Aritmetička i geometrijska progresija
Teorijske informacije
Teorijske informacije
Geometrijska progresija |
||
Definicija |
Aritmetička progresija a n je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju d (d- razlika u progresiji) |
Geometrijska progresija b n je niz brojeva različitih od nule, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom istim brojem q (q- nazivnik progresije) |
Formula ponavljanja |
Za svaki prirodni n |
Za svaki prirodni n |
Formula n-ti član |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Karakteristično svojstvo |  |
|
| Zbroj prvih n članova |  |
 |
Primjeri zadataka s komentarima
Vježba 1
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6, a 2
Prema formuli n-tog člana:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Po stanju:
a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21 d .
Potrebno je pronaći razliku progresije:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
odgovor: a 22 = -48.
Zadatak 2
Nađi peti član geometrijske progresije: -3; 6;....
1. metoda (upotrebom formule n-člana)
Prema formuli za n-ti član geometrijske progresije:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Jer b 1 = -3,
2. metoda (koristeći rekurentnu formulu)
Budući da je nazivnik progresije -2 (q = -2), tada je:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
odgovor: b 5 = -48.
Zadatak 3
U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Pronađite sedamdeset peti član ove progresije.
Za aritmetičku progresiju karakteristično svojstvo ima oblik 
.
Stoga:
.
Zamijenimo podatke u formulu:
Odgovor: 95.
Zadatak 4
U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a n= 3n - 4. Nađite zbroj prvih sedamnaest članova.
Za pronalaženje zbroja prvih n članova aritmetičke progresije koriste se dvije formule:
.
Koji je unutra u ovom slučaju praktičniji za korištenje?
Po uvjetu je poznata formula za n-ti član izvorne progresije ( a n) a n= 3n - 4. Možete pronaći odmah i a 1, I a 16 bez pronalaska d. Stoga ćemo koristiti prvu formulu.
Odgovor: 368.
Zadatak 5
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Pronađite dvadeset i drugi član progresije.
Prema formuli n-tog člana:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
Pod uvjetom, ako a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21d. Potrebno je pronaći razliku progresije:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
odgovor: a 22 = -48.
Zadatak 6
Zapisano je nekoliko uzastopnih članova geometrijske progresije:
Pronađite član progresije označen s x.
Pri rješavanju ćemo koristiti formulu za n-ti član b n = b 1 ∙ q n - 1 Za geometrijske progresije. Prvi član progresije. Da biste pronašli nazivnik progresije q, trebate uzeti bilo koji od zadanih članova progresije i podijeliti ga s prethodnim. U našem primjeru, možemo uzeti i podijeliti sa. Dobijamo da je q = 3. Umjesto n, u formulu stavljamo 3, jer je potrebno pronaći treći član zadane geometrijske progresije.
Zamjenom pronađenih vrijednosti u formulu, dobivamo:
.
Odgovor: .
Zadatak 7
Od aritmetičkih progresija danih formulom n-tog člana odaberite onu za koju je zadovoljen uvjet a 27 > 9:
Budući da zadani uvjet mora biti zadovoljen za 27. član progresije, zamijenit ćemo 27 umjesto n u svakoj od četiri progresije. U 4. progresiji dobivamo:
.
Odgovor: 4.
Zadatak 8
U aritmetičkoj progresiji a 1= 3, d = -1,5. Navedite najveća vrijednost n za koje vrijedi nejednakost a n > -6.
Ili je aritmetika vrsta uređenog numeričkog niza, čija se svojstva proučavaju u školskom tečaju algebre. Ovaj članak detaljno raspravlja o tome kako pronaći zbroj aritmetičke progresije.
Kakvo je to napredovanje?
Prije nego što prijeđemo na pitanje (kako pronaći zbroj aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu govorimo.
Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti svakom prethodnom broju naziva se algebarska (aritmetička) progresija. Ova definicija, kada se prevede na matematički jezik, ima oblik:
Ovdje je i redni broj elementa retka a i. Dakle, znajući samo jedan početni broj, možete lako vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.
