Funkcijos, visai nebūtina žinoti apie pirmojo ir antrojo darinių buvimą ir juos suprasti fizinę reikšmę. Pirmiausia turite suprasti šiuos dalykus:
- funkcijos ekstremumai padidina arba, atvirkščiai, sumažina funkcijos reikšmę savavališkai mažoje kaimynystėje;
- Ekstremaliame taške neturėtų būti funkcijos nutrūkimų.
Ir dabar tai tas pats, tik paprasta kalba. Pažiūrėkite į strypo galą šratinukas. Jei rašiklis pastatytas vertikaliai, rašomasis galas į viršų, tada pats rutulio vidurys bus ekstremumas – aukščiausias taškas. Šiuo atveju kalbame apie maksimumą. Dabar, jei pasuksi rašiklį rašymo galu žemyn, tada rutulio viduryje jau bus minimali funkcija. Naudodamiesi čia pateiktu paveikslu, galite įsivaizduoti išvardytas raštinės reikmenų pieštuko manipuliacijas. Taigi funkcijos ekstremumai visada yra kritiniai taškai: jos maksimumas arba minimumas. Gretima grafiko atkarpa gali būti kiek norima aštri arba lygi, tačiau ji turi egzistuoti iš abiejų pusių, tik šiuo atveju taškas yra ekstremumas. Jei grafikas yra tik vienoje pusėje, šis taškas nebus ekstremumas, net jei vienoje pusėje bus įvykdytos ekstremumo sąlygos. Dabar panagrinėkime funkcijos kraštutinumus su mokslinis taškas regėjimas. Kad taškas būtų laikomas ekstremumu, būtina ir pakanka, kad:
- pirmoji išvestinė taške buvo lygi nuliui arba neegzistavo;
- pirmasis vedinys šioje vietoje pakeitė savo ženklą.
Sąlyga aiškinama šiek tiek kitaip aukštesnės eilės išvestinių požiūriu: funkcijai, kuri yra diferencijuojama taške, pakanka, kad būtų nelyginės eilės išvestinė, kuri nėra lygi nuliui, o visos žemesnės eilės išvestinės turi egzistuoti. ir būti lygus nuliui. Tai paprasčiausias galimas teoremų aiškinimas iš vadovėlių.Tačiau daugumai paprasti žmonėsŠį klausimą verta paaiškinti pavyzdžiu. Pagrindas yra įprasta parabolė. Iš karto padarykime rezervaciją: nuliniame taške jis turi minimumą. Šiek tiek matematikos:
- pirmoji išvestinė (X 2) | = 2X, nuliniam taškui 2X = 0;
- antra išvestinė (2X) | = 2, nuliniam taškui 2 = 2.
Šis paprastas būdas iliustruoja sąlygas, kurios nulemia funkcijos ekstremalumą ir pirmos eilės išvestinėms, ir išvestinėms aukštesnė tvarka. Prie to galime pridurti, kad antroji išvestinė yra lygiai tokia pati nelyginės eilės išvestinė, kuri nėra lygi nuliui, kas buvo aptarta aukščiau. Kai kalbama apie dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumus, abiem argumentams turi būti įvykdytos sąlygos. Kai įvyksta apibendrinimas, naudojami daliniai dariniai. Tai yra, kad taške būtų ekstremumas, būtina, kad abi pirmosios eilės išvestinės būtų lygios nuliui arba bent vienos iš jų nėra. Siekiant užtikrinti, kad pakaktų ekstremumo buvimo, tiriama išraiška, kuri yra skirtumas tarp funkcijos antros eilės išvestinių sandaugos ir mišrios antros eilės išvestinės kvadrato. Jei ši išraiška didesnė už nulį, tada yra ekstremumas, o jei jis lygus nuliui, klausimas lieka atviras ir reikia atlikti papildomus tyrimus.
