Para resolver varios problemas de los cursos de matemáticas y física, debes dividir fracciones. Es muy fácil de hacer si sabes algunas reglas realizar esta operación matemática.
Antes de pasar a formular la regla para dividir fracciones, recordemos algunos términos matemáticos:
- La parte superior de la fracción se llama numerador y la parte inferior se llama denominador.
- Al dividir, los números se llaman de la siguiente manera: dividendo: divisor = cociente
Cómo dividir fracciones: fracciones simples
Para dividir dos fracciones simples, multiplica el dividendo por el recíproco del divisor. Esta fracción también se llama invertida porque se obtiene intercambiando el numerador y el denominador. Por ejemplo:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Cómo dividir fracciones: fracciones mixtas
Si tenemos que dividir fracciones mixtas, entonces todo aquí también es bastante simple y claro. Primero, convertimos la fracción mixta en una fracción impropia regular. Para hacer esto, multiplique el denominador de dicha fracción por un número entero y agregue el numerador al producto resultante. Como resultado, obtuvimos un nuevo numerador de fracción mixta, pero su denominador permanecerá sin cambios. Además, la división de fracciones se realizará exactamente de la misma forma que la división de fracciones simples. Por ejemplo:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Cómo dividir una fracción por un número
Para dividir una fracción simple por un número, este último debe escribirse como fracción (irregular). Esto es muy fácil de hacer: este número se escribe en lugar del numerador y el denominador de dicha fracción es igual a uno. La división adicional se realiza de la forma habitual. Veamos esto con un ejemplo:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Cómo dividir decimales
A menudo, un adulto tiene dificultades para dividir un número entero o una fracción decimal entre una fracción decimal sin la ayuda de una calculadora.
Entonces, para dividir decimales, solo necesitas tachar la coma en el divisor y dejar de prestarle atención. En el dividendo, la coma debe moverse hacia la derecha exactamente tantos lugares como estaba en la parte fraccionaria del divisor, sumando ceros si es necesario. Y siguen produciendo división regular por un número entero. Para que esto quede más claro, considere el siguiente ejemplo.
Puedes hacer todo con fracciones, incluida la división. Este artículo muestra la división de fracciones ordinarias. Se darán definiciones y se discutirán ejemplos. Detengámonos en detalle en la división de fracciones por números naturales y viceversa. Se discutirá la división de una fracción común por un número mixto.
Dividir fracciones
La división es la inversa de la multiplicación. Al dividir, el factor desconocido se encuentra con el producto conocido de otro factor, donde su significado dado se conserva con fracciones ordinarias.
Si es necesario dividir una fracción común a b por c d, entonces para determinar dicho número es necesario multiplicar por el divisor c d, esto finalmente dará el dividendo a b. Consigamos un número y escríbalo a b · d c , donde d c es el inverso del número c d. Las igualdades se pueden escribir usando las propiedades de la multiplicación, a saber: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, donde la expresión a b · d c es el cociente de dividir a b por c d.
De aquí obtenemos y formulamos la regla para dividir fracciones ordinarias:
Definición 1
Para dividir una fracción común a b por c d, debes multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.
Escribamos la regla en forma de expresión: a b: c d = a b · d c
Las reglas de la división se reducen a la multiplicación. Para seguir adelante, debes tener un buen conocimiento de la multiplicación de fracciones.
Pasemos a considerar la división de fracciones ordinarias.
Ejemplo 1
Divide 9 7 entre 5 3. Escribe el resultado como una fracción.
Solución
El número 5 3 es la fracción recíproca 3 5. Es necesario utilizar la regla para dividir fracciones ordinarias. Esta expresión la escribimos de la siguiente manera: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Respuesta: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Al reducir fracciones, separe la parte entera si el numerador es mayor que el denominador.
Ejemplo 2
Divide 8 15: 24 65. Escribe la respuesta como una fracción.
Solución
Para resolverlo, debes pasar de la división a la multiplicación. Escribámoslo de esta forma: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Es necesario hacer una reducción, y esto se hace de la siguiente manera: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Seleccione la parte completa y obtenga 13 9 = 1 4 9.
Respuesta: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Dividir una fracción extraordinaria por un número natural
Usamos la regla de dividir una fracción por número natural: para dividir a b por un número natural n, solo necesitas multiplicar el denominador por n. De aquí obtenemos la expresión: a b: n = a b · n.