Lako se može pokazati da za razmatrani niz brojeva vrijedi sljedeća jednakost:
a n = a 1 + d * (n - 1).
To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, trebali biste dodati razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.
Koliki je zbroj aritmetičke progresije: formula
Prije davanja formule za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavan poseban slučaj. Progresija je dana prirodni brojevi od 1 do 10, trebate pronaći njihov zbroj. Budući da ima malo članova u progresiji (10), moguće je problem riješiti direktno, odnosno zbrojiti sve elemente redom.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Jednu stvar vrijedi razmotriti zanimljiva stvar: budući da se svaki član razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d = 1, tada će parno zbrajanje prvog s desetim, drugog s devetim i tako dalje dati isti rezultat. Stvarno:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Kao što vidite, postoji samo 5 ovih zbrojeva, odnosno točno dva puta manje od broja elemenata niza. Zatim množenjem broja zbrojeva (5) s rezultatom svakog zbroja (11) doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.
Ako generaliziramo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Ovaj izraz pokazuje da uopće nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i posljednjeg a n , kao i ukupni broj n uvjeti.
Smatra se da se Gauss prvi sjetio ove jednakosti kada je tražio rješenje zadanog problema. školski učitelj zadatak: zbrojiti prvih 100 cijelih brojeva.
Zbroj elemenata od m do n: formula
Formula navedena u prethodnom odlomku odgovara na pitanje kako pronaći zbroj aritmetičke progresije (prvi elementi), no često je u zadacima potrebno zbrojiti niz brojeva u sredini progresije. Kako to učiniti?
Na ovo pitanje najlakše ćemo odgovoriti na sljedećem primjeru: neka je potrebno pronaći zbroj članova od m-tog do n-tog. Da biste riješili problem, potrebno je predstaviti zadani segment od m do n progresije u obliku novog niza brojeva. U takvim m-ti prikazčlan a m će biti prvi, a a n će biti označen brojem n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za zbroj, dobit će se sljedeći izraz:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Primjer korištenja formula
Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.
U nastavku je dano niz brojeva, trebali biste pronaći zbroj njegovih članova, počevši od 5. i završavajući s 12.:
Zadani brojevi pokazuju da je razlika d jednaka 3. Pomoću izraza za n-ti element možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Poznavanje vrijednosti brojeva na krajevima zadanog algebarska progresija, a također znajući koje brojeve u retku zauzimaju, možete koristiti formulu za iznos dobiven u prethodnom odlomku. Ispostavit će se:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Vrijedno je napomenuti da se ova vrijednost može dobiti drugačije: prvo pronađite zbroj prvih 12 elemenata pomoću standardne formule, zatim izračunajte zbroj prva 4 elementa koristeći istu formulu, zatim oduzmite drugi od prvog zbroja.
Zbroj aritmetičke progresije.
Zbroj aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od osnovnog do sasvim solidnog.
Prvo, shvatimo značenje i formulu iznosa. A onda ćemo odlučiti. Za vlastito zadovoljstvo.) Značenje količine jednostavno je poput mukanja. Da biste pronašli zbroj aritmetičke progresije, samo trebate pažljivo zbrojiti sve njezine članove. Ako je ovih izraza malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno... dodavanje je dosadno.) U ovom slučaju formula dolazi u pomoć.
Formula za iznos je jednostavna:
Hajde da shvatimo koja su slova uključena u formulu. Ovo će mnogo toga razjasniti.
S n - zbroj aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svatkočlanova, sa prvi Po posljednji. To je važno. Točno se zbrajaju svičlanova u nizu, bez preskakanja ili preskakanja. I, upravo, počevši od prvi. U problemima poput pronalaženja zbroja trećeg i osmog člana, ili zbroja petog do dvadesetog člana, izravna primjena formule razočarat će.)
a 1 - prvičlan progresije. Ovdje je sve jasno, jednostavno je prvi broj reda.
a n- posljednjičlan progresije. Zadnji broj serije. Nije baš poznato ime, ali kada se primijeni na količinu, vrlo je prikladno. Onda ćete se sami uvjeriti.
n - broj posljednjeg člana. Važno je razumjeti da u formuli ovaj broj poklapa se s brojem dodanih pojmova.
