Trabajo de investigación sobre esquemas de replicación de pruebas de Bernoulli. Repetición de pruebas. circuito de Bernoulli

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Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante, entonces la probabilidad Pn(k) de que el evento A ocurra k veces en n ensayos independientes es igual a: T Declaración del teorema de la fórmula de Bernoulli: una fórmula en la teoría de la probabilidad que le permite encontrar la probabilidad de que ocurra el evento A durante ensayos independientes. La fórmula de Bernoulli le permite deshacerse de una gran cantidad de cálculos (suma y multiplicación de probabilidades) con suficiente grandes cantidades pruebas.

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Información histórica JACOB BERNOULLI (1654–1705) Fecha de nacimiento: 27 de diciembre de 1654 Lugar de nacimiento: Basilea Fecha de muerte: 16 de agosto de 1705 Lugar de muerte: Basilea Ciudadanía: Suiza Campo científico: Matemático Lugar de trabajo: Universidad Científica de Basilea . director: Leibniz Jacob Bernoulli (alemán Jakob Bernoulli, 27 de diciembre de 1654, Basilea, - 16 de agosto de 1705, ibid.) - matemático suizo, hermano de Johann Bernoulli; profesor de matemáticas en la Universidad de Basilea (desde 1687). Jacob Bernoulli tiene importantes logros en teoría de series, cálculo diferencial de variaciones, teoría de probabilidades y teoría de números, donde los números con ciertas propiedades llevan su nombre. Jacob Bernoulli también escribió obras sobre física, aritmética, álgebra y geometría.

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Un ejemplo del uso de la fórmula de Bernoulli Cada día, las acciones de ABC Corporation suben de precio o bajan de precio en un punto con probabilidades de 0,75 y 0,25, respectivamente. Encuentre la probabilidad de que la acción vuelva a su precio original después de seis días. Acepte la condición de que los cambios en el precio de las acciones hacia arriba y hacia abajo son eventos independientes. SOLUCIÓN: Para que las acciones vuelvan a su precio original en 6 días, deben subir de precio 3 veces y bajar de precio tres veces durante este tiempo. La probabilidad deseada se calcula utilizando la fórmula de Bernoulli P6(3) =C36(3/4)3(1/4)3=0,13

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Ponte a prueba Hay 20 bolas blancas y 10 negras en una urna. Se sacan 4 bolas seguidas y cada bola extraída se devuelve a la urna antes de sacar la siguiente y mezclar las bolas de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que de cuatro bolas extraídas dos sean blancas? RESPUESTA: SOLUCIÓN: RESPUESTA: RESPUESTA: SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: El auditor detecta irregularidades financieras en la empresa auditada con una probabilidad de 0,9. Encuentre la probabilidad de que entre 4 empresas infractoras se identifique más de la mitad. El dado se lanza 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan 6 puntos exactamente 2 veces en esta serie de pruebas? 0,01389 8/27 0,9477

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Ponte a prueba La moneda se lanza 6 veces. Calcula la probabilidad de que el escudo de armas aparezca no más de 2 veces. RESPUESTA: SOLUCIÓN: RESPUESTA: SOLUCIÓN: Sea la tasa de germinación de las semillas de trigo del 90%. ¿Cuál es la probabilidad de que de 7 semillas sembradas broten 5? 0,124 0,344

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La probabilidad de recuperar la bola blanca p=20/30=2/3 puede considerarse la misma en todos los intentos; 1-p=1/3 Usando la fórmula de Bernoulli, obtenemos P4(2) = C42·p2·(1-p)2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8 / 27 VOLVER SOLUCIÓN AL PROBLEMA 1

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VOLVER SOLUCIÓN AL PROBLEMA 2 El caso es que de 4 empresas infractoras se identificarán tres o cuatro, es decir P(A)=P4(3)+P4(4) P(A)= C340.93∙0.1+C44 0.94 = 0.93 (0.4+0.9)=0.9477

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teorema de bernoulli
17.03.2017

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Se lleva a cabo una serie de n pruebas independientes. Cada prueba tiene 2 resultados: A - "éxito" y - "fracaso". La probabilidad de "éxito" en cada prueba es la misma y es igual a P(A) = p. En consecuencia, la probabilidad de "fracaso" tampoco cambia de un experimento a otro y es igual.
Esquema de Bernoulli
¿Cuál es la probabilidad de que en una serie de n experimentos haya éxito k veces? Encuentre Pn(k).

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La moneda se lanza n veces. Se extrae una carta del mazo n veces y cada vez que se devuelve la carta se baraja el mazo. Se examina la calidad de n productos de una determinada producción, seleccionados al azar. El tirador dispara al objetivo n veces.
Ejemplos

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Explique por qué las siguientes preguntas se ajustan al esquema de Bernoulli. Indique qué es el “éxito” y a qué equivalen n y k. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un “2” tres veces al lanzar un dado diez veces? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en cien lanzamientos de moneda salga cara 73 veces? c) Se lanzaron un par de dados veinte veces seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos nunca sea igual a diez? d) Se extrajeron tres cartas de una baraja de 36 cartas, se registró el resultado y se devolvió a la baraja, luego se barajaron las cartas. Esto se repitió 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que cada vez la dama de espadas estuviera entre las cartas extraídas?

