El estudio de la teoría de la probabilidad comienza con la resolución de problemas que implican suma y multiplicación de probabilidades. Vale la pena mencionar de inmediato que un estudiante puede enfrentar un problema al dominar esta área del conocimiento: si los procesos físicos o químicos se pueden representar visualmente y comprender empíricamente, entonces el nivel de abstracción matemática es muy alto y la comprensión aquí solo viene con experiencia.

Sin embargo, el juego vale la pena, porque las fórmulas, tanto las que se analizan en este artículo como las más complejas, se utilizan en todas partes hoy en día y bien pueden resultar útiles en el trabajo.

Origen

Curiosamente, el impulso para el desarrollo de esta rama de las matemáticas fueron... los juegos de azar. De hecho, los dados, el lanzamiento de una moneda, el póquer y la ruleta son ejemplos típicos que utilizan la suma y la multiplicación de probabilidades. Esto se puede ver claramente utilizando los ejemplos de problemas de cualquier libro de texto. La gente estaba interesada en saber cómo aumentar sus posibilidades de ganar, y hay que decir que algunos lo consiguieron.

Por ejemplo, ya en el siglo XXI, una persona, cuyo nombre no revelaremos, utilizó este conocimiento acumulado durante siglos para literalmente "limpiar" el casino, ganando varias decenas de millones de dólares en la ruleta.

Sin embargo, a pesar del creciente interés por el tema, recién en el siglo XX se desarrolló un marco teórico que completó el “teorema”: hoy en día, en casi cualquier ciencia se pueden encontrar cálculos utilizando métodos probabilísticos.

Aplicabilidad

Un punto importante al utilizar fórmulas para sumar y multiplicar probabilidades y probabilidad condicional es la satisfacibilidad del teorema del límite central. De lo contrario, aunque el alumno no se dé cuenta, todos los cálculos, por muy plausibles que parezcan, serán incorrectos.

Sí, un estudiante altamente motivado se siente tentado a utilizar nuevos conocimientos en cada oportunidad. Pero en en este caso deberíamos frenar un poco y delimitar estrictamente el ámbito de aplicabilidad.

La teoría de la probabilidad se ocupa de eventos aleatorios, que en términos empíricos representan los resultados de experimentos: podemos lanzar un dado de seis caras, sacar una carta de una baraja, predecir el número de piezas defectuosas en un lote. Sin embargo, en algunas cuestiones está estrictamente prohibido utilizar fórmulas de esta sección de matemáticas. Discutiremos las características de considerar las probabilidades de un evento, los teoremas de suma y multiplicación de eventos al final del artículo, pero por ahora pasemos a los ejemplos.

Conceptos básicos

Un evento aleatorio se refiere a algún proceso o resultado que puede aparecer o no como resultado de un experimento. Por ejemplo, lanzamos un sándwich; puede caer con la mantequilla hacia arriba o hacia abajo. Cualquiera de los dos resultados será aleatorio y no sabemos de antemano cuál de ellos tendrá lugar.

Al estudiar la suma y la multiplicación de probabilidades, necesitaremos dos conceptos más.

Estos eventos se denominan conjuntos y la ocurrencia de uno de los cuales no excluye la ocurrencia del otro. Digamos que dos personas disparan a un objetivo al mismo tiempo. Si uno de ellos tiene éxito, no afectará de ninguna manera la capacidad del segundo para dar en el blanco o fallar.

Serán hechos incompatibles aquellos cuya ocurrencia al mismo tiempo sea imposible. Por ejemplo, si sacas solo una bola de una caja, no podrás obtener la azul y la roja a la vez.

Designación

El concepto de probabilidad se denota con la letra mayúscula latina P. A continuación, entre paréntesis, se encuentran los argumentos que denotan ciertos eventos.

En las fórmulas del teorema de la suma, la probabilidad condicional y el teorema de la multiplicación, verás expresiones entre paréntesis, por ejemplo: A+B, AB o A|B. serán calculados diferentes caminos, ahora nos centraremos en ellos.

Suma

Consideremos casos en los que se utilizan fórmulas para sumar y multiplicar probabilidades.

Para eventos incompatibles, la fórmula de suma más simple es relevante: la probabilidad de cualquiera de los resultados aleatorios será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de estos resultados.

Supongamos que hay una caja con 2 canicas azules, 3 rojas y 5 amarillas. Hay un total de 10 artículos en la caja. ¿Cuál es la verdad de la afirmación de que sacaremos una bola azul o roja? Será igual a 2/10 + 3/10, es decir cincuenta por ciento.

En el caso de eventos incompatibles, la fórmula se complica, ya que se añade un término adicional. Volvamos a ello en un párrafo, después de considerar otra fórmula.

Multiplicación

La suma y multiplicación de probabilidades no son eventos dependientes utilizada en diferentes casos. Si según las condiciones del experimento estamos satisfechos con alguno de los dos resultados posibles, calcularemos la suma; si queremos obtener dos resultados determinados uno tras otro, recurriremos a utilizar una fórmula diferente.

Volviendo al ejemplo del apartado anterior, queremos dibujar primero la bola azul y luego la roja. Conocemos el primer número: es 2/10. ¿Qué pasa después? Quedan 9 bolas y todavía queda la misma cantidad de rojas: tres. Según los cálculos, será 3/9 o 1/3. ¿Pero qué hacer ahora con dos números? La respuesta correcta es multiplicar para obtener 2/30.

Eventos conjuntos

Ahora podemos volver a recurrir a la fórmula de la suma de eventos conjuntos. ¿Por qué nos distrajimos del tema? Para descubrir cómo se multiplican las probabilidades. Ahora necesitaremos este conocimiento.

Ya sabemos cuáles serán los dos primeros términos (los mismos que en la fórmula de suma discutida anteriormente), pero ahora necesitamos restar el producto de probabilidades, que acabamos de aprender a calcular. Para mayor claridad, escribamos la fórmula: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Resulta que tanto la suma como la multiplicación de probabilidades se utilizan en una expresión.

