Ecuación de círculo. Ecuación del círculo encontrando la ecuación del círculo

Circulo Hay muchos puntos del avión equidistante a partir de este punto, llamado el centro.

Si el punto C es el centro del círculo, R es su radio, y M es un punto arbitrario del círculo, luego determinando el círculo

Igualdad (1) es ecuación del círculo Radio R con centro en el punto S.

Deje que un sistema de coordenadas de Cartian rectangular (Fig. 104) y el punto C ( pero; B.) - El centro del círculo del radio R. Sea M ( x; W.) - Punto arbitrario de este círculo.

Entonces, ¿cómo | cm | \u003d \\ (\\ sqrt ((x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2) \\), entonces la ecuación (1) se puede escribir como:

\\ (\\ sqrt ((x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2) \\) \u003d r

(x - A.) 2 + (u - B.) 2 \u003d R 2 (2)

La ecuación (2) se llama la ecuación general del círculo. o la ecuación del círculo del radio R con el centro en el punto ( pero; B.). Por ejemplo, la ecuación

(x. - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

hay una ecuación de un círculo de radio R \u003d 5 con un centro en el punto (1; -3).

Si el centro del círculo coincide con el comienzo de las coordenadas, la ecuación (2) toma la forma.

x. 2 + w. 2 \u003d R 2. (3)

La ecuación (3) se llama ecuación de la circunferencia canónica .

Tarea 1. Escriba la ecuación del círculo del radio R \u003d 7 con el centro al comienzo de las coordenadas.

Se obtendrá la sustitución directa del valor del radio en la ecuación (3).

x. 2 + w. 2 = 49.

Tarea 2. Escriba la ecuación del círculo del radio R \u003d 9 con el centro en el punto C (3; -6).

Sustituar el valor de los puntos de coordenada del punto C y el valor del radio en la fórmula (2), obtenemos

(h. - 3) 2 + (w. - (-6)) 2 \u003d 81 o ( h. - 3) 2 + (w. + 6) 2 = 81.

Tarea 3.Encuentra el centro y el radio del círculo.

(h. + 3) 2 + (w.-5) 2 =100.

Comparando esta ecuación con la ecuación común del círculo (2), vemos que pero = -3, b. \u003d 5, r \u003d 10. Por lo tanto, con (-3; 5), r \u003d 10.

Tarea 4.Demostrar que la ecuación

x. 2 + w. 2 + 4h. - 2y - 4 = 0

es una ecuación de círculo. Encuentra su centro y radio.

Transformamos la parte izquierda de esta ecuación:

x. 2 + 4h. + 4- 4 + w. 2 - 2w. +1-1-4 = 0

(h. + 2) 2 + (w. - 1) 2 = 9.

Esta ecuación es una ecuación de círculo con un centro en un punto (-2; 1); El radio del círculo es 3.

Tarea 5.Escriba una ecuación de un círculo con un centro en un punto con (-1; -1) con respecto a AB directo, si A (2; -1), B (- 1; 3).

Escribe la ecuación Direct AV:

o 4. h. + 3y-5 = 0.

Dado que el círculo se refiere a la línea, entonces el radio realizado hasta el punto de contacto es perpendicular a esta línea recta. Para encontrar el radio, es necesario encontrar la distancia desde el punto C (-1; -1): el centro del círculo a la línea recta 4 h. + 3y-5 = 0:

Escribir la ecuación del círculo deseado.

(x. +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Deje un círculo en el sistema de coordenadas rectangulares. x. 2 + w. 2 \u003d R 2. Considere su punto arbitrario m ( x; W.) (Fig. 105).

Deja que el radio-vector Om. \u003e PUNTOS M forma el ángulo de magnitud t. con una dirección positiva del eje sobre h., entonces la abscisa y el punto de ordenamiento m varían dependiendo de t.

(0 t.x e y a través de t.Encontrar

x. \u003d R cos. t. ; y \u003d R pecado. t. , 0 t.

