En el proceso de resolución de los problemas 149 a 156, es necesario que los estudiantes comprendan la regla para encontrar parte de un número:
Para encontrar la parte de un número expresada como fracción, puedes dividir este número por el denominador de la fracción y multiplicar el resultado resultante por su numerador.
Por supuesto, los estudiantes pueden formular esta regla sólo para situaciones específicas: encontrar 3 / 4 número 24, puedes dividir este número por el denominador fracciones 4 Y multiplica el resultado resultante por el numerador 3.
149 . a) 12 pájaros estaban posados en una rama; 2/3 de ellos se fueron volando. ¿Cuántos pájaros se fueron volando?
b) Hay 32 estudiantes en la clase; 3/4 de todos los estudiantes esquiaron. ¿Cuántos estudiantes esquiaron?
150 . a) Los ciclistas recorrieron 48 en dos días. kilómetros. El primer día cubrieron 2/3 de todo el recorrido. ¿Cuántos kilómetros recorrieron el segundo día?
b) Alguien que tenía 350 rublos gastó 5/7 de su dinero. ¿Cuánto dinero le queda?
c) El cuaderno tiene 24 páginas. La niña escribió 5/8 de todas las páginas del cuaderno. ¿Cuántas páginas sin escribir quedan?
151 . Un problema antiguo. Habiendo comprado una cómoda por 36 r. Luego me vi obligado a venderlo por 7/12 del precio. ¿Cuántos rublos perdí en esta venta?
152 . Los autoturistas condujeron 360 grados en tres días kilómetros; el primer día viajaron 2/5 y el segundo día, 3/8 de todo el viaje. ¿Cuántos kilómetros recorrieron los autoturistas el tercer día?
153 . 1) Hay 24 niñas y varios niños en el club de teatro. El número de niños es 3/8 del número de niñas. ¿Cuántos estudiantes hay en el club de teatro?
2) La colección contiene monedas de rublos del 45 aniversario. El número de monedas de 3 y 5 rublos es 2/9 del número de monedas de rublos. ¿Cuántas monedas de aniversario de 1, 3 y 5 rublos hay en la colección?
Los estudiantes deben resolver los problemas 154 a 156 encontrando primero la parte indicada de una cantidad y luego aumentando o disminuyendo esta cantidad en la parte encontrada. Más adelante se mostrará otra solución.
154 . 1) Reducir 90 rublos en 1/10 de esta cantidad.
2) Aumentar 80 rublos en 2/5 de esta cantidad.
155 . El mes pasado el precio del producto fue 90 r. Ahora ha disminuido en 3/10 de esta cantidad. ¿Cuál es el precio del producto ahora?
156 . El mes pasado el salario fue de 400. r. Ahora ha aumentado en 2/5 de esta cantidad. ¿Cuál es el salario ahora?
En el proceso de resolución de los problemas 157–158 y los siguientes, es necesario llevar a los estudiantes a comprender y uso correcto reglas para encontrar un número por su parte:
Para encontrar un número por su parte expresada como fracción, puedes dividir esta parte por el numerador de la fracción y multiplicar el resultado resultante por su denominador.
La formulación de esta norma es compleja debido a la necesidad
de alguna manera llamar al número que hemos nombrado «
parte »
. Los autores de libros de texto se ven obligados a superar esta dificultad. Entonces en el libro de texto I.V. Baranova y Z.G. La regla de Borchugova se formula sólo para casos específicos: encontrar un número, 3 / 5 que son 90 km, debes dividir 90 km por el numerador de la fracción 3 y multiplicar el resultado por el denominador de la fracción 5.
Así es como los estudiantes pueden usarlo. Es cierto que cuando se habla de números, es mejor no utilizar nombres, ya que número y magnitud no son lo mismo. Más adelante en el mismo libro de texto en la p. 226 está formulado regla general, en el que el término que utilizamos « Parte » corresponde a la facturación « el número que le corresponde » , que no es nada más fácil.
157 . a) 120 r. constituyen 3/4 de la cantidad de dinero disponible. ¿Cuál es esta cantidad?
b) Determine la longitud del segmento, 3/5 del cual es igual a 15 cm.
158 . a) Mi hijo tiene 10 años. Su edad es 2/7 de la edad de su padre. ¿Cuántos años tiene padre?
b) La hija tiene 12 años. Su edad es 2/5 de la edad de su madre. ¿Cuántos años tiene la madre?
