datos de matriz
Encuentre: 1) aA - bB,
Solución: 1) Encontramos secuencialmente, usando las reglas para multiplicar una matriz por un número y sumar matrices.
2. Encuentra A*B si
Solución: Usar la regla de multiplicación de matrices
Responder: 
3. Para una matriz dada, encuentre el menor M 31 y calcule el determinante.
Solución: Minor M 31 es el determinante de la matriz que se obtiene de A
después de eliminar la fila 3 y la columna 1. Busque
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Transformemos la matriz A sin cambiar su determinante (hagamos ceros en la fila 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Ahora calculamos el determinante de la matriz A por expansión a lo largo de la fila 1
Respuesta: M 31 = 0, detA = 0
Resuelva utilizando el método de Gauss y el método de Cramer.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x1 + x2 + 3x3 = 6
2x1 + x2 + 2x3 = 5
Solución: Vamos a revisar
Puedes usar el método de Cramer
Solución del sistema: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Aplicamos el método de Gauss.
Reducimos la matriz extendida del sistema a una forma triangular.
Para facilitar los cálculos, intercambiamos las líneas:
Multiplique la segunda fila por (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) y agregue a la 3ra:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Multiplique la primera fila por (k = -2 / 2 = -1 ) y agregue a la 2da:
Ahora el sistema original se puede escribir como:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x2 = 13 - (6x3)
A partir de la 2ª línea expresamos
Desde la primera línea expresamos
La solución es la misma.
Respuesta: (2; -5; 3)
Encuentre la solución general del sistema y FSR
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Solución: Aplicar el método de Gauss. Reducimos la matriz extendida del sistema a una forma triangular.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Multiplique la primera fila por (-11). Multiplica la segunda fila por (13). Agreguemos la segunda línea a la primera:
| -2 | -2 | -3 | ||
Multiplique la segunda fila por (-5). Multiplica la tercera fila por (11). Agreguemos la 3ra línea a la 2da:
Multiplique la tercera fila por (-7). Multiplica la cuarta fila por (5). Agreguemos la 4ta línea a la 3ra:
La segunda ecuación es una combinación lineal del resto.
Encuentre el rango de la matriz.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
El menor resaltado tiene el orden más alto (de los posibles menores) y no es cero (es igual al producto de los elementos en la diagonal recíproca), por lo que rang(A) = 2.
Este menor es básico. Incluye coeficientes para las incógnitas x 1, x 2, lo que significa que las incógnitas x 1, x 2 son dependientes (básicas) y x 3, x 4, x 5 son libres.
El sistema con los coeficientes de esta matriz es equivalente al sistema original y tiene la forma:
18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5
7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5
Por el método de eliminación de incógnitas, encontramos decisión común:
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
Encontramos el sistema fundamental de soluciones (FSR), que consta de (n-r) soluciones. En nuestro caso, n=5, r=2, por lo tanto, el sistema fundamental de soluciones consta de 3 soluciones, y estas soluciones deben ser linealmente independientes.
Para que las filas sean linealmente independientes, es necesario y suficiente que el rango de la matriz compuesta por los elementos de las filas sea igual al número de filas, es decir, 3.
Basta con dar a las incógnitas libres x 3 ,x 4 ,x 5 valores de las filas del determinante de 3er orden, diferentes de cero, y calcular x 1 ,x 2 .
El determinante distinto de cero más simple es la matriz identidad.
Pero aquí es más conveniente tomar
Encontramos usando la solución general:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ
I Decisión FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ
Decisión II FSR: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
Decisión III FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)
6. Dado: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Encuentre: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Solución: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Respuesta: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 - 0.3i
Asignación de servicios. La calculadora en línea está diseñada para encontrar una solución no trivial y fundamental a la SLAE. La solución resultante se guarda en un archivo de Word (ver ejemplo de solución).
Instrucción. Seleccione la dimensión de la matriz:
Propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas
Para que el sistema tenga soluciones no triviales, es necesario y suficiente que el rango de su matriz sea menos que numero desconocido.Teorema. El sistema en el caso m=n tiene solución no trivial si y solo si el determinante de este sistema es igual a cero.
Teorema. Cualquier combinación lineal de soluciones a un sistema es también una solución a ese sistema.
