Разделы: Математика
Цели урока: обобщение и совершенствование знаний по данной теме.
Задачи:
- Обучающие:
- организация общения на уроке (учитель – ученик, ученик – учитель);
- реализация дифференцированного подхода к обучению;
- обеспечить повторение основных понятий.
- Развивающие:
- развивать умение выделять главное;
- логически излагать мысли.
- Воспитательные:
- формирование культуры учебной деятельности и информационной культуры;
- воспитание умения преодолевать трудности.
Схема урока.
При просмотре презентации обучающиеся отвечают на вопросы:
- Что называется криволинейной трапецией?
- Чему равна площадь криволинейной трапеции?
- Дайте определение интеграла.
Класс разбит на 2 подгруппы. Первая подгруппа более сильная, чем вторая, поэтому 2 подгруппа сначала работает с учителем (повторяет правила вычисления интегралов – проверка идет у доски), а потом работает за компьютером, выполняя самостоятельную работу. Вторая подгруппа со средними способностями работает самостоятельно. В дидактической игре “Интеграл” необходимо расшифровать высказывание: “Чистая совесть – самая мягкая подушка”. Домашнее задание дается творческое – подобрать 5 оригинальных примеров на нахождение площадей плоских фигур с чертежами.
Вариант №1.
Инструкция
2. Построение графиков:
а) Графики – Добавить график
… – в
поле Формула
введите формулу функции –
выберите толщину линии – ОК.
.
Правка – Добавить метку…
Вид – Списки графиков .
Задание
а) _______________
б) _______________
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций:
а) ________________________
________________________
________________________б)________________________
________________________
________________________
Самостоятельная работа “Вычисление площади плоских фигур с помощью определенного интеграла”
Учени____11 класса, группы ____________________________
Вариант 2
Инструкция
1. Откройте графопостроитель Advanced Grapher с рабочего стола.
2. Построение графиков:
а) Графики – Добавить график…
б) Для обозначения степени используйте знак ^
(например, )
в) Для набора тригонометрических функций
используйте схему: Графики – Набор свойств
– Тригонометрический набор
. Далее по
обычной схеме, но необходимо увеличить масштаб.
3. Подписать название функции: Правка – Добавить метку…
4. Отключить отображение всех графиков на панели: Вид – Списки графиков
Задание
1. Пользуясь прилагаемой инструкцией, постройте графики функций:
2. Найдите точки пересечения этих графиков
а) ______________________________
б) ______________________________
3. Определите промежуток интегрирования
а) _______________
б) _______________
а) ________________________
________________________
________________________
б) ________________________
________________________
________________________
Самостоятельная работа “Вычисление площади плоских фигур с помощью определенного интеграла”
Учени____11 класса, группы ____________________________
Вариант 3.
Инструкция
1. Откройте графопостроитель Advanced Grapher с рабочего стола.
2. Построение графиков:
а) Графики – Добавить график…
– в
поле Формула введите формулу функции – выберите
толщину линии – ОК.
б) Для обозначения степени используйте знак ^
(например, )
в) Для набора тригонометрических функций
используйте схему: Графики – Набор свойств
– Тригонометрический набор.
Далее по
обычной схеме, но необходимо увеличить масштаб.
3. Подписать название функции: Правка – Добавить метку…
4. Отключить отображение всех графиков на панели: Вид – Списки графиков
Задание
1. Пользуясь прилагаемой инструкцией, постройте графики функций:
а)
2. Найдите точки пересечения этих графиков
а) ______________________________
б) ______________________________
3. Определите промежуток интегрирования
а) __________________
б) __________________
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций.
а) ________________________
________________________
________________________
б) ________________________
________________________
________________________
Устная работа 1. Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:
2. Вычислите интегралы:
Найдите площадь фигуры:
5)1/3; ln2 ;√2
Немного истории
«Интеграл» придумал Якоб Бернулли (1690г.)
