Kažkas žodį „progresavimas“ traktuoja atsargiai, kaip labai sudėtingą terminą iš skyrių aukštoji matematika. Tuo tarpu paprasčiausia aritmetinė progresija yra taksi skaitiklio darbas (kur jie vis dar lieka). O suprasti aritmetinės sekos esmę (o matematikoje nėra nieko svarbiau už „suprasti esmę“) nėra taip sunku, išanalizavus keletą elementarių sąvokų.
Matematinė skaičių seka
Įprasta skaičių seka vadinti skaičių seka, kurių kiekviena turi savo numerį.
ir 1 yra pirmasis sekos narys;
ir 2 yra antrasis sekos narys;
ir 7 yra septintasis sekos narys;
ir n yra n-tasis sekos narys;
Tačiau mūsų nedomina joks savavališkas skaičių ir skaičių rinkinys. Sutelksime dėmesį į skaitinę seką, kurioje n-ojo nario reikšmė yra susieta su eilės skaičiumi priklausomybe, kurią galima aiškiai suformuluoti matematiškai. Kitaip tariant: n-ojo skaičiaus skaitinė reikšmė yra tam tikra n funkcija.
a - skaitinės sekos nario reikšmė;
n yra jo serijos numeris;
f(n) yra funkcija, kurios eilės eilė skaičių sekoje n yra argumentas.
Apibrėžimas
Aritmetine progresija paprastai vadinama skaitinė seka, kurioje kiekvienas paskesnis narys yra didesnis (mažesnis) nei ankstesnis tuo pačiu skaičiumi. Aritmetinės sekos n-ojo nario formulė yra tokia:
a n – esamo aritmetinės progresijos nario reikšmė;
a n+1 – kito skaičiaus formulė;
d – skirtumas (tam tikras skaičius).
Nesunku nustatyti, kad jei skirtumas yra teigiamas (d>0), tai kiekvienas paskesnis nagrinėjamos eilutės narys bus didesnis nei ankstesnis, ir tokia aritmetinė progresija bus didėjanti.
Žemiau esančiame grafike nesunku suprasti, kodėl skaičių seka vadinama „didėjančia“.
Tais atvejais, kai skirtumas yra neigiamas (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Nurodyto nario vertė
Kartais reikia nustatyti kokio nors savavališko aritmetinės progresijos nario a n reikšmę. Tai galite padaryti paeiliui apskaičiuodami visų aritmetinės progresijos narių reikšmes, nuo pirmosios iki norimos. Tačiau toks būdas ne visada priimtinas, jei, pavyzdžiui, reikia rasti penkių tūkstantosios ar aštuonios milijoninės dalies vertę. Tradicinis skaičiavimas užtruks ilgai. Tačiau tam tikrą aritmetinę progresiją galima ištirti naudojant tam tikras formules. Taip pat yra n-ojo nario formulė: bet kurio aritmetinės progresijos nario vertė gali būti nustatyta kaip pirmojo progresijos nario suma su progresijos skirtumu, padauginta iš norimo nario skaičiaus, atėmus vieną. .
Formulė yra universali progresavimui didinti ir mažinti.
Duoto nario vertės apskaičiavimo pavyzdys
Išspręskime tokį aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmės radimo uždavinį.
Sąlyga: yra aritmetinė progresija su parametrais:
Pirmasis sekos narys yra 3;
Skaičių serijų skirtumas yra 1,2.
Užduotis: reikia rasti 214 terminų reikšmę
Sprendimas: norėdami nustatyti tam tikro nario vertę, naudojame formulę:
a(n) = a1 + d(n-1)
Pakeitę problemos teiginio duomenis į išraišką, gauname:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Atsakymas: 214-asis sekos narys yra lygus 258,6.
Šio skaičiavimo metodo pranašumai yra akivaizdūs – visas sprendimas trunka ne daugiau kaip 2 eilutes.
Nurodyto narių skaičiaus suma
Labai dažnai tam tikroje aritmetinėje serijoje reikia nustatyti kai kurių jos segmentų verčių sumą. Taip pat nereikia skaičiuoti kiekvieno termino verčių ir tada jų susumuoti. Šis metodas taikomas, jei terminų, kurių sumą reikia rasti, skaičius yra mažas. Kitais atvejais patogiau naudoti šią formulę.
Aritmetinės progresijos nuo 1 iki n narių suma yra lygi pirmojo ir n-ojo narių sumai, padaugintai iš nario skaičiaus n ir padalytai iš dviejų. Jei formulėje n-ojo nario reikšmė pakeičiama išraiška iš ankstesnės straipsnio pastraipos, gauname:
Skaičiavimo pavyzdys
Pavyzdžiui, išspręskime problemą su šiomis sąlygomis:
Pirmasis sekos narys yra nulis;
Skirtumas yra 0,5.
Užduotyje reikia nustatyti serijos terminų sumą nuo 56 iki 101.
Sprendimas. Progresijos sumai nustatyti naudokite formulę:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Pirma, mes nustatome 101 progresijos nario verčių sumą, pakeisdami pateiktas mūsų problemos sąlygas į formulę:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Akivaizdu, kad norint sužinoti progresijos nuo 56 iki 101 terminų sumą, iš S 101 reikia atimti S 55.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Taigi šio pavyzdžio aritmetinės progresijos suma yra tokia:
101 s – 55 \u003d 2 525 – 742,5 \u003d 1 782,5
Aritmetinės progresijos praktinio taikymo pavyzdys
Straipsnio pabaigoje grįžkime prie pirmoje pastraipoje pateiktos aritmetinės sekos pavyzdžio – taksometras (taksi automobilio matuoklis). Panagrinėkime tokį pavyzdį.
Įlipimas į taksi (į kurį įeina 3 km) kainuoja 50 rublių. Už kiekvieną kitą kilometrą mokama 22 rubliai / km. Kelionės atstumas 30 km. Apskaičiuokite kelionės kainą.
1. Išmeskime pirmus 3 km, kurių kaina įskaičiuota į nusileidimo kainą.
30 - 3 = 27 km.
2. Tolesnis skaičiavimas yra ne kas kita, kaip aritmetinių skaičių serijų analizavimas.
Nario numeris yra nuvažiuotų kilometrų skaičius (atėmus pirmuosius tris).
Nario vertė yra suma.
Pirmasis šios problemos terminas bus lygus 1 = 50 rublių.
Progresijos skirtumas d = 22 p.
mus dominantis skaičius - (27 + 1) aritmetinės progresijos nario reikšmė - skaitiklio rodmuo 27 kilometro pabaigoje - 27,999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Savavališkai ilgo laikotarpio kalendoriaus duomenų skaičiavimai yra pagrįsti formulėmis, apibūdinančiomis tam tikras skaitines sekas. Astronomijoje orbitos ilgis geometriškai priklauso nuo dangaus kūno atstumo iki šviestuvo. Be to, įvairios skaitinės eilutės sėkmingai naudojamos statistikoje ir kitose taikomosiose matematikos šakose.
Kita skaičių sekos rūšis yra geometrinė
Geometrinei progresijai būdingas didelis pokyčio greitis, palyginti su aritmetine. Neatsitiktinai politikoje, sociologijoje, medicinoje dažnai, norėdami parodyti didelį konkretaus reiškinio plitimo greitį, pavyzdžiui, ligos epidemijos metu, sakoma, kad procesas vystosi eksponentiškai.
N-asis geometrinių skaičių serijos narys skiriasi nuo ankstesnio, nes jis padauginamas iš pastovaus skaičiaus - vardiklis, pavyzdžiui, pirmasis narys yra 1, vardiklis yra atitinkamai 2, tada:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - dabartinio geometrinės progresijos nario reikšmė;
b n+1 - kito geometrinės progresijos nario formulė;
q yra geometrinės progresijos (pastovaus skaičiaus) vardiklis.
Jei aritmetinės progresijos grafikas yra tiesi linija, tada geometrinė piešia šiek tiek kitokį vaizdą:
Kaip ir aritmetikos atveju, geometrinė progresija turi savavališko nario vertės formulę. Bet kuris n-asis geometrinės progresijos narys yra lygus pirmojo nario sandaugai ir progresijos vardiklio iki laipsnio n, sumažinto vienetu, sandaugai:
Pavyzdys. Turime geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys lygus 3, o progresijos vardiklis lygus 1,5. Raskite 5 progresijos narį
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5–1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875
Tam tikro narių skaičiaus suma taip pat apskaičiuojama naudojant specialią formulę. Pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma yra lygi skirtumui tarp n-ojo progresijos nario ir jo vardiklio sandaugos ir pirmojo progresijos nario, padalijus iš vardiklio, sumažinto vienetu:
Jei b n pakeičiamas naudojant aukščiau aptartą formulę, nagrinėjamos skaičių serijos pirmųjų n narių sumos reikšmė bus tokia:
Pavyzdys. Geometrinė progresija prasideda nuo pirmojo nario, kuris lygus 1. Vardiklis nustatomas lygus 3. Raskime pirmųjų aštuonių narių sumą.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
IV Jakovlevas | Matematikos medžiagos | MathUs.ru
Aritmetinė progresija yra ypatinga sekos rūšis. Todėl prieš apibrėždami aritmetinę (o vėliau ir geometrinę) progresiją, turime trumpai aptarti svarbią skaičių sekos sąvoką.