Definición. El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas se denomina sistema de decisión fundamental si esta colección consta de soluciones linealmente independientes y cualquier solución del sistema es una combinación lineal de estas soluciones.
Teorema. Si el rango r de la matriz del sistema es menor que el número n de incógnitas, entonces existe un sistema fundamental de soluciones que consta de (n-r) soluciones.
Algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneas
- Encuentre el rango de la matriz.
- Seleccionamos el menor básico. Seleccionamos incógnitas dependientes (básicas) y libres.
- Tachamos aquellas ecuaciones del sistema cuyos coeficientes no estaban incluidos en el menor básico, ya que son consecuencias del resto (según el teorema del menor básico).
- Los términos de las ecuaciones que contienen incógnitas libres se trasladarán al lado derecho. Como resultado se obtiene un sistema de r ecuaciones con r incógnitas, equivalente al dado, cuyo determinante es distinto de cero.
- Resolvemos el sistema resultante eliminando las incógnitas. Encontramos relaciones que expresan variables dependientes en términos de variables libres.
- Si el rango de la matriz no es igual al número de variables, entonces encontramos la solución fundamental del sistema.
- En el caso de rang = n, tenemos una solución trivial.
Ejemplo. Encuentra la base del sistema de vectores (a 1 , a 2 ,...,am), ordena y expresa los vectores en términos de la base. Si a 1 =(0,0,1,-1) y 2 =(1,1,2,0) y 3 =(1,1,1,1) y 4 =(3,2,1 ,4) , y 5 =(2,1,0,3).
Escribimos la matriz principal del sistema:
Multiplique la tercera fila por (-3). Agreguemos la 4ta línea a la 3ra:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Multiplique la cuarta fila por (-2). Multiplica la quinta fila por (3). Agreguemos la quinta línea a la cuarta:
Agreguemos la segunda línea a la primera:
Encuentre el rango de la matriz.
El sistema con los coeficientes de esta matriz es equivalente al sistema original y tiene la forma:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Por el método de eliminación de incógnitas, encontramos una solución no trivial:
Obtuvimos relaciones que expresan las variables dependientes x 1, x 2, x 3 hasta libre x 4, es decir, encontramos una solución general:
x3 = x4
x2 = - x4
x 1 = - x 4
Sistemas homogéneos de lineales ecuaciones algebraicas
Dentro de las lecciones método de Gauss Y Sistemas incompatibles/sistemas con una solución común nosotros consideramos sistemas no homogéneos de ecuaciones lineales, donde miembro gratuito(que suele estar a la derecha) al menos uno de las ecuaciones era diferente de cero.
Y ahora, después de un buen calentamiento con rango de matriz, seguiremos puliendo la técnica transformaciones elementales sobre el sistema homogéneo de ecuaciones lineales.
Según los primeros párrafos, el material puede parecer aburrido y ordinario, pero esta impresión es engañosa. Además de un mayor desarrollo tecnicas Habrá mucha información nueva, así que trate de no descuidar los ejemplos de este artículo.
¿Qué es un sistema homogéneo de ecuaciones lineales?
La respuesta se sugiere a sí misma. Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si el término libre todo el mundo la ecuación del sistema es cero. Por ejemplo:
Está bastante claro que sistema homogéneo es siempre consistente, es decir, siempre tiene solución. Y, en primer lugar, los llamados trivial solución 
. Trivial, para aquellos que no entienden el significado del adjetivo en absoluto, significa bespontovoe. No académicamente, por supuesto, pero inteligiblemente =) ... ¿Por qué andarnos por las ramas? Averigüemos si este sistema tiene otras soluciones:
Ejemplo 1
Solución: para resolver un sistema homogéneo es necesario escribir matriz del sistema y con la ayuda de transformaciones elementales llevarlo a una forma escalonada. Tenga en cuenta que no es necesario escribir la barra vertical y la columna cero de los miembros libres aquí, porque haga lo que haga con los ceros, seguirán siendo cero: 
(1) La primera fila se sumó a la segunda fila, multiplicada por -2. La primera línea se sumó a la tercera línea, se multiplicó por -3.
(2) La segunda línea se sumó a la tercera línea, se multiplicó por -1.
Dividir la tercera fila por 3 no tiene mucho sentido.
