Pierwiastek z kwadratu. Co to jest arytmetyczny pierwiastek kwadratowy

Studenci zawsze pytają: „Dlaczego nie mogę używać kalkulatora na egzaminie z matematyki? Jak wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z liczby bez kalkulatora? Spróbujmy odpowiedzieć na to pytanie.

Jak wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z liczby bez pomocy kalkulatora?

Działanie pierwiastek kwadratowy odwrotna do działania kwadratury.

√81= 9 9 2 =81

Jeśli weźmiesz pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej i podniesiesz wynik do kwadratu, otrzymasz tę samą liczbę.

Od nie duże liczby, które są dokładnymi kwadratami liczby naturalne na przykład 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 pierwiastków kwadratowych można wyodrębnić ustnie. Zwykle w szkole uczą tabeli kwadratów liczb naturalnych do dwudziestu. Znając tę ​​tabelę, łatwo jest wyciągnąć pierwiastki kwadratowe z liczb 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z liczb większych niż 400 można je wyodrębnić metodą selekcji, korzystając z kilku wskazówek. Spróbujmy przyjrzeć się tej metodzie na przykładzie.

Przykład: Wyodrębnij pierwiastek liczby 676.

Zauważamy, że 20 2 = 400 i 30 2 = 900, co oznacza 20< √676 < 900.

Dokładne kwadraty liczb naturalnych kończą się na 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Liczba 6 jest dana przez 4 2 i 6 2.
Oznacza to, że jeśli pierwiastek zostanie wzięty z 676, wówczas będzie to 24 lub 26.

Pozostaje sprawdzić: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Odpowiedź: √676 = 26 .

Więcej przykład: √6889 .

Ponieważ 80 2 = 6400 i 90 2 = 8100, to 80< √6889 < 90.
Liczba 9 jest dana przez 3 2 i 7 2, wówczas √6889 jest równe 83 lub 87.

Sprawdźmy: 83 2 = 6889.

Odpowiedź: √6889 = 83 .

Jeśli rozwiązanie problemu metodą selekcji okaże się trudne, możesz uwzględnić wyrażenie radykalne.

Na przykład, znajdź √893025.

Weźmy pod uwagę liczbę 893025, pamiętaj, zrobiłeś to w szóstej klasie.

Otrzymujemy: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Więcej przykład: √20736. Rozważmy liczbę 20736:

Otrzymujemy √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Oczywiście faktoryzacja wymaga znajomości znaków podzielności i umiejętności faktoryzacji.

I wreszcie jest zasada wyciągania pierwiastków kwadratowych. Zapoznajmy się z tą zasadą na przykładach.

Oblicz √279841.

Aby wyodrębnić pierwiastek wielocyfrowej liczby całkowitej, dzielimy ją od prawej do lewej na ścianki zawierające 2 cyfry (najbardziej lewa krawędź może zawierać jedną cyfrę). Zapisujemy to tak: 27’98’41

Aby otrzymać pierwszą cyfrę pierwiastka (5), bierzemy pierwiastek kwadratowy z największego idealnego kwadratu zawartego w pierwszej ścianie po lewej stronie (27).
Następnie od pierwszej ściany odejmujemy kwadrat pierwszej cyfry pierwiastka (25) i do różnicy dodajemy (odejmujemy) kolejną ściankę (98).
Na lewo od powstałej liczby 298 wpisz podwójną cyfrę pierwiastka (10), podziel przez nią liczbę wszystkich dziesiątek wcześniej uzyskanej liczby (29/2 ≈ 2), sprawdź iloraz (102 ∙ 2 = 204 nie powinno być większe niż 298) i wpisać (2) po pierwszej cyfrze pierwiastka.
Następnie otrzymany iloraz 204 odejmuje się od 298 i do różnicy (94) dodaje się kolejną krawędź (41).
Na lewo od powstałej liczby 9441 zapisz podwójny iloczyn cyfr pierwiastka (52 ∙2 = 104), podziel liczbę wszystkich dziesiątek liczby 9441 (944/104 ≈ 9) przez ten iloczyn, przetestuj iloraz (1049 ∙9 = 9441) powinien wynosić 9441 i zapisać go (9) po drugiej cyfrze pierwiastka.

Otrzymaliśmy odpowiedź √279841 = 529.

Wyodrębnij podobnie pierwiastki ułamków dziesiętnych. Tylko liczbę radykalną należy podzielić na twarze, tak aby przecinek znajdował się między ścianami.

