შემდეგი ფორმულა ეწოდება ინტეგრაცია ნაწილების ფორმულით განუსაზღვრელ ინტეგრალში:

ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის გამოსაყენებლად, ინტეგრანტი უნდა დაიყოს ორ ფაქტორად. ერთ-ერთი მათგანი აღინიშნება u, ხოლო დანარჩენი ეხება მეორე ფაქტორს და აღინიშნება dv. შემდეგ დიფერენციაციის მიხედვით ვპოულობთ დუხოლო ინტეგრაცია - ფუნქცია ვ. ამავე დროს, ამისთვის u dv- ინტეგრანტის ისეთი ნაწილი, რომელიც ადვილად შეიძლება ინტეგრირებული იყოს.

როდის არის მომგებიანი ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდის გამოყენება? Მაშინ როცა ინტეგრანტი შეიცავს :

1) - ლოგარითმული ფუნქციები, ისევე როგორც შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები(პრეფიქსი "რკალი"), შემდეგ, ნაწილების მიერ ინტეგრაციის გრძელვადიანი გამოცდილების საფუძველზე, ეს ფუნქციები აღინიშნება u;

2) , , - სინუსი, კოსინუსი და მაჩვენებელი გამრავლებული პ(x) არის თვითნებური პოლინომი x-ში, მაშინ ეს ფუნქციები აღინიშნება dv, და მრავალწევრი არის მეშვეობით u;

3) , , , , ამ შემთხვევაში ნაწილების მიერ ინტეგრაცია გამოიყენება ორჯერ.

მოდით ავხსნათ ინტეგრაციის მეთოდის მნიშვნელობა ნაწილების მიხედვით პირველი შემთხვევის მაგალითის გამოყენებით. მოდით, ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ გამოსახულება შეიცავდეს ლოგარითმულ ფუნქციას (ეს იქნება მაგალითი 1). ნაწილების მიერ ინტეგრაციის გამოყენებით, ასეთი ინტეგრალი მცირდება მხოლოდ ალგებრული ფუნქციების ინტეგრალის გაანგარიშებამდე (ყველაზე ხშირად პოლინომი), ანუ არ შეიცავს ლოგარითმულ ან შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას. გაკვეთილის დასაწყისში მოცემული ნაწილებით ინტეგრაციის ფორმულის გამოყენება

პირველ წევრში (ინტეგრალის გარეშე) ვიღებთ ლოგარითმულ ფუნქციას, ხოლო მეორე წევრში (ინტეგრალის ნიშნის ქვეშ) ფუნქციას, რომელიც არ შეიცავს ლოგარითმს. ალგებრული ფუნქციის ინტეგრალი გაცილებით მარტივია, ვიდრე ინტეგრალი, რომლის ნიშნის ქვეშ გვხვდება ცალკე ან ერთად. ალგებრული ფაქტორილოგარითმული ან შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

ამრიგად, გამოყენებით ინტეგრაცია ნაწილების ფორმულებით ინტეგრაცია დაუყოვნებლივ არ სრულდება: მოცემული ინტეგრალის პოვნა მცირდება მეორის პოვნამდე. ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის მნიშვნელობა არის ის, რომ მისი გამოყენების შედეგად ახალი ინტეგრალი აღმოჩნდება ცხრილის სახით ან სულ მცირე ხდება უფრო მარტივი ვიდრე ორიგინალი.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი ემყარება ორი ფუნქციის პროდუქტის დიფერენცირების ფორმულის გამოყენებას:

მაშინ შეიძლება დაიწეროს ფორმაში

რომელიც გაკვეთილის დასაწყისშივე იყო მოცემული.