Como resultado de transformaciones elementales, se obtiene un sistema homogéneo equivalente 
, y aplicando golpe inverso método de Gauss, es fácil comprobar que la solución es única.
Responder:
Formulemos un criterio obvio: un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene única solución trivial, si rango de la matriz del sistema(en este caso 3) es igual al número de variables (en este caso, 3 uds.).
Calentamos y sintonizamos nuestra radio a una ola de transformaciones elementales:
Ejemplo 2
Resolver un sistema homogéneo de ecuaciones lineales 
Del artículo ¿Cómo encontrar el rango de una matriz? recordamos el método racional de reducir incidentalmente los números de la matriz. De lo contrario, tendrá que sacrificar peces grandes y, a menudo, mordedores. Muestra Muestra tarea al final de la lección.
Los ceros son buenos y convenientes, pero en la práctica el caso es mucho más común cuando las filas de la matriz del sistema linealmente dependiente. Y entonces la aparición de una solución general es inevitable:
Ejemplo 3
Resolver un sistema homogéneo de ecuaciones lineales 
Solución: escribimos la matriz del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevamos a una forma escalonada. La primera acción tiene como objetivo no solo obtener un valor único, sino también reducir los números en la primera columna:
(1) La tercera fila se agregó a la primera fila, multiplicada por -1. La tercera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por -2. En la parte superior izquierda, obtuve una unidad con un "menos", que a menudo es mucho más conveniente para futuras transformaciones.
(2) Las dos primeras líneas son iguales, una de ellas ha sido eliminada. Honestamente, no ajusté la decisión, sucedió. Si realiza transformaciones en una plantilla, entonces dependencia lineal las líneas aparecerían un poco más tarde.
(3) A la tercera línea, agregue la segunda línea, multiplicada por 3.
(4) Se ha cambiado el signo de la primera línea.
Como resultado de transformaciones elementales, se obtiene un sistema equivalente: 
El algoritmo funciona exactamente igual que para sistemas heterogéneos. Las variables "sentados en los escalones" son las principales, la variable que no obtuvo los "escalones" es libre.
Expresamos las variables básicas en términos de la variable libre: 
Responder: decisión común: 
La solución trivial está incluida en formula general, y no hay necesidad de escribirlo por separado.
La verificación también se lleva a cabo según el esquema habitual: la solución general resultante debe sustituirse en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema y se obtiene un cero legítimo para todas las sustituciones.
Esto podría terminar tranquilamente, pero la solución de un sistema homogéneo de ecuaciones a menudo necesita ser representada en forma vectorial vía sistema de decisión fundamental. Por favor, olvídate temporalmente de geometría analítica, ya que ahora hablaremos de vectores en el sentido algebraico general, que abrí un poco en un artículo sobre rango de matriz. No es necesario sombrear la terminología, todo es bastante simple.
La solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) es sin duda el tema mas importante curso de álgebra lineal. Una gran cantidad de problemas de todas las ramas de las matemáticas se reducen a resolver sistemas de ecuaciones lineales. Estos factores explican la razón de crear este artículo. El material del artículo está seleccionado y estructurado para que con su ayuda pueda
- recoger mejor método resolver su sistema de ecuaciones algebraicas lineales,
- estudiar la teoría del método elegido,
- Resuelva su sistema de ecuaciones lineales, habiendo considerado en detalle las soluciones de ejemplos y problemas típicos.
Breve descripción del material del artículo.
Primero, damos todas las definiciones y conceptos necesarios e introducimos alguna notación.
A continuación, consideramos métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en los que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y que tienen una solución única. Primero, centrémonos en el método de Cramer, en segundo lugar, mostraremos el método matricial para resolver tales sistemas de ecuaciones y, en tercer lugar, analizaremos el método de Gauss (el método de eliminación sucesiva de variables desconocidas). Para consolidar la teoría, definitivamente resolveremos varios SLAE de varias maneras.
Después de eso, pasamos a resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. vista general, en el que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas o la matriz principal del sistema está degenerada. Formulamos el teorema de Kronecker-Capelli, que nos permite establecer la compatibilidad de las SLAE. Analicemos la solución de sistemas (en el caso de su compatibilidad) utilizando el concepto de base menor de una matriz. También consideraremos el método de Gauss y describiremos en detalle las soluciones de los ejemplos.
