Správny trojuholníkový hranol. Definícia a hranol Prism

Definícia. Hranol- Toto je polyhedron, z ktorých všetky vrcholy sú umiestnené v dvoch paralelných rovinách, a v tých istých dvoch rovinách sú dve plochy hranolov, ktoré sú rovnaké polygóny s rovnobežnými stranami, a všetky hrany, ktoré nie sú ležiace rovné sú paralelné.

Nazývajú sa dve rovnaké tváre základy hranolu (ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 SK 1).

Všetky ostatné tváre hranolov sa nazývajú bočné hrany (AA 1 B1b, BB 1 C1C, CC 1 D1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Všetky bočné tváre povrch boku .

Všetky bočné plochy hranolov sú paralelné. .

Rebrá, ktoré nie sú ležiace v pozemkoch, sa nazývajú bočné rebrá hranolu ( AA 1., Bb 1., CC 1., DD 1., Ee 1.).

Diagonálny hranol Nazýva sa segment, ktorých konce slúžia dva vrcholy hranolov, ktoré nie sú ležiace na jednej z jeho tváre (AD 1).

Dĺžka segmentu spájajúcej základňu hranolu a kolmého do oboch dôvodov súčasne sa nazýva výška hranol .

Označenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Po prvé, v poradí obtoku, vrcholy jednej bázy označujú a potom v rovnakom poradí - vrcholy druhého; konce každej bočnej hrany sú označené rovnakými písmenami, iba vrcholy ležiace na rovnakej báze sú označené písmenami bez indexu a iným - s indexom)

Názov hranolu je spojený s počtom uhlov na obrázku ležiace vo svojom nadácii, napríklad na obrázku 1, pentagon je pod základňou, takže hranol je nazývaný pentagonálny hranol. Ale pretože Takýto hranol je 7 tvárí, potom ona semigrannik (2 tváre - základne hranolu, 5 tvárí - rovnobežky, - jeho bočné plochy)

Medzi priamymi hranolmi sa vyznačujú súkromným typom: správne hranoly.

Priamy hranol riadneak je jej základom pravé polygóny.

Paralelný

Obdĺžnikové rovnobežné - Priama rovnobežnosť, ktorej základňa je obdĺžnik.

Vlastnosti a vety:

,

kde d je štvorcový diagonálny;
A - Square Side.

Prezentácia hranolu dáva:

• rôzne architektonické štruktúry;
• detské hračky;
• balenie;
• dizajnérske objekty atď.

Námestie plného a bočného povrchu hranolu

S plná \u003d s strana + 2s pôda,

kde S plné- úplný povrch, Strana - spodná plocha, S OSN - základná plocha

Bočný povrch priameho hranolu sa rovná produktu obvodu základne na výšku hranolu.

Strana \u003d P osn * h,

kde Strana -Tell bočného povrchu priameho hranolu,

P OSN - obvod základne je priamym hranolom,

h je výška priameho hranolu rovná bočnej hrane.

Objem hranolu

Objem hranolu sa rovná produktu základne základne.

Rôzne hranoly sú na rozdiel od seba. Zároveň majú veľa spoločného. Ak chcete nájsť oblasť nadácie Prism, bude potrebné zistiť, aký je to.

Všeobecná teória

Prism je akýkoľvek polyhedron, ktorého bočné strany majú pohľad na rovnobežku. Zároveň môže byť akýkoľvek polyhedrón vo svojom nadácii - z trojuholníka do N-Parlamentu. Okrem toho sa základy hranolu sú vždy rovnaké. Čo sa nevzťahuje na bočné plochy - môžu sa výrazne líšiť vo veľkosti.

Pri riešení úloh sa nájde nielen oblasť základne Prism. Môže byť potrebné poznať bočný povrch, to znamená, že všetky tváre, ktoré nie sú dôvodmi. Kompletný povrch už bude kombináciou všetkých tvárí, ktoré tvoria hranol.