ფუნქციის ინტეგრირებით პოვნისას ვმისთვის არის უსასრულო ნაკრები ანტიდერივატიული ფუნქციები. ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის გამოსაყენებლად, შეგიძლიათ აიღოთ რომელიმე მათგანი და, შესაბამისად, ის, რომელიც შეესაბამება თვითნებურ მუდმივას თან, ნულის ტოლია. ამიტომ ფუნქციის პოვნისას ვთვითნებური მუდმივი თანარ უნდა შევიდეს.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდს აქვს ძალიან განსაკუთრებული გამოყენება: ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ანტიდერივატიული ფუნქციების მოსაძებნად განმეორებადი ფორმულების მისაღებად, როდესაც აუცილებელია ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციების ხარისხის შემცირება. ხარისხის შემცირება აუცილებელია, როდესაც არ არსებობს ტაბულური ინტეგრალები, მაგალითად, ისეთი ფუნქციებისთვის, როგორიცაა სინუსები და კოსინუსები მეორეზე და მათ პროდუქტებზე დიდ ხარისხებამდე. განმეორებადი ფორმულა არის ფორმულა წინა წევრის მეშვეობით მიმდევრობის შემდეგი წევრის მოსაძებნად. მითითებული შემთხვევებისთვის მიზანი მიიღწევა ხარისხის თანმიმდევრული დაწევით. ასე რომ, თუ ინტეგრადი არის სინუსი x-ის მეოთხე ხარისხზე, მაშინ ნაწილებით ინტეგრირებით შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულა სინუსის ინტეგრალის მესამე ხარისხზე და ა.შ. ამ გაკვეთილის ბოლო აბზაცი ეძღვნება აღწერილ ამოცანას.

ინტეგრაციის გამოყენება ნაწილების ერთად

მაგალითი 1. იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდის გამოყენებით:

გამოსავალი. ინტეგრანდულ გამონათქვამში - ლოგარითმი, რომელიც, როგორც უკვე ვიცით, გონივრულად შეიძლება აღვნიშნოთ u. ჩვენ გვჯერა, რომ .

ჩვენ ვპოულობთ (როგორც უკვე აღვნიშნეთ თეორიული მითითების ახსნაში, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიღებთ ლოგარითმულ ფუნქციას პირველ წევრში (ინტეგრალის გარეშე) და ფუნქციას, რომელიც არ შეიცავს ლოგარითმს მეორე წევრში (ინტეგრალის ნიშნის ქვეშ):

და ისევ ლოგარითმი...

მაგალითი 2.იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

გამოსავალი. დაე , .

ლოგარითმი წარმოდგენილია კვადრატში. ეს ნიშნავს, რომ ის უნდა იყოს დიფერენცირებული, როგორც რთული ფუნქცია. Ჩვენ ვიპოვეთ
,
.

ჩვენ კვლავ ვპოულობთ მეორე ინტეგრალს ნაწილების მიხედვით და ვიღებთ უკვე აღნიშნულ უპირატესობას (პირველ წევრში (ინტეგრალის გარეშე) არის ლოგარითმული ფუნქცია, ხოლო მეორე წევრში (ინტეგრალის ნიშნის ქვეშ) არის ფუნქცია, რომელიც არ შეიცავს ლოგარითმი).

ჩვენ ვპოულობთ ორიგინალურ ინტეგრალს:

მაგალითი 3.

გამოსავალი. არქტანგენსი, ლოგარითმის მსგავსად, უკეთესად აღინიშნება u. ასე რომ, მოდით,.

მაშინ,
.

ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის გამოყენებით, მივიღებთ:

მეორე ინტეგრალს ვპოულობთ ცვლადის შეცვლით.

ცვლადზე დაბრუნება x, ვიღებთ

ჩვენ ვპოულობთ ორიგინალურ ინტეგრალს:

მაგალითი 4. იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ნაწილების მიერ ინტეგრაციის გზით:

გამოსავალი. უმჯობესია გამოფენის აღნიშვნა dv. ჩვენ დავყავით ინტეგრანტი ორ ფაქტორად. იმის დაჯერება

მაგალითი 5. იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდის გამოყენებით:

გამოსავალი. დაე , . შემდეგ , .

ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის გამოყენებით (1), ჩვენ ვპოულობთ:

მაგალითი 6.იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ნაწილების მიერ ინტეგრაციის გზით:

გამოსავალი. სინუსი, ისევე როგორც ექსპონენციალური, მოხერხებულად შეიძლება აღინიშნოს dv. დაე , .