Tai gana įdomi matematikos dalis, su kuria susiduria absoliučiai visi absolventai ir studentai. Tačiau ne visi mėgsta matą. Kai kurie negali suprasti net pagrindinių dalykų, pavyzdžiui, iš pažiūros standartinio funkcijų tyrimo. Šis straipsnis skirtas tokiai klaidai ištaisyti. Norite sužinoti daugiau apie funkcijų analizę? Ar norėtumėte sužinoti, kas yra ekstremalumo taškai ir kaip juos rasti? Tada šis straipsnis skirtas jums.
Funkcijos grafiko studijavimas
Pirma, verta suprasti, kodėl iš viso reikia analizuoti grafiką. Yra paprastų funkcijų, kurias nesunku nupiešti. Ryškus pavyzdys Parabolė gali atlikti panašią funkciją. Nubraižyti grafiką nebus sunku. Viskas, ko reikia, tai naudojant paprastą transformaciją, rasti skaičius, kuriems esant funkcija įgauna reikšmę 0. Ir iš esmės tai viskas, ką reikia žinoti norint nubraižyti parabolės grafiką.
Bet ką daryti, jei funkcija, kurią turime sudaryti diagramoje, yra daug sudėtingesnė? Kadangi savybės sudėtingos funkcijos yra gana neakivaizdūs, būtina atlikti visa analizė. Tik po to funkcija gali būti pavaizduota grafiškai. Kaip tai padaryti? Atsakymą į šį klausimą galite rasti šiame straipsnyje.
Funkcijų analizės planas
Pirmas dalykas, kurį turime padaryti, yra atlikti paviršutinišką funkcijos tyrimą, kurio metu randame apibrėžimo sritį. Taigi, pradėkime iš eilės. Apibrėžimo sritis yra reikšmių rinkinys, pagal kurį apibrėžiama funkcija. Paprasčiau tariant, tai yra skaičiai, kuriuos galima naudoti funkcijoje vietoj x. Norėdami nustatyti apimtį, tereikia pažvelgti į įrašą. Pavyzdžiui, akivaizdu, kad funkcija y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 turi apibrėžimo sritį, kuri yra realiųjų skaičių aibė. Na, su tokia funkcija kaip (x 2 - 2x)/x viskas yra šiek tiek kitaip. Kadangi skaičius vardiklyje neturi būti lygus 0, šios funkcijos apibrėžimo sritis bus visi tikrieji skaičiai, išskyrus nulį.
Toliau reikia rasti vadinamuosius funkcijos nulius. Tai yra argumentų reikšmės, kuriose visa funkcija įgyja nulinę reikšmę. Norėdami tai padaryti, funkciją reikia prilyginti nuliui, išsamiai apsvarstyti ir atlikti kai kurias transformacijas. Paimkime jau pažįstamą funkciją y(x) = (x 2 - 2x)/x. Iš mokyklos kurso žinome, kad trupmena lygi 0, kai skaitiklis lygus nuliui. Todėl vardiklį atmetame ir pradedame dirbti su skaitikliu, prilygindami jį nuliui. Gauname x 2 - 2x = 0 ir x įdedame iš skliaustų. Taigi x (x - 2) = 0. Dėl to mes nustatome, kad mūsų funkcija yra lygi nuliui, kai x lygi 0 arba 2.
Nagrinėdami funkcijos grafiką, daugelis žmonių susiduria su problemomis, atsirandančiomis dėl ekstremalių taškų. Ir tai keista. Juk kraštutinumai – gana paprasta tema. Netikite manimi? Įsitikinkite patys skaitydami šią straipsnio dalį, kurioje kalbėsime apie minimalius ir maksimalius taškus.
Pirma, verta suprasti, kas yra ekstremumas. Ekstremalumas yra ribinė vertė, kurią funkcija pasiekia grafike. Pasirodo, yra dvi kraštutinės vertės - didžiausia ir mažiausia. Aiškumo dėlei galite pažiūrėti aukščiau esantį paveikslėlį. Tiriamoje srityje taškas -1 yra funkcijos y (x) = x 5 - 5x maksimumas, o taškas 1 atitinkamai yra minimumas.