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Para el número de combinaciones de n a k, es válida la siguiente fórmula:
Por ejemplo:

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teorema de bernoulli
La probabilidad Pn(k) de que ocurran exactamente k éxitos en n repeticiones independientes del mismo ensayo se calcula mediante la fórmula, donde p es la probabilidad de “éxito”, q = 1- p es la probabilidad de “fracaso” en un experimento separado.

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La moneda se lanza 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el escudo de armas 0, 1,...6 veces? Solución. Número de experimentos n=6. Evento A – “éxito” – pérdida del escudo de armas. Según la fórmula de Bernoulli, la probabilidad requerida es igual a
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;
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;

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La moneda se lanza 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el escudo de armas aparezca dos veces? Solución. Número de experimentos n=10, m=2. Evento A – “éxito” – pérdida del escudo de armas. Según la fórmula de Bernoulli, la probabilidad requerida es igual a
;
;
;
;
;
;

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En una urna hay 20 bolas blancas y 10 negras. Se sacan 4 bolas y cada bola extraída se devuelve a la urna antes de sacar la siguiente y mezclar las bolas de la urna. Calcula la probabilidad de que de cuatro bolas extraídas salgan 2 blancas. Solución. Evento A: se saca una bola blanca. Entonces las probabilidades Según la fórmula de Bernoulli, la probabilidad requerida es igual a

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Determine la probabilidad de que una familia con 5 hijos no tenga niñas. Se supone que las probabilidades de tener un niño y una niña son las mismas. Solución. Probabilidad de tener una niña o un niño Según la fórmula de Bernoulli, la probabilidad requerida es igual a

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Determine la probabilidad de que una familia con 5 hijos tenga una niña. Se supone que las probabilidades de tener un niño y una niña son las mismas. Solución. Probabilidad de tener una niña o un niño Según la fórmula de Bernoulli, la probabilidad requerida es igual a

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Determine la probabilidad de que una familia con 5 hijos tenga dos niñas. Solución. Probabilidad de tener una niña o un niño Según la fórmula de Bernoulli, la probabilidad requerida es igual a

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Determine la probabilidad de que una familia con 5 hijos tenga tres niñas. Solución. Probabilidad de tener una niña o un niño Según la fórmula de Bernoulli, la probabilidad requerida es igual a

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Determine la probabilidad de que en una familia con 5 hijos no haya más de tres niñas. Se supone que las probabilidades de tener un niño y una niña son las mismas. Solución. Probabilidad de tener una niña o un niño La probabilidad requerida es igual a
.

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Entre las piezas procesadas por un trabajador, en promedio el 4% no son estándar. Encuentre la probabilidad de que entre 30 piezas tomadas para la prueba, dos no sean estándar. Solución. Aquí la experiencia consiste en comprobar la calidad de cada una de las 30 piezas. Evento A - "aparición de una pieza no estándar",

La fórmula de Bernoulli.

Belyaeva T.Yu. GBPOU KK "AMT" Armavir Profesor de matemáticas

Uno de los fundadores de la teoría de la probabilidad y el análisis matemático.

Miembro extranjero de la Academia de Ciencias de París (1699) y de la Academia de Ciencias de Berlín (1701)

Hermano mayor de Johann Bernoulli (el representante más famoso de la familia Bernoulli)

Jacob Bernoulli (1654 – 1705)

matemático suizo

Que se produzca PAG ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad de que ocurra el evento A es igual a R , y por lo tanto la probabilidad de que no suceda es igual a q = 1-p .

Necesitamos encontrar la probabilidad de que cuando PAG ensayos sucesivos, el evento A ocurrirá exactamente t una vez.

Denotamos la probabilidad deseada. R PAG ( t ) .

Es obvio que

p 1 (1) = p, p 1 (0) = q

R 1 (1) + p 1 (0) = p + q = 1

Con dos pruebas:

4 resultados posibles:

pag 2 (2) = pag 2 ; ð 2 (1) = 2ð·q; pag 2 (0) = q 2

R 2 (2) + pag 2 (1) + p 2 (0) = (p + q) 2 = 1

Con tres pruebas:

8 resultados posibles:

Obtenemos:

pag 3 (2) = 3p 2 q

pag 3 (1) = 3pq 2

R 3 (3) + pag 3 (2) + pag 3 (1) + p 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Tarea 1.

La moneda se lanza 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el escudo aparezca 4 veces?

Tarea 2.

Hay 20 bolas en una urna: 15 blancas y 5 negras. Se sacaron 5 bolas seguidas y cada bola extraída se devolvió a la urna antes de sacar la siguiente. Calcula la probabilidad de que de cinco bolas extraídas salgan 2 blancas.

