Aby zrozumieć, co jest fundamentalny system decyzyjny możesz obejrzeć samouczek wideo dla tego samego przykładu, klikając . Przejdźmy teraz do opisu wszystkich niezbędnych prac. Pomoże ci to bardziej szczegółowo zrozumieć istotę tego problemu.
Jak znaleźć podstawowy układ rozwiązań równania liniowego?
Weźmy ten system jako przykład. równania liniowe:
Znajdźmy na to rozwiązanie układ liniowy równania. Na początek my zapisz macierz współczynników układu.
Przekształćmy tę macierz na trójkątną. Przepisujemy pierwszą linię bez zmian. A wszystkie elementy poniżej $a_(11)$ muszą być ustawione na zero. Aby zrobić zero w miejscu elementu $a_(21)$, należy odjąć pierwszy wiersz od drugiego wiersza i wpisać różnicę w drugim wierszu. Aby w miejscu elementu $a_(31)$ zrobić zero, należy od trzeciego wiersza odjąć pierwszy i wpisać różnicę w trzecim wierszu. Aby w miejsce elementu $a_(41)$ zrobić zero, należy od czwartego wiersza odjąć pierwszy pomnożony przez 2 i wpisać różnicę w czwartym wierszu. Aby wstawić zero w miejscu elementu $a_(31)$, od piątego wiersza odejmij pierwszy pomnożony przez 2 i wpisz różnicę w piątym wierszu. 
Przepisujemy pierwszą i drugą linię bez zmian. A wszystkie elementy poniżej $a_(22)$ muszą być ustawione na zero. Aby w miejscu elementu $a_(32)$ zrobić zero, należy od trzeciego wiersza odjąć drugą pomnożoną przez 2 i wpisać różnicę w trzecim wierszu. Aby w miejscu elementu $a_(42)$ zrobić zero, należy od czwartego wiersza odjąć drugą pomnożoną przez 2 i wpisać różnicę w czwartym wierszu. Aby wstawić zero w miejsce elementu $a_(52)$, od piątego wiersza odejmij sekundę pomnożoną przez 3 i wpisz różnicę w piątym wierszu. 
Widzimy to ostatnie trzy linie są takie same, więc jeśli odejmiemy trzecią od czwartej i piątej, to staną się zerem. 
Do tej matrycy napisz nowy układ równań.
Widzimy, że mamy tylko trzy liniowo niezależne równania i pięć niewiadomych, więc podstawowy układ rozwiązań będzie się składał z dwóch wektorów. Więc my przesuń dwie ostatnie niewiadome w prawo.
Teraz zaczynamy wyrażać te niewiadome, które są po lewej stronie, przez te, które są po prawej stronie. Zaczynamy od ostatniego równania, najpierw wyrażamy $x_3$, następnie podstawiamy otrzymany wynik do drugiego równania i wyrażamy $x_2$, a następnie do pierwszego równania i tutaj wyrażamy $x_1$. W ten sposób wyraziliśmy wszystkie niewiadome znajdujące się po lewej stronie przez niewiadome znajdujące się po prawej stronie. 
Następnie zamiast $x_4$ i $x_5$ możesz podstawić dowolne liczby i znaleźć $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Każda taka liczba będzie pierwiastkiem naszego pierwotnego układu równań. Aby znaleźć wektory, które są zawarte w FSR musimy zastąpić 1 zamiast $x_4$ i zastąpić 0 zamiast $x_5$, znaleźć $x_1$, $x_2$ i $x_3$, a następnie odwrotnie $x_4=0$ i $x_5=1$.
System jednorodny jest zawsze spójny i ma rozwiązanie trywialne 
. Aby istniało nietrywialne rozwiązanie, konieczny jest rząd macierzy 
był mniej niż liczba nieznany:
.
