Priemerná hodnota je všeobecný ukazovateľ, ktorý charakterizuje typickú úroveň fenoménu. Vyjadruje hodnotu označenia, ktorá je pripísaná jednotke agregátu.

Priemerná hodnota je:

1) najtypickejšia hodnota znaku;

2) Rozsah agregátu distribuovaný medzi jednotkami celistvosti.

Funkcia, pre ktorú sa vypočíta priemerná hodnota, v štatistike sa nazýva "spriemerované".

Priemer vždy sumarizuje kvantitatívne variácie funkcie, t.j. V priemerných hodnotách sú individuálne rozdiely jednotiek agregátu splatené v dôsledku náhodných okolností. Na rozdiel od priemernej absolútnej hodnoty, ktorá charakterizuje úroveň znaku samostatnej jednotky agregátu, neumožňuje porovnávať znaky označenia v jednotkách týkajúcich sa rôznych agregátov. Takže, ak potrebujete porovnať úrovne odmeňovania pracovníkov v dvoch podnikoch, potom je nemožné porovnať na tomto základe dvoch zamestnancov rôznych podnikov. Práca pracovníkov zvolených na porovnanie nesmie byť typické pre tieto podniky. Ak porovnáte veľkosť fondov mzdy v predmetných podnikoch, potom počet práce, a preto nemôže byť určený, ak je úroveň odmeňovania vyššia. Nakoniec je možné porovnať iba priemerné ukazovatele, t.j. Koľko v priemere jeden pracovník dostane na každý podnik. Je teda potrebné vypočítať priemernú hodnotu ako všeobecné charakteristiky agregátu.

Je dôležité poznamenať, že v procese spriemerovania kumulatívnej hodnoty úrovní označenia alebo konečnú hodnotu (v prípade výpočtu priemerných úrovní v mnohých rečníkoch) by mali zostať nezmenené. Inými slovami, pri výpočte priemernej veľkosti by sa objem študovanej funkcie nemal skresliť, a výrazy zostavené vo výpočtoch priemeru musia nevyhnutne zmysel.

Stredný výpočet - jedna zo spoločných metód zovšeobecnenia; Priemerný ukazovateľ popiera niečo spoločné, čo je typické (typické) pre všetky jednotky spoločného súboru, zároveň ignoruje rozdiely v jednotlivých jednotkách. V každom fenoméne a jej vývoji existuje kombinácia náhody a nevyhnutnosti. Pri výpočte priemeru, na základe pôsobenia zákona veľkého počtu nehôd, sú vzájomne dokončené, sú vyvážené, takže môžete abstraktné od nevýznamných znakov fenoménu, z kvantitatívnych príznakov funkcie v každom konkrétnom prípade. V schopnosti abstrahovať od šance na jednotlivé hodnoty, oscilácie a vedeckú hodnotu priemeru, ako je všeobecné charakteristiky agregátov.

Aby bol priemerný ukazovateľ skutočne zaťažovať, malo by sa vypočítať s prihliadnutím na určité zásady.

Dajte nám prebývať na niektorých všeobecných princípoch používania priemerných hodnôt.

1. Priemer sa musí stanoviť pre agregáty pozostávajúce z kvalitatívne homogénnych jednotiek.

2. Priemer sa musí vypočítať pre kombináciu pozostávajúcu z dostatočne veľkého počtu jednotiek.

3. Priemer sa musí vypočítať pre celistvosť, ktorej jednotky sú v normálnom, prírodnom stave.

4. Priemer sa musí vypočítať na základe ekonomického obsahu študovaného indikátora.

5.2. Typy stredných a metód pre výpočet

Teraz zvažujeme typy priemerných hodnôt, vlastnosti ich kalkulusu a rozsahu. Stredné hodnoty sú rozdelené do dvoch veľkých tried: napájacieho média, konštrukčné priemery.

Výkonné priemery zahŕňajú také najznámejšie a často používané druhy, ako je napríklad stredná geometrická, priemerná aritmetická a stredná kvadratická.

Móda a medián sa považujú za konštrukčné priemery.

Dajte nám prebývať na napájacom médiu. Výkonné priemery v závislosti od prezentácie zdrojových údajov môžu byť jednoduché a vádené. Jednoduchý stred Pre nezoskupé údaje sa zvažuje a má tento všeobecný pohľad: \\ t

,

kde X I je možnosť (hodnota) spriemernej funkcie;

n - voliteľná možnosť.

Vážený priemer Uvažuje sa o zoskupených údajoch a má všeobecný výhľad

,

kde X I je možnosť (hodnota) spriemerovaného atribútu alebo stredu intervalu, v ktorom sa meria možnosť;

m - indikátor stupňa priemeru;

f I - Frekvencia Ukazuje, koľkokrát I-E sa nachádza v priemere.

Ak vypočítate všetky typy média pre rovnaké zdroje, potom ich hodnoty budú nerovnaké. Tu je pravidlo majoreitu platné: so zvýšením stupňa M, zodpovedajúca priemerná hodnota sa zvyšuje:

V štatistickej praxi sa používajú častejšie ako zostávajúce typy stredných stredných, stredne veľké aritmetické a stredne harmonické vážené vážené.

Typy napájacieho média

Pohľad na moc stredný	Indikátor titul (m)	Vzorec výpočtu
		Jednoduchý	Vážený
Harmonický
Geometrický
Aritmetika
Kvadratický
Kubický

Priemerná harmonická má komplexnejší dizajn ako priemerný aritmetický. Priemerná harmonická sa používa na výpočty, keď nie sú jednotky agregátu ako hmotnosti - charakteristiky funkcie, ale diela týchto jednotiek na hodnotách znakov (t.j. m \u003d xf). K priemernému harmonickému jednoduchému, mali by sa uchýliť v prípadoch odhodlania, napríklad priemerných nákladov práce, času, materiálov na jednotku výrobkov, za položku na dvoch (tri, štyri, atď.) Do podnikov, spracovaná výroba výroby rovnaký typ výrobkov., Rovnaký detail, produkty.

Hlavnou požiadavkou na vzorec pre výpočet priemernej hodnoty je, že všetky fázy výpočtu mali skutočné zmysluplné zdôvodnenie; Priemerná získaná hodnota by mala byť nahradená jednotlivými hodnotami funkcie každého objektu bez rušenia individuálnych a súhrnných ukazovateľov. Inými slovami, priemerná hodnota sa musí vypočítať, takže pri výmene každej jednotlivej hodnoty spriemerovaného ukazovateľa jeho priemernej hodnoty zostala nezmenená, niektoré konečné konsolidované indikátor spojené s jedným alebo druhým spôsobom. Tento konečný ukazovateľ sa nazýva definujúci Keďže povaha jej vzťahu s jednotlivými hodnotami určuje špecifický vzorec pre výpočet priemernej hodnoty. Ukážme toto pravidlo na príklad priemernej geometrickej.

Vzorec je stredný geometrický

používa sa najčastejšie pri výpočte priemernej hodnoty podľa jednotlivých reproduktorov.

Priemerná geometrická platí, ak sekvencia relatívnych hodnôt reťazca dynamiky označuje napríklad na rast objemu výroby v porovnaní s úrovňou predchádzajúceho roka: i 1, i 2, i 3, ..., i N. Je zrejmé, že objem výroby minulý rok je určený jeho počiatočnou úrovňou (Q 0) a následné nahromadenie rokov:

q n \u003d Q 0 × I 1 × I 2 × ... × I n.

Prijímanie Q N ako definujúci ukazovateľ a nahradenie jednotlivých hodnôt ukazovateľov dynamiky priemeru, príďte do pomeru

Odtiaľ

Špeciálny typ priemerných premenných - konštrukčné priemery - sa používa na štúdium vnútornej štruktúry riadkov distribúcie hodnôt funkcie, ako aj odhadnúť priemernú hodnotu (typ napájania), ak jeho výpočet nie je možné vykonať (napríklad v prípade, ak neexistovali údaje v zmysle a objemu výroby, a množstvo nákladov pre podniky skupiny).

Ako konštrukčné priemery najčastejšie používajú indikátory móda - Najčastejšie opakované hodnoty znamenia - a mediány - Hodnoty atribútu, ktoré rozdeľujú usporiadanú sekvenciu jeho hodnôt do dvoch rovnakej časti. V dôsledku toho polovica jednotiek agregátu, hodnota atribútu nepresahuje strednú úroveň a druhý nie je nižší.

Ak má študovaná funkcia diskrétne hodnoty, pri výpočte módy a mediánu neexistujú žiadne zvláštne ťažkosti. Ak sú údaje o hodnotách funkcie X prezentované vo forme objednaných intervalov svojej zmeny (intervalové riadky), výpočet módy a mediánov je trochu komplikovaný. Vzhľadom k tomu, stredná hodnota rozdeľuje celú set na dve rovnaké časti z hľadiska počtu časti, ukáže sa, že je v niektorých intervaloch X, s použitím interpolácie v tomto strednom intervale, medián sa nachádza:

,

kde x ja je nižšia hranica stredného intervalu;

h mi - jeho hodnota;

(SUM M) / 2 - Polovica celkového čísla pozorovania alebo polovica objemu ukazovateľa, ktorá sa používa ako zvážená vo výpočtových vzorcoch priemernej hodnoty (v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení);

S ME-1 - súčet pripomienok (alebo objem znaku váženia), akumulovaný pred začiatkom stredného intervalu;

m je počet pozorovaní alebo objemu vlastnosti váženia v strednom intervale (aj v absolútne relatívne podmienok).

Pri výpočte modálnej hodnoty atribútu podľa série intervalov je potrebné venovať pozornosť tomu, že intervaly sú rovnaké, pretože indikátor opakovateľnosti označení X je závislý. Pre intervalový riadok s rovnakými intervalmi , režim módy je definovaný ako

,

kde x mo je nižšia hodnota modálneho intervalu;

m MO je počet pozorovaní alebo objemu vlastnosti váženia v modálnom intervale (absolútne alebo relatívne alebo relatívne);

m mo-1 je rovnaká pre interval predchádzajúci modálne;

m mo + 1 - to isté pre interval po modálnom;

h - Rozsah intervalu značky znak v skupinách.

Úloha 1.

Nasledujúce údaje o skupine priemyselných podnikov pre vykazovací rok

№ podniky	Objem výrobkov, milión rubľov.		Priemerný počet zamestnancov, ľudí	Zisk, tisíc rubľov.
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Vyžaduje sa vykonať zoskupovanie výrobkov na výmenu výrobkov, prijme tieto intervaly: \\ t

až 200 miliónov rubľov.


od 200 do 400 miliónov rubľov.


1. od 400 do 600 miliónov rubľov.
   

   Pre každú skupinu a všetky spoločne určujú počet podnikov, objem výrobkov, priemerný počet zamestnancov, priemerná výroba výrobkov na zamestnanca. Výsledky zoskupenia sa predkladajú ako štatistický stôl. Formulovať výstup.
   

   Rozhodnutie
   

   Budeme skupinové podniky na výmenu výrobkov, výpočet počtu podnikov, objemu výrobkov, priemerný počet zamestnancov podľa vzorca je jednoduchý priemer. Výsledky zoskupenia a výpočtov sa znižujú na stôl.
   

   Výrobné skupiny	№ podniky	Objem výrobkov, milión rubľov.	Priemerná ročná hodnota dlhodobého majetku, milión rubľov.	Stredný Šťavnatý počet pracovníkov, ľudí	Zisk, tisíc rubľov.	Priemerná výroba produktov na zamestnanca
   1 skupina až 200 miliónov rubľov.	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Priemerná úroveň		198,3			24,9
   2 skupiny od 200 do 400 miliónov rubľov.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Priemerná úroveň		282,3	37,6	1530	64,0
   3 skupina od 400 do 600 miliónov	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Priemerná úroveň		512,9	34,4	1421	120,9
   Celkom celkom		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   V priemere		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Výkon. V zváženom agregácii teda najväčší počet podnikov, pokiaľ ide o výrobky zahrnuté v tretej skupine - sedem, alebo polovicu podnikov. Priemerná ročná hodnota dlhodobého majetku je tiež v tejto skupine, ako aj veľké množstvo priemerného počtu zamestnancov - 9974 ľudí, najmenej ziskových podnikov prvej skupiny.
   

   Úloha 2.
   

   Nasledujúce údaje o podnikoch spoločnosti
   

   Číslo podniku zahrnuté v spoločnosti	I štvrťrok		II
   	Výroba produktov, tisíc rubľov.		Pracovníci pracovali pracovníci	Priemerný vývoj na prácu za deň, trieť.
   	59390,13

priemerná hodnota - Toto je všeobecný ukazovateľ, ktorý charakterizuje kvalitatívne homogénnu celkovú úplnosť na určitom kvantitatívnom základe. Napríklad priemerný vek jednotlivcov odsúdený za krádež.

V súdnej štatistike sa používajú priemerné hodnoty pre charakteristiky: \\ t

Stredný čas zváženia prípadov tejto kategórie;

Nároky strednej veľkosti;

Priemerný počet respondentov, ktorí padajú na jednu vec;

Poškodenie strednej veľkosti;

Priemerné množstvo sudcov atď.

Priemer je vždy hodnota pomenovaná a má rovnaký rozmer ako znak samostatnej jednotky agregátu. Každý priemer charakterizuje študovaný nastavený podľa ktoréhokoľvek z rôznych znamienkov, preto je pre akýkoľvek priemerný počet distribúcie jednotiek tejto celistvosti ukrytý na pripojenom základe. Výber formy priemeru je určený obsahom indikátora a zdrojových údajov pre výpočet priemernej hodnoty.

Všetky typy priemerných hodnôt používaných v štatistických štúdiách sú rozdelené do dvoch kategórií:

1) napájacie médium;

2) Konštrukčné priemery.

Prvá kategória priemerných hodnôt zahŕňa: stredný aritmetický, stredný harmonický, stredný geometrický a Stredná kvadratická . Druhá kategória je módaa medián . Zároveň môže mať každý z uvedených typov napriečinnosti napájania dve formy: Ľahký a vážený . Jednoduchá forma priemernej hodnoty sa používa na získanie priemernej hodnoty študovaného atribútu, keď sa výpočet vykonáva podľa nevýznamných štatistík, alebo keď sa každá možnosť v agregácii nachádza len raz. Vážené priemery Zavolajte hodnoty, ktoré berú do úvahy, že možnosti pre znaky funkcie môžu mať rôzne čísla v súvislosti s ktorými je každá možnosť znásobiť zodpovedajúcu frekvenciu. Inými slovami, každá možnosť je "váženie" pri jeho frekvencii. Frekvencia sa nazýva štatistická hmotnosť.

Priemerný aritmetický jednoduchý- najbežnejší typ média. Je rovnaká ako súčet jednotlivých príznakov funkcie rozdelené celkovým počtom týchto hodnôt:

kde x 1, X 2, ..., X N - Individuálne hodnoty meniacej funkcie (možnosti) a n je počet jednotiek agregátu.