Fórmulas para encontrar la probabilidad de que V PAG pruebas el evento vendrá :

A) menos de t veces

R PAG (0) +… +p PAG (t-1)

b) más de t veces

R PAG (t+1) + … + p PAG (PAG)

V) no más de t veces

R PAG (0) +… +p PAG (t)

GRAMO) al menos t veces

R PAG (t) + … + r PAG (PAG)

Tarea 3.

La probabilidad de producir una pieza no estándar en una máquina automática es 0,02. Determine la probabilidad de que entre seis piezas tomadas al azar haya más de 4 estándar.

Evento A - « más de 4 piezas estándar" (5 o 6) significa

« no más de 1 pieza defectuosa" (0 o 1)

Que se produzca PAG pruebas independientes. En cada uno de estos ensayos, el evento A puede ocurrir o no. Se conoce la probabilidad de que ocurra el evento A.

Necesitas encontrar ese número. μ (0, 1,…, n), para lo cual la probabilidad P n (μ) será la mayor.

Tarea 4.

La proporción de productos premium en esta empresa es del 31%. ¿Cuál es el número más probable de productos premium si se selecciona un lote de 75 productos?

Según la condición: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Tarea 6.

Dos tiradores disparan a un objetivo. La probabilidad de fallar un disparo para el primer tirador es de 0,2 y para el segundo, de 0,4. Encuentre el número más probable de voleas en las que no habrá acierto en el blanco si los tiradores disparan 25 voleas.

Según la condición: n = 25, p = 0,2·0,4 = 0,08, q = 0,92

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Títulos de diapositivas:

Capítulo 9. Elementos de estadística matemática, combinatoria y teoría de la probabilidad §54. Eventos aleatorios y sus probabilidades 3. REPETICIONES INDEPENDIENTES DE PRUEBAS. TEOREMA DE BERNOULLI Y ESTABILIDAD ESTADÍSTICA.

Contenido EJEMPLO 5. Probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo... Solución 5a); Solución 5b); Solución 5c); Solución 5d). Tenga en cuenta que... A lo largo de la serie de repeticiones, es importante saber... Jacob Bernoulli combinó ejemplos y preguntas... TEOREMA 3 (teorema de Bernoulli). EJEMPLO 6. En cada uno de los puntos a) - d) determine los valores de n, k, p, q y escriba (sin cálculos) una expresión para la probabilidad deseada Pn (k). Solución 6a); Solución 6b); Solución 6c); Solución 6 d). El teorema de Bernoulli permite... TEOREMA 4. Cuando gran número repeticiones independientes... Para el profesor. Fuentes. 08/02/2014 2

3. PRUEBAS DE REPETICIÓN INDEPENDIENTES. TEOREMA DE BERNOULLI Y ESTABILIDAD ESTADÍSTICA. Parte 3. 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 3

EJEMPLO 5. Probabilidad de acertar en el blanco con un solo disparo Cambiemos ligeramente el ejemplo anterior: en lugar de dos tiradores diferentes, el mismo tirador disparará al blanco. Ejemplo 5. La probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo es 0,8. Se realizaron 3 disparos independientes. Encuentre la probabilidad de que el objetivo: a) sea alcanzado tres veces; b) no se verá afectado; c) será golpeado al menos una vez; d) será golpeado exactamente una vez. 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 4

Solución al ejemplo 5a) Ejemplo 5. La probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo es 0,8. Se realizaron 3 disparos independientes. Encuentre la probabilidad de que el objetivo: a) sea alcanzado tres veces; 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 5

Solución al ejemplo 5b) Ejemplo 5. La probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo es 0,8. Se realizaron 3 disparos independientes. Encuentre la probabilidad de que el objetivo: b) no sea alcanzado; Decisión: 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 6

Solución al ejemplo 5c) Ejemplo 5. La probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo es 0,8. Se realizaron 3 disparos independientes. Encuentre la probabilidad de que el objetivo: c) sea alcanzado al menos una vez; Decisión: 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 7

Solución al ejemplo 5d) Ejemplo 5. La probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo es 0,8. Se realizaron 3 disparos independientes. Encuentre la probabilidad de que el objetivo: d) sea alcanzado exactamente una vez. Decisión: 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 8

Nota La solución dada en el párrafo d) del Ejemplo 5, en un caso específico, repite la demostración del famoso teorema de Bernoulli, que hace referencia a uno de los modelos probabilísticos más comunes: repeticiones independientes de una misma prueba con dos resultados posibles. Rasgo distintivo Una de las características de muchos problemas probabilísticos es que la prueba, como resultado de la cual puede ocurrir el evento que nos interesa, se puede repetir muchas veces. 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 9

En toda la serie de repeticiones es importante saber, en cada una de estas repeticiones nos interesa saber si este evento sucederá o no. Y en toda la serie de repeticiones, es importante para nosotros saber exactamente cuántas veces este evento puede ocurrir o no. Por ejemplo, se lanza un dado diez veces seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un “cuatro” exactamente 3 veces? 10 disparos; ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 8 aciertos en el objetivo? ¿O cuál es la probabilidad de que con cinco lanzamientos de una moneda salga “cara” exactamente 4 veces? 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 10

