ამოიღეთ შესაბამისი ხარისხის ფესვი მოცემული რიცხვიდან

რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით.

მოივრის ფორმულა

მოდით z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) და z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

რთული რიცხვის ჩაწერის ტრიგონომეტრიული ფორმა მოსახერხებელია გამრავლების, გაყოფის, მთელ ხარისხზე აწევის და n ხარისხის ფესვის ამოღების ოპერაციების შესასრულებლად.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

ორი რთული რიცხვის გამრავლებისასტრიგონომეტრიული ფორმით მათი მოდულები მრავლდება და არგუმენტები ემატება. გაყოფისასმათი მოდულები იყოფა და არგუმენტები გამოკლებულია.

რთული რიცხვის გამრავლების წესის დასკვნა არის რთული რიცხვის ხარისხამდე აყვანის წესი.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

ეს თანაფარდობა ე.წ მოივრის ფორმულა.

მაგალითი 8.1 იპოვეთ რიცხვების ნამრავლი და კოეფიციენტი:

და

გამოსავალი

z 1 ∙z 2
∙

=

;

მაგალითი 8.2 დაწერეთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით

∙
–ი) 7 .

გამოსავალი

აღვნიშნოთ
და z 2 =
- მე.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = არქტანი ;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = არქტანი
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 · 2 7
=

2 9

§ 9 რთული რიცხვის ფესვის ამოღება

განმარტება. ფესვინრთული რიცხვის ხარისხში z (აღნიშნეთ
) არის w რთული რიცხვი, რომ w n = z. თუ z = 0, მაშინ
= 0.

მოდით z  0, z = r(cos + isin). ავღნიშნოთ w = (cos + sin), შემდეგ დავწეროთ განტოლება w n = z შემდეგი ფორმით.

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

აქედან გამომდინარე,  n = r,

 =

ამრიგად wk =
·
.

ამ მნიშვნელობებს შორის არის ზუსტად n განსხვავებული.

ამიტომ k = 0, 1, 2, ..., n – 1.

კომპლექსურ სიბრტყეზე ეს წერტილები არის რეგულარული n-გონის წვეროები, რომლებიც ჩაწერილია რადიუსის წრეში.
ცენტრით O წერტილში (სურათი 12).

სურათი 12

მაგალითი 9.1იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა
.

გამოსავალი.

წარმოვიდგინოთ ეს რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით. მოდი ვიპოვოთ მისი მოდული და არგუმენტი.

w k =
, სადაც k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

კომპლექსურ სიბრტყეზე ეს წერტილები არის რადიუსის წრეში ჩაწერილი კვადრატის წვეროები
ცენტრით სათავეში (სურათი 13).

სურათი 13 სურათი 14

მაგალითი 9.2იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა
.

გამოსავალი.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, სადაც k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

კომპლექსურ სიბრტყეზე ეს წერტილები არის რეგულარული ექვსკუთხედის წვეროები, რომლებიც ჩაწერილია 2 რადიუსის წრეში, ცენტრით O (0; 0) წერტილში - სურათი 14.

§ 10 რთული რიცხვის ექსპონენციალური ფორმა.

ეილერის ფორმულა

აღვნიშნოთ
= cos  + isin  და
= cos  - isin  . ამ ურთიერთობებს ე.წ ეილერის ფორმულები .

ფუნქცია
აქვს ექსპონენციალური ფუნქციის ჩვეულებრივი თვისებები:

დაე, რთული რიცხვი z დაიწეროს ტრიგონომეტრიული ფორმით z = r(cos + isin).

ეილერის ფორმულის გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ:

z = r
.

ამ ჩანაწერს ე.წ ექსპონენციალური ფორმართული რიცხვი. მისი გამოყენებით ჩვენ ვიღებთ გამრავლების, გაყოფის, გაძლიერების და ფესვების ამოღების წესებს.

თუ z 1 = r 1 ·
და z 2 = r 2 ·
?ეს

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

·

z n = r n ·

, სადაც k = 0, 1, … , n – 1.

მაგალითი 10.1დაწერეთ რიცხვი ალგებრული ფორმით

z =
.

გამოსავალი.

მაგალითი 10.2ამოხსენით განტოლება z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.

გამოსავალი.

ნებისმიერი რთული კოეფიციენტებისთვის, ამ განტოლებას აქვს ორი ფესვი z 1 და z 1 (შესაძლოა ემთხვევა). ეს ფესვები შეგიძლიათ იპოვოთ იგივე ფორმულის გამოყენებით, როგორც რეალურ შემთხვევაში. იმიტომ რომ
იღებს ორ მნიშვნელობას, რომლებიც განსხვავდება მხოლოდ ნიშნით, მაშინ ეს ფორმულა ასე გამოიყურება:

ვინაიდან –9 = 9 e  i, მაშინ მნიშვნელობები
იქნება ნომრები:

მერე
და
.

გამოსავალი.

განტოლების საჭირო ფესვები იქნება მნიშვნელობები
.

z = –1-ისთვის გვაქვს r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Სავარჯიშოები

9 წარმოადგინეთ რიცხვები ექსპონენციალური ფორმით:

10 დაწერეთ რიცხვები ექსპონენციალური და ალგებრული ფორმებით:

11 დაწერეთ რიცხვები ალგებრული და გეომეტრიული ფორმებით:

მოცემულია 12 ნომრები

წარმოადგინეთ ისინი ექსპონენციალური ფორმით, იპოვნეთ
.

13 რთული რიცხვის ექსპონენციალური ფორმის გამოყენებით, შეასრულეთ შემდეგი ნაბიჯები:

ა)
ბ)

V)
გ)

თანდა ნატურალური რიცხვი ნ 2 .

კომპლექსური ნომერი ზდაურეკა ფესვინ– გ, თუ ზ ნ = გ.

მოდით ვიპოვოთ ფესვის ყველა მნიშვნელობა ნ– ოჰ რთული რიცხვის ძალა თან. დაე გ=| გ|·(cos არგ გ+ მე· ცოდვა არგთან),ა ზ = | ზ|·(თანos არგ ზ + მე· ცოდვა არგ ზ) , სად ზფესვი ნ- ოჰ რთული რიცხვის ძალა თან. მაშინ უნდა იყოს = გ = | გ|·(cos არგ გ+ მე· ცოდვა არგთან). Აქედან გამომდინარეობს, რომ
და ნ· არგ ზ = არგთან
არგ ზ =
(კ=0,1,…) . აქედან გამომდინარე, ზ =
(cos
+ მე· ცოდვა
), (კ=0,1,…) . ადვილი მისახვედრია, რომ რომელიმე ღირებულება
, (კ=0,1,…) განსხვავდება ერთ-ერთი შესაბამისი მნიშვნელობისაგან
,(კ = 0,1,…, ნ-1) მრავალჯერადი 2π. Ამიტომაც , (კ = 0,1,…, ნ-1) .

მაგალითი.

გამოვთვალოთ ფესვი (-1).

, ცხადია |-1| = 1, არგ (-1) = π

-1 = 1·(cos π + მე· ცოდვა π )

, (k = 0, 1).

= მე

ძალაუფლება თვითნებური რაციონალური მაჩვენებლით

ავიღოთ თვითნებური რთული რიცხვი თან. თუ ნბუნებრივი რიცხვი, მაშინ თან ნ = | გ| ნ · (თანos nArgs +მე· ცოდვა nArgთან)(6). ეს ფორმულა ასევე მართალია ამ შემთხვევაში ნ = 0 (s≠0)
. დაე ნ < 0 და ნ ზდა s ≠ 0, მაშინ

თან ნ =
(არგთან+i·sin nArgთან) = (არგთან+ ის·სინ ნარგთან) . ამრიგად, ფორმულა (6) მოქმედებს ნებისმიერისთვის ნ.

ავიღოთ რაციონალური რიცხვი , სად ქნატურალური რიცხვი და რარის მთლიანი.

შემდეგ ქვეშ ხარისხი გ რჩვენ გავიგებთ რიცხვს
.

ჩვენ ამას მივიღებთ ,

(კ = 0, 1, …, ქ-1). ეს ღირებულებები ქცალი, თუ ფრაქცია არ არის შემცირებადი.

ლექცია No3 რთული რიცხვების მიმდევრობის ზღვარი

ბუნებრივი არგუმენტის რთული მნიშვნელობის ფუნქცია ეწოდება რთული რიცხვების თანმიმდევრობადა დანიშნულია (თან ერთად ნ ) ან თან 1 , თან 2 , ..., თან ნ . თან ნ = ა ნ + ბ ნ · მე (ნ = 1,2, ...) რთული რიცხვები.

თან 1 , თან 2 , … - მიმდევრობის წევრები; თან ნ - საერთო წევრი

კომპლექსური ნომერი თან = ა+ ბ· მედაურეკა რთული რიცხვების მიმდევრობის ზღვარი (გ ნ ) , სად თან ნ = ა ნ + ბ ნ · მე (ნ = 1, 2, …) , სადაც ნებისმიერი

რომ ყველას თვალწინ ნ > ნუთანასწორობა მოქმედებს
. მიმდევრობას, რომელსაც აქვს სასრული ზღვარი, ეწოდება კონვერგენტულითანმიმდევრობა.

თეორემა.

კომპლექსური რიცხვების მიმდევრობის მიზნით (ერთად ნ ) (თან ნ = ა ნ + ბ ნ · მე) თანხვედრა რიცხვთან = ა+ ბ· მე, აუცილებელი და საკმარისია თანასწორობის შესანარჩუნებლადლიმი ა ნ = ა, ლიმი ბ ნ = ბ.

მტკიცებულება.

ჩვენ დავამტკიცებთ თეორემას შემდეგ აშკარა ორმაგ უტოლობაზე დაყრდნობით

, სად ზ = x + წ· მე (2)

აუცილებლობა.დაე ლიმი(თან ერთად ნ ) = ს. მოდით ვაჩვენოთ, რომ თანასწორობა მართალია ლიმი ა ნ = ადა ლიმი ბ ნ = ბ (3).

ცხადია (4)

იმიტომ რომ
, Როდესაც ნ → ∞ , მაშინ უტოლობის მარცხენა მხრიდან (4) გამოდის, რომ
და
, Როდესაც ნ → ∞ . ამიტომ თანასწორობები (3) დაკმაყოფილებულია. საჭიროება დადასტურდა.

ადეკვატურობა.მოდით, დაკმაყოფილდეს ტოლობები (3). თანასწორობიდან (3) გამომდინარეობს, რომ
და
, Როდესაც ნ → ∞ მაშასადამე, უტოლობის მარჯვენა მხარის გამო (4) იქნება
, Როდესაც ნ→∞ , ნიშნავს ლიმი(თან ერთად ნ )=გ. საკმარისობა დადასტურებულია.

ასე რომ, რთული რიცხვების მიმდევრობის დაახლოების საკითხი უდრის ორი რეალური რიცხვების მიმდევრობის დაახლოებას, ამიტომ რეალური რიცხვების მიმდევრობის ზღვრების ყველა ძირითადი თვისება ვრცელდება რთული რიცხვების მიმდევრობებზე.

მაგალითად, რთული რიცხვების თანმიმდევრობისთვის მოქმედია კოშის კრიტერიუმი: კომპლექსური რიცხვების მიმდევრობის მიზნით (ერთად ნ ) იყრის თავს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ნებისმიერი

, რომ ნებისმიერინ, მ > ნუთანასწორობა მოქმედებს
.

თეორემა.

მოდით კომპლექსური რიცხვების თანმიმდევრობა (ერთად ნ ) და (ზ ნ ) გადავიდეს c-ზე და შესაბამისადზ, მაშინ თანასწორობები მართალიალიმი(თან ერთად ნ ზ ნ ) = გ ზ, ლიმი(თან ერთად ნ · ზ ნ ) = გ· ზ. თუ დანამდვილებით ცნობილია, რომზარ არის 0-ის ტოლი, მაშინ ტოლობა მართალია
.