Problem 1 (eğri bir yamuğun alanını hesaplarken).
Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi xOy'de, x ekseni ile sınırlandırılmış bir şekil (şekle bakınız), x \u003d a, x \u003d b düz çizgileriyle (a eğri bir yamuk ile verilir. Eğri bir yamuğun alanını hesaplamak gerekir.
Karar. Geometri bize çokgenlerin alanlarını ve bir çemberin bazı kısımlarını (sektör, segment) hesaplamak için tarifler verir. Geometrik düşünceleri kullanarak, aşağıdaki gibi tartışarak gerekli alanın yalnızca yaklaşık bir değerini bulabileceğiz.
Segmenti [a; b] (eğri bir yamuğun tabanı) n eşit parçaya; bu bölüm x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 noktaları kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bu noktalardan y eksenine paralel düz çizgiler çizin. Daha sonra verilen eğrisel yamuk n parçaya, n dar sütuna bölünecektir. Yamuğun tamamının alanı, sütunların alanlarının toplamına eşittir.
K'inci sütunu ayrı ayrı düşünün, yani. tabanı bir segment olan eğrisel bir yamuk. Bunu aynı tabanı ve yüksekliği f (x k) olan bir dikdörtgenle değiştirelim (şekle bakın). Dikdörtgenin alanı \\ (f (x_k) \\ cdot \\ Delta x_k \\), burada \\ (\\ Delta x_k \\) segmentin uzunluğudur; Derlenen ürünü k'inci sütunun alanının yaklaşık değeri olarak düşünmek doğaldır. 
Şimdi diğer tüm sütunlarla aynı şeyi yaparsak, şu sonuca ulaşırız: belirli bir eğrisel yamuğun S alanı, n dikdörtgenden oluşan basamaklı bir şeklin S n alanına yaklaşık olarak eşittir (şekle bakın):
\\ (S_n \u003d f (x_0) \\ Delta x_0 + \\ dots + f (x_k) \\ Delta x_k + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ Delta x_ (n-1) \\)
Burada, gösterimin tekdüzeliği uğruna, a \u003d x 0, b \u003d x n olduğunu varsayıyoruz; \\ (\\ Delta x_0 \\) - segment uzunluğu, \\ (\\ Delta x_1 \\) - segment uzunluğu vb. aynı zamanda, yukarıda anlaştığımız gibi, \\ (\\ Delta x_0 \u003d \\ dots \u003d \\ Delta x_ (n-1) \\)
Yani, \\ (S \\ yaklaşık S_n \\) ve bu yaklaşık eşitlik ne kadar doğru olursa, n o kadar büyük olur.
Tanım olarak, eğrisel bir yamuğun gerekli alanının (S n) dizisinin sınırına eşit olduğu varsayılır:
$$ S \u003d \\ lim_ (n \\ - \\ infty) S_n $$
Problem 2 (hareket noktası hakkında)
Bir malzeme noktası düz bir çizgide hareket eder. Hızın zamana bağımlılığı v \u003d v (t) formülüyle ifade edilir. Bir noktanın belirli bir süre boyunca yer değiştirmesini bulun [a; b].
Karar. Hareket tekdüze olsaydı, sorun çok basit bir şekilde çözülürdü: s \u003d vt, yani. s \u003d v (b-a). Eşit olmayan hareket için, önceki sorunun çözümünün dayandığı aynı fikirleri kullanmanız gerekir.
1) Zaman aralığını [a; b] n eşit parçaya.
2) Bir zaman aralığı düşünün ve bu zaman aralığı boyunca hızın, örneğin t k zamanındaki gibi sabit olduğunu varsayın. Dolayısıyla, v \u003d v (t k) olduğunu düşünüyoruz.
3) Noktanın belirli bir süre boyunca yer değiştirmesinin yaklaşık değerini bulun, bu yaklaşık değer s k ile gösterilecektir.
\\ (s_k \u003d v (t_k) \\ Delta t_k \\)
4) Yer değiştirmenin yaklaşık değerini bulun:
\\ (s \\ yaklaşık S_n \\) nerede
\\ (S_n \u003d s_0 + \\ dots + s_ (n-1) \u003d v (t_0) \\ Delta t_0 + \\ dots + v (t_ (n-1)) \\ Delta t_ (n-1) \\)
5) İstenen yer değiştirme, sıra sınırına (S n) eşittir:
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ - \\ infty) S_n $$
Özetleyelim. Çeşitli problemlerin çözümleri aynı matematik modeline indirgenmiştir. Bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarından birçok problem çözme sürecini aynı modele götürür. Bu, bu matematiksel modelin özel olarak çalışılması gerektiği anlamına gelir.