Be to, nepainiokite sąvokų. Funkcijos ekstremalūs taškai yra tie argumentai, kuriuose tam tikra funkcija įgyja kraštutines reikšmes. Savo ruožtu ekstremumas yra funkcijos minimumų ir maksimumų reikšmė. Pavyzdžiui, dar kartą apsvarstykite aukščiau pateiktą paveikslą. -1 ir 1 yra funkcijos ekstremalūs taškai, o 4 ir -4 yra patys ekstremumai.
Ekstremalumo taškų paieška
Bet kaip rasti funkcijos kraštutinius taškus? Viskas gana paprasta. Pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra rasti lygties išvestinę. Tarkime, gavome užduotį: „Raskite funkcijos y (x) kraštutinius taškus, x yra argumentas. Aiškumo dėlei paimkime funkciją y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Atskirkime ir gaukite tokią lygtį: 3x 2 + 4x + 1. Dėl to turime standartinę kvadratinę lygtį. Viskas, ką turime padaryti, tai prilyginti ją nuliui ir rasti šaknis. Kadangi diskriminantas yra didesnis už nulį (D = 16 - 12 = 4), šią lygtį nulemia dvi šaknys. Raskite jas ir gaukite dvi reikšmes: 1/3 ir -1. Tai bus funkcijos ekstremumai. Tačiau kaip vis tiek galite nustatyti, kas yra kas? Kuris taškas yra didžiausias, o kuris yra mažiausias? Norėdami tai padaryti, turite paimti gretimą tašką ir sužinoti jo reikšmę. Pavyzdžiui, paimkite skaičių -2, kuris yra kairėje išilgai koordinačių linijos nuo -1 . Pakeiskite šią reikšmę į mūsų lygtį y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Dėl to gauname teigiamą skaičių. Tai reiškia, kad intervale nuo Funkcija padidėja nuo 1/3 iki -1. , savo ruožtu, reiškia, kad intervalais nuo minus begalybės iki 1/3 ir nuo -1 iki plius begalybės funkcija mažėja. Taigi galime daryti išvadą, kad skaičius 1/3 yra mažiausias funkcijos taškas tiriamame intervale, o -1 yra didžiausias taškas.
Taip pat verta paminėti, kad vieningam valstybiniam egzaminui reikia ne tik surasti ekstremalių taškų, bet ir su jais atlikti tam tikrą operaciją (sudėti, dauginti ir pan.). Būtent dėl šios priežasties verta mokėti Ypatingas dėmesys prie problemos sąlygų. Juk dėl neatidumo galite prarasti taškus.
Kaip matote, šis funkcijos ekstremumo ženklas reikalauja, kad taške būtų bent jau antros eilės išvestinė.
Pavyzdys.
Raskite funkcijos kraštutinumą.
Sprendimas.
Pradėkime nuo apibrėžimo srities: 
Išskirkime pradinę funkciją: 
x=1, tai yra galimo ekstremumo taškas. Randame antrąją funkcijos išvestinę ir apskaičiuojame jos reikšmę ties x = 1:
Todėl pagal antrąją pakankamą ekstremumo sąlygą, x=1- maksimalus taškas. Tada 
- maksimali funkcija.
Grafinė iliustracija.
Atsakymas:
Trečioji pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga.
Tegul funkcija y=f(x) turi išvestinių priemonių iki n-toji eilė taško kaimynystėje ir vediniai iki n+1-toji tvarka pačiame taške. Tebūnie.
Pavyzdys.
Raskite funkcijos kraštutinius taškus 
.
Sprendimas.
Pradinė funkcija yra racionali visa funkcija; jos apibrėžimo sritis yra visa realiųjų skaičių rinkinys.
Išskirkime funkciją: 
Išvestinė eina į nulį ties 
, todėl tai yra galimo ekstremumo taškai. Panaudokime trečią pakankamą ekstremumo sąlygą.
