В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.
Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.
Навигация по странице.
Связь между синусом и косинусом одного угла
Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве
вида 
. Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства 
и 
следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.
То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.
Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.
Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и 
сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, 
, а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, 
.
Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.
В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z
- любое .
Связь между тангенсом и котангенсом
Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.
Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда 
. Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то 
.
Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .
Тема: Тригонометрические формулы (25 часов)
Урок 6 – 7: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Цель:
изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Для достижения поставленной цели необходимо:
- Знать:
- формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса); знаки тригонометрических функций по четвертям; множество значений тригонометрических функций; основные формулы тригонометрии.
- Понимать:
- что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента; алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.
- Применить:
- умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; умение работать с простыми дробями; умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.
- Анализ:
- анализировать ошибки в логике рассуждения.
- Синтез:
- предложить свой способ решения примеров; составить кроссворд, используя полученные знания.
- Оценка:
- знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.
- Организационный момент.
- Актуализация знаний и умений.
- В какой четверти находится угол в 1 радиан и чему он примерно равен?
- Какое слово пропущено в определение функции синус?
- Какое слово пропущено в определении функции косинус?
- Какие значения может принимать синус?
() - Объяснение нового материала.
зобразим единичную окружность с центром в точке О. Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол
получен радиус ОВ (рис. 5). Тогда по определению 
где 
– абсцисса точки В, 
– ее ордината. Отсюда следует, что Точка В принадлежит окружности. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению 
Воспользовавшись тем, что получим 
(1).
Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества. Равенство (1) называется основным тригонометрическим тождеством.
В равенстве (1)
может принимать любые значения. Самостоятельно завершите запись: 1.
Проверьте правильность вашей записи. Выставите себе баллы в карту урока для Задания № 2. Продолжаем. Мы вывели основное тригонометрическое тождество, а для чего оно нам нужно? Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса значение косинуса и наоборот. Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента. Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. Для проверки к доске вызываются два ученика. Одному предлагается выразить синус через косинус, второму – косинус через синус. На экран выводится верный ответ:
Учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 3.
В этих формулах от чего зависит знак перед корнем? (От того, в какой четверти расположен угол тригонометрической функции, которую мы определяем). Пример 1 . Вычислить
если 
Определим четверть, в которой находится угол 
. Четверть – III. Вспомним, что синус в третьей четверти отрицательный, т. е. в формуле (2) перед корнем нужно поставить знак « – »: Пример 2.
Вычислить 
если 
Определяем четверть, в которой находится угол
. Четверть – IV, косинус в четвертой четверти положителен. Поэтому в формуле (3) перед корнем нужен знак « + »: Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом . По определению тангенса и котангенса
Перемножая эти равенства, получаем:
Из равенства (4) можно выразить
через 
и наоборот: 
Равенства (4) – (6) верны при всех значениях, при которых
имеют смысл, т. е. при 
Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также котангенсом и синусом одного и того же аргумента. Разделив обе части равенства (1) на 
, получим: 
т.е. 
Если обе части равенства (1) разделить на
, то будем иметь: 
т.е. 
Рассмотрим примеры использования выведенных формул для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.
Пример 1. Найдем если известно, что
Решение:
- Для отыскания котангенса угла
удобно воспользоваться формулой (6):
Ответ: Пример2. Известно, что
. Найдем все остальные тригонометрические функции. Решение:
- Воспользуемся формулой (7).
Имеем:
, 
. По условию задачи угол
является углом 1 четверти, поэтому его косинус положителен. Значит 
Ответ:
Установленные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента позволяют упрощать тригонометрические выражения. Пример 3. Упростим выражение:
Решение:
Воспользуемся формулами: 
. Получим: - Закрепление.
А сейчас на экране представлены рубрики самооценки по данной теме. Отметьте, на какой уровень вы бы хотели сегодня выйти.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.
Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню (перед вами лежат задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)
1 вариант
Инструкция:
4 вариант
А теперь, ребята, давайте проверим ответы. На экран выводятся правильные ответы, и учащиеся проверяют свои работы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4. По карте урока оцените себя. Подсчитайте свои баллы и выставите их в карту.
