Al resolver diversos problemas de geometría, mecánica, física y otras ramas del conocimiento, se hizo necesario utilizar el mismo proceso analítico a partir de una función dada y=f(x) obtener una nueva función llamada función derivada(o simplemente derivada) de esta función f(x) y se simbolizan

El proceso por el cual una función dada f(x) obtener una nueva función f"(x), llamado diferenciación y consta de los siguientes tres pasos: 1) damos el argumento X incremento  X y determine el incremento correspondiente de la función  y = f(x+ x)-f(x); 2) componen la relación

3) contando X permanente, y  X0, encontramos
, que se denota por f"(x), como si enfatizara que la función resultante depende solo del valor X, en el que pasamos al límite. Definición: Derivada y "=f" (x) función dada y=f(x) dado x se llama el límite de la razón del incremento de la función al incremento del argumento, siempre que el incremento del argumento tienda a cero, si, por supuesto, este límite existe, es decir finito. De este modo,
, o

Tenga en cuenta que si por algún valor X, por ejemplo cuando x=a, relación
en  X0 no tiende a un límite finito, entonces en este caso decimos que la función f(x) en x=a(o en el punto x=a) no tiene derivada o no es diferenciable en un punto x=a.

2. El significado geométrico de la derivada.

Considere el gráfico de la función y \u003d f (x), derivable en la vecindad del punto x 0

f(x)

Consideremos una línea recta arbitraria que pasa por el punto del gráfico de la función: el punto A (x 0, f (x 0)) y se cruza con el gráfico en algún punto B (x; f (x)). Tal línea recta (AB) se llama secante. De ∆ABC: ​​AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

Desde AC || Ox, entonces ALO = BAC = β (como corresponde en paralelo). Pero ALO es el ángulo de inclinación de la secante AB a la dirección positiva del eje Ox. Por tanto, tgβ = k es la pendiente de la recta AB.

Ahora disminuiremos ∆x, es decir ∆x→ 0. En este caso, el punto B se aproximará al punto A según la gráfica, y la secante AB rotará. La posición límite de la secante AB en ∆x → 0 será la línea recta (a), llamada tangente al gráfico de la función y \u003d f (x) en el punto A.

Si pasamos al límite como ∆х → 0 en la igualdad tgβ =∆y/∆x, entonces obtenemos
o tg \u003d f "(x 0), ya que
-ángulo de inclinación de la tangente a la dirección positiva del eje Ox
, por definición de derivada. Pero tg \u003d k es la pendiente de la tangente, lo que significa que k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Entonces, el significado geométrico de la derivada es el siguiente:

Derivada de una función en un punto x 0 es igual a coeficiente angular tangente a la gráfica de la función dibujada en el punto con la abscisa x 0 .

3. Significado físico de la derivada.

Considere el movimiento de un punto a lo largo de una línea recta. Sea la coordenada de un punto en cualquier instante x(t). Se sabe (del curso de física) que la velocidad promedio durante un período de tiempo es igual a la relación entre la distancia recorrida durante este período de tiempo y el tiempo, es decir

Vav = ∆x/∆t. Pasemos al límite en la última igualdad como ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - velocidad instantánea en el tiempo t 0, ∆t → 0.

y lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (por la definición de derivada).

Entonces, (t) = x"(t).

El significado físico de la derivada es el siguiente: la derivada de la funcióny = F(X) en el puntoX 0 es la tasa de cambio de la funciónF(x) en el puntoX 0

La derivada se usa en física para encontrar la velocidad a partir de una función conocida de coordenadas a partir del tiempo, la aceleración a partir de una función conocida de velocidad a partir del tiempo.

 (t) \u003d x "(t) - velocidad,

a(f) = "(t) - aceleración, o

Si se conoce la ley de movimiento de un punto material a lo largo de un círculo, entonces es posible encontrar la velocidad angular y la aceleración angular durante el movimiento de rotación:

φ = φ(t) - cambio de ángulo con el tiempo,

ω \u003d φ "(t) - velocidad angular,

ε = φ"(t) - aceleración angular, o ε = φ"(t).

