– zagotovo bodo naloge iz trigonometrije. Trigonometrija pogosto ni všeč, ker je treba strpati ogromno težkih formul, polnih sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov. Stran je že enkrat svetovala, kako si zapomniti pozabljeno formulo, na primeru Eulerjeve in Peelove formule.
In v tem članku bomo poskušali pokazati, da je dovolj, da trdno poznate le pet preprostih trigonometričnih formul in poznate ostale splošna ideja in jih prinesite ven sproti. To je tako kot z DNK: ni shranjena v molekuli. popolne risbe končano živo bitje. Namesto tega vsebuje navodila za sestavljanje iz razpoložljivih aminokislin. Torej v trigonometriji, poznavanje nekaj splošna načela, bomo dobili vse potrebne formule iz majhnega nabora tistih, ki jih moramo imeti v mislih.
Zanašali se bomo na naslednje formule:
Iz formul za sinusne in kosinusne vsote, ob poznavanju paritete kosinusne funkcije in lihosti sinusne funkcije, z zamenjavo -b namesto b, dobimo formule za razlike:
- Sinus razlike: greh(a-b) = grehacos(-b)+cosagreh(-b) = grehacosb-cosagrehb
- Kosinus razlike: cos(a-b) = cosacos(-b)-grehagreh(-b) = cosacosb+grehagrehb
Če vnesemo a = b v iste formule, dobimo formule za sinus in kosinus dvojnih kotov:
- Sinus dvojnega kota: greh2a = greh(a+a) = grehacosa+cosagreha = 2grehacosa
- Kosinus dvojnega kota: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grehagreha = cos2 a-greh2 a
Formule za druge večkratne kote dobimo podobno:
- Sinus trojnega kota: greh3a = greh(2a+a) = greh2acosa+cos2agreha = (2grehacosa)cosa+(cos2 a-greh2 a)greha = 2grehacos2 a+grehacos2 a-greh 3 a = 3 grehacos2 a-greh 3 a = 3 greha(1-greh2 a)-greh 3 a = 3 greha-4greh 3a
- Kosinus trojnega kota: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-greh2agreha = (cos2 a-greh2 a)cosa-(2grehacosa)greha = cos 3 a- greh2 acosa-2greh2 acosa = cos 3 a-3 greh2 acosa = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa
Preden gremo naprej, poglejmo eno težavo.
Podano: kot je oster.
Poiščite njegov kosinus, če
Rešitev enega učenca:
Ker , To greha= 3,a cosa = 4.
(Iz matematičnega humorja)
Definicija tangente torej povezuje to funkcijo s sinusom in kosinusom. Vendar lahko dobite formulo, ki povezuje tangens samo s kosinusom. Da bi ga izpeljali, vzemimo glavno trigonometrična identiteta: greh 2 a+cos 2 a= 1 in ga delite s cos 2 a. Dobimo:
Rešitev tega problema bi bila torej:
(Ker je kot oster, se pri izvleku korenine vzame znak +)
Formula za tangens vsote je še ena, ki si jo je težko zapomniti. Izpišimo ga takole:
Takoj prikazano in
Iz formule kosinusa za dvojni kot lahko dobite formuli sinusa in kosinusa za pol kota. Če želite to narediti, na levi strani formule kosinusa dvojnega kota:
cos2
a = cos 2
a-greh 2
a
dodamo eno in desno - trigonometrično enoto, tj. vsota kvadratov sinusa in kosinusa.
cos2a+1 = cos2 a-greh2 a+cos2 a+greh2 a
2cos 2
a = cos2
a+1
Izražanje cosa skozi cos2
a in izvedemo spremembo spremenljivk, dobimo:
Predznak se vzame glede na kvadrant.
Podobno, če odštejemo eno od leve strani enakosti in vsoto kvadratov sinusa in kosinusa od desne, dobimo:
cos2a-1 = cos2 a-greh2 a-cos2 a-greh2 a
2greh 2
a = 1-cos2
a
Za pretvorbo vsote trigonometričnih funkcij v produkt uporabimo naslednji termin. Recimo, da moramo vsoto sinusov predstaviti kot produkt greha+grehb. Vstavimo spremenljivki x in y tako, da je a = x+y, b+x-y. Potem
greha+grehb = greh(x+y)+ greh(x-y) = greh x cos y+ cos x greh y+ greh x cos y- cos x greh y=2 greh x cos l. Izrazimo zdaj x in y z a in b.
Ker je a = x+y, b = x-y, potem . Zato
Takoj lahko umaknete
- Formula za razdelitev zmnožki sinusa in kosinusa V znesek: grehacosb = 0.5(greh(a+b)+greh(a-b))
Priporočamo, da vadite in sami izpeljete formule za pretvorbo razlike sinusov ter vsote in razlike kosinusov v zmnožek ter za deljenje zmnožkov sinusov in kosinusov v vsoto. Ko boste opravili te vaje, boste temeljito obvladali veščino izpeljave trigonometričnih formul in se ne boste izgubili niti v najtežjem testu, olimpijadi ali testiranju.