Las ecuaciones (4) se llaman círculo paramétrico ecuaciones con centro al inicio de las coordenadas..

Tarea 6. El círculo está establecido por ecuaciones.

x. \u003d \\ (\\ Sqrt (3) \\) cos t., y \u003d \\ (\\ Sqrt (3) \\) pecado t., 0 t.

Escribe la ecuación canónica de este círculo.

De la condición de que sigue x. 2 \u003d 3 cos 2 t., w. 2 \u003d 3 Sin 2 t.. Plegando estas ecualidades hasta ahora

x. 2 + w. 2 \u003d 3 (cos 2 t.+ Sin 2. t.)

o x. 2 + w. 2 = 3

Clase: 8

El propósito de la lección: Ingrese la ecuación del círculo, enseña a los estudiantes a elaborar la ecuación del círculo en el dibujo terminado, para construir un círculo a lo largo de una ecuación determinada.

Equipo: Tablero interactivo.

Plan de estudios:

Momento organizacional - 3 min.
Reiteración. Organización de la actividad mental - 7 min.
Explicación del nuevo material. La salida de la ecuación del círculo es de 10 minutos.
Cierre del material estudiado- 20 min.
El resultado de la lección es de 5 minutos.

Durante las clases

2. Repetición:

− (Anexo 1 Diapositiva 2.) Escriba la fórmula para encontrar las coordenadas de la mitad del segmento;

− (Diapositiva 3) sdistancia de la fórmula de auditoría entre los puntos (longitud del segmento).

3. Explicación del nuevo material.

(Diapositivas 4 - 6) Definición de la ecuación del círculo. Retire la ecuación del círculo con el centro en el punto ( pero;b.) y con el centro al comienzo de las coordenadas.

(h. – pero ) 2 + (w. – b. ) 2 = R. 2 - Ecuación del círculo con el centro. DE (pero;b.) , radio R. , h. y W. – coordenadas de un punto de circunferencia arbitrarias. .

h. 2 + U. 2 = R. 2 - Ecuación del círculo con el centro al comienzo de las coordenadas.

(Diapositiva 7)

Para elaborar la ecuación del círculo, es necesario:

conocer las coordenadas del centro;
saber la longitud del radio;
sustituya las coordenadas del centro y la longitud del radio en la ecuación del círculo.

4. Resolver tareas.

En los problemas No. 1 - No. 6, haga las ecuaciones del círculo en dibujos preparados.

(Diapositiva 14)

№ 7. Llene una mesa.

(Diapositiva 15)

№ 8. Construir en cuadernos del círculo establecido por ecuaciones:

pero) ( h. – 5) 2 + (w. + 3) 2 = 36;
b.) (h. + 1) 2 + (w.– 7) 2 = 7 2 .

(Diapositiva 16)

№ 9. Encuentra las coordenadas del centro y la longitud del radio si Au - Diámetro del círculo.

Dado:		Decisión:
Dado:		R.	Coordenadas del centro
1	PERO(0 ; -6) EN(0 ; 2)	Au 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; Au 2 = 64; Au = 8 .	PERO(0; -6) EN(0 ; 2) DE(0 ; – 2) – centrar
2	PERO(-2 ; 0) EN(4 ; 0)	Au 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; Au 2 = 36; Au = 6.	PERO (-2;0) EN (4 ;0) DE(1 ; 0) – centrar

(Diapositiva 17)

№ 10. Haz la ecuación del círculo con el centro al comienzo de la coordenada que pasa por el punto. A(-12;5).

Decisión.

R 2. \u003d Ok 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R \u003d.13;

Ecuación del círculo: x 2 + y 2 \u003d 169 .

(Diapositiva 18)

№ 11. Haga una ecuación del círculo que pase por el origen de la coordenada con el centro en el punto DE(3; - 1).

Decisión.

R 2 \u003d. OS. 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Ecuación de círculo: ( x -3) 2 + (en +.1) 2 = 10.

