Movimiento curvilíneo uniformemente acelerado

Los movimientos curvilíneos son movimientos cuyas trayectorias no son rectas, sino líneas curvas. Los planetas y las aguas de los ríos se mueven a lo largo de trayectorias curvilíneas.

El movimiento curvilíneo es siempre un movimiento con aceleración, incluso si el valor absoluto de la velocidad es constante. Movimiento curvilíneo con aceleración constante siempre ocurre en el plano en el que se ubican los vectores de aceleración y las velocidades iniciales del punto. En el caso de un movimiento curvilíneo con aceleración constante en el plano xOy, las proyecciones vx y vy de su velocidad sobre los ejes Ox y Oy y las coordenadas xey del punto en cualquier momento t están determinadas por las fórmulas

Movimiento desigual. velocidad aproximada

Ningún cuerpo se mueve todo el tiempo velocidad constante. Cuando el auto comienza a moverse, se mueve cada vez más rápido. Puede moverse de manera constante durante un tiempo, pero luego disminuye la velocidad y se detiene. En este caso, el coche recorre diferentes distancias al mismo tiempo.

El movimiento en el que un cuerpo recorre longitudes desiguales en intervalos de tiempo iguales se llama desigual. Con tal movimiento, la velocidad no permanece sin cambios. En este caso sólo podemos hablar de velocidad media.

La velocidad promedio muestra la distancia que recorre un cuerpo por unidad de tiempo. Es igual a la relación entre el desplazamiento del cuerpo y el tiempo de movimiento. La velocidad promedio, como la velocidad de un cuerpo durante un movimiento uniforme, se mide en metros divididos por un segundo. Para caracterizar el movimiento con mayor precisión, en física se utiliza la velocidad instantánea.

La velocidad de un cuerpo en un momento dado del tiempo o en un punto dado de la trayectoria se llama velocidad instantánea. La velocidad instantánea es una cantidad vectorial y se dirige de la misma manera que el vector de desplazamiento. Puedes medir la velocidad instantánea usando un velocímetro. En el Sistema Internacional la velocidad instantánea se mide en metros divididos por segundos.

velocidad de movimiento del punto desigual

Movimiento de un cuerpo en círculo.

El movimiento curvilíneo es muy común en la naturaleza y la tecnología. Es más compleja que una línea recta, ya que existen muchas trayectorias curvas; este movimiento siempre se acelera, incluso cuando el módulo de velocidad no cambia.

Pero el movimiento a lo largo de cualquier trayectoria curva se puede representar aproximadamente como un movimiento a lo largo de arcos de círculo.

Cuando un cuerpo se mueve en círculo, la dirección del vector velocidad cambia de un punto a otro. Por tanto, cuando hablan de la velocidad de dicho movimiento, se refieren a velocidad instantánea. El vector de velocidad se dirige tangencialmente al círculo y el vector de desplazamiento se dirige a lo largo de las cuerdas.

El movimiento circular uniforme es un movimiento durante el cual el módulo de velocidad del movimiento no cambia, solo cambia su dirección. La aceleración de dicho movimiento siempre está dirigida hacia el centro del círculo y se llama centrípeta. Para encontrar la aceleración de un cuerpo que se mueve en círculo, es necesario dividir el cuadrado de la velocidad por el radio del círculo.

Además de la aceleración, el movimiento de un cuerpo en círculo se caracteriza por las siguientes cantidades:

El período de rotación de un cuerpo es el tiempo durante el cual el cuerpo realiza una revolución completa. El período de rotación se designa con la letra T y se mide en segundos.

La frecuencia de rotación de un cuerpo es el número de revoluciones por unidad de tiempo. ¿La velocidad de rotación está indicada con una letra? y se mide en hercios. Para encontrar la frecuencia, debes dividir uno por el período.

La velocidad lineal es la relación entre el movimiento de un cuerpo y el tiempo. Para encontrar la velocidad lineal de un cuerpo en un círculo, es necesario dividir la circunferencia por el período (la circunferencia es igual a 2? multiplicado por el radio).