La regla de la división es consecuencia de la regla de la multiplicación. Por tanto, representar un número natural como fracción dará una igualdad de este tipo: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Considere esta división de una fracción por un número.
Ejemplo 3
Divide la fracción 16 45 por el número 12.
Solución
Apliquemos la regla para dividir una fracción por un número. Obtenemos una expresión de la forma 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Reduzcamos la fracción. Obtenemos 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Respuesta: 16 45: 12 = 4 135 .
Dividir un número natural por una fracción
La regla de división es similar. oh la regla para dividir un número natural por una fracción ordinaria: para dividir un número natural n por una fracción ordinaria a b, es necesario multiplicar el número n por el recíproco de la fracción a b.
Según la regla tenemos n: a b = n · b a, y gracias a la regla de multiplicar un número natural por una fracción ordinaria, obtenemos nuestra expresión en la forma n: a b = n · b a. Es necesario considerar esta división con un ejemplo.
Ejemplo 4
Divide 25 entre 15 28.
Solución
Necesitamos pasar de la división a la multiplicación. Escribámoslo en forma de expresión 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Reduzcamos la fracción y obtengamos el resultado en la forma de fracción 46 2 3.
Respuesta: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Dividir una fracción por un número mixto
Al dividir una fracción común por un número mixto, puedes comenzar fácilmente a dividir fracciones comunes. Necesitas convertir un número mixto a una fracción impropia.
Ejemplo 5
Divide la fracción 35 16 entre 3 1 8.
Solución
Como 3 1 8 es un número mixto, representémoslo como una fracción impropia. Luego obtenemos 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Ahora dividamos fracciones. Obtenemos 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Respuesta: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
La división de un número mixto se realiza de la misma forma que los números ordinarios.
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La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (consulte la lección “Suma y resta de fracciones”). La parte más difícil de esas acciones fue llevar las fracciones a un denominador común.
Ahora es el momento de abordar la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más sencillas que la suma y la resta. Primero, consideremos el caso más simple, cuando hay dos fracciones positivas sin una parte entera separada.
Para multiplicar dos fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores por separado. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.
Para dividir dos fracciones, debes multiplicar la primera fracción por la segunda fracción "invertida".
Designación:
De la definición se deduce que dividir fracciones se reduce a multiplicación. Para "voltear" una fracción, simplemente intercambie el numerador y el denominador. Por lo tanto, a lo largo de la lección consideraremos principalmente la multiplicación.
Como resultado de la multiplicación, puede surgir (y a menudo surge) una fracción reducible; por supuesto, debe reducirse. Si después de todas las reducciones la fracción resulta ser incorrecta, se debe resaltar la parte completa. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos entrecruzados, con mayores factores y mínimos múltiplos comunes.
Por definición tenemos:
Multiplicar fracciones con partes enteras y fracciones negativas
Si las fracciones contienen una parte entera, deben convertirse en impropias y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.
Si hay un menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de él, se puede sacar de la multiplicación o eliminarlo por completo de acuerdo con las siguientes reglas:
- Más por menos da menos;
- Dos negativos hacen una afirmativa.
Hasta ahora, estas reglas sólo se encontraban al sumar y restar fracciones negativas, cuando era necesario deshacerse de la parte entera. Para una obra, se pueden generalizar para “quemar” varias desventajas a la vez:
- Tachamos los negativos de dos en dos hasta que desaparezcan por completo. En casos extremos, puede sobrevivir un menos: aquel para el que no había pareja;
- Si no quedan inconvenientes, la operación se completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no se tacha porque no tenía par, lo sacamos de los límites de la multiplicación. El resultado es una fracción negativa.
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Convertimos todas las fracciones a impropias y luego quitamos los menos de la multiplicación. Multiplicamos lo que queda según las reglas habituales. Obtenemos:
Permítanme recordarles una vez más que el menos que aparece delante de una fracción con la parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción entera, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).
También preste atención a los números negativos: al multiplicarlos, se incluyen entre paréntesis. Esto se hace para separar los signos negativos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.
