Cuando trabajamos con diversas expresiones que incluyen números, letras y variables, tenemos que realizar un gran número de operaciones aritmeticas. Cuando hacemos una conversión o calculamos un valor, es muy importante seguir el orden correcto de estas acciones. En otras palabras, las operaciones aritméticas tienen su propio orden especial de ejecución.
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En este artículo te contamos qué acciones se deben realizar primero y cuáles después. Primero, veamos algunas expresiones simples que contienen solo variables o valores numéricos, así como signos de división, multiplicación, resta y suma. Luego, tomemos ejemplos entre paréntesis y consideremos en qué orden deben calcularse. En la tercera parte daremos el orden necesario de transformaciones y cálculos en aquellos ejemplos que incluyan signos de raíces, potencias y otras funciones.
Definición 1En el caso de expresiones sin paréntesis, el orden de las acciones se determina de forma inequívoca:
- Todas las acciones se realizan de izquierda a derecha.
- Primero realizamos división y multiplicación, y luego resta y suma.
El significado de estas reglas es fácil de entender. El orden de escritura tradicional de izquierda a derecha define la secuencia básica de los cálculos, y la necesidad de multiplicar o dividir primero se explica por la esencia misma de estas operaciones.
Tomemos algunas tareas para mayor claridad. Usamos sólo las expresiones numéricas más simples para que todos los cálculos pudieran realizarse mentalmente. De esta manera podrá recordar rápidamente el orden deseado y comprobar rápidamente los resultados.
Ejemplo 1
Condición: calcula cuanto sera 7 − 3 + 6 .
Solución
En nuestra expresión no hay paréntesis, tampoco hay multiplicación ni división, por lo que realizamos todas las acciones en el orden especificado. Primero restamos tres de siete, luego sumamos seis al resto y terminamos con diez. Aquí hay una transcripción de la solución completa:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Respuesta: 7 − 3 + 6 = 10 .
Ejemplo 2
Condición:¿En qué orden se deben realizar los cálculos en la expresión? 6:2 8:3?
Solución
Para responder a esta pregunta, volvamos a leer la regla para expresiones sin paréntesis que formulamos anteriormente. Aquí solo tenemos multiplicación y división, lo que significa que mantenemos el orden escrito de los cálculos y contamos secuencialmente de izquierda a derecha.
Respuesta: Primero dividimos seis entre dos, multiplicamos el resultado por ocho y dividimos el número resultante entre tres.
Ejemplo 3
Condición: calcula cuánto será 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.
Solución
Primero, determinemos el orden correcto de las operaciones, ya que aquí tenemos todos los tipos básicos de operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. Lo primero que debemos hacer es dividir y multiplicar. Estas acciones no tienen prioridad entre sí, por lo que las realizamos en el orden escrito de derecha a izquierda. Es decir, hay que multiplicar 5 por 6 para obtener 30, luego dividir 30 entre 3 para obtener 10. Después de eso, divide 4 entre 2, esto es 2. Sustituyamos los valores encontrados en la expresión original:
17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2
Aquí ya no hay división ni multiplicación, así que hacemos los cálculos restantes en orden y obtenemos la respuesta:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Respuesta:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.
Hasta que se memorice firmemente el orden de realización de las acciones, puede colocar números encima de los signos de las operaciones aritméticas que indiquen el orden de cálculo. Por ejemplo, para el problema anterior podríamos escribirlo así:
si tenemos expresiones literales, luego hacemos lo mismo con ellos: primero multiplicamos y dividimos, luego sumamos y restamos.
¿Cuáles son las acciones de la primera y segunda etapa?
A veces, en los libros de referencia, todas las operaciones aritméticas se dividen en acciones de la primera y segunda etapa. Formulemos la definición necesaria.
Las operaciones de la primera etapa incluyen resta y suma, la segunda, multiplicación y división.
Conociendo estos nombres, podemos escribir la regla dada anteriormente respecto al orden de las acciones de la siguiente manera:
Definición 2
En una expresión que no contiene paréntesis, primero se deben realizar las acciones de la segunda etapa en el sentido de izquierda a derecha, luego las acciones de la primera etapa (en la misma dirección).
Orden de cálculos en expresiones entre paréntesis.
Los propios paréntesis son un signo que nos indica el orden de acciones deseado. En este caso la regla correcta se puede escribir así:
Definición 3
Si hay paréntesis en la expresión, entonces el primer paso es realizar la operación en ellos, luego de lo cual multiplicamos y dividimos, y luego sumamos y restamos de izquierda a derecha.