Asegúrese de detenerse en la estructura de la solución general de sistemas homogéneos y no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales. Demos el concepto de sistema fundamental de soluciones y mostremos cómo se escribe la solución general de la SLAE utilizando los vectores del sistema fundamental de soluciones. Para una mejor comprensión, veamos algunos ejemplos.
En conclusión, consideramos sistemas de ecuaciones que se reducen a lineales, así como varios problemas, en cuya solución surgen SLAE.
Navegación de página.
Definiciones, conceptos, denominaciones.
Consideraremos sistemas de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas (p puede ser igual a n ) de la forma
Variables desconocidas, - coeficientes (algunos números reales o complejos), - miembros libres (también números reales o complejos).
Esta forma de SLAE se llama coordinar.
EN forma de matriz este sistema de ecuaciones tiene la forma ,
donde 
- la matriz principal del sistema, - la matriz-columna de variables desconocidas, - la matriz-columna de miembros libres.
Si agregamos a la matriz A como la (n + 1)-ésima columna la matriz-columna de términos libres, entonces obtenemos el llamado matriz expandida sistemas de ecuaciones lineales. Por lo general, la matriz aumentada se denota con la letra T, y la columna de miembros libres está separada por una línea vertical del resto de las columnas, es decir, 
Resolviendo un sistema de ecuaciones algebraicas lineales llamado conjunto de valores de variables desconocidas, que convierte todas las ecuaciones del sistema en identidades. La ecuación matricial para los valores dados de las variables desconocidas también se convierte en una identidad.
Si un sistema de ecuaciones tiene al menos una solución, entonces se llama articulación.
Si el sistema de ecuaciones no tiene soluciones, entonces se llama incompatible.
Si una SLAE tiene una solución única, entonces se llama cierto; si hay más de una solución, entonces - incierto.
Si los términos libres de todas las ecuaciones del sistema son iguales a cero 
, entonces el sistema se llama homogéneo, de lo contrario - heterogéneo.
Solución de sistemas elementales de ecuaciones algebraicas lineales.
Si el número de ecuaciones del sistema es igual al número de variables desconocidas y el determinante de su matriz principal no es igual a cero, entonces llamaremos SLAE a tales elemental. Dichos sistemas de ecuaciones tienen una solución única y, en el caso de un sistema homogéneo, todas las variables desconocidas son iguales a cero.
Comenzamos a estudiar este tipo de SLAE en escuela secundaria. Al resolverlos, tomamos una ecuación, expresamos una variable desconocida en términos de otras y la sustituimos en las ecuaciones restantes, luego tomamos la siguiente ecuación, expresamos la siguiente variable desconocida y la sustituimos en otras ecuaciones, y así sucesivamente. O usaron el método de la suma, es decir, sumaron dos o más ecuaciones para eliminar algunas variables desconocidas. No nos detendremos en estos métodos en detalle, ya que son esencialmente modificaciones del método de Gauss.
Los principales métodos para resolver sistemas elementales de ecuaciones lineales son el método de Cramer, el método matricial y el método de Gauss. Vamos a ordenarlos.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Cramer.
Necesitamos resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales 
en el que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema es diferente de cero, es decir, .
Sea el determinante de la matriz principal del sistema, y 
son determinantes de matrices que se obtienen de A reemplazando 1°, 2°, …, n° columna respectivamente a la columna de miembros libres: 
Con tal notación, las variables desconocidas se calculan mediante las fórmulas del método de Cramer como 
. Así es como se encuentra la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales por el método de Cramer.
Ejemplo.
método Cramer 
.
Solución.
La matriz principal del sistema tiene la forma 
. Calcule su determinante (si es necesario, consulte el artículo): 
Dado que el determinante de la matriz principal del sistema es diferente de cero, el sistema tiene una solución única que se puede encontrar por el método de Cramer.
Componer y calcular los determinantes necesarios 
(el determinante se obtiene reemplazando la primera columna de la matriz A con una columna de miembros libres, el determinante - reemplazando la segunda columna con una columna de miembros libres, - reemplazando la tercera columna de la matriz A con una columna de miembros libres ): 
Encontrar variables desconocidas usando fórmulas 
:
Responder:
La principal desventaja del método de Cramer (si se puede llamar una desventaja) es la complejidad de calcular los determinantes cuando el número de ecuaciones del sistema es más de tres.
Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales por el método matricial (usando la matriz inversa).
Deje que el sistema de ecuaciones algebraicas lineales se dé en forma de matriz, donde la matriz A tiene dimensión n por n y su determinante es distinto de cero.
Como , entonces la matriz A es invertible, es decir, existe una matriz inversa . Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por la izquierda, obtenemos una fórmula para encontrar la matriz de columna de variables desconocidas. Entonces obtuvimos la solución del sistema de ecuaciones algebraicas lineales por el método matricial.
Ejemplo.
Resolver Sistema de Ecuaciones Lineales método matricial.
Solución.
Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma matricial: 
Porque
entonces la SLAE se puede resolver por el método matricial. Vía matriz inversa la solución a este sistema se puede encontrar como 
.
Construyamos una matriz inversa usando una matriz de complementos algebraicos de los elementos de la matriz A (si es necesario, vea el artículo): 
Queda por calcular: la matriz de variables desconocidas multiplicando la matriz inversa 
en la columna de matriz de miembros libres (si es necesario, vea el artículo): 
Responder:
o en otra notación x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
El principal problema para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones algebraicas lineales por el método matricial es la complejidad de encontrar la matriz inversa, especialmente para matrices cuadradas orden superior al tercero.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.
Supongamos que necesitamos encontrar una solución a un sistema de n ecuaciones lineales con n variables desconocidas 
cuyo determinante de la matriz principal es distinto de cero.
La esencia del método de Gauss consiste en la exclusión sucesiva de variables desconocidas: primero, se excluye x 1 de todas las ecuaciones del sistema, a partir de la segunda, luego se excluye x 2 de todas las ecuaciones, a partir de la tercera, y así sucesivamente, hasta que solo la variable desconocida xn permanece en la última ecuación. Tal proceso de transformación de las ecuaciones del sistema para la eliminación sucesiva de variables desconocidas se llama método directo de Gauss. Una vez completada la ejecución directa del método de Gauss, x n se calcula a partir de la última ecuación, x n-1 se calcula a partir de la penúltima ecuación utilizando este valor, y así sucesivamente, x 1 se calcula a partir de la primera ecuación. El proceso de calcular variables desconocidas al pasar de la última ecuación del sistema a la primera se llama método de Gauss inverso.
Describamos brevemente el algoritmo para eliminar variables desconocidas.
Asumiremos que , ya que siempre podemos lograr esto reordenando las ecuaciones del sistema. Excluimos la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema, a partir de la segunda. Para ello, suma la primera ecuación multiplicada por a la segunda ecuación del sistema, suma la primera multiplicada por a la tercera ecuación, y así sucesivamente, suma la primera multiplicada por a la n-ésima ecuación. El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma 
donde un 
.
Llegaríamos al mismo resultado si expresamos x 1 en términos de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y sustituimos la expresión resultante en todas las demás ecuaciones. Así, la variable x 1 queda excluida de todas las ecuaciones, a partir de la segunda.
A continuación, actuamos de manera similar, pero solo con una parte del sistema resultante, que está marcado en la figura. 
Para hacer esto, agregue la segunda ecuación multiplicada por a la tercera ecuación del sistema, agregue la segunda multiplicada por a la cuarta ecuación, y así sucesivamente, agregue la segunda multiplicada por a la n-ésima ecuación. El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma 
donde un 
. Así, la variable x 2 queda excluida de todas las ecuaciones, a partir de la tercera.
A continuación, se procede a la eliminación de la incógnita x 3, actuando de manera similar con la parte del sistema marcada en la figura 
Entonces continuamos el curso directo del método de Gauss hasta que el sistema toma la forma 
A partir de este momento, comenzamos el proceso inverso del método de Gauss: calculamos xn a partir de la última ecuación como , usando el valor obtenido de xn encontramos x n-1 a partir de la penúltima ecuación, y así sucesivamente, encontramos x 1 a partir de la primera ecuación.
Ejemplo.
Resolver Sistema de Ecuaciones Lineales método gaussiano.