Reducir fracciones sobre la marcha
La multiplicación es una operación que requiere mucha mano de obra. Los números aquí resultan ser bastante grandes y, para simplificar el problema, puedes intentar reducir aún más la fracción. antes de la multiplicación. De hecho, en esencia, los numeradores y denominadores de fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, se pueden reducir utilizando la propiedad básica de una fracción. Echa un vistazo a los ejemplos:
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
Por definición tenemos:
En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.
Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se redujeron por completo. En su lugar quedan unidades que, por lo general, no es necesario escribir. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero la cantidad total de cálculos aún disminuyó.
Sin embargo, ¡nunca utilices esta técnica al sumar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que simplemente deseas reducir. Aquí, mira:
¡No puedes hacer eso!
El error ocurre porque al sumar, el numerador de una fracción produce una suma, no un producto de números. En consecuencia, es imposible aplicar la propiedad básica de una fracción, ya que esta propiedad trata específicamente de la multiplicación de números.
Simplemente no hay otras razones para reducir fracciones, por lo que solución correcta la tarea anterior se ve así:
Solución correcta:
Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan hermosa. En general, ten cuidado.
Los números fraccionarios ordinarios se encuentran por primera vez con los escolares en quinto grado y los acompañan durante toda su vida, ya que en la vida cotidiana a menudo es necesario considerar o utilizar un objeto no en su conjunto, sino en partes separadas. Empiece a estudiar este tema: comparte. Las acciones son partes iguales., en el que se divide tal o cual objeto. Después de todo, no siempre es posible expresar, por ejemplo, la longitud o el precio de un producto como un número entero; se deben tener en cuenta partes o fracciones de alguna medida. Formada a partir del verbo "dividir", dividir en partes, y con raíces árabes, la palabra "fracción" surgió en el idioma ruso en el siglo VIII.
Las expresiones fraccionarias se han considerado durante mucho tiempo la rama más difícil de las matemáticas. En el siglo XVII, cuando aparecieron los primeros libros de texto de matemáticas, se les llamaba “números quebrados”, lo cual era muy difícil de entender para la gente.
Aspecto moderno Los restos fraccionarios simples, cuyas partes están separadas por una línea horizontal, fueron promovidos por primera vez por Fibonacci, Leonardo de Pisa. Sus obras están fechadas en 1202. Pero el propósito de este artículo es explicar de manera simple y clara al lector cómo se multiplican las fracciones mixtas con diferentes denominadores.
Multiplicar fracciones con diferentes denominadores
Inicialmente vale la pena determinar tipos de fracciones:
- correcto;
- incorrecto;
- mezclado.
A continuación, debes recordar cómo se multiplican los números fraccionarios con los mismos denominadores. La regla misma de este proceso no es difícil de formular de forma independiente: el resultado de multiplicar fracciones simples con denominadores idénticos es una expresión fraccionaria, cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores de estas fracciones. . Es decir, de hecho, el nuevo denominador es el cuadrado de uno de los inicialmente existentes.
Al multiplicar fracciones simples con diferentes denominadores para dos o más factores la regla no cambia:
a/b * C/d = a*c/ b*d.
La única diferencia es que el número resultante bajo la línea fraccionaria será el producto de diferentes números y, naturalmente, el cuadrado de uno. expresión numérica es imposible nombrarlo.
Vale la pena considerar la multiplicación de fracciones con diferentes denominadores usando ejemplos:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Los ejemplos utilizan métodos para reducir expresiones fraccionarias. Solo puedes reducir números de numerador con números de denominador; los factores adyacentes por encima o por debajo de la línea de fracción no se pueden reducir.
Junto a las fracciones simples, existe el concepto de fracciones mixtas. Un número mixto está formado por un número entero y una parte fraccionaria, es decir, es la suma de estos números:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
¿Cómo funciona la multiplicación?
Se proporcionan varios ejemplos para su consideración.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
El ejemplo utiliza la multiplicación de un número por parte fraccionaria ordinaria, la regla para esta acción se puede escribir como:
a* b/C = a*b /C.
De hecho, dicho producto es la suma de restos fraccionarios idénticos y el número de términos indica este número natural. Caso especial:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Existe otra solución para multiplicar un número por un resto fraccionario. Sólo necesitas dividir el denominador por este número:
d* mi/F = mi/f:d.