Pasekmė
Įsivaizduokite įrenginį, kurio ekrane vienas po kito rodomi kai kurie skaičiai. Tarkime, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Toks skaičių rinkinys yra tik sekos pavyzdys.
Apibrėžimas. Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kuriame kiekvienam skaičiui galima priskirti unikalų skaičių (tai yra, suderinti su vienu natūraliu skaičiumi)1. Skaičius su skaičiumi n vadinamas n-tuoju sekos nariu.
Taigi aukščiau pateiktame pavyzdyje pirmasis skaičius turi skaičių 2, kuris yra pirmasis sekos narys, kuris gali būti žymimas a1 ; skaičius penki turi skaičių 6, kuris yra penktasis sekos narys, kuris gali būti žymimas a5 . Iš viso, n-asis terminas sekos žymimos an (arba bn , cn ir pan.).
Labai patogi situacija, kai n-tą sekos narį galima nurodyti kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė an = 2n 3 nurodo seką: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formulė an = (1)n apibrėžia seką: 1; 1; 1; 1; : : :
Ne kiekvienas skaičių rinkinys yra seka. Taigi segmentas nėra seka; jame yra ¾per daug¿ skaičių, kad juos būtų galima pernumeruoti. Visų realiųjų skaičių aibė R taip pat nėra seka. Šie faktai įrodomi atliekant matematinę analizę.
Aritmetinė progresija: pagrindiniai apibrėžimai
Dabar esame pasirengę apibrėžti aritmetinę progresiją.
Apibrėžimas. Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys (pradedant nuo antrojo) yra lygus ankstesnio nario ir tam tikro fiksuoto skaičiaus (vadinamo aritmetinės progresijos skirtumu) sumai.
Pavyzdžiui, seka 2; 5; 8; vienuolika; : : : yra aritmetinė progresija su 2 pirmuoju nariu ir skirtumu 3. 7 seka; 2; 3; 8; : : : yra aritmetinė progresija, kurios pirmasis narys yra 7 ir skirtumas 5. 3 seka; 3; 3; : : : yra aritmetinė progresija su nuliu skirtumu.
Lygiavertis apibrėžimas: seka an vadinama aritmetine progresija, jei skirtumas an+1 an yra pastovi reikšmė (nepriklausoma nuo n).
Sakoma, kad aritmetinė progresija didėja, jei jos skirtumas yra teigiamas, ir mažėja, jei skirtumas yra neigiamas.
1 Ir čia yra glaustesnis apibrėžimas: seka yra funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, realiųjų skaičių seka yra funkcija f: N! R.
Pagal numatytuosius nustatymus sekos laikomos begalinėmis, ty turinčios begalinį skaičių skaičių. Tačiau niekas nesivargina atsižvelgti ir į baigtines sekas; iš tikrųjų bet kurią baigtinę skaičių aibę galima pavadinti baigtine seka. Pavyzdžiui, galutinė seka 1; 2; 3; 4; 5 susideda iš penkių skaičių.
Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė
Nesunku suprasti, kad aritmetinę progresiją visiškai lemia du skaičiai: pirmasis narys ir skirtumas. Todėl kyla klausimas: kaip, žinant pirmąjį narį ir skirtumą, rasti savavališką aritmetinės progresijos narį?
Nesunku gauti norimą aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę. Tegul an
aritmetinė progresija su skirtumu d. Mes turime: |
|
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): |
|
Visų pirma, mes rašome: |
|
a2 = a1 + d; |
|
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; |
|
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; |
|
ir dabar tampa aišku, kad formulė yra: |
|
an = a1 + (n 1)d: |
1 užduotis. 2 aritmetine progresija; 5; 8; vienuolika; : : : raskite n-ojo nario formulę ir apskaičiuokite šimtąjį narį.
Sprendimas. Pagal (1) formulę turime:
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Savybė ir aritmetinės progresijos ženklas
aritmetinės progresijos savybė. Aritmetinėje progresijoje an už bet kurią
Kitaip tariant, kiekvienas aritmetinės progresijos narys (pradedant nuo antrosios) yra gretimų narių aritmetinis vidurkis.
Įrodymas. Mes turime: |
||||
a n 1 + a n+1 |
(an d) + (an + d) |
|||
ko ir reikėjo.
Apskritai aritmetinė progresija an tenkina lygybę
a n = a n k + a n+k
bet kuriam n > 2 ir bet kuriam natūraliam k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Pasirodo, kad (2) formulė yra ne tik būtina, bet ir pakankama sąlyga, kad seka būtų aritmetinė progresija.
Aritmetinės progresijos ženklas. Jei lygybė (2) galioja visiems n > 2, tai seka an yra aritmetinė progresija.
Įrodymas. Perrašykime formulę (2) taip:
a n a n 1 = a n+1 a n:
Tai rodo, kad skirtumas an+1 an nepriklauso nuo n, o tai tiesiog reiškia, kad seka an yra aritmetinė progresija.
Aritmetinės progresijos savybė ir ženklas gali būti suformuluoti kaip vienas teiginys; patogumo dėlei tai padarysime su trimis skaičiais (ši situacija dažnai pasitaiko problemose).
Aritmetinės progresijos apibūdinimas. Trys skaičiai a, b, c sudaro aritmetinę progresiją tada ir tik tada, kai 2b = a + c.
2 uždavinys. (Maskvos valstybinis universitetas, Ekonomikos fakultetas, 2007) Trys skaičiai 8x, 3 x2 ir 4 nurodyta tvarka sudaro mažėjančią aritmetinę progresiją. Raskite x ir parašykite šios progresijos skirtumą.
Sprendimas. Pagal aritmetinės progresijos savybę turime:
2 (3 x 2 ) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:
Jei x = 1, tai gaunama mažėjanti 8, 2, 4 progresija su 6 skirtumu. Jei x = 5, tai gaunama didėjanti 40, 22, 4 progresija; šis atvejis neveikia.
Atsakymas: x = 1, skirtumas yra 6.
Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma
Legenda pasakoja, kad kartą mokytoja liepė vaikams surasti skaičių sumą nuo 1 iki 100 ir atsisėdo ramiai skaityti laikraščio. Tačiau per kelias minutes vienas berniukas pasakė, kad problemą išsprendė. Tai buvo 9 metų Carlas Friedrichas Gaussas, vėliau vienas didžiausių matematikų istorijoje.
Mažojo Gauso idėja buvo tokia. Leisti
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Parašykime šią sumą atvirkštine tvarka:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
ir pridėkite šias dvi formules:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Kiekvienas terminas skliausteliuose yra lygus 101, o iš viso tokių terminų yra 100. Todėl
2S = 101 100 = 10100;
Mes naudojame šią idėją sumos formulei išvesti
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Naudinga (3) formulės modifikacija gaunama pakeičiant n-ojo nario formulę an = a1 + (n 1)d:
2a1 + (n 1)d |
|||||
Užduotis 3. Raskite visų teigiamų triženklių skaičių, dalijamų iš 13, sumą.
Sprendimas. Trijų skaitmenų skaičiai, 13 kartotiniai, sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu 104 ir skirtumu 13; N-asis šios progresijos narys yra:
an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:
Sužinokime, kiek narių yra mūsų progrese. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame nelygybę:
6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Taigi mūsų progrese yra 69 nariai. Pagal formulę (4) randame reikiamą kiekį:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Pavyzdžiui, seka \(2\); \(5\); \(8\); \(vienuolika\); \(14\)… yra aritmetinė progresija, nes kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi trimis (galima gauti iš ankstesnio pridedant tris):
Šioje progresijoje skirtumas \(d\) yra teigiamas (lygus \(3\)), todėl kiekvienas kitas narys yra didesnis nei ankstesnis. Tokios progresijos vadinamos didėja.
Tačiau \(d\) taip pat gali būti neigiamas skaičius. Pavyzdžiui, aritmetine progresija \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progresijos skirtumas \(d\) yra lygus minus šešiems.
Ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas bus mažesnis nei ankstesnis. Šios progresijos vadinamos mažėja.
Aritmetinės progresijos žymėjimas
Pažanga žymima maža lotyniška raide.
Skaičiai, kurie sudaro progresiją, vadinami nariai(arba elementai).
Jie žymimi ta pačia raide kaip ir aritmetinė progresija, bet skaitine indeksu, lygiu elemento numeriui.
Pavyzdžiui, aritmetinė progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) susideda iš elementų \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ir pan.
Kitaip tariant, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Užduočių sprendimas aritmetine progresija
Iš esmės aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka beveik bet kokiai aritmetinės progresijos problemai išspręsti (įskaitant OGE siūlomas).
Pavyzdys (OGE).
Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas \(b_1=7; d=4\). Raskite \(b_5\).
Sprendimas:
Atsakymas: \(b_5=23\)
Pavyzdys (OGE).
Pateikiami pirmieji trys aritmetinės progresijos nariai: \(62; 49; 36…\) Raskite pirmojo neigiamo šios progresijos nario reikšmę.
Sprendimas:
|
Mums pateikiami pirmieji sekos elementai ir žinome, kad tai aritmetinė progresija. Tai yra, kiekvienas elementas skiriasi nuo gretimo tuo pačiu skaičiumi. Sužinokite, kuris iš jų, atimdamas ankstesnįjį iš kito elemento: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Dabar galime atkurti savo progresą į norimą (pirmąjį neigiamą) elementą. |
|
|
Paruošta. Galite parašyti atsakymą. |
Atsakymas: \(-3\)
Pavyzdys (OGE).
Pateikiami keli vienas po kito einantys aritmetinės progresijos elementai: \(...5; x; 10; 12,5...\) Raskite elemento, žymimo raide \(x\), reikšmę.
Sprendimas:
|
|
Norėdami rasti \(x\), turime žinoti, kiek kitas elementas skiriasi nuo ankstesnio, kitaip tariant, progresijos skirtumą. Raskime jį iš dviejų žinomų gretimų elementų: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
O dabar be problemų randame tai, ko ieškome: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Paruošta. Galite parašyti atsakymą. |
Atsakymas: \(7,5\).
Pavyzdys (OGE).
Aritmetinė progresija pateikiama šiomis sąlygomis: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Raskite pirmųjų šešių šios progresijos narių sumą.
Sprendimas:
|
Turime rasti pirmųjų šešių progresijos narių sumą. Bet mes nežinome jų reikšmių, mums duotas tik pirmasis elementas. Todėl pirmiausia paeiliui apskaičiuojame reikšmes, naudodami mums pateiktą: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Prašoma suma rasta. |
Atsakymas: \(S_6=9\).
Pavyzdys (OGE).
Aritmetine progresija \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Raskite šios progresijos skirtumą.
Sprendimas:
Atsakymas: \(d=7\).
Svarbios aritmetinės progresijos formulės
Kaip matote, daugelį aritmetinės progresijos uždavinių galima išspręsti tiesiog supratus pagrindinį dalyką – kad aritmetinė progresija yra skaičių grandinė, o kiekvienas kitas šios grandinės elementas gaunamas pridedant tą patį skaičių prie ankstesnio (skirtumas progresavimo).
Tačiau kartais pasitaiko situacijų, kai labai nepatogu spręsti „ant kaktos“. Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad pačiame pirmame pavyzdyje turime rasti ne penktą elementą \(b_5\), o tris šimtus aštuoniasdešimt šeštąjį \(b_(386)\). Kas tai, mes \ (385 \) kartus pridėti keturis? Arba įsivaizduokite, kad priešpaskutiniame pavyzdyje reikia rasti pirmųjų septyniasdešimt trijų elementų sumą. Skaičiavimas yra painus...
Todėl tokiais atvejais jie nesprendžia „ant kaktos“, o naudoja specialias formules, išvestas aritmetinei progresijai. O pagrindinės yra progresijos n-ojo nario formulė ir pirmųjų narių sumos \(n\) formulė.
\(n\)-ojo nario formulė: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) yra pirmasis progresijos narys;
\(n\) – reikiamo elemento numeris;
\(a_n\) yra progresijos narys su skaičiumi \(n\).
Ši formulė leidžia greitai rasti bent trijų šimtų, net milijono elementą, žinant tik pirmąjį ir progresijos skirtumą.
Pavyzdys.
Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Raskite \(b_(246)\).
Sprendimas:
Atsakymas: \(b_(246)=1850\).
Pirmųjų n terminų sumos formulė yra: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur
\(a_n\) yra paskutinis sumuojamas terminas;
Pavyzdys (OGE).
Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas \(a_n=3,4n-0,6\). Raskite šios progresijos pirmųjų \(25\) narių sumą.
Sprendimas:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Norėdami apskaičiuoti pirmųjų dvidešimt penkių elementų sumą, turime žinoti pirmojo ir dvidešimt penktojo narių reikšmę. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1–0,6=2,8\) |
Dabar suraskime dvidešimt penktą terminą, vietoj \(n\) pakeisdami dvidešimt penkis. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25–0,6=84,4\) |
Na, o dabar be problemų suskaičiuojame reikiamą sumą. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Atsakymas paruoštas. |
Atsakymas: \(S_(25)=1090\).
Pirmųjų terminų sumai \(n\) galite gauti kitą formulę: tereikia \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) vietoj \(a_n\) pakeiskite jo formulę \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mes gauname:
Pirmųjų n terminų sumos formulė yra: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur
\(S_n\) – reikiama pirmųjų elementų suma \(n\);
\(a_1\) yra pirmasis terminas, kuris turi būti sumuojamas;
\(d\) – progresijos skirtumas;
\(n\) – elementų skaičius sumoje.
Pavyzdys.
Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų \(33\)-ex narių sumą: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Sprendimas:
Atsakymas: \(S_(33)=-231\).
Sudėtingesnės aritmetinės progresijos problemos
Dabar jūs turite visą informaciją, kurios jums reikia norint išspręsti beveik bet kokią aritmetinės progresijos problemą. Užbaikime temą apsvarstydami problemas, kuriose reikia ne tik taikyti formules, bet ir šiek tiek galvoti (matematikoje tai gali būti naudinga ☺)
Pavyzdys (OGE).
Raskite visų neigiamų progresijos narių sumą: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Sprendimas:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Užduotis labai panaši į ankstesnę. Pradedame spręsti tuo pačiu būdu: pirmiausia randame \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Dabar sumos formulėje pakeiskite \ (d \) ... ir čia ji pasirodo mažas niuansas– mes nežinome \(n\). Kitaip tariant, mes nežinome, kiek terminų reikės pridėti. Kaip sužinoti? Pagalvokim. Nustosime pridėti elementų, kai pasieksime pirmąjį teigiamą elementą. Tai yra, jūs turite sužinoti šio elemento numerį. Kaip? Užsirašykime bet kurio aritmetinės progresijos elemento apskaičiavimo formulę: \(a_n=a_1+(n-1)d\) mūsų atveju. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Turime, kad \(a_n\) būtų didesnis už nulį. Išsiaiškinkime, dėl ko \(n\) tai atsitiks. |
|
|
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
|
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Abi nelygybės puses padalijame iš \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Perkeliame minus vienas, nepamirštant pakeisti ženklų |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Skaičiuojama... |
|
|
\(n>65 333…\) |
...ir pasirodo, kad pirmasis teigiamas elementas turės numerį \(66\). Atitinkamai, paskutinis neigiamas turi \(n=65\). Tik tuo atveju, patikrinkime. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) |
Taigi, turime pridėti pirmuosius \(65\) elementus. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Atsakymas paruoštas. |
Atsakymas: \(S_(65)=-630,5\).
Pavyzdys (OGE).
Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Raskite sumą nuo \(26\)-ojo iki \(42\) elemento imtinai.
Sprendimas:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Šioje užduotyje taip pat reikia rasti elementų sumą, bet pradedant ne nuo pirmojo, o nuo \(26\)-osios. Mes neturime tam formulės. Kaip apsispręsti? |
|
|
Mūsų progresui \(a_1=-33\) ir skirtumui \(d=4\) (juk prie ankstesnio elemento pridedame keturis, kad rastume kitą). Žinodami tai, randame pirmųjų \(42\)-uh elementų sumą. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Dabar pirmųjų \(25\)-ųjų elementų suma. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Ir galiausiai apskaičiuojame atsakymą. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Atsakymas: \(S=1683\).