(Diapositiva 19)

№ 12. Hacer una ecuación de círculo con el centro PERO(3; 2) pasar a través de EN(7;5).

Decisión.

1. Centro de Círculo - PERO(3;2);
2. R. = Au;
Au 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; Au = 5;
3. Círculo de ecuación ( h. – 3) 2 + (w. − 2) 2 = 25.

(Diapositiva 20)

№ 13. Compruebe si los puntos se encuentran PERO(1; -1), EN(0;8), DE(-3; -1) en el círculo definido por la ecuación ( h. + 3) 2 + (w. − 4) 2 = 25.

Decisión.

I.. Sustituamos las coordenadas del punto. PERO(1; -1) a la ecuación de la circunferencia:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - La igualdad es incorrecta, significa PERO(1; -1) no mientas en el círculo dado por la ecuación ( h. + 3) 2 + (w. − 4) 2 = 25.

II.. Sustituamos las coordenadas del punto. EN(0; 8) a la ecuación de la circunferencia:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
EN(0;8) mintiendo h. + 3) 2 + (w. − 4) 2 = 25.

III.Sustituamos las coordenadas del punto. DE(-3; -1) en la ecuación de la circunferencia:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 \u003d 25 - Igualdad correctamente, significa DE(-3; -1) mintiendo en el círculo dado por la ecuación ( h. + 3) 2 + (w. − 4) 2 = 25.

El resultado de la lección.

Repetir: la ecuación del círculo, la ecuación del círculo con el centro al comienzo de las coordenadas.
(Diapositiva 21) Tarea.

Ecuación de línea en el plano.

Presentamos iniciar el concepto de la ecuación de la línea en el sistema de coordenadas bidimensionales. Supongamos en el sistema de coordenadas cartesiano, se construyó una línea arbitraria $ l $ (Fig. 1).

Figura 1. Línea arbitraria en el sistema de coordenadas.

Definición 1.

Una ecuación con dos variables de $ X $ $ y $ se llama la ecuación de línea de $ l $ si la ecuación está satisfecha con las coordenadas de cualquier punto que pertenece a la línea $ l $ y no satisface ningún punto que no pertenezca a la $ L. $

Ecuación del círculo

Derivamos la ecuación de la circunferencia en el sistema de coordenadas cartesiano $ XOY $. Deje que el centro del círculo $ C $ haya coordinado $ (x_0, y_0) $, y el radio círculo es $ R $. Deje que el punto $ M $ con coordina $ (x, y) $: un punto arbitrario de este círculo (Fig. 2).

Figura 2. Círculo en el sistema de coordenadas cartesiano

La distancia desde el centro del círculo hasta el punto $ m $ se calcula de la siguiente manera.

Pero, desde $ M $ se encuentra en el círculo, entonces obtenemos $ cm \u003d R $. Entonces obtenemos lo siguiente

Ecuación (1) y hay una ecuación de círculo con un centro en el punto $ (x_0, y_0) $ y un radio de $ R $.

En particular, si el centro del círculo coincide con el inicio de las coordenadas. Entonces la ecuación de la circunferencia tiene la vista.

Ecuación directa.

Derivamos la ecuación directa de $ l $ en el sistema de coordenadas cartesiano $ XOY $. Deje que los puntos $ A $ y $ B $ tengan coordenadas de $ \\ izquierda \\ (x_1, \\ y_1 \\ derecha \\) $ y $ \\ (x_2, \\ y_2 \\) $, respectivamente, y los puntos $ A $ y $ b Se eligen $, así que, ¿qué es lo que es de $ 1 de $ l $ - un medio perpendicular al segmento de $ ab $. Elija un punto arbitrario $ M \u003d \\ (x, y \\) $ perteneciente a la directa $ l $ (Fig. 3).

Dado que directamente $ l $ es un medio perpendicular a una sección de $ a $, entonces el punto $ m $ es igual a los extremos de este segmento, es decir, $ am \u003d bm $.

