Profesor de la más alta categoría.
¿Qué números se llaman números enteros?
Objetivos de la lección:
-Ampliar el concepto de número introduciendo números negativos:
-Desarrollar la habilidad de escribir números positivos y negativos.
Objetivos de la lección.
Educativo – promover el desarrollo de la capacidad de generalizar y sistematizar, promover el desarrollo de horizontes matemáticos, pensamiento y habla, atención y memoria.
Educativo – fomentar una actitud hacia la autoeducación, la autoeducación, la ejecución precisa, una actitud creativa ante la actividad, el pensamiento crítico.
De desarrollo – desarrollar en los escolares la capacidad de comparar y generalizar, expresar pensamientos lógicamente, desarrollar horizontes matemáticos, pensamiento y habla, atención y memoria..
Durante las clases:
1. Conversación introductoria.
Hasta ahora en las lecciones de matemáticas hemos visto ¿qué números?
-Naturales y fraccionarios.
¿Qué números se llaman números naturales?
- Estos son números que se utilizan al contar objetos.
¿Cuántos puedes decir?
- infinitamente muchos.
¿Es el cero un número natural? ¿Por qué?
-¿Para qué se utilizan los números fraccionarios?
-No sólo contamos objetos, sino partes de determinadas cantidades.
¿Qué fracciones conoces?
- Ordinario y decimal.
Tarea número 1.
Entre los números, ¿cuáles son los números naturales? fracciones comunes? ¿Decimales?
10; 1,1; https://pandia.ru/text/77/504/images/image002_2.png" width="16" height="35 src="> ; https://pandia.ru/text/77/504/images/image004_0.png" width="24" height="35 src="> .
2. Explicación del nuevo material:
Sin embargo, en tu vida probablemente ya te hayas encontrado con otros números, ¿cuáles? ¿Dónde?
-Negativo. Por ejemplo, en un informe meteorológico.
Antes de pasar a aprender un tema nuevo, analicemos los signos que ayudarán a ampliar el conjunto de números. Estos son signos más y menos. Piense en con qué están asociados estos signos en la vida. Puede ser cualquier cosa: blanco - negro, bueno - malo. Escribiremos sus ejemplos en forma de tabla.
Sólo dos señales evocan tantos pensamientos. De hecho, estas dos señales permiten ir a lados diferentes. Estos números, "similares" a los números naturales, pero con un signo menos, son necesarios en los casos en que una cantidad puede cambiar en dos direcciones opuestas. Para expresar un valor como un número negativo, se introduce una marca cero inicial. Veamos los ejemplos que han hecho otros y en casa podéis pensarlo y hacer vuestra propia presentación. Diapositiva número 2-7.
Usar el letrero es muy conveniente. Su uso es aceptado en todo el mundo. Pero no siempre fue así. Diapositiva número 8.
Entonces, junto con los números naturales
1, 2, 3, 4, 5, …100, …, 1000, …
Consideraremos números negativos, cada uno de los cuales se obtiene sumando un signo menos al número natural correspondiente:
-1,- 2, - 3, - 4, - 5, …-100, …,- 1000, …
Un número natural y su correspondiente número negativo se llaman opuestos. Por ejemplo, los números 15 y -15. Puedes usar -15 y 15. O es lo opuesto a sí mismo.
Regla: Los números naturales, sus opuestos negativos y el número 0 se llaman números enteros. Todos estos números juntos forman el conjunto de los números enteros.
Abra el libro de texto, página 159, encuentre la regla, léala nuevamente y apréndala de memoria en casa.
A un número natural también se le llama comúnmente número entero positivo, es decir, es lo mismo. Frente a él, para enfatizar diferencia externa del negativo, a veces se añade un signo más. +5=5.
3. Formación de habilidades y destrezas:
1) № 000.
2) Escribe estos números en dos grupos: positivos y negativos:
-15, 7, 28, -41, 0, 382, -591, -999, 2000.
3) Juego “mi estado de ánimo”.
Ahora calificarás tu estado de ánimo actual en la siguiente escala:
Buen humor: +1, +2, +3, +4, +5.
Mal humor: -1, -2, -3, -4, -5.
Una persona escribirá los resultados en la pizarra y todos los demás se turnarán para decir en voz alta: “Tengo buen humor por 4 puntos"
4) Juego "galleta"
Nombraré pares de números, si el par es opuesto, entonces aplaudes, si no, entonces debería haber silencio en la clase:
5 y -5; 6 y 0,6; -300 y 300; 3 y 1/3; 8 y 80; 14 y -14; 5/7 y 7/5; -1 y 1.
5) Propedéutica para aprender la suma de números enteros:
N° 000(a).
Miramos la solución usando la presentación. Diapositiva número 8.
4. Resumen de la lección:
-¿Qué números se llaman positivos? ¿Negativo?
-¿Qué averiguaste sobre O?
- ¿Para qué se utilizan los números negativos?
-¿Cómo se escriben los números positivos y negativos?
5.D/Z: cláusula 8.1, N° 000, 721(b), 715(b). Tarea creativa: escribir un poema sobre números enteros, un dibujo, una presentación, un cuento de hadas.
Restaremos otro del número,
Ponemos una línea recta.
Reconocemos este signo
“Menos” lo llamamos.
1.
vale la pena
Parece una coincidencia.
ella es solo un demonio
Con una pequeña explosión.
2.
Apenas se desliza por el agua,
Como un cisne, número dos.
Ella arqueó el cuello,
Impulsa las olas detrás de él.
3.
Dos ganchos, mira
El resultado fue el número tres.
Pero estos dos ganchos
No puedes conseguir un gusano.
4.
De alguna manera se cayó el tenedor
Se rompió un diente.
Este tenedor está en todo el mundo.
Se llama "cuatro".
5.
Número cinco: con una gran barriga
Lleva gorra con visera.
En la escuela este número es cinco.
A los niños les encanta recibir.
6.
Que cereza amiga
¿El tallo está doblado hacia arriba?
intenta comerlo
Esta cereza es la número seis.
7.
soy un póquer
No puedo meterlo en el horno.
todos saben de ella
Que se llama "siete".
8.
La cuerda se retorcía, se retorcía,
Trenzado en dos bucles.
"¿Cual es este numero?" - Preguntémosle a mamá.
Mamá nos responderá: "Ocho".
9.
El viento soplaba y soplaba fuerte,
Le dio la vuelta a la cereza.
Número seis, por favor dímelo
Se convirtió en el número nueve.
10.
Como una hermana mayor
El cero está liderado por uno.
simplemente caminamos juntos
Inmediatamente se convirtieron en el número diez.
Poemas sobre matemáticas.
Las matemáticas son la base y reina de todas las ciencias, Arzhnikova Svetlana, Matemáticas científicas complejas: Razborov romano, | Encuentra tu velocidad , Uno dos tres CUATRO CINCO, Puerto deportivo Vityutneva, |
· Gran parte de las matemáticas no quedan en la memoria, pero cuando las entiendes, entonces es fácil recordar lo que has olvidado en alguna ocasión.
Enteros
La definición de números naturales son números enteros positivos. Los números naturales se utilizan para contar objetos y para muchos otros fines. Estos son los números:
Esta es una serie natural de números.
¿Es el cero un número natural? No, el cero no es un número natural.
¿Cuántos números naturales hay? Hay una infinidad de números naturales.
¿Cuál es el número natural más pequeño? Uno es el número natural más pequeño.
¿Cuál es el número natural más grande? Es imposible especificarlo, porque existe una infinidad de números naturales.
La suma de números naturales es un número natural. Entonces, sumando números naturales a y b:
El producto de números naturales es un número natural. Entonces, el producto de los números naturales a y b:
c es siempre un número natural.
Diferencia de números naturales No siempre existe un número natural. Si el minuendo es mayor que el sustraendo, entonces la diferencia de los números naturales es un número natural; en caso contrario, no lo es.
El cociente de números naturales no siempre es un número natural. Si para los números naturales a y b
donde c es un número natural, esto significa que a es divisible por b. En este ejemplo, a es el dividendo, b es el divisor y c es el cociente.
El divisor de un número natural es un número natural por el cual el primer número es divisible por un entero.
Todo número natural es divisible por uno y por sí mismo.
Los números naturales primos son divisibles sólo por uno y por sí mismos. Aquí nos referimos a dividido por completo. Ejemplo, números 2; 3; 5; 7 sólo es divisible por uno y por sí mismo. Estos son números naturales simples.
Uno no se considera un número primo.
Los números mayores que uno y que no son primos se llaman números compuestos. Ejemplos de números compuestos:
El uno no se considera un número compuesto.
El conjunto de los números naturales está formado por el uno, los números primos y los números compuestos.
El conjunto de los números naturales se denota. letra latina NORTE.
Propiedades de la suma y multiplicación de números naturales:
propiedad conmutativa de la suma
propiedad asociativa de la suma
(a + b) + c = a + (b + c);
propiedad conmutativa de la multiplicación
propiedad asociativa de la multiplicación
(ab) c = a (bc);
Propiedad distributiva multiplicación
A (b + c) = ab + ca;
números enteros
Los números enteros son los números naturales, el cero y los opuestos de los números naturales.
Lo opuesto a los números naturales son los números enteros negativos, por ejemplo:
1; -2; -3; -4;...
El conjunto de números enteros se denota con la letra latina Z.
Numeros racionales
Los números racionales son números enteros y fraccionarios.
Cualquier número racional se puede representar como una fracción periódica. Ejemplos:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
De los ejemplos queda claro que cualquier número entero es una fracción periódica con período cero.
Cualquier número racional se puede representar como una fracción m/n, donde m es un número entero numero,nnatural número. Imaginemos el número 3,(6) del ejemplo anterior como tal fracción.
El número es una abstracción utilizada para características cuantitativas objetos. Los números surgieron en la sociedad primitiva debido a la necesidad de las personas de contar objetos. Con el tiempo, a medida que la ciencia se desarrolló, el número se convirtió en el concepto matemático más importante.
Para resolución de problemas y pruebas. varios teoremas Es necesario entender qué tipos de números existen. Los tipos básicos de números incluyen: números naturales, enteros, números racionales, números reales.
Enteros- Se trata de números que se obtienen mediante el conteo natural de objetos, o mejor dicho, numerándolos (“primero”, “segundo”, “tercero”...). El conjunto de números naturales se denota con una letra latina. norte (puedes recordar basado en palabra inglesa natural). Puede decirse que norte ={1,2,3,....}
números enteros- estos son números del conjunto (0, 1, -1, 2, -2, ....). Este conjunto consta de tres partes: números naturales, enteros negativos (opuestos números naturales) y el número 0 (cero). Los números enteros se indican con una letra latina. z . Puede decirse que z ={1,2,3,....}.
Numeros racionales son números representados como una fracción, donde m es un número entero y n es un número natural. La letra latina se utiliza para denotar números racionales. q . Todos los números naturales y los enteros son racionales. Además, ejemplos de números racionales incluyen: ,,.
Numeros reales- estos son números que se usan para medir cantidades continuas. El conjunto de números reales se denota con la letra latina R. Los números reales incluyen números racionales y números irracionales. Los números irracionales son números que se obtienen realizando diversas operaciones con números racionales (por ejemplo, sacar raíces, calcular logaritmos), pero que no son racionales. Ejemplos de números irracionales son,,.
Cualquier número real se puede mostrar en la recta numérica:
Para los conjuntos de números enumerados anteriormente, la siguiente afirmación es verdadera:
Es decir, el conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números enteros. El conjunto de los números enteros está incluido en el conjunto de los números racionales. Y el conjunto de los números racionales está incluido en el conjunto de los números reales. Esta afirmación se puede ilustrar utilizando los círculos de Euler.
¡Notas importantes!
1. Si ve galimatías en lugar de fórmulas, borre su caché. Cómo hacer esto en su navegador está escrito aquí:
2. Antes de empezar a leer el artículo, presta atención a nuestro navegador para conocer más recurso útil Para
Para hacerle la vida MUCHO más fácil cuando necesite calcular algo, ganar un tiempo valioso en el Examen Estatal Unificado o Examen Estatal Unificado, cometer menos errores estúpidos, ¡lea esta sección!
Esto es lo que aprenderá:
- cómo contar más rápido, más fácil y con mayor precisión usandoagrupación de númerosal sumar y restar,
- cómo multiplicar y dividir rápidamente sin errores usando reglas de multiplicación y signos de divisibilidad,
- cómo acelerar significativamente los cálculos utilizando minimo común multiplo(NO OK) y máximo común divisor(ASENTIR).
El dominio de las técnicas de esta sección puede inclinar la balanza en una dirección u otra... ya sea que ingreses o no a la universidad de tus sueños, tú o tus padres tendrán que pagar mucho dinero por la educación o te inscribirás con un presupuesto limitado. .
Vamos a sumergirnos de lleno... (¡Vamos!)
PD ÚLTIMO CONSEJO VALIOSO...
Un montón de números enteros consta de 3 partes:
- números enteros(los veremos con más detalle a continuación);
- números opuestos a los números naturales(todo encajará en cuanto sepas qué son los números naturales);
- cero - " " (¿Dónde estaríamos sin él?)
letra Z.
Enteros
“Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra de manos humanas” (c) el matemático alemán Kronecker.
Los números naturales son números que usamos para contar objetos y en esto se basa su historia de origen: la necesidad de contar flechas, pieles, etc.
1, 2, 3, 4...norte
letra n.
En consecuencia, esta definición no incluye (¿no se puede contar algo que no está allí?) y, más aún, no incluye valores negativos(¿hay una manzana?).
Además, no se incluyen todos los números fraccionarios (tampoco podemos decir “tengo una computadora portátil” o “vendí autos”)
Cualquier número natural se puede escribir usando 10 dígitos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Entonces 14 no es un número. Este es el número. ¿De qué números se compone? Así es, a partir de números y...
Suma. Agrupar al sumar para contar más rápido y cometer menos errores
¿Qué cosas interesantes puedes decir sobre este procedimiento? Por supuesto, ahora responderás “el valor de la suma no cambia al reordenar los términos”. Parecería que esta es una regla primitiva, familiar desde el primer grado, sin embargo, al resolver ejemplos grandes, olvidado al instante!
No te olvides de élutilizar agrupación, para facilitarle el proceso de conteo y reducir la probabilidad de errores, porque Calculadora del examen estatal unificado no lo tendrás.
¿Comprueba tú mismo qué expresión es más fácil de armar?
- 4 + 5 + 3 + 6
- 4 + 6 + 5 + 3
¡Por supuesto el segundo! Aunque el resultado es el mismo. ¡Pero! Teniendo en cuenta el segundo método, tendrás menos posibilidades de cometer errores y ¡harás todo más rápido!
Entonces, en tu cabeza piensas así:
4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18
Sustracción. Agrupar al restar para contar más rápido y cometer menos errores
Al restar también podemos agrupar los números que estamos restando, por ejemplo:
32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19
¿Qué pasa si la resta se alterna con la suma en el ejemplo? También puedes agrupar, respondes y es correcto. Por favor, no te olvides de los signos delante de los números, por ejemplo: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19
Recuerde: las señales colocadas incorrectamente conducirán a un resultado erróneo.
Multiplicación. Cómo multiplicar en tu cabeza
Evidentemente, cambiar los lugares de los factores tampoco cambiará el valor del producto:
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0
No te diré “usa esto cuando resuelvas ejemplos” (tú mismo entendiste la pista, ¿verdad?), sino más bien te diré cómo multiplicar rápidamente algunos números en tu cabeza. Entonces, mira atentamente la tabla:
Y un poco más sobre la multiplicación. Por supuesto, recuerdas dos casos especiales... ¿Puedes adivinar a qué me refiero? Esto es al respecto:
Oh sí, veámoslo de nuevo signos de divisibilidad. Hay 7 reglas en total basadas en criterios de divisibilidad, ¡de las cuales ya conoces las 3 primeras!
Pero el resto no es nada difícil de recordar.
¡7 signos de divisibilidad de números que te ayudarán a contar rápidamente mentalmente!
- Por supuesto, conoces las tres primeras reglas.
- El cuarto y el quinto son fáciles de recordar: al dividir por y miramos para ver si la suma de los dígitos que componen el número es divisible por este.
- Al dividir por, nos fijamos en los dos últimos dígitos de un número: ¿el número por el que hacen es divisible?
- Al dividir por, un número debe ser divisible por y por al mismo tiempo. Esa es toda la sabiduría.
¿Estás pensando ahora: “¿por qué necesito todo esto”?
En primer lugar, se está llevando a cabo el Examen Estatal Unificado. sin calculadora y estas reglas le ayudarán a navegar por los ejemplos.
Y en segundo lugar, has oído los problemas sobre MCD Y CON? ¿Le resulta familiar este acrónimo? Empecemos a recordar y comprender.
Máximo común divisor (MCD): necesario para reducir fracciones y realizar cálculos rápidos
Digamos que tienes dos números: y. Para qué mayor número¿Ambos números son divisibles? Responderás sin dudarlo, porque sabes que:
12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3
8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2
¿Cuáles son los números comunes en la expansión? Así es, 2 * 2 = 4. Esa fue tu respuesta. Teniendo en cuenta este sencillo ejemplo, no olvidará el algoritmo para encontrar MCD. Intenta “construirlo” en tu cabeza. ¿Sucedió?
Para encontrar un GCD necesitas:
- Divide los números en factores primos(números que no se pueden dividir por nada más que por sí mismo o por, por ejemplo, 3, 7, 11, 13, etc.).
- Multiplicarlos.
¿Entiendes por qué necesitábamos signos de divisibilidad? Para que mires el número y puedas empezar a dividir sin resto.
Por ejemplo, encontremos el MCD de los números 290 y 485.
Primer número - .
Mirándolo, inmediatamente puedes decir que es divisible por, escribámoslo:
Es imposible dividirlo en otra cosa, pero se puede, y obtenemos:
290 = 29 * 5 * 2
Tomemos otro número: 485.
Según el criterio de divisibilidad, debe ser divisible por sin resto, ya que termina en. Dividir:
Analicemos el número original.
- No se puede dividir por (el último dígito es impar),
- - no es divisible por, lo que significa que el número tampoco es divisible por,
- por y por tampoco es divisible (la suma de los dígitos incluidos en un número no es divisible por y por)
- tampoco es divisible por, ya que no es divisible por y,
- tampoco es divisible por, ya que no es divisible por y.
- no se puede dividir completamente
Esto significa que el número sólo se puede descomponer en y.
Ahora busquemos MCD estos números. ¿Qué numero es este? Bien, .
¿Practicamos?
Tarea número 1. Encuentra el mcd de los números 6240 y 6800
1) Divido por inmediatamente, ya que ambos números son 100% divisibles por:
Tarea número 2. Encuentra el mcd de los números 345 y 324
No puedo encontrar uno rápidamente aquí común divisor, así que simplemente lo factorizo en factores primos (lo más pequeños posible):
Mínimo común múltiplo (MCM): ahorra tiempo y ayuda a resolver problemas de una forma no estándar
Digamos que tienes dos números y. ¿Cuál es el número más pequeño que se puede dividir por sin dejar rastro(es decir, completamente)? ¿Difícil de imaginar? Aquí tienes una pista visual:
¿Recuerdas qué significa la letra? Así es, sólo números enteros. Así que lo que número más pequeño encaja en su lugar x? :
En este caso.
De esto ejemplo sencillo Siguen varias reglas.
Reglas para encontrar NOC rápidamente
Regla 1: Si uno de dos números naturales es divisible por otro número, entonces el mayor de los dos números es su mínimo común múltiplo.
Encuentra los siguientes números:
- NOC (7;21)
- NOC (6;12)
- NOC (5;15)
- NOC (3;33)
Por supuesto, usted hizo frente a esta tarea sin dificultad y obtuvo las respuestas: y.
Tenga en cuenta que en la regla estamos hablando de DOS números; si hay más números, entonces la regla no funciona.
Por ejemplo, MCM (7;14;21) no es igual a 21, ya que no es divisible por.
Regla 2. Si dos (o más de dos) números son coprimos, entonces el mínimo común múltiplo es igual a su producto.
Encontrar CON los siguientes números:
- NOC (1;3;7)
- NOC (3;7;11)
- NOC (2;3;7)
- NOC (3;5;2)
¿Contaste? Aquí están las respuestas - , ; .
Como comprenderás, no siempre es posible detectar esta misma x tan fácilmente, por lo que para números un poco más complejos existe el siguiente algoritmo:
¿Practicamos?
Encontremos el mínimo común múltiplo: MCM (345; 234)
Encuentre usted mismo el mínimo común múltiplo (MCM)
¿Qué respuestas obtuviste?
Esto es lo que obtuve:
¿Cuánto tiempo dedicaste a buscar CON? Mi tiempo son 2 minutos, realmente lo sé. un truco, que te sugiero que abras ahora mismo!
Si está muy atento, probablemente haya notado que ya hemos buscado los números indicados. MCD y podrías tomar la factorización de estos números de ese ejemplo, simplificando así tu tarea, pero eso no es todo.
Mira la imagen, tal vez se te ocurran otras ideas:
¿Bien? Te daré una pista: intenta multiplicar CON Y MCD entre ellos y anota todos los factores que aparecerán al multiplicar. ¿Lograste? Deberías terminar con una cadena como esta:
Míralo más de cerca: compara los multiplicadores con cómo están dispuestos y.
¿Qué conclusión puedes sacar de esto? ¡Bien! Si multiplicamos los valores CON Y MCD entre ellos, entonces obtenemos el producto de estos números.
En consecuencia, tener números y significado. MCD(o CON), podemos encontrar CON(o MCD) según este esquema:
1. Encuentra el producto de números:
2. Dividir el producto resultante por el nuestro. MCD (6240; 6800) = 80:
Eso es todo.
Escribamos la regla en forma general:
Tratar de encontrar MCD, si se sabe que:
¿Lograste? .
Los números negativos son “números falsos” y su reconocimiento por parte de la humanidad.
Como ya entenderás, se trata de números opuestos a los naturales, es decir:
Los números negativos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, como en los números naturales. Al parecer, ¿qué tienen de especial? Pero el hecho es que los números negativos "ganaron" el lugar que les corresponde en matemáticas hasta el siglo XIX (hasta ese momento hubo una gran controversia sobre si existen o no).
El número negativo en sí surgió debido a una operación con números naturales como "resta". De hecho, resta y obtendrás un número negativo. Es por eso que al conjunto de números negativos se le suele llamar “extensión del conjunto números naturales».
Los números negativos no fueron reconocidos por la gente durante mucho tiempo. Así, el Antiguo Egipto, Babilonia y Antigua Grecia- Las luminarias de su época no reconocían los números negativos, y en el caso de obtener raíces negativas en una ecuación (por ejemplo, como la nuestra), las raíces eran rechazadas por imposibles.
Los números negativos obtuvieron su derecho a existir por primera vez en China y luego, en el siglo VII, en la India. ¿A qué crees que se debe este reconocimiento? Así es, los números negativos comenzaron a denotar deudas (de lo contrario, escasez). Se creía que los números negativos son un valor temporal que, como resultado, cambiará a positivo (es decir, el dinero aún será devuelto al prestamista). Sin embargo, el matemático indio Brahmagupta ya consideraba los números negativos al mismo nivel que los positivos.
En Europa, la utilidad de los números negativos, así como el hecho de que pueden indicar deudas, se descubrió mucho más tarde, tal vez un milenio. La primera mención se notó en 1202 en el "Libro del ábaco" de Leonardo de Pisa (diré de inmediato que el autor del libro no tiene nada que ver con la Torre Inclinada de Pisa, pero los números de Fibonacci son obra suya). (el apodo de Leonardo de Pisa es Fibonacci)). Además, los europeos llegaron a la conclusión de que las cifras negativas pueden significar no sólo deudas, sino también falta de algo, aunque no todos lo reconocieron.
Entonces, en el siglo XVII, Pascal creía eso. ¿Cómo crees que justificó esto? Es cierto, "nada puede ser menos que NADA". Un eco de aquellos tiempos sigue siendo el hecho de que un número negativo y la operación de resta se indican con el mismo símbolo: el menos "-". Y la verdad: . ¿El número “ ” es positivo, al que se le resta, o negativo, al que se suma?... Algo de la serie “¿qué es primero: el huevo o la gallina?” Ésta es una filosofía matemática tan peculiar.
Los números negativos obtuvieron su derecho a existir con la llegada de la geometría analítica, es decir, cuando los matemáticos introdujeron el concepto de eje numérico. 
Fue a partir de este momento que llegó la igualdad. Sin embargo, todavía hubo más preguntas que respuestas, por ejemplo:
proporción
Esta proporción se llama “paradoja de Arnaud”. Piénselo, ¿qué tiene de dudoso?
Discutamos juntos "" es más que "" ¿verdad? Así, según la lógica, el lado izquierdo de la proporción debería ser mayor que el derecho, pero son iguales... Ésta es la paradoja.
Como resultado, los matemáticos estuvieron de acuerdo en que Karl Gauss (sí, sí, este es el mismo que calculó la suma (o) de los números) le puso fin en 1831: dijo que los números negativos tienen los mismos derechos que los positivos. unos, y el hecho de que no se apliquen a todas las cosas no significa nada, ya que las fracciones tampoco se aplican a muchas cosas (no sucede que un excavador cave un hoyo, no puedas comprar una entrada para el cine, etc. .).
Los matemáticos se calmaron sólo en el siglo XIX, cuando William Hamilton y Hermann Grassmann crearon la teoría de los números negativos.
Son muy controvertidas estas cifras negativas.
El surgimiento del “vacío”, o la biografía del cero.
En matemáticas es un número especial. A primera vista, esto no es nada: sumar o restar: nada cambiará, pero solo hay que sumarlo a la derecha de " ", y el número resultante será varias veces mayor que el original. Al multiplicar por cero convertimos todo en nada, pero al dividir por “nada”, es decir, no podemos. En una palabra, el número mágico)
La historia del cero es larga y complicada. Se encontró un rastro de cero en los escritos de los chinos en el segundo milenio d.C. e incluso antes entre los mayas. El primer uso del símbolo cero, tal como se utiliza hoy en día, se vio entre los astrónomos griegos.
Hay muchas versiones de por qué se eligió esta designación de “nada”. Algunos historiadores se inclinan a creer que se trata de un ómicrón, es decir. La primera letra de la palabra griega que significa nada es ouden. Según otra versión, la palabra “obol” (una moneda casi sin valor) dio vida al símbolo del cero.
Cero (o nulo) como símbolo matemático aparece por primera vez entre los indios (tenga en cuenta que allí comenzaron a “desarrollarse” números negativos). La primera evidencia confiable del registro del cero se remonta al año 876, y en ellos " " es un componente del número.
El cero también llegó tarde a Europa: recién en 1600, y al igual que los números negativos, encontró resistencia (qué se puede hacer, así son los europeos).
"El cero ha sido a menudo odiado, temido durante mucho tiempo o incluso prohibido", escribe el matemático estadounidense Charles Safe. Así lo hizo el sultán turco Abdul Hamid II a finales del siglo XIX. ordenó a sus censores borrar la fórmula del agua H2O de todos los libros de texto de química, tomando la letra “O” por cero y no queriendo que sus iniciales quedaran desacreditadas por la proximidad al despreciado cero”.
En Internet puedes encontrar la frase: “¡Cero es la fuerza más poderosa del Universo, puede hacer cualquier cosa! El cero crea orden en las matemáticas y también introduce el caos en ellas”. Punto absolutamente correcto :)
Resumen de la sección y fórmulas básicas
El conjunto de los números enteros consta de 3 partes:
- números naturales (los veremos con más detalle a continuación);
- números opuestos a los números naturales;
- cero - " "
El conjunto de los números enteros se denota letra Z.
1. Números naturales
Los números naturales son números que usamos para contar objetos.
El conjunto de los números naturales se denota. letra n.
En operaciones con números enteros, necesitará la capacidad de encontrar MCD y LCM.
Máximo divisor común (MCD)
Para encontrar un GCD necesitas:
- Descomponer números en factores primos (aquellos números que no se pueden dividir por nada más que por ellos mismos o por, por ejemplo, etc.).
- Escribe los factores que forman parte de ambos números.
- Multiplicarlos.
Mínimo común múltiplo (MCM)
Para encontrar el NOC necesitas:
- Divide números en factores primos (ya sabes muy bien cómo hacerlo).
- Anota los factores incluidos en la expansión de uno de los números (es mejor coger la cadena más larga).
- Súmales los factores que faltan de las expansiones de los números restantes.
- Encuentra el producto de los factores resultantes.
2. Números negativos
Son números opuestos a los naturales, es decir:
Ahora quiero escucharte...
Espero que hayas apreciado los “trucos” súper útiles de esta sección y hayas entendido cómo te ayudarán en el examen.
Y lo que es más importante, en la vida. No hablo de eso, pero créanme, esto es cierto. La capacidad de contar rápidamente y sin errores te salva en muchas situaciones de la vida.
¡Ahora es tu turno!
Escribe, ¿utilizarás métodos de agrupación, pruebas de divisibilidad, MCD y MCM en los cálculos?
¿Quizás los has usado antes? ¿Dónde y cómo?
Quizás tengas preguntas. O sugerencias.
Escribe en los comentarios si te gusta el artículo.
¡Y mucha suerte en tus exámenes!
Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.
Porque sólo el 5% de las personas son capaces de dominar algo por sí mismas. Y si lees hasta el final, ¡estás en este 5%!
Ahora lo más importante.
Has entendido la teoría sobre este tema. Y, repito, esto... ¡esto es simplemente genial! Ya eres mejor que la gran mayoría de tus compañeros.
El problema es que esto puede no ser suficiente...
¿Para qué?
Para tener éxito aprobar el examen estatal unificado, para la admisión a la universidad con un presupuesto limitado y, LO MÁS IMPORTANTE, de por vida.
No te convenceré de nada, solo diré una cosa...
personas que recibieron una buena educación, ganan mucho más que quienes no lo recibieron. Esto es estadística.
Pero esto no es lo principal.
Lo principal es que son MÁS FELICES (existen estudios de este tipo). ¿Quizás porque se abren ante ellos muchas más oportunidades y la vida se vuelve más brillante? No lo sé...
Pero piensa por ti mismo...
¿Qué se necesita para estar seguro de ser mejor que otros en el Examen Estatal Unificado y, en última instancia, ser... más feliz?
GANA TU MANO RESOLVIENDO PROBLEMAS SOBRE ESTE TEMA.
No te pedirán teoría durante el examen.
Necesitará resolver problemas contra el tiempo.
Y, si no los has resuelto (¡MUCHO!), seguro que cometerás un error estúpido en alguna parte o simplemente no tendrás tiempo.
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“Entendido” y “Puedo resolver” son habilidades completamente diferentes. Necesitas ambos.
¡Encuentra problemas y resuélvelos!
A números enteros Incluye números naturales, cero y números opuestos a números naturales.
Enteros son números enteros positivos.
Por ejemplo: 1, 3, 7, 19, 23, etc. Usamos esos números para contar (hay 5 manzanas en la mesa, un automóvil tiene 4 ruedas, etc.)
Letra latina \mathbb(N) - denotada conjunto de números naturales.
Los números naturales no pueden incluir números negativos (una silla no puede tener un número negativo de patas) ni números fraccionarios (Iván no pudo vender 3,5 bicicletas).
Lo opuesto a los números naturales son los números enteros negativos: −8, −148, −981,….
Operaciones aritméticas con números enteros.
¿Qué puedes hacer con los números enteros? Se pueden multiplicar, sumar y restar entre sí. Veamos cada operación usando un ejemplo específico.
Suma de números enteros
Dos números enteros con el mismo signo se suman de la siguiente manera: se suman los módulos de estos números y la suma resultante va precedida de un signo final:
(+11) + (+9) = +20
Restar números enteros
Dos números enteros con diferentes signos se suman de la siguiente manera: del módulo más se resta el módulo del menor y se coloca el signo del número de módulo mayor delante de la respuesta resultante:
(-7) + (+8) = +1
Multiplicar números enteros
Para multiplicar un número entero por otro, debes multiplicar los módulos de estos números y poner un signo "+" delante de la respuesta resultante si los números originales tenían los mismos signos, y un signo "-" si los números originales tenían diferentes. señales:
(-5)\cdot (+3) = -15
(-3)\cdot (-4) = +12
Cabe recordar lo siguiente regla para multiplicar números enteros:
+ \cdot + = +
+ \cdot - = -
- \cdot + = -
- \cdot - = +
Existe una regla para multiplicar varios números enteros. Recordémoslo:
El signo del producto será “+” si el número de factores con signo negativo par y “-” si el número de factores con signo negativo es impar.
(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120
División entera
La división de dos números enteros se realiza de la siguiente manera: el módulo de un número se divide por el módulo de otro, y si los signos de los números son iguales, entonces se coloca el signo "+" delante del cociente resultante. , y si los signos de los números originales son diferentes, entonces se coloca el signo “-”.
(-25) : (+5) = -5
Propiedades de la suma y multiplicación de números enteros.
Veamos las propiedades básicas de la suma y la multiplicación de cualquier número entero a, byc:
- a + b = b + a - propiedad conmutativa de la suma;
- (a + b) + c = a + (b + c) - propiedad combinativa de la suma;
- a \cdot b = b \cdot a - propiedad conmutativa de la multiplicación;
- (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- propiedades asociativas de la multiplicación;
- a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- propiedad distributiva de la multiplicación.
