Glede na graf funkcije protiizpeljave poiščite vrednost funkcije. Protiizpeljava funkcije. Glavna lastnost protiizpeljave

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) (ki je lomljena črta, sestavljena iz treh ravnih odsekov). S pomočjo slike izračunajte F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiodvodov funkcije f(x).

Pokaži rešitev

rešitev

Po Newton-Leibnizovi formuli je razlika F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiderivatov funkcije f(x), enaka površini omejenega trapeza krivulje. z grafom funkcije y=f(x), premice y=0 , x=9 in x=5. Iz grafa ugotovimo, da je označeni ukrivljeni trapez trapez z osnovama enakima 4 in 3 ter višino 3.

Njegova površina je enaka \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odgovori

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=F(x) - enega od antiodvodov neke funkcije f(x), definirane na intervalu (-5; 5). S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na odseku [-3; 4].

Pokaži rešitev

rešitev

Glede na definicijo antiizpeljave velja enakost: F"(x)=f(x). Zato lahko enačbo f(x)=0 zapišemo kot F"(x)=0. Ker slika prikazuje graf funkcije y=F(x), moramo te točke najti v intervalu [-3; 4], kjer je odvod funkcije F(x) enak nič. Iz slike je razvidno, da bodo to abscise skrajnih točk (maksimuma ali minimuma) grafa F(x). V navedenem intervalu jih je natanko 7 (štiri minimalne točke in tri maksimalne točke).

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila" Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) (ki je lomljena črta, sestavljena iz treh ravnih odsekov). S pomočjo slike izračunajte F(5)-F(0), kjer je F(x) eden od antiodvodov funkcije f(x).

Pokaži rešitev

rešitev

Po Newton-Leibnizovi formuli je razlika F(5)-F(0), kjer je F(x) eden od antiderivatov funkcije f(x), enaka površini omejenega trapeza krivulje. z grafom funkcije y=f(x), premice y=0 , x=5 in x=0. Iz grafa ugotovimo, da je označeni ukrivljeni trapez trapez z osnovama enakima 5 in 3 ter višino 3.

Njegova površina je enaka \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=F(x) - enega od antiodvodov neke funkcije f(x), definirane na intervalu (-5; 4). S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f (x) = 0 na odseku (-3; 3].

Pokaži rešitev

rešitev

Iz slike je razvidno, da bodo to abscise skrajnih točk (maksimuma ali minimuma) grafa F(x). V navedenem intervalu jih je natanko 5 (dve minimalni točki in tri maksimalne točke).

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf neke funkcije y=f(x). Funkcija F(x)=-x^3+4,5x^2-7 je ena od antiizpeljank funkcije f(x).

Poiščite območje zasenčene figure.

Pokaži rešitev

rešitev

Osenčena figura je krivočrtni trapez, ki je od zgoraj omejen z grafom funkcije y=f(x), ravnimi črtami y=0, x=1 in x=3. Po Newton-Leibnizovi formuli je njegova ploščina S enaka razliki F(3)-F(1), kjer je F(x) antiodvod funkcije f(x), določene v pogoju. Zato S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf neke funkcije y=f(x). Funkcija F(x)=x^3+6x^2+13x-5 je eden od antiodvodov funkcije f(x). Poiščite območje zasenčene figure.

funkcija F(x ) klical protiizpeljanka za funkcijo f(x) v določenem intervalu, če za vse x iz tega intervala velja enakost

F"(x ) = f(x ) .

Na primer funkcija F(x) = x 2 f(x ) = 2X , Ker

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Glavna lastnost protiizpeljave

če F(x) - antiderivacija funkcije f(x) na danem intervalu, nato funkcijo f(x) ima neskončno veliko antiizpeljank in vse te protiizpeljave lahko zapišemo v obliki F(x) + C, Kje Z je poljubna konstanta.