Velocidad angular - cantidad física, igual a la relación entre el ángulo de rotación del radio del círculo a lo largo del cual se mueve el cuerpo y el tiempo de movimiento. ¿La velocidad angular se indica con una letra? y se mide en radianes divididos por segundo. ¿Puedes encontrar la velocidad angular dividiendo 2? por un periodo de. Velocidad angular y velocidad lineal entre sí. Para encontrar la velocidad lineal, es necesario multiplicar la velocidad angular por el radio del círculo.

Figura 6. Movimiento circular, fórmulas.

Como bien sabes, según la forma de la trayectoria, el movimiento se divide en rectilíneo Y con línea no recta. Aprendimos cómo trabajar con movimiento rectilíneo en lecciones anteriores, es decir, a resolver el principal problema de la mecánica para este tipo de movimiento.

Sin embargo, está claro que en el mundo real nos ocupamos con mayor frecuencia de un movimiento curvilíneo, cuando la trayectoria es una línea curva. Ejemplos de tal movimiento son la trayectoria de un cuerpo lanzado en ángulo con respecto al horizonte, el movimiento de la Tierra alrededor del Sol e incluso la trayectoria del movimiento de sus ojos, que ahora siguen esta nota.

Esta lección estará dedicada a la cuestión de cómo se resuelve el principal problema de la mecánica en el caso del movimiento curvilíneo.

Para empezar, determinemos qué diferencias fundamentales existen en el movimiento curvilíneo (Fig. 1) en relación con el movimiento rectilíneo y a qué conducen estas diferencias.

Arroz. 1. Trayectoria del movimiento curvilíneo

Hablemos de cómo describir convenientemente el movimiento de un cuerpo cuando movimiento curvilíneo.

El movimiento se puede dividir en secciones separadas, en cada una de las cuales el movimiento puede considerarse rectilíneo (Fig. 2).

Arroz. 2. Dividir el movimiento curvilíneo en secciones movimiento rectilíneo

Sin embargo, el siguiente enfoque es más conveniente. Imaginaremos este movimiento como una combinación de varios movimientos a lo largo de arcos circulares (Fig. 3). Tenga en cuenta que tales particiones son menos que en el caso anterior, además, el movimiento a lo largo del círculo es curvilíneo. Además, los ejemplos de movimiento en círculo son muy comunes en la naturaleza. De esto podemos concluir:

Para describir el movimiento curvilíneo, debes aprender a describir el movimiento en un círculo y luego movimiento voluntario representado como conjuntos de movimientos a lo largo de arcos circulares.

Arroz. 3. Dividir el movimiento curvilíneo en movimiento a lo largo de arcos circulares

Entonces, comencemos el estudio del movimiento curvilíneo estudiando el movimiento uniforme en un círculo. Averigüemos cuáles son las diferencias fundamentales entre el movimiento curvilíneo y el movimiento rectilíneo. Para empezar, recordemos que en noveno grado estudiamos el hecho de que la velocidad de un cuerpo cuando se mueve en círculo se dirige tangente a la trayectoria (Fig. 4). Por cierto, puedes observar este hecho experimentalmente si observas cómo se mueven las chispas cuando se utiliza una piedra de afilar.

Consideremos el movimiento de un cuerpo a lo largo de un arco circular (Fig. 5).

Arroz. 5. Velocidad del cuerpo al moverse en círculo.

Tenga en cuenta que en en este caso el módulo de velocidad del cuerpo en un punto es igual al módulo de velocidad del cuerpo en el punto:

Sin embargo, un vector no es igual a un vector. Entonces, tenemos un vector de diferencia de velocidad (Fig.6):

Arroz. 6. Vector de diferencia de velocidad

Además, el cambio de velocidad se produjo después de un tiempo. Entonces obtenemos la combinación familiar:

Esto no es más que un cambio de velocidad durante un período de tiempo, o aceleración de un cuerpo. Se puede sacar una conclusión muy importante:

Se acelera el movimiento a lo largo de una trayectoria curva. La naturaleza de esta aceleración es un cambio continuo en la dirección del vector velocidad.

Observemos una vez más que, incluso si se dice que el cuerpo se mueve uniformemente en un círculo, se quiere decir que el módulo de velocidad del cuerpo no cambia. Sin embargo, dicho movimiento siempre es acelerado, ya que cambia la dirección de la velocidad.

En noveno grado, estudiaste a qué equivale esta aceleración y cómo se dirige (Fig. 7). Aceleración centrípeta siempre dirigido hacia el centro del círculo por el que se mueve el cuerpo.