Najpogostejša vprašanja
Ali je možno izdelati žig na dokument po predloženem vzorcu? Odgovori Ja, možno je. Pošljite skenirano kopijo ali fotografijo na naš elektronski naslov dobra kakovost, in izdelali bomo potreben dvojnik.
Katere vrste plačil sprejemate?
Odgovori Dokument lahko plačate po prejemu s strani kurirja, potem ko preverite pravilnost izpolnjevanja in kakovost izvedbe diplome. To lahko storite tudi na poslovalnicah poštnih podjetij, ki ponujajo plačilo po povzetju.
Vsi pogoji dostave in plačila dokumentov so opisani v razdelku »Plačilo in dostava«. Pripravljeni smo prisluhniti tudi vašim predlogom glede pogojev dostave in plačila dokumenta.
Ali sem lahko prepričan, da po oddaji naročila ne boste izginili z mojim denarjem? Odgovori Na področju izdelave diplom imamo kar nekaj izkušenj. Imamo več spletnih mest, ki se nenehno posodabljajo. Naši strokovnjaki delajo v različnih delih države in izdelajo več kot 10 dokumentov na dan. V preteklih letih so naši dokumenti mnogim ljudem pomagali pri reševanju težav z zaposlitvijo ali prehodu na bolje plačana delovna mesta. Med strankami smo pridobili zaupanje in prepoznavnost, zato za to ni prav nobenega razloga. Poleg tega je to preprosto fizično nemogoče narediti: naročilo plačate takoj, ko ga prejmete v roke, predplačila ni.
Ali lahko naročim diplomo katere koli univerze? Odgovori Na splošno ja. Na tem področju delamo že skoraj 12 let. V tem času je bila oblikovana skoraj popolna baza dokumentov, ki so jih izdale skoraj vse univerze v državi in za različna leta izdaje. Vse kar potrebujete je, da izberete univerzo, posebnost, dokument in izpolnite naročilnico.
Kaj storiti, če v dokumentu najdete tipkarske napake in napake?
Odgovori Ko prejmete dokument od našega kurirja ali poštnega podjetja, priporočamo, da natančno preverite vse podrobnosti. Če se ugotovi tipkarska napaka, napaka ali netočnost, imate pravico, da diplome ne prevzamete, vendar morate ugotovljene pomanjkljivosti navesti osebno kurirju ali pisno s pismom na E-naslov.
Dokument bomo popravili v najkrajšem možnem času in ga ponovno poslali na navedeni naslov. Seveda bo poštnino plačalo naše podjetje.
Da bi se izognili tovrstnim nesporazumom, stranki pred izpolnjevanjem originalnega obrazca po e-pošti pošljemo maketo bodočega dokumenta v pregled in odobritev končne različice. Preden pošljemo dokument po kurirju ali po pošti, dodatno fotografiramo in posnamemo tudi video posnetke (tudi v ultravijolični svetlobi), da boste imeli jasno predstavo, kaj boste na koncu prejeli.
Kaj naj naredim, da naročim diplomo pri vašem podjetju?
Odgovori Za naročilo dokumenta (spričevala, diplome, akademskega spričevala itd.) morate izpolniti spletno naročilnico na naši spletni strani ali posredovati vaš e-mail, da vam lahko pošljemo prijavnico, ki jo morate izpolniti in poslati nazaj nam.
Če v katerem koli polju naročilnice/vprašalnika ne veste, kaj navesti, ga pustite prazna. Zato bomo vse manjkajoče podatke razjasnili po telefonu.
Zadnje ocene
Valentina:
Rešil si najinega sina pred odpustitvijo! Dejstvo je, da se je moj sin, ko je opustil študij, pridružil vojski. In ko se je vrnil, si ni želel opomoči. Delal brez diplome. Toda pred kratkim so začeli odpuščati vse, ki nimajo "skorje". Zato smo se odločili stopiti v stik z vami in ni nam žal! Zdaj dela mirno in se ne boji ničesar! Hvala vam!
Najpogostejša vprašanja
Ali je možno izdelati žig na dokument po predloženem vzorcu? Odgovori Ja, možno je. Pošljite skenirano kopijo ali kakovostno fotografijo na naš elektronski naslov in izdelali bomo potrebni dvojnik.
Katere vrste plačil sprejemate?
Odgovori Dokument lahko plačate po prejemu s strani kurirja, potem ko preverite pravilnost izpolnjevanja in kakovost izvedbe diplome. To lahko storite tudi na poslovalnicah poštnih podjetij, ki ponujajo plačilo po povzetju.
Vsi pogoji dostave in plačila dokumentov so opisani v razdelku »Plačilo in dostava«. Pripravljeni smo prisluhniti tudi vašim predlogom glede pogojev dostave in plačila dokumenta.
Ali sem lahko prepričan, da po oddaji naročila ne boste izginili z mojim denarjem? Odgovori Na področju izdelave diplom imamo kar nekaj izkušenj. Imamo več spletnih mest, ki se nenehno posodabljajo. Naši strokovnjaki delajo v različnih delih države in izdelajo več kot 10 dokumentov na dan. V preteklih letih so naši dokumenti mnogim ljudem pomagali pri reševanju težav z zaposlitvijo ali prehodu na bolje plačana delovna mesta. Med strankami smo pridobili zaupanje in prepoznavnost, zato za to ni prav nobenega razloga. Poleg tega je to preprosto fizično nemogoče narediti: naročilo plačate takoj, ko ga prejmete v roke, predplačila ni.
Ali lahko naročim diplomo katere koli univerze? Odgovori Na splošno ja. Na tem področju delamo že skoraj 12 let. V tem času je bila oblikovana skoraj popolna baza dokumentov, ki so jih izdale skoraj vse univerze v državi in za različna leta izdaje. Vse kar potrebujete je, da izberete univerzo, posebnost, dokument in izpolnite naročilnico.
Kaj storiti, če v dokumentu najdete tipkarske napake in napake?
Odgovori Ko prejmete dokument od našega kurirja ali poštnega podjetja, priporočamo, da natančno preverite vse podrobnosti. Če se odkrije tipkarska napaka, napaka ali netočnost, imate pravico, da diplome ne prevzamete, vendar morate ugotovljene napake navesti osebno kurirju ali pisno po elektronski pošti.
Dokument bomo popravili v najkrajšem možnem času in ga ponovno poslali na navedeni naslov. Seveda bo poštnino plačalo naše podjetje.
Da bi se izognili tovrstnim nesporazumom, stranki pred izpolnjevanjem originalnega obrazca po e-pošti pošljemo maketo bodočega dokumenta v pregled in odobritev končne različice. Preden pošljemo dokument po kurirju ali po pošti, dodatno fotografiramo in posnamemo tudi video posnetke (tudi v ultravijolični svetlobi), da boste imeli jasno predstavo, kaj boste na koncu prejeli.
Kaj naj naredim, da naročim diplomo pri vašem podjetju?
Odgovori Za naročilo dokumenta (spričevala, diplome, akademskega spričevala itd.) morate izpolniti spletno naročilnico na naši spletni strani ali posredovati vaš e-mail, da vam lahko pošljemo prijavnico, ki jo morate izpolniti in poslati nazaj nam.
Če v katerem koli polju naročilnice/vprašalnika ne veste, kaj navesti, ga pustite prazna. Zato bomo vse manjkajoče podatke razjasnili po telefonu.
Zadnje ocene
Valentina:
Rešil si najinega sina pred odpustitvijo! Dejstvo je, da se je moj sin, ko je opustil študij, pridružil vojski. In ko se je vrnil, si ni želel opomoči. Delal brez diplome. Toda pred kratkim so začeli odpuščati vse, ki nimajo "skorje". Zato smo se odločili stopiti v stik z vami in ni nam žal! Zdaj dela mirno in se ne boji ničesar! Hvala vam!
Osredotočeno na točko A.
α
- kot, izražen v radianih.
Opredelitev
Sinus (sin α)- To trigonometrična funkcija, odvisno od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino hipotenuze |AC|.
Kosinus (cos α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino hipotenuze |AC|.
Sprejete notacije
;
;
.
;
;
.
Graf sinusne funkcije, y = sin x
Graf kosinusne funkcije, y = cos x
Lastnosti sinusa in kosinusa
Periodičnost
Funkcije y = greh x in y = cos x periodično z obdobjem 2π.
Pariteta
Sinusna funkcija je liha. Kosinusna funkcija je soda.
Področje definicije in vrednosti, ekstremi, naraščanje, padanje
Funkciji sinus in kosinus sta zvezni v svoji definicijski domeni, to je za vse x (glejte dokaz zveznosti). Njihove glavne lastnosti so predstavljene v tabeli (n - celo število).
| y = greh x | y = cos x | |
| Obseg in kontinuiteta | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Razpon vrednosti | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Povečanje | ||
| Sestopanje | ||
| Maksimalno, y = 1 | ||
| Najmanjše vrednosti, y = - 1 | ||
| Ničle, y = 0 | ||
| Presečišča z ordinatno osjo, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Osnovne formule
Vsota kvadratov sinusa in kosinusa
Formule za sinus in kosinus iz vsote in razlike
;
;
Formule za produkt sinusov in kosinusov
Formule vsote in razlike
Izražanje sinusa skozi kosinus
;
;
;
.
Izražanje kosinusa skozi sinus
;
;
;
.
Izražanje skozi tangento
; .
Ko imamo:
;
.
ob:
;
.
Tabela sinusov in kosinusov, tangensov in kotangensov
Ta tabela prikazuje vrednosti sinusov in kosinusov za določene vrednosti argumenta. 
Izrazi skozi kompleksne spremenljivke
;
Eulerjeva formula
Izrazi s hiperboličnimi funkcijami
;
;
Odvod
; . Izpeljava formul >>>
Izpeljanke n-tega reda:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekans, kosekans
Inverzne funkcije
Inverzne funkcije na sinus in kosinus sta arkusin in arkosinus.
Arksin, arcsin
Arkosinus, arkos
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.
Najpogostejša vprašanja
Ali je možno izdelati žig na dokument po predloženem vzorcu? Odgovori Ja, možno je. Pošljite skenirano kopijo ali kakovostno fotografijo na naš elektronski naslov in izdelali bomo potrebni dvojnik.
Katere vrste plačil sprejemate?
Odgovori Dokument lahko plačate po prejemu s strani kurirja, potem ko preverite pravilnost izpolnjevanja in kakovost izvedbe diplome. To lahko storite tudi na poslovalnicah poštnih podjetij, ki ponujajo plačilo po povzetju.
Vsi pogoji dostave in plačila dokumentov so opisani v razdelku »Plačilo in dostava«. Pripravljeni smo prisluhniti tudi vašim predlogom glede pogojev dostave in plačila dokumenta.
Ali sem lahko prepričan, da po oddaji naročila ne boste izginili z mojim denarjem? Odgovori Na področju izdelave diplom imamo kar nekaj izkušenj. Imamo več spletnih mest, ki se nenehno posodabljajo. Naši strokovnjaki delajo v različnih delih države in izdelajo več kot 10 dokumentov na dan. V preteklih letih so naši dokumenti mnogim ljudem pomagali pri reševanju težav z zaposlitvijo ali prehodu na bolje plačana delovna mesta. Med strankami smo pridobili zaupanje in prepoznavnost, zato za to ni prav nobenega razloga. Poleg tega je to preprosto fizično nemogoče narediti: naročilo plačate takoj, ko ga prejmete v roke, predplačila ni.
Ali lahko naročim diplomo katere koli univerze? Odgovori Na splošno ja. Na tem področju delamo že skoraj 12 let. V tem času je bila oblikovana skoraj popolna baza dokumentov, ki so jih izdale skoraj vse univerze v državi in za različna leta izdaje. Vse kar potrebujete je, da izberete univerzo, posebnost, dokument in izpolnite naročilnico.
Kaj storiti, če v dokumentu najdete tipkarske napake in napake?
Odgovori Ko prejmete dokument od našega kurirja ali poštnega podjetja, priporočamo, da natančno preverite vse podrobnosti. Če se odkrije tipkarska napaka, napaka ali netočnost, imate pravico, da diplome ne prevzamete, vendar morate ugotovljene napake navesti osebno kurirju ali pisno po elektronski pošti.
Dokument bomo popravili v najkrajšem možnem času in ga ponovno poslali na navedeni naslov. Seveda bo poštnino plačalo naše podjetje.
Da bi se izognili tovrstnim nesporazumom, stranki pred izpolnjevanjem originalnega obrazca po e-pošti pošljemo maketo bodočega dokumenta v pregled in odobritev končne različice. Preden pošljemo dokument po kurirju ali po pošti, dodatno fotografiramo in posnamemo tudi video posnetke (tudi v ultravijolični svetlobi), da boste imeli jasno predstavo, kaj boste na koncu prejeli.
Kaj naj naredim, da naročim diplomo pri vašem podjetju?
Odgovori Za naročilo dokumenta (spričevala, diplome, akademskega spričevala itd.) morate izpolniti spletno naročilnico na naši spletni strani ali posredovati vaš e-mail, da vam lahko pošljemo prijavnico, ki jo morate izpolniti in poslati nazaj nam.
Če v katerem koli polju naročilnice/vprašalnika ne veste, kaj navesti, ga pustite prazna. Zato bomo vse manjkajoče podatke razjasnili po telefonu.
Zadnje ocene
Valentina:
Rešil si najinega sina pred odpustitvijo! Dejstvo je, da se je moj sin, ko je opustil študij, pridružil vojski. In ko se je vrnil, si ni želel opomoči. Delal brez diplome. Toda pred kratkim so začeli odpuščati vse, ki nimajo "skorje". Zato smo se odločili stopiti v stik z vami in ni nam žal! Zdaj dela mirno in se ne boji ničesar! Hvala vam!