Kesin integral kavramı
[A; b]:
1) segmenti [a; b] n eşit parçaya;
2) $$ S_n \u003d f (x_0) \\ Delta x_0 + f (x_1) \\ Delta x_1 + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ Delta x_ (n-1) $$ toplamını oluşturun
3) $$ \\ lim_ (n \\ - \\ infty) S_n $$ değerini hesaplayın
Matematiksel analiz sırasında, sürekli (veya parçalı sürekli) bir fonksiyon durumunda bu sınırın var olduğu kanıtlandı. O aradı [a; segmenti boyunca y \u003d f (x) fonksiyonunun belirli bir integrali; b] ve aşağıdaki şekilde belirtilmiştir:
\\ (\\ int \\ limitler_a ^ b f (x) dx \\)
A ve b sayılarına entegrasyon sınırları denir (sırasıyla alt ve üst).
Yukarıda tartışılan görevlere dönelim. Problem 1'de verilen alanın tanımı artık aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
burada S, yukarıdaki şekilde gösterilen eğrisel trapezoidin alanıdır. Bu belirli bir integralin geometrik anlamı.
Problem 2'de verilen t \u003d a'dan t \u003d b'ye kadar zaman aralığı boyunca v \u003d v (t) hızıyla düz bir çizgi boyunca hareket eden bir noktanın yer değiştirmesinin s tanımı aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
Newton-Leibniz formülü
İlk olarak şu soruyu cevaplayalım: belirli bir integral ile ters türev arasındaki bağlantı nedir?
Cevap Problem 2'de bulunabilir. Bir yandan, v \u003d v (t) hızıyla düz bir çizgide hareket eden bir noktanın t \u003d a'dan t \u003d b'ye kadar olan zaman aralığında yer değiştirmesi s ve aşağıdaki formülle
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v (t) dt \\)
Öte yandan, hareket eden noktanın koordinatı, hız için ters türevdir - s (t) diyelim; dolayısıyla s yer değiştirme s \u003d s (b) - s (a) formülüyle ifade edilir. Sonuç olarak, şunu elde ederiz:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v (t) dt \u003d s (b) -s (a) \\)
burada s (t), v (t) için ters türevdir.
Matematiksel analiz sırasında aşağıdaki teorem kanıtlandı.
Teorem. Y \u003d f (x) fonksiyonu [a; b], bu durumda aşağıdaki formül geçerlidir
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d F (b) -F (a) \\)
burada F (x), f (x) için ters türevdir.
Yukarıdaki formül genellikle newton - Leibniz formülüne göre İngiliz fizikçi Isaac Newton (1643-1727) ve Alman filozof Gottfried Leibniz'in (1646-1716) onuruna.
Pratikte, F (b) - F (a) yazmak yerine \\ (\\ left. F (x) \\ right | _a ^ b \\) gösterimini kullanın (bazen çift \u200b\u200bikame) ve buna göre Newton-Leibniz formülünü aşağıdaki biçimde yeniden yazın:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d \\ left. F (x) \\ sağ | _a ^ b \\)
Belirli bir integrali hesaplarken, önce ters türevi bulun ve ardından çift ikame gerçekleştirin.
Newton - Leibniz formülüne dayanarak, belirli bir integralin iki özelliği elde edilebilir.
Özellik 1. Fonksiyonların toplamının integrali, integrallerin toplamına eşittir:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b (f (x) + g (x)) dx \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx + \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \\)
Özellik 2. Sabit faktör, integral işaretinden çıkarılabilir:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b kf (x) dx \u003d k \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
Belirli bir integral kullanarak düzlemsel şekillerin alanlarının hesaplanması
İntegrali kullanarak, sadece eğrisel trapezoidlerin alanlarını değil, aynı zamanda şekilde gösterilen gibi daha karmaşık tipteki düzlem şekillerini de hesaplayabilirsiniz. Şekil P, düz çizgilerle x \u003d a, x \u003d b ve sürekli fonksiyonların grafikleri y \u003d f (x), y \u003d g (x) ile sınırlanmıştır, dahası, [a; b] eşitsizlik \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) tutar. Böyle bir rakamın S alanını hesaplamak için aşağıdaki gibi ilerleyeceğiz:
\\ (S \u003d S_ (ABCD) \u003d S_ (aDCb) - S_ (aABb) \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx - \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \u003d \\)
\\ (\u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)
Dolayısıyla, x \u003d a, x \u003d b düz çizgileriyle sınırlanan şeklin S alanı ve y \u003d f (x), y \u003d g (x) fonksiyonlarının grafikleri, segment üzerinde sürekli ve öyle ki [a; segmentindeki herhangi bir x için; b] formülle hesaplanan \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) eşitsizliği tutar
\\ (S \u003d \\ int \\ limitler_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)
Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (ters türevler) tablosu
$$ \\ int 0 \\ cdot dx \u003d C $$ $$ \\ int 1 \\ cdot dx \u003d x + C $$ $$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \\; \\; (n \\ neq -1) $$ $$ \\ int \\ frac (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$ $$ \\ int e ^ x dx \u003d e ^ x + C $$ $$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + C \\; \\; (a\u003e 0, \\; \\; a \\ neq 1) $$ $$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + C $$ $$ \\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + C $$ $ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ text (tg) x + C $$ $$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sin ^ 2 x) \u003d - \\ text (ctg) x + C $$ $$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ text (arcsin) x + C $$ $$ \\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) \u003d \\ text (arctg) x + C $$ $$ \\ int \\ text (ch) x dx \u003d \\ text (sh) x + C $$ $$ \\ int \\ text (sh) x dx \u003d \\ text (ch ) x + C $$Problem numarası 3. Bir çizim yapın ve şeklin çizgilerle sınırlanmış alanını hesaplayın
Uygulanan problemleri çözmek için entegre uygulama
Hesaplama alanı
Sürekli negatif olmayan bir f (x) fonksiyonunun belirli integrali sayısal olarak eşittiry \u003d f (x) eğrisi, O x ekseni ve x \u003d a ve x \u003d b düz çizgileri ile sınırlanmış eğri bir yamuğun alanı. Buna göre alan formülü şu şekilde yazılır:
Düz rakamların alanlarını hesaplamak için bazı örneklere bakalım.