Podstawowy system decyzyjny
układ jednorodny 
nazwać system rozwiązań w postaci wektorów kolumnowych 
, które odpowiadają podstawie kanonicznej, tj. podstawa, w której dowolne stałe 
są na przemian ustawiane jako równe jeden, podczas gdy pozostałe są ustawiane na zero.
Wtedy rozwiązanie ogólne układu jednorodnego ma postać:
Gdzie 
są dowolnymi stałymi. Innymi słowy, rozwiązanie ogólne jest liniową kombinacją podstawowego systemu rozwiązań.
Zatem podstawowe rozwiązania można uzyskać z rozwiązania ogólnego, jeśli wolnym niewiadomym naprzemiennie przypisuje się wartość jedności, zakładając, że wszystkie inne są równe zeru.
Przykład. Znajdźmy rozwiązanie systemowe
Akceptujemy, wówczas otrzymujemy rozwiązanie w postaci:
Skonstruujmy teraz podstawowy system rozwiązań:
.
Ogólne rozwiązanie można zapisać jako:
Rozwiązania układu jednorodnych równań liniowych mają następujące właściwości:
Innymi słowy, każda liniowa kombinacja rozwiązań jednorodnego systemu jest ponownie rozwiązaniem.
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa
Rozwiązywanie układów równań liniowych interesuje matematyków od kilku stuleci. Pierwsze wyniki uzyskano w XVIII wieku. W 1750 r. G. Kramer (1704–1752) opublikował swoje prace dotyczące wyznaczników macierzy kwadratowych i zaproponował algorytm znajdowania macierzy odwrotnej. W 1809 roku Gauss nakreślił nową metodę rozwiązania znaną jako metoda eliminacji.
Metoda Gaussa, czyli metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych, polega na tym, że za pomocą przekształceń elementarnych układ równań sprowadza się do równoważnego układu o postaci schodkowej (lub trójkątnej). Takie systemy pozwalają konsekwentnie znajdować wszystkie niewiadome w określonej kolejności.
Załóżmy, że w układzie (1) 
(co zawsze jest możliwe).
(1)
Mnożąc kolejno pierwsze równanie przez tzw odpowiednie liczby
i dodając wynik mnożenia z odpowiednimi równaniami układu, otrzymujemy układ równoważny, w którym wszystkie równania, z wyjątkiem pierwszego, nie będą miały niewiadomych X 1
(2)
Zakładając, że mnożymy teraz drugie równanie układu (2) przez odpowiednie liczby 
,
i dodając go do niższych, eliminujemy zmienną 
wszystkich równań, zaczynając od trzeciego.
Kontynuując ten proces, po 
kroki, które otrzymujemy:
(3)
Jeśli co najmniej jeden z numerów 
nie jest równe zeru, to odpowiednia równość jest niespójna, a system (1) jest niespójny. I odwrotnie, dla dowolnego wspólnego systemu liczbowego 
są równe zeru. Numer 
jest niczym innym jak rangą macierzy systemu (1).
Nazywa się przejście z układu (1) do (3). w prostej lini Metoda Gaussa i znajdowanie niewiadomych z (3) - wstecz .
Komentarz : Wygodniej jest wykonywać przekształcenia nie samymi równaniami, ale rozszerzoną macierzą układu (1).
Przykład. Znajdźmy rozwiązanie systemowe
.
Napiszmy rozszerzoną macierz układu:
.
Dodajmy do wierszy 2,3,4 pierwszy, pomnożony odpowiednio przez (-2), (-3), (-2):
.
Zamieńmy wiersze 2 i 3, a następnie w wynikowej macierzy dodajmy wiersz 2 do wiersza 4, pomnożone przez 
:
.
Dodaj do wiersza 4 wiersz 3 pomnożony przez 
:
.
To oczywiste 
, więc system jest kompatybilny. Z otrzymanego układu równań
rozwiązanie znajdujemy przez podstawienie odwrotne:
,
,
,
.
Przykład 2 Znajdź rozwiązanie systemowe:
.