- Домашнее задание.
- Записать все выведенные формулы в справочник. По учебнику №459 (3, 5), №460 (1)
Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла
На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением
- x 2 +y 2 =1.
Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:
- sin(a) = у,
- cos(a) = х.
Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство
- (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.
Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).
Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.
Например.
Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi Воспользуемся формулой приведенной выше: Так как pi Теперь, попробуем найти зависимость, между тангенсом и котангенсов. По определению tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a). Перемножим эти равенства, получим tg(a)*ctg(a) =1. Из этого равенства можно выразить одну функцию через другую. Получим: Следует понимать, что эти равенства справедливы лишь тогда, когда tg и ctg существуют, то есть для любых а, кроме а=k*pi/2, при любом целом k. Теперь попробуем используя основное тригонометрическое тождество найти зависимости между тангенсом и косинусом. Поделим основное тригонометрическое тождество, на (cos(a)) 2 . (cos(a) не равен нулю, иначе бы тангенс не существовал бы. Получим следующее равенство ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 . Разделив почленно получаем: Как уже отмечалось выше, эта формула верна если cos(a) не равен нулю, то есть для всех углов а, кроме а=pi/2 +pi*k, при любом целом k. А синуса график волна за волной Из студенческой песни.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УРОКА: ЗДОРОВЬЕ СБЕРЕГАЮЩАЯ: создание комфортного
психологического климата на уроке, атмосферы
сотрудничества: ученик – учитель. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОСНАЩЕНИЕ УРОКА: МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ БАЗА: кабинет
математики. ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УРОКА: учебник,
тетрадь, плакаты по теме урока, таблицы,
компьютер, диски, экран, проектор. МЕТОДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: групповая и
индивидуальная работа за партой и у доски. ТИП УРОКА: урок усвоения новых знаний. ХОД УРОКА
1. Организационный момент: приветствие,
проверка явки учащихся, заполнение журнала. 2. Проверка готовности учащихся к уроку: настрой
учащихся на работу, доведение до них плана урока. 3. Анализ ошибок домашнего задания. На экране -
картинка с верно выполненным домашним заданием.
Каждый ученик проверяет с подробным фронтальным
объяснением и отмечает правильность выполнения
в рабочей карте урока. РАБОЧАЯ КАРТА УРОКА. С/о – самооценка. О/т – оценка товарища. 4. Актуализация знаний, подготовка к восприятию
нового материала. Следующий этап нашего урока-диктант.
Записываем кратко ответы – чертеж у нас на
слайде. Диктант (устное повторение необходимых
сведений): 1. Дайте определение: 2. Дайте определение: 3. Записать знаки синуса, косинуса, тангенса,
котангенса для углов, полученных поворотом точки
Р(1;0) на угол 4. Для всех этих углов указать четверти
координатной плоскости. Ребята проверяют диктант по слайду вместе с
учителем, объясняя каждое высказывание и
выставляя себе оценку в рабочую карту урока. 5. Из истории тригонометрии. Современный вид
тригонометрии придал крупнейший математик 18
столетия Леонард Эйлер
– швейцарец по
происхождению, долгие годы работавший в России и
являвшийся членом Петербургской академии наук.