Na primer.

funkcija F(x) = x 2 + 1 je antiderivacija funkcije

f(x ) = 2X , Ker F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x);

funkcijo F(x) = x 2 - 1 je antiderivacija funkcije

f(x ) = 2X , Ker F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ;

funkcijo F(x) = x 2 - 3 je antiderivacija funkcije

f(x) = 2X , Ker F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x);

katero koli funkcijo F(x) = x 2 + Z , Kje Z - poljubna konstanta in samo taka funkcija je antiderivacija funkcije f(x) = 2X . ◄

Pravila za izračun antiizpeljank

če F(x) - protiizpeljanka za f(x) , A G(x) - protiizpeljanka za g(x) , To F(x) + G(x) - protiizpeljanka za f(x) + g(x) . Z drugimi besedami, praodvod vsote je enak vsoti praodvodov .
če F(x) - protiizpeljanka za f(x) , In k - konstantno, torej k · F(x) - protiizpeljanka za k · f(x) . Z drugimi besedami, konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda .
če F(x) - protiizpeljanka za f(x) , In k,b- konstantno in k ≠ 0 , To 1 / k F( k x+ b ) - protiizpeljanka za f(k x+ b) .

Nedoločen integral

ne določen integral od funkcije f(x) imenovan izraz F(x) + C, to je nabor vseh antiodvodov dane funkcije f(x) . Nedoločen integral je označen takole:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- kličejo funkcija integranda ;

f(x) dx- kličejo integrand ;

x - kličejo integracijska spremenljivka ;

F(x) - ena od primitivnih funkcij f(x) ;

Z je poljubna konstanta.

na primer ∫ 2 x dx =X 2 + Z , ∫ cosx dx = greh X + Z in tako naprej. ◄

Beseda "integral" izhaja iz latinske besede celo število , kar pomeni "obnovljen". Ob upoštevanju nedoločenega integrala 2 x, se zdi, da obnovimo funkcijo X 2 , katerega odvod je enak 2 x. Obnovitev funkcije iz njenega odvoda ali, kar je isto, iskanje nedoločenega integrala nad danim integrandom se imenuje integracija to funkcijo. Integracija je inverzna operacija diferenciacije.Da bi preverili, ali je bila integracija izvedena pravilno, je dovolj, da rezultat diferenciramo in dobimo integrand.

Osnovne lastnosti nedoločenega integrala

Odvod nedoločenega integrala je enak integrandu:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

Konstantni faktor integranda lahko vzamemo iz predznaka integrala:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

Integral vsote (razlike) funkcij enaka vsoti(razlike) integralov teh funkcij:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

če k,b- konstantno in k ≠ 0 , To

∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .

Tabela protiodvodov in nedoločenih integralov

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
JAZ.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln \|x\|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln \|x\|+C$$
V.	$$\greh x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln \|\cos x\|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln \|\cos x\|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln \|\sin x\|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln \|\sin x\|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \desno) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \desno ) \end(vmatrix)+C $$
Protiizpeljani in nedoločeni integrali, podani v tej tabeli, se običajno imenujejo tabularne antiizpeljave in tabelni integrali .

Določen integral

Naj vmes [a; b] dano neprekinjena funkcija y = f(x) , Potem določen integral od a do b funkcije f(x) se imenuje prirastek protiizpeljave F(x) to funkcijo, tj

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Številke a in b se ustrezno imenujejo nižje in vrh meje integracije.

Osnovna pravila za izračun določenega integrala

1. $\int_(a)^(a)f(x)dx=0$;

2. $\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx$;

3. $\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,$ kjer je k - konstantna;

4. $\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx$;

5. $\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx$;

6. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx$, kjer je f(x) — enakomerna funkcija;

7. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=0$, kjer je f(x) je nenavadna funkcija.

Komentiraj . V vseh primerih se predpostavlja, da so integrandi integrabilni na numeričnih intervalih, katerih meje so limiti integracije.