Oczywiste jest, że system jest niespójny, ponieważ 
, A 
.
Zalety metody Gaussa :
Mniej czasochłonna niż metoda Cramera.
Jednoznacznie ustala kompatybilność systemu i pozwala znaleźć rozwiązanie.
Daje możliwość określenia rangi dowolnych macierzy.
Jednorodny układ równań liniowych nad polem
DEFINICJA. Podstawowym układem rozwiązań układu równań (1) jest niepusty układ liniowy niezależny układ jego rozwiązań, których rozpiętość liniowa pokrywa się ze zbiorem wszystkich rozwiązań układu (1).
Należy zauważyć, że jednorodny układ równań liniowych, który ma tylko rozwiązanie zerowe, nie ma podstawowego układu rozwiązań.
PROPOZYCJA 3.11. Dowolne dwa podstawowe układy rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych składają się z tej samej liczby rozwiązań.
Dowód. Rzeczywiście, dowolne dwa podstawowe układy rozwiązań jednorodnego układu równań (1) są równoważne i liniowo niezależne. Dlatego, zgodnie z Twierdzeniem 1.12, ich rangi są równe. Dlatego liczba rozwiązań zawartych w jednym podstawowym systemie jest równa liczbie rozwiązań zawartych w dowolnym innym podstawowym systemie rozwiązań.
Jeżeli główna macierz A jednorodnego układu równań (1) wynosi zero, to dowolny wektor z jest rozwiązaniem układu (1); w tym przypadku każdy zbiór jest liniowy niezależne wektory jest podstawowym systemem rozwiązań. Jeżeli rząd kolumn macierzy A wynosi , to układ (1) ma tylko jedno rozwiązanie - zero; zatem w tym przypadku układ równań (1) nie ma podstawowego układu rozwiązań.
TWIERDZENIE 3.12. Jeżeli rząd macierzy głównej jednorodnego układu równań liniowych (1) jest mniejszy od liczby zmiennych , to układ (1) ma podstawowy układ rozwiązań składający się z rozwiązań.
Dowód. Jeżeli rząd macierzy głównej A układu jednorodnego (1) jest równy zeru lub , to powyżej pokazano, że twierdzenie jest prawdziwe. Dlatego poniżej zakłada się, że Zakładając , założymy, że pierwsze kolumny macierzy A są liniowo niezależne. W tym przypadku macierz A jest rzędowo równoważna zredukowanej macierzy schodkowej, a układ (1) jest równoważny następującemu zredukowanemu schodkowemu układowi równań:
Łatwo sprawdzić, że dowolny system wartości jest wolny zmienne systemowe(2) odpowiada jednemu i tylko jednemu rozwiązaniu układu (2), a więc i układu (1). W szczególności tylko rozwiązanie zerowe układu (2) i układu (1) odpowiada układowi wartości zerowych.
W układzie (2) jednej ze zmiennych wolnych przypiszemy wartość równą 1, a pozostałym zmiennym wartości zerowe. W rezultacie otrzymujemy rozwiązania układu równań (2), które zapisujemy jako wiersze macierzy C:
Układ wierszy tej macierzy jest liniowo niezależny. Rzeczywiście, dla dowolnych skalarów z równości
następuje równość
a co za tym idzie równość
Udowodnijmy, że rozpiętość liniowa układu wierszy macierzy C pokrywa się ze zbiorem wszystkich rozwiązań układu (1).
Dowolne rozwiązanie układu (1). Następnie wektor
jest również rozwiązaniem układu (1) i
Nawet w szkole każdy z nas uczył się równań, a już na pewno układów równań. Ale niewiele osób wie, że istnieje kilka sposobów ich rozwiązania. Dzisiaj szczegółowo przeanalizujemy wszystkie metody rozwiązywania układu liniowego równania algebraiczne, które składają się z więcej niż dwóch równości.
