Dana Matrix.
Rasti: 1) AA - BB,
Sprendimas Šis sprendimas: 1) Raskite nuosekliai naudojant matricos dauginimo taisykles iki matricų.
2. Raskite * b, jei
Sprendimas Šis sprendimas: Naudokite dauginimo taisyklę matricų
Atsakymas: 
3. Dėl tam tikros matricos rasti nepilnametis M 31 ir apskaičiuoti lemiamumą.
Sprendimas Šis sprendimas: Mažasis M 31 yra matricos, gautos iš
peržengę eilutę 3 ir stulpelyje
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Mes transformuojame matricą A, nekeičiant jo veiksnio (padaryti nulius 1 eilutėje)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Dabar mes apskaičiuojame matricos ir skilimo lemia eilutę 1
Atsakymas: m 31 \u003d 0, deta \u003d 0
Galbūt "Gauss" metodas ir "Cramer" metodas.
2x 1 + x 2 + x 3 \u003d 2
x 1 + x 2 + 3x 3 \u003d 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 \u003d 5
Sprendimas Šis sprendimas: Patikrinti
Galite taikyti kraverio metodą
Sprendimas Sprendimas: x 1 \u003d d 1 / d \u003d 2, x 2 \u003d d2 / d \u003d -5, x 3 \u003d D 3 / d \u003d 3
Taikykite "Gauss" metodą.
Išplėstinė sistemos matrica suteikia trišalią formą.
Dėl kompiuterizavimo patogumo, pakeiskite linijas vietose:
Padauginkite 2 eilutę (k \u003d -1 / 2 \u003d -1 / 2 ) ir pridėkite į 3rd:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Padauginkite 1 eilutę (k \u003d -2 / 2 \u003d -1 ) Ir pridėkite prie 2-ojo:
Dabar šaltinio sistema gali būti parašyta kaip:
x 1 \u003d 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 \u003d 13 - (6x 3)
Nuo 2 linijų Express
Nuo pirmos eilutės mes išreiškiame
Sprendžiant tą patį.
Atsakymas: (2; -5; 3)
Raskite bendrą sistemos ir FSR sprendimą
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 \u003d 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 \u003d 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 \u003d 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 \u003d 0
Sprendimas Šis sprendimas: Taikykite "Gauss" metodą. Išplėstinė sistemos matrica suteikia trišalią formą.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3. | x 4. | x 5. |
Padauginkite 1-ąją eilutę (-11). Padauginkite 2 eilutę (13). Pridėkite antrą eilutę į pirmąjį:
| -2 | -2 | -3 | ||
Padauginkite 2 eilutę (-5). Padauginkite 3 eilutę (11). Mes pridėjome 3 eilutę į antrąjį:
Padauginkite 3 eilutę (-7). Padauginkite 4-ąją eilutę (5). Įdėkite 4 eilutę į 3RD:
Antroji lygtis yra linijinis poilsio derinys
Rasime matricos rangą.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3. | x 4. | x 5. |
Paskirstytas nepilnametis turi aukščiausią užsakymą (nuo galimų kalnakasių) ir skiriasi nuo nulio (jis yra lygus iš atvirkštinio įstrižainės elementų produktui), todėl Rang (A) \u003d 2.
Šis nepilnametis yra pagrindinis. Ji apima koeficientus nežinomuose x 1, x 2, o tai reiškia, kad nežinoma x 1, x 2 - priklausomi (pagrindiniai) ir x 3, x 4, x 5 yra nemokami.
Sistema su šio matricos koeficientais yra lygiavertis šaltinio sistemai ir turi formą:
18x 2 \u003d 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 \u003d - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Nežinomų nežinomų neįtraukimo metodas bendras sprendimas:
x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5
x 1 \u003d - 1/3 x 3
Rasime pagrindinių sprendimų sistemą (FSW), kurią sudaro (N-R) sprendimai. Mūsų atveju N \u003d 5, R \u003d 2, todėl pagrindinė sprendimų sistema susideda iš 3 sprendimų, ir šie sprendimai turi būti linijiškai nepriklausomi.
Taigi, kad linijos būtų linijiškai nepriklausomos, būtina ir pakankamai, kad matricos rangas, sudarytas iš eilių elementų, buvo lygus eilučių skaičiui, ty 3.
Pakanka suteikti nemokamą nežinomą x 3, x 4, x 5 iš 3-osios eilės lemtų lemtų eilučių, skiriasi nuo nulio ir apskaičiuoti x 1, x 2.
Paprasčiausias veiksnys, išskyrus nulį, yra viena matrica.
Bet tai patogiau imtis
Rasti naudojant bendrą sprendimą:
a) x 3 \u003d 6, x 4 \u003d 0, x 5 \u003d 0 þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d -2, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d - 4 þ.
I SPRENDIMAS FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 \u003d 0, x 4 \u003d 6, x 5 \u003d 0 þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d 0, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d - 6 Þ.
II Sprendimas FSR: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 \u003d 0, x 4 \u003d 0, x 5 \u003d 6 þ x 1 \u003d - 1/3 x 3 \u003d 0, x 2 \u003d - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 \u003d -9 Þ.
