როგორ იცვლება მათემატიკური ქანქარის ტანგენციალური აჩქარება? მათემატიკური ქანქარის მოძრაობის განტოლება

მექანიკურ სისტემას, რომელიც შედგება მატერიალური წერტილისგან (სხეულისგან), რომელიც ჩამოკიდებულია გაუწელვებელ უწონო ძაფზე (მისი მასა უმნიშვნელოა სხეულის წონასთან შედარებით), ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში ეწოდება მათემატიკური გულსაკიდი (სხვა სახელი არის ოსცილატორი). ამ მოწყობილობის სხვა ტიპები არსებობს. ძაფის ნაცვლად შეიძლება გამოვიყენოთ უწონო ჯოხი. მათემატიკურ ქანქარას შეუძლია ნათლად გამოავლინოს ბევრის არსი საინტერესო ფენომენები. როდესაც ვიბრაციის ამპლიტუდა მცირეა, მის მოძრაობას ჰარმონიული ეწოდება.

მექანიკური სისტემის მიმოხილვა

ამ ქანქარის რხევის პერიოდის ფორმულა გამოიღო ჰოლანდიელმა მეცნიერმა ჰიუგენსმა (1629-1695). ი. ნიუტონის ეს თანამედროვე ძალიან დაინტერესებული იყო ამ მექანიკური სისტემით. 1656 წელს მან შექმნა პირველი საათი ქანქარიანი მექანიზმით. მათ დრო განსაკუთრებული სიზუსტით გაზომეს იმ დროისთვის. ეს გამოგონება გახდა ძირითადი ეტაპი ფიზიკური ექსპერიმენტებისა და პრაქტიკული აქტივობების განვითარებაში.

თუ ქანქარა წონასწორობის მდგომარეობაშია (დაკიდებული ვერტიკალურად), ის დაბალანსდება ძაფის დაჭიმვის ძალით. ბრტყელი ქანქარა გაუწელვებელ ძაფზე არის სისტემა, რომელსაც აქვს თავისუფლების ორი ხარისხი დაწყვილებით. როდესაც თქვენ შეცვლით მხოლოდ ერთ კომპონენტს, იცვლება მისი ყველა ნაწილის მახასიათებლები. ასე რომ, თუ ძაფი ჩანაცვლდება ღეროთი, მაშინ ამ მექანიკურ სისტემას ექნება თავისუფლების მხოლოდ 1 ხარისხი. რა თვისებები აქვს მათემატიკური ქანქარას? Ამაში უმარტივესი სისტემაქაოსი წარმოიქმნება პერიოდული დარღვევების გავლენის ქვეშ. იმ შემთხვევაში, როდესაც დაკიდების წერტილი არ მოძრაობს, მაგრამ რხევა, ქანქარას აქვს ახალი წონასწორული პოზიცია. სწრაფი რხევებით მაღლა და ქვევით, ეს მექანიკური სისტემა იძენს სტაბილურ „თავდაყირა“ პოზიციას. მას ასევე აქვს საკუთარი სახელი. მას კაპიცას ქანქარას უწოდებენ.

ქანქარის თვისებები

მათემატიკური ქანქარას აქვს ძალიან საინტერესო თვისებები. ყველა მათგანი დადასტურებულია ცნობილი ფიზიკური კანონებით. ნებისმიერი სხვა ქანქარის რხევის პერიოდი დამოკიდებულია სხვადასხვა გარემოებებზე, როგორიცაა სხეულის ზომა და ფორმა, დაკიდების წერტილსა და სიმძიმის ცენტრს შორის დაშორება და მასის განაწილება ამ წერტილთან შედარებით. ამიტომ სხეულის ჩამოკიდების პერიოდის განსაზღვრა საკმაოდ რთული ამოცანაა. გაცილებით ადვილია მათემატიკური ქანქარის პერიოდის გამოთვლა, რომლის ფორმულა ქვემოთ იქნება მოცემული. მსგავსი მექანიკური სისტემების დაკვირვების შედეგად შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგი შაბლონები:

თუ ქანქარის ერთი და იგივე სიგრძის შენარჩუნებისას ჩვენ შევაჩერებთ სხვადასხვა წონას, მაშინ მათი რხევების პერიოდი იგივე იქნება, თუმცა მათი მასები მნიშვნელოვნად განსხვავდება. შესაბამისად, ასეთი ქანქარის პერიოდი არ არის დამოკიდებული დატვირთვის მასაზე.

თუ სისტემის გაშვებისას ქანქარა გადახრილია არც თუ ისე დიდი, არამედ სხვადასხვა კუთხით, მაშინ ის დაიწყებს რხევას იმავე პერიოდით, მაგრამ განსხვავებული ამპლიტუდებით. სანამ გადახრები წონასწორობის ცენტრიდან არ არის ძალიან დიდი, მათი სახით ვიბრაციები საკმაოდ ახლოს იქნება ჰარმონიულთან. ასეთი ქანქარის პერიოდი არანაირად არ არის დამოკიდებული რხევის ამპლიტუდაზე. მოცემული მექანიკური სისტემის ამ თვისებას ეწოდება იზოქრონიზმი (ბერძნულიდან თარგმნილია „ქრონოსი“ - დრო, „ისოს“ - თანაბარი).