Niekedy sa v úlohách objaví výška. Je to kolmé na dôvody. Polyhedral uhlopriečka je segment, ktorý sa pripája párové dve akékoľvek vrcholy, ktoré nepatria do jednej tváre.

Treba poznamenať, že základná oblasť priameho hranolu alebo naklonenia nezávisí od rohu medzi nimi a bočnými tvárami. Ak majú rovnaké čísla v horných a dolných okrajoch, budú rovnaké ako ich štvorce.

Trojuholníkový hranol

Má obrázok s obrázkom, ktorý má tri vrcholy, to znamená, že trojuholník. Je známe, že je iný. Ak stačí na to, aby si pamätal, že jeho oblasť je určená polovicou práce katéstie.

Matematický záznam vyzerá takto: s \u003d ½ ab.

Ak chcete zistiť oblasť základne všeobecne vzorca, vzorce budú užitočné: GRONON a TA, v ktorej sa polovica boku odoberie do výšky vykonanej.

Prvý vzorec sa musí zaznamenať nasledovne: S \u003d √ (p (R-C) (P-B) (R-C)). V tomto zázname je tu polmeru (P), to znamená, že súčet troch strán, rozdelených na dva.

Druhý: s \u003d ½ n a * a.

Ak chcete vedieť, oblasť základne trojuholníkového hranolu, ktorá je správna, potom sa trojuholník ukáže, že bude rovnovážny. Pre to existuje vlastný vzorec: s \u003d ¼ a 2 * √3.

Štvrtokulárny hranol

Jeho základ je niektorý z známych štvorkoliek. Môže to byť obdĺžnik alebo štvorcový, paralelný alebo kosoštvorca. V každom prípade na výpočet základnej oblasti hranolu bude potrebovať jeho vzorec.

Ak je základňa obdĺžnik, potom je jeho plocha určená nasledovne: S \u003d AB, kde a na strane obdĺžnika.

Pokiaľ ide o štvoruholníkový hranol, potom sa základná oblasť správneho hranolu vypočíta vzorca pre námestie. Pretože to je ten, kto je základom. S \u003d A 2.

V prípade, keď je základňa je rovnobežná, bude potrebná takáto rovnosť: s \u003d a * n a. Stáva sa to, že bočná strana rovnobežnosti a jedného z rohov. Potom, aby ste vypočítali výšku, bude potrebné využiť dodatočný vzorec: Na \u003d B * SIN A. a uhol A je v blízkosti boku "B" a výšku h a opakom k tomuto rohu .

Ak na základni hranolu lži rhombus, potom na určenie jeho oblasti bude potrebné rovnaký vzorec, ktorý pre rovnobežník (pretože je jeho súkromný prípad). Môžete však použiť: s \u003d ½ d 1 d 2. Tu D 1 a D 2 sú dve uhLigonály Rhombusu.

Správny pentagonálny hranol

Tento prípad zahŕňa rozdelenie mnohouholníka na trojuholníkov, ktoré sú ľahšie učiť oblasti. Hoci sa to stane, že obrázky môžu byť s inými vrcholmi.

Od základu hranolu je ten správny Pentagon, môže byť rozdelený do piatich rovnostranných trojuholníkov. Potom sa základná plocha hranolu rovná ploche jedného takéhoto takého trojuholníka (vzorec môže byť zobrazený vyššie) vynásobený piatimi.

Správny šesťuholníkový hranol

Podľa zásady opísaného pre pentagonálny hranol, je možné rozbiť hexagón základne pre 6 rovnostranných trojuholníkov. Vzorec základnej oblasti takéhoto hranolu je podobný predchádzajúcemu. Len v nej by sa mal vynásobiť o šesť.

Bude to vyzerať ako vzorec týmto spôsobom: S \u003d 3/2 A 2 * √3.

Úlohy

Č. 1. Správna priamka jej uhlopriečky je 22 cm, výška polyhedronu je 14 cm. Vypočítajte základnú plochu hranolu a celého povrchu.