III FSR sprendimas: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)
6. Dana: Z 1 \u003d -4 + 5i, Z2 \u003d 2 - 4i. Rasti: a) Z1 - 2Z 2 b) Z 1 Z 2 c) Z 1 / z 2
Sprendimas Šis sprendimas: a) Z1 - 2z 2 \u003d -4 + 5i + 2 (2-4i) \u003d -4 + 5i + 4-8i \u003d -3i
b) Z 1 Z2 \u003d (-4 + 5i) (2-4i) \u003d -8 + 10i + 16i-20i 2 \u003d (I 2 \u003d -1) \u003d 12 + 26i
Atsakymas: a) -3i b) 12 + 26i c) -1,4 - 0.3i
Paslaugų paskyrimas. Internetinis skaičiuoklė yra sukurta taip, kad rastų nerivuotą ir esminį Slavos sprendimą. Gautas tirpalas išsaugomas žodžio faile (žr. Pavyzdžio sprendimą).
Instrukcija. Pasirinkite matricos dimensiją:
Linijinių homogeninių lygčių sistemų savybės
Siekiant sistemos nontriviniai tirpalaiTai būtina ir pakankamai, kad jos matricos rangui būtų mažesnis už nežinomų skaičių.Teorema. M \u003d N atveju sistema turi netrivinį tirpalą, jei ir tik tada, kai šios sistemos veiksnys yra nulis.
Teorema. Bet koks linijinis sistemos sprendimų derinys taip pat išsprendžia šią sistemą.
Apibrėžimas. Skambinama linijinių homogeninių lygčių sistemos sprendimų rinkinys pagrindinės sistemos sprendimaiJei šis derinys susideda iš tiesiškai nepriklausomų sprendimų ir bet koks sistemos sprendimas yra linijinis šių sprendimų derinys.
Teorema. Jei sistemos matricos rangas yra mažesnis už nežinomo skaičiaus, tada yra pagrindinė sprendimų sistema, kurią sudaro (N-R) sprendimai.
Algoritmas linijinių homogeninių lygčių sistemų sprendimui
- Rasime matricos rangą.
- Pažymėjome pagrindinį nepilnametį. Mes skiriame priklausomus (pagrindinius) ir nemokamai nežinomus.
- Aš išspręsiu tas sistemos lygtis, kurių koeficientai nėra įtraukti į pagrindinį nepilnametį, nes jie yra poilsio pasekmės (pagal Minimalų teoremą).
- Lygčių, kuriose yra nemokamų nežinomų asmenų, nariai perkeliant į dešinę. Kaip rezultatas, mes gauname sistemą iš R lygtis su R edown, lygiavertis tai, kurio lempa skiriasi nuo nulio.
- Mes išsprendžiame gautą sistemą neįtraukiant nežinomo. Mes randame santykius, išreiškiančius priklausomus kintamuosius nemokamai.
- Jei matricos skudurai nėra lygūs kintamųjų skaičiui, tada mes randame esminį sistemos sprendimą.
- Rang \u003d N atveju mes turime trivialus sprendimas.
Pavyzdys. Rasti vektorių sistemos pagrindus (A 1, A 2, ... ir M), rangų ir išreikšti vektorių pagal pagrindą. Jei 1 \u003d (0,0,1, -1), A2 \u003d (1,1,2,0) ir 3 \u003d (1,1,1,1) ir 4 \u003d (3,2,1, 4) ) ir 5 \u003d (2,1,0,3).
Mes užrašome pagrindinę sistemos matricą:
Padauginkite 3 eilutę (-3). Pridėkite ketvirtą eilutę į 3-ąją:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Padauginkite 4 eilutę (-2). Padauginkite 5-ą eilutę (3). Pridėti 5-ąją eilutę į 4-ąją:
Pridėkite antrą eilutę į pirmąjį:
Rasime matricos rangą.
Sistema su šio matricos koeficientais yra lygiavertis šaltinio sistemai ir turi formą:
- x 3 \u003d - x 4 4
- x 2 - 2x 3 \u003d - x 4
2x 1 + x 2 \u003d - 3x 4
Išskyrus nežinomus, mes randame netrivinį sprendimą:
Gautos santykiai, išreiškiantys priklausomus kintamuosius x 1, x 2, x 3 per nemokamą x 4, tai yra, jie rado bendrą sprendimą:
x 3 \u003d x 4
x 2 \u003d - x 4
x 1 \u003d - x 4
Vienodos linijinių algebrinių lygčių sistemos
Per pamokas gauss metodas ir. \\ T Nebaigtos sistemos / sistemos su bendru sprendimumes apsvarstėme linijinių lygčių inhomogeninės sistemoskur laisvas Dick.(tai paprastai yra teisinga) mažiausiai vienas Iš lygčių buvo skiriasi nuo nulio.
Ir dabar po geros treniruotės su reitingas Matrica.Mes ir toliau šlifuojame įrangą elementarinės transformacijos. ant vienoda linijinių lygčių sistema.
Pasak pirmųjų pastraipų, medžiaga gali atrodyti nuobodu ir paprasta, tačiau šis įspūdis yra apgaulingas. Be to, toliau rengiant techninius metodus bus daug naujos informacijos, todėl pabandykite nepaisyti šio straipsnio pavyzdžių.
Kas yra vienarūšė linijinių lygčių sistema?
Atsakymas rodo save. Linijinių lygčių sistema yra homogeniška, jei laisvas penis kiekvienas Sistemos lygtys yra nulinės. Pavyzdžiui:
Tai gana aišku vienoda sistema visada koordinuojamaTai yra, visada turi sprendimą. Ir, visų pirma, vadinamasis akių skubėjimas trivialus. Sprendimas Šis sprendimas 
. Trivialus, tiems, kurie nesupranta būdvardžio reikšmės, o tai reiškia, kad riba. Ne akademinis, žinoma, bet tada jis yra suprantamas \u003d) ... Ką eiti aplink ir apie tai sužinoti, ar ši sistema turi kitų sprendimų:
1 pavyzdys.