მათემატიკური ქანქარის პერიოდი

ეს მაჩვენებელი წარმოადგენს ბუნებრივი რხევების პერიოდს. რთული ფორმულირების მიუხედავად, პროცესი თავისთავად ძალიან მარტივია. თუ მათემატიკური ქანქარის ძაფის სიგრძეა L და აჩქარება თავისუფალი ვარდნა g, მაშინ ეს მნიშვნელობა უდრის:

პატარების პერიოდი არანაირად არ არის დამოკიდებული ქანქარის მასაზე და რხევების ამპლიტუდაზე. ამ შემთხვევაში, ქანქარა მოძრაობს როგორც მათემატიკური, შემცირებული სიგრძით.

მათემატიკური ქანქარის რხევები

მათემატიკური ქანქარა რხევა, რაც შეიძლება აღწერილი იყოს მარტივი დიფერენციალური განტოლებით:

x + ω2 sin x = 0,

სადაც x (t) უცნობი ფუნქციაა (ეს არის გადახრის კუთხე ქვედა წონასწორობის პოზიციიდან t მომენტში, გამოხატული რადიანებით); ω არის დადებითი მუდმივი, რომელიც განისაზღვრება ქანქარის პარამეტრებიდან (ω = √g/L, სადაც g არის გრავიტაციის აჩქარება, ხოლო L არის მათემატიკური ქანქარის სიგრძე (შეჩერება).

წონასწორობის პოზიციის მახლობლად მცირე ვიბრაციების განტოლება (ჰარმონიული განტოლება) ასე გამოიყურება:

x + ω2 sin x = 0

ქანქარის რხევითი მოძრაობები

მათემატიკური გულსაკიდი, რომელიც აკეთებს მცირე რხევებს, მოძრაობს სინუსოიდის გასწვრივ. დიფერენციალური განტოლებამეორე რიგი აკმაყოფილებს ასეთი მოძრაობის ყველა მოთხოვნას და პარამეტრს. ტრაექტორიის დასადგენად აუცილებელია სიჩქარის და კოორდინატის დაყენება, საიდანაც შემდეგ განისაზღვრება დამოუკიდებელი მუდმივები:

x = ცოდვა (θ 0 + ωt),

სადაც θ 0 არის საწყისი ფაზა, A არის რხევის ამპლიტუდა, ω არის ციკლური სიხშირე, რომელიც განისაზღვრება მოძრაობის განტოლებიდან.

მათემატიკური ქანქარა (ფორმულები დიდი ამპლიტუდებისთვის)

ეს მექანიკური სისტემა, რომელიც რხევა მნიშვნელოვანი ამპლიტუდით, ექვემდებარება მოძრაობის უფრო რთულ კანონებს. ასეთი ქანქარისთვის ისინი გამოითვლება ფორმულის მიხედვით:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

სადაც sn არის იაკობის სინუსი, რომელიც u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

სადაც ε = E/mL2 (mL2 არის ქანქარის ენერგია).

არაწრფივი ქანქარის რხევის პერიოდი განისაზღვრება ფორმულით:

სადაც Ω = π/2 * ω/2K(u), K არის ელიფსური ინტეგრალი, π - 3,14.

ქანქარის მოძრაობა სეპარატრიქსის გასწვრივ

სეპარატრიქსი არის ტრაექტორია დინამიური სისტემა, რომელსაც აქვს ორგანზომილებიანი ფაზის სივრცე. მათემატიკური ქანქარა მის გასწვრივ არაპერიოდულად მოძრაობს. დროის უსასრულოდ შორეულ მომენტში ის თავისი უმაღლესი პოზიციიდან გვერდზე ეცემა ნულოვანი სიჩქარით, შემდეგ თანდათან იძენს მას. ის საბოლოოდ ჩერდება და უბრუნდება თავდაპირველ პოზიციას.

თუ ქანქარის რხევების ამპლიტუდა უახლოვდება რიცხვს π ეს მიუთითებს იმაზე, რომ ფაზის სიბრტყეზე მოძრაობა უახლოვდება სეპარატრიქსს. ამ შემთხვევაში, მცირე მამოძრავებელი პერიოდული ძალის გავლენის ქვეშ, მექანიკური სისტემა ავლენს ქაოტურ ქცევას.

როდესაც მათემატიკური გულსაკიდი გადახრის წონასწორობის პოზიციიდან φ კუთხით, წარმოიქმნება სიმძიმის ტანგენციალური ძალა Fτ = -mg sin φ. მინუს ნიშანი ნიშნავს, რომ ეს ტანგენციალური კომპონენტი მიმართულია ქანქარის გადახრის საწინააღმდეგო მიმართულებით. როდესაც x-ით აღვნიშნავთ ქანქარის გადაადგილებას L რადიუსით წრიული რკალის გასწვრივ, მისი კუთხური გადაადგილება უდრის φ = x/L. მეორე კანონი, რომელიც განკუთვნილია პროგნოზებისა და ძალისთვის, მისცემს სასურველ მნიშვნელობას:

მგ τ = Fτ = -mg sin x/L

ამ დამოკიდებულებიდან გამომდინარე, ცხადია, რომ ეს ქანქარა არის არაწრფივი სისტემა, რადგან ძალა, რომელიც მიდრეკილია დააბრუნოს იგი წონასწორობის მდგომარეობაში, ყოველთვის პროპორციულია არა x გადაადგილების, არამედ sin x/L.

მხოლოდ მაშინ, როდესაც მათემატიკური გულსაკიდი ასრულებს მცირე რხევებს, ის ჰარმონიული ოსცილატორია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის ხდება მექანიკური სისტემა, რომელსაც შეუძლია შეასრულოს ჰარმონიული რხევები. ეს მიახლოება პრაქტიკულად მოქმედებს 15-20° კუთხისთვის. დიდი ამპლიტუდის მქონე ქანქარის რხევები არ არის ჰარმონიული.

