Koren na kvadrat. Kaj je aritmetični kvadratni koren

Dijaki vedno sprašujejo: »Zakaj ne morem uporabiti kalkulatorja pri izpitu iz matematike? Kako izluščiti kvadratni koren števila brez kalkulatorja? Poskusimo odgovoriti na to vprašanje.

Kako izluščiti kvadratni koren števila brez pomoči kalkulatorja?

Akcija kvadratni koren inverzno dejanju kvadriranja.

√81= 9 9 2 =81

Če vzamete kvadratni koren pozitivnega števila in rezultat kvadrirate, dobite isto število.

Od ne velike številke, ki so natančni kvadrati naravna števila, na primer 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 kvadratnih korenov lahko izvlečete ustno. Ponavadi v šoli učijo tabelo kvadratov naravnih števil do dvajset. Če poznate to tabelo, je enostavno izvleči kvadratne korene iz števil 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Iz števil, večjih od 400, jih lahko izvlečete z metodo izbire z nekaj nasveti. Poskusimo pogledati to metodo s primerom.

primer: Izluščite koren števila 676.

Opazimo, da je 20 2 = 400 in 30 2 = 900, kar pomeni 20< √676 < 900.

Natančni kvadrati naravnih števil se končajo z 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Število 6 je podano s 4 2 in 6 2.
To pomeni, da če je koren vzet iz 676, potem je 24 ali 26.

Ostaja še preveriti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

odgovor: √676 = 26 .

več primer: √6889 .

Ker je 80 2 = 6400 in 90 2 = 8100, potem je 80< √6889 < 90.
Število 9 je podano s 3 2 in 7 2, potem je √6889 enako 83 ali 87.

Preverimo: 83 2 = 6889.

odgovor: √6889 = 83 .

Če vam je težko rešiti z izbirno metodo, lahko faktorizirate radikalni izraz.

na primer najdi √893025.

Razložimo število 893025, spomnite se, to ste delali v šestem razredu.

Dobimo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

več primer: √20736. Razložimo število 20736 na faktorje:

Dobimo √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Seveda faktorizacija zahteva poznavanje znakov deljivosti in veščine faktorizacije.

In končno obstaja pravilo za pridobivanje kvadratnih korenov. Spoznajmo to pravilo s primeri.

Izračunajte √279841.

Če želimo izluščiti koren večmestnega celega števila, ga razdelimo od desne proti levi na ploskve, ki vsebujejo 2 števki (skrajni levi rob lahko vsebuje eno števko). Zapišemo ga takole: 27’98’41

Da dobimo prvo številko korena (5), vzamemo kvadratni koren največjega popolnega kvadrata, ki ga vsebuje prva ploskev na levi (27).
Nato se kvadrat prve števke korena (25) odšteje od prve ploskve, naslednja ploskev (98) pa se doda razliki (odšteje).
Levo od dobljenega števila 298 zapišite dvomestno korenino (10), z njo delite število vseh deset prej dobljenega števila (29/2 ≈ 2), preizkusite količnik (102 ∙ 2 = 204 ne sme biti več kot 298) in napišite (2) za prvo števko korena.
Nato se dobljeni količnik 204 odšteje od 298 in naslednji rob (41) se doda razliki (94).
Levo od dobljenega števila 9441 zapišite dvojni zmnožek števk korena (52 ∙2 = 104), število vseh desetic števila 9441 (944/104 ≈ 9) delite s tem zmnožkom, preizkusite količnik (1049 ∙9 = 9441) naj bo 9441 in ga zapišite (9) za drugo števko korena.

Prejeli smo odgovor √279841 = 529.

Ekstrahirajte podobno koreni decimalnih ulomkov. Samo radikalno število mora biti razdeljeno na obraze tako, da je vejica med obrazi.

Primer. Poiščite vrednost √0,00956484.

Ne pozabite le, da če ima decimalni ulomek liho število decimalnih mest, iz njega ni mogoče vzeti kvadratnega korena.

Zdaj ste videli tri načine za pridobivanje korenine. Izberite tistega, ki vam najbolj ustreza, in vadite. Če se želite naučiti reševati probleme, jih morate rešiti. In če imate kakršna koli vprašanja, se prijavite na moje lekcije.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Površina kvadratnega zemljišča je 81 dm². Najdi njegovo stran. Recimo, da je stranska dolžina kvadrata X decimetrov. Potem je površina parcele X² kvadratnih decimetrov. Ker je po pogoju ta površina enaka 81 dm², potem X² = 81. Dolžina stranice kvadrata je pozitivno število. Pozitivno število, katerega kvadrat je 81, je število 9. Pri reševanju naloge je bilo treba najti število x, katerega kvadrat je 81, torej rešiti enačbo X² = 81. Ta enačba ima dva korena: x 1 = 9 in x 2 = - 9, ker je 9² = 81 in (- 9)² = 81. Obe števili 9 in - 9 se imenujeta kvadratni koren od številke 81.

Upoštevajte, da je eden od kvadratnih korenov X= 9 je pozitivno število. Imenuje se aritmetični kvadratni koren iz 81 in je označen z √81, torej √81 = 9.

Aritmetični kvadratni koren števila A je nenegativno število, katerega kvadrat je enak A.

Na primer, števili 6 in - 6 sta kvadratni koren iz števila 36. Vendar pa je število 6 aritmetični kvadratni koren iz 36, saj je 6 nenegativno število in 6² = 36. Število - 6 ni aritmetični koren.

Aritmetični kvadratni koren števila A označeno kot sledi: √ A.

Znak se imenuje znak aritmetičnega kvadratnega korena; A- imenovan radikalni izraz. Izraz √ A prebrati takole: aritmetični kvadratni koren števila A. Na primer, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. V primerih, ko je jasno, da govorimo o aritmetičnem korenu, na kratko rečejo: "kvadratni koren iz A«.

Dejanje iskanja kvadratnega korena števila se imenuje kvadratno korenenje. To dejanje je obratno od kvadriranja.

Poljubno število lahko kvadrirate, vendar ne morete izluščiti kvadratnih korenov iz nobenega števila. Na primer, nemogoče je izvleči kvadratni koren števila - 4. Če je tak koren obstajal, potem ga označite s črko X, bi dobili napačno enakost x² = - 4, saj je na levi nenegativno število, na desni pa negativno število.

Izraz √ A smiselno le takrat, ko a ≥ 0. Definicijo kvadratnega korena lahko na kratko zapišemo kot: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Enakost (√ A)² = A velja za a ≥ 0. Tako zagotovimo, da je kvadratni koren nenegativnega števila A enako b, tj. v tem, da je √ A =b, morate preveriti, ali sta izpolnjena naslednja dva pogoja: b ≥ 0, b² = A.

Kvadratni koren ulomka

Izračunajmo. Upoštevajte, da je √25 = 5, √36 = 6, in preverimo, ali enakost drži.

Ker in , potem enakost velja. Torej, .

Izrek:če A≥ 0 in b> 0, kar pomeni, da je koren ulomka enak korenu števca, deljenemu s korenom imenovalca. Dokazati je treba, da: in .

Od √ A≥0 in √ b> 0, potem .

O lastnosti dviga ulomka na potenco in definiciji kvadratnega korena izrek je dokazan. Poglejmo si nekaj primerov.

Izračunajte z uporabo dokazanega izreka .

Drugi primer: Dokaži to , Če A ≤ 0, b < 0. .

Drug primer: Izračunaj.

.

Pretvorba kvadratnega korena

Odstranitev množitelja izpod znaka korena. Naj bo izraz podan. če A≥ 0 in b≥ 0, potem lahko z uporabo izreka o korenu produkta zapišemo:

Ta transformacija se imenuje odstranitev faktorja iz predznaka korena. Poglejmo primer;

Izračunajte pri X= 2. Neposredna zamenjava X= 2 v radikalnem izrazu vodi do zapletenih izračunov. Te izračune je mogoče poenostaviti, če najprej odstranite faktorje pod znakom korena: . Če zdaj zamenjamo x = 2, dobimo:.

Torej, ko faktor odstranimo izpod znaka korena, je radikalni izraz predstavljen v obliki produkta, v katerem je eden ali več faktorjev kvadrat nenegativnih števil. Nato uporabite izrek o korenu produkta in vzemite koren vsakega faktorja. Oglejmo si primer: Poenostavimo izraz A = √8 + √18 - 4√2 tako, da faktorje v prvih dveh členih vzamemo izpod znaka korena, dobimo:. To enakost poudarjamo velja samo takrat, ko A≥ 0 in b≥ 0. če A < 0, то .

Pred kalkulatorji so učenci in učitelji kvadratne korene računali ročno. Obstaja več načinov ročnega izračuna kvadratnega korena števila. Nekateri od njih ponujajo le približno rešitev, drugi dajejo natančen odgovor.

Koraki

Prafaktorizacija

Razčlenite radikalno število na faktorje, ki so kvadratna števila. Odvisno od radikalne številke boste dobili približen ali natančen odgovor. Kvadratna števila so števila, iz katerih je mogoče vzeti cel kvadratni koren. Faktorji so števila, ki pri množenju dajo prvotno število. Na primer, faktorja števila 8 sta 2 in 4, ker je 2 x 4 = 8, so števila 25, 36, 49 kvadratna števila, ker je √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratni faktorji so faktorji , ki so kvadratna števila. Najprej poskusite radikalno število faktorizirati na kvadratne faktorje.

• Na primer, izračunajte kvadratni koren iz 400 (ročno). Najprej poskusite faktorizirati 400 na kvadratne faktorje. 400 je večkratnik 100, to je deljivo s 25 - to je kvadratno število. Če 400 delite s 25, dobite 16. Tudi število 16 je kvadratno število. Tako lahko 400 faktoriziramo na kvadratne faktorje 25 in 16, to je 25 x 16 = 400.
• To lahko zapišemo na naslednji način: √400 = √(25 x 16).

1. Kvadratni koren produkta nekaterih členov je enak produktu kvadratnih korenov vsakega člena, to je √(a x b) = √a x √b. S tem pravilom izvlecite kvadratni koren vsakega kvadratnega faktorja in pomnožite rezultate, da poiščete odgovor.

   • V našem primeru vzemite koren iz 25 in 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Če radikalno število ni razdeljeno na dva kvadratna faktorja (in to se zgodi v večini primerov), ne boste mogli najti točnega odgovora v obliki celega števila. Toda problem lahko poenostavite tako, da radikalno število razstavite na kvadratni faktor in navadni faktor (število, iz katerega ni mogoče vzeti celega kvadratnega korena). Nato boste vzeli kvadratni koren kvadratnega faktorja in izvlekli koren skupnega faktorja.

   • Na primer, izračunajte kvadratni koren števila 147. Števila 147 ni mogoče razložiti na dva kvadratna faktorja, lahko pa ga razložite na naslednja faktorja: 49 in 3. Nalogo rešite na naslednji način:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Po potrebi ocenite vrednost korena. Zdaj lahko ocenite vrednost korena (poiščete približno vrednost), tako da jo primerjate z vrednostmi korenin kvadratnih števil, ki so najbližje (na obeh straneh številske premice) radikalnemu številu. Dobili boste vrednost korena kot decimalno, ki ga je treba pomnožiti s številom za znakom korena.

   • Vrnimo se k našemu primeru. Radikalno število je 3. Kvadratni števili, ki sta mu najbližje, bosta števili 1 (√1 = 1) in 4 (√4 = 2). Tako se vrednost √3 nahaja med 1 in 2. Ker je vrednost √3 verjetno bližje 2 kot 1, je naša ocena: √3 = 1,7. To vrednost pomnožimo s številom v predznaku korena: 7 x 1,7 = 11,9. Če izračunate na kalkulatorju, boste dobili 12,13, kar je precej blizu našemu odgovoru.
     • Ta metoda deluje tudi z velikimi številkami. Na primer, upoštevajte √35. Radikalno število je 35. Najbližji kvadratni števili bosta števili 25 (√25 = 5) in 36 (√36 = 6). Tako se vrednost √35 nahaja med 5 in 6. Ker je vrednost √35 veliko bližje 6 kot 5 (ker je 35 samo 1 manj kot 36), lahko rečemo, da je √35 nekoliko manj kot 6 Preverjanje na kalkulatorju nam daje odgovor 5,92 - imeli smo prav.

4. Drug način je, da radikalno število razdelimo na prafaktorje. Prafaktorji so števila, ki so deljiva samo z 1 in sama s seboj. Zapišite glavni dejavniki v vrsti in poiščite pare enakih faktorjev. Takšne dejavnike je mogoče odstraniti iz korenskega znaka.

   • Na primer, izračunajte kvadratni koren iz 45. Radikalno število razložimo na prafaktorje: 45 = 9 x 5 in 9 = 3 x 3. Tako je √45 = √(3 x 3 x 5). 3 lahko vzamemo kot korenski znak: √45 = 3√5. Zdaj lahko ocenimo √5.
   • Poglejmo še en primer: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Prejeli ste tri množitelje 2; vzemite jih nekaj in jih premaknite čez znak korena.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Zdaj lahko ocenite √2 in √11 ter poiščete približen odgovor.

   Ročno izračunavanje kvadratnega korena

   Uporaba dolge delitve

   1. Ta metoda vključuje postopek, podoben dolgi delitvi, in zagotavlja natančen odgovor. Najprej narišite navpično črto, ki razdeli list na dve polovici, nato pa v desno in nekoliko pod zgornjim robom lista narišite vodoravno črto do navpične črte. Zdaj razdelite radikalno število na pare števil, začenši z ulomkom za decimalno vejico. Torej je številka 79520789182.47897 zapisana kot "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Na primer, izračunajmo kvadratni koren števila 780,14. Nariši dve črti (kot je prikazano na sliki) in levo zgoraj zapiši dano število v obliki “7 80, 14”. Normalno je, da je prva števka z leve neparna števka. Odgovor (koren iz dano številko) boste zapisali zgoraj desno.

   2. Za prvi par števil (ali posamezno število) z leve poiščite največje celo število n, katerega kvadrat je manjši ali enak zadevnemu paru števil (ali posameznemu številu). Z drugimi besedami, poiščite kvadratno število, ki je najbližje prvemu paru števil (ali posameznemu številu) z leve, vendar manjše od njega, in izvlecite kvadratni koren tega kvadratnega števila; dobili boste številko n. Zgoraj desno zapišite n, ki ste ga našli, spodaj desno pa kvadrat n.

      • V našem primeru bo prva številka na levi 7. Naslednja 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Od prvega para števil (ali posameznega števila) na levi odštejte kvadrat števila n, ki ste ga pravkar našli. Rezultat izračuna zapiši pod subtrahend (kvadrat števila n).

      • V našem primeru odštejte 4 od 7 in dobite 3.

   4. Zapišite drugi par števil in ga zapišite poleg vrednosti, pridobljene v prejšnjem koraku. Nato podvojite število zgoraj desno in zapišite rezultat spodaj desno z dodatkom "_×_=".

      • V našem primeru je drugi par številk "80". Napišite "80" za 3. Nato podvojena številka zgoraj desno da 4. Napišite "4_×_=" spodaj desno.

   5. Izpolnite prazna polja na desni.

      • V našem primeru, če namesto pomišljajev postavimo številko 8, potem je 48 x 8 = 384, kar je več kot 380. Torej je 8 preveliko število, vendar bo 7 dovolj. Namesto pomišljajev zapiši 7 in dobiš: 47 x 7 = 329. Desno zgoraj zapiši 7 - to je druga številka v želenem kvadratnem korenu števila 780,14.

   6. Odštejte dobljeno število od trenutnega števila na levi. Rezultat iz prejšnjega koraka zapiši pod trenutno številko na levi, poišči razliko in jo zapiši pod subtrahend.

      • V našem primeru odštejte 329 od 380, kar je enako 51.

   7. Ponovite 4. korak.Če je par števil, ki se prenašajo, ulomek prvotnega števila, potem postavite ločilo (vejico) med celim in ulomkom v želenem kvadratnem korenu zgoraj desno. Na levi strani spustite naslednji par številk. Podvojite številko zgoraj desno in zapišite rezultat spodaj desno z dodatkom "_×_=".

      • V našem primeru bo naslednji par števil, ki bo odstranjen, ulomek števila 780,14, zato postavite ločilo celega in ulomka v želeni kvadratni koren v zgornjem desnem kotu. Odstranite 14 in ga zapišite spodaj levo. Podvojeno število zgoraj desno (27) je 54, zato napišite "54_×_=" spodaj desno.

   8. Ponovite koraka 5 in 6. Najdi enega največje število namesto pomišljajev na desni (namesto pomišljajev morate nadomestiti isto številko), tako da je rezultat množenja manjši ali enak trenutnemu številu na levi.

      • V našem primeru je 549 x 9 = 4941, kar je manj od trenutne številke na levi (5114). Zgoraj desno napišite 9 in rezultat množenja odštejte od trenutnega števila na levi: 5114 - 4941 = 173.

   9. Če morate najti več decimalnih mest za kvadratni koren, napišite nekaj ničel na levo od trenutnega števila in ponovite korake 4, 5 in 6. Ponavljajte korake, dokler ne dobite natančnega odgovora (števila decimalnih mest), ki ga želite potreba.

      Razumevanje procesa

      1. Za asimilacijo ta metodaštevilo, katerega kvadratni koren želite najti, si predstavljajte kot ploščino kvadrata S. V tem primeru boste iskali dolžino stranice L takšnega kvadrata. Vrednost L izračunamo tako, da je L² = S.

         Za vsako številko v odgovoru vnesite črko. Z A označimo prvo števko v vrednosti L (želeni kvadratni koren). B bo druga številka, C tretja in tako naprej.

         Določite črko za vsak par prvih števk. Označimo s S a prvi par števk v vrednosti S, s S b drugi par števk itd.

         Razumeti povezavo med to metodo in dolgim ​​deljenjem. Tako kot pri deljenju, kjer nas zanima samo naslednja številka števila, ki ga vsakič delimo, pri izračunu kvadratnega korena delamo skozi par števk zaporedno (da dobimo naslednjo eno števko v vrednosti kvadratnega korena) .

      2. Razmislite o prvem paru števk Sa števila S (Sa = 7 v našem primeru) in poiščite njegov kvadratni koren. V tem primeru bo prva številka A želene vrednosti kvadratnega korena številka, katere kvadrat je manjši ali enak S a (to pomeni, da iščemo A, tako da velja neenakost A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Recimo, da moramo 88962 deliti s 7; tukaj bo prvi korak podoben: upoštevamo prvo števko deljivega števila 88962 (8) in izberemo največje število, ki, če ga pomnožimo s 7, da vrednost manjšo ali enako 8. To pomeni, da iščemo število d, za katero velja neenakost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Mentalno si predstavljajte kvadrat, katerega površino morate izračunati. Iščete L, to je dolžino stranice kvadrata, katerega ploščina je S. A, B, C so števila v številu L. Lahko zapišete drugače: 10A + B = L (za dvomestno število) ali 100A + 10V + C = L (za trimestno število) in tako naprej.

         • Pustiti (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Ne pozabite, da je 10A+B število, v katerem številka B pomeni enote, številka A pa desetice. Na primer, če je A=1 in B=2, potem je 10A+B enako številu 12. (10A+B)² je površina celotnega kvadrata, 100A²- območje velikega notranjega kvadrata, B²- območje majhnega notranjega kvadrata, 10A×B- površina vsakega od obeh pravokotnikov. Če seštejete površine opisanih figur, boste našli površino prvotnega kvadrata.

Pogosto se pri reševanju problemov soočamo z velikimi števili, iz katerih moramo izluščiti Kvadratni koren. Mnogi učenci se odločijo, da je to napaka, in začnejo ponovno reševati celoten primer. V nobenem primeru tega ne smete storiti! Za to sta dva razloga:

1. V težavah se pojavljajo korenine velikih števil. Predvsem v besedilnih;
2. Obstaja algoritem, po katerem se te korenine izračunajo skoraj ustno.

Ta algoritem bomo obravnavali danes. Morda se vam bodo nekatere stvari zdele nerazumljive. Če pa boste pozorni na to lekcijo, boste prejeli močno orožje proti kvadratni koren.

Torej, algoritem:

1. Omejite zahtevani koren zgoraj in spodaj na števila, ki so večkratnika 10. Tako bomo zmanjšali obseg iskanja na 10 števil;
2. Iz teh 10 številk izločite tiste, ki zagotovo ne morejo biti korenine. Posledično bo ostalo 1-2 številki;
3. Kvadrirajte ti 1-2 številki. Tisti, katerega kvadrat je enak izvirnemu številu, bo koren.

Preden ta algoritem uporabimo v praksi, si poglejmo vsak posamezni korak.

Omejitev korenin

Najprej moramo ugotoviti, med katerimi številkami se nahaja naš koren. Zelo zaželeno je, da so številke večkratnike desetih:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Dobimo vrsto številk:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Kaj nam povedo te številke? Preprosto je: dobimo meje. Vzemimo za primer število 1296. Leži med 900 in 1600. Zato njegov koren ne more biti manjši od 30 in večji od 40:

[Napis k sliki]

Enako velja za katero koli drugo število, iz katerega lahko poiščete kvadratni koren. Na primer 3364:

[Napis k sliki]

Tako namesto nerazumljivega števila dobimo zelo specifičen razpon, v katerem leži prvotni koren. Če želite dodatno zožiti območje iskanja, pojdite na drugi korak.

Odprava očitno nepotrebnih številk

Torej, imamo 10 številk - kandidatov za koren. Dobili smo jih zelo hitro, brez kompleksnega razmišljanja in množenja v stolpcu. Čas je da gremo naprej.

Verjeli ali ne, zdaj bomo število kandidatov zmanjšali na dve – in spet brez zapleteni izračuni! Dovolj je poznati posebno pravilo. Tukaj je:

Zadnja števka kvadrata je odvisna samo od zadnje števke izvirna številka.

Z drugimi besedami, samo poglejte zadnjo številko kvadrata in takoj bomo razumeli, kje se prvotna številka konča.

Na zadnjem mestu je lahko samo 10 števk. Poskusimo ugotoviti, v kaj se spremenijo, ko so na kvadrat. Oglejte si tabelo:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ta tabela je še en korak k izračunu korena. Kot lahko vidite, so se številke v drugi vrstici izkazale za simetrične glede na pet. Na primer:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kot lahko vidite, je zadnja številka v obeh primerih enaka. To pomeni, da se mora na primer koren 3364 končati na 2 ali 8. Po drugi strani pa se spomnimo omejitve iz prejšnjega odstavka. Dobimo:

[Napis k sliki]

Rdeči kvadratki kažejo, da te številke še ne poznamo. Toda koren leži v območju od 50 do 60, na katerem sta le dve številki, ki se končata na 2 in 8:

[Napis k sliki]

To je vse! Od vseh možnih korenin smo pustili samo dve možnosti! In to je v najtežjem primeru, ker je lahko zadnja številka 5 ali 0. In potem bo samo en kandidat za korenine!

Končni izračuni

Torej imamo še 2 kandidatni številki. Kako veš, kateri je koren? Odgovor je očiten: kvadrirajte obe števili. Tisto, ki na kvadrat da prvotno število, bo koren.

Na primer, za število 3364 smo našli dve kandidatni števili: 52 in 58. Kvadratirajmo ju:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

To je vse! Izkazalo se je, da je koren 58! Obenem sem za poenostavitev izračunov uporabil formulo za kvadrate vsote in razlike. Zahvaljujoč temu mi niti ni bilo treba množiti števil v stolpec! To je še ena stopnja optimizacije izračuna, vendar je seveda popolnoma neobvezna :)

Primeri računanja korenov

Teorija je seveda dobra. A preverimo v praksi.

[Napis k sliki]

Najprej ugotovimo, med katerimi številkami se nahaja številka 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Zdaj pa poglejmo zadnjo številko. Enako je 6. Kdaj se to zgodi? Samo, če se koren konča na 4 ali 6. Dobimo dve števili:

Vse, kar ostane, je, da vsako število kvadrirate in primerjate z izvirnikom:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Super! Izkazalo se je, da je prvi kvadrat enak izvirnemu številu. To je torej koren.

Naloga. Izračunajte kvadratni koren:

[Napis k sliki]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Poglejmo zadnjo številko:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadrat:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Tukaj je odgovor: 37.

Naloga. Izračunajte kvadratni koren:

[Napis k sliki]

Število omejujemo:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Poglejmo zadnjo številko:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadrat:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Prejeli smo odgovor: 52. Drugega števila ne bo več treba kvadrirati.

Naloga. Izračunajte kvadratni koren:

[Napis k sliki]

Število omejujemo:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Poglejmo zadnjo številko:

4225 → 5;
65.

Kot lahko vidite, po drugem koraku ostane le ena možnost: 65. To je želeni koren. Ampak vseeno kvadrirajmo in preverimo:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Vse je pravilno. Odgovor zapišemo.

Zaključek

Žal, nič bolje. Poglejmo razloge. Dva sta:

• Pri katerem koli običajnem izpitu iz matematike, pa naj gre za državni izpit ali enotni državni izpit, je uporaba kalkulatorjev prepovedana. In če v razred prineseš kalkulator, te zlahka vržejo iz izpita.
• Ne bodi kot neumni Američani. Ki niso kot koreni – ne morejo sešteti dveh praštevil. In ko vidijo zlomke, na splošno postanejo histerični.