Stredná aritmetická vážená Používa sa v prípadoch, keď sú údaje prezentované vo forme distribúcie alebo zoskupení. Vypočíta sa ako množstvo diel volieb na zodpovedajúce frekvencie vydelené súčtom frekvencií všetkých možností:

kde x I.- hodnota i.-D možnosti funkcií; f I. - frekvencia i.Možnosti.

Každá hodnota sa teda váži pri ich frekvencii, takže frekvencia sa niekedy nazýva štatistické šupiny.

Komentár.Pokiaľ ide o priemernú aritmetickú hodnotu bez zadania jeho typu, priemerný aritmetický je jednoduchý.

Tabuľka 12.

Rozhodnutia.Na výpočet, použite vzorec stredného aritmetického váženého:

V priemere je teda jedna trestná vec účty pre dvoch obvinených.

Ak je výpočet priemernej hodnoty vyrobený podľa údajov zoskupených vo forme intervalu distribučnej série, potom je potrebné určiť stredné hodnoty každého intervalu X "I, po ktorom je možné vypočítať priemernú hodnotu stredného aritmetického vzorca, ktorý namiesto XI náhradníka x "i.

Príklad.Údaje o veku zločincov odsúdených za škodlivé sú uvedené v tabuľke:

Tabuľka 13.

Určiť priemerný vek zločincov odsúdených za krádež.

Rozhodnutia.S cieľom určiť priemerný vek zločincov založených na čísle variácie intervalu je potrebné najprv nájsť stredné hodnoty intervalov. Vzhľadom k tomu, interval riadok s otvoreným a posledným intervalom sa uvádza, hodnoty týchto intervalov sa považujú za rovnaké ako hodnoty susedných uzavretých intervalov. V našom prípade je veľkosť prvého a posledného intervalu rovná 10.

Teraz teraz nájdeme priemerný vek zločincov podľa vzorca priemernej aritmetovej váženej:

Priemerný vek zločincov odsúdený za škody je teda približne 27 rokov.

Priemerná harmonická jednoduchá je to množstvo, reverzné médium aritmetika zo zadných hodnôt funkcie:

kde 1 / x I. - Inverzné hodnoty možností a n je počet jednotiek agregátu.

Príklad. Určiť priemerné ročné zaťaženie sudcov okresného súdu, keď zvažuje trestné prípady, prieskum zaťaženia 5 sudcov tohto súdu. Priemerný čas strávený na jednom trestnom konaní pre každý z preskúmaných sudcov sa ukázal byť rovnaký (v dňoch): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Nájdite stredné náklady na jeden zločin Prípad a priemerné ročné zaťaženie sudcov tohto okresného súdu pri zvažovaní trestných vecí.

Rozhodnutia.Ak chcete určiť priemerný čas strávený na jednom trestnom prípade, používame jednoduchý stredný harmonický vzorec:

Aby ste zjednodušili výpočty v príklade, vezmite si počet dní v roku rovný 365, vrátane víkendu (to nemá vplyv na metodiku výpočtu, a pri výpočte podobného ukazovateľa v praxi namiesto 365 dní, je potrebné nahradiť Počet pracovných dní v určitom roku). Potom priemerné ročné zaťaženie sudcov tohto okresného súdu pri zvažovaní trestných vecí bude: 365 (dni): 5,56 ≈ 65,6 (prípady).

Ak by sme mali určiť priemerný čas strávený na jednom trestnom prípade, použili sme stredný aritmetický vzorec, dostali by sme:

365 (dni): 5.64 ≈ 64.7 (prípady), t.j. Priemerné zaťaženie sudcov bolo menej.

Skontrolujte platnosť tohto prístupu. Aby sme to urobili, používame údaje v čase strávenom na jednom trestnom konaní pre každý sudca a vypočítať počet trestných vecí, ktoré každý z nich považuje za rok.

Dostaneme sa teda:

365 (dni): 6 ≈ 61 (prípad), 365 (dni): 5,6 ≈ 65,2 (prípady), 365 (dni): 6.3 ≈ 58 (prípady), \\ t

365 (dni): 4.9 ≈ 74,5 (prípady), 365 (dni): 5,4 ≈ 68 (prípady).

Teraz vypočítame priemerné ročné zaťaženie sudcov tohto okresného súdu pri zvažovaní trestných vecí:

Tí. Priemerné ročné zaťaženie je rovnaké ako pri použití priemernej harmonickej.

Použitie stredne veľkého aritmetiky v tomto prípade je teda nezákonne.

V prípadoch, keď sú známe charakteristické možnosti, ich objemové hodnoty (produkt z možností frekvencie), ale samotné frekvencie nie sú známe, vzorec priemerného harmonického pozastavenia:

,

kde x I. - Hodnoty možností funkcie a W I - Hodnoty hlasitosti možností ( w i \u003d x i · f).

Príklad. Údaje o cene jednotky rovnakého typu tovaru vyrobeného rôznymi inštitúciami trestného výkonného systému a na objem jej vykonávania sú uvedené v tabuľke 14.

Tabuľka 14.

Nájdite priemernú predajnú cenu tovaru.

Rozhodnutia.Pri výpočte priemernej ceny musíme použiť pomer množstva realizácie na počet implementovaných jednotiek. Nepoznáme, že počet implementovaných jednotiek, ale množstvo predaja produktov je známe. Preto, aby sme našli priemernú cenu implementovaného tovaru, použijeme stredný harmonický vážený vzorec. Prijať

Ak je tu vzorca pre strednú aritmetiku, potom môžete získať priemernú cenu, ktorá bude neskutočná:

Stredne geometrické Vypočíta sa z odstránenia koreňa stupňa n z produktu všetkých hodnôt možností funkcií:

,

kde x 1, X 2, ..., X N - jednotlivé hodnoty variácie (možnosti) a

N.- počet jednotiek agregátu.

Tento typ média sa používa na výpočet priemerných mier rastu reproduktorov.

Stredný kvadratickýpoužíva sa na výpočet štandardnej odchýlky, ktorá je indikátorom variácie a bude považovaná za nižšie.

Na určenie štruktúry celkovej štruktúry sa na ktoré sa používajú špeciálne priemery medián a móda alebo takzvané konštrukčné médium. Ak sa priemerný aritmetický je vypočítaný na základe používania všetkých možností pre znaky funkcie, medián a režim charakterizuje hodnotu voľby, ktorá zaberá určitú priemernú pozíciu v poradí (objednanom) riadku. Zjednodušenie jednotiek štatistického agregátu môže byť vykonaná vzostupne alebo znižuje možnosti pre študovaný atribút.

Medián (ja) - Toto je hodnota, ktorá zodpovedá možnosti uprostred hodnoteného riadka. Medián je teda možnosť radu radu, na oboch stranách, ktorých počet súhrnných jednotiek by mal byť v tejto sérii.

Ak chcete nájsť Mediáns, musíte najprv určiť svoje poradové číslo v poradí podľa vzorca:

kde n je objem riadku (počet jednotiek agregátu).

Ak sa séria pozostáva z nepárneho počtu členov, potom sa medián rovná číslu n me. Ak sa počet pozostáva z rovného počtu členov, medián je definovaný ako aritmetický priemer dvoch susedných možností umiestnených v strede.

Príklad.Dankované tyče 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Objem čísla n \u003d 9, čo znamená N me \u003d (9 + 1) / 2 \u003d 5. Preto i \u003d 6, tj. Piata verzia. Ak je riadok 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, t.j. Číslo s párnym počtom členov (n \u003d 8), potom n me \u003d (8 + 1) / 2 \u003d 4.5. Takže medián sa rovná polovici štvrtej a piatej verzie, t.j. I \u003d (9 + 11) / 2 \u003d 10.

V diskrétnych variačných sériách je medián určený nahromadenými frekvenciami. Možnosť frekvencií, počnúc prvou, sú zhrnuté, kým sa stredné číslo neprekročí. Hodnota poslednej Sumblend a bude medián.

Príklad.Nájdite stredné počty obvineného na trestný prípad pomocou tabuľky údajov 12.

Rozhodnutia.V tomto prípade sa objem variačnej série n \u003d 154, preto n me \u003d (154 + 1) / 2 \u003d 77,5. Zhrnutie frekvencií prvých a druhých možností získavame: 75 + 43 \u003d 118, t.j. Prekročili sme mediánové číslo. Znamená me \u003d 2.

V intervale variačnej distribúcie sa interval, v ktorom bude medián umiestnený najprv označiť. On sa volá medián . Toto je prvý interval, ktorého akumulovaná frekvencia presahuje polovicu objemu rozsahu intervalu. Potom je numerická hodnota mediánu určená vzorcom:

kde x ja. - nižšia hranica stredného intervalu; I je veľkosť stredného intervalu; S me-1 - akumulovaná frekvencia intervalu, ktorá predchádza mediánu; f. - frekvencia stredného intervalu.

Príklad.Nájsť medián vekových zločincov odsúdených za výrobu krádeže na základe štatistických údajov uvedených v tabuľke 13.

Rozhodnutia.Štatistiky sú prezentované intervalovým variáciou v blízkosti, znamená to, že ste najprv určili mediánový interval. Objem kombinácie n \u003d 162, teda mediánový interval je 18-28, pretože Toto je prvý interval, ktorého akumulovaná frekvencia (15 + 90 \u003d 105) presahuje polovicu objemu (162: 2 \u003d 81) intervalu variácie. Teraz je numerická hodnota mediánu určená vyššie uvedeným vzorcom:

Polovica tých odsúdených za krádež do 25 rokov.

Móda (MO) Zavolajte hodnotu znaku, ktorá sa najčastejšie nachádza v jednotkách agregátu. Móda sa uchýlil k identifikácii hodnoty funkcie, ktorá má najviac distribúcie. Pre diskrétny riadok módy bude možnosť s najvyššou frekvenciou. Napríklad pre diskrétny riadok uvedený v tabuľke 3 Mo\u003d 1, pretože táto hodnota varianty zodpovedá najvyššej frekvencii - 75. Ak chcete určiť režim intervalu série, najprv určiť modálny Interval (interval s najvyššou frekvenciou). Potom v tomto intervale nájdu hodnotu znamenia, ktoré môžu byť módne.

Jeho hodnota sa nachádza podľa vzorca:

kde x Mo. - nižšia hranica modálneho intervalu; I je hodnota modálneho intervalu; f Mo.- frekvencia modálneho intervalu; f MO-1 - frekvencia intervalu predchádzajúceho modálne; f MO + 1 - frekvencia intervalu po modálnom.

Príklad.Famodo-ozbrojený nútený zločinci odsúdení za škody na krádeži, údaje, na ktorých sú uvedené v tabuľke 13.

Rozhodnutia.Najvyššia frekvencia zodpovedá intervalu 18-28, preto musí byť móda v tomto IRBER. Je určený vyššie uvedeným vzorcom:

Najväčší počet zločincov odsúdení za krádež má tak 24 rokov.

Priemerná hodnota dáva zovšeobecňovaciu charakteristiku celej celkovej celistvosti študovaného fenoménu. Dva agregáty, ktoré majú rovnaké stredné hodnoty, sa však môžu výrazne líšiť od seba podľa stupňa oscilujúceho (variácie) hodnoty študovaného znaku. Napríklad na jednom súde boli vymenovaní tieto dátumy odňatia slobody: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 rokov av ostatných - 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 8, 8, 8 rokov. V oboch prípadoch je priemerná aritmetika 6,7 \u200b\u200broka. Tieto agregáty sa však výrazne líšia medzi sebou rozptyl jednotlivých hodnôt určeného zmyslu pre uväznenie vzhľadom na priemer.

A pre prvý súd, kde je toto šírenie dostatočne veľké, priemerná dĺžka väzenia je nedostatočne odráža celú celkovú situáciu. Ak teda jednotlivé hodnoty atribútu od seba navzájom líšia, potom priemerná aritmetika bude celkom orientačná charakteristika vlastností tejto sady. V opačnom prípade bude priemerná aritmetika nespoľahlivá charakteristika tejto sústavy a jeho použitie v praxi je neúčinné. Preto je potrebné vziať do úvahy variácie hodnôt študovaného atribútu.

Variácia - Toto sú rozdiely v hodnotách akéhokoľvek znamenia v rôznych jednotkách tohto celku v rovnakom období alebo čase alebo čase. Termín "variácie" má latinský pôvod - variatio, čo znamená rozdiel, zmena, volatilita. Vzniká v dôsledku toho, že jednotlivé hodnoty atribútu sú pod kumulatívnym vplyvom rôznych faktorov (podmienky), ktoré sú rôznymi spôsobmi v každom jednotlivom prípade. Na meranie variácie funkcie sa aplikujú rôzne absolútne a relatívne ukazovatele.

Hlavné ukazovatele variácie zahŕňajú: \\ t

1) variácie variácie;

2) Priemerná lineárna odchýlka;

3) disperzia;

4) sekundárna kvadratická odchýlka;

5) variácie koeficientu.

Stručne sa zastavme na každom z nich.

Variácie R Najdostupnejší absolútny ukazovateľ, ktorý je definovaný ako rozdiel medzi najväčšími a najmodernejšími hodnotami rysu jednotiek danej populácie:

Variant variácie (hojdačky oscilácie) je dôležitým indikátorom prenosu funkcie, ale umožňuje vidieť iba extrémne odchýlky, ktoré obmedzujú svoju oblasť použitia. Pre presnejšie charakteristiky variácie funkcie na základe účtovníctva jeho volatility sa používajú iné indikátory.

Stredná lineárna odchýlkaje to aritmetický priemer absolútnych hodnôt odchýlok jednotlivých hodnôt vlastnosti v priemere a je určená vzorcami:

1) pre nevýznamné údaje

2) pre variačná séria

Najrozšírenejšia variácia je však disperzia . Charakterizuje mieru rozptylu hodnôt študovaného atribútu vzhľadom na jeho priemernú hodnotu. Disperzia je definovaná ako priemer odchýlok postavených do námestia.

Jednoduchá disperzia Pre nerezané údaje:

.

Vážená disperzia Pre variačné série:

Komentár.V praxi by sa mali použiť tieto vzorce na výpočet disperzie:

Pre jednoduchú disperziu

.

Pre zavesenú disperziu

Priemerná kvadratická odchýlka - Toto je druhá odmocnina disperzie:

Priemerná kvadratická odchýlka je mertil spoľahlivosti priemeru. Čím menšia je priemerná kvadratická odchýlka, tým viac homogénnejšia je celkom a lepšia je priemerná arithmetika odráža celú celkovú.

Vyššie uvedené opatrenia (zmena variácie, disperzia, priemerná kvadratická odchýlka) sú absolútne ukazovatele, siahovať, ktorý nie je vždy možné o stupni častí označenia. V niektorých úloh je potrebné použiť indikátory relatívneho rozptylu, z ktorých jeden je variácie koeficientu.