Arroz. 7. Aceleración centrípeta

El módulo de aceleración centrípeta se puede calcular mediante la fórmula:

Pasemos a la descripción del movimiento uniforme de un cuerpo en círculo. Acordemos que la velocidad que usaste al describir el movimiento de traslación ahora se llamará velocidad lineal. Y por velocidad lineal entenderemos la velocidad instantánea en el punto de la trayectoria de un cuerpo en rotación.

Arroz. 8. Movimiento de puntos del disco.

Considere un disco que gira en el sentido de las agujas del reloj para mayor precisión. En su radio marcamos dos puntos y (Fig. 8). Consideremos su movimiento. Con el tiempo, estos puntos se moverán a lo largo de los arcos del círculo y se convertirán en puntos y. Es obvio que el punto se ha movido más que el punto. De esto podemos concluir que cuanto más lejos esté un punto del eje de rotación, mayor será la velocidad lineal con la que se mueve.

Sin embargo, si miras de cerca los puntos y , podemos decir que el ángulo en el que giraban con respecto al eje de rotación se mantuvo sin cambios. Son las características angulares las que usaremos para describir el movimiento en un círculo. Tenga en cuenta que para describir el movimiento circular podemos usar esquina características.

Comencemos a considerar el movimiento en círculo con el caso más simple: movimiento uniforme en círculo. Recordemos que el movimiento de traslación uniforme es un movimiento en el que el cuerpo realiza movimientos iguales durante períodos de tiempo iguales. Por analogía, podemos dar la definición de movimiento uniforme en un círculo.

El movimiento circular uniforme es un movimiento en el que el cuerpo gira ángulos iguales durante intervalos de tiempo iguales.

De manera similar al concepto de velocidad lineal, se introduce el concepto de velocidad angular.

Velocidad angular del movimiento uniforme ( es una cantidad física igual a la relación entre el ángulo que giró el cuerpo y el tiempo durante el cual ocurrió esta rotación.

En física, la medida de ángulo en radianes se utiliza con mayor frecuencia. Por ejemplo, el ángulo b es igual a radianes. La velocidad angular se mide en radianes por segundo:

Encontremos la conexión entre la velocidad angular de rotación de un punto y la velocidad lineal de este punto.

Arroz. 9. Relación entre velocidad angular y lineal.

Al girar, un punto recorre un arco de longitud, girando formando un ángulo. De la definición de la medida en radianes de un ángulo podemos escribir:

Dividamos los lados izquierdo y derecho de la igualdad por el período de tiempo durante el cual se realizó el movimiento, luego usemos la definición de velocidades angulares y lineales:

Tenga en cuenta que cuanto más lejos esté un punto del eje de rotación, mayor será su velocidad lineal. Y los puntos ubicados en el propio eje de rotación están inmóviles. Un ejemplo de esto es un carrusel: cuanto más cerca estés del centro del carrusel, más fácil te resultará permanecer en él.

Esta dependencia de las velocidades lineales y angulares se utiliza en los satélites geoestacionarios (satélites que siempre están por encima del mismo punto superficie de la Tierra). Gracias a estos satélites podemos recibir señales de televisión.

Recordemos que antes introdujimos los conceptos de período y frecuencia de rotación.

El período de rotación es el tiempo de una revolución completa. El período de rotación se indica con una letra y se mide en segundos SI:

La frecuencia de rotación es una cantidad física igual al número de revoluciones que da un cuerpo por unidad de tiempo.

La frecuencia se indica con una letra y se mide en segundos recíprocos:

Están relacionados por la relación:

Existe una relación entre la velocidad angular y la frecuencia de rotación del cuerpo. Si recordamos que una revolución completa es igual a , es fácil ver que la velocidad angular es:

Sustituyendo estas expresiones en la relación entre velocidad angular y lineal, podemos obtener la dependencia de la velocidad lineal del período o frecuencia:

Anotemos también la relación entre la aceleración centrípeta y estas cantidades:

Por tanto, conocemos la relación entre todas las características del movimiento circular uniforme.