Sprendimas Šis sprendimas: Išspręsti homogeninę sistemą, kurią reikia įrašyti sistemos matrica Ir su pradinių transformacijų pagalba, paskatinti ją į žingsnį. Atkreipkite dėmesį, kad nereikia įrašyti vertikalios linijos ir nulinės kolonos laisvų narių - nes jie nedaro su nuliais, jie išliks nuliai: 
(1) Antroji linija pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Į trečiąją liniją pridėta pirmoji eilutė, padauginta iš -3.
(2) į trečiąją liniją pridėjo antroji eilutė, padauginta nuo -1.
Trečioji linija iki 3 nėra prasminga.
Dėl pradinių transformacijų buvo gauta lygiavertė vienoda sistema. 
ir, taikant atvirkštinio kurso metodą, lengva įsitikinti, kad tirpalas yra unikalus.
Atsakymas:
Mes suformulavome akivaizdžią kriterijų: Vienoda linijinių lygčių sistema tik trivialus sprendimas, jeigu reitingo matricos sistema (Šiuo atveju 3) yra lygus kintamųjų skaičiui (šiuo atveju - 3 vnt.).
Įkaitinkite ir priveržkite savo radiją į elementarių transformacijų bangą:
2 pavyzdys.
Išspręskite homogeninę linijinių lygčių sistemą 
Nuo straipsnio Kaip rasti matricos rangą? Prisimename racionalią atitinkamų matricos numerių sumažėjimo priėmimą. Priešingu atveju turėsite sumažinti didelę ir dažnai kūną. Pavyzdinis užduoties pavyzdys pamokos pabaigoje.
Zeros yra gera ir patogi, tačiau praktikoje atveju yra daug dažniau, kai sistemos matricos eilutės linijly priklausomas. Ir tada bendro sprendimo atsiradimas yra neišvengiamas:
3 pavyzdys.
Išspręskite homogeninę linijinių lygčių sistemą 
Sprendimas Šis sprendimas: Mes parašytume sistemos matricą ir su pradinių transformacijų pagalba mes duosime jį į žingsnis. Pirmasis veiksmas yra nukreiptas ne tik už vieną vertę, bet ir sumažinti skaičių pirmame stulpelyje:
(1) Į pirmąją eilutę pridėjo trečią eilutę, padaugintą iš -1. Antroji linija pridėjo trečią eilutę, padaugintą iš -2. Į kairę viršuje aš gavau vienetą su "minus", kuris dažnai yra daug patogesnis tolesniems transformacijoms.
(2) Pirmosios dvi eilutės yra vienodos, viena iš jų buvo pašalinta. Sąžiningai, nebuvo pritaikyti sprendimą - tai įvyko. Jei atliksite konversijų šabloną, tada linijinis priklausomybė Eilutės būtų parodyti šiek tiek vėliau.
(3) į trečiąją liniją pridėjo antroji eilutė, padauginta iš 3.
(4) Pirmoji eilutė pakeitė ženklą.
Dėl pradinių transformacijų buvo gauta lygiavertė sistema: 
Algoritmas veikia taip pat, kaip inhomogeninės sistemos. \\ T. Kintamieji, "Sėdi ant žingsnių" - pagrindinis, kintamasis, kuris negavo "žingsnių" - nemokamai.
Išreikšti pagrindinius kintamuosius per laisvą kintamąjį: 
Atsakymas: bendras sprendimas: 
Trivialus sprendimas yra įtrauktas į bendrą formulę ir parašykite jį atskirai nereikalingu.
Tikrinimas taip pat atliekamas įprastu būdu: gautas bendras sprendimas turi būti pakeistas į kairę kiekvienos sistemos lygties dalimi ir gauti teisėtą nulį visuose pakeitimuose.
Tai gali būti tyliai baigta, tačiau dažnai reikia pateikti vienodos lygčių sistemos sprendimą vector forma per pagrindinės sistemos sprendimai. Prašome pamiršti analitinė geometrija, nuo šiol tai bus apie bendra algebrinė prasme vektoriai, kuriuos aš bėgau apie straipsnį reitingas Matrica.. Terminologija nereikia patikrinti, viskas yra gana paprasta.
Linijinių algebrinių lygčių sistemų (Slava) tirpalas neabejotinai yra svarbiausia linijinės algebros linijos tema. Didžiulis užduočių skaičius iš visų matematikos skyrių sumažinamas iki linijinių lygčių sistemų sprendimo. Šie veiksniai paaiškina šio straipsnio kūrimo priežastį. Straipsnio straipsnis yra pasirinktas ir struktūrizuotas taip, kad su juo galite
- pasirinkite optimalų būdą spręsti savo sistemą linijinių algebrinių lygčių,
- naršykite pasirinkto metodo teoriją,
- išspręskite savo linijinių lygčių sistemą, išsamiai išnagrinėjo būdingų pavyzdžių ir užduočių sprendimus.
Trumpas straipsnio medžiagos aprašymas.
Pirma, suteiksime visas būtinas apibrėžimus, sąvokas ir pristatyti žymėjimą.