Digamos que tenemos que resolver cualquiera de dos problemas para obtener crédito. Podemos resolver el primero con una probabilidad de 0,3 y el segundo con una probabilidad de 0,6. Solución: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Tenga en cuenta que simplemente sumar los números aquí no será suficiente.

La probabilidad condicional

Finalmente, está el concepto de probabilidad condicional, cuyos argumentos se indican entre paréntesis y separados por una barra vertical. La entrada P(A|B) dice lo siguiente: “la probabilidad del evento A dado el evento B”.

Veamos un ejemplo: un amigo te regala algún aparato, que sea un teléfono. Puede estar roto (20%) o intacto (80%). Eres capaz de reparar cualquier dispositivo que llegue a tus manos con una probabilidad de 0,4, o no puedes hacerlo (0,6). Finalmente, si el dispositivo funciona correctamente, puede comunicarse con la persona correcta con probabilidad 0,7.

Es fácil ver cómo se desarrolla la probabilidad condicional en este caso: no podrás comunicarte con una persona si el teléfono está roto, pero si funciona, no necesitas repararlo. Por lo tanto, para obtener resultados en el "segundo nivel", es necesario averiguar qué evento se ejecutó en el primero.

Cálculos

Veamos ejemplos de resolución de problemas que implican suma y multiplicación de probabilidades, utilizando los datos del párrafo anterior.

Primero, encontremos la probabilidad de que repare el dispositivo que le entregaron. Para ello, en primer lugar, debe estar defectuoso y, en segundo lugar, debes poder repararlo. Este es un problema típico que utiliza la multiplicación: obtenemos 0,2 * 0,4 = 0,08.

¿Cuál es la probabilidad de que llegue inmediatamente a la persona adecuada? Es tan simple como eso: 0,8*0,7 = 0,56. En este caso, descubrió que el teléfono funciona y realizó la llamada con éxito.

Finalmente, considere este escenario: recibe un teléfono roto, lo repara, luego marca un número y la persona al otro lado contesta. Aquí ya necesitamos multiplicar tres componentes: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

¿Qué hacer si tienes dos teléfonos que no funcionan a la vez? ¿Qué posibilidades hay de que arregles al menos uno de ellos? sobre suma y multiplicación de probabilidades, ya que se utilizan eventos conjuntos. Solución: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Así, si te llegan dos dispositivos rotos, podrás repararlo en el 64% de los casos.

Uso cuidadoso

Como se indicó al principio del artículo, el uso de la teoría de la probabilidad debe ser deliberado y consciente.

Cuanto mayor sea la serie de experimentos, más se acercará el valor predicho teóricamente al obtenido en la práctica. Por ejemplo, lanzamos una moneda. Teóricamente, conociendo la existencia de fórmulas de suma y multiplicación de probabilidades, podemos predecir cuántas veces aparecerán “cara” y “cruz” si realizamos el experimento 10 veces. Realizamos un experimento y, por coincidencia, la proporción de los lados dibujados fue de 3 a 7. Pero si realizamos una serie de 100, 1000 o más intentos, resulta que la gráfica de distribución se acerca cada vez más a la teórica: 44 a 56, 482 a 518, y así sucesivamente.

Ahora imaginemos que este experimento no se lleva a cabo con una moneda, sino con la producción de alguna nueva sustancia química, cuya probabilidad no conocemos. Realizaríamos 10 experimentos y, sin obtener un resultado exitoso, podríamos generalizar: “es imposible obtener la sustancia”. Pero quién sabe, si hubiéramos hecho el undécimo intento, ¿habríamos logrado el objetivo o no?

Entonces, si uno se adentra en lo desconocido, en un área inexplorada, es posible que la teoría de la probabilidad no se aplique. Cada intento posterior en este caso puede tener éxito y generalizaciones como “X no existe” o “X es imposible” serán prematuras.

Palabra final

Entonces, analizamos dos tipos de suma, multiplicación y probabilidades condicionales. Con un estudio más profundo de esta área, es necesario aprender a distinguir situaciones en las que se utiliza cada fórmula específica. Además, es necesario imaginar si los métodos probabilísticos son generalmente aplicables para resolver su problema.

Si practicas, después de un tiempo empezarás a realizar todas las operaciones necesarias únicamente en tu mente. Para aquellos que estén interesados juegos de cartas, esta habilidad puede considerarse extremadamente valiosa: aumentará significativamente sus posibilidades de ganar simplemente calculando la probabilidad de que se caiga una carta o palo en particular. Sin embargo, podrá encontrar fácilmente aplicaciones de los conocimientos adquiridos en otras áreas de actividad.

Teoremas de suma y multiplicación de probabilidades.
Eventos dependientes e independientes.

El título parece aterrador, pero en realidad todo es muy sencillo. En Esta lección Nos familiarizaremos con los teoremas de suma y multiplicación de probabilidades de eventos, y también analizaremos problemas típicos que, junto con problema sobre la determinación clásica de la probabilidad Definitivamente se encontrará o, más probablemente, ya se habrá encontrado en su camino. Para aprendizaje efectivo materiales de este artículo necesita conocer y comprender los términos básicos teoría de probabilidad y poder hacer lo más simple operaciones aritmeticas. Como puede ver, se requiere muy poco y, por lo tanto, una gran ventaja en el activo está casi garantizada. Pero, por otro lado, vuelvo a advertir contra una actitud superficial hacia los ejemplos prácticos: también hay muchas sutilezas. Buena suerte:

Teorema para sumar probabilidades de eventos incompatibles: probabilidad de ocurrencia de uno de dos incompatible eventos o (no importa qué), es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos:

Un hecho similar es válido para un mayor número de eventos incompatibles, por ejemplo, para tres eventos incompatibles y:

El teorema es un sueño =) Sin embargo, tal sueño está sujeto a prueba, que se puede encontrar, por ejemplo, en libro de texto V.E. Gmurman.

Conozcamos conceptos nuevos, hasta ahora desconocidos:

Eventos dependientes e independientes.