Przykład. Znajdź wartość √0,00956484.

Pamiętaj tylko, że jeśli ułamek dziesiętny ma nieparzystą liczbę miejsc po przecinku, nie można z niego wydobyć pierwiastka kwadratowego.

Teraz widziałeś trzy sposoby wyodrębnienia korzenia. Wybierz ten, który najbardziej Ci odpowiada i ćwicz. Aby nauczyć się rozwiązywać problemy, musisz je rozwiązać. A jeśli masz pytania, zapisz się na moje lekcje.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Powierzchnia kwadratowej działki wynosi 81 dm². Znajdź jego stronę. Załóżmy, że długość boku kwadratu wynosi X decymetry. Następnie powierzchnia działki wynosi X² decymetrów kwadratowych. Ponieważ zgodnie z warunkiem powierzchnia ta wynosi 81 dm² X² = 81. Długość boku kwadratu jest liczbą dodatnią. Liczba dodatnia, której kwadrat wynosi 81, to liczba 9. Przy rozwiązywaniu zadania należało znaleźć liczbę x, której kwadrat wynosi 81, czyli rozwiązać równanie X² = 81. To równanie ma dwa pierwiastki: X 1 = 9 i X 2 = - 9, ponieważ 9² = 81 i (- 9)² = 81. Obie liczby 9 i - 9 nazywane są pierwiastki kwadratowe od numeru 81.

Zauważ, że jeden z pierwiastków kwadratowych X= 9 jest liczbą dodatnią. Nazywa się to arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z 81 i oznacza się √81, więc √81 = 9.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby A jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest równy A.

Na przykład liczby 6 i - 6 są pierwiastkami kwadratowymi z liczby 36. Jednak liczba 6 jest arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z 36, ponieważ 6 jest liczbą nieujemną, a 6² = 36. Liczba - 6 nie jest liczbą pierwiastek arytmetyczny.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby A oznaczone następująco: √ A.

Znak ten nazywany jest arytmetycznym znakiem pierwiastka kwadratowego; A- zwane wyrażeniem radykalnym. Wyrażenie √ A Czytać w ten sposób: arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby A. Na przykład √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. W przypadkach, gdy jest jasne, że mówimy o pierwiastku arytmetycznym, mówią krótko: „pierwiastek kwadratowy z A«.

Czynność znajdowania pierwiastka kwadratowego z liczby nazywa się pierwiastkowaniem kwadratowym. To działanie jest odwrotnością kwadratury.

Możesz podnieść dowolną liczbę do kwadratu, ale nie możesz wyciągnąć pierwiastka kwadratowego z żadnej liczby. Na przykład nie można wyodrębnić pierwiastka kwadratowego z liczby - 4. Jeśli taki pierwiastek istniał, to oznaczając go literą X, otrzymalibyśmy niepoprawną równość x² = - 4, ponieważ po lewej stronie znajduje się liczba nieujemna, a po prawej liczba ujemna.

Wyrażenie √ A ma sens tylko wtedy ≥ 0. Definicję pierwiastka kwadratowego można w skrócie zapisać jako: √ ≥ 0, (√A)² = A. Równość (√ A)² = A ważne dla ≥ 0. Zatem, aby zapewnić pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej A równa się B, tj. w tym, że √ A =B, musisz sprawdzić, czy spełnione są dwa następujące warunki: b ≥ 0, B² = A.

Pierwiastek kwadratowy ułamka

Obliczmy. Zauważ, że √25 = 5, √36 = 6 i sprawdźmy, czy zachodzi równość.

Ponieważ i , to równość jest prawdziwa. Więc, .

Twierdzenie: Jeśli A≥ 0 i B> 0, czyli pierwiastek ułamka jest równy pierwiastkowi licznika podzielonemu przez pierwiastek mianownika. Należy udowodnić, że: i .

Od √ A≥0 i √ B> 0, zatem .

O własności podnoszenia ułamka zwykłego do potęgi i definicji pierwiastka kwadratowego twierdzenie zostało udowodnione. Spójrzmy na kilka przykładów.

Oblicz, korzystając ze sprawdzonego twierdzenia .

Drugi przykład: Udowodnij to , Jeśli A ≤ 0, B < 0. .

Inny przykład: Oblicz.

.

