Nekdo je previden pri besedi "napredovanje", kot zelo kompleksnem izrazu iz vej višje matematike. Medtem je najenostavnejša aritmetična progresija delo taksimetra (kjer še vedno ostanejo). In razumeti bistvo (in v matematiki ni nič pomembnejšega od "razumevanja bistva") aritmetičnega zaporedja ni tako težko, saj smo analizirali več osnovnih pojmov.
Zaporedje matematičnih številk
Običajno je niz številk poimenovati s številčnim zaporedjem, od katerih ima vsaka svojo številko.
a 1 - prvi član zaporedja;
in 2 je drugi član zaporedja;
in 7 je sedmi člen zaporedja;
in n je n-ti član zaporedja;
Vendar nas ne zanima noben poljuben niz številk in številk. Pozornost se bomo osredotočili na številčno zaporedje, v katerem je vrednost n-ega člena povezana z njegovo redno številko z odvisnostjo, ki jo je mogoče jasno oblikovati matematično. Z drugimi besedami: številčna vrednost n-tega števila je neka funkcija od n.
a - vrednost člana številskega zaporedja;
n je njegova serijska številka;
f (n) je funkcija, kjer je ordinal v številskem zaporedju n argument.
Opredelitev
Aritmetična progresija se običajno imenuje številsko zaporedje, v katerem je vsak naslednji člen večji (manjši) od prejšnjega za isto število. Formula za n-ti član aritmetičnega zaporedja je naslednja:
a n - vrednost trenutnega člana aritmetične progresije;
a n + 1 - formula za naslednjo številko;
d - razlika (določeno število).
Preprosto je ugotoviti, da če je razlika pozitivna (d> 0), bo vsak naslednji člen obravnavane serije večji od prejšnjega in se bo takšna aritmetična progresija povečevala.
V spodnjem grafu je enostavno razbrati, zakaj se je številsko zaporedje imenovalo "naraščajoče".
V primerih, ko je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Vrednost podanega člana
Včasih je treba določiti vrednost katerega koli poljubnega člana a n aritmetične progresije. To lahko storite tako, da zaporedno izračunate vrednosti vseh članov aritmetične progresije, začenši od prvega do želenega. Vendar ta pot ni vedno sprejemljiva, če je treba na primer najti pomen pettisočake ali osemmilijonke. Tradicionalni izračun bo trajal dolgo. Vendar pa je mogoče specifično aritmetično napredovanje raziskati s posebnimi formulami. Obstaja tudi formula za n-ti člen: vrednost katerega koli člana aritmetične progresije lahko definiramo kot vsoto prvega člena progresije z razliko progresije, pomnoženo s številom želenega člena, zmanjšano za eno.
Formula je univerzalna tako za naraščajoče kot padajoče napredovanje.
Primer izračuna vrednosti danega člana
Rešimo naslednji problem iskanja vrednosti n-ega člena aritmetične progresije.
Pogoj: obstaja aritmetična progresija s parametri:
Prvi člen v zaporedju je 3;
Razlika v številski vrsti je 1,2.
Naloga: najti morate vrednost 214 članov
Rešitev: za določitev vrednosti danega izraza uporabimo formulo:
a (n) = a1 + d (n-1)
Če zamenjamo podatke iz izjave o problemu v izraz, imamo:
a (214) = a1 + d (n-1)
a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odgovor: 214. člen v zaporedju je 258,6.
Prednosti te metode izračuna so očitne - celotna rešitev ne traja več kot 2 vrstici.
Vsota danega števila članov
Zelo pogosto je v dani aritmetični seriji potrebno določiti vsoto vrednosti določenega njenega segmenta. Za to tudi ni treba izračunati vrednosti vsakega izraza in nato sešteti. Ta metoda je uporabna, če je število izrazov, katerih vsota je treba najti, majhno. V drugih primerih je bolj priročno uporabiti naslednjo formulo.
Vsota članov aritmetične progresije od 1 do n je enaka vsoti prvega in n-tega člana, pomnoženi s številom člana n in deljeni z dva. Če v formuli nadomestimo vrednost n-ega člena z izrazom iz prejšnjega odstavka članka, dobimo:
Primer izračuna
Na primer, rešimo problem z naslednjimi pogoji:
Prvi člen v zaporedju je nič;
Razlika je 0,5.
V nalogi morate določiti vsoto članov serije od 56. do 101.
Rešitev. Za določitev vsote napredovanja uporabimo formulo:
s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2
Najprej določimo vsoto vrednosti 101 člana progresije, pri čemer podatke njihovih pogojev našega problema nadomestimo v formulo:
s 101 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2 525
Očitno je, da bi ugotovili vsoto članov napredovanja od 56. do 101., je treba od S 101 odšteti S 55.
s 55 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742,5
Tako je vsota aritmetične progresije za ta primer:
s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5
Primer praktične uporabe aritmetičnega napredovanja
Na koncu članka se vrnimo k primeru aritmetičnega zaporedja, podanega v prvem odstavku – taksimeter (števec taksi avtomobila). Poglejmo primer.
Vstop v taksi (ki vključuje 3 km vožnje) stane 50 rubljev. Vsak naslednji kilometer se plača po stopnji 22 rubljev / km. Potovalna razdalja 30 km. Izračunajte stroške potovanja.
1. Zavrzimo prve 3 km, katerih cena je vključena v ceno pristanka.
30 - 3 = 27 km.
2. Nadaljnji izračun ni nič drugega kot analiza aritmetičnega številskega niza.
Številka člana - število prevoženih kilometrov (minus prvi trije).
Vrednost člana je vsota.
Prvi člen v tem problemu bo enak a 1 = 50 p.
Razlika v napredovanju d = 22 p.
številka, ki nas zanima, je vrednost (27 + 1) -tega člena aritmetične progresije - odčitek števca na koncu 27. kilometra je 27,999 ... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Izračuni koledarskih podatkov za poljubno dolgo obdobje temeljijo na formulah, ki opisujejo določena številčna zaporedja. V astronomiji je dolžina orbite geometrijsko odvisna od razdalje nebesnega telesa do svetilke. Poleg tega se različne številčne serije uspešno uporabljajo v statistiki in drugih uporabnih vejah matematike.
Druga vrsta številskega zaporedja je geometrijska
Za geometrijsko progresijo so značilne velike, v primerjavi z aritmetično, stopnje sprememb. Ni naključje, da v politiki, sociologiji, medicini pogosto pravijo, da se proces razvija eksponentno, da bi prikazali visoko stopnjo širjenja tega ali onega pojava, na primer bolezni med epidemijo.
N-ti člen geometrijske številčne serije se od prejšnjega razlikuje po tem, da se pomnoži z neko konstantno številko - imenovalec, na primer, prvi člen je 1, imenovalec je 2, nato:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - vrednost trenutnega člana geometrijske progresije;
b n + 1 - formula naslednjega člena geometrijske progresije;
q je imenovalec geometrijske progresije (konstantno število).
Če je graf aritmetične progresije ravna črta, potem geometrijski nariše nekoliko drugačno sliko:
Tako kot v primeru aritmetike ima geometrijska progresija formulo za vrednost poljubnega izraza. Vsak n-ti člen geometrijske progresije je enak zmnožku prvega člena z imenovalcem progresije na potenco n, zmanjšanim za eno:
Primer. Imamo geometrijsko progresijo, pri kateri je prvi člen enak 3 in imenovalec progresije enak 1,5. Poiščite 5. člen napredovanja
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Vsota danega števila članov se izračuna na enak način s posebno formulo. Vsota prvih n členov geometrijske progresije je enaka razliki med zmnožkom n-ega člena progresije in njegovega imenovalca ter prvega člena progresije, deljeno z imenovalcem, zmanjšanim za ena:
Če se b n nadomesti z zgoraj obravnavano formulo, bo vrednost vsote prvih n členov obravnavane številčne serije naslednja:
Primer. Geometrijska progresija se začne s prvim členom, ki je enak 1. Imenovalec je enak 3. Poiščite vsoto prvih osmih členov.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
I. V. Yakovlev | Matematični materiali | MathUs.ru
Aritmetično napredovanje
Aritmetična progresija je posebna vrsta zaporedja. Zato moramo, preden definiramo aritmetično (in nato geometrijsko) napredovanje, na kratko razpravljati o pomembnem konceptu številskega zaporedja.
Zaporedje
Predstavljajte si napravo, na zaslonu katere so nekatere številke prikazane ena za drugo. Recimo 2; 7; trinajst; ena; 6; 0; 3; ::: Ta niz številk je le primer zaporedja.
Opredelitev. Številčno zaporedje je niz številk, v katerem se vsakemu številu lahko dodeli edinstveno število (to je, da se poveže eno naravno število) 1. Število n imenujemo n-ti član zaporedja.
Torej, v zgornjem primeru ima prva številka številko 2, to je prvi član zaporedja, ki ga lahko označimo kot a1; številka pet ima številko 6, to je peti člen v zaporedju, ki ga lahko označimo kot a5. Na splošno je n-ti izraz v zaporedju označen kot (ali bn, cn itd.).
Situacija je zelo priročna, ko lahko n-ti člen zaporedja določimo z neko formulo. Na primer, formula an = 2n 3 definira zaporedje: 1; ena; 3; 5; 7; ::: Formula an = (1) n definira zaporedje: 1; ena; ena; ena; :::
Vsak niz številk ni zaporedje. Torej segment ni zaporedje; vsebuje "preveč" številk, da bi jih bilo mogoče preštevilčiti. Množica R vseh realnih števil tudi ni zaporedje. Ta dejstva so dokazana z matematično analizo.
Aritmetična progresija: osnovne definicije
Zdaj smo pripravljeni definirati aritmetično progresijo.
Opredelitev. Aritmetična progresija je zaporedje, katerega vsak člen (začenši z drugim) je enak vsoti prejšnjega člena in določenega števila (imenovano razlika aritmetične progresije).
Na primer, zaporedje 2; 5; osem; enajst; ::: je aritmetična progresija s prvim členom 2 in razliko 3. Zaporedje 7; 2; 3; osem; ::: je aritmetična progresija s prvim členom 7 in razliko 5. Zaporedje 3; 3; 3; ::: je aritmetična progresija z ničelno razliko.
Ekvivalentna definicija: zaporedje an se imenuje aritmetična progresija, če je razlika an + 1 an konstantna vrednost (neodvisna od n).
Aritmetična progresija se imenuje naraščajoča, če je njena razlika pozitivna, in padajoča, če je njena razlika negativna.
1 In tukaj je bolj lakonska definicija: zaporedje je funkcija, definirana na množici naravnih števil. Na primer, zaporedje realnih števil je funkcija f: N! R.
Privzeto se zaporedja štejejo za neskončna, torej vsebujejo neskončno število številk. Toda nihče se ne trudi upoštevati tudi končnih zaporedij; pravzaprav lahko vsako končno množico številk imenujemo končno zaporedje. Na primer, končno zaporedje je 1; 2; 3; 4; 5 je sestavljeno iz petih številk.
Formula n-ega člena aritmetične progresije
Preprosto je razumeti, da aritmetično napredovanje v celoti določata dve številki: prvi člen in razlika. Zato se postavlja vprašanje: kako, če poznamo prvi člen in razliko, najti poljubnega člana aritmetične progresije?
Ni težko dobiti zahtevane formule za n-ti člen aritmetične progresije. Naj an
aritmetična progresija z razliko d. Imamo: |
|
an + 1 = an + d (n = 1; 2;:: :): |
|
Zlasti pišemo: |
|
a2 = a1 + d; |
|
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; |
|
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; |
|
in zdaj postane jasno, da je formula za an: |
|
an = a1 + (n 1) d: |
Problem 1. V aritmetični progresiji 2; 5; osem; enajst; ::: poišči formulo za n-ti člen in izračunaj stoti člen.
Rešitev. Po formuli (1) imamo:
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Lastnost in znak aritmetične progresije
Lastnost aritmetične progresije. V aritmetični progresiji an za katero koli
Z drugimi besedami, vsak član aritmetične progresije (začenši od drugega) je aritmetična sredina sosednjih članov.
Dokaz. Imamo: |
||||
a n 1 + a n + 1 |
(an d) + (an + d) |
|||
kot zahteva.
Na splošno velja, da aritmetična progresija an izpolnjuje enakost
a n = a n k + a n + k
za kateri koli n> 2 in kateri koli naravni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Izkazalo se je, da formula (2) ni le nujen, ampak tudi zadosten pogoj, da je zaporedje aritmetična progresija.
Znak aritmetične progresije. Če enakost (2) velja za vse n> 2, potem je zaporedje an aritmetična progresija.
Dokaz. Prepišimo formulo (2) na naslednji način:
a n a n 1 = a n + 1 a n:
To kaže, da razlika an + 1 an ni odvisna od n, in to samo pomeni, da je zaporedje an aritmetična progresija.
Lastnost in značilnost aritmetične progresije je mogoče oblikovati kot en sam stavek; Za udobje bomo to storili za tri številke (to je situacija, ki se pogosto pojavlja pri težavah).
Karakterizacija aritmetične progresije. Tri števila a, b, c tvorijo aritmetično progresijo, če in samo če je 2b = a + c.
Problem 2. (Moskovska državna univerza, Ekonomska fakulteta, 2007) Tri števila 8x, 3 x2 in 4 v navedenem vrstnem redu tvorijo padajočo aritmetično progresijo. Poiščite x in navedite razliko te progresije.
Rešitev. Glede na lastnost aritmetične progresije imamo:
2 (3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:
Če je x = 1, dobimo padajočo progresijo 8, 2, 4 z razliko 6. Če je x = 5, dobimo naraščajočo progresijo 40, 22, 4; ta primer ne bo deloval.
Odgovor: x = 1, razlika je 6.
Vsota prvih n členov aritmetične progresije
Legenda pravi, da je nekega dne učitelj otrokom rekel, naj poiščejo vsoto številk od 1 do 100, in se usedel mirno brati časopis. Vendar pa je manj kot nekaj minut kasneje en fant rekel, da je rešil težavo. To je bil 9-letni Karl Friedrich Gauss, pozneje eden največjih matematikov v zgodovini.
Ideja malega Gaussa je bila taka. Pustiti
S = 1 + 2 + 3 +::: + 98 + 99 + 100:
Zapišimo ta znesek v obratnem vrstnem redu:
S = 100 + 99 + 98 +::: + 3 + 2 + 1;
in dodajte ti dve formuli:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Vsak člen v oklepaju je enak 101 in je takih izrazov skupaj 100. Torej,
2S = 101 100 = 10100;
To idejo uporabljamo za izpeljavo formule vsote
S = a1 + a2 +::: + an + a n n: (3)
Koristno modifikacijo formule (3) dobimo tako, da vanjo nadomestimo formulo za n-ti člen an = a1 + (n 1) d:
2a1 + (n 1) d |
|||||
Naloga 3. Poišči vsoto vseh pozitivnih trimestnih števil, deljivih s 13.
Rešitev. Trimestna števila, deljiva s 13, tvorijo aritmetično progresijo s prvim členom 104 in razliko 13; n-ti člen tega napredovanja je:
an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:
Ugotovimo, koliko članov vsebuje naš napredek. Če želite to narediti, rešimo neenakost:
in 6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Torej, v našem napredovanju je 69 članov. S formulo (4) najdemo zahtevano vsoto:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Na primer, zaporedje \ (2 \); \(5\); \(osem\); \(enajst\); \ (14 \) ... je aritmetična progresija, ker se vsak naslednji element razlikuje od prejšnjega za tri (lahko ga dobimo od prejšnjega z dodajanjem trojčka):
V tem napredovanju je razlika \ (d \) pozitivna (enaka \ (3 \)), zato je vsak naslednji člen večji od prejšnjega. Takšna napredovanja se imenujejo naraščajoče.
Vendar pa je \ (d \) lahko tudi negativen. na primer, v aritmetični progresiji \ (16 \); \(10\); \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... razlika napredovanja \ (d \) je enaka minus šest.
In v tem primeru bo vsak naslednji element manjši od prejšnjega. Ta napredovanja se imenujejo zmanjševanje.
Zapis aritmetičnega napredovanja
Napredovanje je označeno z majhno latinično črko.
Številke, ki tvorijo napredovanje, ga imenujejo člani(ali elementi).
Označeni so z isto črko kot aritmetična progresija, vendar s številčnim indeksom, ki je enak številki elementa v vrstnem redu.
Na primer, aritmetična progresija \ (a_n = \ levo \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ desno \) \) je sestavljena iz elementov \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) in tako naprej.
Z drugimi besedami, za napredovanje \ (a_n = \ levo \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ desno \) \)
Reševanje problemov za aritmetično napredovanje
Načeloma so zgornji podatki že dovolj za rešitev skoraj vsake težave za aritmetično progresijo (vključno s tistimi, ki jih ponuja OGE).
Primer (OGE).
Aritmetična progresija je določena s pogoji \ (b_1 = 7; d = 4 \). Poiščite \ (b_5 \).
rešitev:
odgovor: \ (b_5 = 23 \)
Primer (OGE).
Podani so prvi trije členi aritmetične progresije: \ (62; 49; 36 ... \) Poiščite vrednost prvega negativnega člena te progresije ..
rešitev:
|
Dani so nam prvi elementi zaporedja in vemo, da je to aritmetična progresija. To pomeni, da se vsak element razlikuje od sosednjega za isto število. Ugotovite, katero, od naslednjega elementa odštejte prejšnjega: \ (d = 49-62 = -13 \). |
|
|
Zdaj lahko obnovimo naš napredek na (prvi negativni) element, ki ga potrebujemo. |
|
|
Pripravljen. Lahko napišeš odgovor. |
odgovor: \(-3\)
Primer (OGE).
Podanih je več zaporednih elementov aritmetične progresije: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) Poiščite vrednost elementa, označenega s črko \ (x \).
rešitev:
|
|
Da bi našli \ (x \), moramo vedeti, koliko se naslednji element razlikuje od prejšnjega, z drugimi besedami - razliko v napredovanju. Poiščimo ga iz dveh znanih sosednjih elementov: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \). |
|
|
In zdaj brez težav najdemo želeno: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \). |
|
|
Pripravljen. Lahko napišeš odgovor. |
odgovor: \(7,5\).
Primer (OGE).
Aritmetična progresija je določena z naslednjimi pogoji: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Poiščite vsoto prvih šestih členov te progresije.
rešitev:
|
Najti moramo vsoto prvih šestih členov napredovanja. Toda ne poznamo njihovih pomenov, podan nam je le prvi element. Zato najprej izračunamo vrednosti po vrsti z uporabo danih nam: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) |
|
|
\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) |
Znesek, ki ga iščete, je bil najden. |
odgovor: \ (S_6 = 9 \).
Primer (OGE).
V aritmetični progresiji \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Poiščite razliko med tem napredovanjem.
rešitev:
odgovor: \ (d = 7 \).
Pomembne formule za aritmetično napredovanje
Kot lahko vidite, je veliko težav z aritmetično progresijo mogoče rešiti preprosto z razumevanjem glavne stvari - da je aritmetična progresija veriga številk in vsak naslednji element v tej verigi dobimo tako, da prejšnjemu dodamo isto število (razlika napredovanja).
Vendar pa včasih obstajajo situacije, ko se je zelo neprijetno odločiti "na glavo". Predstavljajte si na primer, da moramo v prvem primeru najti ne peti element \ (b_5 \), ampak tristo šestinosemdeseti \ (b_ (386) \). Kaj je, \ (385 \) krat dodamo štiri? Ali pa si predstavljajte, da morate v predzadnjem primeru najti vsoto prvih triinsedemdeset elementov. Mučili vas bodo, da bi prešteli ...
Zato v takih primerih ne rešujejo "na glavo", ampak uporabljajo posebne formule, izpeljane za aritmetično progresijo. In glavni sta formula za n-ti člen progresije in formula za vsoto \ (n \) prvih členov.
Formula \ (n \) - th član: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), kjer je \ (a_1 \) prvi člen napredovanja;
\ (n \) - številka elementa, ki se išče;
\ (a_n \) je član napredovanja s številko \ (n \).
Ta formula nam omogoča, da hitro najdemo vsaj tristoti, celo milijonti element, pri čemer poznamo le prvi in razliko progresije.
Primer.
Aritmetična progresija je določena s pogoji: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). Poiščite \ (b_ (246) \).
rešitev:
odgovor: \ (b_ (246) = 1850 \).
Formula za vsoto prvih n členov: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), kjer je
\ (a_n \) - zadnji seštevek;
Primer (OGE).
Aritmetična progresija je določena s pogoji \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Poiščite vsoto prvih \ (25 \) članov te progresije.
rešitev:
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) |
Za izračun vsote prvih petindvajset elementov moramo poznati vrednost prvega in petindvajsetega člena. |
|
|
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 1-0,6 = 2,8 \) |
Zdaj najdemo petindvajseti člen, ki namesto \ (n \) nadomesti petindvajset. |
|
|
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \) |
No, zdaj lahko brez težav izračunamo zahtevani znesek. |
|
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) |
Odgovor je pripravljen. |
odgovor: \ (S_ (25) = 1090 \).
Za vsoto \ (n \) prvih členov lahko dobite drugo formulo: samo morate \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) namesto \ (a_n \) nadomestite s formulo \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Dobimo:
Formula za vsoto prvih n členov: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), kjer je
\ (S_n \) - zahtevana vsota \ (n \) prvih elementov;
\ (a_1 \) - prvi seštevek;
\ (d \) - razlika v napredovanju;
\ (n \) - število elementov v vsoti.
Primer.
Poiščite vsoto prvih \ (33 \) - bivših članov aritmetične progresije: \ (17 \); \ (15,5 \); \(14\)…
rešitev:
odgovor: \ (S_ (33) = - 231 \).
Kompleksnejši problemi aritmetičnega napredovanja
Zdaj imate vse informacije, ki jih potrebujete za rešitev skoraj vsakega problema aritmetičnega napredovanja. Temo zaključimo z obravnavo problemov, pri katerih morate ne le uporabiti formule, ampak tudi malo razmisliti (pri matematiki je to lahko koristno ☺)
Primer (OGE).
Poiščite vsoto vseh negativnih členov napredovanja: \ (- 19,3 \); \(-devetnajst\); \ (- 18,7 \) ...
rešitev:
|
\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \) |
Naloga je zelo podobna prejšnji. Začnemo tudi reševati: najprej najdemo \ (d \). |
|
|
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19,3) = 0,3 \) |
Zdaj bi v formulo za vsoto nadomestili \ (d \) ... in tukaj se pojavi majhen odtenek - ne vemo \ (n \). Z drugimi besedami, ne vemo, koliko izrazov bo treba dodati. Kako ugotoviti? pomislimo. Ko pridemo do prvega pozitivnega elementa, bomo nehali dodajati elemente. To pomeni, da morate ugotoviti številko tega elementa. Kako? Zapišimo formulo za izračun katerega koli elementa aritmetične progresije: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) za naš primer. |
|
|
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \) |
||
|
\ (a_n = -19,3 + (n-1) 0,3 \) |
\ (a_n \) moramo biti večji od nič. Ugotovimo, pri kakšnem \ (n \) se bo to zgodilo. |
|
|
\ (- 19,3+ (n-1) 0,3> 0 \) |
||
|
\ ((n-1) 0,3> 19,3 \) \ (|: 0,3 \) |
Obe strani neenakosti delimo z \ (0,3 \). |
|
|
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) |
Premaknite se minus ena, ne pozabite spremeniti znakov |
|
|
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \) |
Izračunamo ... |
|
|
\ (n> 65,333 ... \) |
... in izkaže se, da bo prvi pozitivni element imel številko \ (66 \). V skladu s tem ima zadnji negativni \ (n = 65 \). Za vsak slučaj preverimo. |
|
|
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) |
Tako moramo dodati prvih \ (65 \) elementov. |
|
|
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) |
Odgovor je pripravljen. |
odgovor: \ (S_ (65) = - 630,5 \).
Primer (OGE).
Aritmetična progresija je določena s pogoji: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Poiščite vsoto od \ (26 \) do vključno \ (42 \) elementa.
rešitev:
|
\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \) |
V tej težavi morate poiskati tudi vsoto elementov, vendar ne od prvega, ampak od \ (26 \) - th. Za tak primer nimamo formule. Kako se odločiti? |
|
|
Za našo napredovanje \ (a_1 = -33 \) in razliko \ (d = 4 \) (navsezadnje prejšnjemu elementu dodamo štiri, da najdemo naslednjega). Če to poznamo, najdemo vsoto prvih \ (42 \) - yh elementov. |
|
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) |
Zdaj vsota prvih \ (25 \) - ty elementov. |
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) |
Na koncu izračunamo odgovor. |
|
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \) |
odgovor: \ (S = 1683 \).
Obstaja še nekaj formul za aritmetično napredovanje, ki jih v tem članku nismo upoštevali zaradi njihove nizke praktične uporabnosti. Vendar jih zlahka najdete.
Ja, ja: aritmetična progresija ni igrača zate :) No, prijatelji, če berete to besedilo, mi notranja kapica-dokaz pove, da še ne veste, kaj je aritmetična progresija, a res (ne, takole: JAOOOO!) želite vedeti. Zato vas ne bom mučil z dolgimi predstavitvami in se bom takoj lotil posla.
Začnimo z nekaj primeri. Razmislite o več nizih številk:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $
Kaj imajo vsi ti sklopi skupnega? Na prvi pogled nič. Ampak dejansko nekaj obstaja. in sicer: vsak naslednji element se od prejšnjega razlikuje za enako število.
Presodite sami. Prvi niz so preprosto zaporedne številke, vsako naslednje je več od prejšnjega. V drugem primeru je razlika med sosednjimi številkami že pet, vendar je ta razlika še vedno konstantna. V tretjem primeru korenine na splošno. Vendar pa je $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ in $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, tj. in v tem primeru se vsak naslednji element preprosto poveča za $ \ sqrt (2) $ (in ne bojte se, da je to število iracionalno).
Torej: vsa taka zaporedja se imenujejo samo aritmetične progresije. Dajmo strogo definicijo:
Opredelitev. Zaporedje številk, v katerem se vsako naslednje razlikuje od prejšnjega za popolnoma enako količino, imenujemo aritmetična progresija. Sam znesek, za katerega se številke razlikujejo, se imenuje razlika napredovanja in je najpogosteje označen s črko $ d $.
Oznaka: $ \ levo (((a) _ (n)) \ desno) $ - samo napredovanje, $ d $ - njegova razlika.
In samo nekaj pomembnih pripomb. Prvič, samo urejeno zaporedje številk: dovoljeno jih je brati strogo v vrstnem redu, v katerem so zapisane – in nič drugega. Številk ne morete preurediti ali zamenjati.
Drugič, samo zaporedje je lahko končno ali neskončno. Na primer, množica (1; 2; 3) je očitno končna aritmetična progresija. Če pa nekaj napišeš v duhu (1; 2; 3; 4; ...) - je to že neskončno napredovanje. Triglava za štirimi tako rekoč namiguje, da se dogaja še kar nekaj številk. Neskončno veliko, na primer. :)
Opozoriti bi želel tudi, da napredovanje narašča in upada. Videli smo že naraščajoče – isti niz (1; 2; 3; 4; ...). In tukaj so primeri padajočega napredovanja:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $
V redu, v redu: ta zadnji primer se morda zdi preveč zapleten. Ostalo pa ti je, mislim, jasno. Zato bomo uvedli nove definicije:
Opredelitev. Aritmetična progresija se imenuje:
- naraščajoče, če je vsak naslednji element večji od prejšnjega;
- padajoča, če je, nasprotno, vsak naslednji element manjši od prejšnjega.
Poleg tega obstajajo tako imenovana "stacionarna" zaporedja - sestavljena so iz istega ponavljajočega se števila. Na primer, (3; 3; 3; ...).
Ostaja samo eno vprašanje: kako razlikovati naraščajoče napredovanje od padajočega? Na srečo je vse odvisno od predznaka števila $ d $, tj. napredovanje razlike:
- Če je $ d \ gt 0 $, potem se napredovanje povečuje;
- Če je $ d \ lt 0 $, potem se napredovanje očitno zmanjšuje;
- Končno je tu še primer $ d = 0 $ - v tem primeru se celotna progresija zmanjša na stacionarno zaporedje enakih številk: (1; 1; 1; 1; ...) itd.
Poskusimo izračunati razliko $ d $ za tri padajoče progresije, navedene zgoraj. Če želite to narediti, je dovolj, da vzamete katera koli dva sosednja elementa (na primer prvi in drugi) in odštejte številko na levi od števila na desni. Izgledalo bo takole:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.
Kot vidite, se je v vseh treh primerih razlika res izkazala za negativno. In zdaj, ko smo bolj ali manj ugotovili definicije, je čas, da ugotovimo, kako so napredovanja opisana in kakšne so njihove lastnosti.
Člani napredovanja in ponavljajoča se formula
Ker elementov naših zaporedij ni mogoče zamenjati, jih je mogoče oštevilčiti:
\ [\ levo (((a) _ (n)) \ desno) = \ levo \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ prav \) \]
Posamezni elementi tega niza se imenujejo člani napredovanja. Označeni so s številko: prvi izraz, drugi izraz itd.
Poleg tega so, kot že vemo, sosednji člani progresije povezani s formulo:
\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Desno ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]
Skratka, da bi našli $ n $ th člen v napredovanju, morate poznati $ n-1 $ th člen in $ d $ razliko. Takšna formula se imenuje ponavljajoča, saj lahko z njeno pomočjo najdete katero koli številko, le če poznate prejšnje (in pravzaprav - vse prejšnje). To je zelo neprijetno, zato obstaja bolj zapletena formula, ki vse izračune zmanjša na prvi člen in razliko:
\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ levo (n-1 \ desno) d \]
Zagotovo ste to formulo že spoznali. Radi ga dajejo v vseh vrstah referenčnih knjig in reshebnikov. In v vsakem razumnem učbeniku matematike je ena prvih.
Vseeno predlagam, da malo vadimo.
Problem številka 1. Zapišite prve tri člene aritmetične progresije $ \ levo (((a) _ (n)) \ desno) $, če je $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.
Rešitev. Torej, poznamo prvi člen $ ((a) _ (1)) = 8 $ in razliko progresije $ d = -5 $. Uporabimo pravkar podano formulo in nadomestimo $ n = 1 $, $ n = 2 $ in $ n = 3 $:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ levo (n-1 \ desno) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ levo (1-1 \ desno) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ levo (2-1 \ desno) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ levo (3-1 \ desno) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ konec (poravnaj) \]
Odgovor: (8; 3; −2)
To je vse! Upoštevajte: naš napredek se zmanjšuje.
Seveda $ n = 1 $ ni bilo mogoče nadomestiti - prvi člen nam je že znan. Vendar smo z zamenjavo enega poskrbeli, da naša formula deluje tudi v prvem mandatu. V drugih primerih se je vse strlo v trivialno aritmetiko.
Problem številka 2. Zapišite prve tri člene aritmetične progresije, če je njen sedmi člen −40 in sedemnajsti člen −50.
Rešitev. Zapišimo pogoj problema z običajnimi izrazi:
\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]
\ [\ levo \ (\ začni (poravnaj) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ konec (poravnaj) \ desno. \]
\ [\ levo \ (\ začetek (poravnaj) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ konec (poravnaj) \ prav. \]
Postavil sem znak sistema, ker morajo biti te zahteve izpolnjene hkrati. In zdaj upoštevajte, da če odštejemo prvo od druge enačbe (to imamo pravico, ker imamo sistem), dobimo to:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (1)) + 16d- \ levo (((a) _ (1)) + 6d \ desno) = - 50- \ levo (-40 \ desno); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ konec (poravnaj) \]
Tako enostavno smo našli razliko v napredovanju! Ostaja še, da najdeno število nadomestimo v katero koli enačbo sistema. Na primer, v prvem:
\ [\ začetek (matrika) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ konec (matrika) \]
Zdaj, ko poznamo prvi izraz in razliko, je treba najti drugi in tretji člen:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ konec (poravnaj) \]
Pripravljen! Problem je rešen.
Odgovor: (-34; -35; -36)
Bodite pozorni na zanimivo lastnost progresije, ki smo jo odkrili: če vzamemo $ n $ th in $ m $ th člana in ju odštejemo drug od drugega, dobimo razliko napredovanja, pomnoženo s številom $ n-m $:
\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ levo (n-m \ desno) \]
Preprosta, a zelo uporabna lastnost, ki jo vsekakor morate poznati - z njeno pomočjo lahko bistveno pospešite reševanje številnih težav v napredovanju. Tukaj je odličen primer:
Problem številka 3. Peti člen aritmetične progresije je 8,4, njen deseti člen pa 14,4. Poiščite petnajsti člen te progresije.
Rešitev. Ker je $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $ in morate najti $ ((a) _ (15)) $, potem ugotavljamo naslednje :
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ konec (poravnaj) \]
Toda po pogoju $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = 6 $, torej $ 5d = 6 $, od koder imamo:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ konec (poravnaj) \]
Odgovor: 20.4
To je vse! Ni nam bilo treba sestaviti nekaterih sistemov enačb in izračunati prvi člen in razliko - vse je bilo rešeno v samo nekaj vrsticah.
Zdaj pa razmislimo o drugi vrsti nalog - najti negativne in pozitivne člane napredovanja. Ni skrivnost, da če se napredovanje poveča, medtem ko je prvi izraz negativen, se bodo v njem prej ali slej pojavili pozitivni izrazi. In ravno nasprotno: člani padajoče progresije bodo prej ali slej postali negativni.
Hkrati pa še zdaleč ni vedno mogoče ta trenutek otipati "na glavo", zaporedoma skozi elemente. Pogosto so težave zasnovane tako, da bi brez poznavanja formul izračuni vzeli več listov – ko bi našli odgovor, bi kar zaspali. Zato bomo te težave poskušali rešiti hitreje.
Problem številka 4. Koliko negativnih členov je v aritmetični progresiji -38,5; −35,8; ...?
Rešitev. Torej, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, od koder takoj najdemo razliko:
Upoštevajte, da je razlika pozitivna, zato se napredovanje povečuje. Prvi člen je negativen, zato bomo v nekem trenutku res naleteli na pozitivne številke. Vprašanje je le, kdaj se bo to zgodilo.
Poskusimo ugotoviti: kako dolgo (tj. do katerega naravnega števila $ n $) se ohranja negativnost izrazov:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Desno ((a) _ (1)) + \ levo (n-1 \ desno) d \ lt 0; \\ & -38,5+ \ levo (n-1 \ desno) \ cdot 2,7 \ lt 0; \ quad \ levo | \ cdot 10 \ desno. \\ & -385 + 27 \ cdot \ levo (n-1 \ desno) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Desna puščica ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ konec (poravnaj) \]
Zadnja vrstica zahteva nekaj pojasnila. Torej vemo, da je $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Po drugi strani pa se bomo zadovoljili le s celimi vrednostmi števila (poleg tega: $ n \ in \ mathbb (N) $), tako da je največje dovoljeno število točno $ n = 15 $ in v nobenem primeru je 16.
Problem številka 5. V aritmetični progresiji $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Poiščite številko prvega pozitivnega člena tega napredovanja.
To bi bil popolnoma enak problem kot prejšnji, vendar ne poznamo $ ((a) _ (1)) $. Toda sosednji izrazi so znani: $ ((a) _ (5)) $ in $ ((a) _ (6)) $, tako da zlahka najdemo razliko v napredovanju:
Poleg tega bomo peti člen poskušali izraziti v smislu prvega in razlike po standardni formuli:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ levo (n-1 \ desno) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ konec (poravnaj) \]
Zdaj nadaljujemo po analogiji s prejšnjo nalogo. Ugotovimo, na kateri točki v našem zaporedju bodo pozitivna števila:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ levo (n-1 \ desno) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Desna puščica ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ konec (poravnaj) \]
Najmanjša celoštevilska rešitev te neenakosti je 56.
Upoštevajte: v zadnji nalogi je bilo vse zmanjšano na strogo neenakost, zato nam možnost $ n = 55 $ ne bo ustrezala.
Zdaj, ko smo se naučili reševati preproste probleme, preidimo na bolj zapletene. Najprej pa preučimo še eno zelo uporabno lastnost aritmetičnih progresij, ki nam bo v prihodnosti prihranila veliko časa in neenakih celic. :)
Aritmetična sredina in enake alineje
Razmislite o več zaporednih členih naraščajoče aritmetične progresije $ \ levo (((a) _ (n)) \ desno) $. Poskusimo jih označiti na številski premici:
Člani aritmetične progresije na številski premiciPosebej sem opozoril na poljubne izraze $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, ne kateri koli $ ((a) _ (1)), \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ itd. Ker pravilo, o katerem bom zdaj govoril, deluje enako za vse "segmente".
In pravilo je zelo preprosto. Zapomnimo si rekurzivno formulo in jo zapišimo za vse označene člane:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ konec (poravnaj) \]
Vendar pa je te enakosti mogoče prepisati drugače:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ konec (poravnaj) \]
No, pa kaj? In dejstvo, da izraza $ ((a) _ (n-1)) $ in $ ((a) _ (n + 1)) $ ležita na isti razdalji od $ ((a) _ (n)) $ . In ta razdalja je enaka $ d $. Enako lahko rečemo za izraza $ ((a) _ (n-2)) $ in $ ((a) _ (n + 2)) $ - odstranjena sta tudi iz $ ((a) _ (n) ) $ enaka razdalja, enaka $ 2d $. Lahko nadaljujete v nedogled, vendar je pomen dobro ponazorjen s sliko.
Člani progresije ležijo na enaki razdalji od središča Kaj to pomeni za nas? To pomeni, da lahko najdete $ ((a) _ (n)) $, če so znane sosednje številke:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]
Izbrali smo odlično trditev: vsak član aritmetične progresije je enak aritmetični sredini sosednjih členov! Poleg tega: lahko odstopamo od naših $ ((a) _ (n)) $ levo in desno ne za en korak, ampak $ k $ korakov - in še vedno bo formula pravilna:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]
tiste. zlahka najdemo nekaj $ ((a) _ (150)) $, če poznamo $ ((a) _ (100)) $ in $ ((a) _ (200)) $, ker $ (( a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Na prvi pogled se morda zdi, da nam to dejstvo ne daje nič koristnega. V praksi pa so številni problemi posebej "zaostreni" za uporabo aritmetične sredine. Poglej:
Problem številka 6. Poiščite vse vrednosti $ x $, za katere so števila $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ in $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ zaporedna člana aritmetičnega napredovanja (po vrstnem redu).
Rešitev. Ker so navedena števila člani progresije, je zanje izpolnjen pogoj aritmetične sredine: osrednji element $ x + 1 $ lahko izrazimo s sosednjimi elementi:
\ [\ začeti (poravnati) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ konec (poravnaj) \]
Rezultat je klasična kvadratna enačba. Njegove korenine: $ x = 2 $ in $ x = -3 $ - to so odgovori.
Odgovor: −3; 2.
Problem številka 7. Poiščite vrednosti $$, za katere števila $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ tvorijo aritmetično progresijo (v tem vrstnem redu).
Rešitev. Spet izrazimo srednji člen z aritmetično sredino sosednjih členov:
\ [\ začeti (poravnati) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ levo | \ cdot 2 \ desno .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ konec (poravnaj) \]
Spet kvadratna enačba. In spet sta dve korenini: $ x = 6 $ in $ x = 1 $.
Odgovor: 1; 6.
Če v procesu reševanja težave dobite nekaj brutalnih številk ali niste popolnoma prepričani v pravilnost najdenih odgovorov, potem obstaja čudovita tehnika, ki vam omogoča, da preverite: ali smo težavo rešili pravilno?
V nalogi št.6 smo na primer prejeli odgovora -3 in 2. Kako preveriti, ali sta ta odgovora pravilna? Vstavimo jih v začetno stanje in poglejmo, kaj se bo zgodilo. Naj vas spomnim, da imamo tri števila ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ in $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), ki morajo tvoriti aritmetično progresijo. Nadomestni $ x = -3 $:
\ [\ začetek (poravnaj) & x = -3 \ Desna puščica \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ konec (poravnaj) \]
Prejete številke -54; −2; 50, ki se razlikujejo za 52, je nedvomno aritmetična progresija. Enako se zgodi za $ x = 2 $:
\ [\ začetek (poravnaj) & x = 2 \ Desna puščica \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ konec (poravnaj) \]
Spet napredovanje, vendar z razliko 27. Tako je problem rešen pravilno. Zainteresirani lahko sami preverijo drugo težavo, vendar bom takoj rekel: tudi tam je vse pravilno.
Na splošno smo pri reševanju zadnjih problemov naleteli na še eno zanimivost, ki si jo je prav tako treba zapomniti:
Če so tri števila taka, da je drugo aritmetična sredina prvega in zadnjega, potem ta števila tvorijo aritmetično progresijo.
V prihodnosti nam bo razumevanje te izjave omogočilo, da dobesedno "konstruiramo" potrebna napredovanja, ki temeljijo na pogoju problema. Toda preden se lotimo takšne »konstrukcije«, moramo biti pozorni še na eno dejstvo, ki neposredno izhaja iz že obravnavanega.
Združevanje in vsota elementov
Vrnimo se spet k številski osi. Omenimo tam več članov progresije, med katerimi morda. veliko je drugih članov:
Številčna vrstica ima 6 označenih elementovPoskusimo izraziti "levi rep" v smislu $ ((a) _ (n)) $ in $ d $, "desni rep" pa v smislu $ ((a) _ (k)) $ in $ d $ . To je zelo preprosto:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ konec (poravnaj) \]
Zdaj upoštevajte, da so naslednje vsote enake:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ konec (poravnaj) \]
Preprosto povedano, če za začetek upoštevamo dva elementa napredovanja, ki sta skupaj enaka nekemu številu $S$, nato pa začnemo hoditi od teh elementov v nasprotnih smereh (drug proti drugemu ali obratno, da se oddaljimo) , potem enake bodo tudi vsote elementov, na katere se bomo spotaknili$ S $. To je najbolj jasno predstavljeno grafično:
Enak zamik daje enake količine Razumevanje tega dejstva nam bo omogočilo reševanje problemov bistveno višje stopnje kompleksnosti od tistih, ki smo jih obravnavali zgoraj. Na primer takšne:
Problem številka 8. Določite razliko aritmetične progresije, v kateri je prvi člen 66, zmnožek drugega in dvanajstega pa najmanjši možni.
Rešitev. Zapišimo vse, kar vemo:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ konec (poravnaj) \]
Torej, ne poznamo razlike v napredovanju $ d $. Pravzaprav bo celotna rešitev zgrajena okoli razlike, saj je produkt $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ mogoče prepisati na naslednji način:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ levo (66 + d \ desno) \ cdot \ levo (66 + 11d \ desno) = \\ & = 11 \ cdot \ levo (d + 66 \ desno) \ cdot \ levo (d + 6 \ desno). \ konec (poravnaj) \]
Za tiste v rezervoarju: skupni faktor 11 sem vzel iz drugega oklepaja. Tako je iskani produkt kvadratna funkcija glede na spremenljivko $ d $. Zato upoštevajte funkcijo $ f \ levo (d \ desno) = 11 \ levo (d + 66 \ desno) \ levo (d + 6 \ desno) $ - njen graf bo parabola z vejami navzgor, saj če razširimo oklepaje, dobimo:
\ [\ začetek (poravnaj) & f \ levo (d \ desno) = 11 \ levo (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ desno) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ konec (poravnaj) \]
Kot lahko vidite, je koeficient za vodilni člen 11 - to je pozitivno število, tako da imamo res opravka s parabolo z razvejanimi navzgor:
graf kvadratne funkcije - parabola
Bodite pozorni: ta parabola ima svojo minimalno vrednost na vrhu z absciso $ ((d) _ (0)) $. Seveda lahko to absciso izračunamo po standardni shemi (obstaja tudi formula $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), vendar bi bilo veliko bolj smiselno opaziti, da želeno oglišče leži na osni simetriji parabole, zato je točka $ ((d) _ (0)) $ enako oddaljena od korenov enačbe $ f \ levo (d \ desno) = 0 $:
\ [\ začetek (poravnava) & f \ levo (d \ desno) = 0; \\ & 11 \ cdot \ levo (d + 66 \ desno) \ cdot \ levo (d + 6 \ desno) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ konec (poravnaj) \]
Zato se mi ni mudilo z odpiranjem oklepajev: v prvotni obliki je bilo korenine zelo, zelo enostavno najti. Zato je abscisa enaka aritmetični sredini števil −66 in −6:
\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]
Kaj nam daje odkrito število? Z njim zahtevani izdelek prevzame najmanjšo vrednost (mimogrede, nismo šteli $ ((y) _ (\ min)) $ - to se od nas ne zahteva). Hkrati je to število razlika med prvotno progresijo, tj. smo našli odgovor. :)
Odgovor: −36
Problem številka 9. Med števili $ - \ frac (1) (2) $ in $ - \ frac (1) (6) $ vstavite tri števila, tako da skupaj z danimi števili tvorita aritmetično progresijo.
Rešitev. V bistvu moramo narediti zaporedje petih številk, pri čemer sta prva in zadnja številka že znani. Označimo manjkajoče številke s spremenljivkami $ x $, $ y $ in $ z $:
\ [\ levo (((a) _ (n)) \ desno) = \ levo \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ desno \ ) \]
Upoštevajte, da je število $ y $ "sredina" našega zaporedja - enako je oddaljeno od števil $ x $ in $ z $ ter od števil $ - \ frac (1) (2) $ in $ - \ frac (1) (6) $. In če trenutno ne moremo dobiti $ y $ iz številk $ x $ in $ z $, potem je situacija drugačna s konci napredovanja. Spomnimo se aritmetične sredine:
Zdaj, ko poznamo $ y $, bomo našli preostale številke. Upoštevajte, da $ x $ leži med pravkar najdenimi številkami $ - \ frac (1) (2) $ in $ y = - \ frac (1) (3) $. Torej
Če razmišljamo podobno, najdemo preostalo število:
Pripravljen! Našli smo vse tri številke. Zapišimo jih v odgovor v vrstnem redu, v katerem naj bodo vstavljene med prvotne številke.
Odgovor: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $
Problem številka 10. Med številki 2 in 42 vstavite več številk, ki skupaj s temi števili tvorita aritmetično progresijo, če veste, da je vsota prvega, drugega in zadnjega vstavljenih številk 56.
Rešitev. Še težja naloga, ki pa se rešuje po isti shemi kot prejšnje - skozi aritmetično sredino. Težava je v tem, da ne vemo natančno, koliko številk vstaviti. Zato zaradi določnosti predpostavimo, da bo po vstavitvi vsega na voljo natanko $ n $ številk, prvo od njih pa je 2, zadnje pa 42. V tem primeru lahko želeno aritmetično progresijo predstavimo kot:
\ [\ levo (((a) _ (n)) \ desno) = \ levo \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ desno \) \]
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]
Upoštevajte pa, da številki $ ((a) _ (2)) $ in $ ((a) _ (n-1)) $ dobimo iz številk 2 in 42 na robovih za en korak drug proti drugemu, tj ... do središča zaporedja. To pomeni da
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]
Toda potem lahko zgoraj napisani izraz prepišemo na naslednji način:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ levo (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ desno) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ konec (poravnaj) \]
Če poznamo $ ((a) _ (3)) $ in $ ((a) _ (1)) $, lahko zlahka najdemo razliko v napredovanju:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ levo (3-1 \ desno) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Desna puščica d = 5. \\ \ konec (poravnaj) \]
Ostaja le najti ostale člane:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ konec (poravnaj) \]
Tako bomo že pri 9. koraku prišli do levega konca zaporedja - številke 42. Skupno je bilo treba vstaviti le 7 številk: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Besedne težave z napredovanjem
Za zaključek bi rad razmislil o nekaj relativno preprostih problemih. No, kako preprosto: večini učencev, ki se v šoli učijo matematike in niso prebrali zgoraj napisanega, se te naloge morda zdijo kot pločevinka. Kljub temu se ravno takšni problemi srečujejo v OGE in USE pri matematiki, zato priporočam, da se z njimi seznanite.
Problem številka 11. Brigada je januarja izdelala 62 delov, v vsakem naslednjem mesecu pa za 14 delov več kot v prejšnjem. Koliko delov je ekipa naredila novembra?
Rešitev. Očitno bo število delov, razporejenih po mesecih, predstavljalo naraščajočo aritmetično progresijo. Poleg tega:
\ [\ začni (poravnaj) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ levo (n-1 \ desno) \ cdot 14. \\ \ konec (poravnaj) \]
November je 11. mesec v letu, zato moramo najti $ ((a) _ (11)) $:
\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]
Posledično bodo novembra izdelali 202 dela.
Problem številka 12. Vezivna delavnica je januarja vezala 216 knjig, vsak mesec pa je vezala 4 knjige več kot prejšnja. Koliko knjig je delavnica vezala v decembru?
Rešitev. Vse enako:
$ \ začeti (poravnati) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ levo (n-1 \ desno) \ cdot 4. \\ \ konec (poravnaj) $
December je zadnji, 12. mesec v letu, zato iščemo $ ((a) _ (12)) $:
\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]
To je odgovor – decembra bo vezanih 260 knjig.
No, če ste prebrali tako daleč, vam hitim čestitati: uspešno ste opravili »Tečaj Young Fighter« v aritmetičnih progresijah. Varno lahko nadaljujete na naslednjo lekcijo, kjer bomo preučili formulo za vsoto napredovanja, pa tudi pomembne in zelo uporabne posledice iz nje.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki ste zelo "ni zelo ..."
In za tiste, ki so "zelo enakomerni ...")
Aritmetična progresija je niz številk, v katerem je vsako število večje (ali manjše) od prejšnjega za enako količino.
Ta tema je pogosto težka in nerazumljiva. Indeksi za črke, n-ti člen napredovanja, razlika v napredovanju - vse to je nekako zmedeno, ja ... Ugotovimo pomen aritmetične progresije in vse se bo takoj izšlo.)
Koncept aritmetičnega napredovanja.
Aritmetično napredovanje je zelo preprost in jasen koncept. dvom? Zaman.) Prepričajte se sami.
Napisal bom nedokončano serijo številk:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Ali lahko podaljšate to vrstico? Katere številke bodo naslednje, za petimi? Vsi ... uh-uh ..., skratka, vsi bodo spoznali, da bodo številke 6, 7, 8, 9 itd. šle dlje.
Zapletemo nalogo. Dajem nedokončano serijo številk:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Lahko boste ujeli vzorec, razširili serijo in poimenovali sedmištevilka vrstice?
Če ste ugotovili, da je ta številka 20 - vam čestitam! Ne samo, da ste čutili ključne točke aritmetičnega napredovanja, ampak jih tudi uspešno uporabljal v poslu! Če še niste ugotovili, berite naprej.
Zdaj pa prevedemo ključne točke iz občutka v matematiko.)
Prva ključna točka.
Aritmetična progresija se ukvarja z nizi števil. To je sprva zmedeno. Navajeni smo reševati enačbe, risati grafe in vse to ... In potem razširiti vrsto, poiskati številko serije ...
Nič narobe. Le da so progresije prvo spoznavanje nove veje matematike. Razdelek se imenuje "Vrstice" in deluje z nizi številk in izrazov. Navadi se.)
Druga ključna točka.
V aritmetični progresiji se vsako število razlikuje od prejšnjega za enak znesek.
V prvem primeru je ta razlika ena. Ne glede na številko, ki jo vzamete, je ena večja od prejšnje. V drugem - trije. Vsako število, večje od prejšnjega za tri. Pravzaprav nam ta trenutek daje priložnost, da ujamemo vzorec in izračunamo naslednje številke.
Tretja ključna točka.
Ta trenutek ni presenetljiv, ja ... Je pa zelo, zelo pomemben. Tukaj je: vsaka številka v napredovanju stoji na svojem mestu. Obstaja prva številka, tam je sedma, tam je petinštirideseta itd. Če jih naključno mešate, bo vzorec izginil. Izginila bo tudi aritmetična progresija. Ostala bo samo vrstica številk.
To je bistvo.
Seveda se v novi temi pojavljajo novi izrazi in označbe. Morate jih poznati. V nasprotnem primeru naloge ne boste razumeli. Na primer, odločiti se morate za nekaj takega:
Zapiši prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.
Ali navdihuje?) Črke, nekaj kazal ... In naloga, mimogrede - ne bi mogla biti lažja. Samo razumeti morate pomen izrazov in poimenovanj. Zdaj bomo obvladali ta posel in se vrnili k nalogi.
Izrazi in označbe.
Aritmetično napredovanje je niz števil, v katerih se vsako število razlikuje od prejšnjega za enak znesek.
Ta količina se imenuje ... Oglejmo si ta koncept podrobneje.
Razlika v aritmetičnem napredovanju.
Razlika v aritmetičnem napredovanju je znesek za katero koli število napredovanja več prejšnji.
Ena pomembna točka. Prosim, bodite pozorni na besedo "več". Matematično to pomeni, da se dobi vsako število v napredovanju dodajanje razlika aritmetične progresije do prejšnjega števila.
Za izračun recimo drugičštevilko serije, je potrebno prvištevilo dodaj ta ista razlika aritmetičnega napredovanja. Za izračun peti- razlika je nujna dodaj Za četrti, no, itd.
Razlika v aritmetičnem napredovanju morda je pozitivno, potem se bo vsaka številka vrstice res izkazala več kot prejšnji. To napredovanje se imenuje naraščajoče. Na primer:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Tu se dobi vsako število dodajanje pozitivno število, +5 na prejšnjo.
Razlika je lahko negativno, potem bo vsaka številka v vrstici manj kot prejšnji. Takšno napredovanje se imenuje (ne boste verjeli!) zmanjševanje.
Na primer:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Tu se dobi tudi vsaka številka dodajanje na prejšnje, a že negativno število, -5.
Mimogrede, pri delu z napredovanjem je zelo koristno takoj določiti njegovo naravo - ali se povečuje ali zmanjšuje. Zelo pomaga krmariti po rešitvi, odkriti svoje napake in jih popraviti, preden bo prepozno.
Razlika v aritmetičnem napredovanju praviloma označena s črko d.
Kako najti d? Zelo preprosto. Od poljubnega števila nizov je treba odšteti prejšnjištevilko. Odštej. Mimogrede, rezultat odštevanja se imenuje "razlika".)
Definirajmo npr. d za povečanje aritmetičnega napredovanja:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Vzamemo poljubno število vrstice, ki jo želimo, na primer 11. Od nje odštejemo prejšnja številka, tiste. osem:
To je pravilen odgovor. Za to aritmetično progresijo je razlika tri.
Lahko vzamete točno poljubno število napredovanja, od za določeno napredovanje d -vedno isto. Vsaj nekje na začetku vrste, vsaj na sredini, vsaj kjerkoli. Ne morete vzeti samo prve številke. Samo zaradi prve številke prejšnjega ni.)
Mimogrede, vedoč d = 3, je zelo enostavno najti sedmo številko tega napredovanja. Peti številki dodamo 3 - dobimo šesto, bo 17. Šesti številki dodamo tri, dobimo sedmo številko - dvajset.
Mi definiramo d za padajočo aritmetično progresijo:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Opozarjam vas, da ne glede na znake določite d potrebno je iz katere koli številke odvzeti prejšnjega. Izberemo poljubno število napredovanja, na primer -7. Prejšnja je -2. Nato:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Razlika aritmetičnega napredovanja je lahko poljubno število: celo, ulomno, iracionalno, kar koli.
Drugi izrazi in označbe.
Vsaka številka v nizu se kliče član aritmetične progresije.
Vsak član napredovanja ima svojo številko.Številke so strogo urejene, brez trikov. Prvi, drugi, tretji, četrti itd. Na primer, v napredovanju 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi člen, pet je drugi, enajst je četrti, no, razumete ...) Prosimo, jasno razumejte - same številke je lahko popolnoma kateri koli, cela, delna, negativna, karkoli, vendar oštevilčenje številk- strogo po vrstnem redu!
Kako zabeležiti splošno napredovanje? Ni problema! Vsaka številka v vrstici je zapisana kot črka. Praviloma se črka uporablja za označevanje aritmetičnega napredovanja a... Številka člana je označena z indeksom spodaj desno. Člane pišemo, ločene z vejicami (ali podpičji), takole:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1 je prva številka, a 3- tretji itd. Nič zapletenega. To serijo lahko na kratko zapišete takole: (a n).
Napredki so končno in neskončno.
Končni napredek ima omejeno število članov. Pet, osemintrideset, karkoli. Ampak - končno število.
Neskončno napredovanje - ima neskončno število članov, kot morda ugibate.)
Končni napredek lahko napišete skozi serijo, kot je ta, vse člane in piko na koncu:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.
Ali tako, če je članov veliko:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
V kratkem vpisu boste morali dodatno navesti število članov. Na primer (za dvajset članov), takole:
(a n), n = 20
Neskončno napredovanje je mogoče prepoznati po elipsi na koncu vrstice, kot v primerih v tej lekciji.
Zdaj lahko rešujete naloge. Naloge so preproste, zgolj za razumevanje pomena aritmetične progresije.
Primeri nalog za aritmetično napredovanje.
Podrobno analizirajmo nalogo, ki je navedena zgoraj:
1. Zapiši prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.
Nalogo prevedemo v razumljiv jezik. Podana je neskončna aritmetična progresija. Druga številka tega napredovanja je znana: a 2 = 5. Razlika v napredovanju je znana: d = -2,5. Treba je najti prvega, tretjega, četrtega, petega in šestega člana te progresije.
Zaradi jasnosti bom zapisal vrsto glede na pogoj problema. Prvih šest členov, kjer je drugi člen pet:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....
a 3 = a 2 + d
Zamenjajte v izraz a 2 = 5 in d = -2,5... Ne pozabite na minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Tretji člen je manjši od drugega. Vse je logično. Če je število večje od prejšnjega za negativno vrednost, potem se bo sama številka izkazala za manjšo od prejšnje. Napredovanje se zmanjšuje. V redu, upoštevajmo.) Upoštevamo četrtega člana naše serije:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Torej se izračunajo termini od tretjega do šestega. Rezultat je taka serija:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Ostaja še najti prvi izraz a 1 po znani drugi. To je korak v drugo smer, v levo.) Zato je razlika v aritmetičnem napredovanju d ni treba dodati a 2, a odnesi:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
To je vse. Odgovor na nalogo:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Ob tem bom pripomnil, da smo to nalogo rešili ponavljajoča se način. Ta strašljiva beseda pomeni samo iskanje člana napredovanja. po prejšnji (sosednji) številki. Pozneje bomo razmislili o drugih načinih dela z napredovanjem.
Iz te preproste naloge lahko potegnemo en pomemben zaključek.
Zapomni si:
Če poznamo vsaj en člen in razliko aritmetične progresije, lahko najdemo katerega koli člana te progresije.
Ali se spomniš? Ta preprost zaključek vam omogoča, da rešite večino nalog šolskega tečaja na to temo. Vse naloge se vrtijo okoli treh glavnih parametrov: člen aritmetične progresije, razlika napredovanja, število članov progresije. Vse.
Seveda se vsa prejšnja algebra ne razveljavi.) Na progresijo so priložene neenakosti, enačbe in druge stvari. Ampak po samem napredovanju- vse se vrti okoli treh parametrov.
Oglejmo si za primer nekaj priljubljenih nalog na to temo.
2. Končno aritmetično progresijo zapišite kot niz, če je n = 5, d = 0,4 in a 1 = 3,6.
Tukaj je vse preprosto. Vse je že dano. Zapomniti si morate, kako se člani aritmetične progresije štejejo, štejejo in zapisujejo. Priporočljivo je, da v pogoju naloge ne zamudite besed: "končno" in " n = 5". Ne šteti, dokler ni popolnoma modro v obraz.) V tem napredovanju je samo 5 (pet) članov:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Ostaja še zapisati odgovor:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Še ena naloga:
3. Ugotovite, ali je število 7 član aritmetične progresije (a n), če a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm ... Kdo ve? Kako nekaj definirati?
Kako-kako ... Ja, zapišite napredovanje v obliki serije in poglejte, ali bo tam sedem ali ne! menimo:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Zdaj se jasno vidi, da smo le sedmerica zdrsnil skozi med 6,5 in 7,7! Sedem ni prišlo v našo serijo številk, zato sedem ne bo član dane progresije.
Odgovor je ne.
In tukaj je naloga, ki temelji na pravi različici GIA:
4. Izpiše se več zaporednih članov aritmetične progresije:
...; 15; X; 9; 6; ...
Tu je napisana vrsta brez konca in začetka. Brez številk članov, brez razlike d... Nič narobe. Za rešitev problema je dovolj razumeti pomen aritmetične progresije. Gledamo in razmišljamo, kaj je mogoče odkriti iz te serije? Kateri so trije glavni parametri?
Članske številke? Tukaj ni ene same številke.
Ampak obstajajo tri številke in - pozor! - beseda "zaporedno" v stanju. To pomeni, da so številke strogo urejene, brez vrzeli. Ali sta v tej vrsti dva sosednji znane številke? Ja, jaz imam! To sta 9 in 6. Tako lahko izračunamo razliko aritmetične progresije! Odštejemo od šestih prejšnjištevilko, tj. devet:
Ostale so zgolj malenkosti. Kakšna je prejšnja številka za X? Petnajst. To pomeni, da je x mogoče enostavno najti s preprostim seštevanjem. Dodajte razliko aritmetične progresije na 15:
To je vse. odgovor: x = 12
Naslednje težave rešujemo sami. Opomba: te težave ne zadevajo formul. Čisto za razumevanje pomena aritmetične progresije.) Samo zapišemo niz številk-črk, pogledamo in razmišljamo.
5. Poišči prvi pozitivni člen aritmetične progresije, če je a 5 = -3; d = 1,1.
6. Znano je, da je število 5,5 član aritmetične progresije (a n), kjer je a 1 = 1,6; d = 1,3. Določite število n tega člana.
7. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 4; a 5 = 15,1. Poiščite 3.
8. Zapisano več zaporednih članov aritmetične progresije:
...; 15,6; X; 3.4; ...
Poiščite izraz v napredovanju, označenem s črko x.
9. Vlak se je začel premikati s postaje in vztrajno povečeval svojo hitrost za 30 metrov na minuto. Kakšna bo hitrost vlaka čez pet minut? Odgovor navedite v km/h.
10. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Poiščite 1.
Odgovori (v neredu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Se je vse izšlo? Čudovito! V naslednjih lekcijah lahko obvladate aritmetično napredovanje na višji ravni.
Ni se vse izšlo? Ni problema. V posebnem oddelku 555 so vse te naloge razvrščene na koščke.) In seveda je opisana preprosta praktična tehnika, ki takoj poudari rešitev takšnih nalog jasno, jasno, kot na dlani!
Mimogrede, v uganki o vlaku sta dve težavi, ob kateri se ljudje pogosto spotaknejo. Ena je zgolj v napredovanju, druga pa je običajna za vse težave pri matematiki in tudi fiziki. To je prevod dimenzij iz ene v drugo. V njem je prikazano, kako je treba te probleme rešiti.
V tej lekciji smo preučili osnovni pomen aritmetične progresije in njene glavne parametre. To je dovolj za rešitev skoraj vseh težav na to temo. Dodaj d do številk, napiši serijo, vse se bo odločilo.
Prstna rešitev se dobro obnese za zelo kratke kose vrstice, kot v primerih v tej lekciji. Če je vrstica daljša, postanejo izračuni bolj zapleteni. Na primer, če je v problemu 9 v vprašanju, zamenjajte "pet minut" na "petintrideset minut" problem bo postal bistveno bolj jezen.)
Obstajajo tudi naloge, ki so v bistvu preproste, a neverjetne v smislu izračunov, na primer:
Dobite aritmetično progresijo (a n). Poiščite 121, če je a 1 = 3 in d = 1/6.
In kaj, dodali bomo veliko, večkrat po 1/6 ?! Lahko ga ubiješ!?
Lahko.) Če ne poznate preproste formule, s katero je mogoče takšne naloge rešiti v minuti. Ta formula bo v naslednji lekciji. In ta problem je tam rešen. Čez minuto.)
Če vam je to spletno mesto všeč ...
Mimogrede, imam za vas še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Takojšnje validacijsko testiranje. Učenje - z zanimanjem!)
lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