En cuanto a la expresión entre paréntesis en sí, puede considerarse como parte integral de la expresión principal. Al calcular el valor de la expresión entre paréntesis, mantenemos el mismo procedimiento que conocemos. Ilustremos nuestra idea con un ejemplo.
Ejemplo 4
Condición: calcula cuanto sera 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2.
Solución
Hay paréntesis en esta expresión, así que comencemos con ellos. Primero que nada, calculemos cuánto será 7 − 2 · 3. Aquí necesitamos multiplicar 2 por 3 y restar el resultado a 7:
7 - 2 3 = 7 - 6 = 1
Calculamos el resultado en los segundos paréntesis. Allí solo tenemos una acción: 6 − 4 = 2 .
Ahora necesitamos sustituir los valores resultantes en la expresión original:
5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 5 + 1 2: 2
Comencemos con la multiplicación y la división, luego realicemos la resta y obtengamos:
5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6
Con esto concluyen los cálculos.
Respuesta: 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 6.
No se alarme si nuestra condición contiene una expresión en la que algunos paréntesis encierran otros. Sólo necesitamos aplicar la regla anterior de manera consistente a todas las expresiones entre paréntesis. Tomemos este problema.
Ejemplo 5
Condición: calcula cuanto sera 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).
Solución
Tenemos paréntesis dentro de paréntesis. Empezamos con 3+1+4·(2+3), es decir 2+3. Serán las 5. Será necesario sustituir el valor en la expresión y calcular que 3 + 1 + 4 · 5. Recordamos que primero debemos multiplicar y luego sumar: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Sustituyendo los valores encontrados en la expresión original, calculamos la respuesta: 4 + 24 = 28 .
Respuesta: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28.
En otras palabras, al calcular el valor de una expresión que incluye paréntesis dentro de paréntesis, comenzamos con los paréntesis internos y avanzamos hasta los externos.
Digamos que necesitamos encontrar cuánto será (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1. Comenzamos con la expresión entre paréntesis interiores. Dado que 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, la expresión original se puede escribir como (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Mirando nuevamente los paréntesis internos: 4 + 1 = 5. Hemos llegado a la expresión. (4 + 5 − 1) − 1 . Nosotros contamos 4 + 5 − 1 = 8 y como resultado obtenemos la diferencia 8 - 1, cuyo resultado será 7.
El orden de cálculo en expresiones con potencias, raíces, logaritmos y otras funciones.
Si nuestra condición contiene una expresión con grado, raíz, logaritmo o Funcion trigonometrica(seno, coseno, tangente y cotangente) u otras funciones, primero calculamos el valor de la función. Posteriormente actuamos según las reglas especificadas en los párrafos anteriores. En otras palabras, las funciones tienen la misma importancia que la expresión entre paréntesis.
Veamos un ejemplo de tal cálculo.
Ejemplo 6
Condición: halla cuánto es (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.
Solución
Tenemos una expresión con un grado, cuyo valor hay que encontrar primero. Contamos: 6 2 = 36. Ahora sustituyamos el resultado en la expresión, después de lo cual tomará la forma (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.
(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13
Respuesta: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 = 13.
En un artículo separado dedicado al cálculo de los valores de las expresiones, proporcionamos otros, más ejemplos complejos cálculos en el caso de expresiones con raíces, grados, etc. Le recomendamos que se familiarice con él.
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En el siglo V a.C., el antiguo filósofo griego Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía “Aquiles y la Tortuga”. Así es como suena:Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ...las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas...estuvieron involucrados en el estudio del tema. Análisis matemático, teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.
Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.
Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre con velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".
¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a unidades recíprocas. En el lenguaje de Zenón se ve así:
En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero no lo es solución completa Problemas. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.
En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero señalar Atención especial, es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.
miércoles, 4 de julio de 2018
Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.
Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. este es el nivel loros parlantes y monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.
Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.
No importa cómo los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjense, estoy en casa", o más bien, "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.
Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.
En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: en diferentes monedas hay diferentes cantidades La suciedad, la estructura cristalina y la disposición atómica de cada moneda son únicas...
Y ahora tengo más interés preguntar: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.
Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cual es correcta? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".
domingo, 18 de marzo de 2018
La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.
¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.
Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número determinado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.