Geometrijski in fizikalni pomen določenega integrala

Geometrijski pomen določen integral	Fizični pomen določen integral

kvadrat S krivočrtni trapez (figura, omejena z grafom zveznega pozitiva na intervalu [a; b] funkcije f(x) , os Ox in ravno x=a , x=b ) se izračuna po formuli $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Pot s, ki ga je premagala materialna točka, ki se giblje premočrtno s hitrostjo, ki se spreminja po zakonu v(t) , za določen čas a ; b] , potem je območje slike omejeno z grafi teh funkcij in ravnimi črtami x = a , x = b , izračunano po formuli $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Na primer. Izračunajmo površino figure, omejene s črtami y = x 2 in y = 2- x . Shematično upodabljajmo grafe teh funkcij in z drugo barvo označimo figuro, katere območje je treba najti. Da bi našli meje integracije, rešimo enačbo: x 2 = 2- x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\levo (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \desno )\bigm\|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Prostornina vrtilnega telesa

Če telo dobimo kot rezultat vrtenja okoli osi Ox krivočrtni trapez, omejen z zveznim in nenegativnim grafom na intervalu [a; b] funkcije y = f(x) in ravno x = a in x = b , potem se imenuje telo vrtenja .

Prostornina vrtilnega telesa se izračuna po formuli

$$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$

Če vrtilno telo dobimo kot rezultat vrtenja figure, ki je zgoraj in spodaj omejena z grafi funkcij y = f(x) in y = g(x) , torej torej

$$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$

Na primer. Izračunajmo prostornino stožca s polmerom r in višina h .

Postavimo stožec v pravokotni koordinatni sistem tako, da njegova os sovpada z osjo Ox , središče baze pa je bilo v izhodišču. Vrtenje generatorja AB definira stožec. Ker je enačba AB

$$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$

$$y=r-\frac(rx)(h)$$

in za prostornino stožca imamo

$$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\levo (0-\frac(1)(3) \desno)=\frac(\pi r^2h)(3).$$

◄

Cilj:

Oblikovanje pojma antiderivat.
Priprava na zaznavanje integrala.
Oblikovanje računalniških veščin.
Gojenje občutka za lepoto (sposobnost videti lepoto v neobičajnem).

Matematična analiza je sklop vej matematike, ki se posveča preučevanju funkcij in njihovih posplošitev z uporabo metod diferencialnega in integralnega računa.

Do sedaj smo preučevali vejo matematične analize, imenovano diferencialni račun, katere bistvo je preučevanje funkcije v »majhnem«.

Tisti. preučevanje funkcije v dovolj majhnih soseskah vsake definicijske točke. Ena od operacij diferenciacije je iskanje odvoda (diferenciala) in njegova uporaba pri študiju funkcij.

Inverzni problem ni nič manj pomemben. Če je znano vedenje funkcije v bližini vsake točke njene definicije, kako lahko potem rekonstruiramo funkcijo kot celoto, tj. v celotnem obsegu njegove opredelitve. Ta problem je predmet proučevanja tako imenovanega integralnega računa.

Integracija je obratno delovanje diferenciacije. Ali obnovitev funkcije f(x) iz danega derivata f`(x). latinska beseda"Integro" pomeni obnovo.

Primer št. 1.

Naj bo (x)`=3x 2.
Poiščimo f(x).

rešitev:

Na podlagi pravila diferenciacije ni težko uganiti, da je f(x) = x 3, ker je (x 3)` = 3x 2
Vendar lahko zlahka opazite, da f(x) ni mogoče najti enolično.
Kot f(x) lahko vzamemo
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 itd.

Ker je odvod vsakega od njih enak 3x 2. (Izvod konstante je 0). Vse te funkcije se med seboj razlikujejo po konstantnem členu. Zato lahko splošno rešitev problema zapišemo kot f(x) = x 3 + C, kjer je C poljubno konstantno realno število.

Pokličemo katero koli od najdenih funkcij f(x). PRIMODIJ za funkcijo F`(x)= 3x 2

Opredelitev. Funkcijo F(x) imenujemo antiodvod za funkcijo f(x) na danem intervalu J, če je za vse x iz tega intervala F`(x)= f(x). Torej je funkcija F(x)=x 3 protiizpeljana za f(x)=3x 2 na (- ∞ ; ∞).
Ker za vse x ~R velja enakost: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Kot smo že opazili, ima ta funkcija neskončno število antiizpeljank (glej primer št. 1).