Definirajmo pojam posljednjičlan a n. Varljivo pitanje: koji će član biti zadnji ako je dano beskrajan aritmetička progresija?)
Za pouzdan odgovor potrebno je razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i... pažljivo pročitati zadatak!)
U zadatku traženja zbroja aritmetičke progresije uvijek se (izravno ili neizravno) pojavljuje zadnji član, koje treba ograničiti. Inače, konačan, konkretan iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje je svejedno je li zadana progresija: konačna ili beskonačna. Nije važno kako je zadan: niz brojeva ili formula za n-ti član.
Najvažnije je razumjeti da formula radi od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puni naziv formule izgleda ovako: zbroj prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, t.j. n, određuje se isključivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije često šifrirane, da... Ali nema veze, u primjerima ispod otkrivamo te tajne.)
Primjeri zadataka o zbroju aritmetičke progresije.
Kao prvo, korisne informacije:
Glavna poteškoća u zadacima koji uključuju zbroj aritmetičke progresije je ispravna definicija elementi formule.
Pisci zadataka šifriraju upravo te elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je jednostavno dešifrirati. Pogledajmo detaljno nekoliko primjera. Počnimo sa zadatkom temeljenim na stvarnom GIA.
1. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a n = 2n-3,5. Pronađite zbroj njegovih prvih 10 članova.
Dobar posao. Jednostavno.) Što trebamo znati da bismo odredili iznos pomoću formule? Prvi član a 1, posljednji mandat a n, da broj posljednjeg člana n.
Gdje mogu dobiti broj posljednjeg člana? n? Da, tu, pod uvjetom! Kaže: nađi zbroj prvih 10 članova. Pa, s kojim će brojem biti? posljednji, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n Zamijenit ćemo u formulu a 10, a umjesto toga n- deset. Ponavljam, broj posljednjeg člana poklapa se s brojem članova.
Ostaje utvrditi a 1 I a 10. To se lako izračuna pomoću formule za n-ti član, koja je dana u tekstu problema. Ne znate kako to učiniti? Prisustvujte prethodnoj lekciji, bez ove nema načina.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbroj aritmetičke progresije. Sve što ostaje je zamijeniti ih i prebrojati:
To je to. Odgovor: 75.
Još jedan zadatak temeljen na GIA. Malo kompliciranije:
2. Zadana je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 =2,3. Pronađite zbroj njegovih prvih 15 članova.
Odmah napišemo formulu zbroja:
Ova formula nam omogućuje da pronađemo vrijednost bilo kojeg pojma prema njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Ostaje zamijeniti sve elemente u formulu za zbroj aritmetičke progresije i izračunati odgovor:
Odgovor: 423.
Usput, ako je u formuli zbroja umjesto a n Jednostavno zamijenimo formulu za n-ti član i dobijemo:
Navedimo slične i dobijmo novu formulu za zbroj članova aritmetičke progresije:
 |
Kao što vidite, to ovdje nije potrebno n-ti pojam a n. U nekim problemima ova formula jako pomaže, da... Možete se sjetiti ove formule. Ili ga jednostavno možete prikazati u pravo vrijeme, kao ovdje. Uostalom, uvijek morate zapamtiti formulu za zbroj i formulu za n-ti član.)
Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):
3. Nađi zbroj svih pozitivnih dvoznamenkasti brojevi, višekratnici tri.
Wow! Ni prvi član, ni zadnji, ni napredak uopće... Kako živjeti!?
Morat ćete misliti svojom glavom i iz uvjeta izvući sve elemente zbroja aritmetičke progresije. Znamo što su dvoznamenkasti brojevi. Sastoje se od dva broja.) Koji će biti dvoznamenkasti broj prvi? 10, vjerojatno.) A zadnja stvar dvoznamenkasti broj? 99, naravno! Za njim će i troznamenkaste...