Problem No. 1. y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 çizgileriyle sınırlanan alanı hesaplayın.
Karar. Alanı hesaplamamız gereken bir rakam oluşturalım.
y \u003d x 2 + 1, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş ve parabol, O y eksenine göre yukarı doğru bir birim yer değiştirmiş bir paraboldür (Şekil 1).
Şekil 1. y \u003d x 2 + 1 fonksiyonunun grafiği
Problem numarası 2. 0 ile 1 aralığında y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 çizgileriyle sınırlanan alanı hesaplayın.
 |
Karar. Bu fonksiyonun grafiği, kolun yukarıya doğru yönlendirilen parabolüdür ve parabol, O y eksenine göre bir birim yer değiştirmiştir (Şekil 2).
Şekil 2. y \u003d x 2 - 1 fonksiyonunun grafiği
Problem numarası 3. Bir çizim yapın ve şeklin çizgilerle sınırlanmış alanını hesaplayın
y \u003d 8 + 2x - x 2 ve y \u003d 2x - 4.
Karar. Bu iki çizgiden ilki dalları aşağıya doğru yönlendirilmiş bir paraboldür, çünkü x 2'deki katsayı negatiftir ve ikinci çizgi her iki koordinat ekseniyle kesişen düz bir çizgidir.
Bir parabol oluşturmak için, tepe noktasının koordinatlarını buluruz: y ’\u003d 2 - 2x; 2 - 2x \u003d 0, x \u003d 1 - tepe noktasının apsisi; y (1) \u003d 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 \u003d 9 ordinatı, N (1; 9) tepe noktasıdır.
Şimdi denklem sistemini çözerek parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulacağız:
Denklemin sol tarafları eşit olan sağ taraflarını eşitleyerek.
8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 veya x 2-12 \u003d 0 elde ederiz, bu nedenle 
.
Dolayısıyla noktalar, parabol ile düz çizginin kesişme noktalarıdır (Şekil 1).
Şekil 3 y \u003d 8 + 2x - x 2 ve y \u003d 2x - 4 fonksiyonlarının grafikleri
Düz bir y \u003d 2x - 4 doğrusu oluşturalım. Koordinat eksenlerinde (0; -4), (2; 0) noktalarından geçer.
Bir parabol oluşturmak için, aynı zamanda 0x ekseniyle kesişme noktalarına da sahip olabilirsiniz, yani 8 + 2x - x 2 \u003d 0 veya x 2 - 2x - 8 \u003d 0 denkleminin kökleri. Vieta teoremine göre köklerini bulmak kolaydır: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 4.
Şekil 3, bu çizgilerle sınırlandırılan bir şekli (parabolik segment MıNM2) gösterir.
Görevin ikinci kısmı bu figürün alanını bulmaktır. Alanı, formülle belirli bir integral kullanılarak bulunabilir. 
.
Bu koşulla ilgili olarak, integrali elde ederiz: 
2 Devir gövdesi hacminin hesaplanması
Y \u003d f (x) eğrisinin O x ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:
O y ekseni etrafında dönerken formül şu forma sahiptir:
Problem numarası 4. Düz çizgiler x \u003d 0 x \u003d 3 ve O x ekseni etrafında bir y \u003d eğrisi ile sınırlanan eğri bir yamuğun dönüşünden elde edilen cismin hacmini belirleyin.
Karar. Bir resim oluşturalım (Şekil 4).
Şekil 4. y \u003d fonksiyonunun grafiği
Gerekli hacim 
5 numaralı sorun. O y ekseni etrafında y \u003d x 2 eğrisi ve y \u003d 0 ve y \u003d 4 düz çizgileri ile sınırlanan eğri bir yamuğun dönüşünden elde edilen cismin hacmini hesaplayın.