Encuentre las longitudes de los datos de las partes por la fórmula de distancia entre los puntos:

Por eso

Denote por $ A \u003d 2 \\ a la izquierda (x_1-x_2 \\ derecha), \\ b \u003d 2 \\ izquierda (y_1-y_2 \\ derecha), \\ c \u003d (x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2- (x_1) ^ 2 - (Y_1) ^ 2 $, obtenemos que la ecuación directa en la coordenada del sistema cartesiano tiene el siguiente formulario:

Un ejemplo de la tarea de encontrar ecuaciones de líneas en el sistema de coordenadas cartesiano.

Ejemplo 1.

Encuentre la ecuación del círculo con el centro en el punto $ (2, \\ 4) $. Pasando por el origen y el eje directo, paralelo $ ox, $ pasando por su centro.

Decisión.

Primero encontramos la ecuación de este círculo. Para esto usaremos la ecuación general de la circunferencia (derivada de arriba). Dado que el centro del círculo se encuentra a $ $ (2, \\ 4) $, obtenemos

\\ [((X-2)) ^ 2 + ((y-4)) ^ 2 \u003d R ^ 2 \\]

Encontramos el radio Roundabout como la distancia desde el punto $ (2, \\ 4) $ hasta el punto $ (0.0) $

Obtenemos la ecuación de la circunferencia es:

\\ [((X-2)) ^ 2 + ((y-4)) ^ 2 \u003d 20 \\]

Ahora encontraremos la ecuación de la circunferencia, utilizando un caso especial 1. Recibir

LECCIÓN DEL TEMA: Ecuación del círculo

LECCIÓN DE OBJETIVOS:

Educativo: Para obtener la ecuación de la circunferencia, teniendo en cuenta la solución de este problema como una de las posibilidades de aplicar el método de coordenadas.

Ser capaz de:

– Reconozca la ecuación del círculo a lo largo de la ecuación propuesta, enseñe a los estudiantes a hacer la ecuación de círculo en el dibujo terminado, construir un círculo de acuerdo con una ecuación determinada.

Educativo : Formación de pensamiento crítico.

Desarrollando : El desarrollo de la capacidad de elaborar prescripciones algorítmicas y la capacidad de actuar de acuerdo con el algoritmo propuesto.

Ser capaz de:

– Ver el problema y describe sus soluciones.

– Exprese brevemente sus pensamientos oralmente y escribiendo.

Tipo de lección: Aseguramiento de nuevos conocimientos.

Equipo : PC, proyector multimedia, pantalla.

Plan de estudios:

1. Palabra de apertura - 3 min.

2. Actualización del conocimiento - 2 min.

3. Declaración del problema y su decisión -10 min.

4. Fijación frontal del nuevo material - 7 minutos.

5. Trabajo independiente en grupos - 15 min.

6. Presentación del trabajo: Discusión - 5 min.

7. El resultado de la lección. Tarea - 3 min.

Durante las clases

El propósito de esta etapa es: Actitud psicológica de los estudiantes; Participación de todos los estudiantes en el proceso educativo, creando una situación de éxito.

1. Tiempo de organización.

3 minutos

¡Tipo! Con un círculo, se reunió en 5 y 8º grado. ¿Qué sabes sobre ella?

Usted sabe muchos, y estos datos se pueden usar al resolver tareas geométricas. Pero para resolver problemas en los que se aplica el método de coordenada, esto no es suficiente.¿Por qué?

Absolutamente correcto.

Por lo tanto, el objetivo principal de la lección de hoy, pongo la ecuación del círculo en las propiedades geométricas de esta línea y el uso de ello para resolver tareas geométricas.

Déjalo irla lección de lema Las palabras del académico y enciclopedista de Asia Central al-Biruni serán: "El conocimiento es el más excelente de las posesiones. Todo el mundo lo luchan por él, no viene ".

Registre el tema de la lección en el cuaderno.

Definiendo un círculo.

Radio.

Diámetro.

Acorde. Etc.