Višekratnici od tri... Hm... Ovo su brojevi djeljivi s tri, evo! Deset nije djeljivo s tri, 11 nije djeljivo... 12... je djeljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete zapisati niz prema uvjetima problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Hoće li ovaj niz biti aritmetička progresija? Sigurno! Svaki pojam razlikuje se od prethodnog za striktno tri. Ako izrazu dodate 2 ili 4, recimo, rezultat, tj. novi broj više nije djeljiv s 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije: d = 3. Dobro će vam doći!)
Dakle, možemo sa sigurnošću zapisati neke parametre progresije:
Koji će biti broj? n zadnji član? Tko misli da je 99, kobno se vara... Brojke uvijek idu u nizu, ali naši članovi preskaču tri. Ne poklapaju se.
Ovdje postoje dva rješenja. Jedan način je za super marljive. Možete zapisivati progresiju, cijeli niz brojeva, prstom brojati članove.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Primijenimo li formulu na naš problem, otkrit ćemo da je 99 trideseti član progresije. Oni. n = 30.
Pogledajmo formulu za zbroj aritmetičke progresije:
Gledamo i radujemo se.) Iz izjave problema izvukli smo sve što je potrebno za izračunavanje iznosa:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Ostaje samo elementarna aritmetika. Zamijenimo brojeve u formulu i izračunamo:
Odgovor: 1665
Još jedna vrsta popularne zagonetke:
4. S obzirom na aritmetičku progresiju:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Pronađite zbroj članova od dvadesetog do trideset i četvrtog.
Gledamo formulu za iznos i... uzrujavamo se.) Formula, da vas podsjetim, izračunava iznos iz prvečlan. A u zadatku treba izračunati zbroj od dvadesetog... Formula neće raditi.
Možete, naravno, napisati cijelu progresiju u nizu i dodati članove od 20 do 34. Ali... to je nekako glupo i dugo traje, zar ne?)
Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju u dva dijela. Prvi dio će biti od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - od dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbroj članova prvog dijela S 1-19, zbrojimo ga sa zbrojem članova drugog dijela S 20-34, dobivamo zbroj progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Kao ovo:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Iz ovoga možemo vidjeti da se nalazi zbroj S 20-34 može se izvršiti jednostavnim oduzimanjem
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Uzimaju se u obzir oba iznosa s desne strane iz prvečlan, tj. standardna formula zbroja sasvim je primjenjiva na njih. Započnimo?
Ekstrahiramo parametre progresije iz izjave problema:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Da bismo izračunali zbrojeve prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Izračunavamo ih pomoću formule za n-ti član, kao u problemu 2:
a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Ništa nije ostalo. Od zbroja 34 člana oduzmi zbroj 19 članova:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Odgovor: 262,5
Jedna važna napomena! Postoji vrlo koristan trik u rješavanju ovog problema. Umjesto izravnog obračuna što ti treba (S 20-34), brojali smo nešto što bi se činilo nepotrebnim - S 1-19. I onda su odredili S 20-34, odbacivanje nepotrebnog iz cjelovitog rezultata. Ova vrsta “finte ušima” često vas spašava u gadnim problemima.)
U ovoj smo lekciji razmatrali probleme za koje je dovoljno razumjeti značenje zbroja aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)
Prilikom rješavanja bilo kojeg problema koji uključuje zbroj aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.
Formula za n-ti član:
Ove formule će vam odmah reći što trebate tražiti iu kojem smjeru razmišljati kako biste riješili problem. Pomaže.
A sada zadaci za samostalno rješavanje.
5. Odredi zbroj svih dvoznamenkastih brojeva koji nisu djeljivi s tri.
Cool?) Savjet je skriven u bilješci za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.
6. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nađite zbroj njegovih prva 24 člana.
Neobično?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takvi se problemi često nalaze u Državnoj akademiji znanosti.
7. Vasya je uštedio novac za odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučila sam najdražoj osobi (sebi) pokloniti nekoliko dana sreće). Živite lijepo ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više od prethodnog! Dok ne ponestane novca. Koliko je dana sreće imao Vasya?
Je li teško?) Pomoći će dodatna formula iz zadatka 2.
Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