Comencemos con eventos independientes. Los eventos son independiente , si la probabilidad de ocurrencia cualquiera de ellos no depende sobre la aparición/no aparición de otros eventos del conjunto considerado (en todas las combinaciones posibles). ...Pero ¿por qué molestarse con frases generales?

Teorema para multiplicar las probabilidades de eventos independientes.: la probabilidad de ocurrencia conjunta de eventos independientes y es igual al producto de las probabilidades de estos eventos:

Volvamos al ejemplo más sencillo de la primera lección, en la que se lanzan dos monedas y se producen los siguientes eventos:

– aparecerá cara en la primera moneda;
– aparecerá cara en la segunda moneda.

Encontremos la probabilidad del evento (aparecerá cara en la primera moneda Y aparecerá un águila en la segunda moneda - recuerda cómo leer producto de eventos!) . La probabilidad de que salga cara en una moneda no depende de ninguna manera del resultado de lanzar otra moneda, por lo tanto, los eventos son independientes.

Asimismo:
– la probabilidad de que la primera moneda salga cara Y en la segunda cola;
– la probabilidad de que aparezca cara en la primera moneda Y en la segunda cola;
– la probabilidad de que la primera moneda salga cara Y en la segunda águila.

Observe que los eventos se forman grupo completo y la suma de sus probabilidades es igual a uno: .

El teorema de la multiplicación obviamente se aplica a un número mayor de eventos independientes, por ejemplo, si los eventos son independientes, entonces la probabilidad de que ocurran juntos es igual a: . practiquemos en ejemplos específicos:

Problema 3

Cada una de las tres cajas contiene 10 piezas. La primera caja contiene 8 piezas estándar, la segunda – 7, la tercera – 9. De cada caja se extrae una pieza al azar. Encuentre la probabilidad de que todas las piezas sean estándar.

Solución: La probabilidad de extraer una pieza estándar o no estándar de cualquier caja no depende de qué piezas se toman de otras cajas, por lo que el problema trata con eventos independientes. Considere los siguientes eventos independientes:

– se retira una pieza estándar de la 1.ª caja;
– se ha retirado una pieza estándar de la 2.ª caja;
– se retira una pieza estándar de la 3.ª caja.

Según la definición clásica:
son las probabilidades correspondientes.

Evento de nuestro interés (Se eliminará una pieza estándar de la 1.ª caja Y desde 2do estándar Y desde 3er estándar) se expresa por el producto.

Según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:

– la probabilidad de que se retire una pieza estándar de tres cajas.

Respuesta: 0,504

Después de vigorizantes ejercicios con cajas, nos esperan urnas no menos interesantes:

Problema 4

Tres urnas contienen 6 bolas blancas y 4 negras. Se extrae una bola al azar de cada urna. Encuentre la probabilidad de que: a) las tres bolas sean blancas; b) las tres bolas serán del mismo color.

Según la información recibida, adivina cómo lidiar con el punto “be” ;-) muestra aproximada Las soluciones están diseñadas en un estilo académico con una lista detallada de todos los eventos.

Eventos dependientes. El evento se llama dependiente , si su probabilidad depende de uno o más eventos que ya han ocurrido. No es necesario ir muy lejos para ver ejemplos, simplemente vaya a la tienda más cercana:

– estará a la venta mañana a las 19.00 horas. pan fresco.

La probabilidad de que esto ocurra depende de muchos otros acontecimientos: si mañana se entregará pan fresco, si se agotará antes de las 19.00 horas o no, etc. Dependiendo de diversas circunstancias este evento puede ser confiable o imposible. Entonces el evento es dependiente.

Pan... y, como exigían los romanos, circos:

– en el examen, el estudiante recibirá un boleto simple.

Si no eres el primero, entonces el evento será dependiente, ya que su probabilidad dependerá de qué boletos ya hayan sido sorteados por tus compañeros.

¿Cómo determinar la dependencia/independencia de los eventos?

A veces esto se indica directamente en el planteamiento del problema, pero la mayoría de las veces es necesario realizar un análisis independiente. No existe aquí una pauta inequívoca, y el hecho de la dependencia o independencia de los acontecimientos se deriva del razonamiento lógico natural.

Para no amontonarlo todo en un solo montón, tareas para eventos dependientes Destacaré la siguiente lección, pero por ahora consideraremos el conjunto de teoremas más común en la práctica:

Problemas sobre teoremas de suma para probabilidades incompatibles
y multiplicar las probabilidades de eventos independientes

Este tándem, según mi valoración subjetiva, funciona en aproximadamente el 80% de las tareas sobre el tema en cuestión. Acierto de aciertos y un auténtico clásico de la teoría de la probabilidad:

Problema 5

Dos tiradores dispararon cada uno un tiro al objetivo. La probabilidad de acertar para el primer tirador es 0,8, para el segundo, 0,6. Encuentre la probabilidad de que:

a) sólo un tirador dará en el blanco;
b) al menos uno de los tiradores dará en el blanco.

Solución: La tasa de aciertos/fallos de un tirador es obviamente independiente de la actuación del otro tirador.

Consideremos los eventos:
– El primer tirador dará en el blanco;
– El segundo tirador dará en el blanco.

Por condición: .

Encontremos las probabilidades de eventos opuestos, que las flechas correspondientes fallarán:

a) Considere el evento: – sólo un tirador dará en el blanco. Este evento consta de dos resultados incompatibles:

El primer tirador acertará. Y el segundo se perderá
o
El primero se perderá Y El segundo golpeará.

en la lengua álgebras de eventos este hecho quedará escrito mediante la siguiente fórmula:

Primero, usamos el teorema para sumar las probabilidades de eventos incompatibles, luego el teorema para multiplicar las probabilidades de eventos independientes:

– la probabilidad de que haya un solo acierto.

b) Considere el evento: – al menos uno de los tiradores da en el blanco.

En primer lugar, PENSAR: ¿qué significa la condición “AL MENOS UNO”? En este caso, esto significa que el primer tirador acertará (el segundo fallará) o 2do (el 1ro fallará) o ambos tiradores a la vez: un total de 3 resultados incompatibles.