1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.
2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.
3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.
4. Suma los números resultantes. Ahora esto son matemáticas.
La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” impartidos por chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.
Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas En cálculo, la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. CON un número grande 12345 No quiero engañarme, veamos el número 26 del artículo sobre . Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.
Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.
El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.
El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.
¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.
¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?
Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.
Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,
Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:
Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: un signo menos, el número cuatro, una designación de grados). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sabe física. Simplemente tiene un fuerte estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.
1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.
Orden de acciones - Matemáticas 3er grado (Moro)
Breve descripción:
En la vida, constantemente realizas diversas acciones: levantarte, lavarte la cara, hacer ejercicios, desayunar, ir a la escuela. ¿Crees que es posible cambiar este procedimiento? Por ejemplo, desayuna y luego lávate la cara. Probablemente sea posible. Puede que no sea muy conveniente desayunar si no estás lavado, pero esto no pasará nada malo. En matemáticas, ¿es posible cambiar el orden de las operaciones a tu discreción? No, las matemáticas son una ciencia exacta, por lo que incluso el más mínimo cambio en el procedimiento conducirá al hecho de que la respuesta de la expresión numérica será incorrecta. En segundo grado ya te has familiarizado con algunas reglas de procedimiento. Entonces, probablemente recuerdes que el orden en la ejecución de las acciones se rige por paréntesis. Muestran qué acciones deben completarse primero. ¿Qué otras reglas de procedimiento existen? ¿El orden de las operaciones es diferente en expresiones con y sin paréntesis? Las respuestas a estas preguntas encontrará en el libro de texto de matemáticas de tercer grado cuando estudie el tema "Orden de las acciones". Definitivamente debes practicar la aplicación de las reglas aprendidas y, si es necesario, encontrar y corregir errores al establecer el orden de las acciones en expresiones numéricas. Recuerde que el orden es importante en cualquier negocio, ¡pero en matemáticas es especialmente importante! 
Componer una expresión con paréntesis
1. Inventa expresiones entre paréntesis de las siguientes frases y resuélvelas.
Del número 16, resta la suma de los números 8 y 6.
Del número 34, resta la suma de los números 5 y 8.
Resta la suma de los números 13 y 5 del número 39.
La diferencia entre los números 16 y 3 se suma al número 36.
Suma la diferencia entre 48 y 28 a 16.
2. Resuelva los problemas componiendo primero las expresiones correctas y luego resolviéndolas secuencialmente:
2.1. Papá trajo una bolsa de nueces del bosque. Kolya sacó 25 nueces de la bolsa y se las comió. Luego Masha sacó 18 nueces de la bolsa. Mamá también sacó 15 nueces de la bolsa, pero devolvió 7. ¿Cuántas nueces quedan al final en la bolsa si al principio había 78?
2.2. El maestro reparó las piezas. Al inicio de la jornada de trabajo eran 38. En la primera mitad del día pudo reparar 23 de ellos. Por la tarde le trajeron la misma cantidad que al principio del día. En la segunda mitad reparó otras 35 piezas. ¿Cuántas piezas le quedan por reparar?
3. Resuelve correctamente los ejemplos siguiendo la secuencia de acciones:
45: 5 + 12 * 2 -21:3
56 - 72: 9 + 48: 6 * 3
7 + 5 * 4 - 12: 4
18: 3 - 5 + 6 * 8
Resolver expresiones con paréntesis
1. Resuelve los ejemplos abriendo los paréntesis correctamente:
1 + (4 + 8) = | 8 - (2 + 4) = | 3 + (6 - 5) = | 59 + 25 = |
82 + 14 = | 29 + 52 = | 18 + 47 = | 39 + 53 = |
37 + 53 = | 25 + 63 = | 87 + 17 = | 19 + 52 = |
2. Resuelve correctamente los ejemplos siguiendo la secuencia de acciones:
2.1. 36: 3 + 12 * (2 - 1) : 3
2.2. 39 - (81: 9 + 48: 6) * 2
2.3. (7 + 5) * 2 - 48: 4
2.4. 18: 3 + (5 * 6) : 2 - 4
3. Resuelva los problemas componiendo primero las expresiones correctas y luego resolviéndolas secuencialmente:
3.1. En el almacén había 25 paquetes de detergente en polvo. Se llevaron 12 paquetes a una tienda. Luego llevaron la misma cantidad a la segunda tienda. Después de eso, se llevaron al almacén 3 veces más paquetes que antes. ¿Cuántos paquetes de polvo hay en stock?