Be to, mes laikome metodus sprendžiant linijinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo būdus, kuriuose lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir kurie turi vieną sprendimą. Pirma, mes sutelksime dėmesį į Cramer metodą, antra, mes parodysime matricos metodą tokių lygčių sistemų sprendimo būdą, trečia, analizuosime GAUS metodą (nuoseklaus nežinomų kintamųjų atskirties metodas). Siekiant užtikrinti teoriją, jis nebūtinai išspręs keletą lėtėjų įvairiais būdais.
Po to mes einame į išspręsti sistemas linijinių algebrinių lygčių bendros formos, kurioje lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičių arba pagrindinės matricos sistemos skaičius yra degenerate. Mes suformuluoti Krocecker - Capelli teore, kuri leidžia jums sukurti Slavos suderinamumą. Mes analizuosime sistemų sprendimą (jų suderinamumo atveju) su pagrindinio Matricos nepilnamečio sąvoka. Mes taip pat apsvarstysime GAUS metodą ir išsamiai aprašyti pavyzdžių sprendimus.
Mes tikrai sutelksime dėmesį į bendrą homogeninių ir nehomogeninių linijinių algebrinių lygčių sistemų struktūrą. Mes suteikiame pagrindinės sprendimų sistemos sąvoką ir parodyti, kaip bendras sprendimas yra parašytas Slavai, naudojant pagrindinių sprendimų sistemos vektorius. Siekiant geresnio supratimo, analizėsime keletą pavyzdžių.
Apibendrinant, mes manome, kad lygčių, kurios sumažintos iki linijinės, taip pat įvairių užduočių, sprendžiant, kuris nuolydis įvyksta.
Naršymo puslapis.
Apibrėžimai, sąvokos, žymėjimas.
Mes apsvarstysime sistemas nuo P linijinių algebrinių lygčių su n nežinomų kintamųjų (P gali būti lygus N)
Nežinomi kintamieji - koeficientai (kai kurie galiojantys ar sudėtingi numeriai) - nemokami nariai (taip pat galioja arba sudėtingi numeriai).
Tokia parašyta forma vadinama koordinuoti.
Į matricos forma Įrašai Ši lygčių sistema turi formą
Kur 
- pagrindinė sistemos matrica, - nežinomų kintamųjų matricos stulpelis, - laisvųjų narių matricos kolonėlė.
Jei pridedate prie matricos ir pridėkite laisvo narių matricos stulpelį, tada mes gauname vadinamąjį išplėstinė matrica Linijinių lygčių sistemos. Paprastai išplėsta matrica žymi raide T, o laisvųjų narių kolonėlė yra atskirta vertikalia linija nuo likusių stulpelių, tai yra, 
Sprendžiant linijinių algebrinių lygčių sistemą Skambinkite nežinomų kintamųjų verčių rinkinyje, pridedant visas tapatybės sistemos lygtis. Šių nežinomų kintamųjų matricos lygtis taip pat atkreipia dėmesį į tapatybę.
Jei lygčių sistema turi bent vieną sprendimą, tai vadinama bendras.
Jei sprendimų sistema neturi, tai vadinama be sustojimo.
Jei vienintelis sprendimas turi vieną sprendimą, tai vadinama apibrėžta.; Jei tirpalai yra daugiau nei vienas, tada - neaiški.
Jei laisvos visos sistemos lygtys yra nulinės 
Tada sistema vadinama uniforma, kitaip - nevienalytis.
Linijinių algebrinių lygčių elementarių sistemų sprendimas.
Jei sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir pagrindinės matricos veiksniai nėra nulinis, toks šlaitas bus vadinamas pradžioje. Tokios lygčių sistemos turi vieną sprendimą ir vienarūšės sistemos atveju, visi nežinomi kintamieji yra nuliniai.
Pradėjome mokytis tokios kaukolės. Kai jie buvo išspręsti, mes ėmėmės tam tikros lygties, išreiškėme vieną nežinomą kintamąjį per kitus ir pakeitė jį į likusias lygtis, po šios lygties, išreiškė šį nežinomą kintamąjį ir pakeistą į kitas lygtis ir pan. Arba naudojo papildymo būdą, tai yra dvi ar daugiau lygčių sulankstyti, kad neįtrauktų jokių nežinomų kintamųjų. Mes nesibaigsime išsamiai apie šiuos metodus, nes jie iš esmės yra "Gauss" metodo pakeitimai.
Pagrindiniai linijinių lygčių elementinių sistemų sprendimo būdai yra Cramer metodas, matricos metodas ir "Gauss" metodas. Mes juos analizuosime.
Linijinių lygčių sistemų sprendimas pagal CRAMER metodą.
Turėkime išspręsti linijinių algebrinių lygčių sistemą 
Kurioje lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir pagrindinės sistemos matricos veiksnys skiriasi nuo nulio, tai yra.
Leiskite - pagrindinės sistemos matricos veiksnys ir 
- matricų, gautų iš pakeitimo, veiksniai 1, 2, ..., n-wow Stulpelis, atitinkamai, laisvų narių stulpelyje: 
Su tokia žymėjimu, nežinomi kintamieji apskaičiuojami naudojant CRAMER metodo formules kaip 
. Taigi yra linijinių algebrinių lygčių sistema pagal CRAMER metodą.
Pavyzdys.
CRAMER metodas 
.
Sprendimas.