Он ввел известные определения
тригонометрических функций, сформулировал и
доказал формулы приведения, с которыми вам еще
предстоит встретиться, выделил классы четных и
нечетных функций. 6. Введение нового материала: Главное не просто сообщить учащимся конечные
выводы, а сделать учащихся как бы участниками
научного поиска: поставив вопрос, так, чтобы они,
разбудив свою любознательность, включились в
исследование, что способствует достижению более
высокого уровня умственного развития учащихся. Поэтому при введении нового материала я создаю
проблемную ситуацию – как легче и рациональней
установить зависимость между синусом и
косинусом одного и того же угла – через
уравнение единичной окружности или через
теорему Пифагора. Класс разбивается по вариантам на первый и
второй вариант – на экране слайд с условием и
чертежами, решения пока нет. 1 вариант устанавливает зависимость между
синусом и косинусом через уравнение окружности с
центром в начале координат и радиусом, равным 1x 2 +y 2 =1;
sin 2 +cos 2 =1. 2 вариант устанавливает зависимость между
синусом и косинусом через теорему Пифагора – в
прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов: OB 2 +AB 2 =OA 2
- и получаем sin 2 +cos 2 =1. Сравнивают результаты, делают выводы: главный
– равенство выполняется при любых значениях
входящих в него букв? Ученики должны ответить,
что это тождество (на слайде показывается верное решение, как для
первого, так и для второго вариантов). Мы получили равенство справедливое при любых
значениях входящих в него букв. Как называются
такие равенства? Правильно – тождества. Вспомним – какие еще тождества мы с вами знаем
в алгебре – формулы сокращенного умножения: a 2 -b 2 =(a-b)(a+b), (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 , (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 2 , (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 3 -b 3 , a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2), a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2). Следующая проблема – а для чего мы вывели
основное тригонометрическое тождество – sin 2 +cos 2 =1. Правильно – для нахождения по одному
известному нам значению синуса, косинуса или
тангенса – значений всех остальных функций. Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться
основным тригонометрическим тождеством, но
главное – для одного и того же аргумента. Применение полученных знаний: 1 ВАРИАНТ – выразить синус через косинус угла. 2 вариант – выразить косинус через синус угла.
На слайде верный ответ Вопрос учителя – никто не забыл проставить
знаки +и - ? Каким может быть угол? – любым. В этих формулах знак перед корнем зависит от
чего? от того, в какой четверти расположен угол
(аргумент) тригонометрической функции, которую
мы определяем. Выполняем у доски 2 ученика №457. – 1 – й вариант -
1, 2-й вариант - 2. На слайде – верное решение. Самостоятельная работа на узнавание основного
тригонометрического тождества 1. найти значение выражения: 2. выразить число 1 через угол a
, если Идет взаимопроверка – по готовому слайду и
оценивание работ – как самооценкой, так и
оценкой товарища. 6. Закрепление нового материала (по технологии
Г.Е.Хазанкина – технология опорных задач). ЗАДАЧА 1. Вычислить ……….., если
…………………………………………………………………. 1 ученик у доски самостоятельно – затем слайд с
правильным решением. ЗАДАЧА 2. Вычислить…………….,
если……………………………………………………………….. 2-й ученик у доски, затем слайд с верным
решением. 7. Физкультминутка.Я знаю, что вы уже взрослые и
считаете, что совсем не устали, особенно сейчас,
когда урок идет так активно, что время для нас
как –бы и удлиняется– по теории относительности
А.Эйнштейна, но давайте проведем гимнастику для
сосудов головного мозга: Выясним теперь зависимость между тангенсом и
котангенсом……………………………………………………………………………………………………… Идет новое исследование на тему – каким может
быть угол во втором тригонометрическом
тождестве? ГЛАВНОЕ – ВЫЯСНЕНИЕ МНОЖЕСТВА, НА КОТОРОМ ЭТИ
РАВЕНСТВА ВЫПОЛНЯЮТСЯ. ОТМЕТИТЬ НА РИСУНКЕ
ТОЧКИ, В КОТОРЫХ ТАНГЕНС И КОТЕНГЕНС УГЛА НЕ
СУЩЕСТВУЕТ. 3-й ученик у доски. Равенства справедливы
при………………………. ЗАДАЧА3. Вычислить………, если…………………………. ЗАДАЧА 4. Вычислить…………….. если
……………………………………………………………… Остальные учащиеся работают у себя в тетрадях. 1
ОПОРА……………………………………………………………………………………………… 2
ОПОРА……………………………………………………………………………………………… 3 ОПОРА. Применение основного
тригонометрического тождества к решению задач. 8. Кроссворд. Анатоль Франс сказал как-то:
“Учиться надо весело… Чтобы переваривать
знания, надо поглощать их с аппетитом”. Для проверки знаний по данной теме вам
предлагается кроссворд. Проверив кроссворд, ребята выставляют себе
оценки в рабочую карту урока. Учитель выставляет
оценки тем ученикам, которые особенно активно
проявили себя на уроке. Итог – средний балл за
работу на уроке. 9. Инструктаж учителя по выполнению домашнего
задания. 10. Подведение учителем итогов урока. 11. Домашнее задание: параграф 25 (до задачи 5), №459
(четные), 460 (четные), 463*(4). Учебник Ш.А Алимов
“Алгебра и начала анализа”., 10-11,
“Просвещение”., М., 2005г. КАРТА УРОКА «ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИНУСОМ, КОСИНУСОМ И ТАНГЕНСОМ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА» Учащийся _______________________________________________________________________ 1. Я знаю материал предыдущих уроков
Баллы
Я ответил без конспекта на все вопросы правильно.