Jacob Bernoulli combinó ejemplos y preguntas El matemático suizo de principios del siglo XVIII Jacob Bernoulli combinó ejemplos y preguntas de este tipo en un único esquema probabilístico. deja que la probabilidad evento al azar Y al realizar alguna prueba es igual a P(A). Veamos esta prueba como una prueba con sólo dos resultados posibles: un resultado es que el evento A ocurrirá, y el otro resultado es que el evento A no ocurrirá, es decir, el evento Ᾱ ocurrirá. Para ser breves, llamemos al primer resultado (la ocurrencia del evento A) "éxito", y al segundo resultado (la ocurrencia del evento Ᾱ) "fracaso". Denotamos la probabilidad P(A) de “éxito” con p, y la probabilidad P(Ᾱ) de “fracaso” con q. Esto significa q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р. 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 11

TEOREMA 3 (teorema de Bernoulli) Teorema 3 (teorema de Bernoulli). Sea P n (k) la probabilidad de que exactamente k “éxitos” ocurran en n repeticiones independientes del mismo ensayo. Entonces P n (k)= С n k  p k  q n- k, donde p es la probabilidad de “éxito” y q=1 - p es la probabilidad de “fracaso” en una prueba particular. Este teorema (lo presentamos sin demostración) tiene gran valor tanto para la teoría como para la práctica. 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 12

EJEMPLO 6. Ejemplo 6. En cada uno de los puntos a) - d) determine los valores de n, k, p, q y escriba (sin cálculos) la expresión para la probabilidad deseada P n (k). a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 7 caras en 10 lanzamientos de moneda? b) Cada una de las 20 personas nombra de forma independiente uno de los días de la semana. Los lunes y viernes se consideran días de “mala suerte”. ¿Cuál es la probabilidad de que la “suerte” sea exactamente la mitad? c) Lanzar un dado es “exitoso” si obtiene 5 o 6 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de 25 lanzamientos sean “exitosos”? d) La prueba consiste en lanzar tres monedas diferentes al mismo tiempo. “Fracaso”: hay más “cruces” que “caras”. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente tres “suertes” entre 7 lanzamientos? 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 13

Solución 6a) Ejemplo 6. En cada uno de los puntos a) - d) determine los valores de n, k, p, q y escriba (sin cálculos) la expresión para la probabilidad deseada P n (k). a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 7 caras en 10 lanzamientos de moneda? Decisión: 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 14

Solución 6b) Ejemplo 6. En cada uno de los puntos a) - d) determine los valores de n, k, p, q y escriba (sin cálculos) la expresión para la probabilidad deseada P n (k). b) Cada una de las 20 personas nombra de forma independiente uno de los días de la semana. Los lunes y viernes se consideran días de “mala suerte”. ¿Cuál es la probabilidad de que la “suerte” sea exactamente la mitad? Decisión: 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 15

Solución 6c) Ejemplo 6. En cada uno de los puntos a) - d) determine los valores de n, k, p, q y escriba (sin cálculos) la expresión para la probabilidad deseada P n (k). c) Lanzar un dado es “exitoso” si obtiene 5 o 6 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de 25 lanzamientos sean “exitosos”? Decisión: 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 16

Solución 6d) Ejemplo 6. En cada uno de los puntos a) - d) determine los valores de n, k, p, q y escriba (sin cálculos) la expresión para la probabilidad deseada P n (k). d) La prueba consiste en lanzar tres monedas diferentes al mismo tiempo. “Fracaso”: hay más “cruces” que “caras”. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente tres “suertes” entre 7 lanzamientos? Solución: d) n = 7, k = 3. La “suerte” en un lanzamiento es que hay menos “cruces” que “caras”. Hay 8 resultados posibles en total: PPP, PPO, POP, OPP, POO, OPO, OOP, LLC (P - “cruz”, O - “cara”). Exactamente en la mitad de ellos hay menos cabezas que cabezas: ROO, ORO, OOP, OOO. Esto significa p = q = 0,5; P 7 (3) = C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = C 7 3 ∙ 0,5 7 . 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 17

El teorema de Bernoulli permite... El teorema de Bernoulli nos permite establecer una conexión entre el enfoque estadístico para determinar la probabilidad y la definición clásica de la probabilidad de un evento aleatorio. Para describir esta conexión, volvamos a los términos del artículo 50 sobre el procesamiento estadístico de la información. Considere una secuencia de n repeticiones independientes de la misma prueba con dos resultados: "éxito" y "fracaso". Los resultados de estas pruebas constituyen una serie de datos que constan de una determinada secuencia de dos opciones: “éxito” y “fracaso”. En pocas palabras, existe una secuencia de longitud n formada por dos letras U (“suerte”) y H (“fracaso”). Por ejemplo, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U o N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, etc. . n. Calculemos la multiplicidad y frecuencia de las variantes Y, es decir, encontremos la fracción k/n, donde k es el número de “suertes” encontradas entre las n repeticiones. Resulta que con un aumento ilimitado de n, la frecuencia k/n de aparición de "éxitos" será prácticamente indistinguible de la probabilidad p de "éxito" en una prueba. Este hecho matemático bastante complejo se deriva precisamente del teorema de Bernoulli. 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 18