Fabuła
Dziś wiadomo, że sztuka rozwiązywania równań i ich układów wywodzi się ze starożytnego Babilonu i Egiptu. Jednak równości w swojej zwykłej postaci pojawiły się po pojawieniu się znaku równości „=”, który został wprowadzony w 1556 roku przez angielskiego matematyka Record. Nawiasem mówiąc, ten znak został wybrany z jakiegoś powodu: oznacza dwa równoległe równe segmenty. A prawda jest taka najlepszy przykład równości nie można sobie wyobrazić.
Założycielem współczesnych oznaczeń literowych niewiadomych i znaków stopni jest francuski matematyk, jednak jego oznaczenia znacznie różniły się od dzisiejszych. Na przykład kwadrat nieznanej liczby oznaczył literą Q (łac. „quadratus”), a sześcian literą C (łac. „cubus”). Te notacje wydają się teraz niewygodne, ale wtedy był to najbardziej zrozumiały sposób zapisywania układów liniowych równań algebraicznych.
Jednak wadą ówczesnych metod rozwiązywania było to, że matematycy brali pod uwagę tylko pierwiastki dodatnie. Być może wynika to z faktu, że wartości ujemne nie miał żadnego praktyczne zastosowanie. Tak czy inaczej, to włoscy matematycy Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano i Rafael Bombelli jako pierwsi w XVI wieku rozważyli pierwiastki ujemne. A nowoczesny wygląd, główna metoda rozwiązania (poprzez dyskryminację) powstała dopiero w XVII wieku dzięki pracy Kartezjusza i Newtona.
W połowie XVIII wieku szwajcarski matematyk Gabriel Cramer odkrył nowy sposób w celu ułatwienia rozwiązywania układów równań liniowych. Metoda ta została następnie nazwana jego imieniem i stosujemy ją do dziś. Ale o metodzie Cramera porozmawiamy nieco później, ale na razie omówimy równania liniowe i metody ich rozwiązywania niezależnie od systemu.
Równania liniowe
Równania liniowe to najprostsze równania ze zmiennymi. Są one klasyfikowane jako algebraiczne. zapisz w ogólna perspektywa więc: za 1 * x 1 + za 2 * x 2 + ... za n * x n \u003d b. Będziemy potrzebować ich reprezentacji w tej formie podczas dalszego kompilowania systemów i macierzy.
Układy liniowych równań algebraicznych
Definicja tego terminu jest następująca: jest to układ równań, które mają wspólne niewiadome i wspólne rozwiązanie. Z reguły w szkole wszystko rozwiązywano za pomocą układów z dwoma, a nawet trzema równaniami. Ale istnieją systemy z czterema lub więcej komponentami. Najpierw zastanówmy się, jak je zapisać, aby wygodnie było je później rozwiązać. Po pierwsze, układy liniowych równań algebraicznych będą wyglądać lepiej, jeśli wszystkie zmienne zostaną zapisane jako x z odpowiednim indeksem: 1,2,3 i tak dalej. Po drugie, wszystkie równania należy sprowadzić do postaci kanonicznej: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n = b.
Po tych wszystkich czynnościach możemy zacząć mówić o tym, jak znaleźć rozwiązanie układów równań liniowych. Matryce są do tego bardzo przydatne.
macierze
Macierz to tabela, która składa się z wierszy i kolumn, a na ich przecięciu znajdują się jej elementy. Mogą to być określone wartości lub zmienne. Najczęściej w celu oznaczenia elementów umieszcza się pod nimi indeksy dolne (na przykład 11 lub 23). Pierwszy indeks oznacza numer wiersza, a drugi numer kolumny. Na macierzach, jak również na każdym innym elemencie matematycznym, można wykonywać różne operacje. W ten sposób możesz:
2) Pomnóż macierz przez pewną liczbę lub wektor.
3) Transpozycja: zamień wiersze macierzy w kolumny, a kolumny w wiersze.
