Praca dyplomowa w Formularz jednolitego egzaminu państwowego dla 11-klasistów koniecznie zawiera zadania dotyczące obliczania granic, przedziałów malejących i rosnących pochodnych funkcji, szukania punktów ekstremalnych i konstruowania wykresów. Dobra znajomość tego tematu pozwala poprawnie odpowiedzieć na kilka pytań egzaminacyjnych i nie napotkać trudności w dalszym doskonaleniu zawodowym.
Podstawy rachunku różniczkowego - jeden z głównych tematów matematyki nowoczesna szkoła. Zajmuje się zastosowaniem pochodnej do badania zależności zmiennych - to za jej pomocą można analizować wzrost i spadek funkcji bez uciekania się do rysunku.
Kompleksowe przygotowanie absolwentów do zdanie jednolitego egzaminu państwowego NA portalu edukacyjnego„Shkolkovo” pomoże ci głęboko zrozumieć zasady różnicowania - szczegółowo zrozumieć teorię, przestudiować przykłady rozwiązywania typowych problemów i spróbować swoich sił w samodzielnej pracy. Pomożemy Ci uzupełnić luki w wiedzy - wyjaśnimy Twoje rozumienie pojęć leksykalnych tematu i zależności ilościowych. Studenci będą mogli powtórzyć, jak znaleźć przedziały monotoniczności, co oznacza, że pochodna funkcji rośnie lub maleje na pewnym odcinku, gdy punkty graniczne znajdują się i nie są uwzględnione w znalezionych przedziałach.
Zanim zaczniesz bezpośrednio rozwiązywać problemy tematyczne, zalecamy najpierw przejść do sekcji „Podstawa teoretyczna” i powtórzyć definicje pojęć, reguł i wzorów tabelarycznych. Tutaj możesz przeczytać, jak znaleźć i zapisać każdy przedział funkcji rosnącej i malejącej na wykresie pochodnej.
Wszystkie oferowane informacje są prezentowane w najbardziej przystępnej dla zrozumienia formie, praktycznie od zera. Na stronie znajdują się materiały do percepcji i asymilacji w kilku aspektach różne formy– czytanie, oglądanie filmów i bezpośrednie szkolenie pod okiem doświadczonych nauczycieli. Profesjonalni nauczyciele powie Ci szczegółowo, jak znaleźć przedziały rosnących i malejących pochodnych funkcji analitycznie i graficznie. Podczas webinarów będziesz mógł zadać dowolne pytanie, które Cię interesuje, zarówno dotyczące teorii, jak i rozwiązywania konkretnych problemów.
Pamiętając o głównych punktach tematu, spójrz na przykłady zwiększania pochodnej funkcji, podobnie jak zadania w opcjach egzaminu. Aby utrwalić zdobytą wiedzę, zajrzyj do „Katalogu” – tutaj znajdziesz praktyczne ćwiczenia dot niezależna praca. Zadania w dziale dobierane są na różnym poziomie trudności, z uwzględnieniem rozwoju umiejętności. Przykładowo do każdego z nich dołączone są algorytmy rozwiązań i prawidłowe odpowiedzi.
Wybierając sekcję „Konstruktor”, studenci będą mogli przećwiczyć badanie wzrostu i spadku pochodnej funkcji na rzeczywistym Opcje ujednoliconego egzaminu stanowego, stale aktualizowana z uwzględnieniem najnowszych zmian i innowacji.
Bardzo ważna informacja o zachowaniu funkcji podaj przedziały rosnące i malejące. Znalezienie ich jest częścią procesu sprawdzania funkcji i kreślenia wykresu. Dodatkowo podano punkty ekstremalne, w których następuje zmiana ze wzrastającego na malejący lub ze malejącego na rosnący Specjalna uwaga przy znajdowaniu największej i najmniejszej wartości funkcji w określonym przedziale.