Konwersja pierwiastka kwadratowego

Usunięcie mnożnika spod znaku pierwiastka. Niech zostanie podane wyrażenie. Jeśli A≥ 0 i B≥ 0, to korzystając z twierdzenia o pierwiastku iloczynowym możemy napisać:

Ta transformacja nazywa się usunięciem czynnika ze znaku pierwiastka. Spójrzmy na przykład;

Oblicz o godz X= 2. Bezpośrednie podstawienie X= 2 w wyrażeniu radykalnym prowadzi do skomplikowanych obliczeń. Obliczenia te można uprościć, usuwając najpierw czynniki spod znaku pierwiastka: . Podstawiając teraz x = 2, otrzymujemy:.

Tak więc, usuwając czynnik spod znaku pierwiastka, radykalne wyrażenie jest reprezentowane w postaci iloczynu, w którym jeden lub więcej czynników jest kwadratami liczb nieujemnych. Następnie zastosuj twierdzenie o pierwiastku iloczynu i wyjmij pierwiastek z każdego czynnika. Rozważmy przykład: Uprość wyrażenie A = √8 + √18 - 4√2, usuwając czynniki w pierwszych dwóch wyrazach spod znaku pierwiastka, otrzymamy: Podkreślamy tę równość ważne tylko wtedy, gdy A≥ 0 i B≥ 0. jeśli A < 0, то .

Przed pojawieniem się kalkulatorów uczniowie i nauczyciele obliczali pierwiastki kwadratowe ręcznie. Istnieje kilka sposobów ręcznego obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby. Niektóre z nich oferują jedynie przybliżone rozwiązanie, inne dają dokładną odpowiedź.

Kroki

Faktoryzacja pierwsza

Rozłóż liczbę pierwiastkową na czynniki będące liczbami kwadratowymi. W zależności od liczby radykalnej otrzymasz odpowiedź przybliżoną lub dokładną. Liczby kwadratowe to liczby, z których można wyciągnąć cały pierwiastek kwadratowy. Czynniki to liczby, które po pomnożeniu dają liczbę pierwotną. Na przykład współczynniki liczby 8 to 2 i 4, ponieważ 2 x 4 = 8, liczby 25, 36, 49 są liczbami kwadratowymi, ponieważ √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Czynniki kwadratowe są czynnikami, które są liczbami kwadratowymi. Najpierw spróbuj rozłożyć liczbę pierwiastkową na czynniki kwadratowe.

• Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 400 (ręcznie). Najpierw spróbuj rozłożyć 400 na czynniki kwadratowe. 400 to wielokrotność 100, czyli podzielna przez 25 - jest to liczba kwadratowa. Dzielenie 400 przez 25 daje 16. Liczba 16 jest również liczbą kwadratową. Zatem 400 można rozłożyć na współczynniki kwadratowe 25 i 16, czyli 25 x 16 = 400.
• Można to zapisać w następujący sposób: √400 = √(25 x 16).

1. Pierwiastek kwadratowy iloczynu niektórych wyrazów jest równy iloczynowi pierwiastków kwadratowych każdego wyrazu, czyli √(a x b) = √a x √b. Użyj tej reguły, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z każdego współczynnika kwadratowego i pomnożyć wyniki, aby znaleźć odpowiedź.

   • W naszym przykładzie weź pierwiastek z 25 i 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5x4 = 20

2. Jeśli liczba pierwiastkowa nie zostanie rozłożona na dwa współczynniki kwadratowe (a tak się dzieje w większości przypadków), nie będziesz w stanie znaleźć dokładnej odpowiedzi w postaci liczby całkowitej. Ale możesz uprościć problem, rozkładając liczbę pierwiastkową na współczynnik kwadratowy i zwykły czynnik (liczbę, z której nie można wyciągnąć całego pierwiastka kwadratowego). Następnie weźmiesz pierwiastek kwadratowy ze współczynnika kwadratowego i wyciągniesz pierwiastek ze wspólnego czynnika.

   • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby 147. Liczby 147 nie można rozłożyć na dwa współczynniki kwadratowe, ale można ją rozłożyć na następujące czynniki: 49 i 3. Rozwiąż problem w następujący sposób:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jeśli to konieczne, oszacuj wartość pierwiastka. Teraz możesz oszacować wartość pierwiastka (znaleźć wartość przybliżoną), porównując ją z wartościami pierwiastków liczb kwadratowych, które są najbliżej (po obu stronach osi liczbowej) liczby pierwiastkowej. Otrzymasz wartość pierwiastka jako dziesiętny, którą należy pomnożyć przez liczbę znajdującą się za znakiem pierwiastka.