Я ответил без конспекта с одной ошибкой.
Я ответил без конспекта и сделал более одной ошибки.
Я ответил правильно на все вопросы, используя конспект.
Я ответил, используя конспект, с одной ошибкой
Я ответил, используя конспект, и сделал более одной ошибки
2. Я завершил запись примеров
Баллы
Я выполнил все задания без ошибок
Я выполнил с одной ошибкой
Я выполнил задания и сделал более двух ошибок
3. Я выполнил вывод формулы для нахождения синуса и косинуса
Баллы
Я вывел формулы правильно
Я вывел формулы и допустил одну ошибку
Я вывел формулы с помощью учителя 4. Я применил свои знания по теме: «Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла» при решении самостоятельной работы
Баллы
Я решил примеры 1 варианта без ошибок.
Я решил примеры 1 варианта и допустил ошибку.
Я решил примеры 2 варианта без ошибок.
Я решил примеры 2 варианта и допустил ошибку.
Я решил примеры 3 варианта без ошибок
Я решил примеры 3 варианта и допустил ошибку.
Я решил примеры 4 варианта без ошибок.
Я решил примеры 4 варианта и допустил ошибку.
5. Оцени себя:
Я понял вывод формул и могу решать примеры по данной теме с тетрадкой и помощью учителя.
Я понял вывод формул и могу решать примеры самостоятельно без тетради, только смотря в формулы.
Я понял вывод формул и могу решать примеры самостоятельно без тетради, если забуду формулу, я смогу ее вывести сам.
Мои баллы: __________ Максимальное кол-во баллов – 22 18 – 22 балла - оценка «5» 15 – 17 баллов - оценка «4» 11 –14 баллов - оценка «3» Менее 11 баллов - нужно прийти на консультацию в ближайшие дни, материал еще не усвоился. Головатова Вера Анатольевна, преподаватель математики ГБ ПОУ «Охтинский колледж» Конспект двух уроков для обучающихся
I
курса (10кл.) по теме:
«Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла» Цель:
изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Для достижения поставленной цели необходимо: Знать:
формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса); знаки тригонометрических функций по четвертям; множество значений тригонометрических функций; основные формулы тригонометрии. Понимать:
что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента; алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую. Применить:
умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; умение работать с простыми дробями; умение выполнять преобразование тригонометрических выражений. Анализ:
анализировать ошибки в логике рассуждения. Синтез:
предложить свой способ решения примеров; составить кроссворд, используя полученные знания. Оценка:
знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры. Оборудование:
макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы. Используемые источники:
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.В. Сидоров и др. Просвещение, 2006. Задания Открытого банка для подготовки к ЕГЭ по математике, 2011 г. Ресурсы сети ИНТЕРНЕТ. Краткий план урока:
Организационный момент.
Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке – 3-5 мин.
Актуализация знаний и умений.
Учащимся раздаются карты урока и даются пояснения как с ними работать. На экран выводятся вопросы; учащиеся записывают ответы в тетрадь; преподаватель выводит на экран правильный ответ. После окончания опроса учащиеся выставляют баллы в карту урока для Задания № 1
– 10 мин.