«восстанавливать» от латинского integro
«целый» от латинского integer
«Примитивная функция»,
от латинского
primitivus – начальный,
Жозеф Луи Лагранж
Интеграл в древности
Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен.
Этот метод был подхвачен и развит Архимедом , и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга.
Евдокс Книдский
Исаак Ньютон (1643-1727)
Наиболее полное изложение дифференциального и интегрального исчислений содержится в
Переменные величины - флюенты(первообразная или неопределенный интеграл)
Скорость изменения флюент – флюксии (производная)
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716)
- впервые использован Лейбницем в конце
Символ образовался из буквы
S - сокращения слова
summa (сумма)
Формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунках
Алгоритм вычисления площади плоской фигуры :
- По условию задачи сделать схематический чертеж.
- Представить искомую функцию, как сумму или разность площадей криволинейных трапеций, выбрать соответствующую формулу.
- Найти пределы интегрирования (а и b) из условия задачи или чертежа, если они не заданы.
- Вычислить площадь каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.
З А Д А Ч А
Перед зданием школы решено разбить клумбу. Но по форме клумба не должна быть круглой, квадратной или прямоугольной. Она должна содержать в себе прямые и кривые линии. Пусть она будет плоской фигурой, ограниченной линиями
Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6.
Вычислим площадь полученной фигуры по формуле:
где f(x)= 6 , а g(x)=4/x +2
Так как за каждый квадратный метр выплачивается 50 рублей, то заработок составит:
6,4 * 50 = 320 (рублей).
Домашнее задание:
Тема урока : «Вычисление площадей с помощью интегралов»
Цель урока :
воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при нахождении площади криволинейной трапеции, используя формулу Ньютона-Лейбница, научить находить площади фигур, используя ранее изученную теорию. Развивать навыки самоконтроля, грамотно выполнять построение чертежей и использовать их для иллюстрации решения. Обобщить и систематизировать теоретический материал по теме. Отработать навыки вычисления первообразных для функций. Отработать навыки вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница.
Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.
Структура урока:
1. Орг. Момент
2. Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний и умений
3. Новый материал
4. Закрепление (работа в группах) дифференцированный контроль
5. Дом. зад.(дифференцированное)
Методы : объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, практический.
Тип учебного занятия: интегрированный урок
Формы работы : фронтальная, групповая.
Ход урока :
I Орг. Момент
II Проверка дом. зад :. Повторить понятие первообразной, основные формулы. (теоретич. материал)
Вспомнить алгоритм построения квадратичной функции (фронт. беседа)
Программированный контроль
Задание | Ответ |
||||
Вариант 1 | Вариант 2 | ||||
Найти общий вид первообразной для функции. |
|||||
Вычислите: |
|||||
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: |
|||||
у = х2, у = 0, х = 2 | у = х3, у = 0, х = 2 |
На столах у каждого кадета лежит данная самостоятельная работа, которая дает возможность проверить выполнение дом. раб. Правильный ответ обводят и сдают на проверку.
III Теоретический материал
Задача 1 : Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, прямыми x=a, x=b и графиком функции y=f(x)
y(x)=9-x2, x=-1, x=2
Один кадет вызывается к доске и с помощью программы Advanced Grapher строит криволинейную трапецию и полученный результат выводит на интерактивную доску. Остальные работают в тетрадях и затем сверяются с доской
На доске заштриховывают криволинейную трапецию, оформляют решение
https://pandia.ru/text/78/387/images/image015_18.jpg" width="476" height="359">
В ходе фронтальной беседы заштрихуем фигуру, площадь которой нам нужно найти
Перед кадетами ставится вопрос: «Полученная фигура является криволинейной трапецией? Как основываясь на ранее полученные знания можно вычислить площадь данной фигуры?»
Как найти пределы интегрирования для каждой криволинейной трапеции?
Найдем точки пересечения этих двух функций:
x 2 =2 x - x 2 (ответ учащихся)
Вывод: Sф=∫x2dx + ∫(2x-x2)dx=1 (на доске выводится только ответ). Для слабых работают консультанты.