Solución.
Excluyamos la variable desconocida x 1 de la segunda y tercera ecuaciones del sistema. Para ello, a ambas partes de la segunda y tercera ecuaciones, sumamos las partes correspondientes de la primera ecuación, multiplicadas por y por, respectivamente: 
Ahora excluimos x 2 de la tercera ecuación sumando a sus partes izquierda y derecha las partes izquierda y derecha de la segunda ecuación, multiplicadas por: 
En esto, se completa el curso directo del método de Gauss, comenzamos el curso inverso.
De la última ecuación del sistema de ecuaciones resultante, encontramos x 3: 
De la segunda ecuación obtenemos .
De la primera ecuación encontramos la variable desconocida restante y esto completa el curso inverso del método de Gauss.
Responder:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.
En el caso general, el número de ecuaciones del sistema p no coincide con el número de variables desconocidas n:
Dichos SLAE pueden no tener soluciones, tener una sola solución o tener infinitas soluciones. Esta afirmación también se aplica a los sistemas de ecuaciones cuya matriz principal es cuadrada y degenerada.
Teorema de Kronecker-Capelli.
Antes de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones lineales, es necesario establecer su compatibilidad. La respuesta a la pregunta cuando SLAE es compatible y cuando es incompatible, da Teorema de Kronecker-Capelli:
para que un sistema de p ecuaciones con n incógnitas (p puede ser igual a n ) sea consistente es necesario y suficiente que el rango de la matriz principal del sistema sea igual al rango de la matriz extendida, es decir, Rango( A)=Rango(T) .
Consideremos como ejemplo la aplicación del teorema de Kronecker-Cappelli para determinar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo.
Averigüe si el sistema de ecuaciones lineales tiene 
soluciones
Solución.
. Usemos el método de bordear menores. Menor de segundo orden 
diferente de cero. Repasemos los menores de tercer orden que lo rodean: 
Dado que todos los menores de tercer orden limítrofes son iguales a cero, el rango de la matriz principal es dos.
A su vez, el rango de la matriz aumentada 
es igual a tres, ya que el menor de tercer orden 
diferente de cero.
De este modo, Rang(A), por lo tanto, según el teorema de Kronecker-Capelli, podemos concluir que el sistema original de ecuaciones lineales es inconsistente.
Responder:
No hay sistema de solución.
Entonces, hemos aprendido a establecer la inconsistencia del sistema usando el teorema de Kronecker-Capelli.
Pero, ¿cómo encontrar la solución de la SLAE si se establece su compatibilidad?
Para ello necesitamos el concepto de base menor de una matriz y el teorema del rango de una matriz.
Menor orden más alto La matriz A que es distinta de cero se llama básico.
De la definición de la base menor se sigue que su orden es igual al rango de la matriz. Para una matriz A distinta de cero, puede haber varios menores básicos; siempre hay un menor básico.
Por ejemplo, considere la matriz 
.
Todos los menores de tercer orden de esta matriz son iguales a cero, ya que los elementos de la tercera fila de esta matriz son la suma de los elementos correspondientes de la primera y segunda fila.
Los siguientes menores de segundo orden son básicos, ya que son distintos de cero 
menores 
no son básicos, ya que son iguales a cero.
Teorema del rango de la matriz.
Si el rango de una matriz de orden p por n es r, entonces todos los elementos de las filas (y columnas) de la matriz que no forman la base menor elegida se expresan linealmente en términos de los elementos correspondientes de las filas (y columnas). ) que forman la base menor.
¿Qué nos da el teorema del rango de la matriz?
Si, por el teorema de Kronecker-Capelli, hemos establecido la compatibilidad del sistema, entonces elegimos cualquier básica menor de la matriz principal del sistema (su orden es igual a r), y excluimos del sistema todas las ecuaciones que no forman el menor básico elegido. La SLAE así obtenida será equivalente a la original, ya que las ecuaciones descartadas siguen siendo redundantes (según el teorema del rango de la matriz, son una combinación lineal de las ecuaciones restantes).
Como resultado, después de descartar las ecuaciones excesivas del sistema, son posibles dos casos.
Si el número de ecuaciones r en el sistema resultante es igual al número de variables desconocidas, entonces será definitivo y la única solución se podrá encontrar mediante el método de Cramer, el método de matrices o el método de Gauss.