Randame antrąją išvestinę ir apskaičiuojame jos reikšmę galimo ekstremumo taškuose (tarpinius skaičiavimus praleisime): 
Vadinasi, yra maksimalus taškas (už trečią pakankamą ekstremumo ženklą turime n=1 Ir).
Norėdami išsiaiškinti taškų prigimtį 
randame trečiąją išvestinę ir apskaičiuojame jos vertę šiuose taškuose: 
Todėl yra funkcijos vingio taškas ( n=2 Ir).
Belieka susitvarkyti su esme. Mes randame ketvirtąją išvestinę ir apskaičiuojame jos vertę šioje vietoje: 
Todėl yra mažiausias funkcijos taškas.
Grafinė iliustracija.
Atsakymas:
Maksimalus taškas yra mažiausias funkcijos taškas.
10. Funkcijos ekstremumas Ekstremo apibrėžimas
Iškviečiama funkcija y = f(x). didėja (mažėja) tam tikru intervalu, jei x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).
Jei diferencijuojama funkcija y = f(x) didėja (mažėja) intervale, tai jos išvestinė šiame intervale f " (x) 0
(f " (x) 0).
Taškas x O paskambino vietinis maksimalus taškas (minimumas) funkcija f(x), jei yra taško kaimynystė x O, visiems taškams, kurių nelygybė f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) yra teisinga.
Vadinami didžiausi ir mažiausi taškai ekstremalūs taškai, o funkcijos reikšmės šiuose taškuose yra jos kraštutinumai.
Ekstremalūs taškai
Būtinos sąlygos ekstremumui. Jei taškas x O yra funkcijos f(x) ekstremumo taškas, tada arba f " (x o) = 0, arba f (x o) neegzistuoja. Tokie taškai vadinami kritiškas, o pati funkcija apibrėžiama kritiniame taške. Funkcijos kraštutinumo reikia ieškoti tarp jos kritinių taškų.
Pirma pakankama sąlyga. Leisti x O- kritinis taškas. Jei f "(x), kai eina per tašką x O pakeičia pliuso ženklą į minusą, tada taške x O funkcija turi maksimumą, kitu atveju turi minimumą. Jei, einant per kritinį tašką, išvestinė ženklo nekeičia, tai taške x O ekstremalaus nera.
Antra pakankama sąlyga. Tegul funkcija f(x) turi išvestinę f " (x) netoli taško x O o antroji išvestinė pačiame taške x O. Jei f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка x O yra funkcijos f(x) lokalus minimumas (maksimalus) taškas. Jei =0, tuomet reikia arba naudoti pirmąją pakankamą sąlygą, arba naudoti aukštesnes išvestines.
Atkarpoje funkcija y = f(x) gali pasiekti mažiausią arba didžiausią reikšmę kritiniuose taškuose arba atkarpos galuose.
3.22 pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ekstremalumą.
Sprendimas. Kadangi f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2) (x - 3), tada kritiniai funkcijos x 1 = 2 ir x 2 = 3 taškai. Ekstrema gali būti tik ties taigi, kai eidama per tašką x 1 = 2 išvestinė pakeičia savo ženklą iš pliuso į minusą, tai šioje vietoje funkcija turi maksimumą.Eidama per tašką x 2 = 3 išvestinė pakeičia ženklą iš minuso prie pliuso, todėl taške x 2 = 3 funkcija turi minimumą. Apskaičiavę funkcijos reikšmes taškuose x 1 = 2 ir x 2 = 3, randame funkcijos ekstremalumą: maksimalus f( 2) = 14 ir mažiausias f(3) = 13.
Apibrėžimai:
Ekstremalumas iškviesti didžiausią arba mažiausią funkcijos reikšmę duotoje aibėje.
Ekstremalus taškas yra taškas, kuriame pasiekiama maksimali arba mažiausia funkcijos reikšmė.
Maksimalus taškas yra taškas, kuriame pasiekiama maksimali funkcijos reikšmė.
Minimalus taškas yra taškas, kuriame pasiekiama mažiausia funkcijos reikšmė.
Paaiškinimas.
Paveiksle, šalia taško x = 3, funkcija pasiekia didžiausią vertę (ty šalia šio konkretaus taško nėra aukštesnio taško). Kaimynystėje x = 8, ji vėl turi didžiausią reikšmę (paaiškinkime dar kartą: būtent šioje kaimynystėje nėra taško aukščiau). Šiuose taškuose padidėjimas užleidžia vietą mažėjimui. Tai yra didžiausi taškai:
x max = 3, x max = 8.
Netoli taško x = 5 pasiekiama mažiausia funkcijos reikšmė (ty šalia x = 5 taško žemiau nėra). Šiuo metu sumažėjimas užleidžia vietą padidėjimui. Tai yra minimalus taškas:
Maksimalus ir minimalus taškai yra funkcijos ekstremalūs taškai, o funkcijos reikšmės šiuose taškuose yra jos kraštutinumai.
Kritiniai ir stacionarūs funkcijos taškai:
Būtina ekstremumo sąlyga:
Pakankama sąlyga ekstremumui:
Segmente funkcija y = f(x) gali pasiekti mažiausią arba didžiausią vertę kritiniuose taškuose arba atkarpos galuose.
Tolydžios funkcijos tyrimo algoritmasy = f(x) monotoniškumui ir ekstremalumui:
Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?
Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.
Būtinoji funkcijos maksimumo ir minimumo (ekstremumo) sąlyga yra tokia: jei funkcijos f(x) taške x = a yra ekstremumas, tai išvestinė šiame taške yra arba nulis, arba begalinė, arba neegzistuoja.
Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali eiti į nulį, begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.
Kokia yra pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga (maksimali arba mažiausia)?
Pirmoji sąlyga:
Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus
Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra neigiama kairėje nuo a ir teigiama į dešinę nuo a, tai taške x = a funkcija f(x) turi minimumas su sąlyga, kad funkcija f(x) čia yra ištisinė.
Vietoj to galite naudoti antrąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:
Tegul taške x = a pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(a) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai turi minimumą.
Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?
Tai funkcijos argumento reikšmė, kuriai esant funkcijai yra ekstremumas (t. y. maksimalus arba minimumas). Norėdami jį rasti, jums reikia rasti išvestinę funkcija f?(x) ir, prilyginant ją nuliui, išspręskite lygtį f?(x) = 0. Šios lygties šaknys, taip pat tie taškai, kuriuose šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, yra kritiniai taškai, t.y. argumento reikšmės, kuriose gali būti ekstremumas. Juos nesunku atpažinti pažiūrėjus išvestinis grafikas: mus domina tos argumento reikšmės, kuriose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (Ox ašį), ir tos, kuriose grafikas nutrūksta.
Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.
Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2
Išspręskite lygtį: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Šiuo atveju kritinis taškas yra x0=-1/3. Funkcija turi šią argumento reikšmę ekstremumas. Jam rasti, pakeiskite rastą skaičių funkcijos išraiškoje vietoj „x“:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?
Jei išvestinės ženklas einant per kritinį tašką x0 pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai x0 yra maksimalus taškas; jei išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, tai x0 yra minimalus taškas; jei ženklas nesikeičia, tai taške x0 nėra nei maksimumo, nei minimumo.
Nagrinėjamu pavyzdžiu:
Paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško kairėje: x = -1
Esant x = -1, išvestinės vertė bus y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. ženklas yra „minusas“).
Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1
Esant x = 1, išvestinės reikšmė bus y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. ženklas yra „pliusas“).
Kaip matote, išvestinė ženklą iš minuso į pliusą, eidama per kritinį tašką, pakeitė. Tai reiškia, kad esant kritinei vertei x0 turime mažiausią tašką.
Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė ant intervalo(segmente) randami naudojant tą pačią procedūrą, tik atsižvelgiant į tai, kad galbūt ne visi kritiniai taškai bus nurodytame intervale. Tie kritiniai taškai, kurie yra už intervalo ribų, turi būti neįtraukti. Jei intervale yra tik vienas kritinis taškas, jis turės arba maksimumą, arba minimumą. Šiuo atveju, norėdami nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes, taip pat atsižvelgiame į funkcijos reikšmes intervalo galuose.
Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes
y(x) = 3sin(x) – 0,5x
intervalais:
Taigi, funkcijos išvestinė yra
y?(x) = 3cos(x) – 0,5
Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arkos(0,16667) + 2πk.
Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (neįtraukta į intervalą)
x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = Arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arckos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (neįtraukta į intervalą)
Funkcijų reikšmes randame prie kritinių argumento verčių:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Matyti, kad intervale [-9; 9] funkcija turi didžiausią reikšmę, kai x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
o mažiausias - esant x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra lygi y = 5,398.
Raskite funkcijos reikšmę intervalo galuose:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę
y = 5,398, kai x = -4,88
mažiausia vertė -
y = 1,077, kai x = -3
Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubtą ir įgaubtą puses?
Norėdami rasti visus tiesės y = f(x) vingio taškus, turite rasti antrąją išvestinę, prilyginti ją nuliui (išspręsti lygtį) ir išbandyti visas tas x reikšmes, kurių antroji išvestinė lygi nuliui, begalinis arba neegzistuoja. Jei, einant per vieną iš šių reikšmių, antroji išvestinė keičia ženklą, tai funkcijos grafikas šiame taške turi linksnį. Jei jis nesikeičia, tada nėra lenkimo.
Lygties f šaknys? (x) = 0, taip pat galimi funkcijos ir antrosios išvestinės nutrūkimo taškai, padalina funkcijos apibrėžimo sritį į daugybę intervalų. Išgaubtumą kiekviename jų intervale lemia antrosios išvestinės ženklas. Jei antroji išvestinė tiriamo intervalo taške yra teigiama, tai linija y = f(x) yra įgaubta aukštyn, o jei neigiama, tada žemyn.
Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumą?
Norint rasti funkcijos f(x,y), diferencijuojamos jos specifikacijos srityje, kraštutinumą, reikia:
1) suraskite kritinius taškus ir tam - išspręskite lygčių sistemą
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs
visuose taškuose (x;y) pakankamai arti P0. Jei skirtumas išlieka teigiamas, tai taške P0 turime minimumą, jei neigiamą, tai maksimumą. Jei skirtumas neišlaiko savo ženklo, tada taške P0 nėra ekstremumo.
Funkcijos ekstremumai nustatomi panašiai didesniam argumentų skaičiui.
Kada lapkričio mėnesį švenčiama Pasaulinė televizijos diena?
1996 m. gruodžio 17 d. Generalinė Asamblėja paskelbė lapkričio 21 d. Pasauline televizijos diena, skirta paminėti pirmojo Pasaulio televizijos forumo Jungtinėse Tautose datą. Valstybės buvo paprašyta paminėti šią dieną keičiantis televizijos programomis tokiais klausimais kaip taika, saugumas
Kas yra paukščių vyšnia
Paukščių vyšnios yra vyšnių rūšis, Rosaceae šeima, kilusi iš Šiaurės Europos ir Šiaurės Azijos. Tai gana aukštas krūmas, kurio aukštis siekia iki 16 metrų. Paprastai paukščių vyšnių aukštis yra apie 9 metrus. Jai būdingas kvapnus gėlių aromatas. Auga ne mažiau kaip 800 metrų virš jūros lygio. Mėgsta rūgščias ąžuolines dirvas
Kokius du etapus apima ląstelių dalijimosi laikotarpis (M fazė)?
