Čestitamo: Danas ćemo rastaviti korijene - jednu od najzabavnijih tema 8. razreda. :)
Mnogi su zbunjeni u korijenima. Ne zato što su teški (što je teška stvar postoji par definicija i još uvijek par nekretnina), ali zato što u većini školskih udžbenika, korijeni se određuju kroz takve krhotine da autori udžbenika mogu razumjeti ovo Pismo. I onda samo s bocom dobrog viskija. :)
Stoga, sada ću dati najosnovniju i najkonkurentniju definiciju korijena - jedino što stvarno trebate zapamtiti. A onda ću objasniti: zašto sve to treba i kako ga primijeniti u praksi.
Ali najprije se sjećate jedne važne točke, o kojoj mnogi sastavljači udžbenika iz nekog razloga "zaboravljaju":
Korijeni su jasan stupanj (naš omiljeni $ SQRT (a) $, kao i bilo koji $ SQRT (a) $, pa čak i $ SQRT (a) $) i neparnom stupnju (sve od $ Sqrta (a) , $ Sqrt (a) $, itd.). A određivanje korijena neparnog stupnja nešto se razlikuje od one.
U ovoj zgrabi, "donekle drugačiji" je skriven, vjerojatno 95% svih pogrešaka i nesporazuma povezanih s korijenima. Stoga, pogledajmo terminologiju jednom i zauvijek.
Definicija. Korijen stupnja čitanja n. između $ je $ ne-negativan Broj $ B $ je takav da $ ((b) ^ (n)) \u003d $. A korijen neparnog stupnja od istog broja $ $ je općenito bilo koji broj $ B $ za koji se izvodi sva ista jednakost: $ ((b) ^ (n)) \u003d $.
U svakom slučaju, korijen je opisan ovako:
(a) \\ t
Broj $ N $ u takav unos naziva se pokazatelj korijena, a broj $ $ je inhibirani izraz. Konkretno, s $ n \u003d 2 $ ćemo dobiti naš "omiljeni" kvadratni korijen (usput, to je korijenski stupanj), a na $ n \u003d 3 $ - kubični (stupanj), koji se također često nalazi u zadacima i jednadžbe.
Primjeri. Klasični primjeri kvadratnih korijena:
[početi (poravnati) sqrt (4) \u003d 2; SQRT (81) \u003d 9; & SQRT (256) \u003d 16. Kraju (poravnanje)] \\ t
Usput, $ \\ sqrt (0) \u003d 0 $ i $ Sqrt (1) \u003d 1 $. Ovo je prilično logično, jer $ ((0) ^ (2)) \u003d 0 $ i $ ((1) ^ (2)) \u003d 1 $.
Kubični korijeni se često nalaze - ne morate se bojati:
[početi (poravnati) sqrt (27) \u003d 3; sqrt (-64) \u003d - 4; SQRT (343) \u003d 7. Kraju (poravnanje)] \\ t
Pa, i nekoliko "egzotičnih primjera":
[početi (poravnati) i sqrt (81) \u003d 3; SQRT (-32) \u003d - 2. Kraju (poravnanje)] \\ t
Ako ne razumijete što je razlika između lopte i slabijeg stupnja - ponovno pročitajte definiciju. Vrlo je važno!
U međuvremenu, smatramo jedno neugodno obilježje korijena, zbog čega smo trebali uvesti zasebnu definiciju za čitanje i neparne pokazatelje.
Zašto trebate korijene?
Nakon čitanja definicije, mnogi učenici će pitati: "Što ste pušili matematiku kad su došli?" I stvarno: zašto trebate sve te korijene?
Da biste odgovorili na ovo pitanje, vratite se na minutu u osnovnim razredima. Zapamtite: U tim dalekim vremenima kada su stabla bila zelenija, a knedle su ukusniji, naša glavna briga bila je ispravno pomnožiti brojeve. Pa, nešto u duhu "pet do pet - dvadeset pet", to je sve ovo. Ali možete pomnožiti brojeve ne u parovima, već tri, četvrti i općenito setovi:
[Port (poravnajte) i 5 cDot 5 \u003d 25; CDot 5 CDot 5 \u003d 125; CDot 5 CDot 5 \u003d 625; CDot 5 CDot 5 CDot 5 CDot 5 \u003d 3125; CDot 5 CDot 5 CDot 5 CDot 5 CDot 5 \u003d 15 625. \\ t
Međutim, bit nije u tome. Čip u drugoj: Matematika - živi ljudi, tako da su bili u otpadu kako bi snimili množenje deset fiva ovako:
Stoga su došli do stupnjeva. Zašto ne biste napisali broj multiplikatora u obliku gornjeg indeksa umjesto duge linije? Kao ovo:
Vrlo je ugodno! Svi izračuni se ponekad smanjuju, a ne možete potrošiti hrpu pergamentnih listova za snimke nekih 5 183. Takav unos naziva se stupanj broja, imala je hrpu nekretnina, ali je sreća bila kratkotrajna.
Nakon velike piće, koja je organizirana samo o "otkriću" stupnjeva, neki posebno uspravni matematičar iznenada je upitao: "A što ako znamo stupanj broja, ali broj je nepoznat?" Ovdje, doista, ako znamo da je određeni broj $ B $, recimo, daje 243 do 5. stupnja, kako onda možemo pogoditi što je broj od $ B $?
Taj se problem pokazao mnogo više globalnijim nego što se može činiti na prvi pogled. Budući da se ispostavilo da za većinu "gotovih" stupnjeva takvih "izvornih" brojeva nije. Sudac za sebe:
[Port (poravnanje) i ((b) ^ (3)) \u003d 27 rečenica B \u003d 3 CDot 3 CDot 3 RADARARROW B \u003d 3; & ((b) ^ (3)) \u003d 64 desnicarrow b \u003d 4 cDot 4 cDot 4 RADARARROW B \u003d 4. Kraju (poravnanje)] \\ t
A što ako $ ((b) ^ (3)) \u003d $ 50? Ispada da je potrebno pronaći neku vrstu broja koji je tri puta umnoženi sami će nam dati 50. Ali što je broj? To je očito veće od 3, od 3 3 \u003d 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 > 50. Oni. Ovaj broj leži negdje između tri i četvrti, ali ono što je jednako - sl.
To je za ovu matematiku i izmislio korijene od $-the. Bilo je to za to da je uvedena ikona radikala od $ SQRT (*) $. Odrediti broj $ B $, koji će nam dati unaprijed određenu vrijednost u određenoj mjeri
[SQRT [N] (a) \u003d B odmah ((b) ^ (n)) \u003d
Ne raspravljam: Često se ti korijeni lako smatraju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera iznad. Ali ipak, u većini slučajeva, ako napravite proizvoljan broj, a zatim pokušati izvući slučajni stupanj iz njega, čekate okrutan udarac.
Zašto tamo! Čak i najlakši i najpoznatiji $ SQRT (2) $ ne mogu nam se podnijeti kao poznato nam - kao cijeli broj ili pucanj. A ako dobijete ovaj broj u kalkulatoru, vidjet ćete ga:
[SQRT (2) \u003d 1,414213562]
Kao što možete vidjeti, nakon zareza, postoji beskonačni slijed brojeva koji ne slušaju logiku. Naravno, moguće je zaokružiti taj broj kako bi se brzo uspoređivao s drugim brojevima. Na primjer:
[SQRT (2) \u003d 1,4142 ... cca 1,4 \\ t
Ili ovdje je još jedan primjer:
[SQRT (3) \u003d 1,73205 ... cca 1.7 gt 1.5]
Ali svi ti zaokruživanja, prvo, prilično nepristojno; I drugo, potrebno je raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti hrpu ne-očiglednih pogrešaka (usput, vještina usporedbe i zaokruživanja je obavezno u profilu uporabe).
Stoga, u ozbiljnoj matematici bez korijena, ne mogu učiniti - oni su isti jednaki predstavnici mnogih od svih stvarnih brojeva $ mathbb (R) $, kao i frakcije i cijeli brojevi su nam dugo poznati.
Nemogućnost predstavljanja korijena u obliku frakcije forme $ frac (P) (q) $ znači da ovaj korijen nije racionalan broj. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim, a oni se ne mogu točno prikazati drugačije kao uz pomoć radikala ili drugih dizajna posebno namijenjenih za ovaj dizajn (logaritmi, stupnjevi, granice itd.). Ali o tome - drugi put.
Razmotrite nekoliko primjera gdje, nakon svih izračuna, iracionalni brojevi će i dalje ostati odgovor.
[Port (poravnaj) SQRT (2+ SQRT (27)) \u003d SQRT (2 + 3) \u003d SQRT (5) cca 2,236 ... \\ t ) \u003d SQRT (-2) cca -1,2599 ... \\ t
Naravno, korijenski izgled je gotovo nemoguće pogoditi koje brojeve će biti nakon zareza. Međutim, moguće je izračunati na kalkulatoru, ali čak i najnapredniji kalkulator DAT kalkulatora samo nekoliko prvih znamenki iracionalnog broja. Stoga je mnogo točnije zabilježiti odgovore u obliku $ SQRT (5) $ i $ SQRT (-2) $.
Bilo je to zbog toga što su došli s njima. Prikladno napisati odgovore.
Zašto trebate dvije definicije?
Pažljiv čitatelj je već vjerojatno primijetio da su svi kvadratni korijeni dani u primjerima izdvojeni iz pozitivnih brojeva. Pa, u ekstremnim slučajevima od nule. Ali kubični korijeni su mirno uklonjeni s bilo kojeg broja - čak i pozitivne, čak i negativne.
Zašto se ovo događa? Pogledajte raspored funkcije Y \u003d ((x) ^ (2)) $:
Grafikon kvadratne funkcije daje dva korijena: pozitivna i negativna Pokušajmo koristiti ovaj raspored za izračunavanje $ SQRT (4) $. Da biste to učinili, grafikon horizontalne linije $ y \u003d $ 4 (označen crvenom bojom), koji se siječe s paraboli na dvije točke: $ ((x) _ (1)) \u003d 2 $ i $ ((x) _ (2)) \u003d -2 $. To je vrlo logično jer
S prvim brojem sve je jasno - to je pozitivno, pa je to korijen:
Ali što onda učiniti s drugom točkom? Je li četvrtina dva korijena odjednom? Uostalom, ako izgradite broj -2 na kvadrat, također dobivamo 4. Zašto onda ne napisati $ SQRT (4) \u003d - $ 2? I zašto učitelji gledaju takve zapise kao da vas žele umrijeti? :)
U tom slučaju, ako ne primjenjuju dodatne uvjete, četvrti korijeni četvrtog će imati dva - pozitivna i negativna. I bilo koji pozitivan broj njih također će biti dva. No, negativni brojevi korijena neće biti uopće - može se vidjeti po istoj grafici, jer se parabola ne spušta ispod osi y., Ne uzima negativne vrijednosti.
Sličan problem proizlazi iz svih korijena s indikatorom čitanja:
- Strogo govoreći, korijeni s indikatorom od $ N $ svaki pozitivan broj bit će dva dijela odjednom;
- Od negativnih brojeva, korijen s materijom od $ N $ uopće se ne izdvaja.
Zbog toga je u određivanju korijenskog stupnja N $ specifično propisuje da odgovor mora biti ne-negativni broj. Tako se riješimo dvosmislenosti.
Ali za neparne $ N $ ne postoji takav problem. Da bismo bili sigurni, pogledajmo raspored funkcije y \u003d ((x) ^ (3)) $:
Kubična parabola uzima bilo kakve vrijednosti, tako da se kubični korijen ekstrahira s bilo kojeg broja Iz ovog rasporeda možete napraviti dva izlaza:
- Podružnice kubične parabole, za razliku od uobičajenih, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore, i dolje. Stoga, za bilo koju visinu, provodimo horizontalnu izravnu, ovaj izravni nužno prijeći s našim rasporedom. Prema tome, kubični korijen uvijek se može ukloniti, apsolutno od bilo kojeg broja;
- Osim toga, takav raskrižji će uvijek biti jedini, tako da ne morate misliti koji broj za razmatranje "desnog" korijena i za što postići. Zato je definicija korijena za neparnu stupanj lakši nego čak i (ne postoji zahtjev ne-negativnosti).
Šteta je da ove jednostavne stvari ne objašnjavaju u većini udžbenika. Umjesto toga, počinjemo žetvu mozga svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.
Da, ne raspravljam: što je aritmetički korijen - također je potrebno znati. I ispričat ću vam detaljno o tome u zasebnoj lekciji. Danas ćemo također razgovarati o tome, jer bez njega sve refleksije na korijenima od $ n $-bomba mnoštva bi bila nepotpuna.
Ali prvo, potrebno je jasno asimilirati definiciju koju sam dao gore. Inače, zbog obilja pojmova, takva kaša će početi u glavi, koja će na kraju sve razumjeti.
I samo trebate razumjeti razliku između čak i neparnih pokazatelja. Stoga, još jednom prikupljamo sve što stvarno trebate znati o korijenima:
- Korijen stupnja postoji samo s ne-negativnog broja i sam uvijek ne-negativan broj. Za negativne brojeve, takav korijen je neizvjestan.
- No, korijen neobičnog postojanja postoji iz bilo kojeg broja i sam može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve je pozitivan, a za negativno - kako CEP nagovještava, negativan.
Je li teško? Ne, nije teško. Čisto? Da, općenito očito! Stoga sada vježbamo s računalom.
Osnovna svojstva i ograničenja
Korijeni imaju mnogo čudnih svojstava i ograničenja - to će biti zasebna lekcija. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "čip", koji se primjenjuje samo na korijene s čak i indikatorom. Ovo svojstvo pišemo kao formulu:
[SQRT ((x) ^ (2n)) \u003d lijevo | X desno |]
Drugim riječima, ako izgradite broj u jasnom stupnju, a zatim iz toga da izvučete korijen iste mjere, nećemo dobiti broj izvora i njegov modul. Ovo je jednostavan teorem koji se lako dokazuje (dovoljno je uzeti u obzir ne-negativni $ x $ dovoljno, a zatim odvojeno negativno). Učitelj neprestano govori o njoj, ona se daje u svakom školskom udžbeniku. No čim je u pitanju rješavanje iracionalnih jednadžbi (tj. Jednadžbe koje sadrže znak radikala), studenti zajedno zaboravljaju ovu formulu.
Da bismo detaljno shvatili u pitanju, da budemo na minutu, zaboravimo sve formule i pokušajte brojati dva broja izmijenjenih:
[SQRT (((3) ^ (4))) \u003d? quad \\ sqrt ((lijevo (-3)) ^ (4)) \u003d?]
To su vrlo jednostavni primjeri. Prvi primjer će riješiti većinu ljudi, ali u drugom, mnogi se trude. Da biste riješili bilo koji takav sranja bez ikakvih problema, uvijek razmotrite postupak:
- Prvo, broj se podiže u četvrti stupanj. Pa, to je lako. To će ispasti novi broj, koji se čak iu tablici umnožavanja može pronaći;
- A sada iz ovog novog broja potrebno je izvući korijen četvrtog stupnja. Oni. Ne pojavljuje se "smanjenje" korijena i stupnjeva - to su dosljedne radnje.
Mi rijeka s prvim izrazom: $ SQRT (((3) ^ (4))) $. Očito, potrebno je izračunati izraz koji stoji ispod korijena:
[((3) ^ (4)) \u003d 3 cDot 3 cDot 3 cDot 3 \u003d 81]
Zatim uklonite korijen četvrtog stupnja među 81:
Sada učinimo isto s drugim izrazom. Prvo, gradimo broj -3 u četvrti stupanj, za koji će biti potrebno razmnožiti po sebi 4 puta:
[(((Lijevo (-3 desno)) ^ (4)) \u003d Lijevo (-3 desno) CDot Liver (-3 res) CDot (-3) \\ t Lijevo (-3) \u003d 81]
Dobili su pozitivan broj, budući da je ukupan broj minusa u radu - 4 komada, a oni će se međusobno uništiti (jer minus za minus daje plus). Sljedeće ponovno uklonite korijen:
U načelu, ova linija nije mogla pisati, jer nije jasno da će se odgovor ispasti isti. Oni. Poznati korijen istog stupnja "opekline" minusi, au tom smislu rezultat se ne razlikuje od uobičajenog modula:
[Port (poravnajte) i sqrt (((3) ^ (4))) \u003d lijevo | 3 desno | \u003d 3; I sqrt (((lijevo (-3)) ^ (4))) \u003d lijevo | -3 desno | \u003d 3. Kraju (poravnanje)] \\ t
Ovi izračuni se dobro slažu s definicijom korijenskog stupnja: rezultat je uvijek ne-negativan, a pod znakom radikala također uvijek stoji ne-negativni broj. Inače, korijen nije definiran.
Napomena o redoslijedu djelovanja
- Snimanje $ SQRT ((((a) ^ (2))): $ znači da prvo podiže broj $ $ po kvadratu, a zatim uklonite kvadratni korijen iz rezultirajuće vrijednosti. Stoga, možemo biti sigurni da ne-negativni broj uvijek sjedi ispod korijenskog znaka, od $ ((a) ^ (2)) 0 $ u svakom slučaju;
- Ali rekord $ ((lijevo (a) desno)) ^ (2)) $, naprotiv, znači da prvo uklonimo korijen s određenog broja $ $ i samo onda podignite rezultat Trg. Stoga broj od $ ne može biti negativan - to je obvezni zahtjev u definiciji.
Tako, ni u kojem slučaju ne može biti nepromišljeno smanjiti korijenje i stupnjeve, navodno "pojednostavljuje" početni izraz. Jer ako je pod korijenom postoji negativan broj, a njegov indikator se čita, dobivamo hrpu problema.
Međutim, svi ovi problemi su relevantni samo za čak i pokazatelje.
Dostizanje minusa ispod korijenskog znaka
Naravno, korijeni s neparnim pokazateljima također imaju vlastiti čip, koji se u načelu ne događa. Naime:
[SQRT (-A) \u003d - SQRT (a) \\ t
Ukratko, možete napraviti minus ispod znaka korijena neparnog. Ovo je vrlo korisna značajka koja vam omogućuje da "napreduju" svih minuta vani:
[Port (poravnajte) SQRT (-8) \u003d - SQRT (8) \u003d - 2; \\ _ SQRT (-27) SQRT (-32) \u003d - SQRT (27) CDot (- SQRT (32) desno) \u003d & \u003d SQRT (27) \\ t SQRT (32) \u003d CDot 2 \u003d 6. Kraju (poravnati)]
Ova jednostavno nekretnina uvelike pojednostavljuje mnoge izračune. Sada ne morate brinuti: odjednom negativni izraz pod korijenom, a stupanj korijena ispružen je čak? Dovoljno je samo "baciti" svih minuta izvan korijena, nakon čega se mogu pomnožiti jedan od drugoga, da dijele i općenito rade mnoge sumnjive stvari, koje, u slučaju "klasičnih" korijena, zajamčenih nas da nas učinimo pogrešno.
I ovdje scena izlazi još jednu definiciju - upravo ono što u većini škola počinje proučavati iracionalne izraze. I bez kojih bi naše razmišljanje bilo nepotpuno. Upoznajte!
Aritmetički korijen
Pretpostavimo na trenutak da pod znakom korijena može biti samo pozitivni brojevi ili u ekstremnom slučaju nula. Mi postići naredne / neparne pokazatelje, neka sve definicije navedene gore - mi ćemo raditi samo s ne-negativnim brojevima. Što onda?
A onda ćemo dobiti aritmetički korijen - djelomično se siječe s našim "standardnim" definicijama, ali se i dalje razlikuje od njih.
Definicija. Aritmetički korijen od $ - stupanj od ne-negativnog broja $ $ zove se takav ne-negativni broj $ B $, koji je $ ((b) ^ (n)) \u003d $.
Kao što možete vidjeti, više nismo zainteresirani za spremnost. U zamjenu se pojavio novo ograničenje: Ekspresija hranjenja sada je uvijek neneglasan, a sam korijen je također nenezna.
Bolje razumijevanje nego što se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafikone kvadratne i kubične parabole:
Područje pretraživanja aritmetičkih korijena - ne-negativnih brojeva Kao što možete vidjeti, sada smo samo zainteresirani za one dijelove grafova koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrti - gdje su koordinate od $ x $ i $ y $ su pozitivne (ili barem nula). Više ne treba gledati pokazatelja da razumijemo: imamo pravo staviti negativan broj pod korijen ili ne. Budući da se negativni brojevi u načelu ne razmatraju.
Možete pitati: "Pa, zašto trebamo takav kastrirani definicija?" Ili: "Zašto ne može gore navedena standardna definicija?"
Pa, donijet ću samo jednu nekretninu, zbog čega nova definicija postaje prikladna. Na primjer, pravilo vježbanja u stupanj:
[SQRT [N] (a) \u003d SQRT (((a) ^ (k))) \\ t
Imajte na umu: Možemo izgraditi izraz za hranjenje u bilo kojem stupnju i istovremeno umnožiti brzinu korijena u istom stupnju - i kao rezultat, isti broj će se ispasti! Evo primjera:
[Početi (poravnati) SQRT (5) \u003d SQRT (((((5) ^ (2))) \u003d SQRT (25) \\ t (2) \u003d SQRT ((((2) ^ ( 4))) \u003d SQRT (16) \\ t
Što je s tim? Zašto to ne možemo učiniti prije? Ali zašto. Razmislite o jednostavnom izrazu: $ SQRT (-2) $ je broj je sasvim normalan u našem klasičnom razumijevanju, ali apsolutno neprihvatljivo sa stajališta aritmetičkog korijena. Pokušajmo ga pretvoriti:
$ započeti (poravnati) sqrt (-2) \u003d - sqrt (2) \u003d - sqrt (((((2) ^ (2))) \u003d - sqrt (4) \\ t SQRT (-2) \u003d SQRT ((((((-2)) ^ (2))) \u003d SQRT (4) \\ t
Kao što možete vidjeti, u prvom slučaju napravili smo minus ispod radikala (imamo potpunu pravo, jer je lik je neparan), au drugom - koristi gornju formulu. Oni. Sa stajališta matematike sve se radi u skladu s pravilima.
Wtf?! Kako jedan i isti broj može biti pozitivan i negativan? Ni na koji način. Samo formula za vježbanje koja radi sjajno za pozitivne brojeve i nulu, počinje proizvoditi potpunu herezu u slučaju negativnih brojeva.
Da biste se riješili takve dvosmislenosti i došli do aritmetičkih korijena. Oni su posvećeni zasebnoj velikoj lekciji, gdje razmatramo sva svojstva u detalje. Dakle, sada nećemo zaustaviti na njih - lekciju i ispalo se previše zategnutim.
Algebarski korijen: za one koji žele znati više
Dugo sam mislio: izdržati ovu temu u odvojenom paragrafu ili ne. Kao rezultat toga, odlučio sam otići ovdje. Ovaj materijal je namijenjen onima koji žele razumjeti korijene još bolje - više ne na srednjoj razini "škole", nego na približno olimpijskim igrama.
Dakle, osim "klasične" definicije korijena od $ n $ - od broja i povezanog odvajanja do čitljivih i neparnih pokazatelja, postoji više "odrasla" definicija, koja ne ovisi o spremnosti i drugim suptilnostima , To se naziva algebarski korijen.
Definicija. Algebarsni korijen $ - od $ iz bilo kojeg $ $ je skup svih brojeva $ B $, tako da $ ((b) ^ (n)) \u003d $. Za takve korijene ne postoji dobro uspostavljena oznaka, tako da smo jednostavno stavili scret odozgo:
[Pogriješiti (sqrt [n] (a)) \u003d lijevo (B lijevo | b u mathbb®; ((b) ^ (n)) \u003d desno. 1
Temeljna razlika od standardne definicije na početku lekcije je da algebarski korijen nije određeni broj, ali puno. A budući da radimo s važećim brojevima, ovaj skup je samo tri vrste:
- Prazan skup. Pojavljuje se u slučaju kada je potrebno pronaći algebarskog korijena elegantnog stupnja od negativnog broja;
- Set koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih stupnjeva, kao i korijeni čak i stupnjeva od nule padaju u ovu kategoriju;
- Konačno, skup može uključivati \u200b\u200bdva broja - iste $ ((x) _ (1)) $ i $ ((x) _ (2)) \u003d - ((x) _ (1)) Kvadratna funkcija. Prema tome, ovo poravnanje je moguće samo kada se korijen uklanja s pozitivnog broja.
Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Izračunajte nekoliko primjera da biste razumjeli razliku.
Primjer. Izračunajte izraze:
[Pogranični (sqrt (4)); quad repline (sqrt (-27)); quad repline (sqrt (-16)). \\ T
Odluka. S prvim izrazom, sve je jednostavno:
[Pogriješiti (sqrt (4)) \u003d lijevo (2; -2)
To je dva broja koja su dio skupa. Jer svaki od njih daje četvrti.
[Pogranični (sqrt (-27)) \u003d lijevo (-3)
Ovdje vidimo set, koji se sastoji od samo jednog broja. To je prilično logično, jer je brzina korijena neparna.
Konačno, posljednji izraz:
[Pogriješiti (sqrt (-16)) \u003d terothing]
Primio prazan skup. Budući da ne postoji niti jedan stvarni broj koji, kada se podiže u četvrtom (tj. Dobro!) Stupanj će nam dati negativan broj -16.
Završna napomena. Napomena: Ne slučajno ne primjećujem svugdje da radimo s važećim brojevima. Budući da još uvijek postoje integrirani brojevi - postoji vrlo moguće izračunati $ sqrt (-16) $, i mnoge druge čudne stvari.
Međutim, u modernoj školskoj godini matematike, složeni brojevi gotovo nisu pronađeni. Izvučeni su od većine udžbenika, budući da naši dužnosnici smatraju da je ova tema "previše komplicirana za razumijevanje".
To je sve. U sljedećoj lekciji gledat ćemo na sva ključna svojstva korijena i učiti, konačno pojednostaviti iracionalne izraze. :)
Da biste uspješno iskoristili operaciju ekstrakcije korijena, morate se upoznati s svojstvima ove operacije.
Sva svojstva su formulirana i dokazana samo za ne-negativne vrijednosti varijabli sadržanih pod korijenskim znakovima.
Teorem 1. Korijen N-stupnja (n \u003d 2, 3, 4, ...) iz rada dviju ne-negativnih čipsela jednaka je proizvodu korijena n-stupnja iz tih brojeva:
Komentar:
1.
Teorem 1 ostaje poštena i za slučaj kada je uvjetovani izraz proizvod više od dva ne-negativnih brojeva.
Teorem 2.Ako a,
i n je prirodni broj, više od 1, zatim jednakost
Kratak (Iako netočna) formulacija koja je prikladnija za korištenje u praksi: korijen frakcije je jednak frakciji iz korijena.
Teorem 1 omogućuje nam da umnožimo su isti korijen istog stupnja
, Samo korijenje s istim pokazateljem.
Teorem 3.IF.If. , K - Prirodni broj i N - prirodni broj, veći od 1, zatim jednakost
Drugim riječima, kako bi se izgradio korijen u prirodnoj mjeri, dovoljno je izgraditi ispitni izraz u ovom stupnju.
To je posljedica teorema 1. Zapravo, na primjer, za K \u003d 3 dobivamo: na isti način na koji je moguće raspravljati u slučaju bilo koje druge prirodne vrijednosti pokazatelja.
Teorem 4.IF.If. , k, n - prirodni brojevi, veći 1, zatim jednakost
Drugim riječima, ekstrahira korijen korijena, dovoljno je umnožiti korijenje.
Na primjer,
Budi oprezan!Naučili smo da se četiri operacije mogu provoditi preko korijena: umnožavanje, podjela, izgradnja korijena (korijen). Ali kako je slučaj s dodatkom i oduzimanjem korijena? Ni na koji način.
Na primjer, umjesto toga ne možete pisati u stvari, ali to je očito
Teorem 5.isli Pokazatelji korijena i izražavanje hranjenja pomnoženi ili podijeljeni u jedan i isti prirodni broj, vrijednost korijena neće se mijenjati, tj.
Primjeri rješavanja zadataka
Primjer 1.Izračunati
Odluka.Uzimanje prednost prvog vlasništva korijena (teorem 1), dobivamo:
Primjer 2.Izračunati
Odluka.Obrnuti mješoviti broj u pogrešnoj frakciji.
Koristimo prednost drugog vlasništva korijena ( teorem 2.
), dobivamo:
Primjer 3. Izračunati: 
Odluka. Bilo koja formula u algebri, kao što dobro poznajete, ne samo se koristi samo "s lijeva na desno", već i "pravo na lijevo". Dakle, prvo svojstvo korijena znači da se može zamisliti u obliku i, naprotiv, može se zamijeniti izrazom. Isto vrijedi i za drugo vlasništvo korijena. S obzirom na to, obavljati izračune.
Ministarstvo općeg i stručnog obrazovanja RO
državna proračunska ustanova
primarno strukovno obrazovanje regije Rostov
profesionalna škola broj 5
Praktični rad
pod disciplinom ODP. 01."Matematika: algebra i početi
matematička analiza; geometrija"
na ovoj temi: "Transformacije izraza koji sadrže korijene, stupnjeve i logaritme».
zanastava I. Tečaj
g. Rostov-na-don
2017
Odjeljak broj 1. Algebra.
Tema 1.2. Korijeni, stupnjevi i logaritmi.
Praktična lekcija broj 1.
Predmet: "Transformacije izraza koji sadrže korijene, stupnjeve i logaritme."
Svrha: znati svojstva radikala, stupnjeva i logarita; biti u stanju primijeniti ih kada obavljanje transformacija izraza koji sadrže korijene, stupnjeve i logaritme.
Broj sati : 1 sat.
Teorijski materijal.
Korijenje.
Djelovanje po kojem se nalazi korijenn.stupanj nazvan ekstrakcija korijenan.stupanj.
Definicija. Aritmetički korijen prirodnog stupnjan. ≥ 2 od ne-negativnog broja i naziva se ne-negativni broj,n.Stupanj čiji je jednak a.
Aritmetički korijen drugog stupnja također se naziva kvadratni korijen, a korijen trećeg stupnja je kubični korijen.
Na primjer.
Izračunati:
Aritmetički korijenn.Stupanj ima sljedeća svojstva:
ako je ≥ 0, u\u003e 0 i n., m. - prirodni brojevi in. ≥ 2, m. ≥ 2, zatim
1. 3.
2. 4.
Primjeri primjene svojstava aritmetičkog korijena.
Svojstva stupnja s racionalnim indikatorom.
Za sve racionalne brojeve p i k i bilo koji\u003e 0 i u\u003e 0, jednakost je istinita:
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. .
Primjeri uporabe svojstava stupnjeva:
1). 7*
4). .
Logarithm brojevi
Definicija. Logaritam pozitivnog brojab. Na temelju, ali gdjea. > 0, a. ≠ 1, nazvao je pokazatelj stupnja u kojem se broj treba izdatia., Dobiti b..
a. = b. - osnovni logaritamski identitet.
Svojstva logaritam
Neka biti a. > 0, a. ≠ 1, b. \u003e 0, c\u003e 0, K - bilo koji važeći broj. Zatim su Formule istinite:
1 . dnevnik. ( pRIJE KRISTA. ) = logb. + logc. , 4. logb. = ,
2. log \u003d logb - log c, 5.dnevnik. a \u003d 1. ,
3. dnevnik. b. \u003d K * logb. , 6. dnevnik. 0 = 1 .
Primjeri prijave formula:
log2 + dnevnik.18 \u003d log (2 * 18 ) = dnevnik.36 = 2;
dnevnik.48 - Dnevnik.4 \u003d Dnevnik.= dnevnik.12 = 1;
dnevnik. 9 = * dnevnik.9 = .
Riješiti se .
Zadatke.
1 opcija
1. Izračunajte:
1) ; 4) dnevnik. ;
2) ; 5) 0,5;
3) ; 6) 3 dnevnik.2 - Dnevnik.64.
2, ako x \u003d 7.
3. Usporedite brojeve:dnevnik.11 I. dnevnik.19.
4. Pojednostavite: 1); 2).
5. Izračunajte: dnevnik.dnevnik.dnevnik.3.
_________________________________________________________________
Opcija 2
1. Izračunajte:
1) ; 4) dnevnik. 64;
2) ; 5) ;
3) ; 6) 2 dnevnik.3 - dnevnik.81.
2. Pronađite vrijednost izraza: 3, ako y \u003d 2.
3. Usporedite brojeve:dnevnik. i dnevnik..
4. Pojednostavite: 1); 2).
5. Izračunajte: dnevnik.dnevnik.dnevnik.2.
__________________________________________________________________
Kriteriji za procjenu:
11 ispraviti zadatke - "5";
9 - 10 ispravnih zadataka - "4";
7 - 8 ispraviti zadatke - "3".
Cipele. M. I. Matematika: Tutorial za nevladine organizacije i SPO. - M:
Publishing centar "Akademija", 2013.
Alimov sh.a. i drugi. Algebra i početak analize. 10 (11) Cl. - M: 2012.
Algebra. 9 CL: Tutorial, zadatak opće formiranja. Institucije /
A.G. Mordkovich i drugi - m.: Mnemozina, 2009.
Algebra. 8 Cl.: Tutorial, zadatak za opću formaciju. Institucije /
A.G. Mordkovich i drugi - m.: Mnemozina, 2008.
Algebra. 7 CL: Tutorial, Tacacon za opće formiranje. Institucije /
A.G. Mordkovich i drugi - m.: Mnemozina, 2007.
Obrazac za izvješćivanje: Provjera zadataka učitelju
Pregled:
Praktični rad broj 2
OD.1.1 Matematika
Predmet: Transformacija algebarskih, racionalnih, iracionalnih, energetskih izraza.
Vrsta razreda: Praktična lekcija
Svrha klase | trening | Provjerite znanje i praktične vještine učenika o transformaciji algebarskih, racionalnih, iracionalnih, izraza energije. |
obrazovanje I. razvoj | Doprinose ovladavanju potrebnih vještina neovisnih aktivnosti učenja; Promicati razvoj vještina za primjenu znanja stečenih u tipičnim uvjetima |
|
Međuvladin komunikacija | pružanje | Matematika (škola) |
snabdijevati | Fizika, kemija, tehnička mehanika, ekonomija, tečaj i dizajn trave |
Osiguravanje lekcije:
Korištenje ICT-a (informacijske i komunikacijske tehnologije)
(multimedijske prezentacije, oprema za projekciju, interaktivna ploča, osobno računalo, testiranje računala)
Visual priručnici i distribucijski materijal:metodičke smjernice za praktični rad broj 2, plakati: "Stupanj stupnja", "svojstva korijena n-esencijalne", "formule skraćene umnoženosti"
Književnost: Kolmogorov A.N. i drugi. Algebra i početak analize. 10 (11) Cl. - m.: Prosvjetljenje, 2012.
Svrha rada:
Obavljati akcije za pretvaranje algebarskih, racionalnih, iracionalnih, energetskih izraza.
Korijeni prirodnog stupnja među svojim svojstvima.
Korijen n - stupanj:, n - indikator korijena, ali - skrbnik
Ako a n je neparan brojtada izraz ima smisla na
Ako a N je čak i brojtada izraz ima smisla
Aritmetički korijen:
Korijen neparnog stupnja od negativnog broja:
Glavna svojstva korijena
- Pravilo za ekstrakciju korijena iz rada:
- Pravilo za ekstrakciju korijena:
- Pravilo množitelja iz korijenskog znaka:
- Izrada množitelja pod znakom korijena:
- Pokazanik korijena i indeks hranjenja mogu se umnožiti s istim brojem.
- Smanjenje smanjenja.
Omjer
A. - temelj stupnjan. - stupanj indikatora
Svojstva:
- Prilikom umnožavanja stupnjeva s istim bazama, pokazatelji su presavijeni, a baza ostaje nepromijenjena.
- Pri dijeljenju stupnjeva s istim bazama, pokazatelji se oduzimaju, a baza ostaje nepromijenjena.
- Prilikom podizanja stupnja, pokazatelji se množe.
- Kada se podigne u stupanj rada dva broja, svaki broj je povišen do ovog stupnja, a rezultati lažu.
- Ako je stupanj podignut od strane privatnog dva broja, u to je stupanj podignut brojnik i nazivnik, a rezultat je podijeljen jedni u drugi.
Cijeli broj
- A-Priory:
Svojstva:
- Neka bude racionalan brojonda
na r\u003e 0\u003e na r
7 . Za sve racionalne brojeve R i S iz nejednakostislijedi
\u003e na\u003e 1 kada
Formule skraćenog množenja.
Primjer 1. Pojednostaviti izraz.
Odluka
Primijenite svojstva stupnjeva (množenje stupnjeva s istim bazom i dijeljenim stupnjem s istom bazom):
.
Odgovor: 9m 7.
Primjer 2. Smanjiti frakciju:
Odluka. Tako područje određivanja frakcije Svi brojevi, osim x ≠ 1 i x ≠ -2.The
, Povezana frakcija, dobiti, Definicija rezultirajuće frakcije: X ≠ -2, tj. šire od područja definicije početne frakcije. Dakle, fracti i jednak na X ≠ 1 i X ≠ -2.
Primjer 3. Smanjiti frakciju:
Primjer 4. Pojednostavite: 
Primjer 5. Izvoz: 
Primjer 6. Pojednostavite: 
Primjer 7. Pojednostavite: 
Primjer 8. Pojednostavite: 
Primjer 9. Izračunajte: 
.
Odluka.
Primjer 10. Pojednostavite izraz:
Odluka. 
Primjer 11. Odrediti frakciju, ako a
Odluka. 
.
Primjer 12. Bez iracionalnosti u denomutornom denomoteru
Odluka. U denominatoru imamo iracionalnost 2. stupnja, stoga će biti prepreka i brojnik, a nazivnik frakcije na izrazu konjugata, to jest, zbroj brojeva i , Onda u nazivniku imat ćemo razliku u kvadratima, koji eliminira iracionalnost.
Opcija - I. 1. Pojednostavite izraz: 5. Pojednostavite: 10. Izvršite radnju: 8. Smanjite frakciju 9. Izvršite radnju | Opcija - II. 1. Pojednostavite izraz: 2. Pronađite vrijednost izraza: 3. Predočite stupanj s frakcijskim pokazateljem u obliku korijena. 4. Stvorite navedeni izraz u obliku 5. Pojednostavite: 6. Zamijenite aritmetičke korijene stupnjeva frakcijskim indikatorom 7. Pripremite izraz u obliku frakcije, čiji nazivnik ne sadrži znak korijena 10. Izvršite radnju: 8. Smanjite frakciju 9. Izvršite radnju |
Opcija - III 1. Izvršite radnju: 2. Pronađite vrijednost izraza: 3. Predočite stupanj s frakcijskim pokazateljem u obliku korijena. 4. Stvorite navedeni izraz u oblikugdje je racionalni broj B - prirodni broj 5. Pojednostavite: 6. Zamijenite aritmetičke korijene stupnjeva frakcijskim indikatorom 7. Pripremite izraz u obliku frakcije, čiji nazivnik ne sadrži znak korijena 10. Izvršite radnju: 8. Smanjite frakciju 9. Izvršite radnju | Opcija - iv. 1. Izvršite radnju: 2. Pronađite vrijednost izraza: 3. Predočite stupanj s frakcijskim pokazateljem u obliku korijena. 4. Stvorite navedeni izraz u oblikugdje je racionalan broj, B - prirodni broj 5. Pojednostavite: 6. Zamijenite aritmetičke korijene stupnjeva frakcijskim indikatorom 7. Pripremite izraz u obliku frakcije, čiji nazivnik ne sadrži znak korijena 10. Izvršite radnju: 8. Smanjite frakciju 9. Izvršite radnju 3. Predočite stupanj s frakcijskim pokazateljem u obliku korijena. 4. Stvorite navedeni izraz u oblikugdje je racionalan broj, B - prirodni broj 5. Pojednostavite: 6. Zamijenite aritmetičke korijene stupnjeva frakcijskim indikatorom 7. Pripremite izraz u obliku frakcije, čiji nazivnik ne sadrži znak korijena 10. Izvršite radnju: 8. Smanjite frakciju 9. Izvršite radnju | Opcija - vi 1. Pojednostavite izraz: 2. Pronađite vrijednost izraza: 3. Predočite stupanj s frakcijskim pokazateljem u obliku korijena. 4. Stvorite navedeni izraz u oblikugdje racionalni broj, B - prirodni broj 5. Pojednostavite: 6. Zamijenite aritmetičke korijene stupnjeva frakcijskim indikatorom 7. Pripremite izraz u obliku frakcije, čiji nazivnik ne sadrži znak korijena 10. Izvršite radnju 8. Smanjite frakciju 9. Izvršite radnju |
