Sprendžiant lygtis ir nelygybes, dažnai reikia koeficientuoti daugianarį, kurio laipsnis yra trys ar didesnis. Šiame straipsnyje apžvelgsime paprasčiausią būdą tai padaryti.
Kaip įprasta, pagalbos ieškokime teorijos.
Bezouto teorema teigia, kad liekana dalijant daugianarį iš dvejetainio yra .
Bet mums svarbi ne pati teorema, o iš to išplaukia:
Jei skaičius yra daugianario šaknis, tai daugianomas dalijasi iš dvejetainio be liekanos.
Mes susiduriame su užduotimi kažkaip rasti bent vieną daugianario šaknį, tada padalinti daugianarį iš , kur yra daugianario šaknis. Dėl to gauname daugianarį, kurio laipsnis yra vienu mažesnis už pradinio laipsnį. Ir tada, jei reikia, galite pakartoti procesą.
Ši užduotis suskirstyta į dvi dalis: kaip rasti daugianario šaknį ir kaip padalyti daugianarį iš dvejetainio.
Pažvelkime į šiuos dalykus atidžiau.
1. Kaip rasti daugianario šaknį.
Pirmiausia patikriname, ar skaičiai 1 ir -1 yra daugianario šaknys.
Čia mums padės šie faktai:
Jei visų daugianario koeficientų suma lygi nuliui, tai skaičius yra daugianario šaknis.
Pavyzdžiui, daugianario koeficientų suma lygi nuliui: . Nesunku patikrinti, kas yra daugianario šaknis.
Jei lyginių laipsnių daugianario koeficientų suma yra lygi nelyginių laipsnių koeficientų sumai, tai skaičius yra daugianario šaknis. Laisvasis terminas laikomas lyginio laipsnio koeficientu, nes , a yra lyginis skaičius.
Pavyzdžiui, daugianario lyginių laipsnių koeficientų suma yra : , o nelyginių laipsnių koeficientų suma yra : . Nesunku patikrinti, kas yra daugianario šaknis.
Jei nei 1, nei -1 nėra daugianario šaknys, tada judame toliau.
Sumažėjusiam laipsnio polinomui (ty polinomui, kurio pagrindinis koeficientas - koeficientas at - yra lygus vienetui), galioja Vietos formulė:
Kur yra daugianario šaknys.
Taip pat yra Vieta formulių, susijusių su likusiais daugianario koeficientais, bet mus domina ši.
Iš šios Vietos formulės išplaukia, kad jei daugianario šaknys yra sveikieji skaičiai, tai jos yra jo laisvojo nario, kuris taip pat yra sveikasis skaičius, dalikliai.
Remiantis tuo, turime suskaidyti laisvąjį daugianario narį į veiksnius ir nuosekliai, nuo mažiausio iki didžiausio, patikrinti, kuris iš veiksnių yra daugianario šaknis.
Apsvarstykite, pavyzdžiui, daugianarį
Laisvojo termino dalikliai: ; ; ;
Visų daugianario koeficientų suma yra lygi , todėl skaičius 1 nėra daugianario šaknis.
Lyginių galių koeficientų suma:
Nelyginių laipsnių koeficientų suma:
Todėl skaičius -1 taip pat nėra daugianario šaknis.
Patikrinkime, ar skaičius 2 yra daugianario šaknis: vadinasi, skaičius 2 yra daugianario šaknis. Tai reiškia, kad pagal Bezouto teoremą daugianaris dalijasi iš dvejetainio be liekanos.
2. Kaip padalinti daugianarį į dvinarį.
Polinomą į dvinarį galima padalyti stulpeliu.
Padalinkite daugianarį iš dvejetainio naudodami stulpelį:
Yra ir kitas būdas padalyti daugianarį iš dvejetainio – Hornerio schema.
Norėdami suprasti, žiūrėkite šį vaizdo įrašą kaip padalinti daugianarį iš dvejetainio su stulpeliu, ir naudojant Hornerio diagramą.
Atkreipiu dėmesį, kad jei dalijant iš stulpelio pradiniame daugianario trūksta tam tikro laipsnio nežinomybės, jo vietoje rašome 0 - taip pat, kaip ir sudarydami Hornerio schemos lentelę.
Taigi, jei mums reikia padalyti daugianarį iš binomo ir dėl padalijimo gauname daugianarį, tada galime rasti daugianario koeficientus naudodami Hornerio schemą:
Taip pat galime naudoti Hornerio schema norėdami patikrinti, ar taip yra duotas numeris daugianario šaknis: jei skaičius yra daugianario šaknis, tai liekana, dalijant daugianarį iš yra lygi nuliui, tai yra, paskutiniame antrosios Hornerio schemos eilės stulpelyje gauname 0.
Naudodami Hornerio schemą „nužudome du paukščius vienu akmeniu“: vienu metu patikriname, ar skaičius yra daugianario šaknis, ir padalijame šį daugianarį iš binomo.
Pavyzdys. Išspręskite lygtį:
1. Užrašykime laisvojo nario daliklius ir tarp laisvojo nario daliklių ieškokime daugianario šaknų.
Dalikliai iš 24:
2. Patikrinkime, ar skaičius 1 yra daugianario šaknis.
Dauginamo koeficientų suma, todėl skaičius 1 yra daugianario šaknis.
3. Padalinkite pradinį daugianarį į dvinarį pagal Hornerio schemą.
A) Pirmoje lentelės eilutėje užrašykime pradinio daugianario koeficientus.
Kadangi trūksta turinčiojo termino, lentelės stulpelyje, kuriame turėtų būti rašomas koeficientas, rašome 0. Kairėje rašome rastą šaknį: skaičių 1.
B) Užpildykite pirmąją lentelės eilutę.
Paskutiniame stulpelyje, kaip ir tikėtasi, gavome nulį, pradinį daugianarį padalinome iš binomo be liekanos. Dauginamo, gauto padalijus, koeficientai antroje lentelės eilutėje rodomi mėlyna spalva:
Nesunku patikrinti, ar skaičiai 1 ir -1 nėra daugianario šaknys
B) Tęskime lentelę. Patikrinkime, ar skaičius 2 yra daugianario šaknis:
Taigi daugianario laipsnis, gautas padalijus iš vieneto, yra mažesnis už pradinio daugianario laipsnį, todėl koeficientų skaičius ir stulpelių skaičius yra vienu mažiau.
Paskutiniame stulpelyje gavome -40 - skaičių, kuris nėra lygus nuliui, todėl daugianaris dalijasi iš dvinalio su liekana, o skaičius 2 nėra daugianario šaknis.
C) Patikrinkime, ar skaičius -2 yra daugianario šaknis. Kadangi ankstesnis bandymas nepavyko, kad nebūtų painiavos su koeficientais, ištrinsiu eilutę, atitinkančią šį bandymą:
Puiku! Mes gavome nulį kaip liekaną, todėl daugianomas buvo padalintas į dvinarį be liekanos, todėl skaičius -2 yra daugianario šaknis. Daugianaro, gauto padalijus daugianarį iš dvejetainio, koeficientai lentelėje rodomi žaliai.