Todavía no conocemos la visión general de la ecuación del círculo.

Los estudiantes enumeran todo lo que sabe sobre el círculo.

Diapositiva 2.

Diapositiva 3.

El propósito de la etapa es obtener una idea de la calidad del aprendizaje para aprender el material, para determinar el conocimiento de referencia.

2. Actualización del conocimiento.

2 minutos

Al despedir la ecuación del círculo. Necesitará una definición bien conocida del círculo y la fórmula, lo que le permite encontrar la distancia entre dos puntos por sus coordenadas.Recordemos estos hechos /PAGprincipal Estudiado anteriormente /:

– Anote el segmento del segmento de las coordenadas medias.

– Registre vector de cálculo de longitud de la fórmula.

– Anote la fórmula de encontrar la distancia entre los puntos. (Duración del segmento).

Ajuste de los registros ...

Calentamiento geométrico.

PuntosA (-1; 7) yEn (7; 1).

Calcule las coordenadas de la mitad del segmento AB y su longitud.

Comprueba la exactitud de la ejecución, corrige los cálculos ...

Un estudiante en la pizarra, y el resto en los cuadernos se registran fórmulas

El círculo se llama una forma geométrica que consiste en todos los puntos ubicados a una distancia dada desde este punto.

| AV | \u003d √ (XH) ² + (y -Y) ²

M (x; y), a (x; y)

Calcular: C (3; 4)

| AV | \u003d 10.

DE lite 4.

Diapositiva 5.

3. Formación de nuevos conocimientos.

12 minutos

Propósito: La formación del concepto es la ecuación de la circunferencia.

Resuelve la tarea:

En el sistema de coordenadas rectangulares, se construye un círculo con un centro a (x; y). M (x; y) - punto arbitrario del círculo. Encuentra el radio del círculo.

¿Se cumplirán las coordenadas de cualquier otro punto con esta igualdad? ¿Por qué?

Erige ambas partes de la igualdad en el cuadrado.Como resultado, tenemos:

r² \u003d (x - x) ² + (y -H) ² - ecuación de un círculo, donde (x; y) -kordinados del centro del círculo, (x; y) -cordina de un punto arbitrario de la Circunferencia del círculo, R-Radio.

Resuelve la tarea:

¿Qué tipo será la ecuación de la circunferencia con el centro al comienzo de las coordenadas?

Entonces, ¿qué se debe saber para compilar la ecuación del círculo?

Invita al algoritmo para compilar la ecuación del círculo.

Conclusión: ... escribe al cuaderno.

El radio se llama un segmento que conecta el centro del círculo con un punto arbitrario que se encuentra en el círculo. Por lo tanto, r \u003d | am | \u003d √ (x -) ² + (y -Y) ²

Cualquier punto del círculo se encuentra en este círculo.

Los estudiantes llevan a los registros en el cuaderno.

(0; 0) -Cordina del centro del círculo.

x² + u² \u003d r², donde R-Radio del círculo.

Coordenadas del centro del círculo, radio, cualquier punto de la circunferencia ...

Oferta algoritmo ...

Registre el algoritmo en el cuaderno.

Diapositiva 6.

Diapositiva 7.

Diapositiva 8.

El profesor registra la igualdad en la pizarra.

Diapositiva 9.

4. Consolidación primaria.

23 minutos

Propósito: La reproducción de los estudiantes acaba de percibir material para prevenir la pérdida de presentaciones formadas y conceptos.. Consolidación de nuevos conocimientos, ideas, conceptos basados \u200b\u200ben su Aplicaciones.

Control por zun.

Aplique los conocimientos obtenidos para resolver las siguientes tareas.

Una tarea: De las ecuaciones propuestas, nombre los números de los que son ecuaciones de circunferencia. Y si la ecuación es la ecuación del círculo, llame al centro las coordenadas y especifique el radio.

No todas las segundas ecuaciones con dos variables establecen un círculo.