Aritmetinei progresijai yra dar kelios formulės, kurių šiame straipsnyje nesvarstėme dėl mažo jų praktinio naudingumo. Tačiau jūs galite lengvai juos rasti.
Taip, taip: aritmetinė progresija tau ne žaislas :) Na, draugai, jei skaitote šį tekstą, tai vidinis dangtelio įrodymas man sako, kad jūs vis dar nežinote, kas yra aritmetinė progresija, bet tikrai (ne, taip: TAIP!) norite žinoti. Todėl nekankinsiu jūsų ilgomis įžangomis ir iškart kibsiu į reikalą.
Norėdami pradėti, pora pavyzdžių. Apsvarstykite keletą skaičių rinkinių:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Ką bendro turi visi šie rinkiniai? Iš pirmo žvilgsnio nieko. Bet iš tikrųjų kažkas yra. Būtent: kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi tuo pačiu skaičiumi.
Spręskite patys. Pirmasis rinkinys yra tik iš eilės einantys skaičiai, kurių kiekvienas yra didesnis nei ankstesnis. Antruoju atveju skirtumas tarp stovintys numeriai jau lygus penkiems, tačiau šis skirtumas vis tiek yra pastovus. Trečiuoju atveju apskritai yra šaknys. Tačiau $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tuo tarpu $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.y. Tokiu atveju kiekvienas kitas elementas tiesiog padidėja $\sqrt(2)$ (ir neišsigąskite, kad šis skaičius yra neracionalus).
Taigi: visos tokios sekos tiesiog vadinamos aritmetine progresija. Pateikime griežtą apibrėžimą:
Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas kitas lygiai tiek pat skiriasi nuo ankstesnio, vadinama aritmetine progresija. Pati suma, kuria skiriasi skaičiai, vadinama progresijos skirtumu ir dažniausiai žymima raide $d$.
Žymėjimas: $\left(((a)_(n)) \right)$ yra pati progresija, $d$ yra jos skirtumas.
Ir tik pora svarbių pastabų. Pirma, atsižvelgiama tik į progresą tvarkingas skaičių seka: juos leidžiama skaityti griežtai ta tvarka, kuria jie parašyti – ir nieko daugiau. Negalite pertvarkyti ar sukeisti numerių.
Antra, pati seka gali būti baigtinė arba begalinė. Pavyzdžiui, aibė (1; 2; 3) akivaizdžiai yra baigtinė aritmetinė progresija. Bet jei rašote kažką panašaus į (1; 2; 3; 4; ...) - tai jau yra begalinė progresija. Elipsė po keturių tarsi sufleruoja, kad nemažai skaičių eina toliau. Pavyzdžiui, be galo daug. :)
Taip pat norėčiau pastebėti, kad progresas didėja ir mažėja. Jau matėme didėjančius – tą patį rinkinį (1; 2; 3; 4; ...). Štai mažėjančio progresavimo pavyzdžiai:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Gerai, gerai: paskutinis pavyzdys gali atrodyti pernelyg sudėtingas. Bet visa kita, manau, jūs suprantate. Todėl pateikiame naujus apibrėžimus:
Apibrėžimas. Aritmetinė progresija vadinama:
- didėja, jei kiekvienas kitas elementas yra didesnis už ankstesnį;
- mažėja, jei, atvirkščiai, kiekvienas paskesnis elementas yra mažesnis nei ankstesnis.
Be to, yra taip vadinamos „stacionarios“ sekos – jos susideda iš to paties pasikartojančio skaičiaus. Pavyzdžiui, (3; 3; 3; ...).
Lieka tik vienas klausimas: kaip atskirti didėjančią progresą nuo mažėjančios? Laimei, čia viskas priklauso tik nuo skaičiaus $d$ ženklo, t.y. progresavimo skirtumai:
- Jei $d \gt 0$, tai progresija didėja;
- Jei $d \lt 0$, tai progresija akivaizdžiai mažėja;
- Galiausiai yra atvejis $d=0$ — šiuo atveju visa progresija redukuojama į stacionarią identiškų skaičių seką: (1; 1; 1; 1; ...) ir t.t.
Pabandykime apskaičiuoti skirtumą $d$ trims pirmiau nurodytoms mažėjančioms pakopoms. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kuriuos du gretimus elementus (pavyzdžiui, pirmąjį ir antrąjį) ir atimti iš dešinėje esančio skaičiaus, o iš skaičiaus kairėje. Tai atrodys taip:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Kaip matote, visais trimis atvejais skirtumas tikrai buvo neigiamas. Ir dabar, kai daugiau ar mažiau išsiaiškinome apibrėžimus, laikas išsiaiškinti, kaip aprašomos progresijos ir kokios jos savybės.
Progresavimo ir pasikartojimo formulės nariai
Kadangi mūsų sekų elementai negali būti sukeisti, jie gali būti sunumeruoti:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \teisingai\)\]
Atskiri šios aibės elementai vadinami progresijos nariais. Jie nurodomi tokiu būdu skaičiaus pagalba: pirmasis narys, antrasis narys ir pan.
Be to, kaip jau žinome, kaimyniniai progreso nariai yra susieti pagal formulę:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rodyklė dešinėn ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Trumpai tariant, norėdami rasti progresijos $n$-ąjį narį, turite žinoti $n-1$-ąjį narį ir skirtumą $d$. Tokia formulė vadinama pasikartojančia, nes jos pagalba galima rasti bet kokį skaičių, tik žinant ankstesnįjį (o iš tikrųjų – visus ankstesnius). Tai labai nepatogu, todėl yra sudėtingesnė formulė, kuri sumažina bet kokį skaičiavimą iki pirmojo termino ir skirtumo:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Tikriausiai jau esate susidūrę su šia formule. Jie mėgsta tai pateikti visokiose žinynuose ir rešebnikuose. Ir bet kuriame protingame matematikos vadovėlyje jis yra vienas iš pirmųjų.
Tačiau siūlau šiek tiek pasitreniruoti.
Užduotis numeris 1. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius, jei $((a)_(1))=8,d=-5$.
Sprendimas. Taigi, mes žinome pirmąjį terminą $((a)_(1))=8$ ir progresijos skirtumą $d=-5$. Naudokime ką tik pateiktą formulę ir pakeiskime $n=1$, $n=2$ ir $n=3$:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(lygiuoti)\]
Atsakymas: (8; 3; -2)
Tai viskas! Atkreipkite dėmesį, kad mūsų progresas mažėja.
Žinoma, $n=1$ negalėjo būti pakeistas – mes jau žinome pirmąjį terminą. Tačiau pakeitę vienetą įsitikinome, kad mūsų formulė veikia net pirmą kadenciją. Kitais atvejais viskas susivedė į banalią aritmetiką.
Užduotis numeris 2. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos narius, jei jos septintasis narys yra –40, o septynioliktasis – –50.
Sprendimas. Problemos sąlygą rašome įprastomis sąlygomis:
\[((a)_(7)) = -40;\quad ((a)_(17)) = -50.\]
\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(lygiuoti) \right.\]
\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(lygiuoti) \teisingai.\]
Aš dedu sistemos ženklą, nes šie reikalavimai turi būti įvykdyti vienu metu. Ir dabar pastebime, kad atėmę pirmąją lygtį iš antrosios lygties (turime teisę tai padaryti, nes turime sistemą), gauname štai ką:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(lygiuoti)\]
Kaip tik taip, mes nustatėme progresavimo skirtumą! Lieka pakeisti rastą skaičių bet kurioje iš sistemos lygčių. Pavyzdžiui, pirmajame:
\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1)) = -40 + 6 = -34. \\ \end(matrica)\]
Dabar, žinant pirmąjį terminą ir skirtumą, belieka rasti antrą ir trečią terminus:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(lygiuoti)\]
Pasiruošę! Problema išspręsta.
Atsakymas: (-34; -35; -36)
Atkreipkite dėmesį į keistą progresijos savybę, kurią aptikome: jei paimsime $n$-ąją ir $m$-ąją dalį ir atimsime juos vieną iš kitos, gausime progresijos skirtumą, padaugintą iš skaičiaus $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Paprasta, bet labai naudingą turtą, kurį būtinai turite žinoti – jo pagalba galite žymiai pagreitinti daugelio progresuojančių problemų sprendimą. Štai puikus pavyzdys:
Užduotis numeris 3. Penktasis aritmetinės progresijos narys yra 8,4, o dešimtasis – 14,4. Raskite penkioliktą šios progresijos narį.