Karar. Sahibiz:
Soruları inceleyin
Aslında, bir şeklin alanını bulmak için, belirsiz ve belirli integral hakkında çok fazla bilgiye ihtiyaç yoktur. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi, her zaman bir çizim oluşturmayı içerirbu nedenle, bilginiz ve çizim becerileriniz çok daha acil bir konu olacaktır. Bu bağlamda, temel temel fonksiyonların grafiklerinin hafızasını tazelemek ve en azından düz bir çizgi ve bir hiperbol oluşturabilmek yararlıdır.
Eğrisel bir yamuk, bir eksen, düz çizgiler ve bu aralıktaki işareti değiştirmeyen bir segment üzerindeki sürekli bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan düz bir şekildir. Bu rakam bulunsun az değil apsis ekseni:
Sonra eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli integrale eşittir... Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır.
Geometri açısından, kesin integral ALAN'dır..
Yani, belirli bir integral (varsa) geometrik olarak bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin, belirli bir integrali ele alalım. İntegrand, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri ayarlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirlenen integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.
örnek 1
Bu tipik bir görev ifadesidir. Çözümün ilk ve en önemli noktası çizimin oluşturulmasıdır.... Dahası, çizim inşa edilmeli SAĞ.
Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: ilk tüm satırları (varsa) ve yalnızca sonra - paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha karlı nokta yönünden.
Bu problemde çözüm şöyle görünebilir.
Bir çizim çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):
Segmentte, fonksiyonun grafiği bulunur eksen üzerinde, yani:
Cevap:
Görev tamamlandıktan sonra, plana bakmak ve cevabın gerçek olup olmadığını tahmin etmek her zaman yararlıdır. Bu durumda, "gözle" çizimdeki hücre sayısını sayıyoruz - peki, yaklaşık 9 yazılacak, gerçek gibi görünüyor. Oldukça açıktır ki, diyelim ki, cevabı 20 kare birim alırsak, o zaman, bir yerde bir hata olduğu açıktır - 20 hücre açıkça söz konusu şekle uymuyor, en fazla on. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözüldü.
Örnek 3
Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın.
Karar: Çizimi uygulayalım:
Eğri yamuk bulunursa eksenin altında(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), sonra alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:
Bu durumda:
Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:
1) Herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse, o zaman negatif olabilir.
2) Bir şeklin alanını belirli bir integral kullanarak bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle, az önce ele alınan formülde bir eksi belirir.
Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde yer alır ve bu nedenle, en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.
Örnek 4
Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin alanını bulun.
Karar: Önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak, bir alandaki problemlerde bir çizim oluştururken, en çok çizgilerin kesişme noktaları ile ilgileniriz. Parabol ile çizginin kesişme noktalarını bulun. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yol analitiktir. Denklemi çözüyoruz:
Dolayısıyla, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir..
Entegrasyonun sınırları “kendi başlarına” netleşirken, satırları nokta nokta inşa etmek çok daha karlı ve hızlıdır. Yine de, örneğin grafik yeterince büyükse veya kesin yapı entegrasyonun sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilir), limitleri bulmanın analitik yönteminin bazen hala uygulanması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.
Sorunumuza dönersek: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol inşa etmek daha akılcıdır. Çizimi yapalım:
Ve şimdi çalışma formülü: Bir segmentte sürekli bir işlev varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar, bu fonksiyonların grafikleri ve düz çizgilerle sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir: 
Burada artık şeklin nerede olduğunu düşünmenize gerek yok - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak, hangi programın YUKARIDA olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.
İncelenen örnekte, parabolün segmentte düz çizginin üzerinde bulunduğu açıktır ve bu nedenle,
Çözümü tamamlamak şu şekilde görünebilir:
Gerekli şekil, üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlandırılmıştır.
Segmentte, ilgili formüle göre:
Cevap:
Örnek 4
Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın ,,,.
Karar: İlk önce çizimi uyguluyoruz:
Alanını bulmamız gereken rakam mavi ile gölgelenmiştir (duruma dikkatlice bakın - rakamın sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, genellikle yeşille gölgelenmiş şeklin alanını bulmanız gereken bir "aksaklık" ortaya çıkar!
Bu örnek, iki belirli integral kullanarak bir şeklin alanını hesaplaması açısından da yararlıdır.
Gerçekten mi:
1) Eksenin üzerindeki segmentte bir çizgi grafiği bulunur;
2) Hiperbol grafiği, eksenin üzerindeki segmentte bulunur.
Alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:
Bu makale, integral hesaplamaları kullanarak çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını nasıl bulacağınızı gösterecektir. İlk defa, böyle bir problemin formülasyonuyla lisede, belirli integrallerin çalışması henüz bittiği ve pratikte kazanılan bilginin geometrik bir yorumuna başlama zamanı geldiğinde karşılaşıyoruz.