Si se conoce la ley de distribución de la masa de una barra no homogénea, entonces se puede encontrar la densidad lineal de la barra no homogénea:

m \u003d m (x) - masa,

x  , l - longitud de la varilla,

p \u003d m "(x) - densidad lineal.

Con la ayuda de la derivada se resuelven problemas de la teoría de la elasticidad y vibraciones armónicas. Sí, según la ley de Hooke.

F = -kx, x – coordenada variable, k – coeficiente de elasticidad del resorte. Poniendo ω 2 \u003d k / m, obtenemos la ecuación diferencial del péndulo de resorte x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

donde ω = √k/√m es la frecuencia de oscilación (l/c), k es la tasa de resorte (H/m).

Una ecuación de la forma y "+ ω 2 y \u003d 0 se denomina ecuación de oscilaciones armónicas (mecánicas, eléctricas, electromagnéticas). La solución a tales ecuaciones es la función

y = Asin(ωt + φ 0) o y = Acos(ωt + φ 0), donde

A - amplitud de oscilación, ω - frecuencia cíclica,

φ 0 - fase inicial.

¿Qué es un derivado?
Definición y significado de la derivada de una función

Muchos se sorprenderán por la ubicación inesperada de este artículo en el curso de mi autor sobre la derivada de una función de una variable y sus aplicaciones. Después de todo, como era de la escuela: un libro de texto estándar, en primer lugar, da una definición de un derivado, su significado geométrico y mecánico. Luego, los estudiantes encuentran derivadas de funciones por definición y, de hecho, solo entonces se perfecciona la técnica de diferenciación usando tablas de derivadas.

Pero desde mi punto de vista, el siguiente enfoque es más pragmático: en primer lugar, es recomendable ENTENDER BIEN límite de función, y especialmente infinitesimales. El hecho es que la definición de la derivada se basa en el concepto de límite, que es mal considerado en el curso escolar. Es por eso que una parte importante de los jóvenes consumidores de conocimientos de granito penetran poco en la esencia misma del derivado. Por lo tanto, si está mal orientado en cálculo diferencial, o es un cerebro sabio para largos años eliminado con éxito este equipaje, comience desde límites de función. Al mismo tiempo dominar/recordar su decisión.

El mismo sentido práctico sugiere que primero es rentable aprender a encontrar derivadas, incluido derivadas de funciones complejas. La teoría es una teoría, pero, como dicen, siempre quieres diferenciar. En este sentido, es mejor resolver los enumerados lecciones basicas, y puede convertirse maestro de diferenciación sin siquiera darse cuenta de la esencia de sus acciones.

Recomiendo comenzar los materiales en esta página después de leer el artículo. Los problemas más simples con una derivada., donde, en particular, se considera el problema de la tangente a la gráfica de una función. Pero se puede retrasar. El hecho es que muchas aplicaciones de la derivada no requieren entenderla, y no es de extrañar que la lección teórica apareciera bastante tarde, cuando necesitaba explicar encontrar intervalos de aumento/disminución y extremos funciones Es más, estuvo bastante tiempo en el tema” Funciones y Gráficos”, hasta que decidí ponerlo antes.

Por lo tanto, queridas teteras, no se apresuren a absorber la esencia del derivado, como animales hambrientos, porque la saturación será insípida e incompleta.

El concepto de creciente, decreciente, máximo, mínimo de una función

Muchos guías de estudio condujo al concepto de derivada con la ayuda de algunos problemas prácticos, y también se me ocurrió un ejemplo interesante. Imagina que tenemos que viajar a una ciudad a la que se puede llegar de diferentes maneras. Inmediatamente descartamos los caminos sinuosos curvos, y consideraremos solo líneas rectas. Sin embargo, las direcciones en línea recta también son diferentes: puede llegar a la ciudad a lo largo de una autopista plana. O en una carretera montañosa: arriba y abajo, arriba y abajo. Otro camino solo va cuesta arriba, y otro va cuesta abajo todo el tiempo. Los buscadores de emociones elegirán una ruta a través del desfiladero con un acantilado empinado y un ascenso empinado.