Rozhodnutie. Základom hranolu je námestie, ale jeho strana nie je známa. Je možné nájsť svoju hodnotu z uhlopriečka námestia (x), ktorá je spojená s hnisom uhlopriečka (D) a jeho výškou (H). X2 \u003d D2 - H2. Na druhej strane tento segment "X" je hypotenneus v trojuholníku, ktorého katedy sú rovné boku námestia. To znamená x 2 \u003d A 2 + A2. Ukazuje teda, že A2 \u003d (D2 - H2) / 2.

Nahradiť namiesto D, číslo 22 a "H" nahradené svojou hodnotou - 14, ukázalo sa, že strany námestia je 12 cm. Teraz je ľahké zistiť základnú plochu: 12 * 12 \u003d 144 cm2.

Ak chcete zistiť oblasť celého povrchu, musíte zložiť dvojnásobnú hodnotu základnej oblasti a stranu Quaupus. Ten je ľahko nájsť vzorca pre obdĺžnik: vynásobte výšku polyhedrónu a boku základne. To znamená, že 14 a 12 sa toto číslo rovné 168 cm2. Celková povrchová plocha hranolu je 960 cm2.

Odpoveď. Základná plocha hranolu je 144 cm2. Celý povrch je 960 cm2.

Č. 2. DANA na základe trojuholníka so stranou 6 cm. Zároveň je uhlopriečka bočnej plochy 10 cm. Vypočítajte oblasť: základňu a bočný povrch.

Rozhodnutie. Keďže hranol je správny, jeho základňa je rovnostranný trojuholník. Preto sa jeho plocha ukazuje, že je 6 na štvorcových vynásobených ¼ a na koreňovom námestí z 3. Jednoduchý výpočet vedie k výsledku: 9√3 cm2. Toto je oblasť jednej základne hranolu.

Všetky bočné plochy sú rovnaké a sú obdĺžniky so stranami 6 a 10 cm. Ak chcete vypočítať svoju oblasť, stačí znásobiť tieto čísla. Potom ich vynásobte tri, pretože bočná plocha na hranolu je toľko. Potom sa bočná povrchová plocha ukáže, aby bola navinutá 180 cm2.

Odpoveď. Námestie: Základňa - 9√3 cm2, bočný povrch PRISM - 180 cm2.

Polyhedra

Hlavným cieľom študovania stereometrie sú priestorové telá. Telo Je súčasťou priestoru ohraničeného nejakým povrchom.

Polyhedron Telo sa nazýva, ktorého povrch pozostáva z konečného množstva plochých polygónov. Polyhedrón sa nazýva konvexný, ak sa nachádza na jednej strane roviny každého plochého polygónu na jeho povrchu. Celková časť takejto roviny a povrchu polyhedrónu sa nazýva veľkolepý. Okraje konvexného polyhedrónu sú ploché konvexné polygóny. Tvárová tvár sa nazýva rebrá polyhedrózya vrcholy - vrcholy polyhedrózy.

Napríklad kocka pozostáva zo šiestich štvorcov, ktoré sú jeho tváre. Obsahuje 12 rebier (strany štvorcov) a 8 vrcholov (vrcholy štvorcov).

Najjednoduchšou Polyhedrou sú hranoly a pyramídy, ktoré budú študované.

Hranol

Definícia a hranol Prism

Hranol Polyhedron pozostávajúci z dvoch rovných polygónov ležiacich v paralelných rovinách kombinovaných paralelnými prenosmi a všetkými segmentmi spájajúcimi zodpovedajúce body týchto polygónov. Polygóny sa nazývajú základy hranolua segmenty spájajúce zodpovedajúce vrcholy polygónov, - bočné hrany hranol.

Výška hranol Vzdialenosť medzi rovinami jeho základov () sa nazýva. Segment spájajúci dve vrcholy hranolov, ktoré nepatria do jednej tváre, sa nazýva diagonálny hranol (). Hranol n-uhlieAk existuje N-Square v jej základe.

Akýkoľvek hranol má tieto vlastnosti, ako vyplýva, že základne hranolu sú kombinované s paralelným prevodom:

1. Základom hranolu je rovnaký.

2. Bočné okraje Prism sú paralelné a rovnaké.

Povrch hranolu sa skladá z dôvodov a bočný povrch. Bočný povrch hranolu sa skladá z rovnobežníkov (to vyplýva z vlastností hranolu). Bočná plocha hranolu sa nazýva súčet strany bočnej plochy.

Priamy hranol

Hranol priamyAk sú bočné rebrá kolmé na dôvody. Inak hranol naklonený.

Okraje priameho hranolu sú obdĺžniky. Výška priameho hranolu sa rovná jej bočnej ploche.

Úplný povrch hranolu Súčet bočnej plochy a základnej oblasti sa nazýva.

Správny hranol Na báze sa nazýva priamy hranol s pravým polygónom.

Veta 13.1.. Bočný povrch priameho hranolu sa rovná práci obvodu do výšky hranolu (alebo že to isté na bočnom okraji).

Dôkazov. Bočné tváre priameho hranolu sú obdĺžniky, ktorých základne sú strany polygónov v základoch hranolu a výšky sú bočné rebrá hranolu. Potom určiť bočnú plochu:

,

kde je obvod základne priameho hranolu.

Paralelný

Ak je hranol podkladovými rovnobehami, nazýva sa paralelný. Parletipéda má všetky hrany - paralely. V tomto prípade opačné plochy rovnobežnosti rovnobežné a rovnaké.

Veta 13.2.. Diagonála rovnobežnosti sa pretína v jednom bode a priesečník je rozdelený do polovice.

Dôkazov. Zvážte napríklad dve ľubovoľné uhlopriečky, napríklad a. Pretože Miesta paralelníkov sú paralelné, potom, čo znamená, že približne dve priame paralelné tretiny. Okrem toho to znamená, že rovno a leží v tej istej rovine (rovine). Toto lietadlo prechádza paralelnými rovinami a paralelnými priamymi a. Štvrtok je teda rovnobežníkmi a podľa vlastnosti rovnobežníka je diagonálne a pretína a priesečník je rozdelený na polovicu, čo bolo potrebné na preukázanie.

Priamy paralelný, ktorých obdĺžnik sa nazýva základňa, sa nazýva obdĺžnikové rovnobežné. Na obdĺžnikovom rovnobežku sú všetky tváre obdĺžniky. Dĺžky nerezajných hrán obdĺžnikových rovnobežnosti sa nazývajú lineárne rozmery (merania). Takéto veľkosti sú tri (šírka, výška, dĺžka).

Veta 13.3.. V obdĺžnikovej rovnobežnosti sa štvorenie akéhokoľvek uhlopriečky rovná súčtu štvorcov svojich troch dimenzií (dokázané pomocou dvojnásobného používania T Pytagora).

Obdĺžnikové rovnobežné, v ktorom sú všetky rebrá rovnaké, nazývané kuba.

Úlohy

13.1 Koľko uhlopriečok má n.Hranol

13.2 V skladej trojuholníkovej hranoly vzdialenosti medzi bočnými rebrami sa rovná 37, 13 a 40. Nájdite vzdialenosť medzi väčšou bočnou plochou a opačným bočným okrajom.

13.3 Vymazanie strany spodnej základne správneho trojuholníkového hranolu, lietadlo pretínajúce bočné plochy segmentmi, uhol medzi ktorým sa uskutočnil. Nájdite uhol sklonu tejto roviny na základňu hranolu.