Öyleyse, integralleri kullanarak bir şeklin alanını bulma problemini başarılı bir şekilde çözmek için gerekenler:
- Çizimleri doğru şekilde oluşturma becerisi;
- İyi bilinen Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli bir integrali çözme becerisi;
- Daha avantajlı bir çözümü "görme" yeteneği - yani, Bu veya bu durumda entegrasyonu gerçekleştirmenin nasıl daha uygun olacağını anlamak için? X ekseni (OX) veya y ekseni (OY) boyunca?
- Peki, doğru hesaplamalar olmadan nerede?) Bu, diğer tür integrallerin nasıl çözüleceğini ve sayısal hesaplamaların nasıl düzeltileceğini anlamayı içerir.
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplama problemini çözmek için algoritma:
1. Bir çizim yapıyoruz. Bunu büyük ölçekli bir kafeste bir kağıt parçası üzerinde yapmanız önerilir. Bu fonksiyonun adını her grafiğin üzerine bir kalemle işaretliyoruz. Grafiklerin imzası yalnızca daha fazla hesaplama kolaylığı sağlamak için yapılır. İstenilen şeklin grafiğini aldıktan sonra, çoğu durumda hangi entegrasyon sınırlarının kullanılacağı hemen görülecektir. Böylece problemi grafiksel olarak çözüyoruz. Bununla birlikte, sınırların değerlerinin kesirli veya irrasyonel olduğu görülür. Bu nedenle, ek hesaplamalar yapabilirsiniz, ikinci adıma gidin.
2. Entegrasyon sınırları açıkça belirlenmemişse, grafiklerin birbirleriyle kesişme noktalarını buluruz ve grafik çözümümüzün analitik çözümle örtüşüp örtüşmediğini görürüz.
3. Ardından, çizimi analiz etmeniz gerekiyor. İşlev grafiklerinin nasıl konumlandırıldığına bağlı olarak, bir şeklin alanını bulmak için farklı yaklaşımlar vardır. İntegral kullanarak bir şeklin alanını bulmanın farklı örneklerini ele alalım.
3.1. Problemin en klasik ve basit versiyonu, eğri bir yamuğun alanını bulmanız gerektiğinde ortaya çıkar. Eğri yamuk nedir? X ekseni ile sınırlanmış düz bir şekildir. (y \u003d 0), Düz x \u003d a, x \u003d b ve aralıktaki herhangi bir sürekli eğri a önce b... Dahası, bu rakam negatif değildir ve apsis ekseninin altında yer almaz. Bu durumda, eğrisel bir yamuğun alanı, Newton-Leibniz formülü ile hesaplanan belirli bir integrale sayısal olarak eşittir:
örnek 1 y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.
Figürü sınırlayan çizgiler nelerdir? Bir parabolumuz var y \u003d x2 - 3x + 3eksenin üzerinde bulunan OHnegatif değildir çünkü bu parabolün tüm noktaları olumludur. Dahası, düz çizgiler x \u003d 1 ve x \u003d 3eksene paralel çalışan OU, sol ve sağdaki şeklin sınırlayıcı çizgileridir. İyi y \u003d 0, şekli aşağıdan sınırlayan x eksenidir. Ortaya çıkan şekil, soldaki resimde görüldüğü gibi gölgelidir. Bu durumda hemen sorunu çözmeye başlayabilirsiniz. Önümüzde, Newton-Leibniz formülünü kullanarak daha da çözdüğümüz, eğrisel bir yamuk için basit bir örnek var.
3.2. Önceki paragraf 3.1'de, eğri yamuk x ekseninin üzerine yerleştirildiğinde durum analiz edilmiştir. Şimdi, fonksiyonun x ekseninin altında olması dışında, problemin koşullarının aynı olduğu durumu düşünün. Standart Newton-Leibniz formülüne bir eksi eklenir. Benzer bir sorunun nasıl çözüleceğini daha fazla ele alacağız.
Örnek 2 ... Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın y \u003d x2 + 6x + 2, x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0.
Bu örnekte, bir parabolumuz var y \u003d x2 + 6x + 2eksenin altından kaynaklanan OH, Düz x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0... Buraya y \u003d 0 istenen şekli yukarıdan sınırlar. Doğrudan x \u003d -4 ve x \u003d -1 bunlar, belirli bir integralin hesaplanacağı sınırlardır. Bir şeklin alanını bulma problemini çözme ilkesi neredeyse tamamen örnek 1 ile çakışmaktadır. Tek fark, verilen fonksiyonun pozitif olmaması ve aralıkta hala sürekli olmasıdır. [-4; -1] ... Olumlu ne demek değil? Şekilden de görebileceğiniz gibi, belirtilen x'in içinde olan şekil, sorunu çözerken görmemiz ve hatırlamamız gereken özel olarak "negatif" koordinatlara sahiptir. Newton-Leibniz formülünü kullanarak şeklin alanını yalnızca başında eksi işareti ile ararız.
Makale eksik.
Belirli bir integralin geometrik anlamının analizine ayrılan önceki bölümde, eğri bir yamuğun alanını hesaplamak için bir dizi formül elde ettik:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) \u003d ∫ a b f (x) d x sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon için y \u003d f (x) [a; b],
S (G) \u003d - ∫ a b f (x) d x sürekli ve pozitif olmayan bir fonksiyon için y \u003d f (x) [a; b].