TEOREMA 4. Con un gran número de repeticiones independientes TEOREMA 4. Con un gran número de repeticiones independientes de la misma prueba, la frecuencia de ocurrencia de un evento aleatorio A con precisión creciente es aproximadamente igual a la probabilidad del evento A: k/n ≈ PAG(A). Por ejemplo, con n > 2000, con una probabilidad mayor al 99%, se puede afirmar que error absoluto| k/n - P(A)| La igualdad aproximada k/n≈ Р(А) será menor que 0,03. Por tanto, en las encuestas sociológicas, basta con entrevistar a unas 2000 personas (encuestados) seleccionadas al azar. Si, digamos, 520 de ellos respondieron positivamente a pregunta hecha, entonces k/n=520/2000=0.26 y es casi seguro que para cualquier más de los encuestados, esta frecuencia oscilará entre 0,23 y 0,29. Este fenómeno se llama fenómeno de estabilidad estadística. Así, el teorema de Bernoulli y sus corolarios permiten (aproximadamente) encontrar la probabilidad de un evento aleatorio en los casos en que su cálculo explícito es imposible. 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 19

Para el profesor 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 20

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08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 22

Fuentes Álgebra e inicios del análisis, grados 10-11, Parte 1. Libro de texto, 10ª ed. ( Un nivel básico de), A.G.Mordkovich, M., 2009 Álgebra y principios del análisis, grados 10-11. (Un nivel básico de) Kit de herramientas para el profesor, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tablas compiladas en MS Word y MS Excel. Recursos de Internet Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas 08/02/2014 23

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Títulos de diapositivas:

Diapositiva 1
Capítulo 9. Elementos de estadística matemática, combinatoria y teoría de la probabilidad.
§54. Eventos aleatorios y sus probabilidades 3. REPETICIONES INDEPENDIENTES DE PRUEBAS. TEOREMA DE BERNOULLI Y ESTABILIDAD ESTADÍSTICA.