Método uno: teniendo en cuenta la probabilidad inmediata del punto anterior, conviene representar el evento como la suma de los siguientes eventos incompatibles:

alguien llegará allí (un evento que a su vez consta de 2 resultados incompatibles) o
Si ambas flechas aciertan, denotamos este evento con la letra .

De este modo:

Según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:
– probabilidad de que el primer tirador acierte Y El segundo tirador disparará.

Según el teorema de la suma de probabilidades de eventos incompatibles:
– la probabilidad de al menos un acierto en el objetivo.

Método dos: Considere el caso opuesto: – ambos tiradores fallarán.

Según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:

Como resultado:

Atención especial Preste atención al segundo método; en general, es más racional.

Además, existe una tercera forma alternativa de resolverlo, basada en el teorema de la suma de eventos conjuntos, que no se mencionó anteriormente.

! Si se familiariza con el material por primera vez, para evitar confusiones, es mejor omitir el siguiente párrafo.

Método tres : los eventos son compatibles, lo que significa que su suma expresa el evento “al menos un tirador dará en el blanco” (ver. álgebra de eventos). Por el teorema para sumar probabilidades de eventos conjuntos y el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:

Comprobemos: eventos y (0, 1 y 2 aciertos respectivamente) forman un grupo completo, por lo que la suma de sus probabilidades debe ser igual a uno:
, que era lo que había que comprobar.

Respuesta:

Con un estudio exhaustivo de la teoría de la probabilidad, te encontrarás con docenas de problemas con contenido militarista y, característicamente, después de esto no querrás dispararle a nadie: los problemas son casi un regalo. ¿Por qué no simplificar también la plantilla? Acortemos la entrada:

Solución: por condición: , – probabilidad de acertar en los tiradores correspondientes. Entonces las probabilidades de que fallen:

a) Según los teoremas de suma de probabilidades de eventos incompatibles y multiplicación de probabilidades de eventos independientes:
– la probabilidad de que sólo un tirador acierte en el blanco.

b) Según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:
– la probabilidad de que ambos tiradores fallen.

Entonces: – la probabilidad de que al menos uno de los tiradores dé en el blanco.

Respuesta:

En la práctica, puedes utilizar cualquier opción de diseño. Por supuesto, mucho más a menudo toman el camino corto, pero no debemos olvidar el primer método - aunque es más largo, tiene más sentido - es más claro, qué, por qué y por qué suma y multiplica. En algunos casos, un estilo híbrido es apropiado, cuando conviene utilizar letras mayúsculas para indicar sólo algunos eventos.

Tareas similares para decisión independiente:

Problema 6

Para señalar un incendio, se instalan dos sensores que funcionan de forma independiente. Las probabilidades de que el sensor funcione en caso de incendio son 0,5 y 0,7, respectivamente, para el primer y segundo sensor. Encuentre la probabilidad de que en un incendio:

a) ambos sensores fallarán;
b) ambos sensores funcionarán.
c) Usando el teorema para sumar las probabilidades de eventos que forman un grupo completo, encuentre la probabilidad de que en un incendio solo funcione un sensor. Verifique el resultado calculando directamente esta probabilidad. (usando teoremas de suma y multiplicación).

Aquí la independencia del funcionamiento de los dispositivos se indica directamente en el estado, lo que, por cierto, es una aclaración importante. La solución de muestra está diseñada en un estilo académico.

¿Qué pasa si en un problema similar se dan las mismas probabilidades, por ejemplo, 0,9 y 0,9? ¡Tienes que decidir exactamente lo mismo! (que, de hecho, ya se demostró en el ejemplo de dos monedas)

Problema 7

La probabilidad de que el primer tirador acierte en el objetivo con un solo disparo es de 0,8. La probabilidad de que el objetivo no sea alcanzado después de que el primer y el segundo tirador disparan un tiro cada uno es 0,08. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo tirador dé en el blanco de un solo disparo?

Y este es un pequeño rompecabezas, que está diseñado de forma breve. La condición se puede reformular de manera más sucinta, pero no reharé el original; en la práctica, tengo que ahondar en fabricaciones más ornamentadas.

Conócelo: él es quien ha planeado una enorme cantidad de detalles para ti =):

Problema 8

Un trabajador opera tres máquinas. La probabilidad de que durante un turno la primera máquina requiera ajuste es 0,3, la segunda - 0,75 y la tercera - 0,4. Encuentre la probabilidad de que durante el turno:

a) todas las máquinas requerirán ajuste;
b) sólo una máquina requerirá ajuste;
c) al menos una máquina requerirá ajuste.

Solución: dado que la condición no dice nada sobre un solo proceso tecnológico, entonces el funcionamiento de cada máquina debe considerarse independiente del funcionamiento de otras máquinas.

Por analogía con el Problema No. 5, aquí se pueden considerar los eventos en los que las máquinas correspondientes requerirán ajustes durante el turno, anotar las probabilidades, encontrar las probabilidades de eventos opuestos, etc. Pero con tres objetos, ya no quiero formatear la tarea de esta manera: resultará larga y tediosa. Por lo tanto, es notablemente más rentable utilizar aquí el estilo "rápido":

Según la condición: – la probabilidad de que durante el turno las máquinas correspondientes requieran puesta a punto. Entonces las probabilidades de que no requieran atención son:

Uno de los lectores encontró un error tipográfico interesante aquí, ni siquiera lo corregiré =)

a) Según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:
– la probabilidad de que durante el turno las tres máquinas requieran ajustes.

b) El evento “Durante el turno, sólo una máquina requerirá ajuste” consta de tres resultados incompatibles:

1) 1ra máquina requerirá atención Y 2da máquina no requerirá Y 3ra maquina no requerirá
o:
2) 1ra máquina no requerirá atención Y 2da máquina requerirá Y 3ra maquina no requerirá
o:
3) 1ra máquina no requerirá atención Y 2da máquina no requerirá Y 3ra maquina requerirá.