Bu formüller, nispeten basit problemleri çözmek için uygulanabilir. Aslında, genellikle daha karmaşık şekillerle çalışmamız gerekir. Bu bağlamda, bu bölümü, açık bir biçimde işlevlerle sınırlanan rakamların alanını hesaplamak için algoritmaların analizine, yani. y \u003d f (x) veya x \u003d g (y) olarak.
TeoremiY \u003d f 1 (x) ve y \u003d f 2 (x) fonksiyonları [a; b] ve f 1 (x) ≤ f 2 (x) [a; b]. Daha sonra, x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) ve y \u003d f 2 (x) çizgileriyle sınırlanan G şeklinin alanını hesaplama formülü, S (G) \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 biçiminde olacaktır. (x) dx.
Benzer bir formül, y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) ve x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ cd (g 2 (y) - g 1 çizgileriyle sınırlanan şeklin alanı için de geçerli olacaktır. (y) dy.
Kanıt
Formülün geçerli olduğu üç durumu ele alalım.
İlk durumda, alan toplamı özelliğini hesaba katarak, orijinal şekil G ve eğrisel yamuk G 1'in alanlarının toplamı, şekil G2'nin alanına eşittir. Bu demektir
Bu nedenle, S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Belirli integralin üçüncü özelliğini kullanarak son geçişi yapabiliriz.
İkinci durumda, aşağıdaki eşitlik geçerlidir: S (G) \u003d S (G 2) + S (G 1) \u003d ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx
Grafik illüstrasyon şöyle görünecektir:
Her iki fonksiyon da pozitif değilse, şunu elde ederiz: S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. Grafik illüstrasyon şöyle görünecektir:
Y \u003d f 1 (x) ve y \u003d f 2 (x) 'nin O x ekseniyle kesiştiği genel durumu ele alalım.
Kesişme noktaları x i, i \u003d 1, 2, olarak gösterilecektir. ... ... , n - 1. Bu noktalar segmenti [a; b] n kısım x i - 1'e; x ben, ben \u003d 1, 2 ,. ... ... , n, burada α \u003d x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Sonuç olarak,
S (G) \u003d ∑ ben \u003d 1 n S (G ben) \u003d ∑ ben \u003d 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx \u003d \u003d ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx
Belirli integralin beşinci özelliğini kullanarak son geçişi yapabiliriz.
Grafikteki genel durumu gösterelim.
S (G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x formülü kanıtlanmış kabul edilebilir.
Şimdi y \u003d f (x) ve x \u003d g (y) çizgileriyle sınırlanan şekillerin alanını hesaplama örneklerinin analizine geçelim.
Bir grafik oluşturarak örneklerden herhangi birini değerlendirmeye başlayacağız. Görüntü, karmaşık şekilleri daha basit şekillerin kombinasyonları olarak göstermemize izin verecektir. Üzerlerine grafikler ve şekiller çizmek size zorluk çıkarıyorsa, temel atomik fonksiyonlar, fonksiyonların grafiklerinin geometrik dönüşümü ve bir fonksiyonu keşfederken çizim yapma ile ilgili bölümü inceleyebilirsiniz.
örnek 1
Şeklin y \u003d - x 2 + 6 x - 5 parabolü ve y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4 düz çizgileriyle sınırlanan alanını belirlemek gerekir.
Karar
Kartezyen koordinat sisteminde grafiğin üzerine çizgiler çizelim.
Segment üzerinde [1; 4] y \u003d - x 2 + 6 x - 5 parabolünün grafiği y \u003d - 1 3 x - 1 2 düz çizgisinin üzerinde bulunur. Bu bağlamda, bir cevap elde etmek için, daha önce elde edilen formülü ve Newton-Leibniz formülüne göre belirli bir integrali hesaplama yöntemini kullanıyoruz:
S (G) \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx \u003d \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx \u003d - 1 3 x 3 + 19 6 x 2-9 2 x 1 4 \u003d \u003d - 1 3 4 3 + 19 6 4 2-9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2-9 2 1 \u003d \u003d - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 \u003d 13
Cevap: S (G) \u003d 13
Daha karmaşık bir örneğe bakalım.
Örnek 2
Şeklin y \u003d x + 2, y \u003d x, x \u003d 7 çizgileriyle sınırlanan alanını hesaplamak gerekir.
Karar
Bu durumda, apsis eksenine paralel tek bir düz çizgimiz var. Bu x \u003d 7'dir. Bu, ikinci entegrasyon sınırını kendi başımıza bulmamızı gerektirir.
Bir grafik oluşturalım ve bunun üzerine problem ifadesinde verilen çizgileri çizelim.