Diapositiva 2
Contenido
EJEMPLO 5. Probabilidad de dar en el blanco con un solo disparo...Solución 5a);Solución 5b);Solución 5c);Solución 5d).Tenga en cuenta que...En toda la serie de repeticiones, es importante saber... Jacob Bernoulli combinó ejemplos y preguntas... TEOREMA 3 (teorema de Bernoulli).
EJEMPLO 6. En cada uno de los puntos a) - d) determine los valores de n, k, p, q y escriba (sin cálculos) la expresión para la probabilidad deseada Pn(k).Solución 6a);Solución 6b) ;Solución 6c);Solución 6d ). El teorema de Bernoulli permite... TEOREMA 4. Con un gran número de repeticiones independientes... Para el profesor Fuentes.
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3. PRUEBAS DE REPETICIÓN INDEPENDIENTES. TEOREMA DE BERNOULLI Y ESTABILIDAD ESTADÍSTICA.
Parte 3.
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EJEMPLO 5. Probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo
Cambiemos ligeramente el ejemplo anterior: en lugar de dos tiradores diferentes, el mismo tirador disparará al objetivo Ejemplo 5. La probabilidad de acertar al objetivo con un solo disparo es 0,8. Se realizaron 3 disparos independientes. Encuentre la probabilidad de que el objetivo: a) sea alcanzado tres veces; b) no sea alcanzado; c) sea alcanzado al menos una vez; d) sea alcanzado exactamente una vez.
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Solución al ejemplo 5a)
Ejemplo 5. La probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo es 0,8. Se realizaron 3 disparos independientes. Encuentre la probabilidad de que el objetivo: a) sea alcanzado tres veces;
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Solución al ejemplo 5b)
Ejemplo 5. La probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo es 0,8. Se realizaron 3 disparos independientes. Encuentre la probabilidad de que el objetivo: b) no sea alcanzado; Solución:
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Solución al ejemplo 5c)
Ejemplo 5. La probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo es 0,8. Se realizaron 3 disparos independientes. Encuentre la probabilidad de que el objetivo: c) sea alcanzado al menos una vez; Solución:
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Solución al ejemplo 5d)
Ejemplo 5. La probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo es 0,8. Se realizaron 3 disparos independientes. Encuentre la probabilidad de que el objetivo: d) sea alcanzado exactamente una vez. Solución:
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Nota
La solución dada en el párrafo d) del Ejemplo 5, en un caso específico, repite la demostración del famoso teorema de Bernoulli, que hace referencia a uno de los modelos probabilísticos más comunes: repeticiones independientes de una misma prueba con dos resultados posibles. Una característica distintiva de muchos problemas probabilísticos es que la prueba, como resultado de la cual puede ocurrir el evento que nos interesa, se puede repetir muchas veces.
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A lo largo de toda la serie de repeticiones, es importante saber
En cada una de estas repeticiones, nos interesa la pregunta de si este evento sucederá o no. Y en toda la serie de repeticiones, es importante para nosotros saber exactamente cuántas veces este evento puede ocurrir o no. Por ejemplo, se lanza un dado diez veces seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un “cuatro” exactamente 3 veces? 10 disparos; ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 8 aciertos en el objetivo? ¿O cuál es la probabilidad de que con cinco lanzamientos de una moneda salga “cara” exactamente 4 veces?
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Jacob Bernoulli combinó ejemplos y preguntas.
El matemático suizo de principios del siglo XVIII, Jacob Bernoulli, combinó ejemplos y preguntas de este tipo en un único esquema probabilístico: Sea la probabilidad de un evento aleatorio A durante una determinada prueba igual a P(A). Veamos esta prueba como una prueba con sólo dos resultados posibles: un resultado es que el evento A ocurrirá, y el otro resultado es que el evento A no ocurrirá, es decir, el evento Ᾱ ocurrirá. Para ser breves, llamemos al primer resultado (la ocurrencia del evento A) "éxito", y al segundo resultado (la ocurrencia del evento Ᾱ) "fracaso". Denotamos la probabilidad P(A) de “éxito” con p, y la probabilidad P(Ᾱ) de “fracaso” con q. Esto significa q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р.
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TEOREMA 3 (teorema de Bernoulli)
Teorema 3 (teorema de Bernoulli). Sea Pn(k) la probabilidad de que ocurran exactamente k “éxitos” en n repeticiones independientes del mismo ensayo. Entonces Pn(k) = Сnk pk qn-k, donde p es la probabilidad de “éxito” y q = 1-p es la probabilidad de “fracaso” en una prueba separada. Este teorema (lo presentamos sin demostración) ) es de gran importancia para la teoría y la práctica.
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EJEMPLO 6.
Ejemplo 6. En cada uno de los puntos a) - d) determine los valores de n, k, p, q y escriba (sin cálculos) la expresión para la probabilidad deseada Pn(k).a) ¿Cuál es la probabilidad de ¿exactamente 7 “caras” en 10 lanzamientos?¿monedas?b) Cada una de las 20 personas nombra de forma independiente uno de los días de la semana. Los lunes y viernes se consideran días de “mala suerte”. ¿Cuál es la probabilidad de que el “éxito” sea exactamente la mitad? c) Lanzar un dado es “éxito” si el resultado es 5 o 6 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de 25 lanzamientos sean “exitosos”? d) La prueba consiste en lanzar tres monedas diferentes al mismo tiempo. “Fracaso”: hay más “cruces” que “caras”. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente tres “suertes” entre 7 lanzamientos?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, profesora de matemáticas
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Diapositiva 14
Solución 6a)
Ejemplo 6. En cada uno de los puntos a) - d) determine los valores de n, k, p, q y escriba (sin cálculos) la expresión para la probabilidad deseada Pn(k).a) ¿Cuál es la probabilidad de ¿Exactamente 7 “caras” en 10 lanzamientos de monedas? Solución:
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Diapositiva 15
Solución 6b)
Ejemplo 6. En cada uno de los puntos a) - d) determine los valores de n, k, p, q y escriba (sin cálculos) una expresión para la probabilidad deseada Pn(k). b) Cada una de 20 personas de forma independiente nombra uno de los días de la semana. Los lunes y viernes se consideran días de “mala suerte”. ¿Cuál es la probabilidad de que la “suerte” sea exactamente la mitad? Solución:
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Diapositiva 16
Solución 6c)
Ejemplo 6. En cada uno de los puntos a) - d) determine los valores de n, k, p, q y escriba (sin cálculos) la expresión para la probabilidad deseada Pn(k).c) Lanzar un dado es “ exitoso” si se obtienen 5 o 6 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de 25 lanzamientos sean “exitosos”? Solución:
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Diapositiva 17
Solución 6d)
Ejemplo 6. En cada uno de los puntos a) - d) determine los valores de n, k, p, q y escriba (sin cálculos) una expresión para la probabilidad deseada Pn(k). d) La prueba consiste en lanzar tres monedas diferentes al mismo tiempo. “Fracaso”: hay más “cruces” que “caras”. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente tres “suertes” entre 7 lanzamientos?Solución: d) n = 7, k = 3. La “suerte” en un lanzamiento es que haya menos “cruces” que “caras”. Hay 8 resultados posibles en total: PPP, PPO, POP, OPP, POO, OPO, OOP, LLC (P - “cruz”, O - “cara”). Exactamente en la mitad de ellos hay menos cabezas que cabezas: ROO, ORO, OOP, OOO. Esto significa p = q = 0,5; Р7(3) = С73∙0,53∙0,54 = С73∙0,57.
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Diapositiva 18
El teorema de Bernoulli permite...
El teorema de Bernoulli nos permite establecer una conexión entre el enfoque estadístico para determinar la probabilidad y la definición clásica de probabilidad de un evento aleatorio. Para describir esta conexión, volvamos a los términos del artículo 50 sobre el procesamiento estadístico de la información. Considere una secuencia de n repeticiones independientes de la misma prueba con dos resultados: "éxito" y "fracaso". Los resultados de estas pruebas constituyen una serie de datos que constan de una determinada secuencia de dos opciones: “éxito” y “fracaso”. En pocas palabras, existe una secuencia de longitud n formada por dos letras U (“suerte”) y H (“fracaso”). Por ejemplo, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U o N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, etc. . n. Calculemos la multiplicidad y frecuencia de la variante Y, es decir, encontremos la fracción k/n, donde k es el número de “suertes” encontradas entre las n repeticiones. Resulta que con un aumento ilimitado de n, la frecuencia k/n de aparición de "éxitos" será prácticamente indistinguible de la probabilidad p de "éxito" en una prueba. Este hecho matemático bastante complejo se deriva precisamente del teorema de Bernoulli.
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Diapositiva 19
TEOREMA 4. Con un gran número de repeticiones independientes
TEOREMA 4. Con un gran número de repeticiones independientes de la misma prueba, la frecuencia de ocurrencia de un evento aleatorio A con precisión creciente es aproximadamente igual a la probabilidad del evento A: k/n≈ P(A). n > 2000 con una probabilidad superior al 99%, se puede argumentar que el error absoluto |k/n- Р(А)| La igualdad aproximada k/n≈ Р(А) será menor que 0,03. Por tanto, en las encuestas sociológicas, basta con entrevistar a unas 2000 personas (encuestados) seleccionadas al azar. Si, digamos, 520 de ellos respondieron positivamente a la pregunta formulada, entonces k/n=520/2000=0,26 y es casi seguro que para un número mayor de encuestados esta frecuencia estará en el rango de 0,23 a 0,29. Este fenómeno se llama fenómeno de estabilidad estadística, por lo que el teorema de Bernoulli y sus corolarios permiten (aproximadamente) encontrar la probabilidad de un evento aleatorio en los casos en que su cálculo explícito es imposible.
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Diapositiva 20
para el maestro
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Diapositiva 22
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Diapositiva 23
Fuentes
Álgebra y principios del análisis, grados 10-11, Parte 1. Libro de texto, 10ª ed. (Nivel básico), A.G. Mordkovich, M., 2009 Álgebra e inicios del análisis, grados 10-11. (Nivel básico) Manual metodológico para profesores, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tablas compiladas en MS Word y MS Excel, recursos de Internet
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Se llevan a cabo una serie de pruebas independientes en
cada uno de los cuales tiene 2 resultados posibles,
que llamaremos condicionalmente Éxito y Fracaso.
Por ejemplo, un estudiante toma 4 exámenes, cada uno
de los cuales 2 resultados son posibles Éxito: estudiante
aprobó el examen y Suspenso: no aprobó.