· Строим графики функций
Sф=∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
https://pandia.ru/text/78/387/images/image017_20.jpg" width="512" height="260 src=">Используя этот же чертеж, вычислите площадь заштрихованной фигуры:
Кадет на доске увеличивает масштаб чертежа для лучшей наглядности.
Как найти площадь данной фигуры?
Учащиеся делают вывод, что данная фигура состоит из двух криволинейных трапеций.
Дайте запишем полученный результат в общем виде (кадеты делают вывод самостоятельно, учитель играет только направляющую роль)
· Строим графики функций
· Находим абсциссы точек пересечения графиков функций f(x)=g(x), x1, x2
Sф=∫(g(x)-f(x))dx
https://pandia.ru/text/78/387/images/image019_16.jpg" width="396" height="297 src=">Кадеты делают вывод:
 |
IV Закрепление (диф. работа в группах)
1 группа: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y(x)=x2+2, g(x)=4-x
2 группа: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y(x)=-x2-4x, g(x)=x+4
3 группа: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y(x)=4/x2, g(x)=-3x+7
На доске выводится ключ для самопроверки:
III группа |
||
Подведение итогов:
· Как вычисляется площадь криволинейной трапеции?
· Какие из заштрихованных фигур (см. чертежи в тетради) являются криволинейными трапециями?
· Почему другие фигуры нельзя назвать криволинейными трапециями? Как находится их площадь?
V Диф. дом. Работа
1 группа: № 000,№ 000(2), № 000(1)
2 группа: № 000(2), № 1, № 000(4)
Практическая работа по теме: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»
Цель работы: освоить умение решать задачи на вычисление площади криволинейной плоской фигуры с помощью определенного интеграла.
Оборудование: инструкционная карта, таблица интегралов, лекционный материал по теме: «Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла».
Методические указания:
1) Изучите материалы лекции: «Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла».
Краткие теоретические сведения
Определенный интеграл функции на отрезке - это предел, к
которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного отрезка.
Нижний предел интегрирования, - верхний предел интегрирования.
Для вычисления определенного интеграла служит формула Ньютона-
Лейбница:
Геометрический смысл определенного интеграла . Если интегрируемая на
отрезке функция неотрицательна, то численно равен площади криволинейной трапеции:
Криволинейная трапеция - фигура, ограниченная графиком функции
Осью абсцисс и прямыми, .
Возможны различные случаи расположения плоских фигур в координатной плоскости:
Если криволинейная трапеция с основанием ограничена снизу кривой , то из соображений симметрии видно, что площадь фигуры равна или.
Если фигура ограничена кривой, которая принимает и положительные, и отрицательные значения. В этом случае, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на части, тогда
Если плоская фигура ограничена двумя кривыми и , то ее площадь можно найти с помощью площадей двух криволинейных трапеций: и.В данном случае площадь искомой фигуры можно вычислить по формуле:
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение. 1) Построим параболу и прямую в координатной плоскости (рисунок к задаче).
2) Выделим (заштрихуем) фигуру, ограниченную данными линиями.
Рисунок к задаче
3) Найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Для этого решим
систему способом сравнения:
Площадь фигуры найдем как разность площадей криволинейных трапеций,
ограниченных параболой и прямой.
5) Ответ.
Алгоритм решения задачи на вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями:
Построить в одной координатной плоскости заданные линии.
Заштриховать фигуру, ограниченную данными линиями.
Определить пределы интегрирования (найти абсциссы точек пересечения кривых).
Вычислить площадь фигуры, выбрав необходимую формулу.
Записать ответ.