Variácie koeficientu - vyslovili sa v percentách priemernej kvadratickej odchýlky na stredný aritmetický:

Koeficient variácií sa používa nielen pre porovnávacie posúdenie variácie rôznych príznakov alebo rovnakého znaku v rôznych množinách, ale aj na charakterizáciu jednotnosti agregátu. Štatistický agregát sa považuje kvantitatívne homogénny, ak sa variant koeficient nepresahuje 33% (pre distribúcie v blízkosti normálnej distribúcie).

Príklad.Nasledujúce dátové deprivácie slobody 50 odsúdených na poskytovanie sankcií vymenovaných Súdom prvého stupňa k nápravnej inštitúcii penitácie systému: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2, 5, 6 , 4, 3, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6, 4 , 4, 3, 1, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Zostavte niekoľko distribúcie z hľadiska väzenia.

2. Nájdite priemernú, disperziu a priemernú kvadratickú odchýlku.

3. Vypočítajte variačný koeficient a záver o homogenite alebo nehomogenite podľa štúdia podľa štúdia.

Rozhodnutia.Ak chcete vytvoriť diskrétny riadok distribúcie, je potrebné definovať možnosti a frekvencie. Voľbou v tejto úlohe je termín odňatia slobody a frekvencia je počet individuálnych možností. Výpočet frekvencií získavame nasledujúci diskrétny počet distribúcie:

Nájdeme priemernú hodnotu a disperziu. Keďže štatistiky sú prezentované diskrétnym variačným číslom, potom pre ich výpočet budeme používať vzorce strednej aritmetovej váženej a disperzie. Dostaneme:

= = 4,1;

= 5,21.

Teraz vypočítame priemernú kvadratickú odchýlku:

Nájdeme variačný koeficient:

V dôsledku toho je štatistický súbor kvantitatívne nehomogénny.

Rozdeje: Štatistika

Možnosť 2.

Stredné hodnoty používané v štatistikách

Úvod ................................................... ..................................... .3.

Teoretická úloha

Priemerná hodnota v štatistike, jeho podstate a podmienkach použitia.

1.1. Podstatou priemernej veľkosti a podmienok aplikácie ............ .4

1.2. Typy priemerných hodnôt .............................................. ....... 8

Praktická úloha

Úloha 1,2,3 .............................................. ....................................... 14

Záver ................................................... ................................................. 21

Zoznam použitých referencií ................................................ ..... ... 23

Úvod

Toto testovanie sa skladá z dvoch častí - teoretických a praktických. V teoretickej časti, taká dôležitá štatistická kategória ako priemerná hodnota s cieľom identifikovať jeho podstatu a podmienky uplatňovania, ako aj pridelenie druhov média a metód ich výpočtu.

Štatistiky, ako viete, študuje hromadné sociálno-ekonomické javy. Každý z týchto javov môže mať inú kvantitatívnu expresiu toho istého znaku. Napríklad plagát rovnakého povolania pracovníkov alebo cien na trhu pre ten istý výrobok atď. Priemerné hodnoty charakterizujú vysoko kvalitné ukazovatele obchodných činností: náklady na obeh, zisky, ziskovosť atď.

Ak chcete preskúmať akúkoľvek kombináciu meniaceho sa (kvantitatívne zmena), štatistiky využívajú priemerné hodnoty.

Podstata strednej veľkosti

Priemerná hodnota je všeobecná kvantitatívna charakteristika množiny jedného typu fenoménu jedným meničom. V ekonomickej praxi sa používa široká škála ukazovateľov vypočítaných vo forme stredných veľkostí.

Najdôležitejšou vlastnosťou priemernej veľkosti spočíva v tom, že predstavuje význam určitej funkcie v celej kombinácii jedného čísla, napriek kvantitatívnym rozdielom vo svojich jednotlivých jednotkách agregátu a vyjadruje to spoločné, čo je neodmysliteľné vo všetkých jednotkách spoločného agregátu. Prostredníctvom charakteristiky jednotky súčtu, charakterizuje celú celkovú celkovú.

Stredné hodnoty sú spojené so zákonom veľkého počtu. Podstatou tejto súvislosti je, že s priemernými náhodnými odchýlkami jednotlivých hodnôt, vzhľadom na činnosť zákona veľkého počtu, hlavný trend rozvoja, nevyhnutnosti, vzoru sa v priemere odhaľuje. Stredné hodnoty umožňujú porovnanie indikátorov súvisiacich s agregátmi s rôznymi počtu jednotiek.

V moderných podmienkach je rozvoj trhových vzťahov v ekonomike stredný v nástroji štúdia objektívnych vzorov sociálno-ekonomických javov. V ekonomickej analýze však nie je možné obmedziť len priemernými ukazovateľmi, pretože veľké závažné nedostatky v činnostiach jednotlivých hospodárskych subjektov môžu byť skryté aj pre všeobecné priaznivé priemery v činnostiach jednotlivých podnikateľských subjektov a výhonkov Nový progresívny. Napríklad distribúcia populácie v príjmoch vám umožňuje identifikovať tvorbu nových sociálnych skupín. Preto spolu s priemernými štatistickými údajmi je potrebné zohľadniť vlastnosti jednotlivých jednotiek agregátu.

Priemerná hodnota je výsledné všetky faktory, ktoré ovplyvňujú študovaný fenomén. To znamená, že pri výpočte priemerných množstiev, účinok náhodných (perturbačných, individuálnych) faktorov, a teda je možné definovať vzory obsiahnuté v študovanom fenoméne. Adolf Ketle zdôraznil, že význam priemerných hodnôt spočíva v možnosti prechodu z jedného do spoločného, \u200b\u200bz náhodného na prirodzenú, a existencia priemerných hodnôt je kategória objektívnej reality.

Štandardné štúdie Hromadné javy a procesy. Každý z týchto javov má spoločné pre celú celkovú a špeciálnu, individuálne vlastnosti. Rozdiel medzi jednotlivými javmi sa nazýva variácia. Ďalšou vlastnosťou masových javov je blízkosť charakteristík individuálnych javov. Interakcia prvkov agregátu vedie k obmedzeniu variácie aspoň časti ich vlastností. Tento trend existuje objektívne. Je vo svojej objektivite, že dôvod na čo najširšie využívanie priemerných hodnôt v praxi av teórii je uzavretá.

Priemerná hodnota v štatistike je všeobecný ukazovateľ charakterizujúci typickú úroveň fenoménu v špecifických podmienkach miesta a času odrážajúcej hodnotu variácie vo výpočte jedným z kvalitatívne homogénny.

Ekonomická prax využíva širokú škálu ukazovateľov vypočítaných vo forme priemerných hodnôt.

Použitie priemerných hodnôt štatistík rieši mnoho úloh.

Hlavná hodnota priemeru spočíva v ich zovšeobecňovacej funkcii, to znamená, že nahradenie mnohých rôznych jednotlivých hodnôt znamenia priemernej hodnoty charakterizujúcej celú sadu javov.

Ak priemerná hodnota sumarizuje kvalitatívne homogénne hodnoty funkcie, je to typická charakteristika funkcie v danej populácii.

Avšak, nesprávne znížiť úlohu priemerných hodnôt len \u200b\u200bpre charakteristiku typických príznakov príznakov v homogénnom na tomto základe agregátov. V praxi moderné štatistiky využívajú priemerné hodnoty, ktoré zovšeobecňujú explicitne homogénne javy.

Priemerný počet národných príjmov na obyvateľa, priemerný výnos zrno plodín v celej krajine, priemerná spotreba rôznych potravín je charakteristika štátu ako systém jednotného ľudu, to sú tzv. Systémové médium.

Systémové priemery môžu charakterizovať priestorové alebo objektové systémy, ktoré existujú súčasne (stav, priemysel, región, planéta Zem atď.) A dynamické systémy predĺžené v čase (rok, desaťročie, sezóna atď.).

Najdôležitejšou vlastnosťou priemernej veľkosti spočíva v tom, že to odráža, že spoločné, čo je obsiahnuté vo všetkých jednotkách skúšobného spaľovania. Hodnoty funkcie jednotlivých jednotiek súpravy kolíšu do jedného smeru alebo druhého pod vplyvom viacerých faktorov, medzi ktorými môžu byť základné aj náhodné. Napríklad priebeh akcií spoločnosti ako celku je určený jeho finančnou pozíciou. Zároveň v určitých dňoch a na samostatných zásob sa tieto akcie z dôvodu okolností môžu predávať na vyššom alebo podhodnotenom kurze. Podstata priemeru a spočíva, že existujú vzájomné odchýlky hodnôt znamenia jednotlivých jednotiek agregátu z dôvodu pôsobenia náhodných faktorov a zohľadňujú sa zmeny spôsobené skutočnými faktormi. To umožňuje, aby sa priemer odrážal typickú úroveň funkcie a abstraktu z jednotlivých charakteristík, ktoré sú obsiahnuté v jednotlivých jednotkách.

Stredná Výpočet - jedna zo spoločných techník zovšeobecnenia; Priemer odráža, že všeobecne, čo je typické (typické) pre všetky jednotky spoločného agregátu, zároveň ignoruje rozdiely v jednotlivých jednotkách. V každom fenoméne a jej vývoji existuje kombinácia náhody a nevyhnutnosti.

Priemer je súhrnná charakteristika vzorov procesu za podmienok, v ktorých tokuje.

Každý priemer charakterizuje študovaný nastavený na ktorejkoľvek jednej funkcii, ale pre charakteristiky akejkoľvek kombinácie je potrebný opis jeho typických znakov a kvalitatívnych funkcií stredne veľkým systémom. Preto v praxi domácej štatistiky študovať sociálno-ekonomické javy, spravidla sa vypočíta systém priemerov. Napríklad priemerný mzdový ukazovateľ sa hodnotí spolu s ukazovateľmi priemernej výroby, diaľnic a energetickej dopravy práce, stupňa mechanizácie a automatizácie práce atď.

Priemer sa musí vypočítať s prihliadnutím na hospodársky obsah študovaného indikátora. Preto pre špecifický ukazovateľ použitý v sociálno-ekonomickej analýze je možné vypočítať iba jednu skutočnú hodnotu priemeru na základe vedeckej metódy výpočtu.

Priemerná hodnota je jedným z najdôležitejších všeobecných štatistických ukazovateľov, ktorá charakterizuje množinu jedného typu javov podľa akéhokoľvek kvantitatívne variaging. Priemerná štatistika je všeobecné ukazovatele, čísla vyjadrujúce typické charakteristické veľkosti verejných javov pre jednu kvantitatívne meničnú značku.

Názory na stredné veľkosti

Typy priemerných hodnôt sa líšia primárne s majetkom, ktorý musí byť parameter pôvodnej variácie jednotlivých hodnôt funkcie uložený nezmenený.

Stredný aritmetický

Priemerná aritmetická hodnota sa nazýva takáto priemerná charakteristická hodnota pri výpočte, ktorú celkový objem vlastnosti v agregáte zostáva nezmenený. V opačnom prípade možno povedať, že priemerná aritmetická hodnota je priemerom, je alegória. Pri výpočte ho celkový objem označenia mentálne distribuovaný medzi všetkými jednotkami celistvosti.

Priemerná aritmetika sa používa, ak sú známe hodnoty spriemerovaného funkcie (X) a počet jednotiek súpravy s určitou hodnotou funkcie (F).

Priemerný aritmetický je jednoduchý a vážený.

Priemerný aritmetický jednoduchý

Jednoduchá sa používa, ak sa každá charakteristická hodnota nastane raz, t.j. Pre každú hodnotu x funkcie F \u003d 1, alebo ak počiatočné údaje nie sú objednané a nie je známe, koľko jednotiek má určité hodnoty funkcie.

Stredný aritmetický vzorec má formulár:

kde je priemerná hodnota; X - Význam najmodernejšej funkcie (možnosť) je počet jednotiek spoločného agregátu.

Stredná aritmetická vážená

Na rozdiel od jednoduchej priemernej priemernej aritmetickej váženej aplikovanej, ak sa každá hodnota funkcie X je niekoľkokrát, t.j. Pre každú hodnotu funkcie f ≠ 1. Tento priemer sa široko používa pri výpočte priemeru na základe diskrétneho rozsahu distribúcie:

kde je počet skupín, X - Hodnota priemeru, F-hmotnosť hodnoty znakovej hodnoty (frekvencia, ak F je počet jednotiek súpravy; frekvencia, ak je frakcia jednotiek s možnosťou X v celkovom celkovom množstvo celistvosti).

Stredne harmonické

Spolu s priemernou aritmetikou sa v štatistike používa priemerná harmonická hodnota, zvrátite strednú aritmetiku hodnôt spätnej väzby. Rovnako ako priemerný aritmetický, môže to byť jednoduché a pozastavené. Používa sa, ak nie sú potrebné váhy (F I) v zdrojových údajoch nie sú špecifikované priamo a továreň v jednom z dostupných ukazovateľov (tj keď čitateľ pôvodného pomeru priemeru, ale nie je známy svojím denominátorom) .

Stredné Harmonické pozastavené

Produkt XF poskytuje objem spriemerovaného znaku X pre kombináciu jednotiek a označuje W. Ak v zdrojových údajoch existujú hodnoty spriemerovaného funkcie a objem spriemerovaného znaku W sa na výpočet priemeru používa harmonická vážená hmota:

kde X je význam spriemerovaného znaku X (možnosť); W - Možnosti hmotnosti X, objem spriemerovaného znaku.

Priemerná harmonická non-pozastavená (jednoduchá)

Táto forma priemeru používaného oveľa menej často má nasledujúci formulár:

kde X je význam spriemerovaného znaku; N - počet hodnôt x.

Tí. Toto je reverzná veľkosť priemerného aritmetického jednoduchého zo zadných hodnôt funkcie.

V praxi sa priemerná harmonická jednoduchá uplatňuje zriedkavo, v prípadoch, keď sú hodnoty wels pre jednotky agregátu rovnaké.

Stredne kvadratické a stredne kubické

V niektorých prípadoch, v ekonomickej praxi, potreba výpočtu priemernej charakteristiky znamenia vyjadrené v štvorcových alebo kubických jednotkách merania. Potom sa použije priemerná kvadratická kvadratická (napríklad na výpočet priemernej veľkosti vedľajších a štvorcových úsekov, priemerné priemery rúrok, kmeňov atď.) A priemerný kubický (napríklad pri určovaní priemernej strany a kocky).

Ak je pri výmene individuálnych hodnôt znaku na priemernej hodnote, je potrebné zachovať nezmenený súčet štvorcov počiatočných hodnôt, potom bude priemer kvadratickým médiom, jednoduchým alebo váženým.

Stredne kvadratické jednoduché

Jednoduchá sa používa, ak každá hodnota znaku X nastáva raz, vo všeobecnosti to vyzerá:

kde je štvorec hodnôt spriemerovaného znaku; - počet jednotiek agregátu.