Ejemplo.
.
Solución.
Rango de la matriz principal del sistema 
es igual a dos, ya que el menor de segundo orden 
diferente de cero. Rango de matriz extendido 
también es igual a dos, ya que el único menor de tercer orden es igual a cero 
y el menor de segundo orden considerado anteriormente es distinto de cero. Con base en el teorema de Kronecker-Capelli, se puede afirmar la compatibilidad del sistema original de ecuaciones lineales, ya que Rank(A)=Rank(T)=2 .
Como base menor, tomamos . Está formado por los coeficientes de la primera y segunda ecuaciones: 
La tercera ecuación del sistema no participa en la formación de la base menor, por lo que la excluimos del sistema en base al teorema del rango de la matriz: 
Así hemos obtenido un sistema elemental de ecuaciones algebraicas lineales. Vamos a resolverlo por el método de Cramer: 
Responder:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Si el número de ecuaciones r en la SLAE resultante es menor que el número de variables desconocidas n, entonces dejamos los términos que forman el menor básico en las partes izquierdas de las ecuaciones y transferimos los términos restantes a las partes derechas de las ecuaciones de el sistema de signo contrario.
Las variables desconocidas (hay r de ellas) que quedan en el lado izquierdo de las ecuaciones se llaman principal.
Las variables desconocidas (hay n - r de ellas) que terminaron en el lado derecho se llaman gratis.
Ahora asumimos que las incógnitas libres pueden tomar valores arbitrarios, mientras que las r incógnitas principales se expresarán en función de las incógnitas libres de una forma única. Su expresión se puede encontrar resolviendo la SLAE resultante por el método de Cramer, el método de matriz o el método de Gauss.
Tomemos un ejemplo.
Ejemplo.
Resolver Sistema de Ecuaciones Algebraicas Lineales 
.
Solución.
Encuentre el rango de la matriz principal del sistema. 
por el método de los menores limítrofes. Tomemos un 1 1 = 1 como un menor de primer orden distinto de cero. Comencemos a buscar un menor de segundo orden distinto de cero que rodee a este menor: 
Entonces encontramos un menor distinto de cero de segundo orden. Empecemos a buscar un menor de orden distinto de cero que bordee: 
Así, el rango de la matriz principal es tres. El rango de la matriz aumentada también es igual a tres, es decir, el sistema es consistente.
El menor distinto de cero de tercer orden encontrado se tomará como básico.
Para mayor claridad, mostramos los elementos que forman la base menor: 
Dejamos los términos que participan en el menor básico en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema, y trasladamos el resto con signos opuestos al lado derecho: 
Damos a las variables desconocidas libres x 2 y x 5 valores arbitrarios, es decir, tomamos 
, donde son números arbitrarios. En este caso, la SLAE toma la forma 
Resolvemos el sistema elemental de ecuaciones algebraicas lineales obtenido por el método de Cramer: 
Como consecuencia, .
En la respuesta, no olvide indicar variables desconocidas libres.
Responder:
Donde están los números arbitrarios.
Resumir.
Para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales de forma general, primero encontramos su compatibilidad usando el teorema de Kronecker-Capelli. Si el rango de la matriz principal no es igual al rango de la matriz extendida, entonces concluimos que el sistema es inconsistente.
Si el rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz extendida, entonces elegimos la menor básica y descartamos las ecuaciones del sistema que no participan en la formación de la menor básica elegida.
Si el orden de la base es menor es igual al número variables desconocidas, entonces la SLAE tiene una solución única que se puede encontrar por cualquier método conocido por nosotros.
Si el orden del menor básico es menor que el número de variables desconocidas, entonces en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema dejamos los términos con las principales variables desconocidas, trasladamos los términos restantes al lado derecho y asignamos valores arbitrarios. a las variables libres desconocidas. Del sistema de ecuaciones lineales resultante, encontramos las principales incógnitas variables de método Cramer, método matricial o método de Gauss.
Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.
Usando el método de Gauss, uno puede resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de cualquier tipo sin su investigación preliminar de compatibilidad. El proceso de exclusión sucesiva de variables desconocidas permite sacar una conclusión tanto sobre la compatibilidad como sobre la inconsistencia de la SLAE, y si existe una solución, permite encontrarla.