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვხვდებით:

ჩვენ კვლავ ვიყენებთ ინტეგრაციას ნაწილებით ერთად

მაგალითი 10.იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ნაწილების მიერ ინტეგრაციის გზით:

გამოსავალი. როგორც ყველა მსგავს შემთხვევაში, მოსახერხებელია კოსინუსის აღნიშვნა dv. ჩვენ აღვნიშნავთ, .

მერე , .

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ:

ჩვენ ასევე ვიყენებთ ინტეგრაციას ნაწილების მიხედვით მეორე ტერმინზე. ჩვენ აღვნიშნავთ, .

ამ აღნიშვნების გამოყენებით ჩვენ ვაერთიანებთ აღნიშნულ ტერმინს:

ახლა ჩვენ ვიპოვით საჭირო ინტეგრალს:

ინტეგრალთა შორის, რომელთა ამოხსნაც შესაძლებელია ნაწილებით ინტეგრაციის მეთოდით, არის ისეთებიც, რომლებიც არ შედის თეორიულ ნაწილში აღნიშნული სამი ჯგუფიდან არცერთში, რისთვისაც პრაქტიკიდან ცნობილია, რომ უმჯობესია აღვნიშნოთ uდა რისი მეშვეობით dv. ამიტომ, ამ შემთხვევებში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მოხერხებულობის გათვალისწინება, რომელიც ასევე მოცემულია პუნქტში "ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდის არსი": uუნდა აიღოთ ინტეგრადის ნაწილი, რომელიც დიფერენცირებისას ბევრად არ რთულდება, მაგრამ dv- ინტეგრანტის ისეთი ნაწილი, რომლის ინტეგრირებაც მარტივად შეიძლება. ამ გაკვეთილის ბოლო მაგალითი სწორედ ასეთი ინტეგრალის ამოხსნაა.

ინტეგრაცია ნაწილებით. გადაწყვეტილებების მაგალითები

Გამარჯობა კიდევ. დღეს გაკვეთილზე ვისწავლით თუ როგორ უნდა მოხდეს ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით. ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი ინტეგრალური კალკულუსის ერთ-ერთი ქვაკუთხედია. ტესტების ან გამოცდების დროს სტუდენტებს თითქმის ყოველთვის სთხოვენ ამოხსნან ინტეგრალების შემდეგი ტიპები: უმარტივესი ინტეგრალი. (იხილეთ სტატია)ან ინტეგრალი ცვლადის ჩანაცვლებით (იხილეთ სტატია)ან ინტეგრალი უბრალოდ ჩართულია ინტეგრაცია ნაწილების მეთოდით.

როგორც ყოველთვის, ხელთ უნდა გქონდეთ: ინტეგრალების ცხრილიდა წარმოებულების ცხრილი. თუ ჯერ კიდევ არ გაქვთ ისინი, მაშინ გთხოვთ ეწვიოთ ჩემი ვებსაიტის საცავს: მათემატიკური ფორმულები და ცხრილები. არ დავიღალე გამეორებით - ჯობია ყველაფერი ამობეჭდოთ. შევეცდები წარმოვადგინო ყველა მასალა თანმიმდევრულად, მარტივად და გარკვევით, არ არის განსაკუთრებული სირთულეები ნაწილების ინტეგრირებაში.

რა პრობლემას წყვეტს ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი? ნაწილების მეთოდით ინტეგრაცია წყვეტს ძალიან მნიშვნელოვან პრობლემას, ის საშუალებას გაძლევთ დააკავშიროთ რამდენიმე ფუნქცია, რომელიც არ არის ცხრილში; მუშაობაფუნქციები და ზოგ შემთხვევაში - კოეფიციენტებიც კი. როგორც გვახსოვს, არ არსებობს მოსახერხებელი ფორმულა: . მაგრამ არის ეს: - ნაწილების მიერ პირადად ინტეგრაციის ფორმულა. ვიცი, ვიცი, შენ ერთადერთი ხარ - ჩვენ ვიმუშავებთ მასთან მთელი გაკვეთილის განმავლობაში (ახლა უფრო ადვილია).

და მაშინვე სია იგზავნება სტუდიაში. შემდეგი ტიპების ინტეგრალები აღებულია ნაწილების მიხედვით:

1) , , – ლოგარითმი, ლოგარითმი გამრავლებული რამდენიმე მრავალწევრზე.

2) ,არის ექსპონენციალური ფუნქცია, გამრავლებული რამდენიმე მრავალწევრზე. ეს ასევე მოიცავს ინტეგრალებს, როგორიცაა - ექსპონენციალური ფუნქციამრავლდება მრავალწევრზე, მაგრამ პრაქტიკაში პროცენტი არის 97, ინტეგრალის ქვეშ არის ლამაზი ასო "ე". ... სტატია გარკვეულწილად ლირიკული გამოდის, ჰო... გაზაფხული მოვიდა.

3) , , არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები გამრავლებული რამდენიმე მრავალწევრზე.

4) , – შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები („თაღები“), „თაღები“ გამრავლებული რამდენიმე მრავალწევრზე.

ზოგიერთი წილადიც ნაწილებად არის აღებული, ასევე დეტალურად განვიხილავთ შესაბამის მაგალითებს.

ლოგარითმების ინტეგრალები

მაგალითი 1

კლასიკური. დროდადრო ეს ინტეგრალი გვხვდება ცხრილებში, მაგრამ მზა პასუხის გამოყენება მიზანშეწონილი არ არის, რადგან მასწავლებელს გაზაფხულის ვიტამინის დეფიციტი აქვს და მძიმედ იფიცებს. იმის გამო, რომ განსახილველი ინტეგრალი არავითარ შემთხვევაში არ არის ცხრილი - ის აღებულია ნაწილებად. Ჩვენ ვწყვეტთ:

ჩვენ ვწყვეტთ ამოხსნას შუალედური ახსნა-განმარტებისთვის.

ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრაციის ფორმულას ნაწილების მიხედვით:

ფორმულა გამოიყენება მარცხნიდან მარჯვნივ

მარცხენა მხარეს ვუყურებთ: . ცხადია, ჩვენს მაგალითში (და ყველა დანარჩენში, რომელსაც განვიხილავთ) რაღაც უნდა იყოს დანიშნულება როგორც , და რაღაც როგორც .

განსახილველი ტიპის ინტეგრალებში ლოგარითმი ყოველთვის აღინიშნება.

ტექნიკურად, გადაწყვეტის დიზაინი ხორციელდება შემდეგნაირად:

ანუ, ჩვენ აღვნიშნეთ ლოგარითმი როგორც და დარჩენილი ნაწილიინტეგრანდული გამოხატულება.

შემდეგი ეტაპი: იპოვნეთ დიფერენციალი:

დიფერენციალი თითქმის იგივეა, რაც წარმოებული, ჩვენ უკვე განვიხილეთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ იგი წინა გაკვეთილებში.

ახლა ჩვენ ვიპოვით ფუნქციას. ფუნქციის მოსაძებნად საჭიროა ინტეგრირება მარჯვენა მხარექვედა თანასწორობა:

ახლა ჩვენ ვხსნით ჩვენს ამოხსნას და ვაშენებთ ფორმულის მარჯვენა მხარეს: .
სხვათა შორის, აქ არის საბოლოო გადაწყვეტის ნიმუში რამდენიმე შენიშვნით:

ნამუშევარში ერთადერთი წერტილი ის არის, რომ მე მაშინვე გავცვალე და, რადგან მიღებულია ფაქტორის დაწერა ლოგარითმის წინ.

როგორც ხედავთ, ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის გამოყენებამ არსებითად შეამცირა ჩვენი ამოხსნა ორ მარტივ ინტეგრალამდე.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში მას შემდეგ, რაცფორმულის გამოყენებისას, გამარტივება აუცილებლად ხორციელდება დარჩენილი ინტეგრალის ქვეშ - განსახილველ მაგალითში ჩვენ შევამცირეთ ინტეგრადი "x".

მოდით შევამოწმოთ. ამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ პასუხის წარმოებული:

მიღებულია ინტეგრატის ორიგინალური ფუნქცია, რაც ნიშნავს, რომ ინტეგრალი სწორად არის ამოხსნილი.

ტესტის დროს გამოვიყენეთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესი: . და ეს შემთხვევითი არ არის.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა და ფორმულა - ეს ორი ურთიერთშებრუნებული წესია.

მაგალითი 2

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ინტეგრანტი არის ლოგარითმისა და მრავალწევრის ნამრავლი.
გადავწყვიტოთ.

სამომავლოდ კიდევ ერთხელ აღვწერ წესის გამოყენების პროცედურას, უფრო მოკლედ იქნება წარმოდგენილი მაგალითები და თუ გაგიჭირდებათ მისი დამოუკიდებლად გადაჭრა, უნდა დაუბრუნდეთ გაკვეთილის პირველ ორ მაგალითს; .

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, აუცილებელია ლოგარითმის აღნიშვნა (მნიშვნელობა არ აქვს, რომ ეს არის ძალა). ჩვენ აღვნიშნავთ დარჩენილი ნაწილიინტეგრანდული გამოხატულება.

ჩვენ ვწერთ სვეტში:

პირველ რიგში ვპოულობთ დიფერენციალს:

აქ ვიყენებთ დიფერენციაციის წესს რთული ფუნქცია . შემთხვევითი არ არის, რომ თემის პირველივე გაკვეთილზე განუსაზღვრელი ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითებიმე გავამახვილე ყურადღება იმაზე, რომ ინტეგრალების დაუფლებისთვის აუცილებელია წარმოებულების „ხელში მოხვედრა“. წარმოებულებთან არაერთხელ მოგიწევთ საქმე.

ახლა ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციას, ამისათვის ჩვენ ვაერთიანებთ მარჯვენა მხარექვედა თანასწორობა:

ინტეგრაციისთვის ჩვენ გამოვიყენეთ უმარტივესი ცხრილის ფორმულა

ახლა ყველაფერი მზად არის ფორმულის გამოსაყენებლად . გახსენით ვარსკვლავით და „აშენეთ“ გამოსავალი მარჯვენა მხარის შესაბამისად:

ინტეგრალის ქვეშ ისევ გვაქვს ლოგარითმის პოლინომი! ამიტომ გამოსავალი ისევ წყდება და ნაწილებით ინტეგრაციის წესი მეორედ გამოიყენება. არ დაგავიწყდეთ, რომ მსგავს სიტუაციებში ლოგარითმი ყოველთვის აღინიშნება.

კარგი იქნება თუ ახლაზეპირად შეძელით უმარტივესი ინტეგრალების და წარმოებულების პოვნა.

(1) არ დაიბნეთ ნიშნები! ძალიან ხშირად მინუსი აქ იკარგება, ასევე გაითვალისწინეთ, რომ მინუსი ეხება ყველასსამაგრი და ეს ფრჩხილები სწორად უნდა გაფართოვდეს.

(2) გახსენით ფრჩხილები. ჩვენ ვამარტივებთ ბოლო ინტეგრალს.

(3) ვიღებთ ბოლო ინტეგრალს.

(4) პასუხის „სავარცხელი“.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის წესის ორჯერ (ან თუნდაც სამჯერ) გამოყენების აუცილებლობა არცთუ იშვიათად წარმოიქმნება.

ახლა კი რამდენიმე მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება:

მაგალითი 3

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ეს მაგალითი მოგვარებულია ცვლადის შეცვლით (ან მისი ჩანაცვლებით დიფერენციალური ნიშნით)! რატომაც არა - შეგიძლიათ სცადოთ მისი ნაწილებად აღება, სასაცილო იქნება.

მაგალითი 4

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

მაგრამ ეს ინტეგრალი ინტეგრირებულია ნაწილებით (დაპირებული წილადი).

ეს არის მაგალითები, რომლითაც თქვენ უნდა ამოხსნათ საკუთარი, გადაწყვეტილებები და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს.

როგორც ჩანს, 3 და 4 მაგალითებში ინტეგრანდები მსგავსია, მაგრამ ამოხსნის მეთოდები განსხვავებულია! ეს არის ინტეგრალების დაუფლების მთავარი სირთულე - თუ ინტეგრალის ამოხსნის არასწორ მეთოდს აირჩევთ, შეგიძლიათ საათობით აურიოთ, როგორც ნამდვილი თავსატეხი. ამიტომ, რაც უფრო მეტად ამოხსნით სხვადასხვა ინტეგრალებს, მით უკეთესი, მით უფრო ადვილი იქნება ტესტი და გამოცდა. გარდა ამისა, მეორე წელს იქნება დიფერენციალური განტოლებებიდა ინტეგრალების და წარმოებულების ამოხსნის გამოცდილების გარეშე არაფერია გასაკეთებელი.

ლოგარითმების თვალსაზრისით, ეს ალბათ საკმარისზე მეტია. დამწყებთათვის ისიც მახსოვს, რომ ინჟინერიის სტუდენტები ლოგარითმებს უწოდებენ ქალის მკერდი=). სხვათა შორის, სასარგებლოა ზეპირად ვიცოდეთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები: სინუსი, კოსინუსი, არქტანგენსი, მაჩვენებელი, მესამე, მეოთხე ხარისხის მრავალწევრები და ა.შ. არა, რა თქმა უნდა, პრეზერვატივი მსოფლიოში
არ გავწელავ, მაგრამ ახლა ბევრი რამ გაგახსენდებათ განყოფილებიდან გრაფიკები და ფუნქციები =).

მრავალწევრზე გამრავლებული ექსპონენციის ინტეგრალები

Ზოგადი წესი:

მაგალითი 5

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ნაცნობი ალგორითმის გამოყენებით, ჩვენ ვაერთიანებთ ნაწილების მიხედვით:

თუ თქვენ გაქვთ სირთულეები ინტეგრალთან, მაშინ უნდა დაუბრუნდეთ სტატიას ცვლადის ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში.

ერთადერთი, რაც შეგიძლიათ გააკეთოთ, არის პასუხის შესწორება:

მაგრამ თუ თქვენი გაანგარიშების ტექნიკა არ არის ძალიან კარგი, მაშინ ყველაზე მომგებიანი ვარიანტია დატოვოთ იგი პასუხად ან თუნდაც

ანუ მაგალითი ჩაითვლება ამოხსნილად, როდესაც იღებენ ბოლო ინტეგრალს. ეს არ იქნება შეცდომა, სხვა საკითხია, რომ მასწავლებელმა შეიძლება მოგთხოვოთ პასუხის გამარტივება.

მაგალითი 6

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ეს ინტეგრალი ორჯერ არის ინტეგრირებული ნაწილებით. Განსაკუთრებული ყურადღებაყურადღება უნდა მიაქციოთ ნიშნებს - მათში დაბნეულობა ადვილია, ჩვენ ასევე გვახსოვს, რომ ეს რთული ფუნქციაა.

მეტი არაფერია სათქმელი გამოფენაზე. შემიძლია მხოლოდ დავამატო, რომ გამოფენის და ბუნებრივი ლოგარითმი ორმხრივი ფუნქციები, ეს მე ვარ გასართობი გრაფიკების თემაზე უმაღლესი მათემატიკა=) გაჩერდი, გაჩერდი, არ ინერვიულო, ლექტორი ფხიზელია.

მრავალწევრზე გამრავლებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები

Ზოგადი წესი: for ყოველთვის აღნიშნავს მრავალწევრს

მაგალითი 7

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

მოდით გავაერთიანოთ ნაწილების მიხედვით:

ჰმ...და კომენტარის გაკეთება არაფერია.

მაგალითი 8

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის საკუთარი თავის გადასაჭრელად

მაგალითი 9

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

კიდევ ერთი მაგალითი წილადით. როგორც ორ წინა მაგალითში, for აღნიშნავს მრავალწევრს.

მოდით გავაერთიანოთ ნაწილების მიხედვით:

თუ თქვენ გაქვთ რაიმე სირთულე ან გაუგებრობა ინტეგრალის პოვნაში, გირჩევთ დაესწროთ გაკვეთილს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები.

მაგალითი 10

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი.

მინიშნება: ნაწილებით ინტეგრაციის მეთოდის გამოყენებამდე უნდა გამოიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფორმულა, რომელიც აქცევს ორი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნამრავლს ერთ ფუნქციად. ფორმულა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდის გამოყენებისას, რაც უფრო მოსახერხებელია თქვენთვის.

ეს არის ალბათ ყველაფერი ამ პუნქტში. რატომღაც გამახსენდა სტრიქონი ფიზიკა-მათემატიკის ჰიმნიდან "და სინუს გრაფიკი ტალღა ტალღას ეშვება აბსცისის ღერძის გასწვრივ"...

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები.
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები გამრავლებული მრავალწევრებით

Ზოგადი წესი: ყოველთვის აღნიშნავს შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას.

შეგახსენებთ, რომ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მოიცავს რკალს, არქოზინს, არქტანგენტს და არკოტანგენტს. ჩანაწერის სიმოკლეობისთვის მე მათ დავარქმევ "თაღები"

დეტალურად განიხილება ინტეგრალების ამონახსნების მაგალითები ნაწილების მიხედვით, რომელთა ინტეგრანტი შეიცავს ლოგარითმს, რკალს, არქტანგენტს, აგრეთვე ლოგარითმს მთელ რიცხვზე და მრავალწევრის ლოგარითმს.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა

ქვემოთ, მაგალითების გადაჭრისას, გამოიყენება ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა:
;
.

ლოგარითმებისა და შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი ინტეგრალების მაგალითები

აქ მოცემულია ინტეგრალების მაგალითები, რომლებიც ინტეგრირებულია ნაწილებით:
, , , , , , .

ინტეგრირებისას ინტეგრანტის ის ნაწილი, რომელიც შეიცავს ლოგარითმს ან შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, აღინიშნება u-ით, დანარჩენი - dv-ით.

ქვემოთ მოცემულია მაგალითები ამ ინტეგრალების დეტალური გადაწყვეტილებებით.

მარტივი მაგალითი ლოგარითმით

გამოვთვალოთ მრავალწევრისა და ლოგარითმის ნამრავლის შემცველი ინტეგრალი:

გამოსავალი

აქ ინტეგრანტი შეიცავს ლოგარითმს. ჩანაცვლების გაკეთება
u = n x, dv = x 2 dx . მერე
,
.

მოდით ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით.
.

.
მერე
.
გამოთვლების ბოლოს დაამატეთ მუდმივი C.

უპასუხე

ლოგარითმის მაგალითი 2-ის ხარისხზე

განვიხილოთ მაგალითი, რომელშიც ინტეგრადი მოიცავს ლოგარითმს მთელ რიცხვამდე. ასეთი ინტეგრალები ასევე შეიძლება ინტეგრირებული იყოს ნაწილებით.

გამოსავალი

ჩანაცვლების გაკეთება
u = (n x) 2, dv = x dx . მერე
,
.

ჩვენ ასევე ვიანგარიშებთ დანარჩენ ინტეგრალს ნაწილების მიხედვით:
.
შევცვალოთ
.

უპასუხე

მაგალითი, რომელშიც ლოგარითმის არგუმენტი არის პოლინომი

ინტეგრალები შეიძლება გამოითვალოს ნაწილებით, რომელთა ინტეგრანდში შედის ლოგარითმი, რომლის არგუმენტი არის მრავალწევრი, რაციონალური ან ირაციონალური ფუნქცია. მაგალითად, გამოვთვალოთ ინტეგრალი ლოგარითმით, რომლის არგუმენტი არის მრავალწევრი.
.

გამოსავალი

ჩანაცვლების გაკეთება
u = ln( x 2 - 1), dv = x dx .
მერე
,
.

ჩვენ ვიანგარიშებთ დარჩენილ ინტეგრალს:
.
ჩვენ აქ არ ვწერთ მოდულის ნიშანს ln | x 2 - 1|, ვინაიდან ინტეგრანტი განისაზღვრება x-ზე 2 - 1 > 0 . შევცვალოთ
.

უპასუხე

არქსინის მაგალითი

განვიხილოთ ინტეგრალის მაგალითი, რომლის ინტეგრანტი მოიცავს რკალს.
.

გამოსავალი

ჩანაცვლების გაკეთება
u = arcsin x,
.
მერე
,
.

შემდეგი, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ინტეგრანტი განისაზღვრება |x|-ისთვის< 1 . მოდით გავაფართოვოთ მოდულის ნიშანი ლოგარითმის ქვეშ, იმის გათვალისწინებით, რომ 1 - x > 0და 1 + x > 0.

უპასუხე

რკალის ტანგენტის მაგალითი

ავხსნათ მაგალითი არქტანგენტით:
.

გამოსავალი

მოდით ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით.
.
ავარჩიოთ წილადის მთელი ნაწილი:
x 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + x 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
მოდით ინტეგრირება:
.
საბოლოოდ გვაქვს:
.

უპასუხე

არქსინის კიდევ ერთი მაგალითი

ამოხსენით ინტეგრალი:
.

გამოსავალი

მოდით ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით.
.

ჩვენ ვიანგარიშებთ დარჩენილ ინტეგრალს. x-ზე > 0 ჩვენ გვაქვს:
.
.
.

x-ზე < 0 გავაკეთოთ ჩანაცვლება x = - t, t > 0 :
.

საბოლოოდ გვაქვს.

ინტეგრაცია ნაწილებით. გადაწყვეტილებების მაგალითები

გამოსავალი.

Მაგალითად.

გამოთვალეთ ინტეგრალი:

ინტეგრალის თვისებების გამოყენება (წრფივობა), ᴛ.ᴇ. , ვამცირებთ ტაბულურ ინტეგრალამდე, მივიღებთ ამას

Გამარჯობა კიდევ. დღეს გაკვეთილზე ვისწავლით თუ როგორ უნდა მოხდეს ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით. ნაწილებით ინტეგრაციის მეთოდი ინტეგრალური გამოთვლის ერთ-ერთი საფუძველია. ტესტების ან გამოცდების დროს სტუდენტებს თითქმის ყოველთვის სთხოვენ ამოხსნან ინტეგრალების შემდეგი ტიპები: უმარტივესი ინტეგრალი. (იხილეთ სტატიაგანუსაზღვრელი ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები ) ან ინტეგრალი ცვლადის ჩანაცვლებით (იხილეთ სტატიაცვლადი ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში ) ან ინტეგრალი უბრალოდ ჩართულია ინტეგრაცია ნაწილების მეთოდით.

როგორც ყოველთვის, ხელთ უნდა გქონდეთ: ინტეგრალების ცხრილიდა წარმოებულების ცხრილი. თუ ჯერ კიდევ არ გაქვთ ისინი, გთხოვთ ეწვიოთ ჩემი ვებსაიტის სათავსოს: მათემატიკური ფორმულები და ცხრილები. არ დავიღალე გამეორებით - ჯობია ყველაფერი ამობეჭდოთ. შევეცდები წარმოვადგინო ყველა მასალა თანმიმდევრულად, მარტივად და გარკვევით, არ არის განსაკუთრებული სირთულეები ნაწილების ინტეგრირებაში.

1) , – ლოგარითმი, ლოგარითმი გამრავლებული რამდენიმე მრავალწევრზე.

2) , არის ექსპონენციალური ფუნქცია, გამრავლებული რამდენიმე მრავალწევრზე. ეს ასევე მოიცავს ინტეგრალებს, როგორიცაა - ექსპონენციალური ფუნქცია გამრავლებული მრავალწევრზე, მაგრამ პრაქტიკაში ეს არის 97 პროცენტი, ინტეგრალის ქვეშ არის ლამაზი ასო ʼʼеʼʼ. ... სტატია გარკვეულწილად ლირიკული გამოდის, ჰო... გაზაფხული მოვიდა.

3) , – ტრიგონომეტრიული ფუნქციები გამრავლებული რამდენიმე მრავალწევრზე.

4) - შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ("თაღები"), "თაღები", გამრავლებული რამდენიმე მრავალწევრზე.

მაგალითი 1

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ჩვენ ვწყვეტთ ამოხსნას შუალედური ახსნა-განმარტებისთვის.

ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრაციის ფორმულას ნაწილების მიხედვით:

ლოგარითმების ინტეგრალები - ცნება და ტიპები. კატეგორიის კლასიფიკაცია და მახასიათებლები "ლოგარითმების ინტეგრალები" 2017, 2018 წ.