La probabilidad de éxito en cada prueba es igual a
pag. La probabilidad de fracaso es q=1-p.
Necesitas encontrar la probabilidad de que en la serie
De n intentos, el éxito ocurrirá m veces.
Pn(m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
En cada caso, el éxito ocurre m veces y
Falla (n-m) veces.
Número
todos
combinaciones
es igual
número
formas de n pruebas para elegir aquellas m, en
de los cuales hubo Éxito, es decir Cm
norte

La probabilidad de cada combinación es
teorema
acerca de
multiplicación
probabilidades
será Pmqn-m.
Dado que estas combinaciones son incompatibles, entonces
la probabilidad deseada del evento Bm será
Pn(m)pq
metro
m
...pq
metro
m
vâñåãî C ñëàãàåì û õ C p q
metro
norte
metro
norte
metro
m

Pn(m)Cpq
metro
norte
metro
m

Se sabe que si la moneda cae cara, el estudiante
va al cine si la moneda cae en cara

estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que
1) tres de ellos estarán en la conferencia
2) habrá al menos 3 estudiantes en la conferencia
2) ¿Asistirá al menos uno de los estudiantes a la conferencia?

1) En este problema se realiza una serie de n=5
pruebas independientes. Llamémoslo éxito
ir a una conferencia (cayendo cabezas) y
El fracaso es una visita al cine (se cae el escudo).
p=q=1/2.
Usando la fórmula de Bernoulli encontramos la probabilidad de que
¿Qué pasará tres veces en 5 lanzamientos de una moneda?
éxito:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Para encontrar la probabilidad de que con 5 lanzamientos
al menos una vez que la moneda caiga en cara,
pasemos a la posibilidad de lo contrario
eventos: la moneda aparecerá como un escudo de armas las 5 veces:
P5 (0).
Entonces la probabilidad deseada será: P = 1 - P5 (0).
Según la fórmula de Bernoulli:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Entonces la probabilidad del evento deseado será
P1 0,03125 0,96875

bernoulli
el estudiante esta caminando
En el cine, si la moneda sale cara, el estudiante va a por ella.
conferencia. 5 estudiantes lanzaron una moneda. Que es lo más
¿Número probable de estudiantes que asistirán a la conferencia?
Probabilidad
la ganancia por 1 billete es 0,2. Que es lo más
¿Número probable de boletos ganadores?