W tym artykule podamy niezbędne definicje, sformułowamy wystarczające kryterium wzrostu i spadku funkcji na przedziale oraz warunki wystarczające na istnienie ekstremum, a także zastosujemy całą teorię do rozwiązywania przykładów i problemów.
Nawigacja strony.
Funkcja rosnąca i malejąca na przedziale.
Definicja funkcji rosnącej.
Funkcja y=f(x) rośnie w przedziale X, jeśli dla dowolnego i 
nierówność zachodzi. Innymi słowy - wyższa wartość argument odpowiada większej wartości funkcji.
Definicja funkcji malejącej.
Funkcja y=f(x) maleje w przedziale X, jeśli dla dowolnego i nierówność zachodzi 
. Inaczej mówiąc, większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji.
UWAGA: jeżeli funkcja jest zdefiniowana i ciągła na końcach przedziału rosnącego lub malejącego (a;b), czyli w punktach x=a i x=b, to punkty te zalicza się do przedziału rosnącego lub malejącego. Nie jest to sprzeczne z definicjami funkcji rosnącej i malejącej na przedziale X.
Przykładowo z własności podstawowych funkcji elementarnych wiemy, że y=sinx jest zdefiniowane i ciągłe dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu. Zatem ze wzrostu funkcji sinus na przedziale możemy stwierdzić, że rośnie ona na tym przedziale.
Ekstrema, ekstrema funkcji.
Punkt nazywa się maksymalny punkt funkcja y=f(x) jeśli nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x w jej sąsiedztwie. Nazywa się wartość funkcji w punkcie maksymalnym maksimum funkcji i oznaczać .
Punkt nazywa się minimalny punkt funkcja y=f(x) jeśli nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x w jej sąsiedztwie. Nazywa się wartość funkcji w punkcie minimalnym funkcja minimalna i oznaczać .
Przez sąsiedztwo punktu rozumie się przedział 
, gdzie jest wystarczająco małą liczbą dodatnią.
Nazywa się punkty minimalne i maksymalne punkty ekstremalne i wywoływane są wartości funkcji odpowiadające punktom ekstremalnym ekstrema funkcji.
Nie myl ekstremów funkcji z największymi i najniższa wartość Funkcje.
Na pierwszym obrazku najwyższa wartość funkcja na odcinku zostaje osiągnięta w punkcie maksymalnym i jest równa maksimum funkcji, a na drugim rysunku - maksymalna wartość funkcji zostaje osiągnięta w punkcie x=b, który nie jest punktem maksymalnym.
Warunki wystarczające dla funkcji rosnących i malejących.
Na podstawie warunków wystarczających (znaków) wzrostu i spadku funkcji wyznaczane są przedziały wzrostu i spadku funkcji.
Oto sformułowania znaków funkcji rosnących i malejących na przedziale:
- jeżeli pochodna funkcji y=f(x) jest dodatnia dla dowolnego x z przedziału X, to funkcja zwiększa się o X;
- jeśli pochodna funkcji y=f(x) jest ujemna dla dowolnego x z przedziału X, to funkcja maleje na X.
Zatem, aby wyznaczyć przedziały wzrostu i spadku funkcji, konieczne jest:
Rozważmy przykład znajdowania przedziałów funkcji rosnących i malejących, aby wyjaśnić algorytm.
Przykład.
Znajdź przedziały funkcji rosnących i malejących.
Rozwiązanie.
Pierwszym krokiem jest znalezienie dziedziny definicji funkcji. Dlatego w naszym przykładzie wyrażenie w mianowniku nie powinno wynosić zero.
Przejdźmy do znalezienia pochodnej funkcji: 
Aby wyznaczyć przedziały wzrostu i spadku funkcji na podstawie kryterium wystarczającego, rozwiązujemy nierówności w dziedzinie definicji. Zastosujmy uogólnienie metody przedziałowej. Jedynym prawdziwym pierwiastkiem licznika jest x = 2, a mianownik dąży do zera przy x = 0. Punkty te dzielą dziedzinę definicji na przedziały, w których pochodna funkcji zachowuje swój znak. Zaznaczmy te punkty na osi liczbowej. Konwencjonalnie oznaczamy plusami i minusami przedziały, w których pochodna jest dodatnia lub ujemna. Poniższe strzałki schematycznie pokazują wzrost lub spadek funkcji w odpowiednim przedziale. 
Zatem, 
I 
.
W punkcie Funkcja x=2 jest zdefiniowana i ciągła, dlatego należy ją dodawać zarówno do przedziału rosnącego, jak i malejącego. W punkcie x=0 funkcja nie jest zdefiniowana, dlatego nie uwzględniamy tego punktu w wymaganych przedziałach.
Przedstawiamy wykres funkcji w celu porównania uzyskanych za jej pomocą wyników.
Odpowiedź:
Funkcja rośnie wraz z 
, maleje w przedziale (0;2] .
Warunki wystarczające na ekstremum funkcji.
Aby znaleźć maksima i minima funkcji, można oczywiście użyć dowolnego z trzech znaków ekstremum, jeśli funkcja spełnia ich warunki. Najpopularniejszy i najwygodniejszy jest pierwszy z nich.
Pierwszy warunek wystarczający ekstremum.
Niech funkcja y=f(x) będzie różniczkowalna w sąsiedztwie punktu i ciągła w samym punkcie.
Innymi słowy:
Algorytm znajdowania punktów ekstremalnych na podstawie pierwszego znaku ekstremum funkcji.
- Znajdujemy dziedzinę definicji funkcji.
- Znajdujemy pochodną funkcji w dziedzinie definicji.
- Wyznaczamy zera licznika, zera mianownika pochodnej oraz punkty dziedziny definicji, w której pochodna nie istnieje (wszystkie wymienione punkty to tzw. punkty możliwego ekstremum, przechodząc przez te punkty, pochodna może po prostu zmienić swój znak).
- Punkty te dzielą dziedzinę definicji funkcji na przedziały, w których pochodna zachowuje swój znak. Znaki pochodnej wyznaczamy na każdym z przedziałów (np. obliczając wartość pochodnej funkcji w dowolnym punkcie danego przedziału).
- Wybieramy punkty, w których funkcja jest ciągła i przechodząc przez które pochodna zmienia znak - są to punkty ekstremalne.
Za dużo słów, spójrzmy lepiej na kilka przykładów znajdowania ekstremów i ekstremów funkcji przy użyciu pierwszego warunku wystarczającego na ekstremum funkcji.
Przykład.
Znajdź ekstremum funkcji.
Rozwiązanie.
Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem x=2.
Znajdowanie pochodnej: 
Zerami licznika są punkty x=-1 i x=5, mianownik dąży do zera przy x=2. Zaznacz te punkty na osi liczb 
Wyznaczamy znaki pochodnej w każdym przedziale, w tym celu obliczamy wartość pochodnej w dowolnym punkcie każdego przedziału, np. w punktach x=-2, x=0, x=3 i x=6.
Zatem na przedziale pochodna jest dodatnia (na rysunku stawiamy znak plus nad tym przedziałem). Podobnie 
Dlatego stawiamy minus nad drugim przedziałem, minus nad trzecim i plus nad czwartym.
Pozostaje wybrać punkty, w których funkcja jest ciągła i jej pochodna zmienia znak. To są punkty ekstremalne.
W punkcie x=-1 funkcja jest ciągła i pochodna zmienia znak z plusa na minus, zatem zgodnie z pierwszym znakiem ekstremum x=-1 jest punktem maksymalnym, odpowiada mu maksimum funkcji 
.
W punkcie x=5 funkcja jest ciągła i pochodna zmienia znak z minus na plus, zatem x=-1 jest punktem minimalnym, odpowiada mu minimum funkcji 
.
Ilustracja graficzna.