Dėl padalijimo gavome kvadratinis trinaris 
, kurio šaknis galima lengvai rasti naudojant Vietos teoremą:
Taigi pradinės lygties šaknys yra šios:
{
}
Atsakymas:( 
}
Jei daugianario
Įrodymas
Tegul visi daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai, o sveikasis skaičius a yra šio daugianario šaknis. Kadangi šiuo atveju iš to seka, kad koeficientas yra padalintas iš a.
komentuoti. Ši teorema iš tikrųjų leidžia rasti aukštesnių laipsnių daugianario šaknis tuo atveju, kai šių daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai, o šaknis yra racionalusis skaičius. Teoremą galima pakartoti taip: jei žinome, kad daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai, o jo šaknys yra racionalios, tada šios racionalios šaknys gali būti tik tokios formos, kur p yra skaičiaus daliklis (laisvasis narys), o skaičius q yra skaičiaus daliklis (pirminis koeficientas) .
Teorema apie sveikųjų skaičių šaknis, kuriuose yra
Jei sveikasis skaičius α yra daugianario su sveikųjų skaičių koeficientais šaknis, tai α yra jo laisvojo nario daliklis.
Įrodymas. Leisti būti:
P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n
daugianario su sveikųjų skaičių koeficientais ir sveikuoju skaičiumi α yra jo šaknis.
Tada pagal šaknies apibrėžimą lygybė P (α)=0;
a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.
Iš skliaustų išėmę bendrą koeficientą α, gauname lygybę:
α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , kur
a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)
Kadangi skaičiai a 0 , a 1 ,…a n-1 , an ir α yra sveikieji skaičiai, skliausteliuose yra sveikasis skaičius, todėl a n dalijasi iš α, ką reikėjo įrodyti.
Įrodyta teorema gali būti suformuluota ir taip: kiekviena sveikoji daugianario šaknis su sveikųjų skaičių koeficientais yra jo laisvojo nario daliklis.
Teorema remiasi algoritmu ieškant sveikųjų daugianario šaknų su sveikųjų skaičių koeficientais: surašykite visus laisvojo termino daliklius ir po vieną užrašykite šių skaičių polinomų reikšmes.
2. Papildoma teorema apie sveikųjų skaičių šaknis
Jei sveikasis skaičius α yra daugianario P(x) su sveikųjų skaičių koeficientais šaknis, tai α-1 yra skaičiaus P(1), α+1 yra skaičiaus P(-1) daliklis.
Įrodymas. Iš tapatybės
xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)
iš to seka, kad sveikiesiems skaičiams b ir c skaičius bⁿ-cⁿ dalijasi iš b∙c. Bet bet kurio daugianario P skirtumas
P(b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=
=a 0 (bⁿ-cⁿ)+a 1 (bⁿ-1-cⁿ-1)+…+a n-1 (b-c)
ir todėl daugianario P su sveikųjų skaičių koeficientais ir sveikaisiais skaičiais b ir c skirtumas P(b)-P(c) dalijamas iš b-c.
Tada: b = α, c = 1, P (α)-P (1) = -P(1), o tai reiškia, kad P(1) yra padalintas iš α-1. Antrasis atvejis traktuojamas panašiai.
Hornerio schema
Teorema: Tegul neredukuojamoji trupmena p/q yra lygties šaknis a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 su sveikųjų skaičių koeficientais, tada skaičius q yra pirminio koeficiento a0 ir skaičiaus daliklis R yra laisvojo termino a n daliklis.
1 pastaba. Bet kuri sveikoji lygties šaknis su sveikųjų skaičių koeficientais yra jos laisvojo nario daliklis.
Užrašas 2.Jei lygties su sveikaisiais koeficientais pirmaujantis koeficientas yra lygus 1, tai visos racionalios šaknys, jei jos yra, yra sveikosios.
Polinomo šaknis. Polinomo šaknis f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n yra x = c , toks f (c) = 0 .
3 pastaba. Jeigu x = c daugianario šaknis , tada daugianarį galima parašyti taip: f(x)=(x-c)q(x) , Kur yra daugianario koeficientas f(x) pagal monomiją x - c
Dauginamą padalyti iš monomio galima naudojant Hornerio schemą:
Jeigu f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a 0 ≠0 , g(x)=x-c , tada dalijant f (x) įjungta g (x) privatus q(x) atrodo kaip q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , Kur b 0 = a 0 ,
b k =c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1. Priminimas r randama pagal formulę r=c b n − 1 +a n
Sprendimas: Aukščiausio laipsnio koeficientas yra 1, todėl sveikųjų lygties šaknų reikia ieškoti tarp laisvojo nario daliklių: 1; 2; 3; 4; 6; 12. Naudodami Hornerio schemą randame sveikąsias lygties šaknis:
Jei pagal Hornerio schemą pasirenkama viena šaknis. tada galite nuspręsti toliau taip x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3
Klausimas, kaip rasti racionalias daugianario šaknis f(x)K[x] (su racionaliais koeficientais) redukuoja į klausimą, kaip rasti racionalias daugianario šaknis k
∙
f(x)
Z[x] (su sveikųjų skaičių koeficientais). Štai numeris k yra mažiausias bendras duoto daugianario koeficientų vardiklių kartotinis.
Būtinos, bet nepakankamos sąlygos racionaliosioms daugianario šaknims egzistuoti su sveikaisiais koeficientais pateikiamos tokia teorema.
6.1 teorema (apie racionaliąsias daugianario šaknis su sveikaisiais koeficientais).
Jeigu
–
racionalioji daugianario šaknisf(x)
=
a n
x n +
+
…+
a 1
x
+
a 0
Su
visas
koeficientai ir(p,
q)
= 1, tada trupmenos skaitiklispyra laisvojo termino a daliklis 0
, ir vardiklisqyra pirminio koeficiento a daliklis 0
.
6.2 teorema.Jeigu
K
(
Kur
(p,
q)
=
1)
yra racionalioji daugianario šaknis
f(x)
su sveikųjų skaičių koeficientais, tada
–Sveiki skaičiai.
Pavyzdys. Raskite visas racionaliąsias daugianario šaknis
f(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x+ 1.
1. Pagal 6.1 teoremą: jei
–
racionalioji daugianario šaknis f(x),
( kur ( p,
q)
= 1),
Tai a 0
= 1
p,
a n
= 6
q. Štai kodėl p 
{
1}, q 
(1, 2, 3, 6), o tai reiškia
.
2. Yra žinoma, kad (5.3 išvada) skaičius A yra daugianario šaknis f(x) Jeigu, ir tik jeigu f(x) padalytą ( x – a).
Todėl patikrinkite, ar skaičiai 1 ir –1 yra daugianario šaknys f(x) galite naudoti Hornerio schemą:
f(1)
= 6
0,f(–1)
= 12
0, taigi 1 ir –1 nėra daugianario šaknys f(x).