Stredne kvadratické vážené

Priemerná kvadratická vážená vážená sa používa, ak sa každá hodnota spriemerovaného funkcie X nájde Fi-Times:

,

kde f - možnosti hmotnosti x.

Stredne kubické jednoduché a vážené

Priemerná kubická je jednoduchá je kubický koreň súkromiska z rozdelenia množstva kocky jednotlivých značiek pre ich číslo:

kde - hodnoty funkcie, n - ich číslo.

Stredne kubické vážené:

,

kde varianty f-hmotnosti x.

Stredné kvadratické a kubické majú obmedzené použitie v praxi štatistiky. Štatistiky priemernej kvadratickej, ale nie z možností sami , A od ich odchýlok od priemeru pri výpočte ukazovateľov variácie.

Priemer nie je možné vypočítať pre všetky, ale pre ktorúkoľvek časť jednotiek agregátu. Príkladom takéhoto priemeru môže byť priemerný progresívny ako jeden zo súkromného média, vypočítaný nie pre všetky, ale len pre "najlepšie" (napríklad ukazovatele nad alebo pod priemerom).

Stredne geometrické

Ak sa hodnoty spriemerovaného atribútu výrazne prihlásili od seba alebo sú stanovené koeficientmi (rýchlosť rastu, indexy cien), potom sa priemerný geometrický výpočet používa.

Priemerná geometrická sa vypočíta odstránením koreňového stupňa a z diel jednotlivých hodnôt - možnosti funkcií x:

kde n je počet možností; P - Znamenie práce.

Najširšie využitie priemerného geometrického prijatého na určenie priemerných miery zmeny v radoch dynamiky, ako aj v radoch distribúcie.

Priemerné hodnoty sú všeobecné ukazovatele, v ktorých sa vyskytujú výrazy všeobecných podmienok, vzor podľa tohto fenoménu. Štatistické priemery sa vypočítajú na základe hmotnostných údajov správne štatisticky organizované hromadné sledovanie (pevné alebo selektívne). Štatistický priemer však bude objektívny a typický, ak sa vypočítavajú hmotnostné údaje pre kvalitatívne homogénnu celkovú (masové javy). Použitie priemeru by malo pokračovať z dialektického chápania kategórií spoločných a jednotlivcov, hmotnosti a slobodného.

Kombinácia bežných priemerov so skupinovým priemerom umožňuje obmedziť kvalitatívne homogénny agregát. Výpočet hmotnosti objektov, ktoré tvoria komplexný fenomén, na interne homogénne, ale kvalitatívne rôzne skupiny, charakterizujúce každú zo skupín jej priemeru, môžu otvoriť rezervy procesu vznikajúcej novej kvality. Napríklad distribúcia populácie v príjmoch vám umožňuje identifikovať tvorbu nových sociálnych skupín. V analytickej časti sme sa pozreli na súkromný príklad použitia priemernej hodnoty. Summovanie je možné povedať, že rozsah a používanie stredných hodnôt v štatistike je pomerne široký.

Praktická úloha

Číslo úlohy 1.

Identifikujte priemernú mieru nákupu a priemernú mieru predaja jedného a USD

Stredný nákupný kurz

Stredný predaj

Číslo úlohy 2.

Dynamika objemu samo-stravovacích výrobkov regiónu Čeľabinského na roky 1996-2004 je uvedený v tabuľke v porovnateľných cenách (milión rubľov)

Vymazať sériu A a B. Ak chcete analyzovať množstvo dynamiky výroby hotových výrobkov, vypočítajte:

1. Absolútne zisky, miery rastu a miery rastu a základné

2. Priemerná ročná výroba hotových výrobkov

3. Priemerná ročná miera rastu a rast produktov spoločnosti

4. Urobte analytické zarovnanie viacerých reproduktorov a vypočítajte prognózu na rok 2005

5. Vedro graficky množstvo reproduktorov

6. Ukončite záver na základe výsledkov rečníka

1) UI B \u003d UI-U1 UI C \u003d UI-U1

y2 B \u003d 2,175 - 2,04 Y2 C \u003d 2,175 - 2, 04 \u003d 0,135

y3B \u003d 2,505 - 2,04 Y3 C \u003d 2, 505 - 2,175 \u003d 0,33

y4 B \u003d 2,73 - 2,04 Y4 C \u003d 2, 73 - 2,505 \u003d 0,225

y5 B \u003d 1,5 - 2,04 Y5 C \u003d 1, 5 - 2,73 \u003d 1,23

y6 B \u003d 3,34 - 2,04 Y6 C \u003d 3, 34 - 1,5 \u003d 1,84

y7 B \u003d 3,6 3 - 2,04 Y7 C \u003d 3, 6 3 - 3,34 \u003d 0,29

y8 B \u003d 3,96 - 2,04 Y8 C \u003d 3, 96 - 3,63 \u003d 0,33

y9 B \u003d 4,41-2,04 Y9 C \u003d 4, 41 - 3,96 \u003d 0,45

Tr b2. Tr c2.

TR B3. TR CH3.

TR B4. Tr c4.

Tr b5. TR TS5

Tr b6. Tr c6.

TR B7. TR TS7.

TR B8. Tr c8.

TR B9 Tr c9.

TR B \u003d (TPRB * 100%) - 100%

TR B2 \u003d (1,066 * 100%) - 100% \u003d 6,6%

TD C3 \u003d (1,151 * 100%) - 100% \u003d 15,1%

2) y. miliónov rubľov. - priemerný výkon produktu

2,921 + 0,294*(-4) = 2,921-1,176 = 1,745

2,921 + 0,294*(-3) = 2,921-0,882 = 2,039

(yt-y) \u003d (1,745-2,04) \u003d 0,087

(yt-yt) \u003d (1,745-2,921) \u003d 1,382

(Y-yt) \u003d (2,04-2,921) \u003d 0,776

TP.

Do.

y2005 \u003d 2,921 + 1,496 * 4 \u003d 2,921 + 5,984 \u003d 8,905

8,905+2,306*1,496=12,354

8,905-2,306*1,496=5,456

5,456 2005 12,354

Číslo úlohy 3.

Štatistika veľkoobchodných dodávok potravín a nepotravinového a maloobchodného reťazca v rokoch 2003 a 2004 sú uvedené v príslušných grafoch.

Podľa tabuľky 1 a 2

1. Nájdite všeobecnú veľkoobchodnú dodávku potravinárskych výrobkov v skutočných cenách;

2. Nájdite všeobecný index skutočnej dodávky potravinárskych výrobkov;

3. Porovnajte všeobecné indexy a vykonajte príslušný výstup;

4. Nájdite všeobecný index dodávky nepotravinárskych výrobkov v skutočných cenách;

5. Nájdite všeobecný index fyzického objemu dodávky nepotravinárskych výrobkov;

6. Porovnajte získané indexy a uzatvárať do nepotravinárskych výrobkov;

7. Nájdite konsolidované všeobecné indexy poskytovania celej automobilovej hmoty v skutočných cenách;

8. Nájdite konsolidovaný všeobecný index fyzického objemu (cez celú hmotnosť výrobku);

9. Porovnajte prijaté súhrnné indexy a vykonajte príslušný výstup.

	Základný čas			Podkazovacie obdobie (2004)			Dodávky vykazovaného obdobia v cien základného obdobia
			1,291-0,681=0,61= - 39 Záver Na záver, sumarizujte. Priemerné hodnoty sú všeobecné ukazovatele, v ktorých sa vyskytujú výrazy všeobecných podmienok, vzor podľa tohto fenoménu. Štatistické priemery sa vypočítajú na základe hmotnostných údajov správne štatisticky organizované hromadné sledovanie (pevné alebo selektívne). Štatistický priemer však bude objektívny a typický, ak sa vypočítavajú hmotnostné údaje pre kvalitatívne homogénnu celkovú (masové javy). Použitie priemeru by malo pokračovať z dialektického chápania kategórií spoločných a jednotlivcov, hmotnosti a slobodného. Priemerný odráža, že všeobecne, ktorý je zložený v každom jedincovi, jeden objekt vďaka tomuto objektu je dosiahnutý na identifikáciu vzorov neoddeliteľnej hromadnej verejnej fenomény a neviditeľné v jednotlivých javoch. Odchýlka jednotlivca zo všeobecného vykazovania procesu vývoja. V niektorých izolovaných prípadoch je možné položiť prvky nových, pokročilých. V tomto prípade je to obzvlášť konkrétny faktor, ktorý sa týka pozadia priemerných hodnôt, charakterizuje vývojový proces. Preto uprostred a odráža charakteristickú, typickú, reálnu úroveň študovaných javov. Charakteristiky týchto úrovní a ich zmeny v čase a vo vesmíre sú jednou z hlavných úloh priemerných hodnôt. Takže prostredníctvom priemerného sa prejavuje, napríklad, ktoré sú v určitom štádiu ekonomického rozvoja, ktoré sú súčasťou podnikov; Zmena blahobytu obyvateľstva sa odráža v priemerných mzdových ukazovateľoch, príjmoch rodiny vo všeobecnosti a pre jednotlivé sociálne skupiny, úroveň spotreby výrobkov, tovaru a služieb. Priemerný ukazovateľ je hodnota typickej (normálnej normálnej, zriadenej ako celku), ale je podľa toho, čo je vytvorené v normálnych, prírodných podmienkach existencie konkrétneho masového fenoménu, ktorý je považovaný za celok. Priemer zobrazuje objektívnu vlastnosť fenoménu. V skutočnosti sú často len odchýlilo sa javy a priemer ako javy nesmie existovať, hoci koncepcia typického fenoménu sa požičiava z reality. Priemerná hodnota je odrazom hodnoty študovaného atribútu, a preto sa meria v rovnakom rozmere, že táto funkcia. Existujú však rôzne spôsoby približného určenia úrovne distribúcie čísla na porovnanie konsolidovaných príznakov, ktoré nie sú priamo porovnateľné navzájom, napríklad priemerná populácia vo vzťahu k území (priemerná hustota obyvateľstva). V závislosti od toho, ktorý faktor potrebujete na odstránenie, obsah priemeru bude. Kombinácia bežných priemerov so skupinovým priemerom umožňuje obmedziť kvalitatívne homogénny agregát. Výpočet hmotnosti objektov, ktoré tvoria komplexný fenomén, na interne homogénne, ale kvalitatívne rôzne skupiny, charakterizujúce každú zo skupín jej priemeru, môžu otvoriť rezervy procesu vznikajúcej novej kvality. Napríklad distribúcia populácie v príjmoch vám umožňuje identifikovať tvorbu nových sociálnych skupín. V analytickej časti sme sa pozreli na súkromný príklad použitia priemernej hodnoty. Sublisom, možno povedať, že rozsah a využívanie priemerných hodnôt v štatistike je pomerne široké Bibliografia 1. Gusarov, V.M. Teória kvality štatistiky [Text]: Štúdie. Manuál / V.M. Doplnok Gusarov pre univerzity. - M., 1998 2. Edrokova, N.N. Všeobecná teória štatistiky [Text]: Tutorial / Ed. N.N. EROCHOVA - M.: Financie a štatistiky 2001 - 648 str. 3. ELISEEVA I.I., YUZBASHEV M.M. Všeobecná teória štatistiky [Text]: Tutorial / Ed. CHL-CORR. RAS I.I. LESHEEVA. - 4. ed., Pereerab. a pridať. - M.: Financie a štatistiky, 1999. - 480C.: IL. 4. EFIMOVA M.R., Petrova E.v., Rumyantsev V.N. Teória všeobecnej štatistiky: [Text]: Návod. - m.: INFRA-M, 1996. - 416C. 5. RYOWOVA, N.N. Všeobecná teória štatistiky [Text]: Tutorial / Ed. N.N. Rowowza - M.: Financie a štatistiky, 1984. Gusarov V.M. Teória štatistiky: vzdelávanie. Príručka pre univerzity. - M., 1998.-str. 60. ELISEEVA I.I., YUZBASHEV M.M. Teória všeobecnej štatistiky. - M., 1999.-str. 76. Gusarov V.M. Teória štatistiky: vzdelávanie. Príručka pre univerzity. -M., 1998.-P.61.

Stredné hodnoty sa týkajú zovšeobecňovania štatistických ukazovateľov, ktoré poskytujú konsolidovanú (konečnú) charakteristiku hromadných sociálnych fenoménov, pretože sú postavené na základe veľkého počtu jednotlivých hodnôt označenia variácie. Na objasnenie podstaty priemernej veľkosti je potrebné zvážiť znaky tvorby hodnôt znakov týchto javov, podľa ktorého sa vypočíta priemerná hodnota.

Je známe, že jednotky každého hmotnostného fenoménu majú početné znamenia. Čokoľvek z týchto značiek berieme, jeho hodnoty v jednotlivých jednotkách budú rôzne, menia, alebo, ako sa hovorí v štatistike, sa líšia od jednej jednotky do druhého. Plat zamestnanec je určený jeho kvalifikáciou, charakter práce, pracovných skúseností a rad ďalších faktorov, preto sa mení vo veľmi širokom limitoch. Kumulatívny vplyv všetkých faktorov určuje veľkosť príjmov každého zamestnanca, napriek tomu môžeme hovoriť o priemernej mesačnej mzde pracovníkov rôznych sektorov hospodárstva. Tu pôsobíme v typickej charakteristickej hodnote variačného označenia, ktorá sa týka jednotky mnohých agregátov.

Priemerná hodnota odráža spoločný Ktorá je charakteristická pre všetky jednotky agregátu. Zároveň vyvažuje vplyv všetkých faktorov pôsobiacich na hodnotu znamenia jednotlivých jednotiek agregátu, akoby ich vzájomne chváli. Úroveň (alebo veľkosť) akéhokoľvek verejného fenoménu je spôsobená činnosťou dvoch skupín faktorov. Niektoré z nich sú spoločné a hlavné, trvalé, úzko súvisiace s povahou študovaného fenoménu alebo procesu a formy typický Pre všetky jednotky spoločného agregátu, ktorý sa odráža v priemernej hodnote. Iní sú jednotlivec Ich činnosť je slabšia a nosí epizodický, náhodný charakter. Pôsobia v opačnom smere, spôsobujú rozdiely medzi kvantitatívnymi vlastnosťami jednotlivých jednotiek agregátu, ktoré sa snažia zmeniť konštantnú hodnotu študijných znakov. Činnosť jednotlivých príznakov je splatený v priemere. V súhrnnom účinku typických a jednotlivých faktorov, ktoré sú vyvážené a vzájomne splatené v zovšeobecňovacích charakteristikách, je všeobecne známe pre základné matematické štatistiky zákonom veľkých čísel.