3.2. En el hotel se alojaban 75 turistas. El primer día salieron del hotel 3 grupos de 12 personas cada uno y llegaron 2 grupos de 15 personas cada uno. El segundo día se marcharon otras 34 personas. ¿Cuántos turistas permanecieron en el hotel al final de 2 días?
3.3. Trajeron 2 bolsas de ropa a la tintorería, 5 prendas en cada bolsa. Luego tomaron 8 cosas. Por la tarde trajeron 18 prendas más para lavar. Y sólo se llevaron 5 prendas lavadas. ¿Cuántas prendas hay en la tintorería al final del día si había 14 prendas al principio del día?
FI _________________________________
21: 3 * 6 - (18 + 14) : 8 = | 63: (81: 9) + (8 * 7 - 2) : 6 = | 64:2: 4+ 9*7-9*1= |
37 *2 + 180: 9 – 36: 12 = | 52 * 10 – 60: 15 * 1 = | 72: 4 +58:2= |
5 *0: 25 + (72: 1 – 0) : 9 = | 21: (3 * 7) – (7* 0 + 1)*1 = | 6:6+0:8-8:8= |
91: 7 + 80: 5 – 5: 5 = | 64:4 - 3*5 +80:2= | (19*5 – 5) : 30 = |
19 + 17 * 3 – 46 = | (39+29) : 4 + 8*0= | (60-5) : 5 +80: 5= |
54 – 26 + 38: 2 = | 63: (7*3) *3= | (160-70) : 18 *1= |
200 – 80: 5 + 3 * 4 = | (29+25): (72:8)= | 72:25 + 3* 17= |
80: 16 + 660: 6 = | 3 * 290 – 800= | 950:50*1-0= |
(48: 3) : 16 * 0 = | 90-6*6+29= | 5* (48-43) +15:5*7= |
54: 9 *8 - 14: 7 * 4 = | 63: 7*4+70:7 * 5= | 24: 6*7 - 7*0= |
21: 7 * 8 + 32: 8 * 4 = | 27: 3* 5 + 26-18 *4= | 54: 6*7 - 0:1= |
45: 9 * 6 + 7 * 5 – 26 = | 28: 7 *9 + 6 * (54 – 47)= | 6*(9: 3) - 40:5 = |
21 * 1 - 56: 7 – 8 = | 9 * (64: 8) - 18:18 | 3 *(14: 2) - 63:9= |
4 * 8 + 42: 6 *5 = | 0*4+0:5 +8* (48: 8)= | 56:7 +7*6 - 5*1= |
31 * 3 - 17 – 80: 16 * 1 = | 57:19 *32 - 11 *7= | 72-96:8 +60:15 *13= |
36 + 42: 3 + 23 + 27 *0 = | 56:14 *19 - 72:18= | (86-78:13)* 4= |
650 – 50 * 4 + 900: 100 = | 630: 9 + 120 * 5 + 40= | 980 – (160 + 20) : 30= |
940 - (1680 – 1600) * 9 = | 29* 2+26 – 37:2= | 72:3 +280: (14*5)= |
300: (5 *60) * (78: 13) = | 63+ 100: 4 – 8*0= | 84:7+70:14 – 6:6= |
45: 15 – 180: 90 + 84: 7 = | 32+51 + 48:6 * 5= | 54:6 ?2 – 70:14= |
38: 2 – 48: 3 + 0 * 9 = | 30:6 * 8 – 6+3*2= | (95:19) *(68:2)= |
(300 - 8 * 7) * 10 = | 1:1 - 0*0 + 1*0 - 1*1= | (80: 4 – 60:30) *5 = |
2 * (120: 6 – 80: 20) = | 56:4+96:3- 0*7= | 20+ 20: 4 - 1*5= |
(18 + 14) : 8 – (7 *0 + 1) *1 = | (8*7-2):6 +63: (7*3)= | (50-5) : 5+21: (3*7)= |
19 + 17 * 3 – 60: 15 * 1 = | 80: 5 +3*5 +80:2= | 54: 9 *8-64:4 +16*0= |
72 * 10 - 64: 2: 4 = | 84 – 36 + 38:2 | 91:13+80:5 – 5:5 |
300 – 80: 5 + 6 * 4 = | 950:190 *1+14: 7*4= | (39+29) : 17 + 8*0= |
(120 - 30) : 18 * 1- 72: 25 = | 210:30*60-0:1= | 90-6*7+3* 17= |
240: 60 *7 – 7 * 0 = | 60:60+0:80-80:80= | 720: 40 +580:20= |
9 *7 – 9 *1 + 5 * 0: 25 = | 21: 7 * 6 +32: 4 *5= | 80:16 +66:6 -63:(81:9)= |
(19 * 5 – 5) : 30 + 70: 7 = | 15:5*7 + 63: 7 * 5= | 54: 6 * 7 - (72:1-0):9= |
3 *290 – 600 – 5 * (48 – 43) = | (300-89*7)*10 - 3?2= | (80: 4) +30*2+ 180: 9= |
30: 6 * 8 – 6 + 48: 3 + 0 *9 = | (95:19) *(68:34) - 60:30*5= | 27: 3*5 - 48:3= |
3* 290 – 800 + 950: 50 = | 80:16 +660:6*1-0= | 90-6*6+ 15:5*7= |
5*(48 - 43) + (48: 3) :16*0= | 280: (14*5) +630: 9*0= | 300: (50*6)* (78: 6)= |
Si hay un signo de interrogación (?) en los ejemplos, debe reemplazarse con el signo * - multiplicación.