Ląstelės ciklas yra ląstelės egzistavimo laikotarpis nuo jos susiformavimo dalijantis motininei ląstelei iki jos pačios dalijimosi arba mirties. Ląstelių ciklo trukmė įvairiose ląstelėse skiriasi. Į ląstelių ciklą gali patekti greitai besidauginančios suaugusių organizmų ląstelės, tokios kaip epidermio ir plonosios žarnos kraujodaros arba bazinės ląstelės.
Kodėl „Opera“ naršyklė nerodo pagrindinio meniu?
Norint sutaupyti ekrano vietos „Opera“ naršyklėje, pradedant nuo 10.5 versijos, pagrindinis meniu pagal numatytuosius nustatymus yra išjungtas. Kūrėjai tokį sprendimą priėmė dėl internetinių kompiuterių su mažais ekranais ir plataus formato LCD monitorių, kurių ekrano aukštis yra žymiai mažesnis už jo plotį, paplitimas. Prieiga prie visų funkcijų, kurios buvo pagrindiniame meniu
Kur yra Bratsko miestas?
Bratskas – miestas Rusijoje, Irkutsko srityje. Geografinė Bratsko padėtis lėmė jo virsmą Šiaurės „vartais“. Miestas yra Rusijos Rytų Sibiro regiono centre, centrinėje Angaros kalnagūbrio dalyje ant Bratsko tvenkinio prie Angaros upės krantų. Atstumas iki regiono centro - Irkutsko miesto:
Kas yra alegorija
Alegorija (iš graikų kalbos allegorija – alegorija) – viena iš alegorijos formų, sąlyginis abstrakčios sąvokos ar sprendimo perteikimas per konkretų vaizdą. Alegorija labiausiai paplitusi vizualiuosiuose menuose (moteris su užrištomis akimis ir svarstyklėmis rankose – teisingumas, inkaras – viltis ir pan.). Literatūroje daug alegorinių vaizdų
Kaip prižiūrėti helichrysum
Helichrysum (Immortelle, Tsmin) Lotyniškas pavadinimas: Helichrysum Kategorijos: vienmečiai augalai, alpinariumo augalai Šeima: Asteraceae (Compositae). Tėvynė: Helichrysum auga vidutinio klimato Europos, Azijos, Afrikos ir Australijos regionuose. Milfordo tsminos tėvynė yra Keiptauno pakraštys. Forma: žolinis augalas
Kas parašė romaną „Balta ir juoda“
Romanas „Balta ir juoda“ yra apie šachmatus ir šachmatininkus. Centrinė romano figūra – didysis šachmatininkas, pasaulio čempionas Aleksandras Aliochinas. Romano „Balta ir juoda“ autorius – iškilus sovietų šachmatininkas, tarptautinis didmeistris, rašytojas, Rašytojų sąjungos narys.
Koks pilnas antrosios Danielio Defo Robinzono Kruzo trilogijos knygos pavadinimas?
Danielis Defo (angl. Daniel Defoe; gimęs Danielio Foe vardu; apie 1660 – 1731 m.) – anglų rašytojas ir publicistas, šiandien žinomas daugiausia kaip romano „Robinzonas Kruzas“ autorius (kaip įprasta mokslinėje literatūros kritikoje ir leidyboje
Ką valgo stomatologai?
Šermukšnis (Mustela erminea) – vertingas kailinių erminų šeimos gyvūnas. Išvaizda. Visi šeškų genties atstovai yra lanksčio, pailgo kūno gyvūnai, labai grakštūs ir judrūs, nuo kiaunių skiriasi tuo, kad snukio gale yra balta spalva. Ausys mažos, suapvalintos, ermino kūno ilgis 16-3
Kokios ligos nepriimamos į kariuomenę?
Tinkamumo karo tarnybai kategorijas („A“, „B“, „C“, „D“, „D“) nustato karo medicinos komisija karo prievolininko sveikatos patikrinimo metu. A – tinkamas karinei tarnybai. B&nd