V agregácii sa jednotlivé hodnoty značiek spájajú do celkovej hmotnosti a ako keby boli rozpustené. Odtiaľ I. priemerná hodnota Pôsobí ako "neosobný", ktorý sa môže odchýliť od jednotlivých príznakov príznakov, sa nezdravá kvantitatívne s ktorýmkoľvek z nich. Priemerná hodnota odráža všeobecné, charakteristické a typické pre celú kombináciu v dôsledku vzájomnej kosti v nej náhodných, atypických rozdieloch medzi príznakmi jeho jednotlivých jednotiek, pretože jeho hodnota je definovaná, pretože bola vo všeobecnosti rovnaká vo všetkých dôvodoch.

Avšak, aby priemerná hodnota odrážala najtypickejšiu hodnotu značky, mala by byť určená pre žiadne agregáty, ale len pre agregáty pozostávajúce z kvalitatívne homogénnych jednotiek. Táto požiadavka je hlavnou podmienkou pre vedecky informované používanie priemerných hodnôt a znamená úzky vzťah metódy priemerných množstiev a metód zoskupenia v analýze sociálno-ekonomických javov. V dôsledku toho je priemerná hodnota governizačným ukazovateľom, ktorý charakterizuje typickú úroveň variácie vo výpočte na jednotku homogénny agregát v konkrétnych podmienkach miesta a času.

Určenie, teda podstata priemerných hodnôt je potrebné zdôrazniť, že správny výpočet akéhokoľvek priemeru znamená tieto požiadavky: \\ t

• kvalitatívna homogénnosť agregátu, podľa ktorej sa vypočíta priemerná hodnota. To znamená, že výpočet priemerných hodnôt by mal byť založený na metóde zoskupovania, ktorý zabezpečuje pridelenie homogénneho, rovnakého typu javov;
• eliminácia vplyvu na výpočet priemernej hodnoty náhodných, čisto individuálnych príčin a faktorov. To sa dosahuje v prípade, keď výpočet priemeru je založený na dostatočne masívnom materiáli, v ktorom sa prejavuje zákon veľkého počtu a všetky nehody sú vzájomne splatené;
• pri výpočte priemernej hodnoty je dôležité stanoviť účel jeho výpočtu a tzv. definujúci (Nehnuteľnosť), na ktorú by mala byť orientovaná.

Určenie indikátora sa môže objaviť ako súčet hodnôt spriemerovaného funkcie, súčet jeho zadných hodnôt, diel jeho hodnôt atď. Spojenie medzi rozhodujúcim indikátorom a priemernou hodnotou je vyjadrená: ak Všetky hodnoty priemeru sú nahradené strednou hodnotou, potom ich množstvo alebo práca v tomto prípade nezmení indikátor definovania. Na základe tejto súvislosti je určujúcim ukazovateľom s priemernou hodnotou počiatočným kvantitatívnym vzťahom pre priamy výpočet priemernej hodnoty. Schopnosť priemerných hodnôt udržiavať vlastnosti štatistických súborov určenie majetku.

Priemerná hodnota vypočítaná ako celku pre agregátu spoločné médium; Priemerné hodnoty vypočítané pre každú skupinu - skupinové priemery. Celkový priemer odráža celkové vlastnosti fenoménu podľa štúdie, priemerný priemer je charakteristika fenoménu, ktorý sa vyvíja v špecifických podmienkach tejto skupiny.

Metódy výpočtu môžu byť rôzne, preto v štatistikách existuje niekoľko typov priemerných hodnôt, hlavné aritmetické, priemerné harmonické a stredné geometrické sa rozlišuje.

V ekonomickej analýze je využívanie priemerných hodnôt hlavným nástrojom na posúdenie výsledkov vedeckého a technologického pokroku, spoločenských podujatí, nájdenie rezerv na rozvoj ekonomiky. Zároveň treba pripomenúť, že nadmerná vášeň pre priemerné ukazovatele môže viesť k zaujaté závery počas hospodárskej a štatistickej analýzy. Je to spôsobené tým, že priemerné hodnoty, ktoré sú všeobecné ukazovatele, sú vykúpené, ignorujú rozdiely v kvantitatívnych príznakoch jednotlivých jednotiek agregátu, ktoré skutočne existujú a môžu byť nezávislým záujmom.

Názory na stredné veľkosti

Štatistiky používajú rôzne typy priemerných hodnôt, ktoré sú rozdelené do dvoch veľkých tried:

• napájacie médium (priemerný harmonický, stredný geometrický, priemerný aritmetický, stredný štvorkolový, stredne kubický);
• Štrukturálne médium (móda, medián).

Pre výpočet médium Musíte použiť všetky dostupné hodnoty funkcií. Móda a medián Stanoví sa len distribučná štruktúra, takže sa nazývajú konštrukčné, polohové priemery. Medián a móda sa často používajú ako priemerná charakteristika v tých agregátoch, kde výpočet strednej energie je nemožný alebo nesmierny.

Najčastejším typom strednej veľkosti je priemerná aritmetika. Pod stredný aritmetický Je zrejmé ako význam znaku, ktorý by mal každú jednotku agregátu, ak celkový výsledok všetkých značiek označenia bol rozdelený rovnomerne medzi všetkými jednotkami agregátu. Výpočet tejto hodnoty sa znižuje na súčet všetkých hodnôt variácie a rozdelenia celkovej sumy celkového počtu jednotiek súladu. Napríklad päť pracovníkov vykonal objednávku na výrobu častí, zatiaľ čo prvých 5 dielov, druhý - 7, tretí - 4, štvrtý - 10, piaty - 12. Vzhľadom k tomu, v zdrojových údajoch, hodnota Každá možnosť sa stretla len raz, aby sa určila priemerná ťažba jedného, \u200b\u200bpracovník by mal aplikovať vzorec jednoduchého stredného aritmetika:

i.E. V našom príklade je priemerná generácia jedného workshopu rovná

Spolu s jednoduchou strednou aritmetickou štúdiou stredná aritmetická vážená. Napríklad vypočítame priemerný vek študentov v skupine 20 ľudí, ktorých vek sa pohybuje od 18 do 22 rokov, kde xi - možnosti spriemerovaného znaku, \\ t fi - Frekvencia, ktorá ukazuje, koľkokrát sa nachádza i-e. Hodnota v agregáte (tabuľka 5.1).

Tabuľka 5.1.

Študenti stredného veku

Použitie vzorca stredného aritmetického váženého, \u200b\u200bdostaneme:

Ak chcete vybrať priemernú váhu aritmetiku, existuje špecifické pravidlo: ak existuje niekoľko údajov o dvoch ukazovateľoch, z ktorých je potrebné vypočítať

priemerná hodnota a číselné hodnoty denominátora jej logického vzorca sú známe a hodnoty nuterátora nie sú známe, ale možno nájsť ako produkt týchto ukazovateľov, priemerná hodnota by mala byť vypočítaná stredným aritmetickým vzorec.

V niektorých prípadoch je povaha pôvodných štatistických údajov taká, že výpočet priemerného aritmetika stráca jeho význam a len jeden typ strednej veľkosti môže slúžiť ako jediný generalizačný indikátor - stredná harmonická. V súčasnosti sa výpočtové vlastnosti priemerného aritmetiky stratili svoj význam vo výpočte všeobecných štatistických ukazovateľov z dôvodu rozšíreného zavedenia elektronických počítačov. Veľký praktický význam získal priemernú harmonickú hodnotu, ktorá je tiež jednoduchá a pozastavená. Ak sú známe číselné hodnoty logického čísla logického vzorca, a hodnoty denominátora nie sú známe, ale možno nájsť ako súkromné \u200b\u200brozdelenie jedného indikátora na strane druhej, priemerná hodnota sa vypočíta podľa vzorca priemerná harmonická vážená.

Napríklad, nechajte vedieť, že auto prešiel prvých 210 km rýchlosťou 70 km / h, a zvyšných 150 km rýchlosťou 75 km / h. Určite priemernú rýchlosť vozidla v celej ceste 360 \u200b\u200bkm pomocou stredného aritmetického vzoru, je to nemožné. Možnosti sú rýchlosti v samostatných oblastiach xj. \u003d 70 km / h a X2 \u003d 75 km / h a váženie (FI) sa považujú za zodpovedajúce segmenty cesty, potom sa práca hmotnosti nebude mať fyzický ani hospodársky význam. V tomto prípade je význam získaný súkromnými úsekami segmentov cesty na zodpovedajúce rýchlosti (možnosti XI), t.j. náklady na prechod jednotlivých častí cesty (FI / xI). Ak segmenty cesty označujú prostredníctvom fi, potom celý spôsob, ako vyjadriť ako σFI, a čas strávený na celej ceste je ako σ FI / xi , Potom sa priemerná rýchlosť nachádzajú ako súkromné \u200b\u200bod rozdelenia celej cesty na celkové časové náklady:

V našom príklade dostaneme:

Ak sa používa priemerná harmonická hmotnosť všetkých variantov (f), je rovnaká, potom sa môže použiť namiesto váženej jednoduchá (neuveriteľná) priemerná harmonická:

kde XI sú samostatné možnosti; n. - počet podmienok priemeru. V príklade, s rýchlosťou, jednoduchý vysoký harmonický by mohol byť aplikovaný, ak sa rovná segmentom dráhy prechádzal pri rôznych rýchlostiach.

Akýkoľvek priemer sa musí vypočítať, aby pri výmene každej verzie spriemerovaného funkcie, veľkosť určitého konečného, \u200b\u200bvšeobecného indikátora, ktorý je spojený s priemerným indikátorom, sa nezmenil. Takže pri výmene skutočných rýchlostí na samostatných segmentoch ciest ich priemernej veľkosti (priemerná rýchlosť) by sa celková vzdialenosť nemala meniť.

Vzorec (vzorec) priemernej hodnoty je určený povahou (mechanizmus) vzťahu tohto konečného indikátora s priemerom, takže konečný indikátor, ktorej hodnota by sa nemala meniť, keď sa volá možnosti ich priemernej hodnoty určenie indikátora. Pre výstup vzorca musí byť priemer zostavený a vyriešený rovnicou s použitím vzťahu spriemerovaného indikátora s rozhodujúcim. Táto rovnica je postavená nahradením variantov priemeru (indikátor) ich priemernej hodnoty.

Okrem stredného aritmetického a stredného harmonického štatistiky sa používajú iné typy (formy) priemernej hodnoty. Sú všetky špeciálne prípady priemerný priemer. Ak vypočítate všetky typy napriek napájania pre rovnaké údaje, potom hodnoty

budú to isté, tu je pravidlo maják médium. So zvýšením priemerného priemeru sa samotná priemerná hodnota zvyšuje. Najčastejšie používané vzorce pre výpočet rôznych typov napriečinnosti energie sú uvedené v tabuľke. 5.2.

Tabuľka 5.2.

Priemerné geometrické platí, ak existuje n. Rastové koeficienty, zatiaľ čo jednotlivé hodnoty funkcie sú spravidla relatívne hodnoty reproduktorov vytvorených vo forme hodnôt reťazca ako vzťah k predchádzajúcej úrovni každej úrovne v mnohých reproduktoroch . Priemerný charakterizuje priemerný koeficient rastu. Priemerná geometrická jednoduchá Vypočítané vzorcom

Vzorec stredné geometrické pozastavené Má nasledujúci formulár:

Vyššie uvedené vzorce sú identické, ale jeden sa používa na súčasných koeficientoch alebo miere rastu, a druhý - s absolútnymi hodnotami úrovní riadkov.

Stredný kvadratický Používa sa vo výpočte s hodnotami štvorcových funkcií, používa sa na meranie stupňa množstva jednotlivých hodnôt funkcie okolo priemerného aritmetiky v radoch distribúcie a vypočíta sa vzorcom

Stredne kvadratické vážené Vypočítané pre iného vzorca:

Stredný kubický Používa sa pri výpočte s hodnotami funkcií kubických a vypočíta sa vzorcom

stredne kubické vážené:

Všetky vyššie uvedené priemery môžu byť reprezentované ako všeobecný vzorec:

kde je priemerná hodnota; - individuálna hodnota; n. - počet jednotiek spoločného agregátu; k. - Indikátor, ktorý určuje typ média.

Pri používaní rovnakých zdrojových údajov ako viac k. Vo všeobecnom vzorci, napájacie médium, tým väčšia je priemerná hodnota. Z toho vyplýva, že medzi hodnotami priemery napájania je pravidelný pomer:

Priemerné hodnoty opísané vyššie poskytujú všeobecné zastúpenie spoločného agregátu a z tohto hľadiska je ich teoretická, aplikovaná a kognitívna významnosť nepochybne. Stáva sa však, že hodnota priemeru sa nezhoduje s niektorou z vlastne existujúcich možností, takže okrem významov, ktoré sa uvažuje v štatistickej analýze, je vhodné použiť hodnoty špecifických možností, ktoré zaberajú v objednávaní (poradí) znamenia znakov veľmi konkrétnej pozície. Medzi takéto hodnoty sa najčastejšie používajú konštrukčný alebo popisný, priemerný - Móda (MO) a medián (ME).

Móda - Hodnota označenia, ktorá sa najčastejšie nachádza v tejto súzite. S ohľadom na variačné série módy je najbežnejšou hodnotou poradia ROCE, t.j. možnosť s najvyššou frekvenciou. Móda možno použiť pri určovaní obchodov, ktoré sú častejšie navštevované najbežnejšou cenou pre akýkoľvek produkt. Ukazuje veľkosť znaku, ktorá je charakteristická pre významnú časť celkovej hodnoty, je určená vzorcom

kde X0 je nižšia hranica intervalu; h. - veľkosť intervalu; fM. - frekvencia intervalu; fM_1 - Frekvencia predchádzajúceho intervalu; fM +.1 - Frekvencia ďalšieho intervalu.

Medián Nazýva sa možnosť umiestnenú v strede rady. Medián rozdeľuje číslo do dvoch rovnakých častí takým spôsobom, že na oboch stranách je rovnaký počet jednotiek agregátu. V rovnakej dobe, v jednej polovici jednotiek agregátu, hodnota premenného znaku je nižšia ako medián, druhý je viac. Medián sa používa pri štúdiu prvku, ktorého hodnota je väčšia alebo rovnaká alebo rovná alebo v rovnakom čase menšia alebo rovná polovici prvkov rozsahu distribúcie. Medsiana poskytuje všeobecnú predstavu o tom, kde sú hodnoty znamenia sústredené, inými slovami, kde sa nachádza ich centrum.

Popisná povaha mediánu sa prejavuje v tom, že charakterizuje kvantitatívny hranicu hodnôt variačnej charakteristiky, ktorá má polovicu jednotiek agregátu. Úlohou hľadania mediánov pre diskrétny rozsah variácie sa jednoducho vyrieši. Ak sú všetky jednotky viacerých poradových čísiel, poradové číslo stredného variantu je definované ako (p +1) / 2 s nepárnym počtom členov p. Ak je počet členov riadka, potom bude medián Priemerná hodnota dvoch možností, ktoré majú poradové čísla n. / 2 I. n. / 2 + 1.