3. Išravėti dalį likusių skaičių 
, naudosime 6.2 teoremą. Jei išraiškos 
arba 
priima sveikųjų skaičių reikšmes atitinkamoms skaitiklio reikšmėms p ir vardiklis q, tada atitinkamose lentelės langeliuose (žr. toliau) rašysime raidę „ts“, kitu atveju - „dr“.
|
|
|
|
|
|||
|
| ||||||
|
|
=
=
4. Pagal Hornerio schemą patikriname, ar bus likę skaičiai po išsijojimo 
šaknys f(x). Pirmiausia padalinkime f(x) ant ( X
–
).
Dėl to turime: f(x) = (X – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2) ir – šaknis f(x). Privatus q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - padalinti 2 iš ( X + ).
Nes q
(–)
= 3
0, tada (–) nėra daugianario šaknis q(x), taigi ir daugianario f(x).
Galiausiai padalijame daugianarį q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 X - 2 ant ( X – ).
Gavau: q () = 0, t.y. – šaknis q(x), taigi yra šaknis f (x). Taigi daugianario f (x) turi dvi racionalias šaknis: ir.
Išsivadavimas nuo algebrinio neracionalumo trupmenos vardiklyje
Mokykliniame kurse, sprendžiant tam tikro tipo uždavinius, norint atsikratyti trupmenos vardiklio neracionalumo, pakanka trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš skaičiaus, susieto su vardikliu.
Pavyzdžiai. 1.t
=
.
Čia vardiklyje veikia sutrumpinta daugybos formulė (kvadratų skirtumas), kuri leidžia išsivaduoti nuo vardiklio neracionalumo.
2. Išlaisvinkite save nuo neracionalumo trupmenos vardiklyje
t
=
. Išraiška – nepilnas skaičių skirtumo kvadratas A=
Ir b= 1. Naudojant sutrumpintą daugybos formulę A 3
–
b 3
=
(+b)
· ( a 2
–
ab
+
b 2
), galime nustatyti daugiklį m
= (+b)
=
+ 1, iš kurio reikia padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį t atsikratyti iracionalumo trupmenos vardiklyje t. Taigi,
Tais atvejais, kai sutrumpintos daugybos formulės neveikia, galima naudoti kitus metodus. Žemiau suformuluosime teoremą, kurios įrodymas, visų pirma, leidžia mums rasti algoritmą, kaip sudėtingesnėse situacijose atsikratyti iracionalumo trupmenos vardiklyje.
Apibrėžimas 6.1. Skaičius z paskambino algebrinė per lauką
F, jei yra daugianario f(x)
F[x], kurio šaknis yra z, kitaip skaičius z paskambino transcendentinis virš laukoF.
Apibrėžimas 6.2.Algebrinis laipsnis virš lauko
F
numeriai
z vadinamas neredukuojamumo laipsniu virš lauko F daugianario p(x)
F[x], kurios šaknis yra skaičius z.
Pavyzdys. Parodykime, kad skaičius z = 
yra algebrinis lauke K ir rasti jo laipsnį.
Suraskime nepalengvinamąjį lauke K daugianario p(X), kurio šaknis yra x
=
. Pakelkime abi lygybės puses x
=
į ketvirtą laipsnį gauname X 4
= 2 arba X 4
–
2
= 0. Taigi, p(X)
= X 4
–
2, ir skaičiaus galia z lygus deg
p(X)
= 4.
6.3 teorema
(apie išsivadavimą iš algebrinio iracionalumo trupmenos vardiklyje).Leistiz– algebrinis skaičius laukeFlaipsniųn. Formos išraiškat
=
,Kur
f(x),
(x)
F[x],
(z) 
0
gali būti pavaizduotas tik tokia forma:
t
= Su n -1
z n -1
+
c n -2
z n -2
+ … +
c 1
z
+
c 0
,
c i
F.
Pateiksime konkretų pavyzdį, kaip atsikratyti trupmenos vardiklio iracionalumo.
Pavyzdys. Išlaisvinkite save nuo neracionalumo trupmenos vardiklyje:
t
=
1. Trupmenos vardiklis yra daugianario reikšmė 
(X)
= X 2
– X+1 kai X
=
. Ankstesnis pavyzdys tai rodo 
– algebrinis skaičius lauke K 4 laipsnis, nes tai yra neredukuojamo viršaus šaknis K daugianario p(X)
= X 4
–
2.
2. Raskime tiesinį GCD ( 
(X),
p(x)) naudojant Euklido algoritmą.
_x 4 – 2 | x 2 –x + 1
x 4 –x 3 +x 2 x 2 + x = q 1 (x)
_ x 3 –x 2 – 2
x 3 –x 2 +x
x 2 –x + 1 | – x –2 = r 1 (x )
x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x)
_–3x+ 1
–3 x – 6
_ – x –2 |7 = r 2
– x –2 -x - =q 3 (x)
Taigi, GCD ( 
(X),
p(x))
= r 2
=
7. Raskime jo tiesinį plėtimąsi.
Užrašykime Euklido seką naudodami daugianario žymėjimą.
p(x)
=
(x)
· q 1
(x)
+ r 1
(x)
r 1
(x)
=p(x)
–
(x)
· q 1
(x)
Kaip jau minėjome, viena iš svarbiausių daugianario teorijos problemų yra jų šaknų radimo problema. Norėdami išspręsti šią problemą, galite naudoti atrankos metodą, t.y. atsitiktinai paimkite skaičių ir patikrinkite, ar tai yra duoto daugianario šaknis.
Tokiu atveju galite greitai „atsitrenkti“ į šaknį arba niekada jos nerasite. Juk neįmanoma patikrinti visų skaičių, nes jų yra be galo daug.
Kitas reikalas būtų, jei galėtume susiaurinti paieškos sritį, pavyzdžiui, žinodami, kad ieškomos šaknys yra, tarkime, tarp trisdešimties nurodytų skaičių. Ir trisdešimties skaičių galite patikrinti. Atsižvelgiant į visa tai, kas buvo pasakyta aukščiau, šis teiginys atrodo svarbus ir įdomus.
Jei neredukuojama trupmena l/m (l,m yra sveikieji skaičiai) yra daugianario f (x) su sveikųjų skaičių koeficientais šaknis, tai šio daugianario pirminis koeficientas dalijamas iš m, o laisvasis narys – iš 1.
Iš tiesų, jei f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, kur an, an-1,...,a1, a0 yra sveikieji skaičiai, tada f (l/) m) =0, ty аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.
Abi šios lygybės puses padauginkime iš mn. Gauname anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.
Tai reiškia:
anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).
Matome, kad sveikasis skaičius anln dalijasi iš m. Bet l/m yra neredukuojama trupmena, t.y. skaičiai l ir m yra pirmieji, o tada, kaip žinoma iš sveikųjų skaičių dalijimosi teorijos, skaičiai ln ir m taip pat yra pirmieji. Taigi anln dalijasi iš m, o m yra pirminis ln, o tai reiškia, kad an dalijasi iš m.
Įrodyta tema leidžia žymiai susiaurinti racionalių daugianario šaknų su sveikaisiais koeficientais paieškos sritį. Parodykime tai konkrečiu pavyzdžiu. Raskime daugianario f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8 racionaliąsias šaknis. Pagal teoremą šio daugianario racionalios šaknys yra tarp l/m formos neredukuojamųjų trupmenų, kur l – laisvojo nario daliklis a0=8, o m – pirmaujančiojo koeficiento a4=6. Be to, jei trupmena l/m yra neigiama, tada skaitikliui bus priskirtas „-“ ženklas. Pavyzdžiui, - (1/3) = (-1) /3. Taigi galime sakyti, kad l yra skaičiaus 8 daliklis, o m yra teigiamas skaičiaus 6 daliklis.
Kadangi skaičiaus 8 dalikliai yra ±1, ±2, ±4, ±8, o teigiami skaičiaus 6 dalikliai yra 1, 2, 3, 6, tai aptariamo daugianario racionalios šaknys yra tarp skaičių ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Prisiminkime, kad išrašėme tik neredukuojamas trupmenas.
Taigi, turime dvidešimt skaičių - „kandidatų“ į šaknis. Belieka patikrinti kiekvieną iš jų ir atrinkti tuos, kurie tikrai yra šaknys. Bet vėlgi, turėsite atlikti gana daug patikrinimų. Tačiau ši teorema supaprastina šį darbą.
Jei neredukuojama trupmena l/m yra daugianario f (x) šaknis su sveikųjų skaičių koeficientais, tai f (k) dalijasi iš l-km bet kuriam sveikajam skaičiui k, su sąlyga, kad l-km?0.
Norėdami įrodyti šią teoremą, padalykite f (x) iš x-k su liekana. Gauname f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Kadangi f (x) yra daugianomas su sveikųjų skaičių koeficientais, taip yra ir polinomas s (x), o f (k) yra sveikas skaičius. Tegu s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Tada f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Į šią lygybę įdėkime x=l/m. Atsižvelgdami į tai, kad f (l/m) =0, gauname
f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .
Abi paskutinės lygybės puses padauginkime iš mn:
mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).
Iš to seka, kad sveikasis skaičius mnf (k) dalijasi iš l-km. Bet kadangi l ir m yra pirminiai, tada mn ir l-km taip pat yra pirminiai, o tai reiškia, kad f (k) dalijasi iš l-km. Teorema įrodyta.
Dabar grįžkime prie savo pavyzdžio ir, naudodamiesi įrodyta teorema, dar labiau susiaurinsime racionalių šaknų paieškų ratą. Taikykime šią teoremą k=1 ir k=-1, t.y. jei neredukuojamoji trupmena l/m yra daugianario f (x) šaknis, tai f (1) / (l-m) ir f (-1) / (l+m). Mes lengvai nustatome, kad mūsų atveju f (1) = -5 ir f (-1) = -15. Atkreipkite dėmesį, kad tuo pačiu metu mes neįtraukėme ±1.
Taigi racionalių daugianario šaknų reikia ieškoti tarp skaičių ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.
Laikykime l/m=1/2. Tada l-m=-1 ir f (1) =-5 dalijamas iš šio skaičiaus. Be to, l+m=3 ir f (1) =-15 taip pat dalijasi iš 3. Tai reiškia, kad trupmena 1/2 lieka tarp „kandidatų“ į šaknis.
Tegu dabar lm=- (1/2) = (-1) /2. Šiuo atveju l-m=-3 ir f (1) =-5 nesidalija iš - 3. Tai reiškia, kad trupmena - 1/2 negali būti šio daugianario šaknis ir mes ją pašaliname iš tolesnio svarstymo. Patikrinkime kiekvieną aukščiau parašytą trupmeną ir išsiaiškinkime, kad reikiamos šaknys yra tarp skaičių 1/2, ±2/3, 2, - 4.
Taigi, gana paprastas triukas gerokai susiaurinome nagrinėjamo daugianario racionaliųjų šaknų paieškos sritį. Na, norėdami patikrinti likusius skaičius, naudosime Hornerio schemą:
10 lentelė
Mes nustatėme, kad liekana dalijant g (x) iš x-2/3 yra lygi - 80/9, ty 2/3 nėra daugianario g (x) šaknis, taigi ir f (x).
Toliau lengvai nustatome, kad - 2/3 yra daugianario g (x) ir g (x) = (3x+2) (x2+2x-4) šaknis. Tada f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Galima atlikti tolesnį daugianario x2+2x-4 patikrinimą, kuris, žinoma, yra paprastesnis nei g (x) arba dar labiau f (x). Dėl to matome, kad skaičiai 2 ir - 4 nėra šaknys.
Taigi, daugianomas f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 turi dvi racionaliąsias šaknis: 1/2 ir - 2/3.
Prisiminkite, kad aukščiau aprašytas metodas leidžia rasti tik racionalias daugianario šaknis su sveikaisiais koeficientais. Tuo tarpu daugianomas taip pat gali turėti iracionalias šaknis. Taigi, pavyzdžiui, pavyzdyje nagrinėjamas daugianomas turi dar dvi šaknis: - 1±v5 (tai yra daugianario x2+2x-4 šaknys). Ir, paprastai kalbant, daugianario racionaliųjų šaknų gali nebūti.
Dabar duokime keletą patarimų.
Tikrinant „kandidatus“ daugianario f (x) šaknims naudojant antrąją iš aukščiau įrodytų teoremų, pastaroji dažniausiai naudojama atvejams k=±1. Kitaip tariant, jei l/m yra „kandidatinė“ šaknis, patikrinkite, ar f (1) ir f (-1) dalijasi atitinkamai iš l-m ir l+m. Bet gali atsitikti taip, kad, pavyzdžiui, f (1) = 0, ty 1 yra šaknis, o tada f (1) dalijasi iš bet kurio skaičiaus, ir mūsų patikrinimas netenka prasmės. Tokiu atveju f (x) reikėtų padalyti iš x-1, t.y. gaukite f(x) = (x-1)s(x) ir patikrinkite daugianarį s(x). Tuo pačiu reikia nepamiršti, kad jau radome vieną daugianario šaknį f (x) - x1=1. Jei tikrindami „kandidatus“ į šaknis, likusias panaudojus antrąją teoremą apie racionaliąsias šaknis, naudodamiesi Hornerio schema, pamatysime, kad, pavyzdžiui, l/m yra šaknis, tuomet reikėtų rasti jos daugumą. Jei jis lygus, tarkime, k, tada f (x) = (x-l/m) ks (x), ir galima atlikti tolesnį s (x) testavimą, o tai sumažina skaičiavimus.
Taigi, mes išmokome rasti racionalias daugianario šaknis su sveikaisiais koeficientais. Pasirodo, tai darydami išmokome rasti neracionalias daugianario šaknis su racionaliais koeficientais. Tiesą sakant, jei turime, pavyzdžiui, daugianarį f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, tada, suvedę koeficientus į bendrą vardiklį ir ištraukę jį iš skliaustų, mes gauti f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Aišku, kad daugianario f (x) šaknys sutampa su daugianario šaknimis skliausteliuose, o jo koeficientai yra sveikieji skaičiai. Pavyzdžiui, įrodykime, kad sin100 yra neracionalus skaičius. Naudokime gerai žinomą formulę sin3?=3sin?-4sin3?. Taigi nuodėmė300=3sin100-4sin3100. Atsižvelgdami į tai, kad sin300=0,5 ir atlikę paprastas transformacijas, gauname 8sin3100-6sin100+1=0. Todėl sin100 yra daugianario f (x) =8x3-6x+1 šaknis. Jei ieškosime racionalių šio daugianario šaknų, įsitikinsime, kad jų nėra. Tai reiškia, kad šaknis sin100 nėra racionalusis skaičius, t.y. sin100 yra neracionalus skaičius.
ir kt. yra bendrojo edukacinio pobūdžio ir turi didelę reikšmę studijuoti VISĄ aukštosios matematikos kursą. Šiandien pakartosime „mokyklos“ lygtis, bet ne tik „mokyklines“, bet ir tas, kurios visur randamos įvairiose problemose. Kaip įprasta, istorija bus pasakojama taikomuoju būdu, t.y. Nekreipsiu dėmesio į apibrėžimus ir klasifikacijas, bet tiksliai pasidalinsiu su jumis Asmeninė patirtis sprendimus. Informacija pirmiausia skirta pradedantiesiems, tačiau daug įdomių dalykų ras ir pažengę skaitytojai. Ir, žinoma, bus nauja medžiaga, einantis toliau vidurinė mokykla.
Taigi lygtis…. Daugelis šį žodį prisimena su šiurpu. Ko vertos „rafinuotos“ lygtys su šaknimis... ...pamirškite jas! Nes tada sutiksite pačius nekenksmingiausius šios rūšies „atstovus“. Arba nuobodžios trigonometrinės lygtys su daugybe sprendimo būdų. Tiesą pasakius, man pačiai jie nelabai patiko... Nepanikuokite! – tuomet dažniausiai jūsų laukia „kiaulpienės“ su akivaizdžiu sprendimu 1-2 žingsniais. Nors „varnalėša“ tikrai prilimpa, čia reikia būti objektyviems.
Kaip bebūtų keista, aukštojoje matematikoje daug dažniau susiduriama su labai primityviomis lygtimis, tokiomis kaip linijinis lygtys
Ką reiškia išspręsti šią lygtį? Tai reiškia, kad reikia rasti TOKIĄ „x“ (šaknies) reikšmę, kuri paverčia ją tikra lygybe. Išmeskime „trys“ į dešinę, pakeisdami ženklą:
ir numeskite „du“ į dešinę pusę (arba tas pats - padauginkite abi puses iš)
:
Norėdami patikrinti, pakeiskime laimėtą trofėjų į pradinę lygtį: 
Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad rasta reikšmė iš tikrųjų yra šios lygties šaknis. Arba, kaip jie taip pat sako, atitinka šią lygtį.
Atkreipkite dėmesį, kad šaknis taip pat gali būti įrašyta formoje dešimtainis:
Ir stenkitės nesilaikyti šio blogo stiliaus! Priežastį pakartojau ne kartą, ypač pačioje pirmoje pamokoje aukštesnė algebra.
Beje, lygtį taip pat galima išspręsti „arabų kalba“:
Ir kas įdomiausia, kad šis įrašas yra visiškai legalus! Bet jei nesate mokytojas, geriau to nedaryti, nes už originalumą čia baudžiama =)
O dabar šiek tiek apie
grafinio sprendimo metodas
Lygtis turi formą, o jos šaknis yra "X" koordinatė susikirtimo taškai tiesinės funkcijos grafikas su grafiku tiesinė funkcija (x ašis):
Atrodytų, kad pavyzdys toks elementarus, kad čia nėra ką daugiau analizuoti, tačiau iš jo galima „išspausti“ dar vieną netikėtą niuansą: pateikime tą pačią lygtį formoje ir sukonstruokime funkcijų grafikus: 
kur, nepainiokite šių dviejų sąvokų: lygtis yra lygtis ir funkcija– tai funkcija! Funkcijos tik padėti rasti lygties šaknis. Iš kurių gali būti du, trys, keturi ar net be galo daug. Artimiausias pavyzdys šia prasme yra gerai žinomas kvadratinė lygtis, kurio sprendimo algoritmas gavo atskirą pastraipą „karštos“ mokyklinės formulės. Ir tai nėra atsitiktinumas! Jei galite išspręsti kvadratinę lygtį ir žinoti Pitagoro teorema, tada, galima sakyti, „pusė aukštosios matematikos jau kišenėje“ =) Žinoma, perdėta, bet ne taip toli nuo tiesos!
Todėl nebūkime tingūs ir išspręskime kokią nors kvadratinę lygtį standartinis algoritmas:
, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi skirtingas galiojašaknis: 
Nesunku patikrinti, ar abi rastos reikšmės iš tikrųjų atitinka šią lygtį: 
Ką daryti, jei staiga pamiršote sprendimo algoritmą, o priemonių/pagalbos rankų nėra po ranka? Tokia situacija gali susidaryti, pavyzdžiui, testo ar egzamino metu. Mes naudojame grafinį metodą! Ir yra du būdai: galite statyti taškas po taško parabolė 
, taip išsiaiškindami, kur jis kerta ašį (jei iš viso kerta). Bet geriau padaryti ką nors gudresnio: įsivaizduokite lygtį formoje, nubrėžkite paprastesnių funkcijų grafikus - ir „X“ koordinatės aiškiai matomi jų susikirtimo taškai! 
Jei paaiškėja, kad tiesi linija liečia parabolę, tada lygtis turi dvi atitinkančias (kelias) šaknis. Jei paaiškėja, kad tiesė nekerta parabolės, tada nėra tikrų šaknų.
Norint tai padaryti, žinoma, reikia mokėti statyti elementariųjų funkcijų grafikai, bet, kita vertus, šiuos įgūdžius gali atlikti net moksleivis.
Ir vėl – lygtis yra lygtis, o funkcijos , yra funkcijos, kurios tik padėjo išspręskite lygtį!
Ir čia, beje, derėtų prisiminti dar vieną dalyką: jei visi lygties koeficientai padauginami iš ne nulio skaičiaus, tai jos šaknys nepasikeis.
Taigi, pavyzdžiui, lygtis 
turi tas pačias šaknis. Kaip paprastą „įrodymą“, konstantą išimsiu iš skliaustų: 
ir aš jį pašalinsiu neskausmingai (Aš padalinsiu abi dalis iš „minus du“):
BET! Jei atsižvelgsime į funkciją 
, tada jūs negalite atsikratyti konstantos čia! Leidžiama tik išimti daugiklį iš skliaustų: 
.
Daugelis žmonių neįvertina grafinio sprendimo metodo, laikydami jį kažkuo „negarbingu“, o kai kurie net visiškai pamiršta apie šią galimybę. Ir tai iš esmės neteisinga, nes grafikų sudarymas kartais tiesiog išsaugo situaciją!
Kitas pavyzdys: tarkime, kad neprisimenate paprasčiausios trigonometrinės lygties šaknų: . Bendra formulė yra mokykliniuose vadovėliuose, visuose pradinės matematikos žinynuose, bet jie jums neprieinami. Tačiau lygties sprendimas yra labai svarbus (dar žinomas kaip „du“). Yra išėjimas! - sudaryti funkcijų grafikus: 
po to ramiai užrašome jų susikirtimo taškų „X“ koordinates: 
Yra be galo daug šaknų ir jų sutrumpintas žymėjimas priimamas algebroje:
, Kur ( – sveikųjų skaičių rinkinys)
.
Ir, „neišeinant“, keli žodžiai apie grafinį nelygybių su vienu kintamuoju sprendimą metodą. Principas tas pats. Taigi, pavyzdžiui, nelygybės sprendimas yra bet koks „x“, nes Sinusoidas yra beveik visiškai po tiesia linija. Nelygybės sprendimas yra intervalų rinkinys, kuriame sinusoidės dalys yra griežtai virš tiesės (x ašis):
arba trumpai:
Tačiau čia yra daugybė nelygybės sprendimų: tuščia, nes nė vienas sinusoidės taškas nėra virš tiesės.
Ar yra kažkas, ko nesupranti? Skubiai išstudijuokite pamokas apie rinkiniai Ir funkcijų grafikai!
Sušilkime:
1 pratimas
Grafiškai išspręskite šias trigonometrines lygtis:
Atsakymai pamokos pabaigoje
Kaip matote, norint studijuoti tiksliuosius mokslus, visai nebūtina kimšti formules ir žinynus! Be to, tai iš esmės ydingas požiūris.
Kaip jau raminau pačioje pamokos pradžioje, sudėtingos trigonometrinės lygtys standartiniame aukštosios matematikos kurse turi būti sprendžiamos itin retai. Visas sudėtingumas, kaip taisyklė, baigiasi tokiomis lygtimis kaip , kurių sprendimas yra dvi šaknų grupės, kilusios iš paprasčiausių lygčių ir 
. Per daug nesijaudinkite spręsdami pastarąjį – pažiūrėkite knygoje arba susiraskite internete =)
Grafinio sprendimo metodas taip pat gali padėti mažiau nereikšmingais atvejais. Apsvarstykite, pavyzdžiui, šią „ragtag“ lygtį:
Jo sprendimo perspektyvos atrodo... visai nekaip, bet tereikia įsivaizduoti lygtį formoje , statyti funkcijų grafikai ir viskas pasirodys neįtikėtinai paprasta. Straipsnio viduryje yra piešinys apie be galo mažos funkcijos (bus atidaryta kitame skirtuke).
Naudodami tą patį grafinį metodą, galite sužinoti, kad lygtis jau turi dvi šaknis, ir viena iš jų yra lygi nuliui, o kita, matyt, neracionalus ir priklauso segmentui . Šią šaknį galima apskaičiuoti apytiksliai, pvz. tangentinis metodas. Beje, kai kuriose problemose nutinka taip, kad reikia ne ieškoti šaknų, o išsiaiškinti ar jie apskritai egzistuoja?. Ir čia taip pat gali padėti piešinys – jei grafikai nesikerta, vadinasi, nėra ir šaknų.
Racionalios daugianario šaknys su sveikaisiais koeficientais.
Hornerio schema
O dabar kviečiu nukreipti žvilgsnį į viduramžius ir pajusti nepakartojamą klasikinės algebros atmosferą. Norint geriau suprasti medžiagą, rekomenduoju bent šiek tiek perskaityti kompleksiniai skaičiai.
Jie yra geriausi. Polinomai.
Mūsų susidomėjimo objektas bus dažniausiai pasitaikantys formos su visas koeficientai Natūralusis skaičius paskambino daugianario laipsnis, skaičius – aukščiausio laipsnio koeficientas (arba tiesiog didžiausias koeficientas), o koeficientas yra laisvas narys.
Šį daugianarį trumpai pažymėsiu .
Daugiakalnio šaknys vadiname lygties šaknis
Man patinka geležinė logika =)
Norėdami gauti pavyzdžių, eikite į pačią straipsnio pradžią: 
Nekyla problemų ieškant 1-ojo ir 2-ojo laipsnio daugianario šaknų, tačiau augant ši užduotis tampa vis sunkesnė. Nors iš kitos pusės viskas įdomiau! Ir kaip tik tam bus skirta antroji pamokos dalis.
Pirma, pažodžiui pusė teorijos ekrano:
1) Pagal išvadą Pagrindinė algebros teorema, laipsnio daugianario turi tiksliai kompleksasšaknys. Kai kurios šaknys (ar net visos) gali būti ypatingos galioja. Be to, tarp tikrųjų šaknų gali būti identiškų (kelių) šaknų (mažiausiai du, daugiausiai vienetų).
Jei koks nors kompleksinis skaičius yra daugianario šaknis, tada konjugatas jo skaičius taip pat būtinai yra šio daugianario šaknis (konjuguotos kompleksinės šaknys turi formą ).
Paprasčiausias pavyzdys yra kvadratinė lygtis, kuri pirmą kartą pasirodė 8 (Kaip) klasėje, ir kurią pagaliau „užbaigėme“ temoje kompleksiniai skaičiai. Leiskite jums priminti: kvadratinė lygtis turi arba dvi skirtingas realias šaknis, arba kelias šaknis, arba konjuguotas sudėtingas šaknis.
2) Nuo Bezouto teorema iš to išplaukia, kad jei skaičius yra lygties šaknis, tai atitinkamą daugianarį galima koeficientuoti:
, kur yra laipsnio daugianario .
Ir vėl mūsų senas pavyzdys: kadangi yra lygties šaknis, tada . Po to nesunku gauti gerai žinomą „mokyklos“ plėtrą.
Bezouto teoremos išvada turi didelę praktinę vertę: jei žinome 3 laipsnio lygties šaknį, galime ją pavaizduoti forma 
ir iš kvadratinė lygtis nesunku atpažinti likusias šaknis. Jei žinome 4-ojo laipsnio lygties šaknį, tai galima kairiąją pusę išplėsti į sandaugą ir pan.
Ir čia yra du klausimai:
Klausimas vienas. Kaip rasti šią šaknį? Visų pirma, apibrėžkime jo prigimtį: daugelyje aukštosios matematikos uždavinių reikia rasti racionalus, ypač visas daugianario šaknys, ir šiuo atžvilgiu toliau daugiausia domėsis jais.... ...jie tokie geri, tokie purūs, kad norisi juos rasti! =)
Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą, yra atrankos metodas. Apsvarstykite, pavyzdžiui, lygtį. Laimikis čia yra laisvas terminas - jei jis būtų lygus nuliui, tada viskas būtų gerai - išimame „x“ iš skliaustų ir pačios šaknys „iškrenta“ į paviršių: 
Tačiau mūsų laisvasis terminas yra lygus „trims“, todėl į lygtį pradedame keisti įvairius skaičius, kurie pretenduoja į „šaknį“. Visų pirma, pavienių vertybių pakeitimas rodo pats savaime. Pakeiskime: 
Gauta neteisinga lygybė, taigi vienetas „netinka“. Na, gerai, pakeiskime: 
Gauta tiesa lygybė! Tai yra, vertė yra šios lygties šaknis.
Norint rasti 3 laipsnio daugianario šaknis, yra analizės metodas (vadinamosios Cardano formulės), bet dabar mus domina kiek kitokia užduotis.
Kadangi - yra mūsų daugianario šaknis, daugianomas gali būti pavaizduotas forma ir atsiranda Antras klausimas: kaip susirasti „jaunesnįjį brolį“?
Paprasčiausi algebriniai svarstymai rodo, kad norėdami tai padaryti, turime padalyti iš . Kaip padalyti daugianarį iš daugianario? Tas pats mokyklos metodas, kurį jie naudoja įprasti skaičiai- „stulpelyje“! Šis metodas Išsamiai tai aptariau pirmuosiuose pamokos pavyzdžiuose Sudėtingos ribos, o dabar pažvelgsime į kitą metodą, kuris vadinamas Hornerio schema.
Pirmiausia rašome „aukščiausią“ daugianarį su visais
, įskaitant nulinius koeficientus:
, po kurio įvesime šiuos koeficientus (griežtai eilės tvarka) į viršutinę lentelės eilutę:
Kairėje rašome šaknį:
Iš karto padarysiu išlygą, kad Hornerio schema taip pat veikia, jei „raudonas“ skaičius Ne yra daugianario šaknis. Tačiau neskubėkime dalykų.
Iš viršaus pašaliname pagrindinį koeficientą:
Apatinių langelių užpildymo procesas šiek tiek primena siuvinėjimą, kai „minus vienas“ yra tam tikra „adata“, persmelkianti tolesnius veiksmus. „Nuneštą“ skaičių padauginame iš (–1) ir pridedame skaičių iš viršutinio langelio prie produkto:
Rastą reikšmę padauginame iš „raudonos adatos“ ir prie produkto pridedame tokį lygties koeficientą:
Ir galiausiai gauta vertė vėl „apdorojama“ su „adata“ ir viršutiniu koeficientu:
Nulis paskutiniame langelyje rodo, kad daugianomas yra padalintas į be pėdsakų (kaip ir turėtų būti), o plėtimosi koeficientai „pašalinami“ tiesiai iš apatinės lentelės eilutės:
Taigi, mes perėjome nuo lygties prie lygiavertės lygties ir viskas aišku su dviem likusiomis šaknimis (V tokiu atveju gauname konjuguotas sudėtingas šaknis).
Lygtį, beje, galima išspręsti ir grafiškai: plot "žaibas" 
ir pamatysite, kad grafikas kerta x ašį ()
taške. Arba tas pats „gudrus“ triukas - perrašome lygtį į formą , nubraižome elementarius grafikus ir nustatome jų susikirtimo taško „X“ koordinatę.
Beje, bet kurios 3 laipsnio funkcijos-polinomo grafikas kerta ašį bent kartą, o tai reiškia, kad atitinkama lygtis turi bent jau vienas galiojašaknis. Šis faktas galioja bet kuriai nelyginio laipsnio daugianario funkcijai.
Ir čia aš taip pat norėčiau pasilikti svarbus punktas kas liečia terminiją: daugianario Ir daugianario funkcija – tai ne tas pats dalykas! Tačiau praktikoje jie dažnai kalba, pavyzdžiui, apie „polinomo grafiką“, kuris, žinoma, yra aplaidumas.
Tačiau grįžkime prie Hornerio schemos. Kaip neseniai minėjau, ši schema tinka kitiems skaičiams, bet jei skaičius Ne yra lygties šaknis, tada mūsų formulėje atsiranda ne nulis priedas (likutis):
„Paleiskite“ „nesėkmingą“ reikšmę pagal Hornerio schemą. Šiuo atveju patogu naudoti tą pačią lentelę - kairėje užrašykite naują „adatą“, perkelkite pirminį koeficientą iš viršaus (kairė žalia rodyklė), ir einame: 
Norėdami patikrinti, atidarykite skliaustus ir pateikite panašius terminus:
, GERAI.
Nesunku pastebėti, kad likusioji dalis („šeši“) yra lygi daugianario reikšmė . Ir iš tikrųjų - kaip tai yra: 
, o dar gražiau – taip:
Iš aukščiau pateiktų skaičiavimų nesunku suprasti, kad Hornerio schema leidžia ne tik apskaičiuoti daugianarį, bet ir atlikti „civilizuotą“ šaknies pasirinkimą. Siūlau pačiam konsoliduoti skaičiavimo algoritmą atliekant nedidelę užduotį:
2 užduotis
Naudodami Hornerio schemą, raskite lygties sveikąją šaknį ir pakartokite atitinkamą daugianarį
Kitaip tariant, čia reikia nuosekliai tikrinti skaičius 1, –1, 2, –2, ... – tol, kol paskutiniame stulpelyje „nubraižyta“ nulinė liekana. Tai reikš, kad šios eilutės „adata“ yra daugianario šaknis
Skaičiavimus patogu išdėstyti vienoje lentelėje. Išsamus sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Šaknų parinkimo metodas yra geras palyginti paprastiems atvejams, tačiau jei daugianario koeficientai ir (arba) laipsnis yra dideli, procesas gali užtrukti ilgai. O gal yra kokių nors verčių iš to paties sąrašo 1, –1, 2, –2 ir nėra prasmės svarstyti? Be to, šaknys gali pasirodyti trupmeninės, o tai sukels visiškai nemokslišką kibimą.
Laimei, yra dvi galingos teoremos, kurios gali žymiai sumažinti racionalių šaknų „kandidatų“ verčių paiešką:
1 teorema Pasvarstykime nesumažinamas trupmena , kur . Jei skaičius yra lygties šaknis, tada laisvasis narys dalijamas iš, o pagrindinis koeficientas – iš.