Primer št. 2. Funkcija F(x)=x je antiizpeljana za vse f(x)= 1/x na intervalu (0; +), ker za vse x iz tega intervala velja enakost.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Primer št. 3. Funkcija F(x)=tg3x je protiodvod za f(x)=3/cos3x na intervalu (-n/ 2; P/ 2),
Ker F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Primer št. 4. Funkcija F(x)=3sin4x+1/x-2 je protiodpeljava za f(x)=12cos4x-1/x 2 na intervalu (0;∞)
Ker F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Predavanje 2.

Tema: Protiizpeljava. Glavna lastnost antiderivativne funkcije.

Pri proučevanju protiizpeljave se bomo zanašali na naslednjo trditev. Predznak konstantnosti funkcije: Če je na intervalu J odvod Ψ(x) funkcije enak 0, potem je na tem intervalu funkcija Ψ(x) konstantna.

To trditev je mogoče prikazati geometrijsko.

Znano je, da je Ψ`(x)=tgα, γde α kot naklona tangente na graf funkcije Ψ(x) v točki z absciso x 0. Če je Ψ`(υ)=0 na kateri koli točki v intervalu J, potem je tanα=0 δ za katero koli tangento na graf funkcije Ψ(x). To pomeni, da je tangenta na graf funkcije v kateri koli točki vzporedna z osjo abscise. Zato na navedenem intervalu graf funkcije Ψ(x) sovpada z odsekom premice y=C.

Torej je funkcija f(x)=c konstantna na intervalu J, če je f`(x)=0 na tem intervalu.

Dejansko lahko za poljubna x 1 in x 2 iz intervala J z uporabo izreka o srednji vrednosti funkcije zapišemo:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), ker f`(c)=0, potem je f(x 2)= f(x 1)

Izrek: (Glavna lastnost funkcije antiizpeljave)

Če je F(x) eden od protiodvodov za funkcijo f(x) na intervalu J, potem ima množica vseh antiodvodov te funkcije obliko: F(x)+C, kjer je C poljubno realno število.

Dokaz:

Naj bo F`(x) = f (x), potem (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), za x Є J.
Recimo, da obstaja Φ(x) - še en antideriv za f (x) na intervalu J, tj. Φ`(x) = f (x),
potem (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, za x Є J.
To pomeni, da je Φ(x) - F(x) konstanten na intervalu J.
Zato je Φ(x) - F(x) = C.
Od koder je Φ(x)= F(x)+C.
To pomeni, da če je F(x) antiodvod za funkcijo f (x) na intervalu J, potem ima množica vseh antiodvodov te funkcije obliko: F(x)+C, kjer je C poljubno realno število.
Posledično se katera koli dva protiodvoda dane funkcije med seboj razlikujeta s konstantnim členom.

primer: Poiščite množico protiodvodov funkcije f (x) = cos x. Narišite grafe prvih treh.

rešitev: Sin x je eden od protiodvodov za funkcijo f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – množica vseh antiizpeljank.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrijska ilustracija: Graf poljubnega antiderivata F(x)+C lahko dobimo iz grafa antiderivata F(x) z uporabo vzporednega prenosa r (0;c).

primer: Za funkcijo f (x) = 2x poiščite antiizpeljavo, katere graf poteka skozi t.M (1;4)

rešitev: F(x)=x 2 +C – množica vseh protiodvodov, F(1)=4 - glede na pogoje problema.
Zato je 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Antiderivativna funkcija f(x) vmes (a; b) ta funkcija se imenuje F(x), da enakost velja za vse X iz danega intervala.

Če upoštevamo dejstvo, da je odvod konstante Z je enako nič, potem je enakost resnična. Torej funkcija f(x) ima veliko primitivov F(x)+C, za poljubno konstanto Z, in ti antiizvodi se med seboj razlikujejo za poljubno konstantno vrednost.

Opredelitev nedoločen integral.

Celoten niz protiizpeljanih funkcij f(x) imenujemo nedoločen integral te funkcije in ga označimo .

Izraz se imenuje integrand, A f(x) – funkcija integranda. Integrand predstavlja diferencial funkcije f(x).