Объяснение нового материала.
Преподаватель выводит формулу для основного тригонометрического тождества – 5 мин.
Учащимся предлагается самостоятельно завершить запись примеров, выведенных на экран, проверить правильность ответов и выставить баллы в карту урока для Задания № 2 –
5 мин.
Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. На экран выводится правильный ответ, учащиеся проверяют и выставляют баллы в карту урока для Задания №3
– 5-7 мин.
Преподаватель на доске решает примеры на применение основного тригонометрического тождества. Учащиеся отвечают на вопросы преподавателя по ходу объяснения и записывают примеры себе в тетрадь – 15 мин.
Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и котангенсом, учащиеся принимают активное участие в выводе формул, отвечают на вопросы и делают записи в тетрадь – 5 мин.
Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и косинусом, между синусом и котангенсом – 5 мин.
К доске вызываются учащиеся по желанию и с помощью преподавателя по алгоритму выполняют решение примеров. Все остальные записывают и по мере необходимости отвечают на вопросы – 10 мин.
Закрепление изученного материала
В конце урока на экран выводятся правильные ответы, учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4
– 20 мин.
Домашнее задание:
Учащиеся записывают в тетрадь задание на дом – 3 мин.
После посещения семинаров по РНС и проведении урока с использованием технологической карты мне стало очевидно, что рейтинговая система стимулирует максимально возможный интерес учащихся к конкретной теме. В моем случае – это основные формулы тригонометрии. Тригонометрия очень часто не воспринимается учащимися не столько из-за своей сложности, сколько из-за большого количества формул, с которыми нужно уметь работать. Трудно после одного урока, проведенного с использованием технологической карты, ожидать каких-то невероятных успехов и результатов, но мне кажется, что преимущества рейтинговой системы при изучении тригонометрии и математики в целом состоят в следующем: появилась возможность организовать и поддерживать как работу на уроке, так и самостоятельную, систематическую работу учащихся дома; должна повыситься посещаемость и уровень дисциплины на уроках; повышается мотивация к учебной деятельности; уменьшаются стрессовые ситуации при получении неудовлетворительных оценок; стимулируется творческое отношение к работе. Единственный недостаток РНС (как мне кажется) – это большой объем работы для преподавателя, но это работа на результат. После единственного урока, проведенного по этой системе, учащиеся постоянно спрашивают, будем ли мы еще так работать. Значит, их что-то зацепило. И нужно продолжать работать. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню (
перед вами задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)
1 вариант
Инструкция:
Инструкция:
Решите самостоятельно этим способом пример: 2 вариант
Указание: Для определения функции косинус воспользуйтесь формулой (3) из сегодняшнего урока. Не забудьте определить знак, который будет стоять перед корнем. Для вычисления значений тангенса и котангенса можно воспользоваться определением этих функций ил использовать формулы, которые мы вывели сегодня на уроке.
Указание. Сгруппируйте первый и третий члены выражения, вынесите за скобку общий множитель….
3 вариант
4 вариант
Повторение: 1. В какой четверти находится угол в 1 радиан и чему он примерно равен? В I четверти, 1 рад. 57,3 ° 2. Какое слово пропущено в определении функции синус? Синусом угла
называется ………… точки единичной окружности.
ОРДИНАТА
3. Какое слово пропущено в определении функции косинус? Косинусом угла
называется
…………
точки единичной окружности.
АБСЦИССА
4. Допишите формулу:
tg
5. Определите знак произведения: tg
6. Какое значение может принимать синус?
или
7. Вычислите: y
B (x; y)
R
Y=sin
O
x
x=cos
Завершите запись:
x
y
x
y
x
x
x
y
x
y
x
x
1 Вариант: 3 Вариант: 2.Вариант: 4 Вариант:Соотношение между тангенсом и котангенсом одного и того же угла
По оси абсцисс убегает.
«Краткий план»Просмотр содержимого документа
«Рефлексия»Просмотр содержимого документа
«Самостоятельная работа»
Просмотр содержимого презентации
«Презентация»