   • Wróćmy do naszego przykładu. Pierwiastkiem jest liczba 3. Najbliższe jej liczby kwadratowe to liczby 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Zatem wartość √3 mieści się pomiędzy 1 a 2. Ponieważ wartość √3 jest prawdopodobnie bliższa 2 niż 1, nasze oszacowanie wynosi: √3 = 1,7. Mnożymy tę wartość przez liczbę przy znaku pierwiastka: 7 x 1,7 = 11,9. Jeśli wykonasz obliczenia na kalkulatorze, otrzymasz 12,13, co jest dość bliskie naszej odpowiedzi.
     • Ta metoda działa również w przypadku dużych liczb. Rozważmy na przykład √35. Pierwiastkiem jest liczba 35. Najbliższe jej liczby kwadratowe to liczby 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Zatem wartość √35 mieści się pomiędzy 5 a 6. Ponieważ wartość √35 jest znacznie bliższa 6 niż 5 (ponieważ 35 to tylko 1 mniej niż 36), możemy powiedzieć, że √35 jest nieco mniejsze niż 6 Sprawdź na kalkulatorze, co daje nam odpowiedź 5,92 – mieliśmy rację.

4. Innym sposobem jest rozłożenie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze. Czynniki pierwsze to liczby, które dzielą się tylko przez 1 i samą siebie. Zapisz to czynniki pierwsze z rzędu i znajdź pary identycznych czynników. Takie czynniki można usunąć ze znaku głównego.

   • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 45. Rozłóż liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze: 45 = 9 x 5 i 9 = 3 x 3. Zatem √45 = √(3 x 3 x 5). Jako pierwiastek można wyjąć 3: √45 = 3√5. Teraz możemy oszacować √5.
   • Spójrzmy na inny przykład: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Otrzymałeś trzy mnożniki liczby 2; weź kilka z nich i przesuń je poza znak korzenia.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Teraz możesz ocenić √2 i √11 i znaleźć przybliżoną odpowiedź.

   Ręczne obliczanie pierwiastka kwadratowego

   Używanie długiego dzielenia

   1. Ta metoda obejmuje proces podobny do dzielenia długich i zapewnia dokładną odpowiedź. Najpierw narysuj pionową linię dzielącą arkusz na dwie połowy, a następnie w prawo i nieco poniżej górnej krawędzi arkusza narysuj poziomą linię do linii pionowej. Teraz podziel liczbę pierwiastkową na pary liczb, zaczynając od części ułamkowej po przecinku. Tak więc liczba 79520789182.47897 jest zapisana jako „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • Na przykład obliczmy pierwiastek kwadratowy z liczby 780,14. Narysuj dwie linie (jak pokazano na rysunku) i wpisz podaną liczbę w postaci „7 80, 14” w lewym górnym rogu. To normalne, że pierwsza cyfra od lewej jest cyfrą niesparowaną. Odpowiedź (korzeń podany numer) napiszesz w prawym górnym rogu.

   2. Dla pierwszej pary liczb (lub pojedynczej liczby) od lewej strony znajdź największą liczbę całkowitą n, której kwadrat jest mniejszy lub równy danej parze liczb (lub pojedynczej liczbie). Innymi słowy, znajdź liczbę kwadratową najbliższą pierwszej parze liczb (lub pojedynczej liczbie) od lewej, ale mniejszą od niej, i weź pierwiastek kwadratowy z tej liczby kwadratowej; otrzymasz liczbę n. Wpisz n, które znalazłeś, w prawym górnym rogu i wpisz kwadrat n w prawym dolnym rogu.

      • W naszym przypadku pierwszą liczbą po lewej będzie 7. Następnie 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odejmij kwadrat liczby n, którą właśnie znalazłeś, od pierwszej pary liczb (lub pojedynczej liczby) po lewej stronie. Wynik obliczeń zapisz pod odejmowaniem (kwadratem liczby n).

      • W naszym przykładzie odejmij 4 od 7 i uzyskaj 3.

   4. Zapisz drugą parę liczb i zapisz ją obok wartości uzyskanej w poprzednim kroku. Następnie podwoj liczbę w prawym górnym rogu i zapisz wynik w prawym dolnym rogu z dodatkiem „_×_=".

      • W naszym przykładzie druga para liczb to „80”. Wpisz „80” po 3. Następnie podwojenie liczby w prawym górnym rogu daje 4. Wpisz „4_×_=" w prawym dolnym rogu.

   5. Wypełnij puste pola po prawej stronie.

      • W naszym przypadku, jeśli zamiast myślników wstawimy liczbę 8, to 48 x 8 = 384, czyli więcej niż 380. Zatem 8 to za duża liczba, ale wystarczy 7. Zamiast myślników wpisz 7 i uzyskaj: 47 x 7 = 329. Wpisz 7 w prawym górnym rogu - jest to druga cyfra żądanego pierwiastka kwadratowego z liczby 780,14.

   6. Odejmij wynikową liczbę od bieżącej liczby po lewej stronie. Wynik z poprzedniego kroku zapisz pod aktualną liczbą po lewej stronie, znajdź różnicę i zapisz ją pod odjemnikiem.

      • W naszym przykładzie odejmij 329 od 380, co równa się 51.

   7. Powtórz krok 4. Jeżeli przenoszona para liczb jest częścią ułamkową pierwotnej liczby, należy umieścić separator (przecinek) pomiędzy liczbą całkowitą a częścią ułamkową w wymaganym pierwiastku kwadratowym w prawym górnym rogu. Po lewej stronie obniż następną parę liczb. Podwój liczbę w prawym górnym rogu i zapisz wynik w prawym dolnym rogu z dodatkiem „_×_=".

      • W naszym przykładzie następną parą liczb do usunięcia będzie część ułamkowa liczby 780,14, dlatego umieść separator części całkowitej i ułamkowej w żądanym pierwiastku kwadratowym w prawym górnym rogu. Zapisz liczbę 14 i wpisz ją w lewym dolnym rogu. Podwójna liczba w prawym górnym rogu (27) to 54, więc wpisz „54_×_=" w prawym dolnym rogu.

   8. Powtórz kroki 5 i 6. Znajdź taki największa liczba w miejsce myślników po prawej stronie (zamiast myślników należy podstawić tę samą liczbę), tak aby wynik mnożenia był mniejszy lub równy aktualnej liczbie po lewej stronie.

      • W naszym przykładzie 549 x 9 = 4941, czyli mniej niż bieżąca liczba po lewej stronie (5114). Wpisz 9 w prawym górnym rogu i odejmij wynik mnożenia od bieżącej liczby po lewej stronie: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jeśli chcesz znaleźć więcej miejsc po przecinku dla pierwiastka kwadratowego, wpisz kilka zer na lewo od bieżącej liczby i powtórz kroki 4, 5 i 6. Powtarzaj kroki, aż uzyskasz dokładność odpowiedzi (liczbę miejsc po przecinku) potrzebować.

      Zrozumienie procesu

      1. Do asymilacji Ta metoda pomyśl o liczbie, której pierwiastek kwadratowy chcesz znaleźć, jako o polu kwadratu S. W tym przypadku będziesz szukać długości boku L takiego kwadratu. Obliczamy wartość L w taki sposób, że L² = S.

         Podaj literę do każdej cyfry w odpowiedzi. Oznaczmy przez A pierwszą cyfrę wartości L (pożądany pierwiastek kwadratowy). B będzie drugą cyfrą, C trzecią i tak dalej.

         Określ literę dla każdej pary pierwszych cyfr. Oznaczmy przez S a pierwszą parę cyfr wartości S, przez S b drugą parę cyfr i tak dalej.

         Zrozum związek między tą metodą a długim dzieleniem. Podobnie jak przy dzieleniu, gdzie za każdym razem interesuje nas tylko kolejna cyfra liczby, którą dzielimy, tak przy obliczaniu pierwiastka kwadratowego pracujemy po kolei przez parę cyfr (aby otrzymać kolejną cyfrę z pierwiastka kwadratowego ).

      2. Rozważmy pierwszą parę cyfr Sa liczby S (w naszym przykładzie Sa = 7) i znajdź jej pierwiastek kwadratowy. W tym przypadku pierwszą cyfrą A żądanej wartości pierwiastka kwadratowego będzie cyfra, której kwadrat jest mniejszy lub równy S a (to znaczy szukamy takiego A, że nierówność A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Powiedzmy, że musimy podzielić 88962 przez 7; tutaj pierwszy krok będzie podobny: rozważamy pierwszą cyfrę liczby podzielnej 88962 (8) i wybieramy największą liczbę, która pomnożona przez 7 daje wartość mniejszą lub równą 8. Oznacza to, że szukamy liczba d, dla której prawdziwa jest nierówność: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. W myślach wyobraź sobie kwadrat, którego powierzchnię musisz obliczyć. Szukasz L, czyli długości boku kwadratu, którego pole wynosi S. A, B, C to liczby w liczbie L. Można to zapisać inaczej: 10A + B = L (dla numer dwucyfrowy) lub 100A + 10V + C = L (dla liczba trzycyfrowa) i tak dalej.

         • Pozwalać (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamiętaj, że 10A+B to liczba, w której cyfra B oznacza jednostki, a cyfra A oznacza dziesiątki. Na przykład, jeśli A=1 i B=2, wówczas 10A+B równa się liczbie 12. (10A+B)² to pole całego kwadratu, 100A²- powierzchnia dużego placu wewnętrznego, B²- powierzchnia małego wewnętrznego placu, 10A×B- powierzchnia każdego z dwóch prostokątów. Dodając pola opisanych figur, znajdziesz pole pierwotnego kwadratu.

Dość często przy rozwiązywaniu problemów mamy do czynienia z dużymi liczbami, z których musimy wyodrębnić Pierwiastek kwadratowy. Wielu uczniów uznaje, że jest to błąd i zaczyna od nowa rozwiązywać cały przykład. W żadnym wypadku nie powinieneś tego robić! Są ku temu dwa powody:

1. Pierwiastki dużych liczb rzeczywiście pojawiają się w problemach. Zwłaszcza w tekstach;
2. Istnieje algorytm, dzięki któremu te pierwiastki są obliczane niemal ustnie.

Rozważymy ten algorytm dzisiaj. Być może niektóre rzeczy będą wydawać Ci się niezrozumiałe. Ale jeśli zwrócisz uwagę na tę lekcję, otrzymasz potężną broń przeciwko pierwiastki kwadratowe.

Zatem algorytm:

1. Ogranicz wymagany pierwiastek powyżej i poniżej do liczb będących wielokrotnościami 10. W ten sposób zmniejszymy zakres wyszukiwania do 10 liczb;
2. Z tych 10 liczb odrzuć te, które zdecydowanie nie mogą być pierwiastkami. W rezultacie pozostaną 1-2 liczby;
3. Podnieś do kwadratu te liczby 1-2. Pierwiastkiem będzie ten, którego kwadrat jest równy pierwotnej liczbie.

Zanim zastosujemy ten algorytm w praktyce, przyjrzyjmy się każdemu krokowi z osobna.

Ograniczenie korzeni

Przede wszystkim musimy dowiedzieć się, pomiędzy którymi liczbami znajduje się nasz pierwiastek. Jest wysoce pożądane, aby liczby były wielokrotnościami dziesięciu:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Otrzymujemy ciąg liczb:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Co nam mówią te liczby? To proste: wyznaczamy granice. Weźmy na przykład liczbę 1296. Leży ona pomiędzy 900 a 1600. Zatem jej pierwiastek nie może być mniejszy niż 30 i większy niż 40:

[Podpis do zdjęcia]

To samo dotyczy każdej innej liczby, z której można znaleźć pierwiastek kwadratowy. Na przykład 3364:

[Podpis do zdjęcia]

Tym samym zamiast niezrozumiałej liczby otrzymujemy bardzo konkretny zakres, w którym leży pierwiastek pierwotny. Aby jeszcze bardziej zawęzić obszar poszukiwań, przejdź do kroku drugiego.

Eliminowanie oczywiście niepotrzebnych liczb

Mamy więc 10 liczb - kandydatów na pierwiastek. Dostaliśmy je bardzo szybko, bez skomplikowanego myślenia i mnożenia w kolumnie. Czas iść dalej.

Wierzcie lub nie, ale teraz zmniejszymy liczbę kandydatów do dwóch – i znowu bez żadnego złożone obliczenia! Wystarczy znać specjalną zasadę. Oto ona:

Ostatnia cyfra kwadratu zależy tylko od ostatniej cyfry oryginalny numer.

Innymi słowy, wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę kwadratu i od razu zrozumiemy, gdzie kończy się pierwotna liczba.