Pri určovaní mediánu v riadkoch intervalov je určený interval, v ktorom je (stredný interval). Tento interval sa vyznačuje skutočnosťou, že jeho nahromadené množstvo frekvencií sa rovná alebo presahuje hemishamm všetky frekvencie riadku. Výpočet mediánov podľa čísla variácie intervalu je vyrobený vzorcom

kde X0. - spodnú hranicu intervalu; h. - veľkosť intervalu; fM. - frekvencia intervalu; f.- počet členov série;

∫M-1 - súčet nahromadených členov série, ktoré predchádzalo.

Spolu s mediánom pre kompletnejšie vlastnosti štruktúry celkovej súpravy sa používajú iné hodnoty možností, ktoré zaberajú v poradí riadku úplne definitívnej pozície. Tie obsahujú štvrťrok a decel. Quarters zdieľajú množstvo frekvencií v 4 rovnakých častiach a decil - na 10 rovnakých častiach. Tri štvrtiny sú tri a dekorácie - deväť.

Medián a móda, na rozdiel od priemerného aritmetika, nepatria individuálne rozdiely v hodnotách meniaceho sa funkcie, a preto sú ďalšie a veľmi dôležité vlastnosti štatistického agregátu. V praxi sa často používajú namiesto priemeru alebo spolu s ním. Je obzvlášť vhodné vypočítať medián a módu v prípadoch, keď celková sada obsahuje určitý počet jednotiek s veľmi veľkou alebo veľmi malú hodnotu odchýlky. Tieto, nie veľmi charakteristické pre nastavenú hodnotu možností, ktoré ovplyvňujú hodnotu priemernej aritmetiky, neovplyvňujú stredné a módne hodnoty, čo robí najnovšie veľmi cenné pre ekonomickú a štatistickú analýzu.

Ukazovatele variácie

Účelom štatistickej štúdie je identifikovať základné vlastnosti a vzory študovaného štatistického agregátu. V procese konsolidovaného spracovania štatistických pozorovacích údajov riadky distribúcie. Existujú dva typy distribučných sérií - atribút a variácie v závislosti od toho, či je označenie založené na základe zoskupenia, kvalitatívneho alebo kvantitatívneho.

Variačný Nazývajú rady distribúcie vytvorenej kvantitatívnym základom. Hodnoty kvantitatívnych prvkov v jednotlivých jednotkách celkovej sústavy nie sú konštantné, viac alebo menej rôznymi medzi sebou. Takýto rozdiel vo veľkosti znamenia sa nazýva variácie. Samostatné numerické hodnoty funkcie nachádzajúcej sa v spoločnom agregáte sa nazývajú variantov hodnôt. Prítomnosť variácie v jednotlivých jednotkách agregátu je spôsobená účinkom veľkého počtu faktorov na tvorbe úrovne znaku. Štúdium povahy a stupňa variácie príznakov v jednotlivých jednotkách agregátu je najdôležitejšou otázkou všetkých štatistických výskumov. Ak chcete opísať meradlo variability znakov, používajte ukazovatele variácie.

Ďalšou dôležitou úlohou štatistickej štúdie je určiť úlohu jednotlivých faktorov alebo ich skupín v odchýlkoch niektorých známok agregátu. Ak chcete vyriešiť takúto úlohu, štatistiky platia osobitné metódy štúdiu zmien na základe používania systému indikátorov, s ktorými sa merajú variácie. V praxi, výskumník čelí dostatočne veľkému počtu možností pre známky funkcie, čo nedáva myšlienky o distribúcii jednotiek z hľadiska celkovej situácie. Na tento účel sa vykoná umiestnenie všetkých možností pre značky v rastúcom alebo zostupnom poradí. Tento proces sa nazýva poradie číslo. Rodinný riadok okamžite poskytuje všeobecnú predstavu o hodnotách, ktoré sa prihlásili v agregácii.

Insuficiencia priemernej hodnoty pre vyčerpávajúce vlastnosti agregátu spôsobuje doplnenie priemerných hodnôt s ukazovateľmi, ktoré nám umožňujú odhadnúť typicitu týchto priemerov meraním oscilujúcich (variácií) študovaného znaku. Využívanie týchto ukazovateľov variácie umožňuje urobiť štatistickú analýzu kompletnejšiu a zmysluplnú a tým hlbšie pochopiť podstatu verejných javov študovaných.

Najjednoduchšie známky variácií sú minimálny a maximum - Toto je najmenší a najdôležitejší význam súhrn. Počet opakovaní jednotlivých možností pre označenia frekvencia opakovania. Označujú frekvenciu opakovania znamenia fi Množstvo frekvencií rovných objemu študovaného agregátu bude:

kde k. - počet možností pre znaky funkcie. Frekvencie sú vhodne nahradené všeobecným wi. Frekvencia - Relatívny frekvenčný indikátor - môže byť vyjadrený vo frakciách jednotky alebo percentuálneho podielu a umožňuje porovnať variačné série s rôznym počtom pozorovaní. Formálne máme:

Na meranie variácie funkcie sa aplikujú rôzne absolútne a relatívne ukazovatele. Absolútne ukazovatele variácie zahŕňajú priemernú lineárnu odchýlku, variáciu zmien, disperzie, priemernú kvadratickú odchýlku.

Variácie R) predstavuje rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami funkcie v študovanom agregáte: R. \u003d XMAX - XMIN. Tento indikátor poskytuje len najobecnejšiu predstavu o komisii na študovaný znak, pretože ukazuje rozdiel len medzi limitnými hodnotami možností. Je absolútne nie je spojené s frekvenciami v variačnej série, t.j. s povahou distribúcie a jej závislosť môže dať nestabilný, náhodný charakter len z extrémnych príznakov funkcie. Odchýlka odchýlky nedávajú žiadne informácie o osobitosti celkových súborov a neumožňuje posúdiť stupeň typickej pre priemerné hodnoty priemeru. Rozsah tohto ukazovateľa je obmedzený na dostatočne homogénne agregáty, presnejšie charakterizuje zmenu označovacieho indikátora založeného na účtovníctve pre variabilitu všetkých značiek.

Pre charakteristiku charakteristického znaku je potrebné zhrnúť odchýlky všetkých hodnôt z akéhokoľvek typického pre študovanú hodnotu rozsahu. Takéto ukazovatele

varianty, ako je priemerná lineárna odchýlka, disperzia a priemerná kvadratická odchýlka, sú založené na zvážení odchýlok príznakov jednotlivých jednotiek agregátu zo stredného aritmetika.

Stredná lineárna odchýlka Je to priemerná aritmetika absolútnych hodnôt odchýlok individuálnych možností zo stredného aritmu:

Absolútna hodnota (modul) odchýlky variantu zo stredného aritmetika; f- frekvenciu.

Prvý vzorec sa aplikuje, ak sa každá z možností vyskytuje v agregáte len raz, a druhý - v radoch s nerovnakými frekvenciami.

Existuje ďalší spôsob, ako spriemať odchýlky od priemerného aritmetiky. Táto metóda je veľmi častá v štatistike, metóda sa znižuje na výpočet štvorcov odchýlok opcií z priemernej hodnoty s ich následným priemerovaním. Zároveň dostaneme novú indikátor variácie - disperzia.

Disperzia (σ 2) - priemer štvordielov odchýlok hodnôt značiek z ich priemernej veľkosti:

Druhý vzorec sa používa v prítomnosti jeho váh (alebo frekvencií variačnej série).

V ekonomickej a štatistickej analýze je charakterizácia funkcie vyhodnocovať najčastejšie s pomocou priemernej kvadratickej odchýlky. Priemerná kvadratická odchýlka (σ) je druhá odmocnina z disperzie:

Priemerné lineárne a sekundárne kvadratické odchýlky ukazujú, ako priemer označenia v jednotkách celkových celkových kolíše a sú vyjadrené v rovnakých meracích jednotkách ako možnosti.

V štatistickej praxi je často potrebné porovnať variáciu rôznych značiek. Napríklad je veľmi dôležité porovnať variácie veku personálu a jeho kvalifikácie, pracovné skúsenosti a veľkosť, atď. Pre takéto porovnania sú ukazovatele absolútnych úsekov značiek priemerná lineárna a priemerná kvadrická odchýlka - sú nevhodný. V skutočnosti nie je možné porovnať sumy pracovných skúseností vyjadrených v rokoch, pričom mzdové vysielanie vyjadrené v rubľoch a penny.

Pri porovnávaní variability rôznych príznakov sa vhodne používajú relatívne indikátory variácie. Tieto ukazovatele sa vypočítajú ako pomer absolútnych ukazovateľov na stredný aritmetický (alebo medián). Pomocou variácie variácie variácie ako absolútneho indikátora, priemerná lineárna odchýlka, priemerná kvadratická odchýlka, prijímať relatívne ukazovatele oscilácie:

Najčastejšie používaný indikátor relatívneho oscilácie charakterizujúcej jednotnosť agregátu. Agregát sa považuje za homogénny, ak sa variant koeficient nepresahuje 33% pre distribúcie v blízkosti normálu.

Vo väčšine prípadov sa údaje sústreďujú okolo určitého centrálneho bodu. Ak chcete opísať akýkoľvek súbor údajov, stačí špecifikovať priemernú hodnotu. Zvážte postupne tri číselné charakteristiky, ktoré sa používajú na odhad priemernej hodnoty distribúcie: aritmetický, stredný a módny.

Priemeru

Aritmetický priemer (často nazývaný jednoducho médium) je najčastejšie hodnotenie priemernej distribučnej hodnoty. Je to výsledok rozdelenia súčtu všetkých pozorovaných numerických hodnôt na ich číslo. Pre odber vzoriek pozostávajúce z čísel X 1, X 2, ..., X N., selektívny priemer (označený symbol ) Rovnocenné \u003d (X 1 + x 2 + ... + x N.) / n., alebo

kde - selektívny priemer n. - veľkosť vzorky, X. I. - I-TH prvok vzorky.

Stiahnite si poznámku vo formáte alebo príklady vo formáte

Zvážte výpočet priemernej aritmetickej hodnoty päťročnej ziskovosti 15 podielových fondov s veľmi vysokou úrovňou rizika (obr. 1).

Obr. 1. Priemerná ročná ziskovosť 15 podielových fondov s veľmi vysokou úrovňou rizika

Selektívny priemer sa vypočíta takto:

Toto je dobrý príjem, najmä v porovnaní s 3-4% príjmu, ktorý získal bankových vkladateľov alebo družstvá v rovnakom časovom období. Ak zjednodušujete hodnoty ziskovosti, je ľahké všimnúť si, že osem fondov má výnos, a sedem je pod priemerom. Aritmetický priemer zohráva úlohu rovnováhy, takže fondy s nízkymi príjmami sa bilancia s vysokými príjmami. Pri výpočte priemeru sú zahrnuté všetky prvky vzorky. Žiadny z iných odhadov priemernej distribučnej hodnoty nemá túto vlastnosť.

Keď by sa mali vypočítať aritmetické priemery.Pretože aritmetický priemer závisí od všetkých prvkov vzorky, prítomnosť extrémnych hodnôt významne ovplyvňuje výsledok. V takýchto situáciách môže priemerná aritmetika narušiť význam numerických údajov. Preto popisuje sadu údajov obsahujúcich extrémne hodnoty, musíte špecifikovať medián alebo aritmetický a medián. Napríklad, ak odstránite zo vzorky, výťažok RS vznikajúceho rastového založenia, selektívna priemerná ziskovosť 14 fondov sa zníži o takmer 1% a bude 5,19%.

Medián

Medián je stredná hodnota objednaného radu čísel. Ak pole neobsahuje opakujúce sa čísla, potom polovica jej prvkov bude menej a pol - viac mediánov. Ak vzorka obsahuje extrémne hodnoty, odhadnúť priemernú hodnotu, je lepšie použiť nie je priemerný aritmetický, ale medián. Ak chcete vypočítať medián vzorky, musíte najprv zefektívniť.

Tento vzorec je nejednoznačný. Jeho výsledok závisí od parity alebo podivnosti čísla n.:

• Ak vzorka obsahuje nepárny počet prvkov, medián je rovnaký (N + 1) / 2- Element.
• Ak vzorka obsahuje párny počet prvkov, medián leží medzi dvoma priemernými prvkami vzorky a je rovnaký ako priemerný aritmetický, vypočítaný na týchto dvoch položkách.

S cieľom vypočítať medián vzorky obsahujúcej údaje o výnose 15 podielových fondov s veľmi vysokou úrovňou rizika, musíte najprv zefektívniť zdrojové údaje (obr. 2). Potom bude medián oproti číslu stredného prvku vzorky; V našom príklade číslo 8. V programe Excel je tu špeciálna funkcia \u003d medián (), ktorý funguje aj s neusporiadanými poliami.

Obr. 2. Medián 15 fondy

Medián je teda rovný 6,5. To znamená, že výnos jednej polovice fondov s veľmi vysokou úrovňou rizika nepresahuje 6.5 a výnos druhej polovice - presahuje. Upozorňujeme, že medián rovný 6,5, o niečo väčšiu hodnotu rovnú 6,08.

Ak odstránite výnos rozvíjajúcej fondu rastu RS zo vzorky, potom sa medián zostávajúcich 14 finančných prostriedkov zníži na 6,2%, to znamená, že nie je toľko ako aritmetický priemer (obr. 3).

Obr. 3. Medián 14 fondy

Móda

Termín bol prvýkrát predstavený Pearsonom v roku 1894. Móda je číslo, ktoré sa častejšie nachádzajú vo vzorke (najviac módne). Móda dobre opisuje napríklad typickú reakciu vodiča na signál premávkového svetla. Klasickým príkladom použitia módy je výber veľkosti bravnej dávky alebo farby tapety. Ak má distribúcia niekoľko režimov, hovoria, že je multimodálne alebo multimodálne (má dva alebo viac "píku"). Distribúcia multimodality poskytuje dôležitými informáciami o povahe premennej podľa štúdia. Napríklad v sociologických prieskumoch, ak je premenná preferencia alebo vzťah k niečomu, multimodalita môže znamenať, že existuje niekoľko určitých rôznych názorov. Multimodalita tiež slúži ako indikátor, že vzorka nie je homogénna a pozorovanie, prípadne vytvorená dvoma alebo viacerými "superponovanými" distribúciami. Na rozdiel od priemerného aritmetika, emisie neovplyvňujú. Pre nepretržite distribuované náhodné premenné, napríklad pre ukazovatele priemernej ročnej ziskovosti podielových fondov, móda niekedy neexistuje vôbec (alebo nedáva zmysel). Keďže tieto ukazovatele môžu mať rôzne hodnoty, opakujúce sa hodnoty sú veľmi zriedkavé.