Definícia 1. Prishatický povrch
Teorem 1. Na paralelných prierezoch prizmatického povrchu
Definícia 2. kolmý prierez prizmatického povrchu
Definícia 3. Prism
Definícia 4. Výška hranolu
Definícia 5. Priamy PRISM
Veta 2. Bočný bočný povrchový hranol

Ods.
Definícia 6. Parlamentný
Veta 3. Na križovatke uhlopriečiek paralelu
Definícia 7. Priama rovnobežnosť
Definícia 8. Obdĺžnikové rovnobežné
Definícia 9. Merania paraleňov
Definícia 10. CUBE
Definícia 11. Rombohedron
Teorem 4. Na uhlopriečku obdĺžnikového paralelu
Teorem 5. hranol
Veta 6. Objem priameho hranolu
Veta 7. Objem pravouhlého paralelu

Hranol Polyhedrón sa nazýva dve plochy (báz) ležia v paralelných rovinách a rebrá, ktoré nie sú ležiace v týchto plochách, sú rovnobežné medzi sebou.
Tváre sa nazývajú bok.
Strana bočných tvárí a dôvodov rebrá hranol, konce rebier sa nazývajú hranica. Bočné rebrá Nazývajú sa rebrá, ktoré nepatria do dôvodov. Zväzu bočných tvárí sa nazýva bočný povrch hranolua Únia všetkých tvárí sa nazýva Úplný povrch hranolu. Výška hranol Nazýva sa kolmo, spustený z horného základného bodu na rovinu s nízkou bázou alebo dĺžkou tohto kolmej. Priamy hranolprism sa nazýva laterálne rebrá kolmé na základné roviny. Správny Nazýva sa priama hranol (obr. 3), na základe toho, ktorý pravý polygón leží.

Označenia:
L - bočná hrana;
P je obvod základne;
S O - základná plocha;
H - výška;
P ^ je obvodový kolmý prierez;
S B - Bočný povrch;
V - objem;
S P - Úplná plocha hranolu.

Definícia 2. . Kolmný prierez prizmatického povrchu sa nazýva prierez tohto povrchu lietadlom kolmou na jeho rabers. Na základe predchádzajúcej vety budú všetky kolmé prierezy rovnakého prizmatického povrchu rovné polygónom.

Definícia 3. . Prism sa nazýva polyhedron, ktorý je obmedzený prizmatickou plochou a dvoma rovinami, paralelne navzájom (ale nie sú paralelné nohavičky prizmatického povrchu)
Tváre ležiace v týchto posledných rovinách sa nazývajú základy hranolu; \\ T Tváre patriace do prizmatického povrchu - bočné hrany; \\ T RIBR PRISMATICACH - bočné rebrá hranol. Na základe predchádzajúcej vety, základom hranolu - rovnaké polygóny. Všetky strany tváre Prisms - pologram; \\ T Všetky bočné rebrá sú navzájom rovné.
Je zrejmé, že ak je základom ABCDE PRISM a jeden z Röber AA je veľký a v smere, potom si môžete vybudovať hranol, vedenie pások BB ", SS", .., rovnocenné a paralelné RBRA AA. "

Definícia 4. . Výška hranolu je vzdialenosť medzi rovinami jeho základov (NH ").

Definícia 5. . Prism sa nazýva priamo, ak sú jej zásady kolmé prierezy prizmatického povrchu. V tomto prípade slúži výška hranolu, samozrejme, ju bočné rebro; \\ T Bočné tváre budú obdĺžniky.
Hranoly môžu byť klasifikované podľa počtu bočných tvárí rovných počtu strán polygónu, ktorý slúži ako jeho základňa. Prisms teda môžu byť trojuholníkové, štvorkolové, pentagonálne, atď.

Veta 2. . Bočná povrchová plocha hranolu je rovná produktu bočného okraja na obvodovom kolmej priereze.
Nechajte ABCDEA "B" C "D" E "- tento hranol a abcde - jeho kolmý prierez, takže segmenty AB, BC,. Kolmé na bočné rebrá. Linka AVA" B "je rovnobežník; jeho plocha sa rovná produktu základu AA "k výške, ktorá sa zhoduje s AB; Oblasť GVV "s" sa rovná produktu BB základne "do výšky BC atď. Preto je bočný povrch (tj množstvo strany bočnej plochy) rovná produktu Z bočného okraja, inými slovami, celková dĺžka segmentov AA ", BB", .., v množstve AB + BC + CD + DE + EA.