Resumamos. En esta lección comenzamos a describir el movimiento curvilíneo. Entendimos cómo podemos conectar el movimiento curvilíneo con el movimiento circular. El movimiento circular siempre es acelerado y la presencia de aceleración determina el hecho de que la velocidad siempre cambia de dirección. Esta aceleración se llama centrípeta. Finalmente, recordamos algunas características del movimiento circular (velocidad lineal, velocidad angular, período y frecuencia de rotación) y encontramos las relaciones entre ellas.

Bibliografía

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AV. Peryshkin, V.V. Krauklis. Curso de física. T. 1.- M.: Estado. maestro ed. mín. educación de la RSFSR, 1957.

Аyp.ru ().
Wikipedia ().

Tarea

Habiendo resuelto los problemas de Esta lección, puede prepararse para las preguntas 1 del GIA y las preguntas A1, A2 del Examen Estatal Unificado.

Problemas 92, 94, 98, 106, 110 - sáb. problemas a.p. Rymkevich, ed. 10
Calcule la velocidad angular de las manecillas de minutos, segundos y horas del reloj. Calcula la aceleración centrípeta que actúa sobre las puntas de estas flechas si el radio de cada una es de un metro.

Durante el movimiento curvilíneo, la dirección del vector velocidad cambia. Al mismo tiempo, su módulo, es decir, su longitud, también puede cambiar. En este caso, el vector de aceleración se descompone en dos componentes: tangente a la trayectoria y perpendicular a la trayectoria (Fig. 10). El componente se llama tangencial aceleración (tangencial), componente – normal(aceleración centrípeta.

Aceleración durante el movimiento curvo.

La aceleración tangencial caracteriza la tasa de cambio en la velocidad lineal y la aceleración normal caracteriza la tasa de cambio en la dirección del movimiento.

La aceleración total es igual a la suma vectorial de las aceleraciones tangencial y normal:

(15)

El módulo de aceleración total es igual a:

Consideremos el movimiento uniforme de un punto alrededor de un círculo. Donde Y . Sea en el momento considerado t el punto está en la posición 1 (Fig. 11). Después del tiempo Δt, el punto estará en la posición 2, habiendo pasado el camino Δs, igual al arco 1-2. En este caso, la velocidad del punto v aumenta Δv, como resultado de lo cual el vector de velocidad, que permanece sin cambios en magnitud, gira en un ángulo Δφ , coincidiendo en tamaño con el ángulo central basado en un arco de longitud Δs:

(16)

donde R es el radio del círculo a lo largo del cual se mueve el punto. Encontremos el incremento del vector velocidad. Para hacer esto, muevamos el vector de modo que su inicio coincida con el inicio del vector. Entonces el vector estará representado por un segmento dibujado desde el final del vector hasta el final del vector. . Este segmento sirve como base de un triángulo isósceles con lados y y el ángulo Δφ en el vértice. Si el ángulo Δφ es pequeño (lo cual es cierto para Δt pequeño), para los lados de este triángulo podemos escribir aproximadamente:

Sustituyendo aquí Δφ de (16), obtenemos una expresión para el módulo del vector:

Dividiendo ambos lados de la ecuación por Δt y pasando al límite, obtenemos el valor de la aceleración centrípeta:

Aquí las cantidades v Y R son constantes, por lo que pueden llevarse más allá del signo de límite. El límite de relación es el módulo de velocidad. También se le llama velocidad lineal.

Radio de curvatura

El radio del círculo R se llama radio de curvatura trayectorias. La inversa de R se llama curvatura de la trayectoria:

donde R es el radio del círculo en cuestión. Si α es el ángulo central correspondiente al arco de círculo s, entonces, como se sabe, la relación entre R, α y s se cumple:

s = Rα. (18)

El concepto de radio de curvatura se aplica no sólo a un círculo, sino también a cualquier línea curva. El radio de curvatura (o su valor inverso, curvatura) caracteriza el grado de curvatura de la línea. Cuanto menor es el radio de curvatura (respectivamente, mayor es la curvatura), más fuertemente se curva la línea. Echemos un vistazo más de cerca a este concepto.

El círculo de curvatura de una línea plana en un cierto punto A es la posición límite de un círculo que pasa por el punto A y otros dos puntos B 1 y B 2 cuando se acercan infinitamente al punto A (en la Fig. 12 la curva está dibujada por un línea continua y el círculo de curvatura mediante una línea de puntos). El radio del círculo de curvatura da el radio de curvatura de la curva en cuestión en el punto A, y el centro de este círculo da el centro de curvatura de la curva para el mismo punto A.

En los puntos B 1 y B 2, dibuje las tangentes B 1 D y B 2 E a un círculo que pasa por los puntos B 1, A y B 2. Las normales a estas tangentes B 1 C y B 2 C representarán los radios R del círculo y se cortarán en su centro C. Introduzcamos el ángulo Δα entre las normales B1 C y B 2 C; obviamente, es igual al ángulo entre las tangentes B 1 D y B 2 E. Denotemos la sección de la curva entre los puntos B 1 y B 2 como Δs. Luego según la fórmula (18):

Círculo de curvatura de una línea curva plana.

Determinar la curvatura de una curva plana en diferentes puntos.

En la Fig. La figura 13 muestra círculos de curvatura de una línea plana en diferentes puntos. En el punto A 1, donde la curva es más plana, el radio de curvatura es mayor que en el punto A 2, respectivamente, la curvatura de la línea en el punto A 1 será menor que en el punto A 2. En el punto A 3 la curva es incluso más plana que en los puntos A 1 y A 2, por lo que el radio de curvatura en este punto será mayor y la curvatura menor. Además, el círculo de curvatura en el punto A 3 se encuentra al otro lado de la curva. Por lo tanto, al valor de la curvatura en este punto se le asigna un signo opuesto al signo de la curvatura en los puntos A 1 y A 2: si la curvatura en los puntos A 1 y A 2 se considera positiva, entonces la curvatura en el punto A 3 será negativo.

6. Movimiento curvilíneo. Desplazamiento angular, velocidad angular y aceleración de un cuerpo. Trayectoria y desplazamiento durante el movimiento curvilíneo de un cuerpo.

movimiento curvilíneo– es un movimiento cuya trayectoria es una línea curva (por ejemplo, un círculo, una elipse, una hipérbola, una parábola). Un ejemplo de movimiento curvilíneo es el movimiento de los planetas, el final de la manecilla de un reloj a lo largo de una esfera, etc. En general velocidad curvilínea cambios de magnitud y dirección.

Movimiento curvilíneo de un punto material. se considera movimiento uniforme si el módulo velocidad constante (por ejemplo, movimiento uniforme en un círculo) y uniformemente acelerado si el módulo y la dirección velocidad cambios (por ejemplo, el movimiento de un cuerpo lanzado en ángulo con la horizontal).

Arroz. 1.19. Trayectoria y vector de movimiento durante el movimiento curvilíneo.

Al moverse por un camino curvo vector de desplazamiento dirigido a lo largo de la cuerda (Fig. 1.19), y yo- longitud trayectorias . La velocidad instantánea del cuerpo (es decir, la velocidad del cuerpo en un punto dado de la trayectoria) se dirige tangencialmente al punto de la trayectoria donde se encuentra actualmente el cuerpo en movimiento (figura 1.20).

Arroz. 1.20. Velocidad instantánea durante el movimiento curvo.

El movimiento curvilíneo es siempre un movimiento acelerado. Eso es aceleración durante el movimiento curvo siempre está presente, incluso si el módulo de velocidad no cambia, sino que sólo cambia la dirección de la velocidad. El cambio de velocidad por unidad de tiempo es aceleración tangencial :

Dónde v τ ,v 0 – valores de velocidad en el momento del tiempo t 0 +Δt Y t 0 respectivamente.

aceleración tangencial en un punto dado de la trayectoria, la dirección coincide con la dirección de la velocidad de movimiento del cuerpo o es opuesta a ella.

aceleración normal es el cambio de velocidad en dirección por unidad de tiempo:

aceleración normal dirigido a lo largo del radio de curvatura de la trayectoria (hacia el eje de rotación). La aceleración normal es perpendicular a la dirección de la velocidad.

Aceleración centrípeta es la aceleración normal durante el movimiento circular uniforme.

Aceleración total durante el movimiento curvilíneo uniforme de un cuerpo. es igual a:

El movimiento de un cuerpo a lo largo de una trayectoria curva se puede representar aproximadamente como un movimiento a lo largo de arcos de ciertos círculos (figura 1.21).

Arroz. 1.21. Movimiento de un cuerpo durante el movimiento curvilíneo.

movimiento curvilíneo

Movimientos curvilíneos– movimientos cuyas trayectorias no son rectas, sino curvas. Los planetas y las aguas de los ríos se mueven a lo largo de trayectorias curvilíneas.

El movimiento curvilíneo es siempre un movimiento con aceleración, incluso si el valor absoluto de la velocidad es constante. El movimiento curvilíneo con aceleración constante siempre ocurre en el plano en el que se encuentran los vectores de aceleración y las velocidades iniciales del punto. En el caso de un movimiento curvilíneo con aceleración constante en el plano. xoy proyecciones v X Y v y su velocidad en el eje Buey Y Oye y coordenadas X Y y puntos en cualquier momento t determinado por fórmulas

Un caso especial de movimiento curvilíneo es el movimiento circular. El movimiento circular, incluso uniforme, siempre es un movimiento acelerado: el módulo de velocidad siempre se dirige tangencialmente a la trayectoria, cambiando constantemente de dirección, por lo que el movimiento circular siempre ocurre con aceleración centrípeta donde r– radio del círculo.

El vector de aceleración cuando se mueve en círculo se dirige hacia el centro del círculo y es perpendicular al vector de velocidad.

En el movimiento curvilíneo, la aceleración se puede representar como la suma de las componentes normal y tangencial:

La aceleración normal (centrípeta) se dirige hacia el centro de curvatura de la trayectoria y caracteriza el cambio de velocidad en la dirección:

v – valor de velocidad instantánea, r– radio de curvatura de la trayectoria en un punto dado.

La aceleración tangencial (tangencial) se dirige tangencialmente a la trayectoria y caracteriza el cambio en el módulo de velocidad.

La aceleración total con la que se mueve un punto material es igual a:

Además de la aceleración centrípeta, las características más importantes del movimiento circular uniforme son el período y la frecuencia de rotación.

Periodo de circulación- este es el tiempo durante el cual el cuerpo completa una revolución .

El período está indicado por la letra. t(c) y está determinado por la fórmula:

Dónde t- tiempo de circulación, PAG- el número de revoluciones completadas durante este tiempo.

Frecuencia- esta es una cantidad numéricamente igual al número de revoluciones completadas por unidad de tiempo.

La frecuencia se denota con una letra griega (nu) y se encuentra mediante la fórmula:

La frecuencia se mide en 1/s.

El período y la frecuencia son cantidades mutuamente inversas:

Si un cuerpo se mueve en círculo con velocidad v, hace una revolución, entonces la distancia recorrida por este cuerpo se puede encontrar multiplicando la velocidad v para el tiempo de una revolución:

l = vT. Por otro lado, este camino es igual a la circunferencia del círculo 2π r. Es por eso

vT = 2π r,

Dónde w(t-1) - velocidad angular.

A una frecuencia de rotación constante, la aceleración centrípeta es directamente proporcional a la distancia desde la partícula en movimiento al centro de rotación.

Velocidad angular (w) – un valor igual a la relación entre el ángulo de rotación del radio en el que se encuentra el punto de rotación y el período de tiempo durante el cual se produjo esta rotación:

Relación entre velocidades lineales y angulares:

El movimiento de un cuerpo puede considerarse conocido sólo cuando se sabe cómo se mueve cada punto. El movimiento más simple de los cuerpos sólidos es el de traslación. Progresivo llamado movimiento sólido, en el que cualquier línea recta trazada en este cuerpo se mueve paralela a sí misma.

Considerando el movimiento curvilíneo de un cuerpo, veremos que su velocidad es diferente en distintos momentos. Incluso en el caso en que la magnitud de la velocidad no cambia, todavía hay un cambio en la dirección de la velocidad. En el caso general, tanto la magnitud como la dirección de la velocidad cambian.

Así, durante el movimiento curvilíneo, la velocidad cambia continuamente, de modo que este movimiento se produce con aceleración. Para determinar esta aceleración (en magnitud y dirección), es necesario encontrar el cambio de velocidad como un vector, es decir, encontrar el incremento en la magnitud de la velocidad y el cambio en su dirección.

Arroz. 49. Cambio de velocidad durante el movimiento en curva.

Supongamos, por ejemplo, que un punto que se mueve curvilíneamente (Fig. 49) en algún momento tenga una velocidad y, después de un corto período de tiempo, una velocidad. El incremento de velocidad es la diferencia entre los vectores y . Dado que estos vectores tienen diferentes direcciones, es necesario tomar su diferencia vectorial. El incremento de velocidad estará expresado por el vector representado por el lado del paralelogramo con la diagonal y el otro lado. La aceleración es la relación entre el aumento de velocidad y el período de tiempo durante el cual se produjo este aumento. Esto significa aceleración

La dirección coincide con el vector.

Eligiendo un valor suficientemente pequeño llegamos al concepto de aceleración instantánea (cf. § 16); cuando sea arbitrario, el vector representará la aceleración promedio durante un período de tiempo.

La dirección de la aceleración durante el movimiento curvilíneo no coincide con la dirección de la velocidad, mientras que en el movimiento rectilíneo estas direcciones coinciden (o son opuestas). Para encontrar la dirección de la aceleración durante el movimiento curvilíneo, basta con comparar las direcciones de las velocidades en dos puntos cercanos de la trayectoria. Dado que las velocidades se dirigen tangentes a la trayectoria, de la forma de la trayectoria misma se puede concluir en qué dirección de la trayectoria se dirige la aceleración. De hecho, dado que la diferencia de velocidades en dos puntos cercanos de la trayectoria siempre está dirigida en la dirección donde la trayectoria es curva, significa que la aceleración siempre está dirigida hacia la concavidad de la trayectoria. Por ejemplo, cuando una pelota rueda a lo largo de una rampa curva (Fig. 50), su aceleración se divide en secciones y se dirige como lo muestran las flechas, y esto no depende de si la pelota rueda hacia o en la dirección opuesta.

Arroz. 50. Las aceleraciones durante el movimiento curvilíneo siempre se dirigen hacia la concavidad de la trayectoria.

Arroz. 51. Deducir la fórmula de la aceleración centrípeta.

Consideremos el movimiento uniforme de un punto a lo largo de una trayectoria curvilínea. Ya sabemos que se trata de un movimiento acelerado. Encontremos la aceleración. Para hacer esto, basta considerar la aceleración para el caso especial de movimiento uniforme en círculo. Tomemos dos posiciones cercanas y un punto en movimiento, separados por un corto período de tiempo (Fig. 51, a). Las velocidades de un punto en movimiento en y son iguales en magnitud, pero diferentes en dirección. Encontremos la diferencia entre estas velocidades usando la regla del triángulo (Fig. 51, b). Triángulos y son semejantes, como triángulos isósceles con ángulos iguales en la cima. La longitud del lado que representa el aumento de la velocidad durante un período de tiempo se puede igualar a , donde es el módulo de aceleración deseada. El lado semejante a él es la cuerda del arco; Debido a la pequeñez del arco, la longitud de su cuerda se puede tomar aproximadamente igual a la longitud del arco, es decir . Más, ; , donde es el radio de la trayectoria. De la similitud de los triángulos se deduce que las proporciones de sus lados similares son iguales:

de donde encontramos el módulo de aceleración deseada:

La dirección de la aceleración es perpendicular a la cuerda. Para intervalos de tiempo suficientemente cortos, podemos suponer que la tangente al arco prácticamente coincide con su cuerda. Esto significa que la aceleración puede considerarse dirigida perpendicularmente (normalmente) a la tangente a la trayectoria, es decir, a lo largo del radio hasta el centro del círculo. Por tanto, dicha aceleración se denomina aceleración normal o centrípeta.

Si la trayectoria no es un círculo, sino una línea curva arbitraria, entonces en la fórmula (27.1) se debe tomar el radio del círculo más cercano a la curva en un punto dado. La dirección de la aceleración normal en este caso también será perpendicular a la tangente a la trayectoria en un punto dado. Si durante el movimiento curvilíneo la aceleración es constante en magnitud y dirección, se puede encontrar como la relación entre el incremento de velocidad y el período de tiempo durante el cual ocurrió este incremento, cualquiera que sea este período de tiempo. Esto significa que en este caso la aceleración se puede encontrar usando la fórmula

similar a la fórmula (17.1) para movimiento rectilíneo con aceleración constante. Aquí está la velocidad del cuerpo en el momento inicial, a es la velocidad en el momento del tiempo.