Odpowiedź:
UWAGA: pierwsze wystarczające kryterium ekstremum nie wymaga różniczkowalności funkcji w samym punkcie.
Przykład.
Znaleźć ekstrema i ekstrema funkcji 
.
Rozwiązanie.
Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Sama funkcja może być zapisana jako: 
Znajdźmy pochodną funkcji: 
W punkcie x=0 pochodna nie istnieje, gdyż wartości granic jednostronnych nie pokrywają się, gdy argument dąży do zera: 
Jednocześnie pierwotna funkcja jest ciągła w punkcie x=0 (patrz rozdział o badaniu funkcji pod kątem ciągłości): 
Znajdźmy wartość argumentu, przy której pochodna dąży do zera: 
Zaznaczmy wszystkie uzyskane punkty na osi liczbowej i określmy znak pochodnej na każdym z przedziałów. Aby to zrobić, obliczamy wartości pochodnej w dowolnych punktach każdego przedziału, na przykład w x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.
To jest, 
Zatem zgodnie z pierwszym znakiem ekstremum punkty minimalne wynoszą 
, maksymalna liczba punktów wynosi 
.
Obliczamy odpowiednie minima funkcji 
Obliczamy odpowiednie maksima funkcji 
Ilustracja graficzna.
Odpowiedź:
.
Drugi znak ekstremum funkcji.
Jak widać, znak ekstremum funkcji wymaga istnienia w tym punkcie pochodnej co najmniej drugiego rzędu.
Ekstrema funkcji
Definicja 2
Punkt $x_0$ nazywamy punktem maksymalnym funkcji $f(x)$, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu, że dla wszystkich $x$ w tym sąsiedztwie nierówność $f(x)\le f(x_0) $ trzyma.
Definicja 3
Punkt $x_0$ nazywamy punktem maksymalnym funkcji $f(x)$, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu, że dla wszystkich $x$ w tym sąsiedztwie nierówność $f(x)\ge f(x_0) $ trzyma.
Pojęcie ekstremum funkcji jest ściśle powiązane z pojęciem punktu krytycznego funkcji. Przedstawmy jego definicję.
Definicja 4
$x_0$ nazywa się punktem krytycznym funkcji $f(x)$ jeżeli:
1) $x_0$ - punkt wewnętrzny dziedziny definicji;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ lub nie istnieje.
Dla pojęcia ekstremum możemy sformułować twierdzenia o dostatecznym i niezbędne warunki jego istnienie.
Twierdzenie 2
Warunek wystarczający na ekstremum
Niech punkt $x_0$ będzie krytyczny dla funkcji $y=f(x)$ i będzie należał do przedziału $(a,b)$. Niech na każdym przedziale $\left(a,x_0\right)\ i\ (x_0,b)$ istnieje i zachowuje stały znak pochodna $f"(x)$. Wtedy:
1) Jeżeli na przedziale $(a,x_0)$ pochodna wynosi $f"\left(x\right)>0$, a na przedziale $(x_0,b)$ pochodna wynosi $f"\left( x\prawo)
2) Jeżeli na przedziale $(a,x_0)$ pochodna $f"\left(x\right)0$, to punkt $x_0$ jest punktem minimalnym tej funkcji.
3) Jeżeli zarówno na przedziale $(a,x_0)$, jak i na przedziale $(x_0,b)$ pochodna $f"\left(x\right) >0$ lub pochodna $f"\left(x \Prawidłowy)
Twierdzenie to zilustrowano na rysunku 1.
Rysunek 1. Warunek wystarczający na istnienie ekstremów
Przykłady skrajności (ryc. 2).
Rysunek 2. Przykłady punktów ekstremalnych
Zasada badania funkcji ekstremum
2) Znajdź pochodną $f"(x)$;
7) Wyciągnij wnioski na temat obecności maksimów i minimów w każdym przedziale, korzystając z Twierdzenia 2.
Funkcja rosnąca i malejąca
Najpierw wprowadźmy definicje funkcji rosnących i malejących.
Definicja 5
Mówi się, że funkcja $y=f(x)$ zdefiniowana na przedziale $X$ rośnie, jeśli dla dowolnych punktów $x_1,x_2\in X$ w $x_1
Definicja 6
Mówi się, że funkcja $y=f(x)$ zdefiniowana na przedziale $X$ jest malejąca, jeśli dla dowolnych punktów $x_1,x_2\in X$ dla $x_1f(x_2)$.
Badanie funkcji zwiększania i zmniejszania
Funkcje rosnące i malejące można badać za pomocą pochodnej.
Aby sprawdzić funkcję dla przedziałów rosnących i malejących, należy wykonać następujące czynności:
1) Znajdź dziedzinę definicji funkcji $f(x)$;
2) Znajdź pochodną $f"(x)$;
3) Znajdź punkty, w których zachodzi równość $f"\left(x\right)=0$;
4) Znajdź punkty, w których $f"(x)$ nie istnieje;
5) Zaznacz na osi współrzędnych wszystkie znalezione punkty oraz dziedzinę definicji tej funkcji;
6) Wyznacz znak pochodnej $f"(x)$ na każdym otrzymanym przedziale;
7) Wyciągnij wniosek: na przedziałach, gdzie $f"\left(x\right)0$ funkcja rośnie.
Przykłady problemów badania funkcji rosnących, malejących i występowania ekstremów
Przykład 1
Zbadaj funkcję zwiększania i zmniejszania oraz obecność punktów maksymalnych i minimalnych: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Ponieważ pierwsze 6 punktów jest takich samych, przeprowadźmy je najpierw.
1) Dziedzina definicji - wszystkie liczby rzeczywiste;
2) $f"\lewo(x\prawo)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\lewo(x\prawo)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ istnieje we wszystkich punktach dziedziny definicji;
5) Linia współrzędnych:
Rysunek 3.
6) Wyznacz znak pochodnej $f"(x)$ na każdym przedziale:
\ \; .
Określmy znak wartości funkcji na końcach odcinka.
F(0) = 3, F(0) > 0
F(10) = , F(10) < 0.
Ponieważ funkcja maleje w segmencie i zmienia się znak wartości funkcji, to w tym segmencie jest jedno zero funkcji.
Odpowiedź: funkcja f(x) rośnie na przedziałach: (-∞; 0]; ;
na przedziale funkcja ma jedną funkcję zero.
2. Ekstremalne punkty funkcji: punkty maksymalne i minimalne. Warunki konieczne i wystarczające istnienia ekstremum funkcji. Zasada badania funkcji ekstremum .
Definicja 1:Punkty, w których pochodna jest równa zeru, nazywane są krytycznymi lub stacjonarnymi.
Definicja 2. Punkt nazywa się punktem minimalnym (maksymalnym) funkcji, jeżeli wartość funkcji w tym punkcie jest mniejsza (większa) od najbliższych wartości funkcji.
Należy pamiętać, że maksimum i minimum w w tym przypadku są lokalne.
Na ryc. 1. Pokazano lokalne maksima i minima.
Funkcje maksymalne i minimalne są łączone Nazwa zwyczajowa: ekstremum funkcji.Twierdzenie 1.(konieczny znak istnienia ekstremum funkcji). Jeżeli funkcja różniczkowalna w punkcie ma w tym punkcie maksimum lub minimum, to jej pochodna w punkcie zanika, .
Twierdzenie 2.(wystarczający znak istnienia ekstremum funkcji). Jeśli funkcja ciągła ma pochodną we wszystkich punktach pewnego przedziału zawierającego punkt krytyczny(może z wyjątkiem samego tego punktu) i jeśli pochodna przy przejściu argumentu od lewej do prawej przez punkt krytyczny zmienia znak z plusa na minus, to funkcja w tym punkcie ma maksimum, a przy zmianie znaku z minus na plus ma minimum.