Sprendimas. Kadangi $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ir turime rasti $((a)_(15))$, atkreipiame dėmesį į šiuos dalykus:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(lygiuoti)\]
Bet pagal sąlygą $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, taigi $5d=6$, iš kur turime:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(lygiuoti)\]
Atsakymas: 20.4
Tai viskas! Nereikėjo sudaryti jokių lygčių sistemų ir skaičiuoti pirmojo nario bei skirtumo – viskas buvo nuspręsta vos per porą eilučių.
Dabar panagrinėkime kitą problemos tipą – neigiamų ir teigiamų progreso narių paiešką. Ne paslaptis, kad jei progresija didėja, o jos pirmasis terminas yra neigiamas, tai anksčiau ar vėliau joje atsiras teigiami terminai. Ir atvirkščiai: mažėjančios progresijos sąlygos anksčiau ar vėliau taps neigiamos.
Tuo pačiu metu toli gražu ne visada įmanoma rasti šį momentą „ant kaktos“, nuosekliai rūšiuojant elementus. Dažnai uždaviniai yra suplanuoti taip, kad nežinant formulių skaičiavimai užtruktų kelis lapus – tiesiog užmigtume, kol rastume atsakymą. Todėl mes stengsimės šias problemas išspręsti greičiau.
Užduotis numeris 4. Kiek neigiamų narių aritmetinėje progresijoje -38,5; -35,8; …?
Sprendimas. Taigi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, iš kurių iškart randame skirtumą:
Atkreipkite dėmesį, kad skirtumas yra teigiamas, todėl progresas didėja. Pirmasis narys yra neigiamas, todėl iš tikrųjų tam tikru momentu mes suklupsime ant teigiamų skaičių. Tik klausimas, kada tai įvyks.
Pabandykime išsiaiškinti: iki kurio laiko (t. y. iki ko natūralusis skaičius$n$) terminų neigiamumas išsaugomas:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n)) \lt 0\Rodyklė dešinėn ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rodyklė dešinėn ((n)_(\max ))=15. \\ \end(lygiuoti)\]
Paskutinę eilutę reikia paaiškinti. Taigi žinome, kad $n \lt 15\frac(7)(27)$. Kita vertus, mums tiks tik sveikosios skaičiaus reikšmės (be to: $n\in \mathbb(N)$), todėl didžiausias leistinas skaičius yra būtent $n=15$ ir jokiu būdu ne 16.
Užduotis numeris 5. Aritmetine progresija $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Raskite pirmojo teigiamo šios progresijos nario skaičių.
Tai būtų lygiai tokia pati problema kaip ir ankstesnė, bet mes nežinome $((a)_(1))$. Tačiau kaimyniniai terminai yra žinomi: $((a)_(5))$ ir $((a)_(6))$, todėl galime lengvai rasti progresijos skirtumą:
Be to, pabandykime išreikšti penktą terminą pirmuoju ir skirtumu, naudodami standartinę formulę:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(lygiuoti)\]
Dabar tęsiame analogiją su ankstesne problema. Sužinome, kuriame mūsų sekos taške atsiras teigiami skaičiai:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rodyklė dešinėn ((n)_(\min ))=56. \\ \end(lygiuoti)\]
Mažiausias sveikasis šios nelygybės sprendimas yra skaičius 56.
Atkreipkite dėmesį: paskutinėje užduotyje viskas baigėsi griežta nelygybė, todėl variantas $n=55$ mums netiks.
Dabar, kai išmokome spręsti paprastas problemas, pereikime prie sudėtingesnių. Bet pirmiausia išmokime dar vieną labai naudingą aritmetinės progresijos savybę, kuri ateityje sutaupys daug laiko ir nevienodų langelių. :)
Aritmetinis vidurkis ir lygios įtraukos
Apsvarstykite kelis iš eilės didėjančios aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius. Pabandykime pažymėti juos skaičių eilutėje:
Aritmetinės progresijos nariai skaičių tiesėjeAš konkrečiai atkreipiau dėmesį į savavališkus narius $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, o ne bet kokius $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ir kt. Nes taisyklė, kurią dabar jums pasakysiu, galioja bet kokiems „segmentams“.
O taisyklė labai paprasta. Prisiminkime rekursinę formulę ir užrašykite ją visiems pažymėtiems nariams:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(lygiuoti)\]
Tačiau šias lygybes galima perrašyti skirtingai:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(lygiuoti)\]
Na ir kas? Tačiau faktas, kad terminai $((a)_(n-1))$ ir $((a)_(n+1))$ yra tokiu pat atstumu nuo $((a)_(n)) $ . Ir šis atstumas lygus $d$. Tą patį galima pasakyti apie terminus $((a)_(n-2))$ ir $((a)_(n+2))$ – jie taip pat pašalinami iš $((a)_(n) )$ tuo pačiu atstumu, lygiu $2d$. Galite tęsti neribotą laiką, tačiau paveikslėlis gerai iliustruoja prasmę
Progresijos nariai guli tokiu pat atstumu nuo centro Ką tai reiškia mums? Tai reiškia, kad galite rasti $((a)_(n))$, jei žinomi gretimi skaičiai:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Išvedėme puikų teiginį: kiekvienas aritmetinės progresijos narys yra lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui! Be to, mes galime nukrypti nuo mūsų $((a)_(n))$ į kairę ir į dešinę ne vienu žingsniu, o $k$ žingsniais — ir vis tiek formulė bus teisinga:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Tie. nesunkiai galime rasti $((a)_(150))$, jei žinome $((a)_(100))$ ir $((a)_(200))$, nes $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad šis faktas mums nieko naudingo neduoda. Tačiau praktikoje daugelis užduočių yra specialiai „paaštrintos“ aritmetinio vidurkio vartojimui. Pažiūrėk:
Užduotis numeris 6. Raskite visas $x$ reikšmes taip, kad skaičiai $-6((x)^(2))$, $x+1$ ir $14+4((x)^(2))$ būtų nuoseklūs aritmetinė progresija (nurodyta tvarka).
Sprendimas. Kadangi šie skaičiai yra progresijos nariai, jiems tenkinama aritmetinio vidurkio sąlyga: centrinis elementas $x+1$ gali būti išreikštas gretimais elementais:
\[\begin(lygiuoti) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(lygiuoti)\]
Tai pasirodė klasika kvadratinė lygtis. Jo šaknys: $x=2$ ir $x=-3$ yra atsakymai.
Atsakymas: -3; 2.
Užduotis numeris 7. Raskite $$ reikšmes tokias, kad skaičiai $-1;4-3;(()^(2))+1$ sudarytų aritmetinę progresiją (ta tvarka).
Sprendimas. Vėlgi, vidurinį terminą išreiškiame gretimų terminų aritmetiniu vidurkiu:
\[\begin(lygiuoti) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(lygiuoti)\]
Kita kvadratinė lygtis. Ir vėl dvi šaknys: $x=6$ ir $x=1$.
Atsakymas: 1; 6.
Jei spręsdami problemą gaunate žiaurius skaičius arba nesate visiškai tikri dėl rastų atsakymų teisingumo, tada yra nuostabus triukas, leidžiantis patikrinti: ar teisingai išsprendėme problemą?
Tarkime, 6 uždavinyje gavome atsakymus -3 ir 2. Kaip galime patikrinti, ar šie atsakymai teisingi? Tiesiog prijunkite juos prie pradinės būklės ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Priminsiu, kad turime tris skaičius ($-6(()^(2))$, $+1$ ir $14+4(()^(2))$), kurie turėtų sudaryti aritmetinę progresiją. Pakaitalas $x=-3$:
\[\begin(lygiuoti) & x=-3\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(lygiuoti)\]
Gavome skaičius -54; −2; 50, kurie skiriasi 52, neabejotinai yra aritmetinė progresija. Tas pats atsitinka su $x=2$:
\[\begin(lygiuoti) & x=2\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(lygiuoti)\]
Vėl progresija, bet su 27 skirtumu. Taigi, problema išspręsta teisingai. Norintys antrą užduotį gali pasitikrinti patys, bet iš karto pasakysiu: ir ten viskas teisingai.
Apskritai, spręsdami paskutines užduotis, užkliuvome už kitos įdomus faktas, kurį taip pat reikia atsiminti:
Jei trys skaičiai yra tokie, kad antrasis yra vidurkis pirmiausia aritmetika ir paskutinis, šie skaičiai sudaro aritmetinę progresiją.
Ateityje šio teiginio supratimas leis mums tiesiogine to žodžio prasme „sukonstruoti“ reikiamas pažangas pagal problemos būklę. Tačiau prieš įsitraukdami į tokią „konstrukciją“, turėtume atkreipti dėmesį į dar vieną faktą, kuris tiesiogiai išplaukia iš to, kas jau buvo svarstyta.
Elementų grupavimas ir suma
Vėl grįžkime prie skaičių eilutės. Atkreipiame dėmesį į keletą progreso narių, tarp kurių galbūt. verti daug kitų narių:
Skaičių eilutėje pažymėti 6 elementaiPabandykime „kairę uodegą“ išreikšti $((a)_(n))$ ir $d$, o „dešinę uodegą“ – $((a)_(k))$ ir $ d$. Tai labai paprasta:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(lygiuoti)\]
Dabar atkreipkite dėmesį, kad šios sumos yra lygios:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(lygiuoti)\]
Paprasčiau tariant, jei laikysime pradžią du progreso elementus, kurie iš viso yra lygūs tam tikram skaičiui $S$, o tada pradedame žingsniuoti nuo šių elementų priešingomis kryptimis (vienas kito link arba atvirkščiai, norėdami tolti), tada elementų sumos, į kurias atsidursime, taip pat bus lygios$S$. Geriausiai tai galima pavaizduoti grafiškai:
Tos pačios įtraukos suteikia vienodas sumas Supratimas Šis faktas leis mums išspręsti iš esmės aukštesnio sudėtingumo problemas nei tos, kurias svarstėme aukščiau. Pavyzdžiui, šie:
Užduotis numeris 8. Nustatykite aritmetinės progresijos skirtumą, kai pirmasis narys yra 66, o antrojo ir dvyliktojo narių sandauga yra mažiausia įmanoma.
Sprendimas. Užsirašykime viską, ką žinome:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(lygiuoti)\]
Taigi, mes nežinome progresijos $d$ skirtumo. Tiesą sakant, visas sprendimas bus sukurtas atsižvelgiant į skirtumą, nes produktas $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ gali būti perrašytas taip:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(lygiuoti)\]
Tiems, kurie yra bake: aš išėmiau bendrą koeficientą 11 iš antrojo laikiklio. Taigi norima sandauga yra kvadratinė funkcija kintamojo $d$ atžvilgiu. Todėl apsvarstykite funkciją $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – jos grafikas bus parabolė su šakomis į viršų, nes jei atidarysime skliaustus, gausime:
\[\begin(lygiuoti) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (lygiuoti)\]
Kaip matote, koeficientas su didžiausiu terminu yra 11 - tai teigiamas skaičius, todėl mes iš tikrųjų susiduriame su parabole su šakomis į viršų:
tvarkaraštį kvadratinė funkcija- parabolė
Atkreipkite dėmesį: ši parabolė turi mažiausią vertę savo viršūnėje su abscise $((d)_(0))$. Žinoma, šią abscisę galime apskaičiuoti pagal standartinę schemą (yra formulė $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), bet daug protingiau būtų atkreipkite dėmesį, kad norima viršūnė yra ant parabolės ašies simetrijos, todėl taškas $((d)_(0))$ yra vienodu atstumu nuo lygties $f\left(d \right)=0$ šaknų:
\[\begin(lygiuoti) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(lygiuoti)\]
Todėl skliausteliuose neskubėjau atversti: originalioje formoje šaknis buvo labai labai lengva rasti. Todėl abscisė yra lygi vidurkiui aritmetiniai skaičiai-66 ir -6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Kas suteikia mums atrastą skaičių? Su juo paima reikiamą produktą mažiausia vertė(Beje, mes neapskaičiavome $((y)_(\min ))$ – to daryti neprivalome). Kartu šis skaičius yra pradinės progresijos skirtumas, t.y. radome atsakymą. :)
Atsakymas: -36
Užduotis numeris 9. Tarp skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac(1)(6)$ įterpkite tris skaičius, kad kartu su nurodytais skaičiais sudarytų aritmetinę progresiją.
Sprendimas. Tiesą sakant, turime sudaryti penkių skaičių seką, kurių pirmasis ir paskutinis skaičiai jau žinomi. Trūkstamus skaičius pažymėkite kintamaisiais $x$, $y$ ir $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Atkreipkite dėmesį, kad skaičius $y$ yra mūsų sekos "viduris" – jis yra vienodu atstumu nuo skaičių $x$ ir $z$ bei nuo skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac. (1) (6) $. Ir jei iš skaičių $x$ ir $z$ mes patenkame Šis momentas negalime gauti $y$, tada situacija kitokia su progresijos galais. Prisiminkite aritmetinį vidurkį:
Dabar, žinodami $y$, rasime likusius skaičius. Atminkite, kad $x$ yra tarp $-\frac(1)(2)$ ir $y=-\frac(1)(3)$ ką tik rasta. Štai kodėl
Ginčiuodami panašiai, randame likusį skaičių:
Pasiruošę! Mes radome visus tris skaičius. Užrašykite juos atsakyme tokia tvarka, kokia jie turėtų būti įterpti tarp pradinių skaičių.
Atsakymas: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Užduotis numeris 10. Tarp skaičių 2 ir 42 įterpkite kelis skaičius, kurie kartu su nurodytais skaičiais sudaro aritmetinę progresiją, jei žinoma, kad pirmojo, antrojo ir paskutinio įterptų skaičių suma yra 56.
Sprendimas. Dar daugiau sunki užduotis, kuris vis dėlto sprendžiamas taip pat, kaip ir ankstesnieji – per aritmetinį vidurkį. Problema ta, kad mes tiksliai nežinome, kiek skaičių įterpti. Todėl tikslumui darome prielaidą, kad įterpus bus lygiai $n$ skaičiai, o pirmasis iš jų yra 2, o paskutinis - 42. Šiuo atveju norima aritmetinė progresija gali būti pavaizduota taip:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;(a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+(a)_(3))+(a)_(n-1)) = 56\]
Tačiau atkreipkite dėmesį, kad skaičiai $((a)_(2))$ ir $((a)_(n-1))$ gaunami iš skaičių 2 ir 42, stovinčių kraštuose vienu žingsniu vienas kito link. , t.y. į sekos centrą. O tai reiškia, kad
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Bet tada aukščiau pateiktą išraišką galima perrašyti taip:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+(a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(lygiuoti)\]
Žinodami $((a)_(3))$ ir $((a)_(1))$, galime lengvai rasti progresijos skirtumą:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rodyklė dešinėn d=5. \\ \end(lygiuoti)\]
Belieka tik surasti likusius narius:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(lygiuoti)\]
Taigi, jau 9 žingsniu pateksime į kairįjį sekos galą – skaičių 42. Iš viso reikėjo įterpti tik 7 skaičius: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Atsakymas: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Tekstinės užduotys su progresais
Baigdamas norėčiau apsvarstyti keletą gana paprastų problemų. Na, kaip paprasti: daugumai mokinių, kurie mokykloje mokosi matematikos ir neskaitė to, kas parašyta aukščiau, šios užduotys gali atrodyti kaip gestas. Nepaisant to, būtent tokios užduotys kyla OGE ir USE matematikoje, todėl rekomenduoju su jomis susipažinti.
Užduotis numeris 11. Sausio mėnesį komanda pagamino 62 dalis, o kiekvieną kitą mėnesį pagamino 14 dalių daugiau nei praėjusį. Kiek dalių brigada pagamino lapkritį?
Sprendimas. Akivaizdu, kad dalių skaičius, nudažytas pagal mėnesį, bus didėjanti aritmetinė progresija. Ir:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(lygiuoti)\]
Lapkritis yra 11 metų mėnuo, todėl turime rasti $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Todėl lapkričio mėnesį bus pagamintos 202 dalys.
Užduotis numeris 12. Įrišimo dirbtuvės sausio mėnesį įrišo 216 knygų, o kiekvieną mėnesį įrišo 4 knygomis daugiau nei praėjusį mėnesį. Kiek knygų seminaras įrišo gruodžio mėnesį?
Sprendimas. Visi vienodi:
$\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(lygiuoti)$
Gruodis yra paskutinis, 12 metų mėnuo, todėl ieškome $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Tai yra atsakymas – gruodžio mėnesį bus įrišta 260 knygų.
Na, o jei perskaitėte iki šiol, skubu jus pasveikinti: „žinoma jaunasis kovotojas» sėkmingai išlaikėte aritmetines progresijas. Galime drąsiai pereiti prie kitos pamokos, kurioje išnagrinėsime progresavimo sumos formulę, taip pat svarbias ir labai naudingas jos pasekmes.
Dėmesio!
Yra papildomų
555 specialiojo skyriaus medžiaga.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)
Aritmetinė progresija yra skaičių serija, kurioje kiekvienas skaičius yra didesnis (arba mažesnis) nei ankstesnis tuo pačiu dydžiu.
Ši tema dažnai būna sunki ir nesuprantama. Raidžių indeksai, n-tas progresijos narys, progresijos skirtumas - visa tai kažkaip painu, taip ... Išsiaiškinkime aritmetinės progresijos prasmę ir viskas tuoj pat išsispręs.)
Aritmetinės progresijos samprata.
Aritmetinė progresija yra labai paprasta ir aiški sąvoka. Abejoti? Veltui.) Pažiūrėkite patys.
Parašysiu nebaigtą skaičių seką:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Ar galite pratęsti šią eilutę? Kokie skaičiai bus toliau, po penkių? Visi... uh..., trumpai tariant, visi supras, kad skaičiai 6, 7, 8, 9 ir t.t. eis toliau.
Apsunkinkime užduotį. Pateikiu nebaigtą skaičių seką:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Galite pagauti modelį, pratęsti seriją ir pavadinti septintoji eilės numeris?
Jei supratote, kad šis skaičius yra 20 - sveikinu jus! Jūs ne tik jautėte pagrindiniai aritmetinės progresijos taškai, bet ir sėkmingai panaudojo juos versle! Jei nesuprantate, skaitykite toliau.
Dabar išverskime pagrindinius pojūčių dalykus į matematiką.)
Pirmas esminis punktas.
Aritmetinė progresija susijusi su skaičių serijomis. Iš pradžių tai kelia painiavą. Mes įpratę spręsti lygtis, sudaryti grafikus ir visa tai... Ir tada pratęsti seriją, rasti serijos numerį ...
Viskas gerai. Tiesiog progresijos – pirmoji pažintis su nauja matematikos šaka. Skyrius vadinasi „Serija“ ir veikia su skaičių ir posakių serijomis. Pripraskite.)
Antras esminis punktas.
Aritmetinėje progresijoje bet kuris skaičius skiriasi nuo ankstesnio ta pačia suma.
Pirmajame pavyzdyje šis skirtumas yra vienas. Kad ir kokį skaičių imtumėte, jis bus vienu daugiau nei ankstesnis. Antroje – trys. Bet kuris skaičius yra tris kartus didesnis nei ankstesnis. Tiesą sakant, būtent šis momentas suteikia mums galimybę pagauti modelį ir apskaičiuoti tolesnius skaičius.
Trečias esminis punktas.
Ši akimirka nėra stulbinanti, taip... Bet labai, labai svarbi. Štai jis: kiekvienas progresijos skaičius yra savo vietoje. Yra pirmas numeris, yra septintas, yra keturiasdešimt penktas ir t.t. Jei supainiosite juos atsitiktinai, modelis išnyks. Aritmetinė progresija taip pat išnyks. Tai tik skaičių serija.
Tai ir yra visa esmė.
Žinoma, naujoje temoje atsiranda naujų terminų ir užrašų. Jie turi žinoti. Priešingu atveju nesuprasite užduoties. Pavyzdžiui, jūs turite nuspręsti, pavyzdžiui:
Užrašykite pirmuosius šešis aritmetinės progresijos (a n) narius, jei a 2 = 5, d = -2,5.
Ar tai įkvepia?) Raidės, kai kurios rodyklės... O užduotis, beje, negalėjo būti lengvesnė. Jums tereikia suprasti terminų ir žymėjimo prasmę. Dabar mes įsisavinsime šį reikalą ir grįšime prie užduoties.
Terminai ir pavadinimai.
Aritmetinė progresija yra skaičių serija, kurioje kiekvienas skaičius skiriasi nuo ankstesnio ta pačia suma.
Ši vertė vadinama . Panagrinėkime šią koncepciją išsamiau.
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos skirtumas yra suma, kuria bet koks progresijos skaičius daugiau ankstesnįjį.
Vienas svarbus punktas. Prašome atkreipti dėmesį į žodį "daugiau". Matematiškai tai reiškia, kad gaunamas kiekvienas progresijos skaičius pridedant aritmetinės progresijos skirtumas nuo ankstesnio skaičiaus.
Norėdami apskaičiuoti, tarkime antra eilutės numeriai, būtina Pirmas numerį papildytišis aritmetinės progresijos skirtumas. Skaičiavimui penktoji– skirtumas būtinas papildytiĮ ketvirta na ir t.t.
Aritmetinės progresijos skirtumas Gal būt teigiamas tada kiekvienas serijos skaičius pasirodys tikras daugiau nei ankstesnis.Ši progresija vadinama didėja. Pavyzdžiui:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Čia yra kiekvienas skaičius pridedant teigiamas skaičius, +5 prieš ankstesnįjį.
Skirtumas gali būti neigiamas tada kiekvienas serijos skaičius bus mažiau nei ankstesnis.Ši progresija vadinama (jūs nepatikėsite!) mažėja.
Pavyzdžiui:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Čia taip pat gaunamas kiekvienas skaičius pridedantį ankstesnį, bet jau neigiamą skaičių, -5.
Beje, dirbant su progresija labai naudinga iš karto nustatyti jos pobūdį – ar ji didėja, ar mažėja. Tai labai padeda orientuotis priimant sprendimą, aptikti savo klaidas ir jas ištaisyti, kol dar nevėlu.
Aritmetinės progresijos skirtumas paprastai žymimas raide d.
Kaip rasti d? Labai paprasta. Būtina atimti iš bet kurio serijos skaičiaus ankstesnis numerį. Atimti. Beje, atimties rezultatas vadinamas „skirtumu“.)
Apibrėžkime, pvz. d didėjančiai aritmetinei progresijai:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Paimame bet kokį norimos eilutės skaičių, pavyzdžiui, 11. Iš jo atimame ankstesnis numeris tie. 8:
Tai teisingas atsakymas. Šiai aritmetinei progresijai skirtumas yra trys.
Galite tiesiog paimti bet koks progresavimo skaičius, nes tam tikrai progresijai d-visada taip pat. Bent kažkur eilės pradžioje, bent jau viduryje, bent jau bet kur. Negalite imti tik pirmojo numerio. Vien dėl to, kad pats pirmasis numeris jokio ankstesnio.)
Beje, tai žinant d=3, rasti septintą šios progresijos skaičių labai paprasta. Prie penkto skaičiaus pridedame 3 – gauname šeštą, bus 17. Prie šešto skaičiaus pridedame tris, gauname septintą skaičių – dvidešimt.
Apibrėžkime d mažėjančiai aritmetinei progresijai:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Primenu, kad, nepaisant ženklų, nustatyti d reikia iš bet kurio skaičiaus atimti ankstesnį. Mes pasirenkame bet kokį progresijos skaičių, pavyzdžiui -7. Ankstesnis jo numeris yra -2. Tada:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Aritmetinės progresijos skirtumas gali būti bet koks skaičius: sveikasis, trupmeninis, neracionalus, bet koks.
Kiti terminai ir pavadinimai.
Kiekvienas serijos numeris vadinamas aritmetinės progresijos narys.
Kiekvienas progreso narys turi savo numerį. Skaičiai griežtai tvarkingi, be jokių gudrybių. Pirma, antra, trečia, ketvirta ir kt. Pavyzdžiui, progresijoje 2, 5, 8, 11, 14, ... du yra pirmasis narys, penki yra antrasis, vienuolika yra ketvirtas, gerai, jūs suprantate...) Prašome aiškiai suprasti - patys skaičiai gali būti visiškai bet koks, visas, trupmeninis, neigiamas, bet koks, bet numeracija- griežtai tvarka!
Kaip įrašyti progresą bendras vaizdas? Jokiu problemu! Kiekvienas serijos skaičius parašytas kaip raidė. Aritmetinei progresijai žymėti, kaip taisyklė, naudojama raidė a. Nario numeris nurodomas rodyklės apačioje dešinėje. Nariai rašomi atskirti kableliais (arba kabliataškiais), pavyzdžiui:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 yra pirmasis numeris a 3- trečia ir kt. Nieko sudėtingo. Šią seriją galite trumpai parašyti taip: (a n).
Yra progresijos baigtinis ir begalinis.
Galutinis progresija turi ribotą narių skaičių. Penki, trisdešimt aštuoni, nesvarbu. Bet tai yra baigtinis skaičius.
Begalinis progresija – turi begalinį narių skaičių, kaip galite spėti.)
Galite parašyti galutinę tokios serijos eigą, visus narius ir tašką pabaigoje:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Arba taip, jei narių daug:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Trumpame įraše turėsite papildomai nurodyti narių skaičių. Pavyzdžiui (dvidešimties narių), taip:
(a n), n = 20
Begalinę eigą galima atpažinti iš elipsės eilutės pabaigoje, kaip šios pamokos pavyzdžiuose.
Dabar jau galite spręsti užduotis. Užduotys paprastos, skirtos tik aritmetinės progresijos prasmės supratimui.
Aritmetinės progresijos užduočių pavyzdžiai.
Pažvelkime atidžiau į aukščiau pateiktą užduotį:
1. Užrašykite pirmuosius šešis aritmetinės progresijos narius (a n), jei a 2 = 5, d = -2,5.
Užduotį išverčiame į suprantamą kalbą. Duota begalinė aritmetinė progresija. Žinomas antrasis šios progresijos skaičius: a 2 = 5.Žinomas progresavimo skirtumas: d = -2,5. Turime rasti pirmą, trečią, ketvirtą, penktą ir šeštą šios pažangos narius.
Aiškumo dėlei aš parašysiu seriją pagal problemos būklę. Pirmieji šeši nariai, kai antrasis narys yra penki:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,...
a 3 = a 2 + d
Mes pakeičiame išraišką a 2 = 5 Ir d=-2,5. Nepamirškite minuso!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Trečias terminas yra mažesnis nei antrasis. Viskas logiška. Jei skaičius didesnis nei ankstesnis neigiamas vertė, todėl pats skaičius bus mažesnis nei ankstesnis. Progresas mažėja. Gerai, atsižvelkime į tai.) Mes svarstome ketvirtąjį savo serijos narį:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Taigi, buvo apskaičiuoti terminai nuo trečio iki šešto. Taip atsirado serija:
a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....
Belieka surasti pirmąjį terminą a 1 pagal gerai žinomą antrąjį. Tai žingsnis kita kryptimi, į kairę.) Vadinasi, aritmetinės progresijos skirtumas d neturėtų būti pridėta a 2, A Atimti:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Tai viskas. Atsakymas į užduotį:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Prabėgomis pažymiu, kad šią užduotį išsprendėme pasikartojantis būdu. Šis baisus žodis reiškia tik progreso nario paiešką pagal ankstesnį (greta esantį) skaičių. Kiti būdai dirbti su progresu bus aptarti vėliau.
Iš šios paprastos užduoties galima padaryti vieną svarbią išvadą.
Prisiminti:
Jei žinome bent vieną aritmetinės progresijos narį ir skirtumą, galime rasti bet kurį šios progresijos narį.
Prisiminti? Ši paprasta išvada leidžia išspręsti daugumą mokyklos kurso problemų šia tema. Visos užduotys sukasi aplink tris pagrindinius parametrus: aritmetinės progresijos narys, progresijos skirtumas, progresijos nario skaičius. Visi.
Žinoma, visa ankstesnė algebra neatšaukiama.) Prie progresijos pridedamos nelygybės, lygtys ir kiti dalykai. Bet pagal progresą– viskas sukasi aplink tris parametrus.
Pavyzdžiui, apsvarstykite keletą populiarių užduočių šia tema.
2. Parašykite galutinę aritmetinę progresiją kaip eilutę, jei n=5, d=0,4 ir a 1=3,6.
Čia viskas paprasta. Viskas jau duota. Reikia atsiminti, kaip skaičiuojami aritmetinės progresijos nariai, skaičiuojami ir užrašomi. Patartina nepraleisti žodžių užduoties sąlygoje: „galutinis“ ir „ n=5". Kad neskaičiuotumėte tol, kol visiškai pamėlynuosite.) Šioje eigoje yra tik 5 (penki) nariai:
a 2 \u003d a 1 + d = 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d = 4 + 0,4 \u003d 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Belieka surašyti atsakymą:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Kita užduotis:
3. Nustatykite, ar skaičius 7 bus aritmetinės progresijos narys (a n), jei a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kas žino? Kaip ką nors apibrėžti?
Kaip-kaip... Taip, užrašykite progresą serijos forma ir pažiūrėkite, bus septynetas ar ne! Mes tikime:
a 2 \u003d a 1 + d = 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d = 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Dabar aiškiai matyti, kad mūsų vos septyni praslydo pro šalį nuo 6,5 iki 7,7! Septyni nepateko į mūsų skaičių seką, todėl septynetas nebus nurodytos progresijos narys.
Atsakymas: ne.
Ir čia yra problema, pagrįsta tikra versija GIA:
4. Išrašomi keli iš eilės aritmetinės progresijos nariai:
...; 15; X; 9; 6; ...
Čia yra serija be pabaigos ir pradžios. Nėra narių numerių, jokio skirtumo d. Viskas gerai. Norėdami išspręsti problemą, pakanka suprasti aritmetinės progresijos reikšmę. Pažiūrėkime ir pažiūrėkime, ką galime žinoti iš šios linijos? Kokie yra trijų pagrindinių parametrai?
Narių numeriai? Čia nėra nei vieno numerio.
Bet yra trys skaičiai ir – dėmesio! - žodis "iš eilės" būklės. Tai reiškia, kad skaičiai yra griežtai tvarkingi, be tarpų. Ar yra du šioje eilutėje? kaimyninisžinomi skaičiai? Taip aš turiu! Tai yra 9 ir 6. Taigi galime apskaičiuoti aritmetinės progresijos skirtumą! Iš šešių atimame ankstesnis numeris, t.y. devyni:
Liko tuščių vietų. Koks skaičius bus ankstesnis x? penkiolika. Taigi x galima lengvai rasti paprastu pridėjimu. Prie 15 pridėkite aritmetinės progresijos skirtumą:
Tai viskas. Atsakymas: x=12
Toliau nurodytas problemas sprendžiame patys. Pastaba: šie galvosūkiai nėra skirti formulėms. Vien tam, kad suprastume aritmetinės progresijos reikšmę.) Tiesiog užrašome skaičių-raidžių eilę, žiūrime ir galvojame.
5. Raskite pirmąjį teigiamą aritmetinės progresijos narį, jei a 5 = -3; d = 1,1.
6. Yra žinoma, kad skaičius 5,5 yra aritmetinės progresijos narys (a n), kur a 1 = 1,6; d = 1,3. Nustatykite šio nario skaičių n.
7. Yra žinoma, kad aritmetinėje progresijoje a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Raskite 3.
8. Išrašomi keli iš eilės aritmetinės progresijos nariai:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Raskite progresijos terminą, pažymėtą raide x.
9. Traukinys pradėjo judėti iš stoties, palaipsniui didindamas greitį 30 metrų per minutę. Koks bus traukinio greitis po penkių minučių? Atsakymą pateikite km/val.
10. Žinoma, kad aritmetinėje progresijoje a 2 = 5; a 6 = -5. Raskite 1.
Atsakymai (netvarkingai): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Viskas pavyko? Nuostabu! Norėdami sužinoti daugiau, galite išmokti aritmetinę progresiją aukštas lygis, kitose pamokose.
Ar ne viskas pavyko? Jokiu problemu. Specialiame 555 skyriuje visi šie galvosūkiai yra suskirstyti po gabalėlį.) Ir, žinoma, aprašyta paprasta praktinė technika, kuri iš karto aiškiai, aiškiai, kaip ant delno, išryškina tokių užduočių sprendimą!
Beje, galvosūkyje apie traukinį yra dvi problemos, dėl kurių žmonės dažnai suklumpa. Vienas – tik progresuojant, o antrasis – bendras visoms matematikos ir fizikos užduotims. Tai matmenų vertimas iš vieno į kitą. Tai parodo, kaip šios problemos turi būti sprendžiamos.
Šioje pamokoje nagrinėjome elementariąją aritmetinės progresijos reikšmę ir pagrindinius jos parametrus. To pakanka beveik visoms šios temos problemoms išspręsti. Papildyti dį skaičius, parašyk seriją, viskas bus nuspręsta.
Pirštų sprendimas puikiai tinka labai trumpoms serijos dalims, kaip parodyta šios pamokos pavyzdžiuose. Jei serija ilgesnė, skaičiavimai tampa sudėtingesni. Pavyzdžiui, jei klausime 9 uždavinys, pakeiskite "penkios minutės"įjungta "trisdešimt penkios minutės" problema taps daug blogesnė.)
Taip pat yra užduočių, kurios yra paprastos iš esmės, bet visiškai absurdiškos skaičiavimo požiūriu, pavyzdžiui:
Duota aritmetinė progresija (a n). Raskite 121, jei 1 = 3 ir d = 1/6.
Ir ką, pridėsime 1/6 daug daug kartų?! Ar įmanoma nusižudyti!?
Galite.) Jei nežinote paprastos formulės, pagal kurią per minutę galite išspręsti tokias užduotis. Ši formulė bus kitoje pamokoje. Ir ta problema ten išspręsta. Per minutę.)
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)
galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