Ypač, jei pagrindinis koeficientas yra , tada ši racionalioji šaknis yra sveikasis skaičius:
Ir mes pradedame išnaudoti teoremą tik su šia skania detale:
Grįžkime prie lygties. Kadangi jo pagrindinis koeficientas yra , tada hipotetinės racionalios šaknys gali būti išimtinai sveikosios, o laisvasis terminas būtinai turi būti padalintas į šias šaknis be liekanos. O „trys“ gali būti skirstomi tik į 1, –1, 3 ir –3. Tai yra, mes turime tik 4 „šakinius kandidatus“. Ir, pasak 1 teorema, kiti racionalūs skaičiai negali būti šios lygties šaknys IŠ PRINCIPO.
Lygtyje yra šiek tiek daugiau „pretendentų“: laisvasis terminas skirstomas į 1, –1, 2, – 2, 4 ir –4.
Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 1, –1 yra galimų šaknų sąrašo „įprasti“. (akivaizdi teoremos pasekmė) ir dauguma Geriausias pasirinkimas dėl pirmumo patikrinimo.
Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių:
3 problema
Sprendimas: kadangi pirmaujantis koeficientas yra , tai hipotetinės racionalios šaknys gali būti tik sveikosios ir būtinai turi būti laisvojo termino dalikliai. „Minus keturiasdešimt“ yra padalintas į šias skaičių poras:
– iš viso 16 „kandidatų“.
Ir čia iškart atsiranda viliojanti mintis: ar įmanoma išravėti visas negatyvas ar visas teigiamas šaknis? Kai kuriais atvejais tai įmanoma! Suformuluosiu du ženklus:
1) Jei Visi Jei daugianario koeficientai yra neneigiami, tada jis negali turėti teigiamų šaknų. Deja, tai ne mūsų atvejis (dabar, jei mums būtų pateikta lygtis - tada taip, pakeičiant bet kurią daugianario reikšmę, daugianario reikšmė yra griežtai teigiama, o tai reiškia, kad visi teigiami skaičiai (ir neracionalių) negali būti lygties šaknys.
2) Jei nelyginių laipsnių koeficientai yra neneigiami, o visų lyginių (įskaitant nemokamą narį) yra neigiami, tada daugianario negali turėti neigiamų šaknų. Tai mūsų atvejis! Pažvelgus šiek tiek atidžiau, matote, kad lygtyje pakeitus bet kokį neigiamą „X“, kairioji pusė bus griežtai neigiama, o tai reiškia, kad neigiamos šaknys išnyksta.
Taigi tyrimams liko 8 skaičiai:
Mes nuolat juos "apmokestiname" pagal Hornerio schemą. Tikiuosi, kad jau įvaldėte protinius skaičiavimus: 
Bandant „du“ mūsų laukė sėkmė. Taigi, yra nagrinėjamos lygties šaknis ir
Belieka ištirti lygtį 
. Tai lengva padaryti naudojant diskriminantą, bet aš atliksiu orientacinį testą pagal tą pačią schemą. Pirma, atkreipkime dėmesį, kad laisvasis terminas yra lygus 20, o tai reiškia 1 teorema skaičiai 8 ir 40 iškrenta iš galimų šaknų sąrašo, paliekant reikšmes tyrimams (vienas buvo pašalintas pagal Hornerio schemą).
Naujos lentelės viršutinėje eilutėje rašome trinalio koeficientus ir Pradedame tikrinti nuo tų pačių „du“. Kodėl? Ir kadangi šaknys gali būti kartotinės, prašome: - ši lygtis turi 10 identiškų šaknų. Bet nesiblaškykime: 
Ir čia, žinoma, šiek tiek melavau, žinodamas, kad šaknys racionalios. Galų gale, jei jie būtų neracionalūs ar sudėtingi, aš susidurčiau su nesėkmingu visų likusių skaičių patikrinimu. Todėl praktikoje vadovaukitės diskriminantu.
Atsakymas: racionalios šaknys: 2, 4, 5
Mums pasisekė su analizuota problema, nes: a) jie iškart nukrito neigiamos reikšmės, ir b) labai greitai radome šaknį (ir teoriškai galėtume patikrinti visą sąrašą).
Tačiau iš tikrųjų situacija yra daug blogesnė. Kviečiu pažiūrėti įdomų žaidimą „Paskutinis herojus“:
4 problema
Raskite racionalias lygties šaknis
Sprendimas: pagal 1 teorema hipotetinių racionalių šaknų skaitikliai turi tenkinti sąlygą (skaitome „dvylika yra padalinta iš el“), o vardikliai – prie sąlygos . Remdamiesi tuo, gauname du sąrašus:
"sąrašas el":
ir "sąrašas um": (laimei, skaičiai čia yra natūralūs).
Dabar sudarykime visų galimų šaknų sąrašą. Pirmiausia „el sąrašą“ padalijame iš . Visiškai aišku, kad bus gauti tie patys skaičiai. Kad būtų patogiau, sudėkime juos į lentelę:
Daugelis trupmenų buvo sumažintos, todėl vertės jau yra „herojų sąraše“. Pridedame tik „naujokus“: 
Panašiai tą patį „sąrašą“ padalijame iš: 
ir galiausiai toliau
Taigi mūsų žaidimo dalyvių komanda sukomplektuota: 
Deja, polinomas šioje užduotyje neatitinka „teigiamo“ ar „neigiamo“ kriterijaus, todėl negalime atmesti viršutinės ar apatinės eilės. Turėsite dirbti su visais skaičiais.
Kaip tu jautiesi? Nagi, pakelk galvą – yra dar viena teorema, kurią perkeltine prasme galima pavadinti „žudiko teorema“... ...„kandidatai“, žinoma =)
Bet pirmiausia turite slinkti per Hornerio diagramą bent vienam visas skaičių. Tradiciškai paimkime vieną. Viršutinėje eilutėje rašome daugianario koeficientus ir viskas kaip įprasta:
Kadangi keturi akivaizdžiai nėra nulis, reikšmė nėra aptariamo daugianario šaknis. Bet ji mums labai padės.
2 teorema Jei kai kuriems apskritai daugianario reikšmė nėra lygi nuliui: , tada jo racionalios šaknys (jei jie yra) patenkinti sąlygą
Mūsų atveju ir todėl visos galimos šaknys turi tenkinti sąlygą (pavadinkime tai Sąlyga Nr. 1). Šis ketvertas bus daugelio „kandidatų“ „žudikas“. Kaip demonstraciją, pažvelgsiu į keletą patikrinimų:
Patikrinkime „kandidatą“. Norėdami tai padaryti, dirbtinai pavaizduokime ją trupmenos pavidalu, iš kurios aiškiai matyti, kad . Apskaičiuokime testo skirtumą: . Keturi yra padalinti iš „minus du“: , o tai reiškia, kad galima šaknis išlaikė testą.
Patikrinkime vertę. Testo skirtumas yra toks: 
. Žinoma, todėl antrasis „subjektas“ taip pat lieka sąraše.