Pero sean cuales sean tus preferencias, lo recomendable es conocer la zona, o al menos localizarla. mapa topográfico. ¿Qué pasa si no hay tal información? Después de todo, puede elegir, por ejemplo, un camino plano, pero como resultado, tropezar con una pista de esquí con divertidos finlandeses. No es el hecho de que el navegador e incluso una imagen satelital proporcionen datos confiables. Por lo tanto, sería bueno formalizar el relieve del camino por medio de las matemáticas.

Considere algún camino (vista lateral):

Por si acaso, les recuerdo un dato elemental: el viaje se realiza de izquierda a derecha. Por simplicidad, supongamos que la función continuo en el área bajo consideración.

¿Cuáles son las características de este gráfico?

A intervalos función aumenta, es decir, cada uno de sus siguientes valores más El anterior. En términos generales, el horario va abajo arriba(subimos la colina). Y en el intervalo la función disminuye- cada siguiente valor menos el anterior, y nuestro horario va De arriba hacia abajo(bajando la pendiente).

También prestemos atención a los puntos especiales. En el punto al que llegamos máximo, eso es existe tal sección de la ruta en la que el valor será el más grande (el más alto). En el mismo punto, mínimo, Y existe tal su vecindario, en el que el valor es el más pequeño (más bajo).

En la lección se considerará una terminología y definiciones más rigurosas. sobre los extremos de la función mientras estudiamos uno mas característica importante: entre la función es creciente, pero es creciente a diferentes velocidades. Y lo primero que llama la atención es que el gráfico se dispara en el intervalo mucho más genial que en el intervalo. ¿Es posible medir la inclinación del camino usando herramientas matemáticas?

Tasa de cambio de función

La idea es esta: tomar algún valor (léase "delta x"), que llamaremos incremento de argumento y empezar a "probarlo" para diferentes puntos nuestro camino:

1) Veamos el punto más a la izquierda: salteando la distancia, subimos la pendiente hasta una altura (línea verde). El valor se llama incremento de función, y en este caso este incremento es positivo (la diferencia de valores a lo largo del eje es mayor que cero). Hagamos la razón, que será la medida de la pendiente de nuestro camino. Obviamente, es un número muy específico, y dado que ambos incrementos son positivos, entonces .

¡Atención! Las designaciones son UNO símbolo, es decir, no puede "arrancar" el "delta" de la "x" y considerar estas letras por separado. Por supuesto, el comentario también se aplica al símbolo de incremento de la función.

Exploremos la naturaleza de la fracción resultante más significativa. Supongamos inicialmente que estamos a una altura de 20 metros (en el punto negro izquierdo). Superada la distancia de metros (línea roja izquierda), estaremos a una altura de 60 metros. Entonces el incremento de la función será metros (línea verde) y: . De este modo, en cada metro este tramo del camino aumenta la altura promedio por 4 metros…¿olvidaste tu equipo de escalada? =) En otras palabras, la relación construida caracteriza la TASA DE CAMBIO PROMEDIO (en este caso, el crecimiento) de la función.

Nota : Los valores numéricos del ejemplo en cuestión corresponden a las proporciones del dibujo solo aproximadamente.

2) Ahora vayamos a la misma distancia desde el punto negro más a la derecha. Aquí el aumento es más suave, por lo que el incremento (línea carmesí) es relativamente pequeño y la proporción en comparación con el caso anterior será bastante modesta. Hablando relativamente, metros y tasa de crecimiento de la función es . Es decir, aquí por cada metro de camino hay promedio medio metro de altura.

