Za rešitev nekaterih problemov bo koristna tabela trigonometričnih identitet, ki bo precej olajšala transformacijo funkcij:

Najenostavnejše trigonometrične identitete

Kvocient deljenja sinusa kota alfa s kosinusom istega kota je enak tangensu tega kota (formula 1). Glej tudi dokaz pravilnosti transformacije najpreprostejših trigonometričnih identitet.
Kvocient deljenja kosinusa kota alfa s sinusom istega kota je enak kotangensu istega kota (formula 2)
Sekans kota je enak enici, deljeni s kosinusom istega kota (formula 3)
Vsota kvadratov sinusa in kosinusa istega kota je enaka ena (formula 4). glej tudi dokaz vsote kvadratov kosinusa in sinusa.
Vsota ena in tangensa kota je enaka razmerju ena proti kvadratu kosinusa tega kota (formula 5)
Ena plus kotangens kota je enak kvocientu ena, deljenem s sinusom kvadrata tega kota (formula 6)
Produkt tangensa in kotangensa istega kota je enak ena (formula 7).

Pretvarjanje negativnih kotov trigonometričnih funkcij (sodo in liho)

Da se znebite negativne vrednosti stopenjska mera kota pri izračunu sinusa, kosinusa ali tangensa lahko uporabite naslednje trigonometrične transformacije (identitete), ki temeljijo na principih sodih ali lihih trigonometričnih funkcij.

Kot je razvidno, kosinus in sekans je celo funkcijo , sinus, tangens in kotangens so lihe funkcije.

Sinus negativnega kota je enak negativna vrednost sinus istega pozitivnega kota (minus sinus alfa).
Kosinus minus alfa bo dal enako vrednost kot kosinus kota alfa.
Tangens minus alfa je enak minus tangensu alfa.

Formule za zmanjševanje dvojnih kotov (sinus, kosinus, tangens in kotangens dvojnih kotov)

Če morate kot razdeliti na polovico ali obratno, premakniti iz dvojnega kota v enojni kot, lahko uporabite naslednje trigonometrične identitete:

Pretvorba dvojnega kota (sinus dvojnega kota, kosinus dvojnega kota in tangens dvojnega kota) v enojnem nastopi z po pravilih:

Sinus dvojnega kota enak dvakratnemu zmnožku sinusa in kosinusa posameznega kota

Kosinus dvojnega kota enak razliki med kvadratom kosinusa posameznega kota in kvadratom sinusa tega kota

Kosinus dvojnega kota enako dvakratnemu kvadratu kosinusa posameznega kota minus ena

Kosinus dvojnega kota enako ena minus dvojni sinus na kvadrat enojnega kota

Tangens dvojnega kota je enak ulomku, katerega števec je dvakrat večji od tangensa posameznega kota, imenovalec pa je enak ena minus tangens na kvadrat posameznega kota.

Kotangens dvojnega kota je enak ulomku, katerega števec je kvadrat kotangensa posameznega kota minus ena, imenovalec pa je enak dvakratnemu kotangensu posameznega kota

Formule za univerzalno trigonometrično zamenjavo

Spodnje formule za pretvorbo so lahko uporabne, ko morate argument trigonometrične funkcije (sin α, cos α, tan α) deliti z dva in izraz zmanjšati na vrednost polovice kota. Iz vrednosti α dobimo α/2.

Te formule se imenujejo formule univerzalne trigonometrične substitucije. Njihova vrednost je v tem, da se z njihovo pomočjo trigonometrični izraz zmanjša na izražanje tangensa polovice kota, ne glede na to, katere trigonometrične funkcije (sin cos tan ctg) so bile prvotno v izrazu. Po tem je enačbo s tangensom polovice kota veliko lažje rešiti.

Trigonometrične identitete za polkotne transformacije

Sledijo formule za trigonometrično pretvorbo polovice kota v njegovo celotno vrednost.
Vrednost argumenta trigonometrične funkcije α/2 se zmanjša na vrednost argumenta trigonometrične funkcije α.

Trigonometrične formule za seštevanje kotov

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangens in kotangens vsote kotov alfa in beta je mogoče pretvoriti z uporabo naslednjih pravil za pretvorbo trigonometričnih funkcij:

Tangens vsote kotov je enak ulomku, katerega števec je vsota tangensa prvega in tangensa drugega kota, imenovalec pa ena minus produkt tangensa prvega kota in tangensa drugega kota.

Tangens kotne razlike je enak ulomku, katerega števec je enak razliki med tangensom kota, ki ga zmanjšamo, in tangensom kota, ki ga odštejemo, imenovalec pa je ena plus produkt tangentov teh kotov.

Kotangens vsote kotov je enak ulomku, katerega števec je enak produktu kotangensov teh kotov plus ena, imenovalec pa je enak razliki med kotangensom drugega kota in kotangensom prvega kota.

Kotangens kotne razlike je enak ulomku, katerega števec je produkt kotangensov teh kotov minus ena, in imenovalec enaka vsoti kotangensi teh kotov.

Te trigonometrične identitete je priročno uporabljati, ko morate na primer izračunati tangens 105 stopinj (tg 105). Če ga predstavite kot tg (45 + 60), potem lahko uporabite dano identične transformacije tangens vsote kotov, nato preprosto nadomestite tabelirane vrednosti tangente 45 in tangente 60 stopinj.

Formule za pretvorbo vsote ali razlike trigonometričnih funkcij

Izraze, ki predstavljajo vsoto oblike sin α + sin β, je mogoče transformirati z uporabo naslednjih formul:

Formule trojnega kota - pretvorba sin3α cos3α tan3α v sinα cosα tanα

Včasih je treba transformirati trojno vrednost kota, tako da argument trigonometrične funkcije postane kot α namesto 3α.
V tem primeru lahko uporabite formule za transformacijo trojnega kota (identitete):

Formule za pretvorbo produktov trigonometričnih funkcij

Če je treba transformirati produkt sinusov različnih kotov, kosinusov različnih kotov ali celo produkt sinusa in kosinusa, potem lahko uporabite naslednje trigonometrične identitete:


V tem primeru bo produkt funkcij sinusa, kosinusa ali tangensa različnih kotov pretvorjen v vsoto ali razliko.

Formule za redukcijo trigonometričnih funkcij

Tabelo zmanjšanja morate uporabiti na naslednji način. V vrstici izberemo funkcijo, ki nas zanima. V stolpcu je kot. Na primer, sinus kota (α+90) na presečišču prve vrstice in prvega stolpca, ugotovimo, da je sin (α+90) = cos α.

Kako najti sinus?

Študij geometrije pomaga razvijati mišljenje. Ta predmet je nujno vključen v šolsko usposabljanje. V vsakdanjem življenju je lahko znanje o tej temi koristno - na primer pri načrtovanju stanovanja.

Iz zgodovine

Predmet geometrije vključuje tudi trigonometrijo, ki proučuje trigonometrične funkcije. V trigonometriji preučujemo sinuse, kosinuse, tangente in kotangense kotov.

Ampak naprej ta trenutek Začnimo z najpreprostejšim - sinusom. Oglejmo si podrobneje prvi koncept - sinus kota v geometriji. Kaj je sinus in kako ga najti?

Koncept sinusnega kota in sinusoide

Sinus kota je razmerje vrednosti nasprotne strani in hipotenuze pravokotnega trikotnika. To je neposredna trigonometrična funkcija, ki je zapisana kot "sin (x)", kjer je (x) kot trikotnika.

Na grafu je sinus kota označen s sinusnim valom s svojimi značilnostmi. Sinusni val je videti kot neprekinjena valovita črta, ki leži v določenih mejah na koordinatni ravnini. Funkcija je liha, zato je simetrična okoli 0 na koordinatni ravnini (izhaja iz izhodišča koordinat).

Domena definicije te funkcije leži v območju od -1 do +1 na kartezičnem koordinatnem sistemu. Perioda funkcije sinusnega kota je 2 pi. To pomeni, da se vsaka 2 Pi vzorec ponovi in ​​gre sinusni val skozi celoten cikel.

Enačba sinusnega vala

• sin x = a/c
• kjer je a krak, ki je nasproten kotu trikotnika
• c - hipotenuza pravokotnega trikotnika

Lastnosti sinusa kota

1. sin(x) = - sin(x). Ta funkcija dokazuje, da je funkcija simetrična in če sta vrednosti x in (-x) narisani na koordinatni sistem v obe smeri, bodo ordinate teh točk nasprotne. Nahajali se bodo na enaki razdalji drug od drugega.
2. Druga značilnost te funkcije je, da graf funkcije narašča na segmentu [- P/2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], kjer je n poljubno celo število. Zmanjšanje grafa sinusa kota bo opazno na segmentu: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn].
3. sin(x) > 0, ko je x v območju (2Пn, П + 2Пn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Vrednosti sinusov kota se določijo s posebnimi tabelami. Takšne tabele so bile ustvarjene za lažji postopek izračuna zapletenih formul in enačb. Je enostaven za uporabo in ne vsebuje le vrednosti funkcije sin(x), temveč tudi vrednosti drugih funkcij.

Poleg tega je tabela standardnih vrednosti teh funkcij vključena v obvezno študijo spomina, kot tabela množenja. To še posebej velja za razrede s fizično in matematično pristranskostjo. V tabeli si lahko ogledate vrednosti glavnih kotov, ki se uporabljajo v trigonometriji: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 in 360 stopinj.

Obstaja tudi tabela, ki določa vrednosti trigonometričnih funkcij nestandardnih kotov. Z različnimi tabelami lahko preprosto izračunate sinus, kosinus, tangens in kotangens nekaterih kotov.

Enačbe so sestavljene s trigonometričnimi funkcijami. Reševanje teh enačb je preprosto, če poznate preproste trigonometrične identitete in redukcije funkcij, na primer sin (P/2 + x) = cos (x) in druge. Za takšna znižanja je bila sestavljena tudi posebna tabela.

Kako najti sinus kota

Kadar je naloga najti sinus kota in glede na pogoj imamo samo kosinus, tangens ali kotangens kota, lahko preprosto izračunamo, kar potrebujemo, s pomočjo trigonometričnih identitet.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Iz te enačbe lahko poiščemo sinus in kosinus, odvisno od tega, katera vrednost je neznana. Dobimo trigonometrično enačbo z eno neznanko:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• otroška posteljica 2 x + 1 = 1 / greh 2 x

Iz te enačbe lahko najdete vrednost sinusa, če poznate vrednost kotangensa kota. Za poenostavitev zamenjajte sin 2 x = y in dobili boste preprosto enačbo. Na primer, vrednost kotangensa je 1, potem:

• 1 + 1 = 1/leto
• 2 = 1/leto
• 2у = 1
• y = 1/2

Zdaj izvedemo obratno zamenjavo igralca:

• sin 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Ker smo vzeli vrednost kotangensa za standardni kot (45 0), lahko dobljene vrednosti preverimo v tabeli.

Če imate vrednost tangensa in morate najti sinus, vam bo pomagala druga trigonometrična identiteta:

• tg x * ctg x = 1

Sledi, da:

• otroška posteljica x = 1 / ten x

Če želite najti sinus nestandardnega kota, na primer 240 0, morate uporabiti formule za zmanjšanje kota. Vemo, da π ustreza 180 0. Tako svojo enakost izrazimo s standardnimi koti z razširitvijo.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Najti moramo naslednje: sin (180 0 + 60 0). V trigonometriji obstajajo redukcijske formule, ki v tem primeru bo prišel prav. To je formula:

• sin (π + x) = - sin (x)

Tako je sinus kota 240 stopinj enak:

• sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2

V našem primeru je x = 60, P pa 180 stopinj. Vrednost (-√3/2) smo našli iz tabele vrednosti funkcij standardnih kotov.

Na ta način je mogoče razširiti nestandardne kote, na primer: 210 = 180 + 30.

Osnovne trigonometrične formule so formule, ki vzpostavljajo povezave med osnovnimi trigonometričnimi funkcijami. Sinus, kosinus, tangens in kotangens so med seboj povezani s številnimi razmerji. Spodaj predstavljamo glavne trigonometrične formule, za udobje pa jih bomo združili po namenu. Z uporabo teh formul lahko rešite skoraj vsak problem iz standardnega tečaja trigonometrije. Naj takoj opozorimo, da so spodaj le same formule in ne njihov zaključek, o katerem bomo razpravljali v ločenih člankih.

Osnovne identitete trigonometrije

Trigonometrične identitete zagotavljajo razmerje med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota, kar omogoča, da se ena funkcija izrazi z drugo.

Trigonometrične identitete

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Te identitete izhajajo neposredno iz definicij enotskega kroga, sinusa (sin), kosinusa (cos), tangensa (tg) in kotangensa (ctg).

Redukcijske formule

Redukcijske formule vam omogočajo prehod z dela s poljubnimi in poljubno velikimi koti na delo s koti v razponu od 0 do 90 stopinj.

Redukcijske formule

sin α + 2 π z = sin α, cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α, c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Redukcijske formule so posledica periodičnosti trigonometričnih funkcij.

Trigonometrične adicijske formule

Aditivne formule v trigonometriji vam omogočajo, da izrazite trigonometrično funkcijo vsote ali razlike kotov v smislu trigonometričnih funkcij teh kotov.

Trigonometrične adicijske formule

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Na podlagi adicijskih formul so izpeljane trigonometrične formule za več kotov.

Formule za več kotov: dvojni, trojni itd.

Formule dvojnega in trojnega kota

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α s t g 2 α = s t g 2 α - 1 2 · s t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Formule polovičnega kota

Formule polkotnika v trigonometriji so posledica formul dvojnega kota in izražajo razmerje med osnovnima funkcijama polkotnika in kosinusa celega kota.

Formule polovičnega kota

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Formule za zmanjšanje stopnje

Formule za zmanjšanje stopnje

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Pri izračunih je pogosto neprijetno delati z okornimi pooblastili. Formule za zmanjšanje stopnje vam omogočajo zmanjšanje stopnje trigonometrične funkcije s poljubno velike na prvo. Tukaj je njihov splošni pogled:

Splošni pogled na formule za zmanjšanje stopnje

za celo n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

za liho n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Vsota in razlika trigonometričnih funkcij

Razliko in vsoto trigonometričnih funkcij lahko predstavimo kot produkt. Faktoriziranje razlik sinusov in kosinusov je zelo priročno za uporabo pri reševanju trigonometričnih enačb in poenostavljanju izrazov.

Vsota in razlika trigonometričnih funkcij

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Produkt trigonometričnih funkcij

Če formule za vsoto in razliko funkcij omogočajo prehod na njihov produkt, potem formule za produkt trigonometričnih funkcij izvedejo obratni prehod - od produkta do vsote. Upoštevane so formule za zmnožek sinusov, kosinusov in sinus s kosinusom.

Formule za produkt trigonometričnih funkcij

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Univerzalna trigonometrična zamenjava

Vse osnovne trigonometrične funkcije - sinus, kosinus, tangens in kotangens - je mogoče izraziti s tangensom polovičnega kota.

Univerzalna trigonometrična zamenjava

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij

Opomba. Ta tabela vrednosti trigonometrične funkcije za označevanje uporablja znak √ kvadratni koren. Za označevanje ulomka uporabite simbol "/".

Poglej tudi uporabni materiali:

Za določanje vrednosti trigonometrične funkcije, ga poiščite na presečišču črte, ki označuje trigonometrično funkcijo. Na primer, sinus 30 stopinj - iščemo stolpec z naslovom sin (sinus) in najdemo presečišče tega stolpca tabele z vrstico "30 stopinj", na njihovem presečišču preberemo rezultat - eno polovico. Podobno ugotavljamo kosinus 60 stopnje, sinus 60 stopinj (spet na presečišču stolpca sin in črte 60 stopinj najdemo vrednost sin 60 = √3/2) itd. Vrednosti sinusov, kosinusov in tangentov drugih "priljubljenih" kotov se najdejo na enak način.

Sinus pi, kosinus pi, tangens pi in drugi koti v radianih

Spodnja tabela kosinusov, sinusov in tangentov je primerna tudi za iskanje vrednosti trigonometričnih funkcij, katerih argument je podano v radianih. Če želite to narediti, uporabite drugi stolpec vrednosti kotov. Zahvaljujoč temu lahko pretvorite vrednost priljubljenih kotov iz stopinj v radiane. Na primer, poiščimo kot 60 stopinj v prvi vrstici in pod njim preberimo njegovo vrednost v radianih. 60 stopinj je enako π/3 radianov.

Število pi nedvoumno izraža odvisnost obsega od stopinjske mere kota. Tako so pi radiani enaki 180 stopinjam.

Vsako število, izraženo s pi (radiani), je mogoče enostavno pretvoriti v stopinje tako, da pi (π) zamenjate s 180.

Primeri:
1. Sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
tako je sinus pi enak sinusu 180 stopinj in je enak nič.

2. Kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
tako je kosinus pi enak kosinusu 180 stopinj in je enak minus ena.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
tako je tangenta pi enaka tangenti 180 stopinj in je enaka nič.

Tabela vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa za kote 0 - 360 stopinj (običajne vrednosti)

vrednost kota α (stopinje)	vrednost kota α v radianih (prek pi)	greh (sinusi)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)	sek (sekant)	cosec (kosekans)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Če je v tabeli vrednosti trigonometričnih funkcij namesto vrednosti funkcije naveden pomišljaj (tangens (tg) 90 stopinj, kotangens (ctg) 180 stopinj), potem je za dano vrednost stopinjske mere kota funkcija nima določene vrednosti. Če pomišljaja ni, je celica prazna, kar pomeni, da še nismo vnesli zahtevane vrednosti. Zanima nas, po kakšnih poizvedbah se uporabniki obračajo k nam in tabelo dopolnjujemo z novimi vrednostmi, kljub temu da trenutni podatki o vrednostih kosinusov, sinusov in tangensov najpogostejših vrednosti kotov povsem zadostujejo za rešitev večine težave.

Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij sin, cos, tg za najbolj priljubljene kote
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stopinj
(številčne vrednosti "po Bradisovih tabelah")

vrednost kota α (stopinje)	vrednost kota α v radianih	greh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Koncepti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa so glavne kategorije trigonometrije, veje matematike, in so neločljivo povezane z definicijo kota. Obvladovanje te matematične vede zahteva pomnjenje in razumevanje formul in izrekov ter razvito prostorsko mišljenje. Zato trigonometrični izračuni pogosto povzročajo težave šolarjem in študentom. Če jih želite premagati, se morate bolje seznaniti s trigonometričnimi funkcijami in formulami.

Pojmi v trigonometriji

Da bi razumeli osnovne koncepte trigonometrije, morate najprej razumeti, kaj sta pravokotni trikotnik in kot v krogu ter zakaj so vsi osnovni trigonometrični izračuni povezani z njima. Trikotnik, v katerem eden od kotov meri 90 stopinj, je pravokoten. V zgodovini so to številko pogosto uporabljali ljudje v arhitekturi, navigaciji, umetnosti in astronomiji. Skladno s tem so ljudje s preučevanjem in analizo lastnosti te številke izračunali ustrezna razmerja njenih parametrov.

Glavni kategoriji, povezani s pravokotnimi trikotniki, sta hipotenuza in noge. Hipotenuza - nasprotna stran trikotnika pravi kot. Noge so preostale dve strani. Vsota kotov katerega koli trikotnika je vedno 180 stopinj.

Sferična trigonometrija je del trigonometrije, ki se ne preučuje v šoli, v uporabnih vedah, kot sta astronomija in geodezija, pa jo znanstveniki uporabljajo. Posebnost trikotnika v sferični trigonometriji je, da ima vsota kotov vedno večja od 180 stopinj.

Koti trikotnika

V pravokotnem trikotniku je sinus kota razmerje med krakom nasproti želenega kota in hipotenuzo trikotnika. V skladu s tem je kosinus razmerje med sosednjo nogo in hipotenuzo. Obe vrednosti imata vedno manjšo velikost od ena, saj je hipotenuza vedno daljša od noge.

Tangens kota je vrednost, ki je enaka razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo želenega kota ali sinus proti kosinusu. Kotangens pa je razmerje med sosednjo stranjo želenega kota in nasprotno stranjo. Kotangens kota lahko dobimo tudi tako, da ena delimo z vrednostjo tangensa.

Enotni krog

Enotski krog v geometriji je krog, katerega polmer je enak ena. Takšen krog je zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu, pri čemer središče krožnice sovpada z izhodiščem, začetni položaj radijnega vektorja pa je določen vzdolž pozitivne smeri osi X (abscisne osi). Vsaka točka na krožnici ima dve koordinati: XX in YY, to sta koordinati abscise in ordinate. Če izberemo poljubno točko na krogu v ravnini XX in iz nje spustimo navpičnico na abscisno os, dobimo pravokotni trikotnik, ki ga tvori polmer na izbrano točko (označeno s črko C), navpičnico, narisano na os X. (presečišče je označeno s črko G), odsek abscisne osi pa je med izhodiščem koordinat (točka je označena s črko A) in presečiščem G. Nastali trikotnik ACG je pravokoten trikotnik, včrtan krog, kjer je AG hipotenuza, AC in GC pa kraka. Kot med polmerom krožnice AC in odsekom abscisne osi z oznako AG definiramo kot α (alfa). Torej, cos α = AG/AC. Če upoštevamo, da je AC polmer enotskega kroga in je enak ena, se izkaže, da je cos α=AG. Prav tako sin α=CG.

Poleg tega lahko s tem podatkom določite koordinato točke C na krogu, saj je cos α=AG in sin α=CG, kar pomeni, da ima točka C podane koordinate (cos α;sin α). Če vemo, da je tangens enak razmerju med sinusom in kosinusom, lahko ugotovimo, da je tan α = y/x in cot α = x/y. Če upoštevate kote v negativnem koordinatnem sistemu, lahko izračunate, da so sinusne in kosinusne vrednosti nekaterih kotov lahko negativne.

Izračuni in osnovne formule

Vrednosti trigonometrične funkcije

Ob upoštevanju bistva trigonometričnih funkcij skozi enotski krog lahko izpeljemo vrednosti teh funkcij za nekatere kote. Vrednosti so navedene v spodnji tabeli.

Najenostavnejše trigonometrične identitete

Enačbe, v katerih je pod znakom trigonometrične funkcije neznana vrednost, imenujemo trigonometrične. Identitete z vrednostjo sin x = α, k - poljubno celo število:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, ni rešitev.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitete z vrednostjo cos x = a, kjer je k poljubno celo število:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, ni rešitev.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Identitete z vrednostjo tg x = a, kjer je k poljubno celo število:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Identitete z vrednostjo ctg x = a, kjer je k poljubno celo število:

1. cot x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Redukcijske formule

Ta kategorija stalne formule označuje metode, s katerimi se lahko premaknete s trigonometričnih funkcij oblike na funkcije argumenta, to je, zmanjšate sinus, kosinus, tangens in kotangens kota katere koli vrednosti na ustrezne indikatorje kota intervala od 0 do 90 stopinj za večjo priročnost izračunov.

Formule za redukcijo funkcij za sinus kota izgledajo takole:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Za kosinus kota:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Uporaba zgornjih formul je možna ob upoštevanju dveh pravil. Prvič, če je kot mogoče predstaviti kot vrednost (π/2 ± a) ali (3π/2 ± a), se vrednost funkcije spremeni:

• od greha do cos;
• od cos do greha;
• od tg do ctg;
• od ctg do tg.

Vrednost funkcije ostane nespremenjena, če lahko kot predstavimo kot (π ± a) ali (2π ± a).

Drugič, predznak zmanjšane funkcije se ne spremeni: če je bil na začetku pozitiven, ostane tak. Enako z negativnimi funkcijami.

Adicijske formule

Te formule izražajo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa vsote in razlike dveh rotacijskih kotov prek njihovih trigonometričnih funkcij. Običajno sta kota označena kot α in β.

Formule izgledajo takole:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Te formule veljajo za poljubna kota α in β.

Formule dvojnega in trojnega kota

Trigonometrični formuli dvojnega in trojnega kota sta formuli, ki povezujeta funkciji kotov 2α oziroma 3α s trigonometričnimi funkcijami kota α. Izpeljan iz adicijskih formul:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Prehod iz vsote v produkt

Če upoštevamo, da je 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), s poenostavitvijo te formule dobimo istovetnost sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobno sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Prehod od produkta k vsoti

Te formule sledijo iz identitet prehoda vsote v produkt:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule za zmanjšanje stopnje

V teh identitetah lahko kvadratne in kubične potence sinusa in kosinusa izrazimo s sinusom in kosinusom prve potence večkratnega kota:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzalna zamenjava

Formule za univerzalno trigonometrično substitucijo izražajo trigonometrične funkcije v smislu tangensa polovičnega kota.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), pri čemer je x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kjer je x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kjer je x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), pri čemer je x = π + 2πn.

Posebni primeri

Spodaj so navedeni posebni primeri najpreprostejših trigonometričnih enačb (k je poljubno celo število).

Kvocienti za sinus:

Sin x vrednost	x vrednost
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk ali 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk ali -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk ali 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk ali -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk ali 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk ali -2π/3 + 2πk

Količniki za kosinus:

vrednost cos x	x vrednost
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Količniki za tangento:

tg x vrednost	x vrednost
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Količniki za kotangens:

vrednost ctg x	x vrednost
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Izreki

Sinusni izrek

Obstajata dve različici teorema - preprosta in razširjena. Preprost sinusni izrek: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tem primeru so a, b, c stranice trikotnika, α, β, γ pa nasprotni koti.

Razširjeni sinusni izrek za poljuben trikotnik: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V tej identiteti R označuje polmer kroga, v katerega je vpisan dani trikotnik.

Kosinusni izrek

Identiteta je prikazana na naslednji način: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. V formuli so a, b, c stranice trikotnika, α pa je kot nasproti strani a.

Tangentni izrek

Formula izraža razmerje med tangentama dveh kotov in dolžinami nasprotnih stranic. Stranice so označene z a, b, c, ustrezni nasprotni koti pa so α, β, γ. Formula tangentnega izreka: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotangensov izrek

Povezuje polmer kroga, včrtanega v trikotnik, z dolžinami njegovih stranic. Če so a, b, c stranice trikotnika in A, B, C nasprotni koti, r je polmer včrtanega kroga in p polobseg trikotnika, je naslednje veljavne so identitete:

• posteljica A/2 = (p-a)/r;
• posteljica B/2 = (p-b)/r;
• posteljica C/2 = (p-c)/r.

Aplikacija

Trigonometrija ni le teoretična veda, povezana z matematičnimi formulami. Njegove lastnosti, izreke in pravila v praksi uporabljajo različne veje človekove dejavnosti – astronomija, zračna in pomorska navigacija, glasbena teorija, geodezija, kemija, akustika, optika, elektronika, arhitektura, ekonomija, strojništvo, merilna dela, računalniška grafika, kartografija, oceanografija in mnogi drugi.

Sinus, kosinus, tangens in kotangens so osnovni pojmi trigonometrije, s pomočjo katerih lahko matematično izrazimo razmerja med koti in dolžinami stranic v trikotniku ter preko identitet, izrekov in pravil poiščemo zahtevane količine.