Pagrindinė sistemos matrica turi formą 
. Apskaičiuojame jo veiksnį (jei reikia, žr. Straipsnį): 
Kadangi pagrindinės sistemos matricos veiksnys skiriasi nuo nulio, sistema turi vieną sprendimą, kurį galima rasti CRAMER metodu.
Mes sudarysime ir apskaičiuosime būtinus veiksnius 
(Mes gauname lemiamąjį, pakeisdami į matricos ir pirmojo stulpelio laisvų narių stulpelyje, lemiamas - pakeisti antrąjį stulpelį laisvų narių stulpelyje, - pakeičiant trečiąjį stulpelį matricos ir laisvų narių stulpelyje ): 
Mes nerandame nežinomų kintamųjų formulių 
:
Atsakymas:
Pagrindinis "Cramer" metodo trūkumas (jei jis gali būti vadinamas nepalankioje padėtyje) yra veiksnių skaičiavimo sudėtingumas, kai sistemos lygčių skaičius yra daugiau nei trys.
Sprendžiant linijinių algebrinių lygčių sistemas pagal matricos metodą (naudojant atvirkštinę matricą).
Leiskite linijinių algebrinių lygčių sistemai nurodyti matricos formoje, kur matrica A turi dimensiją N ir jo veiksnys skiriasi nuo nulio.
Nuo to laiko matrica yra grįžtama, tai yra atvirkštinė matrica. Jei padauginate abi lygybės dalis į kairę, mes gauname formulę ieškant stulpelio stulpelio nežinomų kintamųjų. Taigi mes gavome linijinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą pagal matricos metodą.
Pavyzdys.
Nuspręskite linijinių lygčių sistemą Matricos metodas.
Sprendimas.
Aš perrašau lygčių sistemą matricos formoje: 
Kaip
Kad nuolydis gali būti išspręstas pagal matricos metodą. Naudojant atvirkštinę matricą, šios sistemos sprendimą galima rasti kaip 
.
Mes statome atvirkštinę matricą naudodami matricos elementų algebrinius priedus (jei reikia, žr. Straipsnį): 
Lieka apskaičiuoti - nežinomų kintamųjų matrica, grąžinimo matricos padauginimas 
Laisvųjų narių matricų stulpelyje (jei reikia, žr. Straipsnį): 
Atsakymas:
Arba kitame įraše x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Pagrindinė problema sprendžiant linijinių algebrinių lygčių sprendimus, matricos metodas susideda iš atvirkštinės matricos sudėtingumo, ypač kvadratinių matricų pagal trečiąjį.
Sprendžiant linijinių lygčių sistemas Gauss metodu.
Leiskite mums rasti sistemos iš N linijinių lygčių su n nežinomų kintamųjų sprendimą 
Pagrindinės matricos veiksnys skiriasi nuo nulio.
"Gauss" metodo esmė Jis susideda iš nežinomų kintamųjų išskyrimo: pirmiausia neįtraukia visų sistemos lygčių x 1, pradedant nuo antros, tada x 2 iš visų lygčių, pradedant nuo trečiųjų ir pan., Kol lieka tik nežinomas kintamasis xn Paskutinėje lygtyje. Toks konvertuojant sistemos lygtis nuosekliai atskirti nežinomų kintamųjų procesas yra vadinamas tiesioginis "Gauss" metodo veikimas. Po tiesioginio judėjimo Gauss metodas iš paskutinės lygties yra X N, su šios vertės pagalba pagal priešpaskutinę lygtį, X N-1 apskaičiuojamas, ir taip toliau, X1 apskaičiuojamas nuo pirmosios lygties. Nežinomų kintamųjų skaičiavimo procesas važiuojant nuo paskutinio sistemos lygties iki pirmojo yra vadinamas gAUSS metodo grąžinimas.
Trumpai apibūdinkite algoritmą, kad neįtrauktumėte nežinomų kintamųjų.
Mes manome, kad, nes mes visada galime pasiekti šią Permutaciją sistemos lygčių. Išskyrus nežinomą kintamojo x 1 iš visų lygčių sistemos, pradedant nuo antrojo. Norėdami tai padaryti, antroji sistemos lygybė bus pirmoji, padauginta iki trečios lygties, pridėti pirmąją, padaugintą iš, ir pan, į N-ą lygtį pridėti pirmąjį, padaugintą iš. Lygčių sistema po tokių transformacijų bus formuojama 
kur. 
.
Mes turėjome ateiti į tą patį rezultatą, jei X1 išreiškė X 1 per kitus nežinomus kintamuosius pirmojoje sistemos lygtyje ir gautą išraišką, pakeistą į visas kitas lygtis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antros.
Be to, elgiamės taip pat, bet tik su gautos sistemos dalimi, kuri yra pažymėta paveiksle 
Norėdami tai padaryti, pridedame antrąjį, padauginome į ketvirtąją lygtį į ketvirtą lygtį, antroji, padauginta iš N-ojo lygties, pridėti antrą, padaugintą iš. Lygčių sistema po tokių transformacijų bus formuojama 
kur. 
. Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiojo.
Be to, pereikite prie nežinomo x 3 atskirties, tuo pačiu veikiant panašiai į paveiksle nurodytos sistemos dalį 
Taigi mes tęsiame tiesioginį "Gauss" metodo judėjimą, kai sistema nevyksta 
Nuo to momento pradedame atvirkštinį "Gauss" metodo ūdą: apskaičiuokite xn iš paskutinio lygties, kaip naudojant gautą Xn, mes randame x n-1 nuo priešpaskupo lygties ir pan., Rasime X 1 iš pirmųjų lygtis.