3) Una pequeña aventura en la ladera de la montaña. Miremos hacia arriba punto negro ubicado en el eje y. Supongamos que esta es una marca de 50 metros. Nuevamente superamos la distancia, como resultado de lo cual nos encontramos más bajos, al nivel de 30 metros. Desde que se hizo el movimiento De arriba hacia abajo(en la dirección "opuesta" del eje), luego el final el incremento de la función (altura) será negativo: metros (línea marrón en el dibujo). Y en este caso estamos hablando de tasa de descomposición características: , es decir, por cada metro de recorrido de este tramo, la altura disminuye promedio por 2 metros. Cuida la ropa en el quinto punto.

Ahora hagamos la pregunta: ¿cuál es el mejor valor de "estándar de medición" para usar? Está claro que 10 metros es muy duro. Una buena docena de golpes pueden caber fácilmente en ellos. ¿Por qué hay baches? Puede haber un desfiladero profundo debajo y, después de unos pocos metros, su otro lado con un ascenso más empinado. Por lo tanto, con uno de diez metros, no obtendremos una característica inteligible de tales secciones del camino a través de la relación.

De la discusión anterior se desprende la siguiente conclusión: cómo menos valor , con mayor precisión describiremos el relieve del camino. Además, los siguientes hechos son ciertos:

– Para cualquier puntos de elevación puede elegir un valor (aunque sea muy pequeño) que se ajuste a los límites de una u otra elevación. Y esto significa que se garantizará que el incremento de altura correspondiente sea positivo, y la desigualdad indicará correctamente el crecimiento de la función en cada punto de estos intervalos.

- Asimismo, para cualquier punto de pendiente, hay un valor que encajará completamente en esta pendiente. Por lo tanto, el correspondiente aumento de altura es inequívocamente negativo, y la desigualdad mostrará correctamente la disminución de la función en cada punto del intervalo dado.

– De particular interés es el caso cuando la tasa de cambio de la función es cero: . Primero, un incremento de altura cero () es un signo de un camino uniforme. Y en segundo lugar, hay otras situaciones curiosas, cuyos ejemplos ves en la figura. Imagina que el destino nos ha llevado a la cima de una colina con águilas volando o al fondo de un barranco con ranas croando. Si das un pequeño paso en cualquier dirección, entonces el cambio de altura será insignificante y podemos decir que la tasa de cambio de la función es en realidad cero. El mismo patrón se observa en los puntos.

Por lo tanto, nos hemos acercado a una oportunidad increíble para caracterizar perfectamente con precisión la tasa de cambio de una función. Después de todo, el análisis matemático nos permite dirigir el incremento del argumento a cero: es decir, hacerlo infinitesimal.

Como resultado, surge otra pregunta lógica: ¿es posible encontrar el camino y su horario? otra función, cual nos diría sobre todos los llanos, subidas, bajadas, picos, tierras bajas, así como la tasa de aumento/disminución en cada punto de la ruta?

¿Qué es un derivado? Definición de derivada.
El significado geométrico de la derivada y diferencial.

Lea atentamente y no demasiado rápido: ¡el material es simple y accesible para todos! Está bien si en algunos lugares algo parece no estar muy claro, siempre puedes volver al artículo más tarde. Diré más, es útil estudiar la teoría varias veces para comprender cualitativamente todos los puntos (el consejo es especialmente relevante para los estudiantes "técnicos", para quienes las matemáticas superiores juegan un papel importante en el proceso educativo).

Naturalmente, en la propia definición de la derivada en un punto, la sustituiremos por:

¿A qué hemos llegado? Y llegamos a la conclusión de que para una función conforme a la ley está alineado otra función, Lo que es llamado función derivada(o simplemente derivado).

La derivada caracteriza tasa de cambio funciones ¿Cómo? El pensamiento va como un hilo rojo desde el principio del artículo. Considere algún punto dominios funciones Sea la función diferenciable en un punto dado. Entonces:

1) Si , entonces la función crece en el punto . Y obviamente hay intervalo(aunque sea muy pequeño) que contiene el punto en el que crece la función, y su gráfico va "de abajo hacia arriba".

2) Si , entonces la función decrece en el punto . Y hay un intervalo que contiene un punto en el que la función decrece (la gráfica va “de arriba hacia abajo”).

3) Si , entonces infinitamente cerca cerca del punto, la función mantiene su velocidad constante. Esto sucede, como se señaló, para una función constante y en los puntos críticos de la función, En particular en los puntos mínimo y máximo.

Algunas semánticas. ¿Qué significa el verbo "diferenciar" en un sentido amplio? Diferenciar significa destacar una característica. Derivando la función , "seleccionamos" la tasa de su cambio en forma de derivada de la función . Y, por cierto, ¿qué significa la palabra "derivado"? Función sucedió de la función.

Los términos interpretan con mucho éxito el significado mecánico de la derivada. :
Consideremos la ley de cambio de la coordenada del cuerpo , que depende del tiempo , y la función de la velocidad de movimiento cuerpo dado. La función caracteriza la tasa de cambio de la coordenada del cuerpo, por lo tanto es la primera derivada de la función con respecto al tiempo: . Si el concepto de “movimiento del cuerpo” no existiera en la naturaleza, entonces no existiría derivado concepto de "velocidad".

La aceleración de un cuerpo es la razón de cambio de la velocidad, por lo tanto: . Si los conceptos originales de “movimiento del cuerpo” y “velocidad del movimiento del cuerpo” no existieran en la naturaleza, entonces no habría derivado el concepto de aceleración de un cuerpo.

Fecha: 20/11/2014

¿Qué es un derivado?

Tabla de derivadas.

Derivado es uno de los principales conceptos. Matemáticas avanzadas. En esta lección, introduciremos este concepto. Conozcámonos, sin formulaciones y demostraciones matemáticas estrictas.

Esta introducción le permitirá:

Comprender la esencia de las tareas simples con un derivado;

Resolver con éxito estos más tareas dificiles;

Prepárese para lecciones derivadas más serias.

Primero, una agradable sorpresa.

La definición estricta de la derivada se basa en la teoría de los límites, y la cosa es bastante complicada. Es molesto. ¡Pero la aplicación práctica de la derivada, por regla general, no requiere un conocimiento tan extenso y profundo!

Para completar con éxito la mayoría de las tareas en la escuela y la universidad, es suficiente saber sólo unos pocos términos- comprender la tarea, y solo algunas reglas- para resolverlo. Y eso es. Esto me hace feliz.

¿Nos conocemos?)

Términos y designaciones.

Hay muchas operaciones matemáticas en las matemáticas elementales. Sumas, restas, multiplicaciones, exponenciaciones, logaritmos, etc. Si a estas operaciones se suma una operación más, las matemáticas elementales se vuelven superiores. Este nueva operación llamado diferenciación. La definición y el significado de esta operación se discutirán en lecciones separadas.

Aquí es importante entender que la diferenciación es solo una operación matemática sobre una función. Tomamos cualquier función y algunas reglas, transformarlo. el resultado será nueva caracteristica. Esta nueva función se llama: derivado.

Diferenciación- acción sobre una función.

Derivado es el resultado de esta acción.

Al igual que, por ejemplo, suma es el resultado de la suma. O privado es el resultado de la división.

Al conocer los términos, al menos puede comprender las tareas). La redacción es la siguiente: encontrar la derivada de una función; tomar la derivada; diferenciar la función; calcular derivada etcétera. Esto es todo mismo. Por supuesto, hay tareas más complejas, donde encontrar la derivada (derivación) será solo uno de los pasos para resolver la tarea.

La derivada se denota con un guión en la parte superior derecha sobre la función. Como esto: y" o f"(x) o Calle) etcétera.

leer trazo y, trazo ef desde x, trazo es desde te, bueno lo entiendes...)

Un primo también puede denotar la derivada de una función particular, por ejemplo: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" etc. A menudo, la derivada se denota usando diferenciales, pero no consideraremos tal notación en esta lección.

Supongamos que hemos aprendido a entender las tareas. No queda nada, para aprender a resolverlos). Déjame recordarte nuevamente: encontrar la derivada es transformación de una función según ciertas reglas. Estas reglas son sorprendentemente pocas.

Para encontrar la derivada de una función, solo necesitas saber tres cosas. Tres pilares sobre los que descansa toda diferenciación. Aquí están las tres ballenas:

1. Tabla de derivadas (fórmulas de diferenciación).

3. Derivado función compleja.

Comencemos en orden. En esta lección, consideraremos la tabla de derivadas.

Tabla de derivadas.

El mundo tiene un número infinito de funciones. Entre este conjunto hay funciones que son las más importantes para aplicación práctica. Estas funciones se asientan en todas las leyes de la naturaleza. A partir de estas funciones, como de ladrillos, se pueden construir todas las demás. Esta clase de funciones se llama funciones elementales. Son estas funciones las que se estudian en la escuela: lineal, cuadrática, hipérbola, etc.

Diferenciación de funciones "desde cero", es decir basado en la definición de la derivada y la teoría de los límites, algo que consume bastante tiempo. Y los matemáticos también son personas, ¡sí, sí!) Así que simplificaron sus vidas (y la nuestra). Calcularon derivadas de funciones elementales antes que nosotros. El resultado es una tabla de derivadas, donde todo está listo.)

Aquí está, esta placa para las funciones más populares. Izquierda - función elemental, derecha - su derivada.

	Función y	Derivada de la función y y"
1	C (constante)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n es cualquier número)	(x n)" = nx n-1
	x2 (n = 2)	(x2)" = 2x
4	pecado x	(senx)" = cosx
	porque x	(cos x)" = - sen x
	tg x
	control x
5	arcosen x
	arco cos x
	arco x
	arcctg x
4	a X
	mi X
5	registro a X
	en x ( un = mi)

Recomiendo prestar atención al tercer grupo de funciones en esta tabla de derivadas. Derivado función de poder- ¡una de las fórmulas más comunes, si no la más común! ¿Está clara la pista?) Sí, es deseable saber de memoria la tabla de derivadas. Por cierto, esto no es tan difícil como podría parecer. Intenta resolver más ejemplos, ¡la tabla en sí será recordada!)

Encontrar el valor tabular de la derivada, como comprenderá, no es la tarea más difícil. Por lo tanto, muy a menudo en tales tareas hay chips adicionales. Ya sea en la formulación de la tarea, o en la función original, que no parece estar en la tabla...

Veamos algunos ejemplos:

1. Encuentra la derivada de la función y = x 3

No existe tal función en la tabla. Pero hay una derivada de la función potencia en vista general(tercer grupo). En nuestro caso, n=3. Así que sustituimos el triple en lugar de n y cuidadosamente anotamos el resultado:

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Eso es todo al respecto.

Respuesta: y" = 3x 2

2. Encuentra el valor de la derivada de la función y = senx en el punto x = 0.

Esta tarea significa que primero debes encontrar la derivada del seno y luego sustituir el valor x = 0 a esta misma derivada. ¡Está en ese orden! De lo contrario, sucede que inmediatamente sustituyen cero en la función original ... No se nos pide que encontremos el valor de la función original, sino el valor su derivado. La derivada, déjame recordarte, ya es una nueva función.

En la placa encontramos el seno y la derivada correspondiente:

y" = (senx)" = cosx

Sustituye cero en la derivada:

y"(0) = cos 0 = 1

Esta será la respuesta.

3. Diferenciar la función:

¿Qué inspira?) No hay ni siquiera cerca de tal función en la tabla de derivadas.

Permítanme recordarles que derivar una función es simplemente encontrar la derivada de esta función. Si olvida la trigonometría elemental, encontrar la derivada de nuestra función es bastante complicado. La tabla no ayuda...