Según los teoremas de suma de probabilidades de eventos incompatibles y multiplicación de probabilidades de eventos independientes:

– la probabilidad de que durante un turno sólo una máquina requiera ajuste.

Creo que a estas alturas ya deberías entender de dónde viene la expresión.

c) Calculemos la probabilidad de que las máquinas no requieran ajuste, y luego la probabilidad del evento contrario:
– que al menos una máquina requerirá ajuste.

Respuesta:

El punto “ve” también se puede resolver mediante la suma , donde es la probabilidad de que durante un turno solo dos máquinas requieran ajuste. Este evento, a su vez, incluye 3 resultados incompatibles, que se describen por analogía con el punto "be". Intenta encontrar tú mismo la probabilidad de comprobar todo el problema usando la igualdad.

Problema 9

Se disparó una salva con tres cañones contra el objetivo. La probabilidad de acertar con un solo disparo del primer arma es de 0,7, del segundo de 0,6 y del tercero de 0,8. Encuentre la probabilidad de que: 1) al menos un proyectil alcance el objetivo; 2) sólo dos proyectiles alcanzarán el objetivo; 3) el objetivo será alcanzado al menos dos veces.

La solución y la respuesta están al final de la lección.

Y nuevamente sobre coincidencias: si, según la condición, dos o incluso todos los valores de las probabilidades iniciales coinciden (por ejemplo, 0,7, 0,7 y 0,7), entonces se debe seguir exactamente el mismo algoritmo de solución.

Para concluir el artículo, veamos otro acertijo común:

Problema 10

El tirador da en el blanco con la misma probabilidad en cada disparo. ¿Cuál es esta probabilidad si la probabilidad de al menos un acierto con tres disparos es 0,973?

Solución: denotamos por – la probabilidad de dar en el blanco con cada disparo.
y hasta el final: la probabilidad de fallar con cada disparo.

Y anotemos los eventos:
– con 3 disparos el tirador dará en el blanco al menos una vez;
– el tirador fallará 3 veces.

Por condición, entonces la probabilidad del evento opuesto:

Por otro lado, según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:

De este modo:

- la probabilidad de fallar en cada disparo.

Como resultado:
– la probabilidad de acertar con cada disparo.

Respuesta: 0,7

Sencillo y elegante.

En el problema considerado, se pueden hacer preguntas adicionales sobre la probabilidad de solo un acierto, solo dos aciertos y la probabilidad de tres aciertos en el objetivo. El esquema de solución será exactamente el mismo que en los dos ejemplos anteriores:

Sin embargo, la diferencia sustantiva fundamental es que aquí hay pruebas independientes repetidas, que se realizan de forma secuencial, independiente entre sí y con la misma probabilidad de resultados.

Puede resultar difícil contar directamente los casos que favorecen un acontecimiento determinado. Por lo tanto, para determinar la probabilidad de un evento, puede ser ventajoso imaginarlo como una combinación de algún otro, más eventos simples. En este caso, sin embargo, es necesario conocer las reglas que gobiernan las probabilidades en combinaciones de eventos. Es a estas reglas a las que se relacionan los teoremas mencionados en el título del párrafo.

El primero de ellos se relaciona con el cálculo de la probabilidad de que ocurra al menos uno de varios eventos.

Teorema de la suma.

Sean A y B dos eventos incompatibles. Entonces la probabilidad de que ocurra al menos uno de estos dos eventos es igual a la suma de sus probabilidades:

Prueba. Sea un grupo completo de eventos incompatibles por pares. Entonces, si entre estos eventos elementales hay exactamente eventos favorables a A y exactamente eventos favorables a B. Dado que los eventos A y B son incompatibles, entonces ningún evento puede favorecer a ambos eventos. Un evento (A o B), que consiste en la ocurrencia de al menos uno de estos dos eventos, es obviamente favorecido tanto por cada uno de los eventos que favorecen a A como por cada uno de los eventos.

Favorable V. Por lo tanto numero total eventos que favorecen el evento (A o B) es igual a la suma que sigue:

Q.E.D.

Es fácil ver que el teorema de la suma formulado anteriormente para el caso de dos eventos puede transferirse fácilmente al caso de cualquier número finito de ellos. Precisamente si hay eventos incompatibles por pares, entonces

Para el caso de tres eventos, por ejemplo, se puede escribir

Una consecuencia importante del teorema de la suma es el enunciado: si los eventos son incompatibles por pares y únicamente posibles, entonces

De hecho, el evento o o o es, por supuesto, cierto y su probabilidad, como se indica en el § 1, es igual a uno. En particular, si se refieren a dos eventos mutuamente opuestos, entonces

Ilustremos el teorema de la suma con ejemplos.

Ejemplo 1. Al disparar a un objetivo, la probabilidad de realizar un tiro excelente es 0,3 y la probabilidad de realizar un tiro "bueno" es 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una puntuación de al menos “bueno” en un tiro?

Solución. Si el evento A significa recibir una calificación de “excelente” y el evento B significa recibir una calificación de “buena”, entonces

Ejemplo 2. En una urna que contiene bolas blancas, rojas y negras, hay bolas blancas y yo bolas rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea negra?

Solución. Si el evento A consiste en la aparición de una bola blanca y el evento B consiste en una bola roja, entonces la apariencia de la bola no es negra.

significa la apariencia de una bola blanca o roja. Dado que por definición de probabilidad

entonces, según el teorema de la suma, la probabilidad de que aparezca una bola que no sea negra es igual;

Este problema se puede solucionar de esta manera. Sea el evento C la aparición de una bola negra. El número de bolas negras es igual de modo que P (C) La aparición de una bola no negra es el evento opuesto de C, por lo tanto, con base en el corolario anterior del teorema de la suma, tenemos:

como antes.

Ejemplo 3. En una lotería de dinero en efectivo, para una serie de 1000 boletos hay 120 ganancias en efectivo y 80 ganancias materiales. ¿Cuál es la probabilidad de ganar algo con un billete de lotería?