Štvrťrok

Maloobchod sú ukazovatele, ktoré sa najčastejšie používajú na posúdenie distribúcie údajov pri opise vlastností veľkých číselných vzoriek. Zatiaľ čo medián zdieľa objednané pole na polovicu (50% prvkov poľa menej medián a 50% - viac), štvrtina preliate objednané údaje nastavené na štyri časti. Hodnoty Q1, mediánu a q 3 sú 25., 50. a 75. percencou. Prvý kvartil Q1 je číslo oddeľujúce vzorku do dvoch častí: 25% prvkov je menej, a 75% je viac ako prvé štvrťročné.

Tretí kvartil Q 3 je číslo oddeľujúca vzorku aj do dvoch častí: 75% prvkov menších a 25% je viac ako tretie štvrťroky.

Na výpočet štvrtí v Excel verziách do roku 2007 bola použitá funkcia \u003d štvrťrok (pole; časť). Vychádzajúc z verzie Excel2010 sa používajú dve funkcie:

• \u003d Kvartil. Slepý (pole; časť)
• \u003d Kvartil. Harmonogram (pole; časť)

Tieto dve funkcie poskytujú niektoré rôzne hodnoty (obr. 4). Napríklad pri výpočte štvrťroku vzorky obsahujúcej údaje o priemernom ročnom výstupe 15 podielových fondov s veľmi vysokou úrovňou rizika Q1 \u003d 1,8 alebo -0,7 pre kvartil. A štvrťroky. Harmonogram, resp. Mimochodom, použité kvartil, ktoré sa používa skôr zodpovedá modernej funkcii kvartilu. Ak chcete vypočítať štvrtiny v programe Excel pomocou vyššie uvedeného vzorca, nie je možné objednať pole údajov.

Obr. 4. Výpočet štvrtiny v Excel

Znova zdôrazňujeme. Excel môže počítať štvrťroky pre jednorozmerné diskrétny riadokobsahujúce náhodné premenné. Výpočet štvrtiny pre distribúciu na báze frekvencie je uvedený nižšie v sekcii.

Stredný geometrický

Na rozdiel od priemerného aritmetického priemeru, geometrické umožňuje odhadnúť stupeň zmeny v premennej v priebehu času. Priemerný geometrický je koreň n.- stupeň z práce n. Hodnoty (funkcie programu Excel \u003d SRGEOM):

G. \u003d (X 1 * x 2 * ... * x n) 1 / n

Podobný parameter - priemerná geometrická hodnota miery zisku je určená vzorcom:

G \u003d [(1 + R1) * (1 + R2) * ... * (1 + R N)] 1 / N - 1,

kde RI. - miera zisku pre i.-Y čas.

Predpokladajme napríklad, že množstvo investovaných fondov v počiatočnom čase je 100 000 dolárov. Do konca prvého roka klesá na úroveň 50 000 USD, a do konca druhého roka sa obnoví Počiatočná značka vo výške 100 000 USD. Normálny zisk tejto investície pre dvojročné obdobie rovné 0, pretože počiatočné a konečné množstvo finančných prostriedkov sa navzájom rovná. Priemerné aritmetické ročné štandardy zisku sa však rovná \u003d (-0,5 + 1) / 2 \u003d 0,25 alebo 25%, pretože rýchlosť zisku v prvom roku R 1 \u003d (50 000 - 100 000) / 100 000 \u003d - \\ t 0,5 a v druhom R2 \u003d (100 000 - 50 000) / 50 000 \u003d 1. V rovnakej dobe, priemerná geometrická hodnota miery zisku za dva roky je: g \u003d [(1-0,5) * (1 + 1)] 1/2 - 1 \u003d ½ - 1 \u003d 1 - 1 \u003d 0. Priemerný geometrický je presnejší odráža zmenu (presnejšie, absencia zmien) objemu investícií na dvojročné obdobie alebo aritmetický priemer.

Zaujímavosti.Po prvé, priemerná geometrická bude vždy menšia ako priemerná aritmetika rovnakých čísel. S výnimkou prípadu, keď sú všetky prijaté čísla rovnaké. Po druhé, vzhľadom na vlastnosti obdĺžnikového trojuholníka, možno pochopiť, prečo sa priemer nazýva geometrický. Výška obdĺžnikového trojuholníka, znížená na hypotenuse, je priemerná úmerná medzi prognózami katét na hyptootentuse a každá katedrá je priemerná medzi hyptotenuse a jeho projekciou na hypotenuse (obr. 5). To poskytuje geometrickú metódu na výstavbu priemerných geometrických dvoch (dĺžkových) segmentov: je potrebné konštruovať kruh na súčet týchto dvoch segmentov ako v priemere, potom sa výška obnovuje z bodu ich pripojenia k prechodu s Kruh, poskytne prehľadávanú hodnotu:

Obr. 5. Geometrická povaha stredného geometrického (Obrázok z Wikipedia)

Druhá dôležitá vlastnosť numerických údajov je ich variáciacharakterizujúci stupeň disperzie dát. Dve rôzne vzorky sa môžu líšiť podľa priemerných hodnôt a variácií. Ako je však znázornené na obr. 6 a 7, dve vzorky môžu mať rovnaké variácie, ale rôzne stredné hodnoty alebo identické priemery a úplne odlišné variácie. Údaje, ku ktorým polygón zodpovedá na obr. 7 sa líši oveľa menej ako údaje, pre ktoré polygón A.

Obr. 6. Dva symetrické rozdelenie tvaru zvončeka s rovnakou variáciou a rôznymi priemernými hodnotami

Obr. 7. Dve symetrické rozdelenie formulára v tvare zvončeka s rovnakými priemernými hodnotami a rôznym rozptylom

Existuje päť odhadov variácie údajov:

• rozsah
• medzinárodné
• disperzia,
• štandardná odchýlka,
• variácie koeficientu.

Rozsah

Rozsah je rozdiel medzi najväčšími a najmenšími prvkami vzorky: \\ t

Rozsah \u003d H. Max - H. Min.

Odberové rozpätie obsahujúce údaje o priemernej ročnej ziskovosti 15 podielových fondov s veľmi vysokou úrovňou rizika sa môžu vypočítať pomocou objednaného poľa (pozri obr. 4): Rozsah \u003d 18,5 - (-6,1) \u003d 24,6. To znamená, že rozdiel medzi najväčšou a najmenšou priemernou ročnou ziskovosť finančných prostriedkov s veľmi vysokou úrovňou rizika je 24,6%.

Rozsah umožňuje merať celkové variácie údajov. Aj keď je odber vzoriek veľmi jednoduchým odhadom celkového rozpätia údajov, jeho slabosť je, že neberie do úvahy, ako sa distribuujú údaje medzi minimálnymi a maximálnymi prvkami. Tento účinok je dobre sledovaný na obr. 8, ktorý ilustruje vzorky, ktoré majú rovnaký rozsah. Stupnica ukáže, že ak vzorka obsahuje aspoň jednu extrémnu hodnotu, vzorka rozpätie je veľmi nepresný odhad rozptylu dát.

Obr. 8. Porovnanie troch vzoriek s rovnakým rozsahom; Trojuholník symbolizuje podporu váh a jeho umiestnenie zodpovedá priemernej hodnote vzorkovania.

EMERČNÝ ROZSAH

Rozdiel medzi tretím a prvým štvrťrokom vzorky je rozdiel medzi tretím a prvým štvrťrokom vzorky:

Emerquarted rozsah \u003d q 3 - Q 1

Táto hodnota vám umožňuje odhadnúť rozptyl 50% prvkov a neberie do úvahy vplyv extrémnych prvkov. Escarotický rozpätie vzorky obsahujúcej údaje o priemernom ročnom výstupe 15 podielových fondov s veľmi vysokou úrovňou rizika sa môže vypočítať pomocou údajov na obr. 4 (napríklad pre funkciu kvartilu. Sliply): Emerquarted rozsah \u003d 9,8 - (-0,7) \u003d 10,5. Interval obmedzený číslom 9,8 a -0,7 sa často nazýva v polovici polovice.

Treba poznamenať, že hodnoty Q 1 a Q 3, čo znamená, a medzikomunikačný rozsah, nezávisia od prítomnosti emisií, pretože žiadna suma neberie do úvahy, čo by bolo menej ako q 1 alebo Ďalšie q 3. Celkové kvantitatívne charakteristiky, ako sú medián, prvé a tretie štvrťroky, ako aj medzikomunikačný rozsah, ktorým emisie neovplyvňujú, sa nazývajú udržateľné ukazovatele.

Hoci rozsah pôsobnosti a intercomméry môžu vyhodnotiť všeobecné a stredné odber vzoriek, v tomto poradí, žiadne z týchto hodnotení berie do úvahy, ako sú údaje distribuované. Disperzia a štandardná odchýlkatento nedostatok. Tieto ukazovatele vám umožňujú vyhodnotiť stupeň výkyvov údajov okolo priemernej hodnoty. Selektívna disperzia Je to prístup priemernej aritmetiky, vypočítanej na základe štvorcov rozdielov medzi každým prvkom vzorky a selektívneho priemeru. Pre odber vzoriek x 1, x 2, ... x n, selektívna disperzia (symbol S 2 je nastavený nasledujúcim vzorcom:

Vo všeobecnosti je selektívna disperzia súčtom štvorcov rozdielov medzi prvkami vzorky a selektívnym priemerom rozdeleným množstvom rovnajúcou sa veľkosťou vzorky mínus jeden:

kde - aritmetický priemer n. - veľkosť vzorky, X I. - i.Odberový prvok X.. V programe Excel, na verziu 2007, funkcia \u003d displej () sa použila na výpočet selektívnej disperzie, z verzie 2010, funkcie \u003d displeja ().

Najpraktickejší a rozsiahly odhad rozptylu údajov je Štandardná selektívna odchýlka. Tento indikátor je indikovaný symbolom S a je rovný odmocnine od selektívnej disperzie:

V programe Excel, na verziu 2007, funkcia \u003d stanootclone () bola použitá na výpočet štandardnej selektívnej odchýlky, z funkcie verzie 2010 \u003d standotclonal.v (). Na výpočet týchto funkcií môže byť dátové pole neusporiadané.

Ani selektívna disperzia ani štandardná selektívna odchýlka nesmie byť negatívna. Jediná situácia, v ktorej ukazovatele S 2 a S môžu byť nula - ak sú všetky prvky vzorky rovnaké. V tomto úplne neuveriteľnom prípade sú rozsah a medzikomunikačný rozsah tiež nulový.

Číselné údaje podľa premennej prírody. Akákoľvek premenná môže trvať mnoho rôznych hodnôt. Napríklad rôzne podielové fondy majú rôzne ukazovatele ziskovosti a strát. Vzhľadom na variabilitu numerických údajov je veľmi dôležité študovať nielen odhady priemernej hodnoty, ktoré sú celkovo, ale aj vyhodnotenie disperzie charakterizujúceho variáciu údajov.

Disperzia a štandardná odchýlka vám umožňujú odhadnúť variácie údajov okolo priemernej hodnoty, inými slovami, určujú, koľko vzorkovacích prvkov je menej ako priemer, a koľko viac. Disperzia má niektoré cenné matematické vlastnosti. Jeho hodnota je však štvorcový merací jednotka - štvorcové percento, štvorcový dolár, štvorcový palec a podobne. Prirodzeným hodnotením disperzie je preto štandardná odchýlka, ktorá je vyjadrená v obvyklých jednotkách meraní - percento príjmov, dolárov alebo palcov.

Štandardná odchýlka umožňuje odhadnúť hodnotu oscilácie vzorových prvkov okolo priemernej hodnoty. V takmer všetkých situáciách leží hlavná suma pozorovaných hodnôt v intervale plus-mínus jedna štandardná odchýlka od priemernej hodnoty. V dôsledku toho, poznanie priemerných aritmetických prvkov vzorky a štandardnej selektívnej odchýlky, môžete definovať interval, na ktorý patrí hlavná hmotnosť údajov.

Štandardná odchýlka výnosu 15 podielových fondov s veľmi vysokou úrovňou rizika je 6.6 (obr. 9). To znamená, že ziskovosť väčšiny finančných prostriedkov sa líši od priemernej hodnoty najviac 6,6% (t.j. zaváha v rozsahu od - S. \u003d 6.2 - 6.6 \u003d -0,4 + S. \u003d 12.8). V skutočnosti tento interval leží päťročný priemerný ročný výnos 53,3% (8 z 15) fondov.

Obr. 9. Štandardná selektívna odchýlka

Všimnite si, že v procese sčítania štvorcov rozdielov, prvky vzorky, ležiace z priemernej hodnoty, získavajú väčšiu hmotnosť ako prvky ležiace bližšie. Táto vlastnosť je hlavným dôvodom odhadovania priemernej distribučnej hodnoty, najčastejšie sa používa priemerná aritmetická hodnota.

Variácie koeficientu

Na rozdiel od predchádzajúcich odhadov rozptylu je variačný koeficient relatívne hodnotenie. Vždy sa merajú ako percento, a nie v jednotkách merania zdrojových údajov. Koeficient variácie označenej symbolmi CV meria disperziu údajov v porovnaní s priemernou hodnotou. Variant koeficientu sa rovná štandardnej odchýlke rozdelenej aritmetickým priemerom a vynásobený 100%:

kde S. - štandardná selektívna odchýlka, - selektívny priemer.

Koeficient variácie vám umožňuje porovnať dve vzorky, ktorých prvky sú vyjadrené v rôznych meracích jednotkách. Služba dodania riadiacej služby napríklad v úmysle aktualizuje kamiónový park. Pri nakladaní paketov by sa mali zohľadniť dva typy obmedzení: hmotnosť (v librách) a objem (v kubických nohách) každého balenia. Predpokladajme, že vo vzorke obsahujúcom 200 paketov je priemerná hmotnosť 26,0 libier, štandardná hmotnosť odchýlky 3,9 libier, priemerný objem balenia je 8,8 kubických stôp a štandardná odchýlka objemu 2,2 kubických stôp. Ako porovnať rozptyl hmotnosti a balíkov?

Pretože jednotky merania hmotnosti a objem sa od seba navzájom líšia, musí sa riadiť porovnať relatívny rozptyl týchto hodnôt. Koeficient variácie hmotnosti je CV W \u003d 3,9 / 26,0 * 100% \u003d 15%, a variačný koeficient objemu objemu CV V \u003d 2,2 / 8,8 * 100% \u003d 25%. Relatívny rozptyl objem balenia je teda oveľa viac relatívnej rozptylosti ich hmotnosti.