1. RESOLVER EXPRESIONES:
35: 5 + 36: 4 - 3
26 + 6 x 8 – 45: 5 24: 6 + 18 – 2 x 6
9 x 6 – 3 x 6 + 19 – 27:3
2. RESOLVER EXPRESIONES:
48: 8 + 32 – 54: 6 + 7 x 4
17 + 24: 3 x 4 – 27: 3 x 2 6 x 4: 3 + 54: 6: 3 x 6 + 2 x 9
100 – 6 x 2: 3 x 9 – 39 + 7 x 4
3. RESOLVER EXPRESIONES:
100 – 27: 3 x 6 + 7 x 4
2 x 4 + 24: 3 + 18: 6 x 9 9 x 3 – 19 + 6 x 7 – 3 x 5
7 x 4 + 35: 7 x 5 – 16: 2: 4 x 3
4. RESOLVER EXPRESIONES:
32: 8 x 6: 3 + 6 x 8 – 17
5 x 8 – 4 x 7 + 13 - 11 24: 6 + 18: 2 + 20 – 12 + 6 x 7
21:3 – 35:7 + 9x3 + 9x5
5. RESOLVER EXPRESIONES:
42: 7 x 3 + 2 + 24: 3 – 7 + 9 x 3
6 x 6 + 30: 5: 2 x 7 - 19 90 - 7 x 5 - 24: 3 x 5
6 x 5 – 12: 2 x 3 + 49
6. RESOLVER EXPRESIONES:
32:8x7 + 54:6:3x5
50 – 45: 5 x 3 + 16: 2 x 5 8 x 6 + 23 – 24: 4 x 3 + 17
48: 6 x 4 + 6 x 9 – 26 + 13
7. RESOLVER EXPRESIONES:
42: 6 + (19 + 6): 5 – 6 x 2
60 – (13 + 22): 5 – 6 x 4 + 25 (27 – 19) x 4 + 18: 3 + (8 + 27): 5 -17
(82 – 74): 2 x 7 + 7 x 4 - (63 – 27): 4
8. RESOLVER EXPRESIONES:
90 – (40 – 24: 3): 4 x 6 + 3 x 5
3 x 4 + 9 x 6 – (27 + 9): 4 x 5
(50 – 23): 3 + 8 x 5 – 6 x 5 + (26 + 16): 6
(5 x 6 – 3 x 4 + 48: 6) + (82 – 78) x 7 – 13
54: 9 + (8 + 19) : 3 – 32: 4 – 21: 7 + (42 – 14) : 4 – (44 14) : 5
9. RESOLVER EXPRESIONES:
9 x 6 – 6 x 4: (33 – 25) x 7
3 x (12 – 8): 2 + 6 x 9 – 33 (5 x 9 – 25): 4 x 8 – 4 x 7 + 13
9 x (2 x 3) – 48: 8 x 3 + 7 x 6 - 34
10. RESOLVER EXPRESIONES:
(8 x 6 – 36:6): 6 x 3 + 5 x 9
7 x 6 + 9 x 4 – (2 x 7 + 54: 6 x 5) (76 – (27 + 9) + 8): 6 x 4
(7 x 4 + 33) – 3 x 6:2
11. RESOLVER EXPRESIONES:
(37 + 7 x 4 – 17): 6 + 7 x 5 + 33 + 9 x 3 – (85 – 67): 2 x 5
5 x 7 + (18 + 14): 4 – (26 – 8): 3 x 2 – 28: 4 + 27: 3 – (17 + 31): 6
12. RESOLVER EXPRESIONES:
(58 – 31): 3 – 2 + (58 – 16): 6 + 8 x 5 – (60 – 42): 3 + 9 x 2
(9 x 7 + 56: 7) – (2 x 6 – 4) x 3 + 54: 9
13. RESOLVER EXPRESIONES:
(8 x 5 + 28: 7) + 12: 2 – 6 x 5 + (13 – 5) x 4 + 5 x 4
(7 x 8 – 14:7) + (7 x 4 + 12:6) – 10:5 + 63:9
Prueba “Orden de las operaciones aritméticas” (1 opción)
1(1b)
2(1b)
3(1b)
4(3b)
5(2b)
6(2b)
7(1b)
8(1b)
9(3b)
10(3b)
11(3b)
12(3b)
110 – (60 +40): 10 x 8
a) 800b) 8c) 30
a) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1
3 4 6 5 1 2
5. ¿En cuál de las expresiones está la última acción de multiplicación?
a) 1001:13 x (318+466):22
c) 10000 – (5 x 9+56 x 7) x2
6. ¿En cuál de las expresiones está la primera acción de resta?