Solución. Si denotamos por A un evento que consiste en una ganancia monetaria y por B una ganancia material, entonces de la definición de probabilidad se sigue

El evento que nos interesa está representado por (A o B), por lo que se deduce del teorema de la suma

Por tanto, la probabilidad de ganar es 0,2.

Antes de pasar al siguiente teorema, es necesario familiarizarse con un nuevo concepto importante: el concepto de probabilidad condicional. Para ello, comenzaremos considerando el siguiente ejemplo.

Supongamos que hay 400 bombillas en un almacén, fabricadas en dos fábricas diferentes, y la primera produce el 75% de todas las bombillas y la segunda, el 25%. Supongamos que entre las bombillas fabricadas por la primera planta, el 83% satisfacen las condiciones de una determinada norma, y ​​para los productos de la segunda planta este porcentaje es del 63. Determinemos la probabilidad de que una bombilla extraída aleatoriamente de la El almacén cumplirá las condiciones de la norma.

Tenga en cuenta que el número total de bombillas estándar disponibles se compone de las bombillas fabricadas por la primera

fábrica y 63 bombillas fabricadas en la segunda planta, es decir, 312. Dado que la elección de cualquier bombilla debe considerarse igualmente posible, tenemos 312 casos favorables de 400, por lo que

donde el evento B es que la bombilla que hemos elegido es estándar.

Durante este cálculo no se hicieron suposiciones sobre el producto de a qué planta pertenecía la bombilla que elegimos. Si hacemos suposiciones de este tipo, entonces es obvio que la probabilidad que nos interesa puede cambiar. Así, por ejemplo, si se sabe que la bombilla seleccionada fue fabricada en la primera planta (evento A), entonces la probabilidad de que sea estándar ya no será 0,78, sino 0,83.

Este tipo de probabilidad, es decir, la probabilidad del evento B dado que ocurre el evento A, se llama probabilidad condicional del evento B dada la ocurrencia del evento A y se denota

Si en el ejemplo anterior denotamos por A el evento de que la bombilla seleccionada se fabrica en la primera planta, entonces podemos escribir

Ahora podemos formular un teorema importante relacionado con el cálculo de la probabilidad de combinar eventos.

Teorema de la multiplicación.

La probabilidad de combinar los eventos A y B es igual al producto de la probabilidad de uno de los eventos por la probabilidad condicional del otro, suponiendo que el primero ocurrió:

En este caso, la combinación de los eventos A y B significa la ocurrencia de cada uno de ellos, es decir, la ocurrencia tanto del evento A como del evento B.

Prueba. Consideremos un grupo completo de eventos incompatibles por pares igualmente posibles, cada uno de los cuales puede ser favorable o desfavorable tanto para el evento A como para el evento B.

Dividamos todos estos eventos en cuatro grupos diferentes de la siguiente manera. El primer grupo incluye aquellos eventos que favorecen tanto el evento A como el evento B; El segundo y tercer grupo incluyen aquellos eventos que favorecen a uno de los dos eventos que nos interesan y no favorecen al otro, por ejemplo, el segundo grupo incluye aquellos que favorecen a A pero no favorecen a B, y el tercer grupo incluye aquellos que favorecer a B pero no favorecer a A; finalmente a

El cuarto grupo incluye aquellos eventos que no favorecen ni a A ni a B.

Dado que la numeración de los eventos no importa, podemos suponer que esta división en cuatro grupos se ve así:

Grupo I:

Grupo II:

III grupo:

IV grupo:

Así, entre eventos igualmente posibles e incompatibles por pares, hay eventos que favorecen tanto al evento A como al evento B, eventos que favorecen al evento A, pero no favorecen al evento A, eventos que favorecen a B, pero no favorecen a A y, finalmente, Eventos que no favorecen ni a A ni a B.

Notemos, dicho sea de paso, que cualquiera de los cuatro grupos que hemos considerado (e incluso más de uno) no puede contener un solo evento. En este caso número correspondiente, es decir, el número de eventos en dicho grupo, será igual a cero.

Nuestro desglose en grupos le permite escribir inmediatamente

pues la combinación de los eventos A y B se ve favorecida por los eventos del primer grupo y sólo por ellos. El número total de eventos que favorecen a A es igual al número total de eventos en el primer y segundo grupo, y los que favorecen a B es igual al número total de eventos en el primer y tercer grupo.

Calculemos ahora la probabilidad, es decir, la probabilidad del evento B, siempre que haya ocurrido el evento A. Ahora los eventos incluidos en el tercer y cuarto grupo desaparecen, ya que su ocurrencia contradeciría la ocurrencia del evento A, y el número de casos posibles ya no es igual a . De estos, el evento B se ve favorecido sólo por los eventos del primer grupo, por lo que obtenemos:

Para demostrar el teorema, basta ahora escribir la identidad obvia:

y reemplace las tres fracciones con las probabilidades calculadas anteriormente. Llegamos a la igualdad establecida en el teorema:

Está claro que la identidad que escribimos anteriormente tiene sentido sólo si es siempre verdadera, a menos que A sea un evento imposible.

Dado que los eventos A y B son iguales, al intercambiarlos obtenemos otra forma del teorema de la multiplicación:

Sin embargo, esta igualdad se puede obtener de la misma forma que la anterior, si observas que usando la identidad

Comparando los lados derechos de las dos expresiones para la probabilidad P(A y B), obtenemos una igualdad útil:

Consideremos ahora ejemplos que ilustran el teorema de la multiplicación.

Ejemplo 4. En los productos de una determinada empresa, el 96% de los productos se consideran aptos (evento A). 75 productos de cada cien adecuados resultan pertenecer al primer grado (evento B). Determine la probabilidad de que un producto seleccionado al azar sea adecuado y pertenezca al primer grado.

Solución. La probabilidad deseada es la probabilidad de combinar los eventos A y B. Por condición tenemos: . Por lo tanto, el teorema de la multiplicación da

Ejemplo 5. La probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo (evento A) es 0,2. ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco si falla el 2% de las mechas (es decir, en el 2% de los casos el disparo no alcanza el objetivo)?