4) Pomnóż macierze, jeśli liczba wierszy jednej z nich jest równa liczbie kolumn drugiej.
Omówimy wszystkie te techniki bardziej szczegółowo, ponieważ będą one dla nas przydatne w przyszłości. Odejmowanie i dodawanie macierzy jest bardzo proste. Ponieważ bierzemy macierze o tym samym rozmiarze, każdy element jednej tabeli odpowiada każdemu elementowi innej. Zatem dodajemy (odejmujemy) te dwa elementy (ważne, aby były w tych samych miejscach w swoich macierzach). Mnożąc macierz przez liczbę lub wektor, wystarczy pomnożyć każdy element macierzy przez tę liczbę (lub wektor). Transpozycja to bardzo ciekawy proces. Czasem bardzo ciekawie jest zobaczyć go w środku prawdziwe życie, na przykład po zmianie orientacji tabletu lub telefonu. Ikony na pulpicie to matryca, a po zmianie pozycji transponuje się i staje się szersza, ale maleje wysokość.
Przeanalizujmy taki proces, jak Chociaż nie będzie to dla nas przydatne, nadal warto go znać. Możesz pomnożyć dwie macierze tylko wtedy, gdy liczba kolumn w jednej tabeli jest równa liczbie wierszy w drugiej. Teraz weźmy elementy wiersza jednej macierzy i elementy odpowiedniej kolumny innej. Mnożymy je przez siebie, a następnie dodajemy (czyli np. iloczyn elementów a 11 i a 12 przez b 12 i b 22 będzie równy: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . W ten sposób uzyskuje się jeden element tabeli, który jest następnie wypełniany podobną metodą.
Teraz możemy zacząć zastanawiać się, jak rozwiązać układ równań liniowych.
Metoda Gaussa
Ten temat zaczyna się w szkole. Znamy dobrze pojęcie "układu dwóch równań liniowych" i wiemy jak je rozwiązać. Ale co, jeśli liczba równań jest większa niż dwa? To nam pomoże
Oczywiście ta metoda jest wygodna w użyciu, jeśli tworzysz macierz z systemu. Ale nie możesz go przekształcić i rozwiązać w czystej postaci.
Jak więc rozwiązuje się układ liniowych równań Gaussa tą metodą? Nawiasem mówiąc, chociaż ta metoda nosi jego imię, została odkryta w czasach starożytnych. Gauss proponuje, co następuje: przeprowadzić operacje na równaniach, aby ostatecznie sprowadzić cały zbiór do postaci schodkowej. Oznacza to, że konieczne jest, aby od góry do dołu (jeśli jest umieszczony poprawnie) od pierwszego równania do ostatniego, zmniejsza się jedna niewiadoma. Innymi słowy, musimy upewnić się, że otrzymamy, powiedzmy, trzy równania: w pierwszym - trzy niewiadome, w drugim - dwa, w trzecim - jeden. Następnie z ostatniego równania znajdujemy pierwszą niewiadomą, podstawiamy jej wartość do drugiego lub pierwszego równania, a następnie znajdujemy pozostałe dwie zmienne.
Metoda Cramera
Aby opanować tę metodę, niezbędne jest opanowanie umiejętności dodawania, odejmowania macierzy, a także umiejętność znajdowania wyznaczników. Dlatego jeśli robisz to wszystko źle lub w ogóle nie wiesz jak, będziesz musiał się uczyć i ćwiczyć.
Na czym polega istota tej metody i jak to zrobić, aby otrzymać układ liniowych równań Cramera? Wszystko jest bardzo proste. Musimy zbudować macierz z numerycznych (prawie zawsze) współczynników układu liniowych równań algebraicznych. Aby to zrobić, po prostu bierzemy liczby przed niewiadomymi i umieszczamy je w tabeli w kolejności, w jakiej zostały zapisane w systemie. Jeśli liczba jest poprzedzona znakiem „-”, wówczas zapisujemy współczynnik ujemny. Skompilowaliśmy więc pierwszą macierz współczynników niewiadomych, nie uwzględniając liczb po znakach równości (oczywiście równanie należy sprowadzić do postaci kanonicznej, gdy tylko liczba jest po prawej stronie, a wszystkie niewiadome z współczynniki znajdują się po lewej stronie). Następnie musisz utworzyć jeszcze kilka macierzy - po jednej dla każdej zmiennej. W tym celu w pierwszej macierzy z kolei każdą kolumnę ze współczynnikami zamieniamy na kolumnę liczb po znaku równości. W ten sposób otrzymujemy kilka macierzy, a następnie znajdujemy ich wyznaczniki.
Po znalezieniu wyznaczników sprawa jest błaha. Mamy macierz początkową i kilka macierzy wynikowych, które odpowiadają różnym zmiennym. Aby uzyskać rozwiązania systemu, dzielimy wyznacznik tabeli wynikowej przez wyznacznik tabeli początkowej. Wynikowa liczba jest wartością jednej ze zmiennych. Podobnie znajdujemy wszystkie niewiadome.
Inne metody
Istnieje kilka innych metod uzyskiwania rozwiązań układów równań liniowych. Na przykład tak zwana metoda Gaussa-Jordana, która służy do znajdowania rozwiązań układu równania kwadratowe i jest również związany z wykorzystaniem macierzy. Istnieje również metoda Jacobiego do rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych. Jest najłatwiejszy do przystosowania do komputera i jest używany w technice komputerowej.
Trudne przypadki
Złożoność zwykle pojawia się, gdy liczba równań jest mniejsza niż liczba zmiennych. Wtedy możemy z całą pewnością stwierdzić, że albo system jest niespójny (czyli nie ma pierwiastków), albo liczba jego rozwiązań dąży do nieskończoności. Jeśli mamy drugi przypadek, to musimy zapisać ogólne rozwiązanie układu równań liniowych. Będzie zawierał co najmniej jedną zmienną.
Wniosek
Tutaj dochodzimy do końca. Podsumujmy: przeanalizowaliśmy, czym jest układ i macierz, nauczyliśmy się znajdować ogólne rozwiązanie układu równań liniowych. Ponadto rozważano inne opcje. Dowiedzieliśmy się, jak rozwiązuje się układ równań liniowych: metoda Gaussa i rozmawialiśmy trudne przypadki i inne sposoby znajdowania rozwiązań.
W rzeczywistości ten temat jest znacznie bardziej obszerny i jeśli chcesz go lepiej zrozumieć, to radzimy zapoznać się z bardziej specjalistyczną literaturą.
Będziemy nadal szlifować technikę przemiany elementarne NA jednorodny układ równań liniowych.
Według pierwszych akapitów materiał może wydawać się nudny i zwyczajny, ale to wrażenie jest złudne. Oprócz dalszego rozwoju techniki będzie dużo nowych informacji, więc postaraj się nie zaniedbywać przykładów w tym artykule.
Co to jest jednorodny układ równań liniowych?
Odpowiedź nasuwa się sama. Układ równań liniowych jest jednorodny, jeśli wyraz wolny wszyscy równanie układu wynosi zero. Na przykład:
To całkiem jasne jednorodny system jest zawsze spójny, to znaczy zawsze ma rozwiązanie. A przede wszystkim tzw trywialny rozwiązanie 
. Trywialny, dla tych, którzy w ogóle nie rozumieją znaczenia przymiotnika, oznacza bespontovoe. Oczywiście nie akademicko, ale zrozumiale =) ... Po co owijać w bawełnę, dowiedzmy się, czy ten system ma jakieś inne rozwiązania:
Przykład 1
Rozwiązanie: do rozwiązania układu jednorodnego konieczne jest pisanie matryca systemowa i za pomocą elementarnych przekształceń doprowadzić go do formy schodkowej. Zauważ, że nie ma potrzeby zapisywania tutaj pionowej kreski i kolumny zerowej wolnych członków - w końcu cokolwiek zrobisz z zerami, pozostaną one zerami: 
(1) Pierwszy wiersz został dodany do drugiego wiersza pomnożony przez -2. Pierwszy wiersz został dodany do trzeciego wiersza, pomnożony przez -3.
(2) Drugi wiersz został dodany do trzeciego wiersza pomnożony przez -1.
Dzielenie trzeciego rzędu przez 3 nie ma większego sensu.
W wyniku elementarnych przekształceń otrzymuje się równoważny układ jednorodny 
i zastosowanie skok wsteczny Metodą Gaussa łatwo sprawdzić, czy rozwiązanie jest jednoznaczne.
Odpowiedź: 
Sformułujmy oczywiste kryterium: ma jednorodny układ równań liniowych jedyne trywialne rozwiązanie, Jeśli ranga macierzy systemowej(V ta sprawa 3) jest równa liczbie zmiennych (w tym przypadku 3 szt.).
Rozgrzewamy i dostrajamy nasze radio na falę elementarnych przemian:
Przykład 2
Rozwiąż jednorodny układ równań liniowych 
Aby ostatecznie naprawić algorytm, przeanalizujmy ostatnie zadanie:
Przykład 7
Rozwiąż układ jednorodny, zapisz odpowiedź w postaci wektorowej. 
Rozwiązanie: piszemy macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń doprowadzamy ją do postaci schodkowej: 
(1) Zmieniono znak pierwszego wiersza. Jeszcze raz zwracam uwagę na wielokrotnie spotykaną technikę, która pozwala znacznie uprościć poniższą czynność.
(1) Pierwszy wiersz został dodany do drugiego i trzeciego wiersza. Pierwsza linia pomnożona przez 2 została dodana do czwartej linii.
(3) Ostatnie trzy linie są proporcjonalne, dwie z nich zostały usunięte.
W rezultacie otrzymuje się standardową macierz schodkową, a rozwiązanie jest kontynuowane wzdłuż radełkowanej ścieżki:
– podstawowe zmienne;
są wolnymi zmiennymi.
Podstawowe zmienne wyrażamy za pomocą zmiennych wolnych. Z drugiego równania:
- podstawiamy w 1 równaniu:
Więc ogólne rozwiązanie to:
Ponieważ w rozważanym przykładzie są trzy zmienne wolne, system podstawowy zawiera trzy wektory.
Zastąpmy potrójną wartością 
do rozwiązania ogólnego i otrzymać wektor, którego współrzędne spełniają każde równanie układu jednorodnego. I znowu powtarzam, że bardzo pożądane jest sprawdzenie każdego otrzymanego wektora - nie zajmie to tyle czasu, ale pozwoli zaoszczędzić sto procent błędów.
Za potrójną wartość 
znajdź wektor
I wreszcie dla trójki 
otrzymujemy trzeci wektor:
Odpowiedź: , Gdzie
Ci, którzy chcą uniknąć wartości ułamkowych, mogą rozważyć trójki 
i uzyskaj odpowiedź w równoważnej formie:
Mówiąc o ułamkach. Spójrzmy na macierz otrzymaną w zadaniu 
i zadać pytanie - czy można uprościć dalsze rozwiązanie? Przecież tutaj najpierw wyraziliśmy zmienną podstawową w ułamkach, potem zmienną podstawową w ułamkach i muszę powiedzieć, że ten proces nie był najłatwiejszy i nie najprzyjemniejszy.
Drugie rozwiązanie:
Pomysł polega na tym, aby spróbować wybierz inne podstawowe zmienne. Spójrzmy na macierz i zwróćmy uwagę na dwie jedynki w trzeciej kolumnie. Dlaczego więc nie uzyskać zera na górze? Zróbmy jeszcze jedną elementarną transformację:
