Aby rozwiązać różne problemy z zajęć z matematyki i fizyki, musisz dzielić ułamki zwykłe. Jeśli wiesz, jest to bardzo łatwe pewne zasady wykonaj tę operację matematyczną.
Zanim przejdziemy do formułowania zasady dzielenia ułamków, przypomnijmy sobie kilka terminów matematycznych:
- Górna część ułamka nazywana jest licznikiem, a dolna częścią mianownikiem.
- Podczas dzielenia liczby nazywa się następująco: dywidenda: dzielnik = iloraz
Jak dzielić ułamki zwykłe: ułamki zwykłe
Aby podzielić dwa ułamki proste, pomnóż dywidendę przez odwrotność dzielnika. Ułamek ten nazywany jest również odwróconym, ponieważ uzyskuje się go przez zamianę licznika i mianownika. Na przykład:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Jak dzielić ułamki: ułamki mieszane
Jeśli musimy podzielić ułamki mieszane, to tutaj wszystko jest również dość proste i jasne. Najpierw zamieniamy ułamek mieszany na zwykły ułamek niewłaściwy. Aby to zrobić, pomnóż mianownik takiego ułamka przez liczbę całkowitą i dodaj licznik do powstałego iloczynu. W rezultacie otrzymaliśmy nowy licznik ułamka mieszanego, ale jego mianownik pozostanie niezmieniony. Ponadto dzielenie ułamków zostanie przeprowadzone dokładnie w taki sam sposób, jak dzielenie prostych ułamków. Na przykład:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Jak podzielić ułamek przez liczbę
Aby podzielić ułamek prosty przez liczbę, należy tę ostatnią zapisać jako ułamek zwykły (nieregularny). Jest to bardzo łatwe: liczbę tę zapisuje się w miejscu licznika, a mianownik takiego ułamka jest równy jeden. Dalszy podział odbywa się w zwykły sposób. Spójrzmy na to na przykładzie:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Jak dzielić ułamki dziesiętne
Często dorosły ma trudności z podzieleniem liczby całkowitej lub ułamka dziesiętnego przez ułamek dziesiętny bez pomocy kalkulatora.
Aby więc podzielić ułamki dziesiętne, wystarczy skreślić przecinek w dzielniku i przestać na niego zwracać uwagę. W dzielnej przecinek należy przesunąć w prawo dokładnie o tyle miejsc, ile znajdował się w części ułamkowej dzielnika, w razie potrzeby dodając zera. I nadal produkują regularny podział przez liczbę całkowitą. Aby było to bardziej jasne, rozważmy następujący przykład.
Z ułamkami można zrobić wszystko, łącznie z dzieleniem. W tym artykule przedstawiono dzielenie ułamków zwyczajnych. Podane zostaną definicje i omówione zostaną przykłady. Rozważmy szczegółowo dzielenie ułamków przez liczby naturalne i odwrotnie. Omówione zostanie dzielenie ułamka zwykłego przez liczbę mieszaną.
Dzielenie ułamków
Dzielenie jest odwrotnością mnożenia. Podczas dzielenia nieznany czynnik znajduje się w znanym iloczynie innego czynnika, przy czym zostaje zachowane jego znaczenie zwykłe ułamki.
Jeśli konieczne jest podzielenie ułamka zwykłego a b przez c d, to aby określić taką liczbę, należy pomnożyć przez dzielnik c d, ostatecznie da to dywidendę a b. Znajdźmy liczbę i zapiszmy ją a b · d c , gdzie d c jest odwrotnością liczby c d. Równości można zapisać korzystając z właściwości mnożenia, a mianowicie: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, gdzie wyrażenie a b · d c jest ilorazem dzielenia a b przez c d.
Stąd otrzymujemy i formułujemy zasadę dzielenia ułamków zwyczajnych:
Definicja 1
Aby podzielić ułamek zwykły a b przez c d, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.
Zapiszmy regułę w postaci wyrażenia: a b: c d = a b · d c
Zasady dzielenia sprowadzają się do mnożenia. Aby się tego trzymać, musisz dobrze rozumieć mnożenie ułamków zwykłych.
Przejdźmy do rozważenia podziału ułamków zwyczajnych.
Przykład 1
Podziel 9 7 przez 5 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego.
Rozwiązanie
Liczba 5 3 jest ułamkiem odwrotnym 3 5. Konieczne jest skorzystanie z reguły dzielenia ułamków zwykłych. Zapisujemy to wyrażenie następująco: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Odpowiedź: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Przy skracaniu ułamków oddzielamy całą część, jeśli licznik jest większy od mianownika.
Przykład 2
Podziel 8 15: 24 65. Zapisz odpowiedź w postaci ułamka zwykłego.
Rozwiązanie
Aby rozwiązać, musisz przejść od dzielenia do mnożenia. Zapiszmy to w następującej formie: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Konieczne jest dokonanie redukcji i robi się to w następujący sposób: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Wybierz całą część i uzyskaj 13 9 = 1 4 9.
Odpowiedź: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Dzielenie ułamka nadzwyczajnego przez liczbę naturalną
Stosujemy zasadę dzielenia ułamka przez Liczba naturalna: aby podzielić a b przez liczbę naturalną n, wystarczy pomnożyć mianownik przez n. Stąd otrzymujemy wyrażenie: a b: n = a b · n.
Reguła dzielenia jest konsekwencją reguły mnożenia. Zatem przedstawienie liczby naturalnej w postaci ułamka da równość tego typu: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Rozważmy dzielenie ułamka przez liczbę.
Przykład 3
Podziel ułamek 16 45 przez liczbę 12.
Rozwiązanie
Zastosujmy zasadę dzielenia ułamka przez liczbę. Otrzymujemy wyrażenie w postaci 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Skróćmy ułamek. Otrzymujemy 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Odpowiedź: 16 45: 12 = 4 135 .
Dzielenie liczby naturalnej przez ułamek
Zasada podziału jest podobna O zasada dzielenia liczby naturalnej przez ułamek zwykły: aby podzielić liczbę naturalną n przez ułamek zwykły a b, należy pomnożyć liczbę n przez odwrotność ułamka a b.
Na podstawie reguły mamy n: a b = n · b a, a dzięki zasadzie mnożenia liczby naturalnej przez ułamek zwykły otrzymujemy nasze wyrażenie w postaci n: a b = n · b a. Warto rozważyć ten podział na przykładzie.
Przykład 4
Podziel 25 przez 15 28.
Rozwiązanie
Musimy przejść od dzielenia do mnożenia. Zapiszmy to w postaci wyrażenia 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Skróćmy ułamek i uzyskajmy wynik w postaci ułamka 46 2 3.
Odpowiedź: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Dzielenie ułamka przez liczbę mieszaną
Dzieląc ułamek zwykły przez liczbę mieszaną, możesz łatwo zacząć dzielić ułamki zwykłe. Trzeba zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.
Przykład 5
Podziel ułamek 35 16 przez 3 1 8.
Rozwiązanie
Ponieważ 3 1 8 jest liczbą mieszaną, przedstawmy ją jako ułamek niewłaściwy. Wtedy otrzymujemy 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Teraz podzielmy ułamki. Otrzymujemy 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Odpowiedź: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Dzielenie liczby mieszanej odbywa się w taki sam sposób, jak zwykłych liczb.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki zwykłe (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Najtrudniejszą częścią tych działań było sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Teraz czas zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobra wiadomość jest taka, że te operacje są jeszcze prostsze niż dodawanie i odejmowanie. Rozważmy najpierw najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki dodatnie bez oddzielonej części całkowitej.
Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki osobno. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.
Aby podzielić dwa ułamki, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwrócony” drugi ułamek.
Przeznaczenie:
Z definicji wynika, że dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby „odwrócić” ułamek, po prostu zamień licznik i mianownik. Dlatego podczas całej lekcji będziemy się głównie zastanawiać nad mnożeniem.
W wyniku mnożenia może powstać ułamek redukowalny (i często powstaje) - należy go oczywiście zmniejszyć. Jeśli po wszystkich redukcjach ułamek okaże się nieprawidłowy, należy zaznaczyć całą część. Ale to, co na pewno nie stanie się w przypadku mnożenia, to redukcja do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, największych czynników i najmniejszych wspólnych wielokrotności.
Z definicji mamy:
Mnożenie ułamków zwykłych przez części całkowite i ułamki ujemne
Jeśli ułamki zawierają część całkowitą, należy je zamienić na niewłaściwe - i dopiero wtedy pomnożyć według schematów przedstawionych powyżej.
Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim znajduje się minus, można go usunąć z mnożenia lub całkowicie usunąć, zgodnie z następującymi zasadami:
- Plus przez minus daje minus;
- Dwa minusy dają odpowiedź twierdzącą.
Do tej pory z tymi zasadami spotykano się jedynie przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy konieczne było pozbycie się całej części. W przypadku pracy można je uogólnić, aby „spalić” kilka wad jednocześnie:
- Negatywy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnych przypadkach może przetrwać jeden minus - ten, dla którego nie było partnera;
- Jeśli nie ma już minusów, operacja jest zakończona - możesz rozpocząć mnożenie. Jeżeli ostatni minus nie zostanie przekreślony, bo nie było dla niego pary, to wychodzimy poza granice mnożenia. Wynikiem jest ułamek ujemny.
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Wszystkie ułamki zwykłe zamieniamy na niewłaściwe, a następnie z mnożenia usuwamy minusy. To, co zostaje, mnożymy według zwykłych zasad. Otrzymujemy:
Jeszcze raz przypomnę, że minus występujący przed ułamkiem z zaznaczoną całą częścią odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego całej części (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).
Zwróć także uwagę na liczby ujemne: podczas mnożenia są one ujęte w nawiasy. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i zwiększenia dokładności całego zapisu.
Redukowanie ułamków na bieżąco
Mnożenie jest operacją bardzo pracochłonną. Liczby tutaj okazują się dość duże i aby uprościć problem, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami i dlatego można je zredukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Z definicji mamy:
We wszystkich przykładach liczby, które zostały zmniejszone i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.
Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zmniejszone. Na ich miejscu pozostają jednostki, których, ogólnie rzecz biorąc, nie trzeba zapisywać. W drugim przykładzie nie udało się osiągnąć całkowitej redukcji, ale łączna ilość obliczeń nadal się zmniejszała.
Jednak nigdy nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami istnieją podobne liczby, które chcesz po prostu zmniejszyć. Spójrz:
Nie możesz tego zrobić!
Błąd występuje, ponieważ podczas dodawania licznik ułamka daje sumę, a nie iloczyn liczb. W związku z tym niemożliwe jest zastosowanie podstawowej właściwości ułamka, ponieważ ta właściwość dotyczy konkretnie mnożenia liczb.
Po prostu nie ma innych powodów, aby redukować ułamki, więc prawidłowe rozwiązanie poprzednie zadanie wygląda tak:
Prawidłowe rozwiązanie:
Jak widać, prawidłowa odpowiedź okazała się nie taka piękna. Ogólnie rzecz biorąc, należy zachować ostrożność.
Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają uczniów w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często konieczne jest rozważenie lub użycie przedmiotu nie jako całości, ale w oddzielnych częściach. Zacznij studiować ten temat - akcje. Udziały są częściami równymi, na który podzielony jest ten lub inny obiekt. Przecież nie zawsze da się wyrazić np. długość czy cenę produktu w postaci liczby całkowitej, należy uwzględnić części lub ułamki jakiejś miary. Utworzone od czasownika „dzielić” - dzielić na części i mające arabskie korzenie, samo słowo „ułamek” powstało w języku rosyjskim w VIII wieku.
Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą dziedzinę matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „liczbami łamanymi”, co było dla ludzi bardzo trudne do zrozumienia.
Nowoczesny wygląd proste reszty ułamkowe, których części oddzielone są poziomą linią, zostały po raz pierwszy wynalezione przez Fibonacciego – Leonarda z Pizy. Jego dzieła datowane są na rok 1202. Ale celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób mnoży się ułamki mieszane różne mianowniki.
Mnożenie ułamków zwykłych o różnych mianownikach
Na początek warto to ustalić rodzaje ułamków:
- prawidłowy;
- błędny;
- mieszany.
Następnie musisz pamiętać, jak mnożone są liczby ułamkowe o tych samych mianownikach. Sama zasada tego procesu nie jest trudna do samodzielnego sformułowania: wynikiem mnożenia ułamków prostych o identycznych mianownikach jest wyrażenie ułamkowe, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników tych ułamków . Oznacza to, że nowym mianownikiem jest kwadrat jednego z pierwotnie istniejących.
Podczas mnożenia Ułamki zwykłe o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników reguła nie ulega zmianie:
A/B * C/D = a*c / b*d.
Jedyna różnica polega na tym, że wynikowa liczba pod linią ułamkową będzie iloczynem różnych liczb i, oczywiście, kwadratu jednego wyrażenie numeryczne nie da się tego nazwać.
Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
W przykładach zastosowano metody redukcji wyrażeń ułamkowych. Liczby licznikowe można redukować tylko za pomocą liczb mianownikowych; nie można redukować sąsiadujących współczynników powyżej lub poniżej linii ułamkowej.
Oprócz ułamków prostych istnieje koncepcja ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Jak działa mnożenie?
Do rozważenia podano kilka przykładów.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykła część ułamkowa, regułę tego działania można zapisać jako:
A* B/C = a*b /C.
W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów wskazuje na tę liczbę naturalną. Szczególny przypadek:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Istnieje inne rozwiązanie mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:
D* mi/F = mi/f: d.
Technikę tę przydaje się, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, przez liczbę całkowitą.
Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i otrzymaj iloczyn w opisany wcześniej sposób:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ten przykład dotyczy sposobu przedstawiania ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego. Można go również przedstawić jako ogólna formuła:
A BC = a*b+ c/c, gdzie mianownik nowego ułamka tworzy się poprzez pomnożenie całej części przez mianownik i dodanie go przez licznik pierwotnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.
Ten proces działa również w Odwrotna strona. Aby oddzielić całą część od reszty ułamkowej, należy podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik za pomocą „rogu”.
Mnożenie ułamki niewłaściwe produkowane w ogólnie przyjęty sposób. Pisząc pod jedną linią ułamkową, należy w razie potrzeby zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby tą metodą i ułatwić obliczenie wyniku.
W Internecie jest wielu pomocników do rozwiązywania nawet skomplikowanych problemów matematycznych w różnych odmianach programów. Wystarczająca liczba takich usług oferuje pomoc w liczeniu mnożenia ułamków zwykłych różne liczby w mianownikach - tzw. kalkulatory internetowe do obliczania ułamków. Potrafią nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne na ułamkach zwykłych i liczbach mieszanych. Praca z nim nie jest trudna, wypełniasz odpowiednie pola na stronie serwisu, wybierasz znak operacji matematycznej i klikasz „oblicz”. Program oblicza automatycznie.
Temat działań arytmetycznych na ułamkach zwykłych jest aktualny w całej edukacji uczniów gimnazjów i szkół średnich. W szkole średniej nie rozważają już najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe całkowite, ale zdobytą wcześniej wiedzę o zasadach transformacji i obliczeń stosuje się w jej pierwotnej formie. Dobrze opanowana wiedza podstawowa daje w większości całkowitą pewność skutecznego rozwiązania złożone zadania.
Podsumowując, warto zacytować słowa Lwa Nikołajewicza Tołstoja, który napisał: „Człowiek jest ułamkiem. Zwiększenie licznika – zasług – nie jest w mocy człowieka, ale każdy może zmniejszyć swój mianownik – swoją opinię o sobie, a przez to zmniejszenie zbliżyć się do swojej doskonałości.
Ułamek to jedna lub więcej części całości, zwykle uważana za jedną (1). Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, wszystkie podstawowe operacje arytmetyczne (dodawanie, odejmowanie, dzielenie, mnożenie) można wykonywać na ułamkach, aby to zrobić, musisz znać funkcje pracy z ułamkami i rozróżniać ich typy. Istnieje kilka rodzajów ułamków zwykłych: dziesiętny i zwykły lub prosty. Każdy rodzaj ułamków ma swoją specyfikę, ale kiedy dokładnie zrozumiesz, jak sobie z nimi radzić, będziesz w stanie rozwiązać dowolne przykłady za pomocą ułamków, ponieważ znasz podstawowe zasady wykonywania obliczeń arytmetycznych na ułamkach. Spójrzmy na przykłady dzielenia ułamka przez liczbę całkowitą za pomocą różne rodzaje ułamki.
Jak podzielić ułamek prosty przez liczbę naturalną?Ułamki zwykłe lub proste to ułamki zapisane w postaci stosunku liczb, w którym dywidenda (licznik) jest wskazana na górze ułamka, a dzielnik (mianownik) ułamka jest wskazany na dole. Jak podzielić taki ułamek przez liczbę całkowitą? Spójrzmy na przykład! Powiedzmy, że musimy podzielić 8/12 przez 2.
Aby to zrobić, musimy wykonać szereg działań:
Zatem jeśli staniemy przed zadaniem podzielenia ułamka przez liczbę całkowitą, schemat rozwiązania będzie wyglądał mniej więcej tak: 
W podobny sposób możesz podzielić dowolny ułamek zwykły (prosty) przez liczbę całkowitą.
Jak podzielić ułamek dziesiętny przez liczbę całkowitą?
Ułamek dziesiętny to ułamek otrzymywany przez podzielenie jednostki na dziesięć, tysiąc itd. Działania arytmetyczne z ułamkami dziesiętnymi są dość proste.
Spójrzmy na przykład dzielenia ułamka przez liczbę całkowitą. Załóżmy, że musimy podzielić ułamek dziesiętny 0,925 przez liczbę naturalną 5.
Podsumowując, zastanówmy się nad dwoma głównymi punktami, które są ważne przy wykonywaniu operacji dzielenia ułamków dziesiętnych przez liczbę całkowitą: - do separacji dziesiętny W przypadku liczb naturalnych stosuje się dzielenie kolumnowe;
- Po zakończeniu podziału całej części dywidendy w iloraz umieszcza się przecinek.