Grafiği gözümüzün önünde tutarak, entegrasyonun alt sınırının y \u003d x düz çizgisi ile yarı parabol y \u003d x + 2 grafiğinin kesişme noktasının apsisi olacağını kolayca belirleyebiliriz. Apsis bulmak için eşitlikleri kullanıyoruz:
y \u003d x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 \u003d x + 2 2 x 2 - x - 2 \u003d 0 D \u003d (- 1) 2-4 1 (- 2) \u003d 9 x 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 ∈ О Д З x 2 \u003d 1-9 2 \u003d - 1 ∉ О Д З
Kesişme noktasının apsisinin x \u003d 2 olduğu ortaya çıktı.
Dikkatinizi, çizimdeki genel örnekte y \u003d x + 2, y \u003d x çizgilerinin (2; 2) noktasında kesiştiği gerçeğine çekiyoruz, bu nedenle bu tür detaylı hesaplamalar gereksiz görünebilir. Burada bu kadar ayrıntılı bir çözüm sunduk, çünkü daha karmaşık durumlarda çözüm o kadar açık olmayabilir. Bu, çizgilerin kesişme koordinatlarının her zaman en iyi analitik olarak hesaplandığı anlamına gelir.
[2; 7] y \u003d x fonksiyonunun grafiği, y \u003d x + 2 fonksiyonunun grafiğinin yukarısında bulunur. Alanı hesaplamak için formülü uygulayalım:
S (G) \u003d ∫ 2 7 (x - x + 2) dx \u003d x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 \u003d \u003d 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 \u003d \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6
Cevap: S (G) \u003d 59 6
Örnek 3
Y \u003d 1 x ve y \u003d - x 2 + 4 x - 2 fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplamak gerekir.
Karar
Grafik üzerine çizgiler çizelim.
Entegrasyonun sınırlarını tanımlayalım. Bunu yapmak için, 1 x ve - x 2 + 4 x - 2 ifadelerini eşitleyerek çizgilerin kesişme noktalarının koordinatlarını belirleyeceğiz. X'in sıfır olmaması koşuluyla, 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 eşitliği, tamsayı katsayılı üçüncü derece - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 denklemine eşdeğer hale gelir. Bu tür denklemleri çözmek için algoritma hafızanızı "Kübik denklemleri çözme" bölümüne bakarak yenileyebilirsiniz.
Bu denklemin kökü x \u003d 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 \u003d 0'dır.
İfadeyi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 iki terimli x - 1 ile bölersek, şunu elde ederiz: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2-3 x - 1) \u003d 0
X 2 - 3 x - 1 \u003d 0 denkleminden kalan kökleri bulabiliriz:
x 2-3 x - 1 \u003d 0 D \u003d (- 3) 2-4 1 (- 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 \u003d 3-13 2 ≈ - 0. 3
X ∈ 1 aralığını bulduk; 3 + 13 2, burada G şekli mavinin üzerinde ve kırmızı çizginin altında yer alır. Bu, şeklin alanını belirlememize yardımcı olur:
S (G) \u003d ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx \u003d - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 \u003d \u003d - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Cevap: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Örnek 4
Y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 eğrileri ve apsis ekseni ile sınırlanan şeklin alanını hesaplamak gerekir.
Karar
Tüm çizgileri tabloya koyalım. Apsis ekseni etrafında simetrik olarak düzenler ve bir birim yukarı kaldırırsak, y \u003d - log 2 x + 1 fonksiyonunun grafiğini y \u003d log 2 x grafiğinden alabiliriz. Apsis denklemi y \u003d 0.
Çizgilerin kesişme noktalarını işaretleyelim.
Şekilden de görülebileceği üzere y \u003d x 3 ve y \u003d 0 fonksiyonlarının grafikleri (0; 0) noktasında kesişmektedir. Bunun nedeni, x \u003d 0 denkleminin x 3 \u003d 0 denkleminin tek gerçek kökü olmasıdır.
x \u003d 2 denklemin tek köküdür - log 2 x + 1 \u003d 0, bu nedenle y \u003d - log 2 x + 1 ve y \u003d 0 fonksiyonlarının grafikleri (2; 0) noktasında kesişir.
x \u003d 1, x 3 \u003d - log 2 x + 1 denkleminin tek köküdür. Bu bağlamda, y \u003d x 3 ve y \u003d - log 2 x + 1 fonksiyonlarının grafikleri (1; 1) noktasında kesişir. Son ifade açık olmayabilir, ancak x 3 \u003d - log 2 x + 1 denklemi birden fazla köke sahip olamaz, çünkü y \u003d x 3 fonksiyonu kesin bir şekilde artmaktadır ve y \u003d - log 2 x + 1 fonksiyonu kesin olarak azalmaktadır.
Daha fazla çözüm birkaç seçeneği içerir.
Seçenek numarası 1
G şeklini, apsis ekseninin yukarısında bulunan iki eğrisel yamuk toplamı olarak gösterebiliriz, bunlardan ilki x ∈ 0 segmentinde orta çizginin altında bulunur; 1 ve ikincisi x ∈ 1 segmenti üzerindeki kırmızı çizginin altındadır; 2. Bu, alanın S (G) \u003d ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x olacağı anlamına gelir.