2) Выполните следующее задание по одному из вариантов:
Задание. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями (пользуйтесь алгоритмом решения задачи на вычисление площади фигуры):
1125 Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла Методические указания к выполнению самостоятельных работ по математике для студентов 1-го курса факультета СПО Составители С.Л. Рыбина, Н.В.Федотова 0 Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Воронежский государственный архитектурно-строительный университет» Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла Методические указания к выполнению самостоятельных работ по математике для студентов 1-го курса факультета СПО Составители С.Л. Рыбина, Н.В.Федотова Воронеж 2015 1 УДК 51:373(07) ББК 22.1я721 Составители: Рыбина С.Л., Федотова Н.В. Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла: методические указания к выполнению самостоятельных работ по математике для студентов 1 курса СПО/Воронежский ГАСУ; сост.: С.Л. Рыбина, Н.В. Федотова. – Воронеж, 2015. – с. Даны теоретические сведения по вычислению площадей плоских фигур с помощью интеграла, приведены примеры решения задач, даны задания для самостоятельной работы. Могут использоваться для подготовки индивидуальных проектов. Предназначены для студентов 1 курса факультета СПО. Ил. 18. Библиогр.: 5 назв. УДК 51:373(07) ББК 22.1я721 Печатается по решению учебно-методического совета Воронежского ГАСУ Рецензент – Глазкова Мария Юрьевна, канд. физ.-мат. наук, доцент, преподаватель кафедры высшей математики Воронежского ГАСУ 2 Введение Данные методические указания предназначены для студентов 1 курса факультета СПО всех специальностей. В пункте 1 даны теоретические сведения по вычислению площадей плоских фигур с помощью интеграла, в пункте 2 приведены примеры решения задач, а в пункте 3 предложены задачи для самостоятельной работы. Общие положения Самостоятельная работа студентов – это работа, которая выполняется ими по заданию преподавателя, без его непосредственного участия (но под его руководством) в специально представленное для этого время. Цели и задачи самостоятельной работы: систематизации и закрепления полученных знаний и практических умений и навыков студентов; углубления и расширения теоретических и практических знаний; формирования умений использовать специальную, справочную литературу, Интернет; развития познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности; формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации; развития исследовательских знаний. обеспечение базы знаний для профессиональной подготовки выпускника в соответствии с ФГОС СПО; формирование и развитие общих компетенций, определённых в ФГОС СПО; подготовка к формированию и развитию профессиональных компетенций, соответствующих основным видам профессиональной деятельности. систематизация, закрепление, углубление и расширение полученных теоретических знаний и практических умений студентов; развитие познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности; формирование самостоятельности мышления: способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации; овладение практическими навыками применения информационнокоммуникационных технологий в профессиональной деятельности; развитие исследовательских умений. Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются: уровень освоения студентом учебного материала; 3 умение студента использовать теоретические знания при решении задач; обоснованность и четкость изложения ответа; оформление материала в соответствии с требованиями ФГОС. 4 1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла 1. Справочный материал. 1.1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной и неотрицательная функции y=f(x), снизу отрезком оси Ох, а с боков отрезками прямых х=а, х=b (Рис.1) Рис. 1 Площадь криволинейной трапеции можно вычислить с помощью определённого интеграла: b S f x dx F x b a F b (1) F a a 1.2. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке и принимает на этом отрезке положительные значения (рис. 2). Тогда нужно разбить отрезок на части, затем вычислить по формуле (1) соответствующие этим частям площади, полученные площади сложить. S = S1 + S2 c S b ф х dx f x dx a (2) c Рис. 2 1.3. В том случае, когда непрерывная функция f(x) < 0 на отрезке [а,b], для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу: 5 b S f (x) dx (3) a Рис. 3 1.4. Рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на и f(x)>g(x) на всем интервале (а; b). В этом случае площадь фигуры вычисляется по формуле y b S= (f (x) g (x))dx y=f(x) (4) а 1 а -1 O -1 b 1 y=g(x) x Рис. 4 1.5. Задачи на вычисление площадей плоских фигур можно решать по следующему плану: 1) по условию задачи делают схематический чертёж; 2) представляют искомую фигуру как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции; 3) записывают каждую функцию в виде f x ; 4) вычисляют площадь каждой криволинейной трапеции и искомой фигуры. 6 2.Примеры решения задач 1. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х + 3, у = 0, х = 1 и х = 3. Решение: Нарисуем линии, заданные уравнениями и заштрихуем криволинейную трапецию, площадь которой будем находить. SАВСД= Ответ: 10. 2. Фигура, ограниченная линиями у = -2х + 8, х = -1, у = 0, делится линией у = х2 – 4х + 5 на две части. Найдите площадь каждой части. Решение: Рассмотрим функцию у = х2 – 4х +5. у = х2 – 4х +5 = (х2 – 4х + 4) – 4 + 5 = (х – 2)2 + 1, т.е. графиком данной функции является парабола с вершиной К(2; 1). SАВС= . 7 SАВКМЕ= S1 = SАВКМЕ + SЕМС, S1 = S2 = SАВС – S1, S2 = Ответ: и = . . 3. Задания для самостоятельной работы Устный тест 1. Какая фигура называется криволинейной трапецией? 2. Какие из фигур являются криволинейными трапециями: 3. Как найти площадь криволинейной трапеции? 4. Найдите площадь заштрихованной фигуры: 8 5. Назовите формулу для вычисления площади изображенных фигур: Письменный тест 1. На каком рисунке изображена фигура, не являющаяся криволинейной трапецией? 2. С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычисляют: А. Первообразную функции; Б. Площадь криволинейной трапеции; В. Интеграл; Г. Производную. 3. Найдите площадь заштрихованной фигуры: 9 А. 0; Б. –2; В. 1; Г. 2. 4. Найдите площадь фигуры ограниченной осью Ох и параболой у = 9 – х2 А. 18; Б. 36; В. 72; Г. Нельзя вычислить. 5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = sin x, прямыми х = 0, х = 2 и осью абсцисс. А. 0; Б. 2; В. 4; Г. Нельзя вычислить. Вариант 1 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у x2 , б) у x2 в) у cos х, г) у 1 , х3 у 0, х у 0; х, у у 0, 0, 4; х х 1, х 0, х 6 ; 2. 10 Вариант 2 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: б) у 1 2 x , у 2 x2 2 х, в) у sin х, г) у 1 , х2 а) у у у 0, х у 0; 0, х 0, х 3; 3 2, ; х 1. Вариант 3 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = 2 – х3, у = 1, х = -1, х = 1; б) у = 5 – х2, у = 2х2 + 1, х = 0, х = 1; в) у = 2sin x, х = 0, х = p , у = 0; г) у = 2х – 2, у = 0, х = 3, х = 4. Вариант 4 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х2+1, у = 0, х = - 1, х = 2; б) у = 4 – х2 и у = х + 2; в) у = х2 + 2 , у = 0, х = - 1, х = 2; г) у = 4 – х2 и у = 2 – х. Вариант 5 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у 7 х, х=3, х=5, у=0; б) у в) у г) у 8 , х= - 8, х= - 4, у=0; х 0,5 х 2 4 х 10 , у х 2 ; х 2 , у х 6 , х=-6 и координатными осями. 11 Вариант 6 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями а) у 4 х 2 , у=0; б) у cos х, х, х в) у х 2 8 х 18 , у г) у х, у 2 , у=0; 2х 18 ; 1 , х=4. х Вариант 7 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями а) у х 2 6 х, х = -1, х=3,у=0; б) у=-3х, х=1, х=2, у=0; в) у х 2 10 х 16 , у=х+2; г) у 3 х, у = -х +4 и координатными осями. Вариант 8 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями а) у sin x , х 3 , х, у=0; б) у х 2 4 , х=-1, х=2, у=0; в) у х 2 2 х 3 , у 3х 1 ; г) у х 2 , у х 4 2 , у=0, Вариант 1 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х2, х = 1, х = 3, у = 0; б) у = 2cos х, у = 0, х = - Ï Ï , х= ; 2 2 в) у = 2х2, у = 2х. 2. (дополнительно) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х2 – 2х + 3, касательной к графику в его точке с абциссой 2 и прямой х = -1. 