Distribučný formulár

Tretia dôležitá vlastnosť vzorky je formou jeho distribúcie. Táto distribúcia môže byť symetrická alebo asymetrická. Ak chcete opísať distribučný formulár, je potrebné vypočítať jeho priemernú hodnotu a medián. Ak sa tieto dva ukazovatele zhodujú, premenná sa považuje za symetricky rozloženú. Ak je priemerná hodnota premennej väčšia ako medián, jeho distribúcia má pozitívnu asymetriu (obr. 10). Ak je medián väčší ako priemerná hodnota, premenlivá distribúcia má negatívnu asymetriu. Pozitívna asymetria sa vyskytuje, keď sa priemerná hodnota zvyšuje na nezvyčajne vysoké hodnoty. Negatívna asymetria sa vyskytuje, keď priemerná hodnota klesá na nezvyčajne malé hodnoty. Premenná je symetricky distribuovaná, ak neberie žiadne extrémne hodnoty v žiadnom z nás, aby sa vzájomné a malé hodnoty variabilnej rovnováhy navzájom.

Obr. 10. Tri typy distribúcií

Údaje uvedené na stupnici A má negatívnu asymetriu. Na tomto obrázku je viditeľný dlhý chvost a skosenie vľavo, spôsobené prítomnosťou nezvyčajne malých hodnôt. Tieto extrémne malé hodnoty posúvajú strednú hodnotu doľava a stáva sa menej medián. Údaje uvedené na stupnici B sú distribuované symetricky. Ľavá a pravá polovica distribúcie sú ich zrkadlové odrazy. Veľké a malé hodnoty sa rovnováhu navzájom a priemerná hodnota a medián sú rovnaké. Údaje zobrazené na stupnici B majú pozitívnu asymetriu. Na tomto obrázku dlhý chvost a šikmo vpravo, spôsobené prítomnosťou neobvykle vysokých hodnôt. Tieto príliš veľké hodnoty posunuli priemernú hodnotu doprava a stáva sa viac medián.

V programe Excel možno popisné štatistiky získať doplnkom Analýza. Prejdite cez menu Dáta → Analýza dát, V okne, ktoré sa otvorí, vyberte reťazec Deskriptívna štatistika a kliknite Ok.. V okne Deskriptívna štatistika Určite zadajte Vstupný interval(Obr. 11). Ak chcete vidieť popisné štatistiky na tom istom hárku ako zdrojové údaje, vyberte položku Spínača Výstupný interval A špecifikujte bunku, kde by mal byť umiestnený ľavý uhol štatistiky výstupu (v našom príklade $ c $ 1). Ak chcete zobraziť údaje do nového listu alebo v novej knihe, stačí vybrať príslušný spínač. Umiestnite začiatok Záverečná štatistika. Voliteľne si môžete vybrať Obtiažnosť,k-th najmenší ak-Th veľký.

Ak je v zálohe Dáta v oblasti Analýza Nezobrazujete piktogram Analýza dát, musíte predinštalovať doplnok Analýza (Pozri napríklad).

Obr. 11. Popisná štatistika päťročnej priemernej ročnej ziskovosti finančných prostriedkov s veľmi vysokou úrovňou rizika vypočítaných doplnkami. Analýza dátprogramy programu Excel

Excel vypočíta množstvo štatistík, o ktorých sa diskutovalo vyššie: sekundárna, stredná, móda, štandardná odchýlka, disperzia, rozsah ( interval), minimálne, maximálne a odber vzoriek ( skóre). Okrem toho Excel vypočíta niektoré nové štatistiky pre nás: Štandardná chyba, prebytok a asymetria. Štandardná chyba Je rovná štandardnej odchýlke rozdelenej na druhú odmocninu objemu vzorky. Asymetrický Charakterizuje odchýlku od symetrie distribúcie a je funkcia závisí od rozdielu kocky medzi prvkami vzorky a priemernou hodnotou. Prebytok je mierou relatívnej koncentrácie dát okolo priemernej hodnoty v porovnaní s distribučnými chvostu a závisí od rozdielov medzi prvkami vzorky a priemerná hodnota zvýšená do štvrtého stupňa.

Výpočet opisných štatistík pre všeobecnú populáciu

Priemerná hodnota, rozptyl a distribučný formulár vyššie sú charakteristiky definované vzorkou. Ak však súbor údajov obsahuje číselné merania celej všeobecnej populácie, môžete vypočítať svoje parametre. Takéto parametre zahŕňajú matematické očakávania, disperziu a štandardnú odchýlku všeobecnej populácie.

Očakávaná hodnota rovná súčtu všetkých hodnôt všeobecnej populácie rozdelenej do výšky všeobecnej populácie:

kde µ - očakávaná hodnota, X. I.- i.- pozorovanie premennej X., N. - objem všeobecnej populácie. V programe Excel sa rovnaká funkcia používa na výpočet matematického očakávania, pokiaľ ide o priemerný aritmetický: \u003d CPNPH ().

Disperzia všeobecného agregátu rovná súčtu štvorcov rozdielov medzi prvkami všeobecnej populácie a podložkou. Očakávania vydelené objemom všeobecnej populácie:

kde Σ 2. - Disperzia všeobecnej populácie. V programe Excel, na verziu 2007, funkcia \u003d DYPPR (), počnúc verziou 2010, sa používa na výpočet výčnelku všeobecnej populácie.

Štandardná odchýlka všeobecnej populácie Rovnako, štvorcový koreň extrahovaný z disperzie všeobecného agregátu:

V programe Excel, na verziu 2007, funkcia \u003d STANDOTCLICK () sa používa na výpočet štandardnej odchýlky všeobecnej populácie (), počnúc verzii 2010 \u003d standotclonal.g (). Všimnite si, že vzorce pre rozptýlenie a štandardnú odchýlku všeobecnej populácie sa líšia od vzorec pre výpočet selektívnej disperzie a štandardnej odchýlky. Pri výpočte štatistiky vzorky S2. a S. Dennominátor Fraci sa rovná n - 1., ale pri výpočte parametrov Σ 2. a σ - objem všeobecnej populácie N..

Empirické pravidlo

Vo väčšine situácií je veľký podiel pozorovania sústredený okolo mediánu, ktorý tvorí klastra. V dátových súpravách, ktoré majú pozitívnu asymetriu, tento klaster sa nachádza vľavo (tj nižšie) matematického očakávania a v množinách, ktoré majú negatívnu asymetriu, tento klaster je správny (t.j. nad) matematického očakávania. V symetrických údajoch sa matematické očakávania a medián zhoduje a pozorovania sú sústredené okolo matematického očakávania, ktoré tvoria zvonovú distribúciu. Ak distribúcia nemá výraznú asymetriu, a údaje sa sústreďujú okolo určitého ťažiska, je možné aplikovať empirické pravidlo na posúdenie variability, ktorú majú údaje o zvončeku, potom približne 68% pozorovania Bude mimo matematického očakávania, že nie viac ako jedna štandardná odchýlka, približne 95% pozorovaní bude podliehať matematickému očakávaniu najviac dvoch štandardných odchýlok a 99,7% z pozorovania je hodných matematické očakávania najviac troch štandardných odchýlok.

Štandardná odchýlka, ktorá je odhadom priemerného oscilácie okolo matematického očakávania, pomáha pochopiť, ako sú pripomienky distribuované a identifikovať emisie. Z empirického pravidla vyplýva, že pre distribúcie v tvare zvonov, len jedna hodnota dvadsiatich sa líši od matematického očakávania je väčšia ako dve štandardné odchýlky. V dôsledku toho hodnoty ležiace mimo intervalu μ ± 2σ.môžu byť považované za emisie. Okrem toho len tri z 1000 pozorovania sa líšia od matematického očakávania viac ako troch štandardných odchýlok. Tak, hodnoty ležiace mimo intervalu μ ± 3σ. Takmer vždy emisie. Pre distribúcie, ktoré majú silnú asymetriu alebo mať zvonovú formu, môže sa použiť empirické pravidlo biedame-chebyshev.

Viac ako pred sto rokmi, matematika Biename a Chebyshev nezávisle od seba otvorili užitočnú vlastnosť štandardnej odchýlky. Zistili, že pre akýkoľvek súbor údajov bez ohľadu na distribučný formulár, percento pozorovania ležiacich na diaľku nepresahujúcu k. štandardné odchýlky od matematického očakávania, nie menej (1 – 1/ k 2) * 100%.

Napríklad, ak k. \u003d 2, pravidlo Bianame-Chebyshev uvádza, že v intervale by malo ležať aspoň 1 - (1/2) 2) x 100% \u003d 75% pozorovaní μ ± 2σ.. Toto pravidlo je spravodlivé pre akékoľvek k.Prekročenie jedného. Pravidlo Biename-Chebyshev je veľmi časté a je spravodlivé pre všetky druhy. Označuje minimálny počet pozorovaní, vzdialenosť, z ktorej nepresahuje špecifikovanú hodnotu pred matematické očakávania. Ak však distribúcia má formulár tvarovanú formu, empirické pravidlo presnejšie odhaduje koncentráciu údajov okolo matematického očakávania.

Výpočet opisných štatistík pre frekvenčnú distribúciu

Ak nie sú k dispozícii zdrojové údaje, distribúcia frekvencie sa stáva jediným zdrojom informácií. V takýchto situáciách je možné vypočítať približné hodnoty kvantitatívnych distribučných ukazovateľov, ako je aritmetická, štandardná odchýlka, kvartil.

Ak sú vzorové údaje prezentované vo forme frekvenčnej distribúcie, môže sa vypočítať približná hodnota priemerného aritmetika, za predpokladu, že všetky hodnoty v každej triede sú sústredené v strednom bode triedy:

kde - selektívny priemer n. - počet pozorovaní alebo odber vzoriek, \\ t z - počet tried vo frekvenčnej distribúcii, \\ t m. J. - Priemerný bod j.-Krácna trieda, f. J. - Frekvencia zodpovedajúca j.- Trieda.

Na výpočet štandardnej odchýlky podľa frekvenčnej distribúcie sa predpokladá, že všetky hodnoty v každej triede sú sústredené v strednom mieste triedy.

Ak chcete pochopiť, ako sa určia kvarty viacerých frekvencií, zvážte výpočet dolných štvrťrokov na základe údajov za rok 2013 o distribúcii obyvateľstva Ruska najväčšieho peňažného príjmu na obyvateľa (Obr. 12).

Obr. 12. Podiel obyvateľov Ruska s priemerom hotovosti na obyvateľa za mesiac, rubľov

Ak chcete vypočítať prvý quarte čísla intervalu, môžete použiť vzorca:

tam, kde Q1 je veľkosť prvého kvartilu, XQ1 je dolná hranica intervalu obsahujúceho prvý kvartil (interval je určený nahromadenou frekvenciou, najprv viac ako 25%); I - veľkosť intervalu; Σf - súčet frekvencií celej vzorky; Pravdepodobne vždy rovné 100%; SQ1-1 - Akumulovaná frekvencia intervalu predchádzajúceho intervalu obsahujúceho dolný kvartil; FQ1 - frekvencia intervalu obsahujúceho dolný kvartil. Vzorec pre tretí byt sa vyznačuje skutočnosťou, že na všetkých miestach namiesto Q1 musíte použiť Q3, a namiesto ¼ náhradu ¾.

V našom príklade (obr. 12), dolný kvartil je v rozsahu 7000.1 - 10 000, ktorého akumulovaná frekvencia je 26,4%. Dolná hranica tohto intervalu je 7000 rubľov, veľkosť intervalu je 3000 rubľov, akumulovaná frekvencia intervalu predchádzajúceho intervalu obsahujúceho dolný kvartil - 13,4%, frekvencia intervalu obsahujúceho dolný kvartil je 13,0%. Teda: Q1 \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13.4) / 13 \u003d 9677 rubľov.

Pasce spojené s opisnou štatistikou

V tomto článku sme sa pozreli na to, ako opísať súbor údajov pomocou rôznych štatistík, ktoré hodnotia jeho priemernú hodnotu, šírenie a typ distribúcie. Ďalším krokom je analýza a interpretácia údajov. Zatiaľ sme študovali objektívne vlastnosti údajov a teraz sa obrátime na ich subjektívny výklad. Výskumníci stúpajú dve chyby: nesprávne vybraný predmet analýzy a nesprávny výklad výsledkov.

Analýza výnosu 15 podielových fondov s veľmi vysokou úrovňou rizika je dosť nestranná. To viedlo k úplne objektívnym záverom: Všetky podielové fondy majú rôzne výnosy, rozptyl finančných prostriedkov sa líši od -6,1 do 18,5 a priemerný výnos sa rovná 6,08. Objektivita analýzy údajov je zabezpečená správnou voľbou celkových kvantitatívnych distribučných ukazovateľov. Uvažuje sa o niekoľko spôsobov posudzovania priemernej hodnoty a variácie údajov, sú uvedené ich výhody a nevýhody. Ako si vybrať správne štatistiky poskytujúce objektívnu a nestrannú analýzu? Ak má distribúcia dát malú asymetriu, mali by si vybrať medián, nie aritmetický priemer? Aký ukazovateľ presnejšie charakterizuje šírenie údajov: štandardná odchýlka alebo rozsah? Mám špecifikovať pozitívnu asymetriu distribúcie?

Na druhej strane je interpretácia údajov subjektívnym procesom. Rôzni ľudia prichádzajú do rôznych záverov, interpretujú rovnaké výsledky. Každý má svoj vlastný názor. Niekto sa domnieva, že celkové ukazovatele priemernej ročnej ziskovosti 15 fondov s veľmi vysokou úrovňou rizika sú dobré a úplne spokojní s prijatým príjmom. Zdá sa, že tieto fondy majú príliš nízky výnos. Podstativosť by teda mala byť kompenzovaná čestnosťou, neutralitou a jasnosťou záverov.

Etické problémy

Analýza dát je neoddeliteľne spojená s etickými otázkami. Mal by byť kriticky odkazovať na informácie distribuované novinami, rozhlasu, televíziou a internetom. Postupom času sa naučíte skepticky odkazovať nielen na výsledky, ale aj na ciele, predmet a objektivitu výskumu. Slávny britský politik Benjamin Dizraeli povedal najlepšie o tom: "Tam sú tri druhy lží: lož, trasing lži a štatistiky."

Ako je uvedené v poznámke, etické problémy sa vyskytujú, keď by mali byť vybrané výsledky, ktoré by mali byť uvedené v správe. Malo by sa uverejniť pozitívne aj negatívne výsledky. Okrem toho, vykonanie správy alebo písomnej správy, výsledky musia byť úprimne uvedené, neutrálne a objektívne. Mali by sa rozlíšiť neúspešná a nečestná prezentácia. Na to je potrebné určiť, aké boli zámery spravodajcu. Niekedy chýba dôležitá informácia spravodajcu podľa nevedomosti, a niekedy úmyselne (napríklad, ak uplatňuje aritmetický priemer, aby sa odhadli priemerná hodnota explicitne asymetrických údajov, aby sa dosiahol požadovaný výsledok). Je tiež nečestní na umlčanie výsledkov, ktoré nezodpovedajú pohľadu výskumníka.

Materiály knihy Levin et al. Štatistiky pre manažérov. - M.: Williams, 2004. - S. 178-209

Plochá funkcia zosúladila s predchádzajúcimi verziami programu Excel