Solución. Sea el evento B que ocurrirá un disparo, y sea B el evento opuesto. Luego por condición y según el corolario del teorema de la suma. Además, según la condición.

Dar en el blanco significa combinar los eventos A y B (el tiro se disparará y acertará), por lo tanto, según el teorema de la multiplicación

Se puede obtener un caso especial importante del teorema de la multiplicación utilizando el concepto de independencia de eventos.

Dos eventos se llaman independientes si la probabilidad de uno de ellos no cambia como resultado de si el otro ocurre o no.

Ejemplos de eventos independientes son la aparición de un número diferente de puntos al volver a lanzar un dado, o una u otra cara de la moneda al volver a lanzar una moneda, ya que es obvio que la probabilidad de obtener un escudo de armas en el segundo lanzamiento es iguales independientemente de si el escudo de armas apareció o no en el primero.

De manera similar, la probabilidad de sacar una bola blanca por segunda vez de una urna que contiene bolas blancas y negras si la primera bola extraída se devuelve previamente no depende de si la bola fue extraída la primera vez, blanca o negra. Por tanto, los resultados de la primera y segunda eliminación son independientes entre sí. Por el contrario, si la bola extraída primero no regresa a la urna, entonces el resultado de la segunda extracción depende de la primera, porque la composición de las bolas en la urna después de la primera extracción cambia según su resultado. Aquí tenemos un ejemplo de eventos dependientes.

Usando la notación adoptada para las probabilidades condicionales, podemos escribir la condición para la independencia de los eventos A y B en la forma

Usando estas igualdades, podemos reducir el teorema de la multiplicación para eventos independientes a la siguiente forma.

Si los eventos A y B son independientes, entonces la probabilidad de su combinación es igual al producto de las probabilidades de estos eventos:

De hecho, basta con poner la expresión inicial del teorema de la multiplicación, que se deriva de la independencia de los eventos, y obtendremos la igualdad requerida.

Consideremos ahora varios eventos: los llamaremos colectivamente independientes si la probabilidad de que ocurra cualquiera de ellos no depende de si otros eventos considerados ocurrieron o no.

En el caso de eventos que son colectivamente independientes, el teorema de la multiplicación se puede extender a cualquier número finito de ellos, por lo que se puede formular de la siguiente manera:

La probabilidad de combinar eventos independientes en conjunto es igual al producto de las probabilidades de estos eventos:

Ejemplo 6. Un trabajador está dando servicio a tres máquinas automáticas, y debe acercarse a cada una de ellas para corregir un mal funcionamiento si la máquina se detiene. La probabilidad de que la primera máquina no se detenga en una hora es 0,9. La misma probabilidad para la segunda máquina es 0,8 y para la tercera, 0,7. Determine la probabilidad de que dentro de una hora el trabajador no necesite acercarse a ninguna de las máquinas a las que está dando servicio.

Ejemplo 7. Probabilidad de derribar un avión con un disparo de rifle ¿Cuál es la probabilidad de destruir un avión enemigo si se disparan 250 rifles al mismo tiempo?

Solución. La probabilidad de que el avión no sea derribado con un solo disparo es igual al teorema de la suma, luego podemos calcular, usando el teorema de la multiplicación, la probabilidad de que el avión no sea derribado con 250 disparos, como la probabilidad de combinar eventos. Es igual a Después de esto, podemos usar nuevamente el teorema de la suma y encontrar la probabilidad de que el avión sea derribado como la probabilidad del evento opuesto.

De esto se puede ver que, aunque la probabilidad de derribar un avión con un solo disparo de rifle es insignificante, sin embargo, cuando se dispara con 250 rifles, la probabilidad de derribar un avión ya es muy notable. Aumenta significativamente si se aumenta el número de rifles. Entonces, cuando se dispara con 500 rifles, la probabilidad de derribar un avión, como es fácil de calcular, es igual a cuando se dispara con 1000 rifles, incluso.

El teorema de la multiplicación demostrado anteriormente nos permite ampliar un poco el teorema de la suma, extendiéndolo al caso de eventos compatibles. Está claro que si los eventos A y B son compatibles, entonces la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos no es igual a la suma de sus probabilidades. Por ejemplo, si el evento A significa un número par

el número de puntos al lanzar un dado, y el evento B es la pérdida de un número de puntos que es múltiplo de tres, entonces el evento (A o B) se ve favorecido por la pérdida de 2, 3, 4 y 6 puntos, eso es

Por otro lado, eso es. Entonces en este caso

De esto se desprende claramente que en el caso de eventos compatibles se debe cambiar el teorema de la suma de probabilidades. Como veremos ahora, se puede formular de tal manera que sea válido tanto para eventos compatibles como para eventos incompatibles, de modo que el teorema de la suma considerado anteriormente resulta ser un caso especial del nuevo.

Eventos que no son favorables a A.

Todos los eventos elementales que favorecen a un evento (A o B) deben favorecer solo a A, o solo a B, o tanto a A como a B. Por lo tanto, el número total de tales eventos es igual a

y la probabilidad

Q.E.D.

Aplicando la fórmula (9) al ejemplo anterior del número de puntos que aparecen al lanzar un dado, obtenemos:

que coincide con el resultado del cálculo directo.

Obviamente, la fórmula (1) es un caso especial de (9). De hecho, si los eventos A y B son incompatibles, entonces la probabilidad de combinación

Por ejemplo. EN circuito eléctrico Dos fusibles están conectados en serie. La probabilidad de falla del primer fusible es 0,6 y la del segundo es 0,2. Determinemos la probabilidad de un corte de energía como resultado de una falla de al menos uno de estos fusibles.

Solución. Dado que los eventos A y B, consistentes en el fallo del primero y segundo de los fusibles, son compatibles, la probabilidad requerida vendrá determinada por la fórmula (9):

Ejercicios

Conferencia 7. Teoría de la probabilidad.