Pavyzdys.
Nuspręskite linijinių lygčių sistemą Gauss metodas.
Sprendimas.
Išleiskime nežinomą kintamąjį x 1 iš antrosios ir trečiosios sistemos lygties. Norėdami tai padaryti, pridedame atitinkamas pirmosios lygties dalis abiem antrosios ir trečiosios lygtims dalims, padauginome iš atitinkamai: 
Dabar, nuo trečiosios lygties, neįtraukti x 2, pridedant į kairę ir dešinę dalių kairę ir dešinę antrosios lygybės dalys, padaugintos iš: 
Ant šio, tiesioginis žingsnis Gauss metodas yra baigtas, mes pradedame priešingai.
Nuo paskutinės gautos lygčių sistemos lygybės, mes randame x 3: 
Nuo antros lygties mes gauname.
Iš pirmosios lygties, mes randame likusį nežinomą kintamąjį ir tai baigia atvirkštinį judesį Gauss metodą.
Atsakymas:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Sprendžiant linijinių algebrinių lygčių bendrosios formos sistemas.
Bendru atveju, sistemos P lygtys nesutampa su nežinomų kintamųjų N:
Toks nuolydis negali turėti sprendimų, turi vieną sprendimą arba turėti daugybę sprendimų. Šis teiginys taip pat susijęs su lygčių sistemomis, kurios pagrindinė matrica yra kvadratinė ir degeneruota.
Kronkera - Capelli teorema.
Prieš surandant linijinių lygčių sistemos sprendimą, būtina nustatyti jo suderinamumą. Atsakymas į klausimą, kai slava yra kartu, ir kai neišsami, suteikia koncheker teorema - Capelli:
Norint, kad sistema nuo P Nežinoma (P gali būti lygi N), būtina ir pakankamai, kad pagrindinės sistemos matricos rangas buvo lygus išplėstinio matricos reitingui, tai yra, rangas ( A) \u003d rangas (t).
Apsvarstykite, pavyzdžiui, "Krakeker" - "Capelli" teorijos naudojimą, kad nustatytų linijinių lygčių sistemos kompiliaciją.
Pavyzdys.
Sužinokite, ar linijinių lygčių sistema turi 
sprendimai.
Sprendimas.
. Mes naudojame mažesnio triukšmo metodas. Maža antroji tvarka 
Skiriasi nuo nulio. Mes įveiksime trečiųjų užsakymų nepilnamečius nuo priešakyje: 
Kadangi visi trečiųjų užsakymų pagrindiniai nepilnamečiai yra nulis, pagrindinės matricos rangas yra du.
Savo ruožtu, išplėstinės matricos rangas 
lygus trims, kaip nedidelė trečioji tvarka 
Skiriasi nuo nulio.
Šiuo būdu, Rang (A) Todėl Krakecker teorem - Capelli, galima daryti išvadą, kad pradinė linijinių lygčių sistema yra neišsami.
Atsakymas:
Sprendimų sistema neturi.
Taigi, mes sužinojome, kaip nustatyti sistemos nesąžiningumą naudojant Klekeker - Capelli teoremą.
Bet kaip rasti Slavos sprendimą, jei jo suderinamumas yra įdiegtas?
Norėdami tai padaryti, mums reikia pagrindinės Matricos ir teoremo Matricos žiedo koncepcija.
Mažas iš aukščiausio lygio matricos A, skiriasi nuo nulio, vadinamas pagrindas. \\ T.
Iš pagrindinio nepilnamečio apibrėžimo matyti, kad jos pavedimas yra lygus matricos ribai. Nonero matrica, tačiau gali būti keletas pagrindinių mažesniųjų, visada yra vienas pagrindinis nepilnametis.
Pavyzdžiui, apsvarstykite matricą 
.
Visi šio matricos trečiojo įsakymo nepilnamečiai yra nulis, nes šio matricos trečiosios eilutės elementai yra atitinkamų pirmųjų ir antrųjų linijų elementų suma.
Pagrindiniai yra šie antrosios eilės nepilnamečiai, nes jie skiriasi nuo nulio 
Minela. 
Pagrindiniai nėra, nes jie yra nuliniai.
Matricos rango teorema.
Jei užsakymo P N n žiedas yra lygus R, tada visi matricos styginių (ir stulpelių) elementai, kurie nesudaro pasirinktos bazės nepilnametis yra tiesiškai išreikštas per atitinkamus elementus styginių (ir stulpelių) formuojasi nepilnametis.
Kas suteikia mums teorijos matricos rangą?
Jei Krekonkerio teorijos - Capelli, mes nustatėme sistemos vienetus, mes pasirenkame bet kokį pagrindinį pagrindinę sistemos matricos dalį (jo pavedimas yra lygus R) ir išskirti iš sistemos visos lygtys, kurios nėra sudaro pasirinktą pagrindą. Taip gautas nuolydis bus lygiavertis originalui, nes išmestos lygtys vis dar yra nereikalingos (jie yra linijinis likusių lygčių derinys matricos rango teoremo kryptimi).
Kaip rezultatas, nutraukus perteklinių lygčių sistemos, du atvejai yra įmanoma.
Jei gautos sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, tai bus tam tikras ir vienintelis sprendimas gali būti rastas CRAMER metodu, matricos metodu arba Gauss metodu.
Pavyzdys.
.
Sprendimas.
Reitingas Pagrindinė sistemos matrica 
lygus dviem, kaip antrosios eilės nepilnametis 
Skiriasi nuo nulio. Išplėstinės matricos rangas 
Taip pat lygus dviem, nes vienintelis trečiojo įsakymo nepilnametis yra nulis 
Ir pirmiau minėtas pirmosios eilės nepilnametis skiriasi nuo nulio. Remiantis Krocecker - Capelli teore, galima patvirtinti pirminės linijinių lygčių sistemos pasidalijimą, nes reitingas (a) \u003d rangas (t) \u003d 2.
Kaip pagrindinė nepilnametis . Jis sudaro pirmosios ir antros lygčių koeficientus: 
Trečioji sistemos lygtis nėra įtraukta į nesinaudojamą bazę, todėl mes jį pašalinsime iš sistemos, remiantis žiedo matrica "teorijos: 
Taigi mes gavome pradinę linijinių algebrinių lygčių sistemą. Sprendžiant jį naudojant kraterį: 
Atsakymas:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Jei gauto nuolydžio lygčių skaičius yra mažesnis už nežinomų kintamųjų skaičius N, tada kairiajame lygčių dalims paliekame komponentus, kurie sudaro nedidelį pagrindą, likusi dalis sudedamųjų dalių yra perduodami į tinkamas dalis sistemos lygtis su priešingu ženklu.
Nežinomi kintamieji (jų r gabenimai) liko kairiosiose lygtyse yra vadinamos basic..
Nežinomi kintamieji (jų N - R gabenimai), kurie buvo dešinėje dalyse, yra vadinamos laisvas.
Dabar mes manome, kad nemokami nežinomi kintamieji gali padaryti savavališkus vertybes, o "R pagrindiniai nežinomi kintamieji bus išreikšti per nemokamus nežinomus kintamuosius vieninteliu būdu. Jų išraiška gali būti rasta išspręsta gautą mėginį pagal disko metodą, matricos metodą ar metodą Gauss.
Mes analizuosime pavyzdį.
Pavyzdys.
Nuspręskite linijinių algebrinių lygčių sistemą 
.
Sprendimas.
Rasime pagrindinės sistemos matricos rangą 
Triukšmingų nepilnamečių metodas. Kaip nepilnametis iš pirmos eilės, paimkite 1 1 \u003d 1. Pradėkime ieškoti antrosios eilės ne nulinio nepilnamečio, kuris sumažina šį nedidelį: 
Taigi mes radome nesąmonę mažą antrąją tvarką. Pradėkime ieškoti Nonero, besiribojančios su trečiuoju užsakymu: 
Taigi pagrindinės matricos rangas yra trys. Išplėstinės matricos rangas taip pat yra lygus trims, tai yra, sistema yra suderinta.
Įkurta, kad trečios eilės nepilnametis yra pagrindinis.
Siekiant aiškumo, parodome elementus, kurie sudaro nedidelį pagrindą: 
Mes paliekame sistemos komponentus kairėje pusėje esančių žemesnių lygčių dalis, likusi dalis perduodama su priešingais ženklais į tinkamas dalis: 
Suteikti nemokamus nežinomus kintamuosius x 2 ir x 5 savavalies reikšmes, ty mes imsimės 
kur - savavališki skaičiai. Tuo pačiu metu, nuolydis imsis 
Gauta linijinės algebrinių lygčių pagrindinė sistema sprendžiant valdymo sistemą: 
Taigi,.
Atsakydamas, nepamirškite nurodyti nemokamų nežinomų kintamųjų.
Atsakymas:
Kur - savavališki skaičiai.
Apibendrinkite.
Norėdami išspręsti linijinių algebrinių lygčių sistemą bendros rūšies, mes pirmą kartą išsiaiškinti savo suderinamumą naudojant Konpeker teorem - Capelli. Jei pagrindinės matricos rangas nėra lygus išplėstinės matricos reitingai, tada baigiame sistemos nesąžiningumą.
Jei pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstos matricos reitingui, tada mes pasirenkame nepilnamečio bazę ir išmeskite sistemos lygtį, kuri nedalyvauja pasirinktos bazės nesinaudojant.
Jei pagrindo nepilnamečio tvarka yra lygi nežinomų kintamųjų skaičiui, tada Slava turi vieną sprendimą, kuriame mes randame mums žinomą metodą.
Jei pagrindo nepilnamečio tvarka yra mažesnė už nežinomų kintamųjų skaičių, tada kairėje sistemos lygčių dalyje palikome komponentus su pagrindiniais nežinomais kintamaisiais, likę komponentai perduodami į tinkamas dalis ir suteikti nemokamus nežinomus kintamuosius savavališkos vertybės. Nuo gautos linijinių lygčių sistemos, gamintojo pagrindiniai nežinomi kintamieji, matricos metodas arba Gauss metodas.
"Gauss" metodas linijinių algebrinių lygčių sistemoms sprendžiant.
"Gauss" metodas gali išspręsti bet kokio tipo linijinių algebrinių lygčių sistemą be jų tyrimų vienetų. Nuoseklios nežinomų kintamųjų neįtraukimo procesas leidžia užbaigti tiek Slavos suderinamumą, tiek neišsamumą, o tirpalo egzistavimo atveju leidžia jį rasti.
Skaičiavimo operacijos požiūriu pirmenybė teikiama Gauss metodas.
Žiūrėkite savo išsamų aprašymą ir išardytų pavyzdžių straipsnyje. gauss metodas linijinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo būdai.
Įrašykite bendrą vienarūšių ir nehomogeninių linijinių algebrinių sistemų sprendimą naudojant pagrindinių sprendimų sistemos vektorius.
Šiame skyriuje aptarsime bendrų vienarūšių ir nehomogenines sistemas linijinių algebrinių lygčių, turinčių begalinių rinkinių sprendimus.
Pirmiausia suprasime su homogeninėmis sistemomis.
Pagrindinės sistemos sprendimai Homogeninė sistema nuo P linijinių algebrinių lygčių su n nežinomų kintamųjų yra vadinamas rinkinys (N - R) tiesiškai nepriklausomi šios sistemos sprendimai, kur R yra pagrindinės sistemos pagrindinės matricos tvarka.
Jei paskirsite tiesiškai nepriklausomus homogeninio nuolydžio tirpalus kaip X (1), X (2), ..., X (NR) (X (1), x (2), ..., X (NR) - tai Ar matmenų stulpelių matricos N IY 1), bendras šios homogeniškos sistemos sprendimas pateikiamas linijinio pagrindinės sistemos su savavališkų pastovių koeficientų sistemos deriniu su 1, C2, ..., C (nr), tai yra.
Kas reiškia terminą bendrą vienarūšės linijinių algebrinių lygčių sistemos (orostal) sistemos sprendimą?
Reikšmė yra paprasta: formulė nustato visus galimus sprendimus originaliam slavai, kitaip tariant, atsižvelgiant į bet kokius savavališkų konstantų C1, C2, ..., C (NR) rinkinį pagal formulę, Mes gauname vieną iš pradinio homogeninio nuolydžio sprendimų.
Taigi, jei radome pagrindinę sprendimų sistemą, galėsime paklausti visų šio homogeniško nuolydžio sprendimų.
Parodykime fundamentinio sprendimo sistemos kūrimo procesą su homogeniniu šlaitu.
Mes pasirenkame pagrindinį nedidelį linijinių lygčių sistemą, mes išskiriame visas kitas sistemos lygtis ir perduodame į tinkamas sistemos lygčių dalis su priešingais ženklais, visais terminais, kuriuose yra nemokamų nežinomų kintamųjų. Leiskite mums suteikti nemokamą nežinomą vertę 1,0,0, ..., 0 ir apskaičiuoti pagrindinį nežinomą, sprendžiant gautą pradinę linijinių lygčių sistemą bet kokiu būdu, pavyzdžiui, disko metodu. Taigi X (1) bus gautas - pirmasis pagrindinės sistemos sprendimas. Jei suteikiate nemokamą nežinomą vertę 0,1,0,0, ... 0 ir apskaičiuokite pagrindinį nežinomą, tada gauname X (2). Ir tt Jei nemokami nežinomi kintamieji suteikia 0,0, ..., 0,1 ir apskaičiuoti pagrindinį nežinomą, tada gauname X (N-R). Tai bus pastatyta pagrindinė sistema sprendimų homogeninio nuolydžio ir jo bendras sprendimas gali būti užregistruotas.
Dėl nelinijinių linijinių algebrinių lygčių sistemų, bendras sprendimas yra atstovaujamas formoje, kur yra bendras atitinkamos homogeninės sistemos sprendimas, ir privatus pirminio inhomogeninio nuolydžio sprendimas, kuriame mes gauname nemokamą nežinomą 0,0 vertę, ..., 0 ir apskaičiuoti pagrindinių nežinomų verčių.
Mes analizuosime pavyzdžius.
Pavyzdys.
Raskite pagrindinių sprendimų sistemą ir bendrą vienarūšio linijinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą. 
.
Sprendimas.
Iš pagrindinės matricos homogeninių sistemų linijinių lygčių rangas visada yra lygus išplėstinės matricos rangui. Mes randame pagrindinės matricos rangą su šurmuliuojančių nepilnamečių metodu. Kaip nepilnametis yra nepilnametis iš pirmos eilės, imtis elemento 1 1 \u003d 9 pagrindinės matricos sistemos. Mes surasime ribojamą nesinaudojančią mažąją eilutę: 
Nedidelis antrosios eilės, skiriasi nuo nulio, rasta. Mes įveiksime trečiosios eilės maisto produktus ieškant nulio: 
Visi trečiųjų eilių fokusavimo nepilnamečiai yra nulis, todėl pagrindinės ir išplėstinės matricos yra du. Mes priimame pagrindinį nepilnametį. Atkreipiame dėmesį į aiškumo sistemos elementus, kurie yra: 
Trečioji originalo nuolydžio lygtis nedalyvauja pagrindinio nepilnamečio formavime, todėl jis gali būti atmestas: 
Mes paliekame suderinimus, kuriuose yra pagrindinių nežinomų lygčių dalyse, ir mes atliekame sąlygas su nemokamais nežinomais į dešinę:
Mes statome esminę pradinės homogeniškos linijinių lygčių sistemos sprendimų sistemą. Pagrindinė šio nuolydžio sprendimų sistema susideda iš dviejų sprendimų, nes pradiniame nuolydžiu yra keturi nežinomi kintamieji, o jos pagrindinės miniena yra du. Norėdami rasti X (1), leiskite mums suteikti nemokamą nežinomą kintamą vertę x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, tada pagrindinis nežinomas rasti iš lygčių sistemos 
.