Esta técnica es útil cuando el denominador se divide por un número natural sin resto o, como dicen, por un número entero.
Convierte números mixtos a fracciones impropias y obtiene el producto de la forma descrita anteriormente:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Este ejemplo involucra una forma de representar una fracción mixta como una fracción impropia, también se puede representar como formula general:
a bC = a*b+ c/c, donde el denominador de la nueva fracción se forma multiplicando la parte entera por el denominador y sumándolo con el numerador del resto fraccionario original, y el denominador sigue siendo el mismo.
Este proceso también funciona en reverso. Para separar la parte entera y el resto fraccionario, es necesario dividir el numerador de una fracción impropia por su denominador utilizando una “esquina”.
Multiplicación fracciones impropias producido de una manera generalmente aceptada. Al escribir bajo una sola línea de fracción, debes reducir las fracciones según sea necesario para reducir los números usando este método y facilitar el cálculo del resultado.
En Internet existen muchas ayudas para resolver incluso problemas matemáticos complejos en diversas variantes de programas. Un número suficiente de estos servicios ofrecen su ayuda para contar la multiplicación de fracciones con diferentes numeros en denominadores: las llamadas calculadoras en línea para calcular fracciones. Son capaces no sólo de multiplicar, sino también de realizar todas las demás operaciones aritméticas simples con fracciones ordinarias y números mixtos. No es difícil trabajar con él; usted completa los campos correspondientes en la página del sitio web, selecciona el signo de la operación matemática y hace clic en "calcular". El programa calcula automáticamente.
El tema de las operaciones aritméticas con fracciones es relevante en toda la educación de los estudiantes de secundaria y preparatoria. En la escuela secundaria ya no consideran las especies más simples, sino expresiones fraccionarias enteras, pero el conocimiento de las reglas de transformación y cálculos obtenido anteriormente se aplica en su forma original. Un conocimiento básico bien dominado brinda total confianza en una solución exitosa para la mayoría tareas complejas.
En conclusión, tiene sentido citar las palabras de Lev Nikolaevich Tolstoi, quien escribió: “El hombre es una fracción. No está en el poder de una persona aumentar su numerador - sus méritos - pero cualquiera puede reducir su denominador - su opinión sobre sí mismo, y con esta disminución acercarse a su perfección.
Una fracción es una o más partes de un todo, generalmente considerada como uno (1). Al igual que con los números naturales, puedes realizar todas las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, división, multiplicación) con fracciones, para ello necesitas conocer las características del trabajo con fracciones y distinguir entre sus tipos. Hay varios tipos de fracciones: decimales y ordinarias o simples. Cada tipo de fracción tiene sus propias particularidades, pero una vez que comprendas a fondo cómo manejarlas, podrás resolver cualquier ejemplo con fracciones, ya que conocerás los principios básicos para realizar cálculos aritméticos con fracciones. Veamos ejemplos de cómo dividir una fracción por un número entero usando diferentes tipos fracciones.
¿Cómo dividir una fracción simple por un número natural?Las fracciones ordinarias o simples son fracciones que se escriben como una proporción de números en la que el dividendo (numerador) se indica en la parte superior de la fracción y el divisor (denominador) de la fracción se indica en la parte inferior. ¿Cómo dividir tal fracción por un número entero? ¡Veamos un ejemplo! Digamos que necesitamos dividir 8/12 entre 2.
Para ello debemos realizar una serie de acciones:
Así, si nos enfrentamos a la tarea de dividir una fracción por un número entero, el diagrama de solución se verá así: 
De manera similar, puedes dividir cualquier fracción ordinaria (simple) por un número entero.
¿Cómo dividir un decimal por un número entero?
Un decimal es una fracción que se obtiene dividiendo una unidad en diez partes, mil, etcétera. Operaciones aritmeticas con fracciones decimales son bastante simples.
Veamos un ejemplo de cómo dividir una fracción por un número entero. Digamos que necesitamos dividir la fracción decimal 0,925 por el número natural 5.
En resumen, detengámonos en dos puntos principales que son importantes a la hora de realizar la operación de dividir fracciones decimales por un número entero: - para la separación decimal La división de columnas se utiliza para un número natural;
- Se coloca una coma en un cociente cuando se completa la división de la parte entera del dividendo.