Na ostatnim miejscu może znajdować się tylko 10 cyfr. Spróbujmy dowiedzieć się, w co zamieniają się po podniesieniu do kwadratu. Spójrz na tabelę:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ta tabela to kolejny krok w kierunku obliczenia pierwiastka. Jak widać liczby w drugiej linii okazały się symetryczne względem piątki. Na przykład:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Jak widać, ostatnia cyfra jest taka sama w obu przypadkach. Oznacza to, że np. pierwiastek 3364 musi kończyć się na 2 lub 8. Z drugiej strony pamiętamy o ograniczeniu z poprzedniego akapitu. Otrzymujemy:

[Podpis do zdjęcia]

Czerwone kwadraty wskazują, że nie znamy jeszcze tej liczby. Ale pierwiastek leży w przedziale od 50 do 60, w którym znajdują się tylko dwie liczby kończące się na 2 i 8:

[Podpis do zdjęcia]

To wszystko! Ze wszystkich możliwych korzeni pozostawiliśmy tylko dwie opcje! I to w najtrudniejszym przypadku, bo ostatnią cyfrą może być 5 lub 0. I wtedy będzie tylko jeden kandydat na pierwiastki!

Ostateczne obliczenia

Mamy zatem 2 numery kandydatów. Skąd wiesz, który z nich jest korzeniem? Odpowiedź jest oczywista: podnieś obie liczby do kwadratu. Pierwiastkiem będzie ta, która zostanie podniesiona do kwadratu i da pierwotną liczbę.

Na przykład dla liczby 3364 znaleźliśmy dwie liczby kandydujące: 52 i 58. Podnieśmy je do kwadratu:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.

To wszystko! Okazało się, że pierwiastek wynosi 58! Jednocześnie dla uproszczenia obliczeń skorzystałem ze wzoru na kwadraty sumy i różnicy. Dzięki temu nie musiałem nawet mnożyć liczb w kolumnie! To kolejny poziom optymalizacji obliczeń, ale oczywiście jest on całkowicie opcjonalny :)

Przykłady obliczania pierwiastków

Teoria oczywiście jest dobra. Ale sprawdźmy to w praktyce.

[Podpis zdjęcia]

Najpierw dowiedzmy się, pomiędzy którymi liczbami leży liczba 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Spójrzmy teraz na ostatnią liczbę. Jest równa 6. Kiedy to się dzieje? Tylko jeśli pierwiastek kończy się na 4 lub 6. Otrzymujemy dwie liczby:

Pozostaje tylko podnieść każdą liczbę do kwadratu i porównać ją z oryginałem:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Świetnie! Pierwszy kwadrat okazał się równy pierwotnej liczbie. Więc to jest korzeń.

Zadanie. Oblicz pierwiastek kwadratowy:

[Podpis do zdjęcia]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Spójrzmy na ostatnią cyfrę:

1369 → 9;
33; 37.

Kwadrat:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.

Oto odpowiedź: 37.

Zadanie. Oblicz pierwiastek kwadratowy:

[Podpis do zdjęcia]

Ograniczamy liczbę:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Spójrzmy na ostatnią cyfrę:

2704 → 4;
52; 58.

Kwadrat:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Otrzymaliśmy odpowiedź: 52. Drugiej liczby nie trzeba już podnosić do kwadratu.

Zadanie. Oblicz pierwiastek kwadratowy:

[Podpis do zdjęcia]

Ograniczamy liczbę:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Spójrzmy na ostatnią cyfrę:

4225 → 5;
65.

Jak widać, po drugim kroku pozostała tylko jedna opcja: 65. To jest pożądany korzeń. Ale spójrzmy jeszcze raz i sprawdźmy:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Wszystko jest poprawne. Zapisujemy odpowiedź.

Wniosek

Niestety, nie lepiej. Spójrzmy na przyczyny. Są dwa z nich:

• Na każdym normalnym egzaminie z matematyki, niezależnie od tego, czy jest to egzamin państwowy, czy ujednolicony egzamin państwowy, używanie kalkulatorów jest zabronione. A jeśli przyniesiesz na zajęcia kalkulator, możesz łatwo zostać wyrzucony z egzaminu.
• Nie bądź jak głupi Amerykanie. Które nie są jak pierwiastki - nie mogą dodać dwóch liczb pierwszych. A kiedy widzą ułamki, zazwyczaj wpadają w histerię.