Dejanje iskanja neznane funkcije glede na njen diferencial se imenuje negotova integracija, ker je rezultat integracije več kot ena funkcija F(x), in niz njegovih primitivov F(x)+C.

Geometrijski pomen nedoločenega integrala. Graf protiizpeljave D(x) imenujemo integralna krivulja. V koordinatnem sistemu x0y predstavljajo grafi vseh antiodvodov dane funkcije družino krivulj, ki so odvisne od vrednosti konstante C in so med seboj pridobljene z vzporednim premikom vzdolž osi 0y. Za zgoraj obravnavani primer imamo:

J 2 x^x = x2 + C.

Družino protiodvodov (x + C) geometrično razlaga niz parabol.

Če morate najti enega iz družine antiizpeljank, so nastavljeni dodatni pogoji, ki vam omogočajo, da določite konstanto C. Običajno so v ta namen nastavljeni začetni pogoji: ko je argument x = x0, ima funkcija vrednost D (x0) = y0.

Primer. Ugotoviti je treba, da je eden od protiodvodov funkcije y = 2 x, ki ima vrednost 3 pri x0 = 1.

Zahtevani protiodvod: D(x) = x2 + 2.

rešitev. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Osnovne lastnosti nedoločenega integrala

1. Odvod nedoločenega integrala je enak funkciji integranda:

2. Diferencial nedoločenega integrala je enak izrazu integranda:

3. Nedoločen integral diferenciala določene funkcije je enak vsoti same te funkcije in poljubne konstante:

4. Konstantni faktor lahko vzamemo iz integralnega predznaka:

5. Integral vsote (razlike) je enak vsoti (razliki) integralov:

6. Lastnost je kombinacija lastnosti 4 in 5:

7. Lastnost invariantnosti nedoločenega integrala:

če , To

8. Lastnina:

če , To

Pravzaprav je ta lastnost poseben primer integracije z uporabo metode spreminjanja spremenljivke, ki je podrobneje obravnavana v naslednjem razdelku.

Poglejmo primer:

3. Metoda integracije pri kateri se dani integral reducira na enega ali več tabelnih integralov s pomočjo identičnih transformacij integranda (ali izraza) in uporabe lastnosti nedoločenega integrala, se imenuje neposredna integracija. Pri redukciji tega integrala na tabelarnega se pogosto uporabljajo naslednje diferencialne transformacije (operacija " pripisovanje diferencialnemu predznaku»):

Nasploh, f’(u)du = d(f(u)). Ta (formula se zelo pogosto uporablja pri izračunu integralov.

Poišči integral

rešitev. Uporabimo lastnosti integrala in ta integral skrčimo na več tabelarnih.

4. Integracija z metodo substitucije.

Bistvo metode je, da vnesemo novo spremenljivko, preko te spremenljivke izrazimo integrand in posledično pridemo do tabelarične (ali enostavnejše) oblike integrala.

Zelo pogosto pri integraciji trigonometričnih funkcij in funkcij z radikali pride na pomoč substitucijska metoda.

Primer.

Poiščite nedoločen integral .

rešitev.

Predstavimo novo spremenljivko. Izrazimo se X skozi z:

Dobljene izraze nadomestimo v prvotni integral:

Iz tabele antiizpeljank, ki jih imamo .

Ostaja še vrnitev na prvotno spremenljivko X:

odgovor:

Ena od operacij diferenciacije je iskanje odvoda (diferenciala) in njegova uporaba pri študiju funkcij.

Inverzni problem ni nič manj pomemben. Če je znano obnašanje funkcije v bližini vsake točke njene definicije, kako lahko rekonstruiramo funkcijo kot celoto, tj. v celotnem obsegu njegove opredelitve. Ta problem je predmet proučevanja tako imenovanega integralnega računa.

Integracija je obratno delovanje diferenciacije. Ali obnovitev funkcije f(x) iz danega derivata f`(x). Latinska beseda “integro” pomeni obnova.

Primer št. 1.