a) 2025:5 – (524 – 24:6) x45
b) 5870 + (90-50 +30) x8 -90
c) 5400:60 x (3600:90-90)x5
Elija la respuesta correcta:
9. 90 – (50- 40:5) x 2+ 30
a) 56b) 92c) 36
10. 100- (2x5+6 - 4x4) x2
a) 100b) 200c) 60
11. (10000+10000:100 +400) : 100 +100
a) 106b) 205c) 0
12. 150: (80 – 60:2) x 3
a) 9b) 45c) 1
Prueba "Orden de las operaciones aritméticas"
1(1b)
2(1b)
3(1b)
4(3b)
5(2b)
6(2b)
7(1b)
8(1b)
9(3b)
10(3b)
11(3b)
12(3b)
1. ¿Qué acción de la expresión harás primero?
560 – (80+20): 10x7
a) suma b) división c) resta
2. ¿Qué acción en la misma expresión harás en segundo lugar?
a) resta b) división c) multiplicación
3. Elige la respuesta correcta a esta expresión:
a) 800b) 490c) 30
4. Elija la opción correcta para la disposición de acciones:
a) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1
320: 8 x 7 + 9 x (240 – 60:15) c) 320: 8 x 7 + 9 x (240 – 60:15)
3 4 6 5 2 1
segundo) 320: 8 x 7 + 9 x (240 – 60:15)
5. ¿En cuál de las expresiones está la última división de acción?
a) 1001:13 x (318+466):22
b) 391 x 37:17 x (2248:8 – 162)
c) 10000 – (5 x 9+56 x 7) x2
6. ¿En cuál de las expresiones se encuentra la primera acción de suma?
a) 2025:5 – (524 + 24 x6) x45
b) 5870 + (90-50 +30) x8 -90
c) 5400:60 x (3600:90-90)x5
7. Elija la afirmación correcta: “En una expresión sin paréntesis, se realizan las acciones:”
a) en orden b) x y: , luego + y - c) + y -, luego x y:
8. Elija la afirmación correcta: “En una expresión entre paréntesis, se realizan las acciones:”
a) primero entre paréntesis b)x y:, luego + y - c) en orden de escritura
Elija la respuesta correcta:
9. 120 – (50-10:2) x 2+ 30
a) 56b) 0c) 60
10. 600- (2x5+8 - 4x4) x2
a) 596b) 1192c) 60
11. (20+20000:2000 +30) : 20 +200
a) 106b) 203c) 0
12. 160: (80 – 80:2) x 3
a) 120b) 0c) 1
En Esta lección Se analiza en detalle el orden de realización de operaciones aritméticas en expresiones con y sin corchetes. Los estudiantes tienen la oportunidad, mientras completan las tareas, de determinar si el significado de las expresiones depende del orden en que se realizan las operaciones aritméticas, de averiguar si el orden de las operaciones aritméticas es diferente en expresiones sin paréntesis y con paréntesis, de practicar la aplicación. la regla aprendida, para encontrar y corregir errores cometidos al determinar el orden de las acciones.
En la vida realizamos constantemente algún tipo de acción: caminamos, estudiamos, leemos, escribimos, contamos, sonreímos, peleamos y hacemos las paces. Realizamos estas acciones en diferentes órdenes. A veces se pueden intercambiar y otras no. Por ejemplo, cuando te preparas para ir a la escuela por la mañana, primero puedes hacer ejercicios y luego tender la cama, o viceversa. Pero no puedes ir primero a la escuela y luego vestirte.
En matemáticas, ¿es necesario realizar operaciones aritméticas en un orden determinado?
Vamos a revisar
Comparemos las expresiones:
8-3+4 y 8-3+4
Vemos que ambas expresiones son exactamente iguales.
Realicemos acciones en una expresión de izquierda a derecha y en la otra de derecha a izquierda. Puede utilizar números para indicar el orden de las acciones (Fig. 1).
Arroz. 1. Procedimiento
En la primera expresión, primero realizaremos la operación de resta y luego sumaremos el número 4 al resultado.
En la segunda expresión, primero encontramos el valor de la suma y luego restamos el resultado resultante 7 de 8.
Vemos que los significados de las expresiones son diferentes.
Concluyamos: El orden en el que se realizan las operaciones aritméticas no se puede cambiar..
Aprendamos la regla para realizar operaciones aritméticas en expresiones sin paréntesis.
Si una expresión sin paréntesis incluye solo suma y resta o solo multiplicación y división, entonces las acciones se realizan en el orden en que están escritas.
Vamos a practicar.
Considere la expresión
Esta expresión contiene sólo operaciones de suma y resta. Estas acciones se llaman acciones de primera etapa.
Realizamos las acciones de izquierda a derecha en orden (Fig. 2).
Arroz. 2. Procedimiento
Considere la segunda expresión.
Esta expresión contiene solo operaciones de multiplicación y división. Estas son las acciones de la segunda etapa.
Realizamos las acciones de izquierda a derecha en orden (Fig. 3).
Arroz. 3. Procedimiento
¿En qué orden se realizan las operaciones aritméticas si la expresión contiene no solo suma y resta, sino también multiplicación y división?
Si una expresión sin paréntesis incluye no solo las operaciones de suma y resta, sino también la multiplicación y división, o ambas operaciones, primero realice en orden (de izquierda a derecha) la multiplicación y división, y luego la suma y la resta.
Miremos la expresión.
Pensemos así. Esta expresión contiene las operaciones de suma y resta, multiplicación y división. Actuamos según la regla. Primero, realizamos en orden (de izquierda a derecha) la multiplicación y división, y luego la suma y la resta. Organicemos el orden de las acciones.
Calculemos el valor de la expresión.
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
¿En qué orden se realizan las operaciones aritméticas si hay paréntesis en una expresión?
Si una expresión contiene paréntesis, primero se evalúa el valor de las expresiones entre paréntesis.
Miremos la expresión.
30 + 6 * (13 - 9)
Vemos que en esta expresión hay una acción entre paréntesis, lo que significa que primero realizaremos esta acción, luego la multiplicación y la suma en orden. Organicemos el orden de las acciones.
30 + 6 * (13 - 9)
Calculemos el valor de la expresión.
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
¿Cómo se debe razonar para establecer correctamente el orden de las operaciones aritméticas en una expresión numérica?
Antes de comenzar los cálculos, debe observar la expresión (averiguar si contiene paréntesis, qué acciones contiene) y solo luego realizar las acciones en el siguiente orden:
1. acciones escritas entre paréntesis;
2. multiplicación y división;
3. suma y resta.
El diagrama le ayudará a recordar esta sencilla regla (Fig. 4).
Arroz. 4. Procedimiento
Vamos a practicar.
Consideremos las expresiones, establezcamos el orden de las acciones y realicemos cálculos.
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
Actuaremos según la regla. La expresión 43 - (20 - 7) +15 contiene operaciones entre paréntesis, así como operaciones de suma y resta. Establezcamos un procedimiento. La primera acción es realizar la operación entre paréntesis, y luego, en orden de izquierda a derecha, la resta y la suma.