Pero si vemos que nuestra función es coseno de un ángulo doble, ¡entonces todo mejora inmediatamente!

¡Sí Sí! Recuerda que la transformación de la función original antes de la diferenciación bastante aceptable! Y pasa a hacer la vida mucho más fácil. Según la fórmula del coseno de un ángulo doble:

Aquellos. nuestra función engañosa no es más que y = cox. Y esta es una función de tabla. Inmediatamente obtenemos:

Respuesta: y" = - sen x.

Ejemplo para graduados avanzados y estudiantes:

4. Encuentra la derivada de una función:

Por supuesto, no existe tal función en la tabla de derivadas. Pero si recuerdas las matemáticas elementales, acciones con potencias... Entonces es bastante posible simplificar esta función. Como esto:

¡Y x elevado a la décima ya es una función tabular! El tercer grupo, n=1/10. Directamente de acuerdo con la fórmula y escribe:

Eso es todo. Esta será la respuesta.

Espero que con la primera ballena de la diferenciación, la tabla de derivadas, todo quede claro. Queda por ocuparse de las dos ballenas restantes. En la próxima lección, aprenderemos las reglas de diferenciación.

Es absolutamente imposible resolver problemas físicos o ejemplos matemáticos sin conocimientos sobre la derivada y los métodos para calcularla. Derivado es uno de los conceptos más importantes. Análisis matemático. Decidimos dedicar el artículo de hoy a este tema fundamental. ¿Qué es una derivada, cuál es su significado físico y geométrico, cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?

Significado geométrico y físico de la derivada

Sea una función f(x) , dado en algún intervalo (a,b) . Los puntos x y x0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función misma cambia. Cambio de argumento - diferencia de sus valores x-x0 . Esta diferencia se escribe como delta x y se llama incremento de argumento. El cambio o incremento de una función es la diferencia entre los valores de la función en dos puntos. Definición de derivada:

La derivada de una función en un punto es el límite de la razón del incremento de la función en un punto dado al incremento del argumento cuando este último tiende a cero.

De lo contrario, se puede escribir así:

¿Cuál es el punto de encontrar tal límite? Pero cual:

la derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

significado físico derivado: la derivada temporal de la trayectoria es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.

De hecho, desde la época escolar, todo el mundo sabe que la velocidad es un camino privado. x=f(t) y tiempo t . Velocidad media durante un cierto período de tiempo:

Para saber la velocidad de movimiento a la vez t0 necesitas calcular el límite:

Regla uno: sacar la constante

La constante se puede sacar del signo de la derivada. Además, hay que hacerlo. Al resolver ejemplos en matemáticas, tome como regla: si puedes simplificar la expresión, asegúrate de simplificar .

Ejemplo. Calculemos la derivada:

Regla dos: derivada de la suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo es cierto para la derivada de la diferencia de funciones.

No daremos una demostración de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.

Encuentra la derivada de una función:

Regla tres: la derivada del producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo: encontrar la derivada de una función:

Solución:

Aquí es importante decir sobre el cálculo de derivadas de funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio por la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

En el ejemplo anterior, encontramos la expresión:

En este caso, el argumento intermedio es 8x elevado a la quinta potencia. Para calcular la derivada de tal expresión, primero consideramos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio y luego multiplicamos por la derivada del propio argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

Regla Cuatro: La derivada del cociente de dos funciones

Fórmula para determinar la derivada de un cociente de dos funciones:

Intentamos hablar de derivados para tontos desde cero. Este tema no es tan simple como parece, así que tenga cuidado: a menudo hay errores en los ejemplos, así que tenga cuidado al calcular derivadas.

Para cualquier consulta sobre este y otros temas, póngase en contacto con servicio estudiantil. En poco tiempo, lo ayudaremos a resolver las tareas de control y manejo más difíciles, incluso si nunca antes se ha ocupado del cálculo de derivadas.