Desde el punto de vista del trabajo computacional, es preferible el método de Gauss.
Míralo Descripción detallada y ejemplos analizados en el artículo. Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.
Anotar la solución general de sistemas algebraicos lineales homogéneos y no homogéneos utilizando los vectores del sistema fundamental de soluciones.
En esta sección, nos enfocaremos en sistemas mixtos homogéneos y no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales que tienen un número infinito de soluciones.
Tratemos primero con los sistemas homogéneos.
Sistema de decisión fundamental Un sistema homogéneo de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas es un conjunto de (n – r) soluciones linealmente independientes de este sistema, donde r es el orden de la base menor de la matriz principal del sistema.
Si denotamos soluciones linealmente independientes de un SLAE homogéneo como X (1) , X (2) , …, X (nr) (X (1) , X (2) , …, X (nr) son matrices de n por 1 columna ), entonces la solución general de este sistema homogéneo se representa como una combinación lineal de vectores del sistema fundamental de soluciones con coeficientes constantes arbitrarios С 1 , С 2 , …, С (nr) , es decir, .
¿Qué significa el término solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales (oroslau)?
El significado es simple: la fórmula lo establece todo. soluciones posibles el SLAE original, en otras palabras, tomando cualquier conjunto de valores de constantes arbitrarias С 1 , С 2 , …, С (n-r) , de acuerdo con la fórmula obtenemos una de las soluciones del SLAE original homogéneo.
Por lo tanto, si encontramos un sistema fundamental de soluciones, entonces podemos establecer todas las soluciones de este SLAE homogéneo como .
Mostremos el proceso de construcción de un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo.
Elegimos el menor básico del sistema original de ecuaciones lineales, excluimos todas las demás ecuaciones del sistema y transferimos al lado derecho de las ecuaciones del sistema con signos opuestos todos los términos que contienen variables desconocidas libres. Démosle a las variables desconocidas libres los valores 1,0,0,…,0 y calculemos las principales incógnitas resolviendo el sistema elemental de ecuaciones lineales resultante de cualquier manera, por ejemplo, por el método de Cramer. Por lo tanto, se obtendrá X (1), la primera solución del sistema fundamental. Si le damos a las incógnitas libres los valores 0,1,0,0,…,0 y calculamos las principales incógnitas, entonces obtenemos X (2) . Etc Si le damos a las variables desconocidas libres los valores 0,0,…,0,1 y calculamos las principales incógnitas, entonces obtenemos X (n-r) . Es así como se construirá el sistema fundamental de soluciones de la SLAE homogénea y su solución general se puede escribir en la forma .
Para sistemas no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales, la solución general se representa como
Veamos ejemplos.
Ejemplo.
Encuentra el sistema fundamental de soluciones y la solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales 
.
Solución.
El rango de la matriz principal de los sistemas homogéneos de ecuaciones lineales siempre es igual al rango de la matriz extendida. Encontremos el rango de la matriz principal por el método de franjas menores. Como menor distinto de cero de primer orden, tomamos el elemento a 1 1 = 9 de la matriz principal del sistema. Encuentre el borde menor distinto de cero de segundo orden: 
Se encuentra un menor de segundo orden, distinto de cero. Recorramos los menores de tercer orden que lo bordean en busca de uno distinto de cero: 
Todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, por lo tanto, el rango de la matriz principal y extendida es dos. Tomemos el menor básico. Para mayor claridad, anotamos los elementos del sistema que lo forman: 
La tercera ecuación de la SLAE original no participa en la formación del menor básico, por lo que puede excluirse: 
Dejamos los términos que contienen las principales incógnitas en el lado derecho de las ecuaciones y trasladamos los términos con incógnitas libres al lado derecho:
Construyamos un sistema fundamental de soluciones al sistema homogéneo original de ecuaciones lineales. Sistema fundamental Las soluciones de esta SLAE consisten en dos soluciones, ya que la SLAE original contiene cuatro variables desconocidas, y el orden de su menor básico es dos. Para encontrar X (1), le damos a las variables desconocidas libres los valores x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, luego encontramos las principales incógnitas del sistema de ecuaciones 
.