CONSECUENCIAS DE LOS TEOREMAS DE SUMA Y MULTIPLICACIÓN

Teorema para sumar probabilidades de eventos conjuntos

El teorema de la suma para incompatible eventos. Aquí presentaremos el teorema de la suma para articulación eventos.

Se llaman dos eventos articulación, si la comparecencia de uno de ellos no excluye la comparecencia del otro en el mismo juicio.

Ejemplo 1 . A – la aparición de cuatro puntos al lanzar un dado; B – aparición de un número par de puntos. Los eventos A y B son conjuntos.

Sean comunes los eventos A y B, y se dan las probabilidades de estos eventos y la probabilidad de que ocurran conjuntamente. ¿Cómo encontrar la probabilidad del evento A + B de que ocurra al menos uno de los eventos A y B? La respuesta a esta pregunta viene dada por el teorema de la suma de probabilidades de eventos conjuntos.

Teorema. La probabilidad de que ocurra al menos uno de dos eventos conjuntos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos sin la probabilidad de que ocurran juntos: P(A + B) = P(A) + P(B) – P (AB).

Prueba . Dado que los eventos A y B, por condición, son compatibles, entonces el evento A + B ocurrirá si ocurre uno de los siguientes tres eventos incompatibles: . Según el teorema de la suma de probabilidades de eventos incompatibles, tenemos:

P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB).(*)

El evento A ocurrirá si ocurre uno de dos eventos incompatibles: A
o AB. Por el teorema de la suma de probabilidades de eventos incompatibles tenemos

P(A) = P(A) + P(AB).

P(A)=P(A) – P(AB).(**)

De manera similar tenemos

P(B) = P(ĀB) + P(AB).

P(ĀB) = P(B) – P(AB).(***)

Sustituyendo (**) y (***) en (*), finalmente obtenemos

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).(****)

Q.E.D.

Nota 1. Al utilizar la fórmula resultante, se debe tener en cuenta que los eventos A y B pueden ser independiente, entonces dependiente.

Para eventos independientes

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B);

Para eventos dependientes

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P A (B).

Nota 2. Si los eventos A y B incompatible, entonces su combinación es un evento imposible y, por tanto, P(AB) = 0.

La fórmula (****) para eventos incompatibles toma la forma

P(A + B) = P(A) + P(B).

Hemos obtenido nuevamente el teorema de la suma para eventos incompatibles. Así, la fórmula (****) es válida tanto para hechos conjuntos como para hechos incompatibles.

Ejemplo 2. Las probabilidades de dar en el blanco al disparar el primer y segundo cañón son respectivamente iguales: p 1 = 0,7; pag2 = 0,8. Encuentra la probabilidad de un impacto con una salva.
(de ambas armas) con al menos una de las armas.

Solución . La probabilidad de que cada arma dé en el blanco no depende del resultado del disparo de la otra arma, por lo tanto, los eventos A (impacto del primer arma) y B (impacto del segundo arma) son independientes.

Probabilidad de evento AB (ambas armas dieron en el blanco)

P(AB) = P(A) * P(B) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

La probabilidad deseada P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Nota 3. Como en este ejemplo los eventos A y B son independientes, podríamos usar la fórmula P = 1 – q 1 q 2

De hecho, las probabilidades de eventos eventos opuestos A y B, es decir las probabilidades de errores son:

q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;

q2 = 1 – p2 = 1 – 0,8 = 0,2;

La probabilidad requerida de que en una salva al menos un arma impacte es igual a

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.

Como era de esperar, se obtuvo el mismo resultado.

dejar eventos A Y EN- inconsistentes y se conocen las probabilidades de estos eventos. Pregunta: ¿cómo encontrar la probabilidad de que ocurra uno de estos eventos incompatibles? La respuesta a esta pregunta viene dada por el teorema de la suma.

Teorema.La probabilidad de que ocurra uno de dos eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos:

pag(A + EN) = pag(A) + pag(EN) (1.6)

Prueba. De hecho, deja norte– el número total de todos los resultados igualmente posibles e incompatibles (es decir, elementales). deja que el evento A favores metro 1 resultados y el evento EN – metro 2 resultados. Entonces, según la definición clásica, las probabilidades de estos eventos son iguales: pag(A) = metro 1 / norte, pag(B) = metro 2 / norte .

Desde los acontecimientos A Y EN incompatible, entonces ninguno de los resultados favorables al evento A, no propicio para el evento EN(ver diagrama a continuación).

Por lo tanto el evento A+EN será favorable metro 1 + metro 2 resultados. Por lo tanto, para la probabilidad pag(A+B) obtenemos:

Corolario 1. La suma de las probabilidades de eventos que forman un grupo completo es igual a uno:

pag(A) + pag(EN) + pag(CON) + … + pag(D) = 1.

De hecho, deja que los eventos A,EN,CON, … , D formar un grupo completo. Por ello son incompatibles y los únicos posibles. Por lo tanto el evento A + B + C + …+D, que consiste en la ocurrencia (como resultado de las pruebas) de al menos uno de estos eventos, es confiable, es decir A+B+C+…+D = Y pag(A+B+C+ …+D) = 1.

Por incompatibilidad de eventos. A,EN,CON, … , D la fórmula es correcta:

pag(A+B+C+ …+D) = pag(A) + pag(EN) + pag(CON) + … + pag(D) = 1.

Ejemplo. Hay 30 bolas en una urna, de las cuales 10 son rojas, 5 son azules y 15 son blancas. Calcula la probabilidad de sacar una bola roja o azul, siempre que solo se saque una bola de la urna.

Solución. deja que el evento A 1 – sacar la bola roja y el evento A 2 – extracción de la bola azul. Estos eventos son incompatibles y pag(A 1) = 10 / 30 = 1 / 3; pag(A 2) = 5/30 = 1/6. Por el teorema de la suma obtenemos:

pag(A 1 + A 2) = pag(A 1) + pag(A 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

Nota 1. Destacamos que, según el significado del problema, es necesario, en primer lugar, establecer la naturaleza de los hechos considerados: si son incompatibles. Si el teorema anterior se aplica a eventos conjuntos, el resultado será incorrecto.