Naj bo (f(x))' = 3x 2. Poiščimo f(x).

rešitev:

Na podlagi pravila diferenciacije ni težko uganiti, da je f(x) = x 3, ker

(x 3)’ = 3x 2 Vendar lahko zlahka opazite, da f(x) ni mogoče najti enolično. Kot f(x) lahko vzamete f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 itd.

Ker odvod vsakega od njih je 3x 2. (Izvod konstante je 0). Vse te funkcije se med seboj razlikujejo po konstantnem členu. Zato lahko splošno rešitev problema zapišemo kot f(x) = x 3 + C, kjer je C poljubno konstantno realno število.

Pokličemo katero koli od najdenih funkcij f(x). protiizpeljanka za funkcijo F`(x)= 3x 2

Opredelitev.

Funkcijo F(x) imenujemo antiodvod za funkcijo f(x) na danem intervalu J, če je za vse x iz tega intervala F`(x)= f(x). Torej je funkcija F(x)=x 3 protiizpeljana za f(x)=3x 2 na (- ∞ ; ∞). Ker za vse x ~R velja enakost: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Kot smo že opazili, ima ta funkcija neskončno število antiizpeljank.

Primer št. 2.

Funkcija je protiodvodna za vse na intervalu (0; +∞), ker za vse h iz tega intervala velja enakost.

Naloga integracije je najti vse njene antiizpeljane za dano funkcijo. Pri reševanju tega problema igra pomembno vlogo naslednja izjava:

Znak konstantnosti funkcije. Če je F"(x) = 0 na nekem intervalu I, potem je funkcija F na tem intervalu konstantna.

Dokaz.

Fiksirajmo nekaj x 0 iz intervala I. Potem lahko za vsako število x iz takega intervala na podlagi Lagrangeove formule označimo število c, ki je med x in x 0, tako da je

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Po pogoju je F’ (c) = 0, ker je c ∈1, torej

F(x) - F(x 0) = 0.

Torej za vse x iz intervala I

to pomeni, da funkcija F ohranja konstantno vrednost.

Vse antiizpeljane funkcije f lahko zapišemo z eno formulo, ki se imenuje splošna oblika antiizpeljank za funkcijo f. Naslednji izrek je resničen ( glavna lastnost antiizpeljank):

Izrek. Vsak antiodvod za funkcijo f na intervalu I lahko zapišemo v obliki

F(x) + C, (1) kjer je F (x) eden od protiodvodov za funkcijo f (x) na intervalu I, C pa poljubna konstanta.

Razložimo to izjavo, v kateri sta na kratko formulirani dve lastnosti antiderivata:

Katero koli število vnesemo v izraz (1) namesto C, dobimo protiodvod za f na intervalu I;
ne glede na to, kakšen protiodvod Ф za f na intervalu I vzamemo, je mogoče izbrati število C tako, da za vse x iz intervala I velja enakost

Dokaz.

Po pogoju je funkcija F antiizpeljana za f na intervalu I. Zato je F"(x)= f (x) za vsak x∈1, torej (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), tj. F(x) + C je protiodpeljava za funkcijo f.
Naj bo Ф (x) eden od antiodvodov za funkcijo f na istem intervalu I, tj. Ф "(x) = f (х) za vse x∈I.

Potem (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Od tod sledi c. potenco predznaka konstantnosti funkcije, da je razlika Ф(х) - F(х) funkcija, ki na intervalu I zavzame neko konstantno vrednost C.

Tako za vse x iz intervala I velja enakost Ф(x) - F(x)=С, kar je bilo potrebno tudi dokazati. Glavna lastnost antiizpeljave je lahko podana geometrijski pomen: grafa poljubnih dveh protiodvodov za funkcijo f dobimo drug od drugega z vzporedno translacijo vzdolž osi Oy

Vprašanja za zapiske

Funkcija F(x) je protiodvod funkcije f(x). Poiščite F(1), če je f(x)=9x2 - 6x + 1 in F(-1) = 2.

Poiščite vse protiodvode za funkcijo

Za funkcijo (x) = cos2 * sin2x poiščite protiodvod F(x), če je F(0) = 0.

Za funkcijo poiščite protiodvod, katerega graf poteka skozi točko