ნიუტონის კანონი ქანქარის მცირე რხევებისთვის

თუ მოცემული მექანიკური სისტემა ასრულებს მცირე რხევებს, ნიუტონის მე-2 კანონი ასე გამოიყურება:

მგ τ = Fτ = -m* g/L* x.

ამის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მათემატიკური გულსაკიდი პროპორციულია მისი გადაადგილების მინუს ნიშნით. ეს არის მდგომარეობა, რის გამოც სისტემა ხდება ჰარმონიული ოსცილატორი. გადაადგილებასა და აჩქარებას შორის პროპორციულობის კოეფიციენტის მოდული უდრის წრიული სიხშირის კვადრატს:

ω02 = გ/ლ; ω0 = √ გ/ლ.

ეს ფორმულა ასახავს ამ ტიპის ქანქარის მცირე რხევების ბუნებრივ სიხშირეს. ამის საფუძველზე,

T = 2π/ ω0 = 2π√ გ/ლ.

ენერგიის შენარჩუნების კანონის საფუძველზე გამოთვლები

ქანქარის თვისებები ასევე შეიძლება აღწერილი იყოს ენერგიის შენარჩუნების კანონის გამოყენებით. გასათვალისწინებელია, რომ გრავიტაციულ ველში ქანქარა უდრის:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

ჯამი უდრის კინეტიკურ ან მაქსიმალურ პოტენციალს: Epmax = Ekmsx = E

ენერგიის შენარჩუნების კანონის დაწერის შემდეგ აიღეთ განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხარის წარმოებული:

ვინაიდან მუდმივი სიდიდეების წარმოებული უდრის 0-ს, მაშინ (Ep + Ek)" = 0. ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = მგ/2L*2x*x" ​​= მგ/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

აქედან გამომდინარე:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

ბოლო ფორმულის საფუძველზე ვხვდებით: α = - g/L*x.

მათემატიკური ქანქარის პრაქტიკული გამოყენება

აჩქარება მერყეობს გრძედის მიხედვით, სიმკვრივის გამო დედამიწის ქერქიარ არის იგივე მთელ პლანეტაზე. სადაც უფრო მაღალი სიმკვრივის ქანები გვხვდება, ის ოდნავ უფრო მაღალი იქნება. მათემატიკური ქანქარის აჩქარება ხშირად გამოიყენება გეოლოგიური კვლევისთვის. იგი გამოიყენება სხვადასხვა მინერალების მოსაძებნად. უბრალოდ, ქანქარის რხევების რაოდენობის დათვლით, შესაძლებელია დედამიწის ნაწლავებში ნახშირის ან მადნის აღმოჩენა. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ ნამარხებს აქვთ სიმკვრივე და მასა უფრო დიდი ვიდრე ქვევით ფხვიერი ქანები.

მათემატიკური გულსაკიდი გამოიყენეს ისეთი გამოჩენილი მეცნიერების მიერ, როგორებიც არიან სოკრატე, არისტოტელე, პლატონი, პლუტარქე, არქიმედე. ბევრ მათგანს სჯეროდა, რომ ამ მექანიკურ სისტემას შეუძლია გავლენა მოახდინოს ადამიანის ბედსა და ცხოვრებაზე. არქიმედესმა გამოთვლებში გამოიყენა მათემატიკური ქანქარა. დღესდღეობით ბევრი ოკულტისტი და ექსტრასენსი იყენებს ამ მექანიკურ სისტემას თავიანთი წინასწარმეტყველებების შესასრულებლად ან დაკარგული ადამიანების მოსაძებნად.

ცნობილმა ფრანგმა ასტრონომმა და ბუნებისმეტყველმა კ.ფლამარიონმა ასევე გამოიყენა მათემატიკური ქანქარა კვლევისთვის. ის ამტკიცებდა, რომ მისი დახმარებით მან შეძლო ახალი პლანეტის აღმოჩენის, გარეგნობის წინასწარმეტყველება ტუნგუსკის მეტეორიტიდა სხვა მნიშვნელოვანი მოვლენები. მეორე მსოფლიო ომის დროს გერმანიაში (ბერლინი) ფუნქციონირებდა სპეციალიზებული Pendulum Institute. დღესდღეობით მიუნხენის პარაფსიქოლოგიის ინსტიტუტი მსგავს კვლევებს ეწევა. ამ დაწესებულების თანამშრომლები ქანქარით მუშაობას „რადიესთეზიას“ უწოდებენ.

ფიზიკური ქანქარის რხევის პერიოდი მრავალ გარემოებაზეა დამოკიდებული: სხეულის ზომასა და ფორმაზე, სიმძიმის ცენტრსა და შეჩერების წერტილს შორის დაშორებაზე და სხეულის მასის განაწილებაზე ამ წერტილთან მიმართებაში; შესაბამისად, შეჩერებული სხეულის პერიოდის გამოთვლა საკმაოდ რთულია რთული ამოცანა. სიტუაცია უფრო მარტივია მათემატიკური ქანქარისთვის. ასეთ ქანქარებზე დაკვირვების შედეგად შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგი მარტივი კანონები.

1. თუ ქანქარის იგივე სიგრძის შენარჩუნებისას (დაკიდების წერტილიდან ტვირთის სიმძიმის ცენტრამდე მანძილი) დაკიდებთ სხვადასხვა დატვირთვას, მაშინ რხევის პერიოდი იგივე იქნება, თუმცა მასების მასები დატვირთვები ძალიან განსხვავებულია. მათემატიკური ქანქარის პერიოდი არ არის დამოკიდებული დატვირთვის მასაზე.

2. თუ ქანქარის დაწყებისას მას სხვადასხვა (მაგრამ არა ძალიან დიდი) კუთხით გადავუხვიავთ, მაშინ ის იმავე პერიოდით, თუმცა სხვადასხვა ამპლიტუდით ირხევა. სანამ ამპლიტუდები არ არის ძალიან დიდი, რხევები თავისი ფორმით საკმაოდ ახლოსაა ჰარმონიულთან (§ 5) და მათემატიკური ქანქარის პერიოდი არ არის დამოკიდებული რხევების ამპლიტუდაზე. ამ თვისებას იზოქრონიზმს უწოდებენ (ბერძნული სიტყვებიდან "ისოს" - თანაბარი, "ქრონოსი" - დრო).

ეს ფაქტი პირველად 1655 წელს დაადგინა გალილეომ, სავარაუდოდ, შემდეგ გარემოებებში. გალილეომ პიზის საკათედრო ტაძარში დააკვირდა ჭაღის რხევას გრძელ ჯაჭვზე, რომელიც აანთეს. სამსახურის დროს საქანელები თანდათან ქრებოდა (§ 11), ანუ ვიბრაციების ამპლიტუდა შემცირდა, მაგრამ პერიოდი იგივე დარჩა. გალილეომ საკუთარი პულსი დროის ინდიკატორად გამოიყენა.

ახლა გამოვიყვანოთ ფორმულა მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდისთვის.

ბრინჯი. 16. ქანქარის რხევები სიბრტყეში (a) და მოძრაობა კონუსის გასწვრივ (b)

როდესაც ქანქარა მოძრაობს, დატვირთვა აჩქარებულია რკალის გასწვრივ (ნახ. 16, ა) აღმდგენი ძალის გავლენით, რომელიც იცვლება მოძრაობის დროს. სხეულის მოძრაობის გამოთვლა ცვლადი ძალის მოქმედებით საკმაოდ რთულია. ამიტომ, სიმარტივისთვის, ჩვენ ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად.

მოდით, ქანქარა ერთ სიბრტყეში არ ირხევა, არამედ აღვწეროთ კონუსი ისე, რომ დატვირთვა მოძრაობდეს წრეში (სურ. 16, ბ). ეს მოძრაობა შეიძლება მივიღოთ ორი დამოუკიდებელი ვიბრაციის დამატების შედეგად: ერთი - ჯერ კიდევ ნახატის სიბრტყეში და მეორე - პერპენდიკულარულ სიბრტყეში. ცხადია, ორივე სიბრტყის რხევის პერიოდები ერთნაირია, რადგან რხევის ნებისმიერი სიბრტყე არ განსხვავდება სხვაგან. შესაბამისად, რთული მოძრაობის პერიოდი - ქანქარის ბრუნვა კონუსის გასწვრივ - იგივე იქნება, რაც წყლის სიბრტყის რხევის პერიოდი. ეს დასკვნა შეიძლება ადვილად ილუსტრირებული იყოს პირდაპირი გამოცდილებით, ორი იდენტური ქანქარის აღებით და ერთს სიბრტყეში რხევით, ხოლო მეორეს კონუსის გასწვრივ ბრუნვის მიცემით.

მაგრამ "კონუსური" ქანქარის რევოლუციის პერიოდი უდრის დატვირთვით აღწერილი წრის სიგრძეს, გაყოფილი სიჩქარეზე:

თუ ვერტიკალურიდან გადახრის კუთხე მცირეა (მცირე ამპლიტუდები), მაშინ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ აღდგენის ძალა მიმართულია წრის რადიუსის გასწვრივ, ანუ ცენტრიდანული ძალის ტოლია:

მეორეს მხრივ, სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს, რომ . მას შემდეგ აქედან

ორივე გამონათქვამის ერთმანეთის გათანაბრება, ჩვენ ვიღებთ მიმოქცევის სიჩქარეს

საბოლოოდ, ჩანაცვლებით ამ პერიოდის გამოხატულებაში, ჩვენ ვპოულობთ

ასე რომ, მათემატიკური ქანქარის პერიოდი დამოკიდებულია მხოლოდ სიმძიმის აჩქარებაზე და ქანქარის სიგრძეზე, ანუ დაკიდების წერტილიდან დატვირთვის სიმძიმის ცენტრამდე მანძილს. მიღებული ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ქანქარის პერიოდი არ არის დამოკიდებული მის მასაზე და ამპლიტუდაზე (იმ პირობით, რომ ის საკმარისად მცირეა). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ გამოთვლებით მივიღეთ ის ძირითადი კანონები, რომლებიც ადრე იყო დადგენილი დაკვირვებებიდან.

მაგრამ ჩვენი თეორიული დასკვნა უფრო მეტს გვაძლევს: ის საშუალებას გვაძლევს დავამყაროთ რაოდენობრივი კავშირი ქანქარის პერიოდს, მის სიგრძესა და გრავიტაციის აჩქარებას შორის. მათემატიკური ქანქარის პერიოდი პროპორციულია ქანქარის სიგრძისა და სიმძიმის აჩქარების თანაფარდობის კვადრატული ფესვისა. პროპორციულობის კოეფიციენტი არის.

ამ აჩქარების განსაზღვრის ძალიან ზუსტი მეთოდი ეფუძნება ქანქარის პერიოდის დამოკიდებულებას სიმძიმის აჩქარებაზე. ქანქარის სიგრძის გაზომვით და განსაზღვრით დიდი რიცხვირხევის პერიოდი, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მიღებული ფორმულის გამოყენებით. ეს მეთოდი ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკაში.

ცნობილია (იხ. ტომი I, §53), რომ თავისუფალი ვარდნის აჩქარება დამოკიდებულია გეოგრაფიული გრძედიადგილები (პოლუსზე და ეკვატორზე). გარკვეული სტანდარტული ქანქარის რხევის პერიოდზე დაკვირვება შესაძლებელს ხდის გრავიტაციული აჩქარების განაწილების შესწავლას განედზე. ეს მეთოდი იმდენად ზუსტია, რომ მისი გამოყენება შესაძლებელია მნიშვნელობის უფრო დახვეწილი განსხვავებების დასადგენად დედამიწის ზედაპირი. გამოდის, რომ იმავე პარალელზეც კი, დედამიწის ზედაპირის სხვადასხვა წერტილში მნიშვნელობები განსხვავებულია. გრავიტაციული აჩქარების განაწილების ეს ანომალიები დაკავშირებულია დედამიწის ქერქის არათანაბარ სიმკვრივესთან. ისინი გამოიყენება სიმკვრივის განაწილების შესასწავლად, კერძოდ, დედამიწის ქერქში ნებისმიერი მინერალის არსებობის დასადგენად. ვრცელი გრავიმეტრული ცვლილებები, რამაც შესაძლებელი გახადა მკვრივი მასების წარმოშობის მსჯელობა, განხორციელდა სსრკ-ში ეგრეთ წოდებული კურსკის მაგნიტური ანომალიის რეგიონში (იხ. ტომი II, § 130) საბჭოთა ფიზიკოსის პიოტრ პეტროვიჩის ხელმძღვანელობით. ლაზარევი. დედამიწის ანომალიის შესახებ მონაცემებთან ერთად მაგნიტური ველიამ გრავიმეტრულმა მონაცემებმა შესაძლებელი გახადა რკინის მასების წარმოქმნის განაწილების დადგენა, რომელიც განსაზღვრავს კურსკის მაგნიტურ და გრავიტაციულ ანომალიებს.

მათემატიკის გულსაკიდიარის დედამიწის გრავიტაციულ ველში მდებარე უწონო და გაუწელვებელ ძაფზე დაკიდებული მატერიალური წერტილი. მათემატიკური ქანქარა არის იდეალიზებული მოდელი, რომელიც სწორად აღწერს რეალურ ქანქარს მხოლოდ გარკვეულ პირობებში. ნამდვილი გულსაკიდი შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკურად, თუ ძაფის სიგრძე ბევრად აღემატება მასზე დაკიდებული სხეულის ზომას, ძაფის მასა უმნიშვნელოა სხეულის მასასთან შედარებით, ხოლო ძაფის დეფორმაციები იმდენად მცირეა. რომ მათი საერთოდ უგულებელყოფა შეიძლება.

ოსცილატორული სისტემაში ამ შემთხვევაშიქმნიან ძაფს, მასზე მიმაგრებულ სხეულს და დედამიწას, რომლის გარეშეც ეს სისტემა ვერ იქნებოდა ქანქარად.

სად ა X – აჩქარება, გ - გრავიტაციის აჩქარება, X- გადაადგილება, ლ– ქანქარის ძაფის სიგრძე.

ეს განტოლება ე.წ მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების განტოლება.ის სწორად აღწერს განსახილველ ვიბრაციას მხოლოდ მაშინ, როდესაც დაკმაყოფილებულია შემდეგი დაშვებები:

2) განიხილება ქანქარის მხოლოდ მცირე რხევები მცირე რხევის კუთხით.

ნებისმიერი სისტემის თავისუფალი ვიბრაცია აღწერილია ყველა შემთხვევაში მსგავსი განტოლებით.

მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების მიზეზებია:

1. დაძაბულობისა და მიზიდულობის მოქმედება ქანქარზე, რაც ხელს უშლის მას წონასწორული პოზიციიდან გადაადგილებას და აიძულებს მას ხელახლა დაცემას.

2. ქანქარის ინერცია, რის გამოც იგი სიჩქარის შენარჩუნებით არ ჩერდება წონასწორულ მდგომარეობაში, არამედ გადის მასში შემდგომში.

მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების პერიოდი

მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევის პერიოდი არ არის დამოკიდებული მის მასაზე, მაგრამ განისაზღვრება მხოლოდ ძაფის სიგრძით და გრავიტაციის აჩქარებით იმ ადგილას, სადაც მდებარეობს ქანქარა.

ენერგიის გარდაქმნა ჰარმონიული რხევების დროს

ზამბარის ქანქარის ჰარმონიული რხევების დროს ელასტიურად დეფორმირებული სხეულის პოტენციური ენერგია გარდაიქმნება მის კინეტიკური ენერგია, სად კ – ელასტიურობის კოეფიციენტი, X -ქანქარის გადაადგილების მოდული წონასწორული პოზიციიდან, მ- ქანქარის მასა, ვ- მისი სიჩქარე. ჰარმონიული ვიბრაციის განტოლების მიხედვით:

, .

ზამბარის ქანქარის ჯამური ენერგია:

.

ჯამური ენერგია მათემატიკური ქანქარისთვის:

მათემატიკური ქანქარის შემთხვევაში

ენერგიის გარდაქმნები ზამბარის ქანქარის რხევების დროს ხდება მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონის შესაბამისად ( ). როდესაც ქანქარა მოძრაობს ქვევით ან ზემოთ მისი წონასწორული პოზიციიდან, მისი პოტენციური ენერგია იზრდება და მისი კინეტიკური ენერგია მცირდება. როდესაც ქანქარა გადის წონასწორობის პოზიციას ( X= 0), მისი პოტენციური ენერგია ნულის ტოლია და ქანქარის კინეტიკურ ენერგიას აქვს უდიდესი მნიშვნელობა, რომელიც უდრის მის მთლიან ენერგიას.

ამრიგად, ქანქარის თავისუფალი რხევების პროცესში მისი პოტენციური ენერგია გადაიქცევა კინეტიკურად, კინეტიკური პოტენციალად, პოტენციალი შემდეგ ისევ კინეტიკურად და ა.შ. მაგრამ მთლიანი მექანიკური ენერგია უცვლელი რჩება.

იძულებითი ვიბრაციები. რეზონანსი.

გარე პერიოდული ძალის გავლენის ქვეშ წარმოქმნილ რხევებს უწოდებენ იძულებითი რხევები. გარე პერიოდული ძალა, რომელსაც მამოძრავებელი ძალა ეწოდება, დამატებით ენერგიას ანიჭებს რხევის სისტემას, რომელიც მიდის ხახუნის შედეგად წარმოქმნილი ენერგიის დანაკარგების შესავსებად. თუ მამოძრავებელი ძალა დროთა განმავლობაში იცვლება სინუსის ან კოსინუსის კანონის მიხედვით, მაშინ იძულებითი რხევები იქნება ჰარმონიული და დაუცველი.

თავისუფალი რხევებისგან განსხვავებით, როდესაც სისტემა ენერგიას იღებს მხოლოდ ერთხელ (როდესაც სისტემა წონასწორობიდან გამოდის), იძულებითი რხევების შემთხვევაში სისტემა მუდმივად შთანთქავს ამ ენერგიას გარე პერიოდული ძალის წყაროდან. ეს ენერგია ანაზღაურებს ხახუნის დაძლევაზე დახარჯულ დანაკარგებს და, შესაბამისად, რხევითი სისტემის მთლიანი ენერგია კვლავ უცვლელი რჩება.

იძულებითი რხევების სიხშირე მამოძრავებელი ძალის სიხშირის ტოლია. იმ შემთხვევაში, როდესაც მამოძრავებელი ძალის სიხშირე υ ემთხვევა რხევითი სისტემის ბუნებრივ სიხშირეს υ 0 , მკვეთრად იზრდება იძულებითი რხევების ამპლიტუდა - რეზონანსი. რეზონანსი ხდება იმის გამო, რომ როდესაც υ = υ 0 გარე ძალა, რომელიც დროულად მოქმედებს თავისუფალი ვიბრაციებით, ყოველთვის შეესაბამება რხევადი სხეულის სიჩქარეს და ასრულებს დადებით მუშაობას: რხევადი სხეულის ენერგია იზრდება და მისი რხევების ამპლიტუდა დიდი ხდება. იძულებითი რხევების ამპლიტუდის გრაფიკი ა თ მამოძრავებელი ძალის სიხშირეზე υ ნახატზე წარმოდგენილი ამ გრაფიკს რეზონანსის მრუდი ეწოდება:

რეზონანსის ფენომენი მნიშვნელოვან როლს ასრულებს მთელ რიგ ბუნებრივ, სამეცნიერო და სამრეწველო პროცესებში. მაგალითად, აუცილებელია გავითვალისწინოთ რეზონანსის ფენომენი ხიდების, შენობების და სხვა სტრუქტურების დაპროექტებისას, რომლებიც განიცდიან ვიბრაციას დატვირთვის ქვეშ, წინააღმდეგ შემთხვევაში, გარკვეულ პირობებში ეს სტრუქტურები შეიძლება განადგურდეს.

(ლათ. დიაპაზონი- სიდიდე) არის რხევადი სხეულის უდიდესი გადახრა მისი წონასწორული პოზიციიდან.

ქანქარისთვის ეს არის მაქსიმალური მანძილი, რომელსაც ბურთი შორდება წონასწორობის პოზიციიდან (სურათი ქვემოთ). მცირე ამპლიტუდის მქონე რხევებისთვის, ასეთი მანძილი შეიძლება მივიღოთ, როგორც რკალის სიგრძე 01 ან 02 და ამ სეგმენტების სიგრძე.

რხევების ამპლიტუდა იზომება სიგრძის ერთეულებში - მეტრი, სანტიმეტრი და ა.შ. რხევის გრაფიკზე ამპლიტუდა განისაზღვრება, როგორც სინუსოიდური მრუდის მაქსიმალური (მოდული) ორდინატი (იხ. სურათი ქვემოთ).

რხევის პერიოდი.

რხევის პერიოდი- ეს არის დროის უმოკლესი პერიოდი, რომლის მეშვეობითაც რხევადი სისტემა ისევ უბრუნდება იმავე მდგომარეობას, რომელშიც იყო დროის საწყის მომენტში, თვითნებურად არჩეული.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რხევის პერიოდი ( თ) არის დრო, რომლის დროსაც ხდება ერთი სრული რხევა. მაგალითად, ქვემოთ მოყვანილ ფიგურაში, ეს არის დრო, რომელიც სჭირდება ქანქარის ბობს უკიდურესობიდან გადაადგილებისთვის სწორი წერტილიწონასწორობის წერტილის გავლით შესახებშორს მარცხენა წერტილამდე და უკან წერტილის გავლით შესახებისევ შორს მარჯვნივ.

ამრიგად, რხევის მთელი პერიოდის განმავლობაში სხეული გადის ოთხი ამპლიტუდის ტოლ გზას. რხევის პერიოდი იზომება დროის ერთეულებში - წამებში, წუთებში და ა.შ. რხევის პერიოდი შეიძლება განისაზღვროს რხევების ცნობილი გრაფიკიდან (იხ. ნახაზი ქვემოთ).

"რხევის პერიოდის" კონცეფცია, მკაცრად რომ ვთქვათ, მოქმედებს მხოლოდ მაშინ, როდესაც რხევადი სიდიდის მნიშვნელობები ზუსტად მეორდება გარკვეული პერიოდის შემდეგ, ანუ ჰარმონიული რხევებისთვის. თუმცა, ეს კონცეფცია ასევე ვრცელდება დაახლოებით განმეორებადი რაოდენობების შემთხვევებზე, მაგალითად, ამისთვის დამსხვრეული რხევები.

რხევის სიხშირე.

რხევის სიხშირე- ეს არის დროის ერთეულზე შესრულებული რხევების რაოდენობა, მაგალითად, 1 წამში.

SI სიხშირის ერთეული დასახელებულია ჰერცი(ჰც) გერმანელი ფიზიკოსის გ.ჰერცის (1857-1894 წწ.) პატივსაცემად. თუ რხევის სიხშირე ( ვ) უდრის 1 ჰც, ეს ნიშნავს, რომ ყოველ წამში არის ერთი რხევა. რხევების სიხშირე და პერიოდი დაკავშირებულია ურთიერთობებით:

რხევების თეორიაში ისინი ასევე იყენებენ კონცეფციას ციკლური, ან წრიული სიხშირე ω . ეს დაკავშირებულია ნორმალურ სიხშირესთან ვდა რხევის პერიოდი თკოეფიციენტები:

.

ციკლური სიხშირეარის შესრულებული რხევების რაოდენობა თითოზე 2πწამი

მათემატიკური გულსაკიდიეძახით მატერიალურ წერტილს, რომელიც შეჩერებულია საკიდზე დამაგრებულ უწონო და გაუწელვებელ ძაფზე და მდებარეობს სიმძიმის (ან სხვა ძალის) ველში.

შევისწავლოთ მათემატიკური ქანქარის რხევები ათვლის ინერციულ სისტემაში, რომლის მიმართაც მისი შეჩერების წერტილი ისვენებს ან თანაბრად მოძრაობს სწორი ხაზით. ჩვენ უგულებელყოფთ ჰაერის წინააღმდეგობის ძალას (იდეალური მათემატიკური ქანქარა). თავდაპირველად, ქანქარა ისვენებს წონასწორულ მდგომარეობაში C. ამ შემთხვევაში, მასზე მოქმედი მიზიდულობის ძალა და ძაფის ელასტიური ძალა \(\vec F_(ynp)\) ურთიერთდაკავშირებულია. კომპენსირებული.

ამოვიღოთ ქანქარა წონასწორული პოზიციიდან (მისი გადახრით, მაგალითად, A პოზიციაზე) და გავათავისუფლოთ საწყისი სიჩქარის გარეშე (ნახ. 13.11). ამ შემთხვევაში ძალები \(\vec F\) და \(\vec F_(ynp)\) ერთმანეთს არ აბალანსებენ. გრავიტაციის ტანგენციალური კომპონენტი \(\vec F_\tau\), რომელიც მოქმედებს ქანქარზე, ეუბნება მას ტანგენციალური აჩქარება\(\vec a_\tau\) (მათემატიკური ქანქარის ტრაექტორიის ტანგენტის გასწვრივ მიმართული მთლიანი აჩქარების კომპონენტი) და ქანქარა იწყებს მოძრაობას წონასწორობის პოზიციისკენ აბსოლუტური სიჩქარით მზარდი სიჩქარით. გრავიტაციის ტანგენციალური კომპონენტი \(\vec F_\tau\) ამგვარად აღმდგენი ძალაა. მიზიდულობის ძალის ნორმალური კომპონენტი \(\vec F_n\) მიმართულია ძაფის გასწვრივ ელასტიური ძალის წინააღმდეგ \(\vec F_(ynp)\). ძალების შედეგი \(\vec F_n\) და \(\vec F_(ynp)\) ანიჭებს ნორმალურ აჩქარებას \(~a_n\) ქანქარას, რომელიც ცვლის სიჩქარის ვექტორის მიმართულებას და ქანქარა მოძრაობს. რკალის გასწვრივ Ა Ბ Გ Დ.

რაც უფრო უახლოვდება ქანქარა წონასწორობის პოზიციას C, მით უფრო მცირე ხდება ტანგენციალური კომპონენტის მნიშვნელობა \(~F_\tau = F \sin \alpha\). წონასწორობის მდგომარეობაში ის ნულის ტოლია და სიჩქარე აღწევს მაქსიმალური მნიშვნელობადა ქანქარა ინერციით უფრო შორს მოძრაობს, მაღლა ადის რკალში. ამ შემთხვევაში, კომპონენტი \(\vec F_\tau\) მიმართულია სიჩქარის წინააღმდეგ. გადახრის a კუთხის გაზრდისას ძალის მოდული \(\vec F_\tau\) იზრდება, სიჩქარის მოდული მცირდება და D წერტილში ქანქარის სიჩქარე ნულის ტოლი ხდება. ქანქარა წამით ჩერდება და შემდეგ იწყებს მოძრაობას წონასწორობის პოზიციის საპირისპირო მიმართულებით. მას შემდეგ ისევ ინერციით გავლის შემდეგ, ქანქარა, რომელიც ანელებს მოძრაობას, მიაღწევს A წერტილს (ხახუნი არ არის), ე.ი. დაასრულებს სრულ რხევას. ამის შემდეგ, ქანქარის მოძრაობა განმეორდება უკვე აღწერილი თანმიმდევრობით.

მოდით მივიღოთ განტოლება, რომელიც აღწერს მათემატიკური ქანქარის თავისუფალ რხევებს.

შეუშვით ქანქარა ამ მომენტშიდრო არის B წერტილში. მისი S გადაადგილება წონასწორობის პოზიციიდან ამ მომენტში უდრის რკალის SV სიგრძეს (ანუ S = |SV|). მოდით აღვნიშნოთ საკიდი ძაფის სიგრძე ლ, ხოლო ქანქარის მასა არის მ.

ნახაზი 13.11-დან ირკვევა, რომ \(~F_\tau = F \sin \alpha\), სადაც \(\alpha =\frac(S)(l).\) მცირე კუთხით \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

მინუს ნიშანი მოთავსებულია ამ ფორმულაში, რადგან სიმძიმის ტანგენციალური კომპონენტი მიმართულია წონასწორობის პოზიციისკენ, ხოლო გადაადგილება დათვლილია წონასწორობის პოზიციიდან.

ნიუტონის მეორე კანონის მიხედვით \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) მოდით დავაპროექტოთ ამ განტოლების ვექტორული სიდიდეები მათემატიკური ქანქარის ტრაექტორიის ტანგენტის მიმართულებაზე.

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

ამ განტოლებიდან ვიღებთ

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - მათემატიკური ქანქარის მოძრაობის დინამიური განტოლება. მათემატიკური ქანქარის ტანგენციალური აჩქარება მისი გადაადგილების პროპორციულია და მიმართულია წონასწორობის პოზიციისკენ. ეს განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც \. მისი შედარება ჰარმონიული რხევების განტოლებასთან \(~a_x + \omega^2x = 0\) (იხ. § 13.3), შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მათემატიკური ქანქარა ასრულებს ჰარმონიულ რხევებს. და ვინაიდან ქანქარის განხილული რხევები ხდებოდა მხოლოდ შინაგანი ძალების გავლენის ქვეშ, ეს იყო ქანქარის თავისუფალი რხევები. აქედან გამომდინარე, მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევები მცირე გადახრებით ჰარმონიულია.

ავღნიშნოთ \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) საიდანაც \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) არის ქანქარის ციკლური სიხშირე.

ქანქარის რხევის პერიოდია \(T = \frac(2 \pi)(\ომეგა).

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g))\)

ამ გამოთქმას ე.წ ჰიუგენსის ფორმულა.ის განსაზღვრავს მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების პერიოდს. ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ წონასწორობის პოზიციიდან გადახრის მცირე კუთხით, მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდი: 1) არ არის დამოკიდებული მის მასაზე და რხევების ამპლიტუდაზე; 2) ქანქარის სიგრძის კვადრატული ფესვის პროპორციულია და გრავიტაციის აჩქარების კვადრატული ფესვის უკუპროპორციულია. ეს შეესაბამება მათემატიკური ქანქარის მცირე რხევების ექსპერიმენტულ კანონებს, რომლებიც აღმოაჩინა გ.გალილეომ.

ხაზს ვუსვამთ, რომ ამ ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია პერიოდის გამოსათვლელად, თუ ერთდროულად ორი პირობაა დაკმაყოფილებული: 1) ქანქარის რხევები უნდა იყოს მცირე; 2) ქანქარის დაკიდების წერტილი უნდა იყოს მოსვენებულ მდგომარეობაში ან თანაბრად მოძრაობდეს სწორი ხაზით იმ ინერციული საცნობარო ჩარჩოს მიმართ, რომელშიც ის მდებარეობს.

თუ მათემატიკური ქანქარის დაკიდების წერტილი მოძრაობს აჩქარებით \(\vec a\), მაშინ იცვლება ძაფის დაძაბულობის ძალა, რაც იწვევს აღდგენის ძალის ცვლილებას და, შესაბამისად, რხევების სიხშირესა და პერიოდს. როგორც გამოთვლები აჩვენებს, ამ შემთხვევაში ქანქარის რხევის პერიოდი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

სადაც \(~g"\) არის ქანქარის "ეფექტური" აჩქარება არაინერციულ მითითების სისტემაში. იგი უდრის სიმძიმის აჩქარების გეომეტრიულ ჯამს \(\vec g\) და ვექტორის საპირისპირო. ვექტორი \(\vec a\), ანუ ის შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

ლიტერატურა

აქსენოვიჩ L.A. ფიზიკა საშუალო სკოლაში: თეორია. Დავალებები. ტესტები: სახელმძღვანელო. ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების შემწეობა. გარემო, განათლება / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; რედ. კ.ს.ფარინო. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - გვ 374-376.