Seçenek numarası 2
Şekil G, iki şeklin farkı olarak gösterilebilir, bunlardan ilki apsis ekseninin yukarısında ve mavi çizginin altında x ∈ 0 segmentinde bulunur; 2 ve ikincisi, x ∈ 1 segmenti üzerindeki kırmızı ve mavi çizgiler arasındadır; 2. Bu, alanı şu şekilde bulmamızı sağlar:
S (G) \u003d ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- günlük 2 x + 1) d x
Bu durumda, alanı bulmak için, S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y biçiminde bir formül kullanmanız gerekecektir. Aslında, şekli sınırlayan çizgiler y bağımsız değişkeninin işlevleri olarak temsil edilebilir.
Y \u003d x 3 ve - x için 2 x + 1 denklemlerini çözün:
y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - günlük 2 x + 1 ⇒ günlük 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y
Gerekli alanı alıyoruz:
S (G) \u003d ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy \u003d - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 \u003d \u003d - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 \u003d - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 \u003d 1 ln 2 - 1 4
Cevap: S (G) \u003d 1 ln 2-1 4
Örnek 5
Şeklin y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 çizgileriyle sınırlanan alanını hesaplamak gerekir.
Karar
Kırmızı çizgi ile, grafiğe y \u003d x fonksiyonuyla tanımlanan çizgiyi çizin. Mavi y \u003d - 1 2 x + 4 çizgisini ve y \u003d 2 3 x - 3 çizgisini siyahla çizin.
Kesişme noktalarını işaretleyelim.
Y \u003d x ve y \u003d - 1 2 x + 4 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişme noktalarını bulun:
x \u003d - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x \u003d - 1 2 x + 4 2 ⇒ x \u003d 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 \u003d 0 D \u003d (- 20) 2-4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 Kontrol edin: x 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 16 + 4 \u003d - 4 ⇒ x 1 \u003d 16 değil Bir çözümüm var x 2 \u003d 4 \u003d 2, - 1 2 x 2 + 4 \u003d - 1 2 4 + 4 \u003d 2 ⇒ x 2 \u003d 4 I e n t e r t e s ⇒ (4; 2) kesişme noktası i y \u003d x ve y \u003d - 1 2 x + 4
Y \u003d x ve y \u003d 2 3 x - 3 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişme noktasını bulun:
x \u003d 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x \u003d 2 3 x - 3 2 ⇔ x \u003d 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 \u003d 0 D \u003d (- 45 ) 2-4 4 81 \u003d 729 x 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d 9, x 2 45-729 8 \u003d 9 4 Kontroller: x 1 \u003d 9 \u003d 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 Bir çözümüm var ⇒ (9; 3) puan kesit y \u003d x ve y \u003d 2 3 x - 3 x 2 \u003d 9 4 \u003d 3 2, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 4 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 4'ün bir çözümü yok
Y \u003d - 1 2 x + 4 ve y \u003d 2 3 x - 3 doğrularının kesişimini bulun:
1 2 x + 4 \u003d 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 \u003d 4 x - 18 ⇔ 7 x \u003d 42 ⇔ x \u003d 6 - 1 2 6 + 4 \u003d 2 3 6 - 3 \u003d 1 ⇒ (6 ; 1) kesişme noktası y \u003d - 1 2 x + 4 ve y \u003d 2 3 x - 3
1. yöntem
Gerekli rakamın alanını, tek tek figürlerin alanlarının toplamı olarak düşünelim.
O zaman şeklin alanı:
S (G) \u003d ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx \u003d \u003d 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 \u003d \u003d 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2-6 2 3 + 3 6 \u003d \u003d - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 \u003d 11 3
2. yöntem
Orijinal şeklin alanı, diğer iki şeklin toplamı olarak düşünülebilir.
Ardından, çizginin denklemini x'e göre çözeceğiz ve bundan sonra şeklin alanını hesaplamak için formülü uygulayacağız.
y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 kırmızı çizgi y \u003d 2 3 x - 3 ⇒ x \u003d 3 2 y + 9 2 siyah çizgi y \u003d - 1 2 x + 4 ⇒ x \u003d - 2 y + 8 s ben n ben l l ben n ben n
Böylece alan şuna eşittir:
S (G) \u003d ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d \u003d ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d \u003d 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 \u003d 7 4 2 2-7 4 2 - 7 4 1 2-7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 \u003d \u003d 7 4 + 23 12 \u003d 11 3
Gördüğünüz gibi değerler aynı.
Cevap: S (G) \u003d 11 3
Sonuç
Belirtilen çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını bulmak için, bir düzlemde çizgiler oluşturmalı, kesişme noktalarını bulmalı, alanı bulmak için formülü uygulamalıyız. Bu bölümde, en yaygın görev seçeneklerini ele aldık.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın
