gdzie a jest bokiem. Podajmy przykład. Jeśli bok rombu lub kwadratu wynosi 6 cm, wówczas obwód obliczamy w następujący sposób: P = 4 ∙ 6 = 24 cm W przypadku równoległoboku tylko przeciwległe boki są równe. Dlatego jego obwód wyznacza się inną metodą. Musimy więc znać długość a i szerokość b figury. Następnie stosujemy wzór P = (a + b) ∙ 2. Równoległobok, w którym wszystkie boki i kąty między nimi są równe, nazywa się rombem.
Wyznaczanie obwodu trójkąta równobocznego i prostokątnego
Obwód prawidłowego można obliczyć ze wzoru P = 3a, gdzie a jest długością boku. Jeśli nie jest znany, można go znaleźć poprzez medianę. W trójkącie prostokątnym tylko dwa boki mają tę samą wartość. Podstawę można znaleźć poprzez twierdzenie Pitagorasa. Gdy znane są wartości wszystkich trzech boków, obliczamy obwód. Można to znaleźć korzystając ze wzoru P = a + b + c, gdzie a i b to równe boki, a c to podstawa. Przypomnijmy, że w trójkącie równoramiennym a = b = a, co oznacza a + b = 2a, wówczas P = 2a + c. Na przykład bok trójkąta równoramiennego ma 4 cm, znajdźmy jego podstawę i obwód. Wartość przeciwprostokątnej obliczamy za pomocą twierdzenia Pitagorasa, gdzie = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Teraz obliczmy obwód P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.
Jak znaleźć kąty wielokąta foremnego
Wielokąt foremny pojawia się w naszym życiu na co dzień, na przykład regularny kwadrat, trójkąt, ośmiokąt. Wydawać by się mogło, że nie ma nic prostszego niż samodzielne zbudowanie takiej figury. Ale to jest proste tylko na pierwszy rzut oka. Aby skonstruować dowolny n-kąt, musisz znać wartość jego kątów. Ale jak je znaleźć? Nawet starożytni naukowcy próbowali konstruować regularne wielokąty. Wymyślili, jak dopasować je do okręgów. Następnie zaznaczono na nim niezbędne punkty i połączono liniami prostymi. Dla prostych figur problem konstrukcyjny został rozwiązany. Uzyskano wzory i twierdzenia. Na przykład Euklides w swoim słynnym dziele „Incepcja” zajmował się rozwiązywaniem problemów dla 3-, 4-, 5-, 6- i 15-kątnych. Znalazł sposoby na ich skonstruowanie i znalezienie kątów. Przyjrzyjmy się, jak to zrobić dla 15-kątu. Najpierw musisz obliczyć sumę jego kątów wewnętrznych. Należy skorzystać ze wzoru S = 180⁰(n-2). Mamy zatem dany 15-kąt, co oznacza, że liczba n wynosi 15. Podstawiamy znane nam dane do wzoru i otrzymujemy S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Znaleziono sumę wszystkich kątów wewnętrznych 15-kąta. Teraz musisz uzyskać wartość każdego z nich. W sumie kątów jest 15. Obliczamy 2340⁰: 15 = 156⁰. Oznacza to, że każdy kąt wewnętrzny jest równy 156⁰, teraz za pomocą linijki i kompasu możesz skonstruować zwykły 15-kąt. Ale co z bardziej złożonymi n-gonami? Przez wiele stuleci naukowcy usiłowali rozwiązać ten problem. Został znaleziony dopiero w XVIII wieku przez Carla Friedricha Gaussa. Udało mu się skonstruować 65537-gon. Od tego czasu problem został oficjalnie uznany za całkowicie rozwiązany.
Obliczanie kątów n-gonów w radianach
Oczywiście istnieje kilka sposobów znajdowania kątów wielokątów. Najczęściej oblicza się je w stopniach. Ale można je również wyrazić w radianach. Jak to zrobić? Musisz postępować w następujący sposób. Najpierw obliczamy liczbę boków wielokąta foremnego, a następnie odejmujemy od niej 2. Oznacza to, że otrzymujemy wartość: n - 2. Otrzymaną różnicę pomnóż przez liczbę n („pi” = 3,14). Teraz pozostaje tylko podzielić wynikowy iloczyn przez liczbę kątów w n-kącie. Rozważmy te obliczenia na przykładzie tego samego dziesięciokąta. Zatem liczba n wynosi 15. Zastosujmy wzór S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Nie jest to oczywiście jedyny sposób obliczenia kąta w radianach. Możesz po prostu podzielić kąt w stopniach przez 57,3. W końcu tyle stopni odpowiada jednemu radianowi.
Obliczanie kątów w stopniach
Oprócz stopni i radianów możesz spróbować znaleźć kąty wielokąta foremnego w stopniach. Odbywa się to w następujący sposób. Odejmij 2 od całkowitej liczby kątów i podziel uzyskaną różnicę przez liczbę boków wielokąta foremnego. Otrzymany wynik mnożymy przez 200. Nawiasem mówiąc, taka jednostka miary kątów jak stopnie praktycznie nie jest używana.
Obliczanie kątów zewnętrznych n-kątów
Dla dowolnego wielokąta foremnego, oprócz wewnętrznego, można również obliczyć kąt zewnętrzny. Jego wartość określa się w taki sam sposób, jak w przypadku innych liczb. Aby więc znaleźć kąt zewnętrzny wielokąta foremnego, musisz znać wartość kąta wewnętrznego. Ponadto wiemy, że suma tych dwóch kątów jest zawsze równa 180 stopni. Dlatego obliczenia wykonujemy w następujący sposób: 180⁰ minus wartość kąta wewnętrznego. Znajdujemy różnicę. Będzie ona równa wartości sąsiadującego z nią kąta. Na przykład kąt wewnętrzny kwadratu wynosi 90 stopni, co oznacza, że kąt zewnętrzny będzie wynosić 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Jak widzimy, znalezienie go nie jest trudne. Kąt zewnętrzny może przyjmować wartość odpowiednio od +180⁰ do -180⁰.
Rodzaje wielokątów:
Czworoboki
Czworoboki odpowiednio składają się z 4 boków i kątów.
Nazywa się boki i kąty leżące naprzeciw siebie naprzeciwko.
Przekątne dzielą wypukłe czworokąty na trójkąty (patrz rysunek).
Suma kątów czworokąta wypukłego wynosi 360° (stosując wzór: (4-2)*180°).
Równoległoboki
Równoległobok jest wypukłym czworokątem o przeciwnych równoległych bokach (ponumerowanych na rysunku 1).
Przeciwległe boki i kąty w równoległoboku są zawsze równe.
A przekątne w punkcie przecięcia są podzielone na pół.
Trapez
Trapez- to także czworokąt i in trapezoidy Tylko dwie strony są równoległe, co nazywa się powodów. Inne strony są boki.
Trapez na rysunku ma numery 2 i 7.
Jak w trójkącie:
Jeśli boki są równe, to trapez jest równoramienny;
Jeśli jeden z kątów jest prosty, to trapez jest prosty prostokątny.
Linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy podstaw i jest do nich równoległa.
Romb
Romb jest równoległobokiem, w którym wszystkie boki są równe.
Oprócz właściwości równoległoboku romby mają swoją specjalną właściwość - Przekątne rombu są prostopadłe siebie i przeciąć na pół narożniki rombu.
Na zdjęciu romb numer 5.
Prostokąty
Prostokąt jest równoległobokiem, w którym każdy kąt jest prosty (patrz rysunek nr 8).
Oprócz właściwości równoległoboku prostokąty mają swoją specjalną właściwość - przekątne prostokąta są równe.
Kwadraty
Kwadrat jest prostokątem o wszystkich bokach równych (nr 4).
Ma właściwości prostokąta i rombu (ponieważ wszystkie boki są równe).
Jak nazywa się wielokąt? Rodzaje wielokątów. WIELOKĄT, płaski figura geometryczna z trzema lub więcej bokami przecinającymi się w trzech lub więcej punktach (wierzchołkach). Definicja. Wielokąt to figura geometryczna ograniczona ze wszystkich stron zamkniętą linią przerywaną, składającą się z trzech lub więcej segmentów (ogniw). Trójkąt to na pewno wielokąt. Wielokąt to figura, która ma pięć lub więcej kątów.
Definicja. Czworokąt to płaska figura geometryczna składająca się z czterech punktów (wierzchołków czworoboku) i czterech kolejnych łączących je odcinków (boków czworoboku).
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste. Nazywa się je według liczby boków lub wierzchołków: TRÓJKĄT (trójkątny); QUADAGON (czterostronny); PENTAGON (pięciostronny) itp. W geometrii elementarnej figura nazywana jest figurą ograniczoną liniami prostymi zwanymi bokami. Punkty, w których przecinają się boki, nazywane są wierzchołkami. Wielokąt ma więcej niż trzy kąty. Jest to akceptowane lub uzgodnione.
Trójkąt to trójkąt. A czworobok również nie jest wielokątem i nie nazywa się go czworokątem - jest albo kwadratem, rombem, albo trapezem. Fakt, że wielokąt o trzech bokach i trzech kątach ma swoją nazwę „trójkąt”, nie pozbawia go statusu wielokąta.
Zobacz, co „POLIGON” znajduje się w innych słownikach:
Dowiadujemy się, że liczba ta jest ograniczona zamkniętą linią przerywaną, która z kolei może być prosta, zamknięta. Porozmawiajmy o tym, że wielokąty mogą być płaskie, regularne lub wypukłe. Któż nie słyszał o tajemniczym Trójkącie Bermudzkim, w którym statki i samoloty znikają bez śladu? Ale trójkąt, znany nam z dzieciństwa, jest pełen wielu ciekawych i tajemniczych rzeczy.
Chociaż oczywiście figurę składającą się z trzech kątów można również uznać za wielokąt
Ale to nie wystarczy, aby scharakteryzować postać. Linia przerywana A1A2...An to figura składająca się z punktów A1,A2,...An oraz odcinków A1A2, A2A3,... łączących je. Prostą zamkniętą linię łamaną nazywa się wielokątem, jeśli jej sąsiednie ogniwa nie leżą na tej samej linii prostej (ryc. 5). Zastąp określoną liczbę, np. 3, w słowie „wielokąt” zamiast części „wiele”, otrzymasz trójkąt. Zauważ, że ile jest kątów, tyle jest boków, więc figury te można nazwać wielobocznymi.
Niech A1A2...A n będzie danym wielokątem wypukłym i n>3. Narysujmy w nim przekątne (z jednego wierzchołka)
Suma kątów każdego trójkąta wynosi 1800, a liczba tych trójkątów n wynosi 2. Zatem suma kątów wypukłego n - trójkąta A1A2...A n wynosi 1800* (n - 2). Twierdzenie zostało udowodnione. Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt przylegający do kąta wewnętrznego wielokąta w tym wierzchołku.
W czworokącie narysuj linię prostą tak, aby dzieliła ją na trzy trójkąty
Czworokąt nigdy nie ma trzech wierzchołków na tej samej prostej. Słowo „wielokąt” wskazuje, że wszystkie figury w tej rodzinie mają „wiele kątów”. Linię łamaną nazywa się prostą, jeśli nie ma samoprzecięć (ryc. 2, 3).
Długość linii łamanej jest sumą długości jej ogniw (ryc. 4). W przypadku n=3 twierdzenie jest ważne. Kwadrat można więc nazwać inaczej - regularnym czworobokiem. Takie figury od dawna interesują rzemieślników dekorujących budynki.
Liczba wierzchołków jest równa liczbie boków. Polilinię nazywamy zamkniętą, jeśli jej końce pokrywają się. Robili piękne wzory np. na parkiecie. Nasz pięcioramienna gwiazda- zwykła gwiazda pięciokątna.
Ale nie wszystkie regularne wielokąty można wykorzystać do wykonania parkietu. Przyjrzyjmy się bliżej dwóm typom wielokątów: trójkątowi i czworokątowi. Wielokąt, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, nazywa się foremnym. Nazwy wielokątów zależą od liczby boków lub wierzchołków.
Przedmiot, wiek ucznia: geometria, klasa 9
Cel lekcji: badanie rodzajów wielokątów.
Zadanie dydaktyczne: aktualizacja, poszerzenie i uogólnienie wiedzy uczniów na temat wielokątów; stworzyć wyobrażenie o „częściach składowych” wielokąta; przeprowadzić badanie ilościowe Składowych elementów regularne wielokąty (od trójkąta do n-gonu);
Zadanie rozwojowe: rozwinięcie umiejętności analizowania, porównywania, wyciągania wniosków, rozwijania umiejętności obliczeniowych, mowy matematycznej w mowie i piśmie, pamięci, a także samodzielności w myśleniu i działaniu uczenia się, umiejętności pracy w parach i grupach; rozwijać działalność badawczą i edukacyjną;
Zadanie wychowawcze: kultywowanie samodzielności, aktywności, odpowiedzialności za powierzoną pracę, wytrwałości w dążeniu do celu.
Podczas zajęć: cytat napisany na tablicy
„Natura mówi językiem matematyki, litery tego języka… figury matematyczne”. G.Galliley
Na początku lekcji klasa zostaje podzielona na grupy robocze (w naszym przypadku na grupy 4-osobowe każda – liczba członków grupy jest równa liczbie grup pytaniowych).
1. Etap wywołania-
Cele:
a) aktualizowanie wiedzy uczniów na dany temat;
b) rozbudzanie zainteresowania studiowanym tematem, motywowanie każdego ucznia do działań edukacyjnych.
Technika: Zabawa „Czy wierzysz, że...”, organizacja pracy z tekstem.
Formy pracy: frontalna, grupowa.
"Wierzysz w to..."
1. ... słowo „wielokąt” wskazuje, że wszystkie figury w tej rodzinie mają „wiele kątów”?
2. ...czy trójkąt należy do dużej rodziny wielokątów, wyróżniających się spośród wielu różnych kształtów geometrycznych na płaszczyźnie?
3. ... czy kwadrat jest ośmiokątem foremnym (cztery boki + cztery rogi)?
Dzisiaj na lekcji porozmawiamy o wielokątach. Dowiadujemy się, że liczba ta jest ograniczona zamkniętą linią przerywaną, która z kolei może być prosta, zamknięta. Porozmawiajmy o tym, że wielokąty mogą być płaskie, regularne lub wypukłe. Jednym z płaskich wielokątów jest trójkąt, który znasz od dawna (możesz pokazać uczniom plakaty przedstawiające wielokąty, linię przerywaną, pokazać im Różne rodzaje, możesz także skorzystać z TSO).
2. Etap poczęcia
Cel: zdobycie nowych informacji, zrozumienie ich, selekcja.
Technika: zygzak.
Formy pracy: indywidualna->w parach->grupowa.
Każdy członek grupy otrzymuje tekst dotyczący tematu lekcji, który jest opracowany w taki sposób, aby zawierał zarówno informacje już znane uczniom, jak i informacje zupełnie nowe. Wraz z tekstem uczniowie otrzymują pytania, na które odpowiedzi muszą znaleźć się w tym tekście.
Wielokąty. Rodzaje wielokątów.
Któż nie słyszał o tajemniczym Trójkącie Bermudzkim, w którym statki i samoloty znikają bez śladu? Ale trójkąt, znany nam z dzieciństwa, jest pełen wielu ciekawych i tajemniczych rzeczy.
Oprócz znanych nam już rodzajów trójkątów, podzielonych ze względu na boki (łuski, równoramienny, równoboczny) i kąty (ostry, rozwarty, prostokątny), trójkąt należy do dużej rodziny wielokątów, wyróżniającej się spośród wielu różnych kształtów geometrycznych na samolot.
Słowo „wielokąt” wskazuje, że wszystkie figury w tej rodzinie mają „wiele kątów”. Ale to nie wystarczy, aby scharakteryzować postać.
Linia przerywana A 1 A 2 ...A n to figura składająca się z punktów A 1, A 2, ...A n i łączących je odcinków A 1 A 2, A 2 A 3,.... Punkty nazywane są wierzchołkami polilinii, a segmenty nazywane są łączami polilinii. (ryc. 1)
Linię łamaną nazywa się prostą, jeśli nie ma samoprzecięć (ryc. 2, 3).
Polilinię nazywamy zamkniętą, jeśli jej końce pokrywają się. Długość linii łamanej jest sumą długości jej ogniw (ryc. 4).
Prostą zamkniętą linię łamaną nazywa się wielokątem, jeśli jej sąsiednie ogniwa nie leżą na tej samej linii prostej (ryc. 5).
Zastąp określoną liczbę, np. 3, w słowie „wielokąt” zamiast części „wiele”, otrzymasz trójkąt. Lub 5. Następnie - pięciokąt. Zauważ, że ile jest kątów, tyle jest boków, więc figury te można nazwać wielobocznymi.
Wierzchołki linii łamanej nazywane są wierzchołkami wielokąta, a ogniwa linii łamanej nazywane są bokami wielokąta.
Wielokąt dzieli płaszczyznę na dwa obszary: wewnętrzny i zewnętrzny (ryc. 6).
Płaski wielokąt lub obszar wielokątny to skończona część płaszczyzny ograniczonej wielokątem.
Dwa wierzchołki wielokąta będące końcami jednego boku nazywane są sąsiadującymi. Wierzchołki, które nie są końcami jednego boku, nie są sąsiadujące.
Wielokąt mający n wierzchołków, a co za tym idzie i n boków, nazywany jest n-gonem.
Chociaż najmniejsza liczba Wielokąt ma 3 boki, ale połączone ze sobą trójkąty mogą tworzyć inne figury, które z kolei są również wielokątami.
Odcinki łączące niesąsiadujące ze sobą wierzchołki wielokąta nazywane są przekątnymi.
Wielokąt nazywa się wypukłym, jeśli leży w tej samej półpłaszczyźnie względem dowolnej linii zawierającej jego bok. W tym przypadku samą linię prostą uważa się za należącą do półpłaszczyzny.
Kąt wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt utworzony przez jego boki zbiegające się w tym wierzchołku.
Udowodnijmy twierdzenie (o sumie kątów wypukłego n-kąta): Suma kątów wypukłego n-kąta wynosi 180 0 *(n - 2).
Dowód. W przypadku n=3 twierdzenie jest ważne. Niech A 1 A 2 ...A n będzie danym wielokątem wypukłym i n>3. Narysujmy w nim przekątne (z jednego wierzchołka). Ponieważ wielokąt jest wypukły, te przekątne dzielą go na n – 2 trójkąty. Suma kątów wielokąta to suma kątów wszystkich tych trójkątów. Suma kątów każdego trójkąta jest równa 180 0, a liczba tych trójkątów n wynosi 2. Zatem suma kątów wypukłego n-kąta A 1 A 2 ...A n jest równa 180 0 * (n - 2). Twierdzenie zostało udowodnione.
Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt przylegający do kąta wewnętrznego wielokąta w tym wierzchołku.
Wielokąt wypukły nazywa się foremnym, jeśli wszystkie jego boki są równe i wszystkie kąty są równe.
Kwadrat można więc nazwać inaczej - regularnym czworobokiem. Trójkąty równoboczne są również regularne. Takie figury od dawna interesują rzemieślników dekorujących budynki. Robili piękne wzory np. na parkiecie. Ale nie wszystkie regularne wielokąty można wykorzystać do wykonania parkietu. Parkietu nie można wykonać ze zwykłych ośmiokątów. Faktem jest, że każdy kąt jest równy 135 0. A jeśli jakiś punkt jest wierzchołkiem dwóch takich ośmiokątów, to będą one stanowić 270 0 i nie ma tam miejsca, aby zmieścić się tam trzeci ośmiokąt: 360 0 - 270 0 = 90 0. Ale dla kwadratu to wystarczy. Dlatego możesz wykonać parkiet ze zwykłych ośmiokątów i kwadratów.
Gwiazdy też mają rację. Nasza pięcioramienna gwiazda jest regularną gwiazdą pięciokątną. A jeśli obrócisz kwadrat wokół środka o 45 0, otrzymasz zwykłą ośmiokątną gwiazdę.
1 grupa
Co to jest linia przerywana? Wyjaśnij, czym są wierzchołki i łącza polilinii.
Która linia przerywana nazywa się prostą?
Która linia przerywana nazywa się zamkniętą?
Jak nazywa się wielokąt? Jak nazywają się wierzchołki wielokąta? Jak nazywają się boki wielokąta?
2. grupa
Który wielokąt nazywa się płaskim? Podaj przykłady wielokątów.
Co to jest n – kwadrat?
Wyjaśnij, które wierzchołki wielokąta sąsiadują ze sobą, a które nie.
Jaka jest przekątna wielokąta?
3 grupa
Który wielokąt nazywa się wypukłym?
Wyjaśnij, które kąty wielokąta są zewnętrzne, a które wewnętrzne?
Który wielokąt nazywa się foremnym? Podaj przykłady wielokątów foremnych.
4 grupa
Jaka jest suma kątów wypukłego n-kąta? Udowodnij to.
Studenci pracują z tekstem, szukają odpowiedzi na postawione pytania, po czym tworzą się grupy eksperckie, w których toczą się prace nad tymi samymi zagadnieniami: uczniowie podkreślają główne punkty, sporządzają podsumowanie uzupełniające i prezentują informacje w jednym z formy graficzne. Po zakończeniu pracy uczniowie wracają do swoich grup roboczych.
3. Etap refleksji –
a) ocena własnej wiedzy, wyzwanie do kolejnego etapu wiedzy;
b) zrozumienie i przyswojenie otrzymanych informacji.
Recepcja: praca badawcza.
Formy pracy: indywidualna->w parach->grupowa.
W grupach roboczych znajdują się specjaliści zajmujący się odpowiedzią na każdą sekcję proponowanych pytań.
Wracając do grupy roboczej, ekspert przedstawia odpowiedzi na swoje pytania pozostałym członkom grupy. Grupa wymienia informacje pomiędzy wszystkimi członkami grupy roboczej. Tym samym w każdym Grupa robocza, dzięki pracy ekspertów nabiera kształtu główny pomysł na studiowany temat.
Prace badawcze studentów - wypełnienie tabeli.
| Regularne wielokąty | Rysunek | Liczba boków | Liczba wierzchołków | Suma wszystkich kątów wewnętrznych | Miara stopnia wewnętrzny kąt | Stopniowa miara kąta zewnętrznego | Liczba przekątnych |
| Trójkąt | |||||||
| B) czworobok | |||||||
| B) pięć taktów | |||||||
| D) sześciokąt | |||||||
| D) n-gon |
Rozwiązywanie ciekawych problemów związanych z tematem lekcji.
- W czworokącie narysuj linię prostą tak, aby dzieliła ją na trzy trójkąty.
- Ile boków ma wielokąt foremny, a każdy z jego kątów wewnętrznych ma miarę 135 0?
- W pewnym wielokącie wszystkie kąty wewnętrzne są sobie równe. Czy suma kątów wewnętrznych tego wielokąta może być równa: 360 0, 380 0?
Podsumowanie lekcji. Nagrywanie pracy domowej.
§ 1 Pojęcie trójkąta
Na tej lekcji poznasz takie kształty jak trójkąty i wielokąty.
Jeśli trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej, zostaną połączone odcinkami, otrzymasz trójkąt. Trójkąt ma trzy wierzchołki i trzy boki.
Zanim staniesz się trójkątem ABC, ma on trzy wierzchołki (punkt A, punkt B i punkt C) oraz trzy boki (AB, AC i CB).
Nawiasem mówiąc, te same strony można nazwać inaczej:
AB=BA, AC=SA, CB=BC.
Boki trójkąta tworzą trzy kąty w wierzchołkach trójkąta. Na rysunku widzisz kąt A, kąt B, kąt C.
Zatem trójkąt jest figurą geometryczną utworzoną z trzech odcinków łączących trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej.
§ 2 Pojęcie wielokąta i jego rodzaje
Oprócz trójkątów istnieją czworokąty, pięciokąty, sześciokąty i tak dalej. Jednym słowem można je nazwać wielokątami.
Na zdjęciu widać czworobok DMKE.
Punkty D, M, K i E są wierzchołkami czworoboku.
Odcinki DM, MK, KE, ED są bokami tego czworoboku. Podobnie jak w przypadku trójkąta, boki czworoboku tworzą, jak się domyślacie, cztery kąty na wierzchołkach, stąd nazwa - czworobok. Dla tego czworoboku widać na rysunku kąt D, kąt M, kąt K i kąt E.
Jakie czworokąty już znasz?
Kwadrat i prostokąt! Każdy z nich ma cztery narożniki i cztery boki.
Innym typem wielokąta jest pięciokąt.
Punkty O, P, X, Y, T są wierzchołkami pięciokąta, a odcinki TO, OP, PX, XY, YT są bokami tego pięciokąta. Pięciokąt ma odpowiednio pięć kątów i pięć boków.
Jak myślisz, ile kątów i ile boków ma sześciokąt? Zgadza się, sześć! Rozumując w podobny sposób, możemy powiedzieć, ile boków, wierzchołków lub kątów ma dany wielokąt. I możemy stwierdzić, że trójkąt jest także wielokątem, który ma dokładnie trzy kąty, trzy boki i trzy wierzchołki.
Zatem podczas tej lekcji zapoznałeś się z takimi pojęciami, jak trójkąt i wielokąt. Dowiedzieliśmy się, że trójkąt ma 3 wierzchołki, 3 boki i 3 kąty, czworokąt ma 4 wierzchołki, 4 boki i 4 kąty, pięciokąt ma 5 boków, 5 wierzchołków, 5 kątów i tak dalej.
Lista wykorzystanej literatury:
- Matematyka w klasie 5. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. i inne. Wydanie 31., usunięte. - M: 2013.
- Materiały dydaktyczne z matematyki w klasie 5. Autor - Popov M.A. - rok 2013
- Obliczamy bez błędów. Praca z testem własnym w klasach matematycznych 5-6. Autor - Minaeva S.S. - rok 2014
- Materiały dydaktyczne dla klasy matematycznej 5. Autorzy: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
- Kontrola i niezależna praca z matematyki w klasie 5. Autorzy - Popov M.A. - rok 2012
- Matematyka. Klasa 5: edukacyjna. dla uczniów szkół ogólnokształcących. instytucje / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - wyd. 9, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009