El ama de casa gastó 6 para comprar verduras. r., que equivalía a 1/6 del dinero que tenía. Luego compró 2 kg manzanas 7 cada una r. por kilogramo. ¿Cuánto dinero le queda después de estas compras?
160 . Padre le compró a su hijo un traje por 24 r., en el que gasté 1/3 de mi dinero. Después compró varios libros y le quedaron 39. r.¿Cuánto costaron los libros?
161 . El hijo tiene 8 años, su edad es 2/9 de la edad de su padre. Y la edad del padre es 3/5 de la edad del abuelo. ¿Cuántos años tiene el abuelo?
162 .* Del papiro Ahmes (Egipto, c. 2000 a. C.).
Llega un pastor con 70 toros. Se le pregunta:
¿Cuántos traes de tu numeroso rebaño?
El pastor responde:
Traigo dos tercios de un tercio del ganado. ¡Cuéntalo!
¿Cuántos toros hay en la manada?
Encontrar el porcentaje de un número dado.
Tarea. Las semillas de soja contienen un 20% de aceite. ¿Cuánto aceite contienen 700 kg de soja?
Solución.
El problema requiere encontrar la porción especificada (20%) de una cantidad conocida (700 kg). Estos problemas pueden resolverse reduciéndolos a la unidad. El valor básico del valor es 700 kg. Podemos tomarlo como una unidad convencional. Y la unidad convencional es del 100%.
Brevemente, las condiciones del problema se pueden escribir de la siguiente manera:
700 kilos - 100%
X kilos - 20%.
Aquí se considera que X es la masa deseada de aceite. Averigüemos qué masa de soja representa el 1%. Dado que el 100% equivale a 700 kg, entonces el 1% representará una masa cien veces menor, es decir, 700: 100 = 7 (kg). Esto significa que el 20% representará 20 veces más: 7 x 20 = 140 (kg). Por tanto, 700 kg de soja contienen 140 kg de aceite.
Este problema se puede solucionar de otra manera. Si en la condición de este problema en lugar
20% escribe el número igual a 0,2, luego tenemos el problema de encontrar una fracción de un número. Y esos problemas se resuelven mediante la multiplicación. De aquí obtenemos otra solución:
1) 20% = 0,2; 2) 700 x 0,2 = 140 (kg).
Para encontrar un pequeño porcentaje de un número, debes expresar el porcentaje como una fracción y luego encontrar la fracción del número dado.
Encontrar un número por su porcentaje.
Tarea. El algodón crudo produce un 24% de fibra. ¿Cuánto algodón crudo se necesita para obtener 480 kg de fibra?
Solución
480 kg de fibra constituyen el 24% de una determinada masa de algodón crudo, que tomamos como X kg. Supondremos que X kg es 100%. Ahora, brevemente, la condición del problema se puede escribir de la siguiente manera:
480 kilos - 24%
X kilos - 100%
Resolvamos este problema reduciendo a la unidad. Averigüemos qué masa de fibra hay en el 1%. Dado que el 24% equivale a 480 kg, entonces, obviamente, el 1% tendrá una masa 24 veces menor, es decir, 480: 24 = 20 (kg). A continuación, razonamos así: si el 1% representa una masa de 20 kg, entonces el 100% representará una masa 100 veces mayor, es decir, 20 x 100 = 2000 (kg).
2 (t). Por tanto, para obtener 480 kg de fibra, es necesario tomar 2 toneladas de algodón crudo.
Este problema se puede solucionar de otra forma.
Si en las condiciones de este problema, en lugar del 24%, escribimos el número 0,24 igual a él, entonces tenemos el problema de encontrar un número a partir de su parte conocida (fracción). Y esos problemas se resuelven mediante la división. Esto lleva a otra solución:
1) 24% = 0,24; 2) 480: 0,24 = 2000 (kg) = 2 (t).
Para encontrar un número dado sus porcentajes, debes expresar los porcentajes como una fracción y resolver el problema de encontrar un número dado su fracción.
Relación porcentual entre dos números.
Tarea 1. Necesitamos arar un campo de 500 hectáreas. El primer día se araron 150 hectáreas. ¿Qué porcentaje del área arada es el área total?
Solución
Para responder a la pregunta del problema, debe encontrar la relación (cociente) de la parte arada de la parcela con respecto al área total de la parcela y expresar su relación como porcentaje:
150/500 = 3/10 = 0,3 = 30 %
Por lo tanto, encontramos la proporción porcentual, es decir, qué porcentaje es un número (150) de otro número (500).
Para encontrar la proporción porcentual de dos números, debes encontrar la proporción de estos números y expresarla como un porcentaje.
Problema 2. Un trabajador produjo 45 piezas durante un turno en lugar de 36 según el plan. ¿Qué porcentaje de la producción real es la producción planificada?
Solución
Para responder la pregunta del problema, necesitas encontrar la razón (cociente) del número 45 a 36 y expresarla como porcentaje:
45: 36 = 1,25 = 125 %.
Por ciento es una centésima de un número. De ello se deduce que dos por ciento son dos centésimas, veinte por ciento son veinte centésimas, y así sucesivamente.
La palabra porcentaje se indica con el signo %. Entonces, el 43% de un número significa el 43 por ciento, es decir, de ese número. Sin embargo, vale la pena señalar que el signo % no está escrito en los cálculos; puede escribirse en el enunciado del problema y en el resultado final.
El valor a partir del cual se calculan los porcentajes (por ejemplo, precio, longitud, número de caramelos, etc.) es 100 de sus centésimas, es decir, 100%.
Para encontrar el uno por ciento de un número, divides ese número por 100.
Ejemplo 1. Encuentra el uno por ciento del número 300.
Solución:
Respuesta: El uno por ciento de 300 es igual a 3.
Ejemplo 2. Encuentra el uno por ciento del número 27,5.
Solución:
27,5: 100 = 0,275
Respuesta: El uno por ciento de 27,5 es igual a 0,275.
Encontrar porcentajes de un número
Para encontrar un cierto porcentaje de un número determinado, debes dividir el número dado por 100 y multiplicarlo por la cantidad de porcentajes.
Tarea 1. Ese año, la tienda compró 200 árboles de Navidad para el Año Nuevo. Este año el número de árboles de Navidad comprados ha aumentado un 120%. ¿Cuántos árboles de Navidad compraste este año?
Solución: Primero necesitamos encontrar el 120% de 200, para esto necesitamos dividir 200 entre 100, así encontramos el 1%, y luego multiplicamos el resultado por 120:
(200: 100) 120 = 240
El número 240 es el 120% de 200. Esto significa que este año el número de árboles de Navidad vendidos aumentó en 240 piezas. Es decir, la cantidad de árboles de Navidad vendidos este año es igual a:
200 + 240 = 440 (árboles)
Respuesta: Este año compramos 440 árboles de Navidad.
Tarea 2. Hay 28 caramelos en una caja, el 25% de los caramelos tienen relleno de fresa. ¿Cuántos dulces con relleno de fresa hay en la caja?
Solución:
Respuesta: La caja contiene 7 caramelos con relleno de fresa.
Encontrar un número por su porcentaje
Para encontrar un número a partir de un porcentaje determinado, debes dividir este valor por el número de porcentajes y multiplicarlo por 100.
Tarea. El precio del metro de tela disminuyó en 24 rublos, es decir, el 15% del precio. ¿Cuánto costaba un metro de tela antes de la reducción?
Solución:
Respuesta: Un metro de tela cuesta 160 rublos.
Porcentaje de dos números
Para saber qué porcentaje es el primer número del segundo, debes dividir el primer número por el segundo y multiplicar el resultado por 100.
Tarea. Según el plan anual, la planta debería producir productos por valor de 1.250.000 rublos. Durante el primer trimestre, lo emitió por un monto de 450.000 rublos. ¿En qué porcentaje cumplió la planta su plan anual para el 1er trimestre?
Solución:
Respuesta: Para el primer trimestre el plan se cumplió en un 36%.
Convertir porcentajes a decimales
Para convertir porcentajes a decimales, divida el porcentaje entre 100.
Ejemplo 1: Presentar el 25% como decimal.
Respuesta: 25% es 0,25.
Ejemplo 2: Expresa 100% como decimal.
Respuesta: 100% es 1.
Ejemplo 3: Expresa 230% como decimal.
Respuesta: 230% es 2,3.
De estos ejemplos se deduce que Para convertir porcentajes a fracciones decimales, debes mover el punto decimal dos lugares hacia la izquierda en el número antes del signo %..
La capacidad de calcular un porcentaje de un número cuando necesita averiguar un cargo por pago atrasado, el monto de un sobrepago de un préstamo o las ganancias de una empresa si se conocen su facturación y margen.
- ¿Cómo encontrar un número por su porcentaje?
Regla. Para encontrar un número por su porcentaje especificado, debes dividir el número dado por el valor porcentual dado y multiplicar el resultado por 100.
Con este cálculo, primero determinamos cuántas unidades de este número están contenidas en el 1% y luego en el número entero (100%).
Por ejemplo:
Un número cuyo 23% es 52 se encuentra así:
52: 23 * 100 = 226.1
Esto significa que si el número 226,1 es igual al 100%, entonces el número 52 es igual al 23% de este número.
Encontramos un número cuyo 125% es 240 de la siguiente manera:
240: 125 * 100 = 192.
Al determinar un número por su porcentaje, recuerda que:
- si el porcentaje es inferior al 100%, entonces el número obtenido como resultado de los cálculos es mayor que el número especificado (si es 23%< 100%, то 226,1 > 52);
— si el porcentaje es superior al 100%, entonces el número obtenido como resultado del cálculo es menor que el número especificado (si 125% > 100%, entonces 192< 240).
Por lo tanto, al calcular un número por su porcentaje, para el autocontrol es necesario verificar:
— el porcentaje especificado en la condición es mayor o menor que el 100%;
— el resultado de un cálculo es mayor o menor que un número determinado.
- ¿Cómo saber el porcentaje del importe en el caso general?
Después de esto hay dos opciones:
- Si quieres saber qué porcentaje es otra cantidad respecto a la original, sólo debes dividirla por el 1% obtenido anteriormente.
- Si necesita una cantidad que sea, digamos, el 27,5% del original, deberá multiplicar la cantidad del 1% por la cantidad de interés requerida.
- ¿Cómo calcular un porcentaje de una cantidad usando una proporción?
Para hacer esto, deberá utilizar sus conocimientos sobre el método de proporciones, que se enseña en el curso de matemáticas de la escuela. Se verá así:
Sea A el monto de capital igual al 100% y B sea el monto cuya relación con A como porcentaje necesitamos conocer. Anotamos la proporción:
(X en en este caso- número de porcentaje).
Según las reglas para calcular proporciones, obtenemos la siguiente fórmula:
X = 100 * V/A
Si necesita saber cuánto será la cantidad B si ya se conoce el número de porcentajes de la cantidad A, la fórmula se verá diferente:
B = 100 * X / A
Ahora todo lo que queda es sustituir los números conocidos en la fórmula y podrá realizar el cálculo.
- ¿Cómo calcular el porcentaje de una cantidad utilizando ratios conocidos?
Finalmente, puedes usar más de una manera sencilla. Para ello basta con recordar que el 1% como decimal es 0,01. En consecuencia, el 20% es 0,2; 48% - 0,48; 37,5% es 0,375, etc. Basta con multiplicar el monto original por el número correspondiente y el resultado indicará el monto de interés.
Además, en ocasiones puedes utilizar fracciones simples. Por ejemplo, el 10% es 0,1, es decir, 1/10; por lo tanto, saber cuánto es el 10% es sencillo: sólo necesitas dividir la cantidad original entre 10.
Otros ejemplos de este tipo de relaciones serían:
- 12,5% - 1/8, es decir, es necesario dividir entre 8;
- 20% - 1/5, es decir, es necesario dividir entre 5;
- 25% - 1/4, es decir, dividir entre 4;
- 50% - 1/2, es decir, hay que dividirlo por la mitad;
- El 75% es 3/4, es decir, debes dividir por 4 y multiplicar por 3.
Es cierto, no todos fracciones simples conveniente para calcular el interés. Por ejemplo, 1/3 tiene un tamaño cercano al 33%, pero no exactamente igual: 1/3 es 33.(3)% (es decir, una fracción con infinitos tres después del punto decimal).
- ¿Cómo restar un porcentaje a una cantidad sin usar calculadora?
Si necesita restar un número desconocido de una cantidad ya conocida, que es una cierta cantidad de porcentaje, puede utilizar los siguientes métodos:
- Calcule el número desconocido usando uno de los métodos anteriores y luego réstelo del original.
- Calcule inmediatamente la cantidad restante. Para hacer esto, reste del 100% la cantidad de porcentajes que deben restarse y convierta el resultado resultante de porcentaje a número usando cualquiera de los métodos descritos anteriormente.
El segundo ejemplo es más conveniente, así que ilustrémoslo. Digamos que necesitamos saber cuánto queda si restamos el 16% de 4779. El cálculo será así:
- Restamos 16 de 100 (el número total del porcentaje) y obtenemos 84.
- Calculamos cuánto es el 84% de 4779. Obtenemos 4014,36.
- ¿Cómo calcular (restar) un porcentaje de una cantidad con calculadora en mano?
Todos los cálculos anteriores son más fáciles de realizar con una calculadora. Puede ser en forma de un dispositivo independiente o en forma de un programa especial en un ordenador, un teléfono inteligente o un teléfono móvil normal (incluso los dispositivos más antiguos que se utilizan actualmente suelen tener esta función). Con su ayuda, la pregunta cómo calcular el porcentaje a partir del monto, La solución es muy simple:
- Se cobra el importe inicial.
- Se presiona el signo “-”.
- Ingresa el número de porcentajes que deseas restar.
- Se presiona el signo “%”.
- Se presiona el signo “=".
Como resultado, el número requerido se muestra en la pantalla.
- ¿Cómo restar un porcentaje de una cantidad usando una calculadora online?
Por último, actualmente existen bastantes sitios en Internet que implementan la función de calculadora en línea. En este caso, ni siquiera necesitas saber cómo calcular el porcentaje del monto: todas las operaciones del usuario se reducen a ingresar los números requeridos en las ventanas (o mover los controles deslizantes para obtenerlos), después de lo cual el resultado se muestra inmediatamente en la pantalla.
Esta función es especialmente conveniente para quienes calculan no solo un porcentaje abstracto, sino un monto específico de deducción fiscal o el monto de la tasa estatal. El caso es que en este caso los cálculos son más complicados: no solo es necesario encontrar los porcentajes, sino también sumarles una parte constante del importe. Una calculadora en línea le permite evitar este tipo de cálculos adicionales. Lo principal es elegir un sitio que utilice datos que cumplan con la ley vigente.
Calculadora de intereses en línea:
calculadora.ru: le permite realizar varios cálculos cuando trabaja con porcentajes;
mirurokov.ru - calculadora de intereses;
Una fuente de información:
- nsovetnik.ru - artículo sobre cómo calcular el porcentaje del importe;
vemos con bastante frecuencia en La vida cotidiana. Tomemos una barra de chocolate, un paquete de helado en el que pone “56% cacao”, “100% helado”. ¿Qué es un porcentaje?
Porcentaje se llama centésima parte. Escríbelo brevemente 1 % . Firmar % reemplaza la palabra "porcentaje".
Cualquiera que sea el número o cantidad que tomemos, su centésima parte es el uno por ciento del número o cantidad dado. Por ejemplo, para el número 400 (0,01 del número 400) es el número 4, entonces 4 es el 1% del número 400; 1 hryvnia (0,01 hryvnia) es 1 kopeck, por lo que 1 kopeck es el 1% de la hryvnia.
Por ejemplo:
El rompecabezas contiene 500 elementos. ¿Cuántos elementos hay en el 1 por ciento? Supongamos que 500 piezas de un rompecabezas son 100%. Entonces el 1% contiene 100 veces menos de sus elementos. Por tanto 500: 100 = 5 (el.). Entonces, el 1% son 5 piezas del rompecabezas.
Tenga en cuenta: para encontrar el 1% de un número A, debes dividir este número entre 100. Sabiendo qué número o valor es el 1%, puedes encontrar el número o valor que es un pequeño porcentaje.
Por ejemplo:
Marina necesita coser una trenza, de la cual 3 cm representan el 1% de su longitud. Marina cosió el 50% de la trenza ¿Cuántos centímetros de trenza cosió? Como el 50% es 50 veces mayor que el 1%, Marina cosió trenzas 50 veces mayores que 3 cm, por lo tanto 3,50 = 150 (cm). Entonces Marina cosió 150 cm de trenza.
En la práctica, a menudo sucede que los dos problemas anteriores deben resolverse juntos: primero encuentre qué número o valor está en el 1% y luego en varios porcentajes. Estas tareas se denominan problemas para encontrar el porcentaje de un número.
Por ejemplo:
Las peras dulces contienen un 15% de azúcar. ¿Cuánta azúcar hay en 3 kg de peras?
Hagamos un breve registro de los datos de la tarea.
Peras: 3 kg – 100%
Azúcar: ? - 15%
1. ¿Cuántos kilogramos corresponden al 1%?
Porcentaje de dos números es su relación expresada como porcentaje. Un porcentaje muestra qué porcentaje es un número de otro.