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
La expresión 32 + 9 * (19 - 16) contiene operaciones entre paréntesis, así como operaciones de multiplicación y suma. Según la regla, primero realizamos la acción entre paréntesis, luego la multiplicación (multiplicamos el número 9 por el resultado obtenido por la resta) y la suma.
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
En la expresión 2*9-18:3 no hay paréntesis, pero sí operaciones de multiplicación, división y resta. Actuamos según la regla. Primero, realizamos la multiplicación y división de izquierda a derecha, y luego restamos el resultado obtenido de la división del resultado obtenido de la multiplicación. Es decir, la primera acción es la multiplicación, la segunda es la división y la tercera es la resta.
2*9-18:3=18-6=12
Averigüemos si el orden de las acciones en las siguientes expresiones está definido correctamente.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
Pensemos así.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
No hay paréntesis en esta expresión, lo que significa que primero realizamos la multiplicación o división de izquierda a derecha, luego la suma o resta. En esta expresión, la primera acción es la división, la segunda es la multiplicación. La tercera acción debe ser la suma, la cuarta, la resta. Conclusión: el procedimiento se determina correctamente.
Encontremos el valor de esta expresión.
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
Sigamos hablando.
La segunda expresión contiene paréntesis, lo que significa que primero realizamos la acción entre paréntesis, luego de izquierda a derecha la multiplicación o división, suma o resta. Verificamos: la primera acción está entre paréntesis, la segunda es la división, la tercera es la suma. Conclusión: el procedimiento está definido incorrectamente. Corrijamos los errores y encontremos el significado de la expresión.
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
Esta expresión también contiene paréntesis, lo que significa que primero realizamos la acción entre paréntesis, luego de izquierda a derecha la multiplicación o división, suma o resta. Comprobemos: la primera acción está entre paréntesis, la segunda es la multiplicación, la tercera es la resta. Conclusión: el procedimiento está definido incorrectamente. Corrijamos los errores y encontremos el significado de la expresión.
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
Completemos la tarea.
Organicemos el orden de las acciones en la expresión usando la regla aprendida (Fig. 5).
Arroz. 5. Procedimiento
No vemos valores numéricos, por lo que no podremos encontrar el significado de las expresiones, pero practicaremos aplicando la regla que hemos aprendido.
Actuamos según el algoritmo.
La primera expresión contiene paréntesis, lo que significa que la primera acción está entre paréntesis. Luego, de izquierda a derecha, multiplicación y división, luego de izquierda a derecha, resta y suma.
La segunda expresión también contiene paréntesis, lo que significa que realizamos la primera acción entre paréntesis. Después de eso, de izquierda a derecha, multiplicación y división, después de eso, resta.
Comprobémoslo nosotros mismos (Fig. 6).
Arroz. 6. Procedimiento
Hoy en clase aprendimos sobre la regla para el orden de las acciones en expresiones con y sin paréntesis.
Bibliografía
- MI. Moreau, MA. Bantova y otros. Matemáticas: libro de texto. 3er grado: en 2 partes, parte 1. - M.: “Ilustración”, 2012.
- MI. Moreau, MA. Bantova y otros. Matemáticas: libro de texto. 3er grado: en 2 partes, parte 2. - M.: “Ilustración”, 2012.
- MI. Moro. Lecciones de matemáticas: Pautas para el maestro. 3er grado. - M.: Educación, 2012.
- Documento reglamentario. Seguimiento y evaluación de los resultados del aprendizaje. - M.: “Ilustración”, 2011.
- "Escuela de Rusia": programas para escuela primaria. - M.: “Ilustración”, 2011.
- SI. Volkova. Matemáticas: Trabajo de prueba. 3er grado. - M.: Educación, 2012.
- V.N. Rudnítskaya. Pruebas. - M.: “Examen”, 2012.
- festival.1septiembre.ru ().
- Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
- openclass.ru ().
Tarea
1. Determinar el orden de las acciones en estas expresiones. Encuentra el significado de las expresiones.
2. Determinar en qué expresión se realiza este orden de acciones:
1. multiplicación; 2. división;. 3. adición; 4. resta; 5. adición. Encuentra el significado de esta expresión.
3. Inventa tres expresiones en las que se realice el siguiente orden de acciones:
1. multiplicación; 2. adición; 3. resta
1. adición; 2. resta; 3. adición
1. multiplicación; 2. división; 3. adición
Encuentra el significado de estas expresiones.