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli

np q k np p

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli
Fórmula para el número más probable de éxitos
np q k np p
Si np-q es un número entero, entonces este intervalo contiene 2
números enteros. Ambas cosas son igualmente probables.
Si np-q es un número no entero, entonces este intervalo contiene 1
entero

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli
Ejemplo Se sabe que si una moneda cae en cara,

– un estudiante va a una conferencia. 5 arrojó una moneda

¿Los estudiantes van a una conferencia?
np q k np p
n 5
1
p q
2

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli
Ejemplo Se sabe que si una moneda cae en cara,
estudiante va al cine si la moneda sale cara
– un estudiante va a una conferencia. 5 arrojó una moneda
estudiantes. ¿Cuál es el número más probable?
¿Los estudiantes van a una conferencia?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli
Ejemplo Se sabe que si una moneda cae en cara,
estudiante va al cine si la moneda sale cara
– un estudiante va a una conferencia. 5 arrojó una moneda
estudiantes. ¿Cuál es el número más probable?
¿Los estudiantes van a una conferencia?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli
Ejemplo Se sabe que si una moneda cae en cara,
estudiante va al cine si la moneda sale cara
– un estudiante va a una conferencia. 5 arrojó una moneda
estudiantes. ¿Cuál es el número más probable?
¿Los estudiantes van a una conferencia?
probabilidad, Pn(k)
Probabilidades del número de estudiantes que asisten.
conferencia
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
número de estudiantes, k
4
5

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli
Ejemplo Se compraron 10 billetes de lotería.

¿Entradas?
np q k np p
número 10
p 0,2 q 0,8

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli
Ejemplo Se compraron 10 billetes de lotería.
La probabilidad de ganar con 1 boleto es 0,2.
¿Cuál es el número más probable de ganadores?
¿Entradas?
np q k np p
número 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli
Ejemplo Se compraron 10 billetes de lotería.
La probabilidad de ganar con 1 boleto es 0,2.
¿Cuál es el número más probable de ganadores?
¿Entradas?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli
Ejemplo Se compraron 10 billetes de lotería.
La probabilidad de ganar con 1 boleto es 0,2.
¿Cuál es el número más probable de ganadores?
¿Entradas?
Probabilidades del número de billetes ganadores.
probabilidad, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
número de boletos, k
7
8
9
10

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli

10 contratos celebrados

pagar el monto del seguro

uno de los acuerdos

que bajo tres contratos
d) encontrar el número más probable de contratos, según
¿Quién tendrá que pagar el importe del seguro?

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli
Ejemplo En promedio, el 20% de los contratos son seguros.
la empresa paga el importe del seguro.
10 contratos celebrados
a) Calcula la probabilidad de que en tres
pagar el monto del seguro
0,201327

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli
Ejemplo En promedio, el 20% de los contratos son seguros.
la empresa paga el importe del seguro.
10 contratos celebrados
b) Tampoco habrá que pagar la suma asegurada
uno de los acuerdos
0,107374

Número más probable de éxitos en un esquema
bernoulli
Ejemplo En promedio, el 20% de los contratos son seguros.
la empresa paga el importe del seguro.
10 contratos celebrados
c) el monto del seguro no deberá pagarse más de,
que bajo tres contratos
0,753297

Si n es grande, entonces usando la fórmula
Pn(m)Cpq
metro
norte
metro
m
difícil
Por lo tanto, se utilizan fórmulas aproximadas.

Teorema: Si la probabilidad p de que ocurra el evento A
en cada prueba es cercano a cero,
y el número de pruebas independientes n es bastante grande,
entonces la probabilidad Pn(m) de que en n ensayos independientes
El evento A ocurrirá m veces, aproximadamente igual a:
Pn(m)
metro
¡metro!
mi
donde λ=np
Esta fórmula se llama fórmula de Poisson (ley de eventos raros)

Pn(m)
metro
¡metro!
e, n.p.
Generalmente se utiliza la fórmula aproximada de Poisson,
cuando p<0,1, а npq<10.

Ejemplo Hágase saber que en la fabricación de un determinado fármaco
defectuoso (número de paquetes que no cumplen con el estándar)
es 0,2%. Estime aproximadamente la probabilidad de que
de 1000 paquetes seleccionados al azar habrá tres paquetes,
no cumplir con el estándar.
Pn(k)
k
¡k!
P1000 (3)?
mi,
notario público.

no más de 5 contratos están conectados.

Ejemplo: De media, el 1% de los contratos están cubiertos por una compañía de seguros
paga el monto del seguro. Encuentre la probabilidad de que desde
100 contratos con la ocurrencia de un evento asegurado serán
no más de 5 contratos están conectados.