4xqm + u² \u003d 4-ecuación de elipse.

x² + u² \u003d 0-punto.

x² + u² \u003d -4-esta ecuación no especifica ninguna forma.

¡Tipo! ¿Qué necesitas saber para elaborar la ecuación del círculo?

Decidir la tarea №966 p.245 (libro de texto).

El profesor llama al estudiante a la junta.

¿Es suficiente que se indiquen en la condición del problema para elaborar la ecuación del círculo?

Una tarea:

Escriba la ecuación del círculo con el centro al comienzo de las coordenadas y el diámetro 8.

Una tarea : Construyendo un círculo.

¿El centro tiene coordenadas?

Determinar el radio ... y construir

Tarea en la página 263. (Tutorial) desmontar verbalmente.

Usando el problema de resolver el problema con P.243, resuelva la tarea:

Haga una ecuación de círculo con un centro en el punto A (3; 2) si el círculo pasa a través del punto en (7; 5).

1) (X-5) ² + (Y-3) ² \u003d 36- Ecuación del círculo; (5; 3), R \u003d 6.

2) (x - 1) ² + u² \u003d 49- ecuación del círculo; (1; 0), r \u003d 7.

3) x² + u² \u003d 7- ecuación del círculo; (0; 0), r \u003d √7.

4) (x + 3) ² + (y-8) ² \u003d 2- ecuación del círculo; (-3; 8), r \u003d √2.

5) 4xqm + u² \u003d 4 no es una ecuación de círculo.

6) x² + u² \u003d 0- no es una ecuación de círculo.

7) x² + u² \u003d -4- no es una ecuación de círculo.

Conozca las coordenadas del centro del círculo.

La longitud del radio.

Para sustituir las coordenadas del centro y la longitud del radio a la ecuación de la circunferencia de la forma general.

Decide la tarea No. 966 p.245 (libro de texto).

Los datos son suficientes.

Resuelve la tarea.

Dado que el diámetro del círculo es el doble de su radio, entonces r \u003d 8 ÷ 2 \u003d 4. Por lo tanto, x² + u² \u003d 16.

Realizar la construcción de círculos

Trabajar en el libro de texto. Tarea en la página 263.

Danamente: A (3; 2) Centro Centrado; En (7; 5) є (A; R)

Buscar: ecuación de círculo

Solución: R² \u003d (XH) ² + (Y -Y) ²

r² \u003d (x -3) ² + (y -2) ²

r \u003d ab, r² \u003d av²

r² \u003d (7-3) ² + (5-2) ²

r² \u003d 25.

(x -3) ² + (y -2) ² \u003d 25

Respuesta: (x -3) ² + (y -2) ² \u003d 25

Diapositiva 10-13.

Resolviendo tareas típicas, pronunciando una solución para resolver en el habla.

El maestro llama a un estudiante a registrar la ecuación resultante.

Volver a la diapositiva 9

Discusión sobre el plan de decisión para esta tarea.

Diapositiva. quince. El maestro llama a un estudiante a la Junta para resolver esta tarea.

Diapositiva 16.

Diapositiva 17.

5. El resultado de la lección.

5 minutos

Reflexión de la actividad en la lección.

Tarea: §3, P.91, verifique las preguntas №16,17.

Tareas Número 959 (B, G, D), 967.

Tarea para calificación adicional (problema problemático): construir un círculo especificado por la ecuación

x² + 2x + u²-4th \u003d 4.

¿De qué pasa con la lección con la que hablamos?

¿Qué querías conseguir?

¿Qué propósito se puso en la lección?

¿Qué tareas nos permite resolver la "apertura" hecha por nosotros?

¿Cuál de ustedes cree que alcanzó la meta establecida en la lección del maestro por un $ 100%, en un 50%; ¿No llegó a la meta ...?

Estimacion.

Tarea récord.

Los estudiantes responden preguntas suministradas por el profesor. Conducir el autoanálisis de las propias actividades.

Los estudiantes deben expresarse en el resultado de la palabra y formas de lograr.