12 Вариант 2 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х3 , х = 1, х = 3, у = 0; б) у = 2cos х, у = 0, х = 0, х = Ï ; 2 в) у = 0,5х2, у = х. 2. (дополнительно) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у =3 + 2х - х2, касательной к графику в его точке с абциссой 3 и прямой х = 0. Вариант 3 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х, х = 1, х = 2, у = 0; б) у = 2cos х, у = 0, х = Ï 3Ï , х= ; 2 2 в) у = х2, у = -х2 + 2. 2. (дополнительно) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2х - х2, касательной к графику в его точке с абциссой 2 и осью ординат. Вариант 4 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у =0,5 х, х = 1, х = 2, у = 0; б) у = 2cos х, у = 0, х = Ï Ï , х= ; 4 2 в) у = 9 - х2, у = 2х + 6. 2. (дополнительно) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х2+ 2х, касательной к графику в его точке с абциссой -2 и осью ординат. Задания для работы в парах: 1.Вычислите площадь заштрихованной фигуры 2. Вычислите площадь заштрихованной фигуры 13 3. Вычислите площадь заштрихованной фигуры 4. Вычислите площадь заштрихованной фигуры 14 5. Вычислите площадь заштрихованной фигуры 6. Представьте площадь заштрихованной фигуры как сумму или разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий. 7. Представьте площадь заштрихованной фигуры как сумму или разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий. 15 Библиографический список 1. Шарыгин, И. Ф. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень. 10 - 11 классы: учебник / И.Ф Шарыгин. - 2-е изд., стер. – Москва: Дрофа, 2015. – 238 с. 2. Муравин Г. К. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Базовый уровень. 11 класс: учебник / Г. К. Муравин, О. В. Муравина - 2-е изд., стер. - Москва: Дрофа, 2015. - 189 с. 3. Муравин Г. К. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Базовый уровень. 10 класс: учебник / Г. К. Муравин, Муравина О.В. - 2-е изд., стер. - Москва: Дрофа, 2013 – 285 с. 4. Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя/С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов. – 2-е изд.– М.: Просвещение, 2014. – 222 с.: ил. 5. Изучение алгебры и начал анализа в 10-11 классах: Кн. для учителя / Н. Е. Федорова, М. В. Ткачева. – 2-е изд.– М.: Просвещение, 2014. – 205 с.: ил. 6. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб.для общеобразоват. учреждений / Мордкович А.Г. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2014. – 375 с.: ил. Интернет-ресурсы: 1. http://www.exponenta.ru/educat/links/l_educ.asp#0 – Полезные ссылки на сайты математической и образовательной направленности: Учебные материалы, тесты 2. http://www.fxyz.ru/ - Интерактивный справочник формул и сведения по алгебре, тригонометрии, геометрии, физике. 3. http://maths.yfa1.ru - Справочник содержит материал по математике (арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия). 4. allmatematika.ru - Основные формулы по алгебре и геометрии: тождественные преобразования, прогрессии, производная, стереометрия и проч. 5. http://mathsun.ru/ – История математики. Биографии великих математиков. 16 Оглавление Введение. ..................................................................................................................................... 3 Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла.............................................. 5 1. Справочный материал........................................................................................................... 5 2. Примеры решения задач........................................................................................................ 7 3. Задания для самостоятельного работы................................................................................ 8 Библиографический список.................................................................................................... 16 Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла Методические указания к выполнению самостоятельных работ по математике для студентов 1-го курса факультета СПО Составители: Рыбина Светлана Леонидовна Федотова Наталья Викторовна Подписано в печать __.__. 2015. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд. л. 1,1.Усл.-печ. л. 1,2. 394006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84 17
