Niektórzy traktują słowo „postęp” z ostrożnością, jako bardzo złożone określenie z rozdziałów wyższa matematyka. Tymczasem najprostszym postępem arytmetycznym jest praca taksometru (o ile jeszcze istnieją). A zrozumienie istoty (a w matematyce nie ma nic ważniejszego niż „zrozumienie istoty”) ciągu arytmetycznego nie jest takie trudne, po przeanalizowaniu kilku elementarnych pojęć.
Matematyczny ciąg liczb
Sekwencję liczbową nazywa się zwykle serią liczb, z których każda ma swój własny numer.
a 1 jest pierwszym członkiem sekwencji;
oraz 2 jest drugim wyrazem ciągu;
a 7 jest siódmym elementem ciągu;
oraz n oznacza n-ty element ciągu;
Jednak nie interesuje nas żaden dowolny zestaw liczb i liczb. Skupimy naszą uwagę na ciągu liczbowym, w którym wartość n-tego wyrazu jest powiązana z jego liczbą porządkową za pomocą dającej się jasno sformułować matematycznie zależności. Innymi słowy: wartość liczbowa n-tej liczby jest jakąś funkcją n.
a jest wartością elementu ciągu liczbowego;
n to numer seryjny;
f(n) jest funkcją, gdzie argumentem jest liczba porządkowa w ciągu numerycznym n.
Definicja
Postęp arytmetyczny nazywa się zwykle ciągiem liczbowym, w którym każdy kolejny wyraz jest większy (mniejszy) od poprzedniego o tę samą liczbę. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący:
a n - wartość bieżącego członka ciągu arytmetycznego;
a n+1 - wzór na następną liczbę;
d - różnica (pewna liczba).
Łatwo ustalić, że jeśli różnica będzie dodatnia (d>0), to każdy kolejny element rozpatrywanego szeregu będzie większy od poprzedniego i taki postęp arytmetyczny będzie rosnący.
Na poniższym wykresie łatwo zrozumieć, dlaczego sekwencja liczb nazywa się „rosnącą”.
W przypadkach, gdy różnica jest ujemna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Określona wartość elementu członkowskiego
Czasami konieczne jest określenie wartości dowolnego dowolnego wyrazu n ciągu arytmetycznego. Można to zrobić, obliczając sekwencyjnie wartości wszystkich członków ciągu arytmetycznego, zaczynając od pierwszego do żądanego. Jednak ta ścieżka nie zawsze jest akceptowalna, jeśli na przykład konieczne jest znalezienie wartości pięciotysięcznego lub ośmiomilionowego wyrazu. Tradycyjne obliczenia zajmą dużo czasu. Jednakże konkretny postęp arytmetyczny można badać za pomocą pewnych wzorów. Istnieje również wzór na n-ty wyraz: wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego można wyznaczyć jako sumę pierwszego wyrazu ciągu z różnicą postępu, pomnożoną przez liczbę żądanego wyrazu, pomniejszoną przez jeden.
Formuła jest uniwersalna dla progresji rosnącej i malejącej.
Przykład obliczenia wartości danego wyrazu
Rozwiążmy następujący problem znalezienia wartości n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Warunek: istnieje postęp arytmetyczny z parametrami:
Pierwszy wyraz ciągu to 3;
Różnica w szeregach liczbowych wynosi 1,2.
Zadanie: musisz znaleźć wartość 214 wyrazów
Rozwiązanie: aby określić wartość danego wyrazu, korzystamy ze wzoru:
a(n) = a1 + d(n-1)
Podstawiając dane ze sformułowania problemu do wyrażenia, mamy:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odpowiedź: 214. wyraz ciągu jest równy 258,6.
Zalety tej metody obliczeń są oczywiste – całe rozwiązanie zajmuje nie więcej niż 2 linie.
Suma danej liczby wyrazów
Bardzo często w danym szeregu arytmetycznym konieczne jest wyznaczenie sumy wartości niektórych jego odcinków. Aby to zrobić, nie ma również potrzeby obliczania wartości każdego terminu, a następnie ich dodawania. Metodę tę można zastosować, jeśli liczba wyrazów, których sumę należy znaleźć, jest niewielka. W innych przypadkach wygodniej jest zastosować następującą formułę.
Suma wyrazów ciągu arytmetycznego od 1 do n jest równa sumie pierwszego i n-tego wyrazu pomnożonej przez liczbę wyrazu n i podzielonej przez dwa. Jeżeli we wzorze wartość n-tego wyrazu zastąpimy wyrażeniem z poprzedniego akapitu artykułu, otrzymamy:
Przykład obliczeń
Na przykład rozwiążmy problem z następującymi warunkami:
Pierwszy wyraz ciągu wynosi zero;
Różnica wynosi 0,5.
Zadanie wymaga wyznaczenia sumy wyrazów szeregu od 56 do 101.
Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru na określenie wielkości progresji:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Najpierw wyznaczamy sumę wartości 101 wyrazów progresji, podstawiając podane warunki naszego problemu do wzoru:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Oczywiście, aby znaleźć sumę warunków progresji od 56. do 101., należy odjąć S 55 od S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Zatem suma postępu arytmetycznego w tym przykładzie wynosi:
s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5
Przykład praktycznego zastosowania postępu arytmetycznego
Na koniec artykułu wróćmy do przykładu ciągu arytmetycznego podanego w pierwszym akapicie – taksometru (licznik taksówki). Rozważmy ten przykład.
Wejście na taksówkę (co obejmuje 3 km przejazdu) kosztuje 50 rubli. Każdy kolejny kilometr płatny jest według stawki 22 rubli/km. Odległość do pokonania wynosi 30 km. Oblicz koszt podróży.
1. Odrzućmy pierwsze 3 km, których cena jest wliczona w koszt lądowania.
30 - 3 = 27 km.
2. Dalsze obliczenia to nic innego jak analizowanie szeregu liczb arytmetycznych.
Numer członkowski – liczba przejechanych kilometrów (minus pierwsze trzy).
Wartość elementu jest sumą.
Pierwszy człon tego problemu będzie równy 1 = 50 rubli.
Różnica w progresji d = 22 r.
interesująca nas liczba to wartość (27+1)-tego wyrazu ciągu arytmetycznego - stan licznika na końcu 27. kilometra wynosi 27,999... = 28 km.
za 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Obliczenia danych kalendarzowych dla dowolnie długiego okresu opierają się na wzorach opisujących określone ciągi liczbowe. W astronomii długość orbity jest geometrycznie zależna od odległości ciała niebieskiego od gwiazdy. Ponadto różne szeregi liczbowe są z powodzeniem stosowane w statystyce i innych stosowanych obszarach matematyki.
Innym rodzajem ciągu liczbowego jest ciąg geometryczny
Postęp geometryczny charakteryzuje się większym tempem zmian w porównaniu z postępem arytmetycznym. To nie przypadek, że w polityce, socjologii i medycynie, aby pokazać dużą prędkość rozprzestrzeniania się konkretnego zjawiska, na przykład choroby w czasie epidemii, mówi się, że proces ten rozwija się w postępie geometrycznym.
N-ty wyraz szeregu liczb geometrycznych różni się od poprzedniego tym, że jest mnożony przez jakąś stałą liczbę - mianownik, na przykład, pierwszy wyraz wynosi 1, mianownik jest odpowiednio równy 2, a następnie:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - wartość bieżącego wyrazu postępu geometrycznego;
b n+1 - wzór na kolejny wyraz ciągu geometrycznego;
q jest mianownikiem postępu geometrycznego (liczba stała).
Jeśli wykres postępu arytmetycznego jest linią prostą, to postęp geometryczny przedstawia nieco inny obraz:
Podobnie jak w przypadku arytmetyki, postęp geometryczny ma wzór na wartość dowolnego wyrazu. Dowolny n-ty wyraz postępu geometrycznego jest równy iloczynowi pierwszego wyrazu i mianownika postępu do potęgi n pomniejszonej o jeden:
Przykład. Mamy postęp geometryczny, którego pierwszy wyraz jest równy 3, a mianownik postępu jest równy 1,5. Znajdźmy piąty wyraz progresji
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Sumę danej liczby wyrazów oblicza się również za pomocą specjalnego wzoru. Suma n pierwszych wyrazów postępu geometrycznego jest równa różnicy między iloczynem n-tego wyrazu postępu i jego mianownika a pierwszym wyrazem postępu, podzielonej przez mianownik pomniejszony o jeden:
Jeżeli b n zastąpimy wzorem omówionym powyżej, wartość sumy pierwszych n wyrazów rozpatrywanego szeregu liczbowego będzie miała postać:
Przykład. Postęp geometryczny rozpoczyna się od pierwszego wyrazu równego 1. Mianownik jest ustawiony na 3. Znajdźmy sumę pierwszych ośmiu wyrazów.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
I. V. Jakowlew | Materiały matematyczne | MathUs.ru
Postęp arytmetyczny jest szczególnym rodzajem ciągu. Dlatego przed zdefiniowaniem postępu arytmetycznego (a następnie geometrycznego) musimy pokrótce omówić ważne pojęcie ciągu liczbowego.
Podciąg
Wyobraźmy sobie urządzenie, na ekranie którego wyświetlane są jedna po drugiej określone liczby. powiedzmy 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ten zbiór liczb jest właśnie przykładem ciągu.
Definicja. Ciąg liczb to zbiór liczb, w którym każdej liczbie można przypisać unikatową liczbę (tzn. powiązać ją z pojedynczą liczbą naturalną)1. Liczbę n nazywa się n-tym wyrazem ciągu.
Zatem w powyższym przykładzie pierwszą liczbą jest 2, jest to pierwszy element ciągu, który można oznaczyć przez a1; liczba pięć ma liczbę 6 jest piątym wyrazem ciągu, który można oznaczyć przez a5. W ogóle, n-ty termin sekwencje są oznaczone an (lub bn, cn itp.).
Bardzo wygodną sytuacją jest sytuacja, gdy n-ty wyraz ciągu można określić jakimś wzorem. Na przykład wzór an = 2n 3 określa sekwencję: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Wzór an = (1)n określa sekwencję: 1; 1; 1; 1; : : :
Nie każdy zbiór liczb jest sekwencją. Zatem segment nie jest sekwencją; zawiera „zbyt wiele” liczb, aby można je było przenumerować. Zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych również nie jest ciągiem. Fakty te potwierdza się w toku analizy matematycznej.
Postęp arytmetyczny: podstawowe definicje
Teraz jesteśmy gotowi zdefiniować postęp arytmetyczny.
Definicja. Postęp arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz (począwszy od drugiego) jest równy sumie poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby (zwanej różnicą postępu arytmetycznego).
Na przykład sekwencja 2; 5; 8; jedenaście; : : : jest postępem arytmetycznym z pierwszym wyrazem 2 i różnicą 3. Sekwencja 7; 2; 3; 8; : : : jest postępem arytmetycznym z pierwszym wyrazem 7 i różnicą 5. Sekwencja 3; 3; 3; : : : jest postępem arytmetycznym z różnicą równą zero.
Definicja równoważna: ciąg an nazywa się postępem arytmetycznym, jeśli różnica an+1 an jest wartością stałą (niezależną od n).
Postęp arytmetyczny nazywa się rosnącym, jeśli jego różnica jest dodatnia, i malejącym, jeśli jego różnica jest ujemna.
1 Ale tutaj jest bardziej zwięzła definicja: ciąg jest funkcją zdefiniowaną na zbiorze liczb naturalnych. Na przykład ciąg liczb rzeczywistych jest funkcją f: N ! R.
Domyślnie sekwencje są uważane za nieskończone, to znaczy zawierające nieskończoną liczbę liczb. Ale nikt nie przeszkadza nam rozważać ciągów skończonych; w rzeczywistości każdy skończony zbiór liczb można nazwać ciągiem skończonym. Na przykład sekwencja końcowa to 1; 2; 3; 4; Liczba 5 składa się z pięciu liczb.
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
Łatwo zrozumieć, że postęp arytmetyczny jest całkowicie określony przez dwie liczby: pierwszy wyraz i różnicę. Powstaje zatem pytanie: jak znając pierwszy wyraz i różnicę znaleźć dowolny wyraz ciągu arytmetycznego?
Znalezienie wymaganego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego nie jest trudne. Niech
postęp arytmetyczny z różnicą d. Mamy: |
|
an+1 = an + re (n = 1; 2; : : :): |
|
W szczególności piszemy: |
|
a2 = a1 + re; |
|
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; |
|
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; |
|
i teraz staje się jasne, że wzór na an jest następujący: |
|
an = a1 + (n 1)d: |
Zadanie 1. W postępie arytmetycznym 2; 5; 8; jedenaście; : : : znajdź wzór na n-ty wyraz i oblicz setny wyraz.
Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (1) mamy:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Własność i znak postępu arytmetycznego
Własność postępu arytmetycznego. W postępie arytmetycznym an dla dowolnego
Inaczej mówiąc, każdy element ciągu arytmetycznego (zaczynając od drugiego) jest średnią arytmetyczną sąsiadujących z nim elementów.
Dowód. Mamy: |
||||
za n 1 + za n+1 |
(i d) + (an + d) |
|||
czyli to, co było wymagane.
Mówiąc bardziej ogólnie, postęp arytmetyczny an spełnia równość
za n = za n k + za n+k
dla dowolnego n > 2 i dowolnego naturalnego k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Okazuje się, że wzór (2) jest nie tylko warunkiem koniecznym, ale i wystarczającym, aby ciąg był ciągiem arytmetycznym.
Znak postępu arytmetycznego. Jeśli równość (2) zachodzi dla wszystkich n > 2, to ciąg an jest postępem arytmetycznym.
Dowód. Przepiszmy wzór (2) w następujący sposób:
za n za n 1 = za n+1 za n:
Widzimy z tego, że różnica an+1 an nie zależy od n, a to dokładnie oznacza, że ciąg an jest postępem arytmetycznym.
Własność i znak postępu arytmetycznego można sformułować w postaci jednego stwierdzenia; Dla wygody zrobimy to dla trzech liczb (jest to sytuacja, która często pojawia się w problemach).
Charakterystyka postępu arytmetycznego. Trzy liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy 2b = a + c.
Zadanie 2. (MSU, Wydział Ekonomiczny, 2007) Trzy liczby 8x, 3x2 i 4 we wskazanej kolejności tworzą malejący postęp arytmetyczny. Znajdź x i wskaż różnicę tego postępu.
Rozwiązanie. Z własności postępu arytmetycznego mamy:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:
Jeśli x = 1, to otrzymamy postęp malejący 8, 2, 4 z różnicą 6. Jeśli x = 5, to otrzymamy postęp rosnący 40, 22, 4; ten przypadek nie jest odpowiedni.
Odpowiedź: x = 1, różnica wynosi 6.
Suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego
Legenda głosi, że pewnego dnia nauczyciel kazał dzieciom znaleźć sumę liczb od 1 do 100 i spokojnie usiadł, aby przeczytać gazetę. Jednak w ciągu kilku minut jeden chłopiec oznajmił, że rozwiązał problem. Był to 9-letni Carl Friedrich Gauss, późniejszy jeden z najwybitniejszych matematyków w historii.
Pomysł małego Gaussa był następujący. Pozwalać
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Zapiszmy tę kwotę w odwrotnej kolejności:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
i dodaj te dwie formuły:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Każdy wyraz w nawiasie jest równy 101, a łącznie jest 100 takich wyrazów. Zatem
2S = 101 100 = 10100;
Używamy tego pomysłu do wyprowadzenia wzoru na sumę
S = a1 + a2 + : : : + an + za n n: (3)
Przydatną modyfikację wzoru (3) uzyskamy, jeśli podstawimy do niego wzór n-tego wyrazu an = a1 + (n 1)d:
2a1 + (n 1)d |
|||||
Zadanie 3. Znajdź sumę wszystkich dodatnich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 13.
Rozwiązanie. Liczby trzycyfrowe, wielokrotności 13, tworzą postęp arytmetyczny z pierwszym wyrazem 104 i różnicą 13; N-ty wyraz tego ciągu ma postać:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Przekonajmy się, ile terminów zawiera nasza progresja. W tym celu rozwiązujemy nierówność:
6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:
Zatem w naszym postępie jest 69 członków. Korzystając ze wzoru (4) znajdujemy wymaganą ilość:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Na przykład sekwencja \(2\); \(5\); \(8\); \(jedenaście\); \(14\)... jest postępem arytmetycznym, gdyż każdy kolejny element różni się od poprzedniego o trzy (można uzyskać z poprzedniego dodając trzy):
W tym postępie różnica \(d\) jest dodatnia (równa \(3\)), a zatem każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Takie postępy nazywane są wzrastający.
Jednak \(d\) może być również liczbą ujemną. Na przykład, w postępie arytmetycznym \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... różnica progresji \(d\) jest równa minus sześć.
I w tym przypadku każdy kolejny element będzie mniejszy od poprzedniego. Te progresje nazywane są malejące.
Notacja postępu arytmetycznego
Postęp jest oznaczony małą literą łacińską.
Liczby tworzące progresję nazywane są członkowie(lub elementy).
Oznacza się je tą samą literą, co ciąg arytmetyczny, ale z indeksem liczbowym równym numerowi elementu w kolejności.
Na przykład ciąg arytmetyczny \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) składa się z elementów \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tak dalej.
Innymi słowy, dla progresji \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Rozwiązywanie problemów z postępem arytmetycznym
W zasadzie informacje przedstawione powyżej wystarczą już do rozwiązania prawie każdego problemu progresji arytmetycznej (w tym tych oferowanych w OGE).
Przykład (OGE).
Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(b_1=7; d=4\). Znajdź \(b_5\).
Rozwiązanie:
Odpowiedź: \(b_5=23\)
Przykład (OGE).
Podano trzy pierwsze wyrazy postępu arytmetycznego: \(62; 49; 36…\) Znajdź wartość pierwszego ujemnego wyrazu tego ciągu.
Rozwiązanie:
|
Mamy dane pierwsze elementy ciągu i wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny. Oznacza to, że każdy element różni się od swojego sąsiada tą samą liczbą. Dowiedzmy się który, odejmując poprzedni od następnego elementu: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Teraz możemy przywrócić naszą progresję do (pierwszego negatywnego) elementu, którego potrzebujemy. |
|
|
Gotowy. Możesz napisać odpowiedź. |
Odpowiedź: \(-3\)
Przykład (OGE).
Mając kilka kolejnych elementów ciągu arytmetycznego: \(…5; x; 10; 12,5...\) Znajdź wartość elementu oznaczonego literą \(x\).
Rozwiązanie:
|
|
Aby znaleźć \(x\), musimy wiedzieć, jak bardzo następny element różni się od poprzedniego, innymi słowy, różnica w progresji. Znajdźmy go na podstawie dwóch znanych sąsiednich elementów: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
I teraz możemy łatwo znaleźć to, czego szukamy: \(x=5+2,5=7,5\). |
|
|
Gotowy. Możesz napisać odpowiedź. |
Odpowiedź: \(7,5\).
Przykład (OGE).
Postęp arytmetyczny definiują następujące warunki: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Znajdź sumę pierwszych sześciu wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:
|
Musimy znaleźć sumę pierwszych sześciu wyrazów progresji. Nie znamy jednak ich znaczenia, podany jest nam jedynie pierwszy element. Dlatego najpierw obliczamy wartości jedna po drugiej, korzystając z tego, co nam podano: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Znaleziono wymaganą kwotę. |
Odpowiedź: \(S_6=9\).
Przykład (OGE).
W postępie arytmetycznym \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Znajdź różnicę tego postępu.
Rozwiązanie:
Odpowiedź: \(d=7\).
Ważne wzory na postęp arytmetyczny
Jak widać, wiele problemów z postępem arytmetycznym można rozwiązać po prostu rozumiejąc najważniejszą rzecz - że ciąg arytmetyczny jest ciągiem liczb, a każdy kolejny element w tym łańcuchu uzyskuje się przez dodanie tej samej liczby do poprzedniej (tzw. różnica w postępie).
Czasami jednak zdarzają się sytuacje, w których podjęcie decyzji „od razu” jest bardzo niewygodne. Wyobraźmy sobie na przykład, że w pierwszym przykładzie musimy znaleźć nie piąty element \(b_5\), ale trzysta osiemdziesiąty szósty \(b_(386)\). Czy powinniśmy dodać cztery \(385\) razy? Lub wyobraź sobie, że w przedostatnim przykładzie musisz znaleźć sumę pierwszych siedemdziesięciu trzech elementów. Będziesz zmęczony liczeniem...
Dlatego w takich przypadkach nie rozwiązuje się sprawy „od razu”, ale stosuje się specjalne wzory wyprowadzone na postęp arytmetyczny. A najważniejsze to wzór na n-ty wyraz progresji i wzór na sumę \(n\) pierwszych wyrazów.
Wzór \(n\)tego wyrazu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdzie \(a_1\) jest pierwszym wyrazem ciągu;
\(n\) – numer wymaganego elementu;
\(a_n\) – wyraz ciągu o numerze \(n\).
Formuła ta pozwala nam szybko znaleźć nawet trzysetny lub milionowy element, znając tylko pierwszy i różnicę progresji.
Przykład.
Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Znajdź \(b_(246)\).
Rozwiązanie:
Odpowiedź: \(b_(246)=1850\).
Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdzie
\(a_n\) – ostatni zsumowany wyraz;
Przykład (OGE).
Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(a_n=3,4n-0,6\). Znajdź sumę pierwszych \(25\) wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Aby obliczyć sumę pierwszych dwudziestu pięciu wyrazów, musimy znać wartość pierwszego i dwudziestego piątego wyrazu. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Teraz znajdźmy dwudziesty piąty wyraz, zastępując dwadzieścia pięć zamiast \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Cóż, teraz możemy łatwo obliczyć wymaganą kwotę. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Odpowiedź jest gotowa. |
Odpowiedź: \(S_(25)=1090\).
Na sumę \(n\) pierwszych wyrazów możesz uzyskać inny wzór: wystarczy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) zamiast \(a_n\) zamień na to wzór \(a_n=a_1+(n-1)d\). Otrzymujemy:
Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdzie
\(S_n\) – wymagana suma \(n\) pierwszych elementów;
\(a_1\) – pierwszy wyraz zsumowany;
\(d\) – różnica progresji;
\(n\) – całkowita liczba elementów.
Przykład.
Znajdź sumę pierwszych \(33\)-ex wyrazów ciągu arytmetycznego: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Rozwiązanie:
Odpowiedź: \(S_(33)=-231\).
Bardziej złożone problemy postępu arytmetycznego
Teraz masz wszystkie informacje potrzebne do rozwiązania niemal każdego problemu postępu arytmetycznego. Zakończmy temat rozważeniem problemów, w których trzeba nie tylko zastosować formuły, ale i trochę pomyśleć (w matematyce może się to przydać ☺)
Przykład (OGE).
Znajdź sumę wszystkich ujemnych wyrazów progresji: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rozwiązanie:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego. Zaczynamy rozwiązywać to samo: najpierw znajdujemy \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Teraz chciałbym podstawić \(d\) do wzoru na sumę... i oto wychodzi mały niuans– nie wiemy \(n\). Innymi słowy, nie wiemy, ile terminów trzeba będzie dodać. Jak się dowiedzieć? Pomyślmy. Przestaniemy dodawać elementy, gdy osiągniemy pierwszy pozytywny element. Oznacza to, że musisz znaleźć numer tego elementu. Jak? Zapiszmy dla naszego przypadku wzór na obliczenie dowolnego elementu ciągu arytmetycznego: \(a_n=a_1+(n-1)d\). |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Potrzebujemy \(a_n\), aby stać się większym od zera. Dowiedzmy się, kiedy \(n\) to się stanie. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Obie strony nierówności dzielimy przez \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Przenosimy minus jeden, nie zapominając o zmianie znaków |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Obliczmy... |
|
|
\(n>65 333…\) |
...i okazuje się, że to pierwsze elementem pozytywnym będzie miał liczbę \(66\). Odpowiednio, ostatnia liczba ujemna ma \(n=65\). Na wszelki wypadek sprawdźmy to. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Musimy więc dodać pierwsze \(65\) elementy. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Odpowiedź jest gotowa. |
Odpowiedź: \(S_(65)=-630,5\).
Przykład (OGE).
Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Znajdź sumę od \(26\) do \(42\) elementu włącznie.
Rozwiązanie:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
W tym zadaniu również trzeba znaleźć sumę elementów, ale zaczynając nie od pierwszego, ale od \(26\)-tego. Na taki przypadek nie mamy wzoru. Jak zdecydować? |
|
|
Dla naszej progresji \(a_1=-33\) i różnicy \(d=4\) (w końcu dodajemy czwórkę do poprzedniego elementu, żeby znaleźć następny). Wiedząc o tym, znajdujemy sumę pierwszych \(42\)-y elementów. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Teraz suma pierwszych \(25\) elementów. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Na koniec obliczamy odpowiedź. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Odpowiedź: \(S=1683\).
W przypadku postępu arytmetycznego istnieje jeszcze kilka formuł, których nie rozważaliśmy w tym artykule ze względu na ich niską przydatność praktyczną. Można je jednak łatwo znaleźć.
Tak, tak: postęp arytmetyczny to nie zabawka dla Ciebie :) Cóż, przyjaciele, jeśli czytacie ten tekst, to wewnętrzne dowody cap mówią mi, że jeszcze nie wiecie, czym jest postęp arytmetyczny, ale naprawdę (nie, w ten sposób: DUŻO!) chcecie się tego dowiedzieć. Dlatego nie będę Was dręczyć długimi wstępami i od razu przejdę do sedna.
Najpierw kilka przykładów. Przyjrzyjmy się kilku zestawom liczb:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Co łączy wszystkie te zestawy? Na pierwszy rzut oka nic. Ale rzeczywiście coś jest. Mianowicie: każdy kolejny element różni się od poprzedniego tą samą liczbą.
Oceńcie sami. Pierwszy zestaw to po prostu kolejne liczby, a każda następna jest o jeden większa od poprzedniej. W drugim przypadku różnica między seriami stałe numery wynosi już pięć, ale różnica ta jest nadal stała. W trzecim przypadku są w ogóle korzenie. Jednak $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ i $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. i w tym przypadku każdy kolejny element po prostu zwiększa się o $\sqrt(2)$ (i nie bój się, że ta liczba jest irracjonalna).
Zatem: wszystkie takie ciągi nazywane są postępami arytmetycznymi. Podajmy ścisłą definicję:
Definicja. Ciąg liczb, w którym każda kolejna różni się od poprzedniej dokładnie o tę samą kwotę, nazywa się postępem arytmetycznym. Sama wielkość różnicy między liczbami nazywana jest różnicą progresji i najczęściej oznaczana jest literą $d$.
Notacja: $\left(((a)_(n)) \right)$ to sama progresja, $d$ to jej różnica.
I tylko kilka ważnych uwag. Po pierwsze, brana jest pod uwagę jedynie progresja zamówione sekwencja liczb: można je czytać ściśle w kolejności, w jakiej zostały zapisane – i nic więcej. Liczb nie można zmieniać ani zamieniać.
Po drugie, sama sekwencja może być skończona lub nieskończona. Na przykład zbiór (1; 2; 3) jest oczywiście skończonym ciągiem arytmetycznym. Ale jeśli napiszesz coś w duchu (1; 2; 3; 4; ...) - to już jest nieskończony postęp. Wielokropek po czwórce wydaje się wskazywać, że przed nami jeszcze kilka liczb. Na przykład nieskończenie wiele. :)
Chciałbym również zauważyć, że progresja może być rosnąca lub malejąca. Widzieliśmy już rosnące - ten sam zbiór (1; 2; 3; 4; ...). Oto przykłady progresji malejącej:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
OK, OK: ostatni przykład może wydawać się zbyt skomplikowany. Ale resztę, jak sądzę, rozumiesz. Dlatego wprowadzamy nowe definicje:
Definicja. Postęp arytmetyczny nazywa się:
- rosnący, jeśli każdy kolejny element jest większy od poprzedniego;
- zmniejsza się, jeśli wręcz przeciwnie, każdy kolejny element jest mniejszy niż poprzedni.
Ponadto istnieją tak zwane ciągi „stacjonarne” - składają się z tej samej powtarzającej się liczby. Na przykład (3; 3; 3; ...).
Pozostaje tylko jedno pytanie: jak odróżnić progresję rosnącą od malejącej? Na szczęście wszystko tutaj zależy tylko i wyłącznie od znaku liczby $d$, czyli: różnice w progresji:
- Jeśli $d \gt 0$, to postęp wzrasta;
- Jeśli $d \lt 0$, to postęp oczywiście maleje;
- Wreszcie mamy przypadek $d=0$ - w tym przypadku cały postęp sprowadza się do stacjonarnego ciągu identycznych liczb: (1; 1; 1; 1; ...) itd.
Spróbujmy obliczyć różnicę $d$ dla trzech podanych powyżej progresji malejących. Aby to zrobić, wystarczy wziąć dowolne dwa sąsiednie elementy (na przykład pierwszy i drugi) i odjąć liczbę po lewej stronie od liczby po prawej stronie. Będzie to wyglądać tak:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Jak widać, we wszystkich trzech przypadkach różnica faktycznie okazała się ujemna. A teraz, gdy już mniej więcej opracowaliśmy definicje, czas dowiedzieć się, jak opisuje się progresje i jakie mają właściwości.
Warunki progresji i formuła powtarzalności
Ponieważ elementów naszych ciągów nie można zamieniać miejscami, można je ponumerować:
\[\lewy(((a)_(n)) \prawy)=\lewy\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Prawidłowy\)\]
Poszczególne elementy tego zbioru nazywane są elementami progresji. Są one oznaczone numerem: pierwszy członek, drugi członek itp.
Ponadto, jak już wiemy, sąsiednie wyrazy progresji powiązane są wzorem:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Strzałka w prawo ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Krótko mówiąc, aby znaleźć $n$-ty wyraz progresji, musisz znać $n-1$-ty wyraz i różnicę $d$. Formuła ta nazywa się rekurencyjną, ponieważ za jej pomocą można znaleźć dowolną liczbę tylko znając poprzednią (a właściwie wszystkie poprzednie). Jest to bardzo niewygodne, dlatego istnieje bardziej przebiegła formuła, która redukuje wszelkie obliczenia do pierwszego członu i różnicy:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\lewo(n-1 \prawo)d\]
Prawdopodobnie spotkałeś się już z tą formułą. Lubią podawać to w różnego rodzaju podręcznikach i książkach z rozwiązaniami. I w każdym rozsądnym podręczniku do matematyki jest to jeden z pierwszych.
Radzę jednak trochę poćwiczyć.
Zadanie nr 1. Zapisz pierwsze trzy wyrazy ciągu arytmetycznego $\left(((a)_(n)) \right)$ jeśli $((a)_(1))=8,d=-5$.
Rozwiązanie. Znamy więc pierwszy wyraz $((a)_(1))=8$ i różnicę progresji $d=-5$. Użyjmy podanego wzoru i zamieńmy $n=1$, $n=2$ i $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Odpowiedź: (8; 3; −2)
To wszystko! Uwaga: nasz postęp maleje.
Oczywiście $n=1$ nie dało się zastąpić - pierwszy wyraz jest nam już znany. Jednak podstawiając jedność, byliśmy przekonani, że nawet dla pierwszego wyrazu nasza formuła działa. W innych przypadkach wszystko sprowadzało się do banalnej arytmetyki.
Zadanie nr 2. Zapisz pierwsze trzy wyrazy postępu arytmetycznego, jeśli jego siódmy wyraz jest równy –40, a siedemnasty wyraz jest równy –50.
Rozwiązanie. Zapiszmy warunek problemu w znany sposób:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\(\begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Prawidłowy.\]
Umieszczam znak systemowy, ponieważ te wymagania muszą być spełnione jednocześnie. Zauważmy teraz, że jeśli odejmiemy pierwsze od drugiego równania (mamy do tego prawo, ponieważ mamy układ), otrzymamy to:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Tak łatwo jest znaleźć różnicę w progresji! Pozostaje tylko zastąpić znalezioną liczbę dowolnym równaniem układu. Na przykład w pierwszym:
\[\begin(macierz) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(macierz)\]
Teraz, znając pierwszy termin i różnicę, pozostaje znaleźć drugi i trzeci wyraz:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
Gotowy! Problem jest rozwiązany.
Odpowiedź: (-34; -35; -36)
Zwróć uwagę na interesującą właściwość progresji, którą odkryliśmy: jeśli weźmiemy wyrazy $n$th i $m$th i odejmiemy je od siebie, otrzymamy różnicę progresji pomnożoną przez liczbę $n-m$:
\[(a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Proste, ale bardzo przydatna właściwość, o czym zdecydowanie musisz wiedzieć – z jego pomocą możesz znacznie przyspieszyć rozwiązanie wielu problemów progresyjnych. Oto wyraźny przykład:
Zadanie nr 3. Piąty wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 8,4, a dziesiąty wyraz to 14,4. Znajdź piętnasty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie. Ponieważ $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ i musimy znaleźć $((a)_(15))$, zauważamy co następuje:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Ale według warunku $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, zatem $5d=6$, z czego mamy:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]
Odpowiedź: 20,4
To wszystko! Nie musieliśmy tworzyć żadnych układów równań i obliczać pierwszego wyrazu i różnicy - wszystko zostało rozwiązane w zaledwie kilku linijkach.
Przyjrzyjmy się teraz innemu rodzajowi problemu - poszukiwaniu negatywnych i pozytywnych terminów progresji. Nie jest tajemnicą, że jeśli progresja narasta, a jej pierwszy wyraz jest ujemny, to prędzej czy później pojawią się w niej człony pozytywne. I odwrotnie: warunki progresji malejącej prędzej czy później staną się negatywne.
Jednocześnie nie zawsze można znaleźć ten moment „od razu”, przechodząc kolejno przez elementy. Często zadania są pisane w taki sposób, że bez znajomości wzorów obliczenia zajęłyby kilka kartek papieru – po prostu zasypialibyśmy w trakcie szukania odpowiedzi. Dlatego spróbujmy rozwiązać te problemy szybciej.
Zadanie nr 4. Ile wyrazów ujemnych znajduje się w postępie arytmetycznym -38,5; −35,8; ...?
Rozwiązanie. Zatem $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, skąd natychmiast znajdujemy różnicę:
Należy pamiętać, że różnica jest dodatnia, więc progresja wzrasta. Pierwszy wyraz jest ujemny, więc rzeczywiście w pewnym momencie natkniemy się na liczby dodatnie. Pytanie tylko, kiedy to nastąpi.
Spróbujmy dowiedzieć się: do kiedy (tj. do czego Liczba naturalna$n$) zachowana zostaje negatywność terminów:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Strzałka w prawo ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \prawo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Strzałka w prawo ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]
Ostatnia linijka wymaga wyjaśnienia. Wiemy więc, że $n \lt 15\frac(7)(27)$. Z drugiej strony zadowalają nas tylko całkowite wartości liczby (co więcej: $n\in \mathbb(N)$), zatem największą dopuszczalną liczbą jest właśnie $n=15$, a w żadnym wypadku 16 .
Zadanie nr 5. W postępie arytmetycznym $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Znajdź numer pierwszego dodatniego wyrazu tego ciągu.
Byłby to dokładnie ten sam problem, co poprzedni, ale nie znamy $((a)_(1))$. Ale znane są wyrazy sąsiednie: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, więc łatwo możemy znaleźć różnicę progresji:
Ponadto spróbujmy wyrazić wyraz piąty poprzez pierwszy i różnicę za pomocą standardowego wzoru:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Teraz postępujemy analogicznie do poprzedniego zadania. Przekonajmy się, w którym momencie naszego ciągu pojawią się liczby dodatnie:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Strzałka w prawo ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
Minimalnym rozwiązaniem całkowitym tej nierówności jest liczba 56.
Uwaga: w ostatnim zadaniu wszystko się sprowadzało ścisła nierówność, więc opcja $n=55$ nam nie będzie odpowiadać.
Teraz, gdy nauczyliśmy się rozwiązywać proste problemy, przejdźmy do bardziej złożonych. Ale najpierw przeanalizujmy inną bardzo przydatną właściwość postępów arytmetycznych, która w przyszłości zaoszczędzi nam dużo czasu i nierównych komórek. :)
Średnia arytmetyczna i równe wcięcia
Rozważmy kilka kolejnych wyrazów rosnącego postępu arytmetycznego $\left(((a)_(n)) \right)$. Spróbujmy zaznaczyć je na osi liczbowej:
Warunki ciągu arytmetycznego na osi liczbowejSpecjalnie zaznaczyłem dowolne terminy $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a nie jakieś $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ itd. Ponieważ zasada, o której teraz opowiem, działa tak samo dla dowolnych „segmentów”.
A zasada jest bardzo prosta. Zapamiętajmy wzór powtarzający się i zapiszmy go dla wszystkich zaznaczonych terminów:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
Równości te można jednak przepisać inaczej:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
No i co? Oraz fakt, że terminy $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ leżą w tej samej odległości od $((a)_(n)) $ . A ta odległość jest równa $d$. To samo można powiedzieć o terminach $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - są one również usunięte z $((a)_(n) )$ w tej samej odległości równej 2d$. Można tak ciągnąć w nieskończoność, ale znaczenie dobrze ilustruje rysunek
Warunki progresji leżą w tej samej odległości od centrum Co to oznacza dla nas? Oznacza to, że $((a)_(n))$ można znaleźć, jeśli znane są sąsiednie liczby:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Wyprowadziliśmy doskonałe stwierdzenie: każdy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy średniej arytmetycznej wyrazów sąsiednich! Co więcej: możemy cofnąć się od naszego $((a)_(n))$ w lewo i w prawo nie o jeden krok, ale o $k$ kroków - a formuła nadal będzie poprawna:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Te. możemy łatwo znaleźć trochę $((a)_(150))$, jeśli znamy $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, ponieważ $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że fakt ten nie daje nam niczego przydatnego. Jednak w praktyce wiele problemów jest specjalnie dostosowanych do stosowania średniej arytmetycznej. Spójrz:
Zadanie nr 6. Znajdź wszystkie wartości $x$, dla których liczby $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ są kolejnymi wyrazami postęp arytmetyczny (w podanej kolejności).
Rozwiązanie. Ponieważ liczby te należą do ciągu, spełniony jest dla nich warunek średniej arytmetycznej: element centralny $x+1$ można wyrazić w postaci elementów sąsiednich:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
Wyszło klasycznie równanie kwadratowe. Odpowiedzią są jego pierwiastki: $x=2$ i $x=-3$.
Odpowiedź: −3; 2.
Zadanie nr 7. Znajdź wartości $$, dla których liczby $-1;4-3;(()^(2))+1$ tworzą ciąg arytmetyczny (w tej kolejności).
Rozwiązanie. Wyraźmy jeszcze raz wyraz średni za pomocą średniej arytmetycznej sąsiadujących wyrazów:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \prawo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Znów równanie kwadratowe. I znowu mamy dwa pierwiastki: $x=6$ i $x=1$.
Odpowiedź 1; 6.
Jeśli w trakcie rozwiązywania problemu natkniesz się na jakieś brutalne liczby lub nie jesteś do końca pewien poprawności znalezionych odpowiedzi, istnieje wspaniała technika, która pozwala sprawdzić: czy poprawnie rozwiązaliśmy problem?
Załóżmy, że w zadaniu nr 6 otrzymaliśmy odpowiedzi −3 i 2. Jak możemy sprawdzić, czy te odpowiedzi są poprawne? Po prostu podłączmy je do stanu pierwotnego i zobaczmy, co się stanie. Przypomnę, że mamy trzy liczby ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$), które muszą tworzyć postęp arytmetyczny. Podstawmy $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Mamy liczby -54; −2; Liczba 50 różniących się o 52 jest niewątpliwie ciągiem arytmetycznym. To samo dzieje się dla $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Znowu progresja, ale z różnicą 27. Zatem problem został rozwiązany poprawnie. Chętni mogą sami sprawdzić drugi problem, ale od razu powiem: tam też wszystko jest w porządku.
Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązując ostatnie problemy, natknęliśmy się na kolejne interesujący fakt, o czym również warto pamiętać:
Jeśli trzy liczby są takie, że druga jest środkiem najpierw arytmetyka i na koniec, liczby te tworzą ciąg arytmetyczny.
W przyszłości zrozumienie tego stwierdzenia pozwoli nam dosłownie „skonstruować” niezbędne postępy w oparciu o warunki problemu. Zanim jednak zajmiemy się taką „konstrukcją”, warto zwrócić uwagę na jeszcze jeden fakt, który bezpośrednio wynika z tego, co zostało już omówione.
Grupowanie i sumowanie elementów
Wróćmy jeszcze raz do osi liczb. Zauważmy tam kilku członków postępu, pomiędzy którymi być może. jest wart wielu innych członków:
Na osi liczbowej zaznaczono 6 elementówSpróbujmy wyrazić „lewy ogon” poprzez $((a)_(n))$ i $d$, a „prawy ogon” poprzez $((a)_(k))$ i $d$. To jest bardzo proste:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Teraz zauważ, że następujące kwoty są równe:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Mówiąc najprościej, jeśli na początek weźmiemy pod uwagę dwa elementy progresji, które w sumie są równe pewnej liczbie $S$, a następnie zaczniemy od tych elementów schodzić w przeciwnych kierunkach (do siebie lub odwrotnie, aby się oddalić), Następnie sumy elementów, na które się natkniemy, również będą równe$S$. Najłatwiej można to przedstawić graficznie:
Równe wcięcia dają równe kwoty Zrozumienie ten fakt pozwoli nam rozwiązać problemy o zasadniczo wyższym poziomie złożoności niż te, które rozważaliśmy powyżej. Na przykład te:
Zadanie nr 8. Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz wynosi 66, a iloczyn drugiego i dwunastego wyrazu jest najmniejszy z możliwych.
Rozwiązanie. Zapiszmy wszystko, co wiemy:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]
Nie znamy więc różnicy w progresji $d$. Właściwie całe rozwiązanie zostanie zbudowane wokół różnicy, ponieważ iloczyn $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ można przepisać w następujący sposób:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]
Dla tych, którzy są w zbiorniku: wziąłem całkowity mnożnik 11 z drugiego nawiasu. Zatem pożądany iloczyn jest funkcją kwadratową w odniesieniu do zmiennej $d$. Rozważmy zatem funkcję $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - jej wykres będzie parabolą z gałęziami skierowanymi do góry, ponieważ jeśli rozszerzymy nawiasy, otrzymamy:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Jak widać współczynnik najwyższego wyrazu wynosi 11 - jest to liczba dodatnia, więc tak naprawdę mamy do czynienia z parabolą z gałęziami skierowanymi w górę:
harmonogram funkcja kwadratowa- parabola
Uwaga: ta parabola przyjmuje swoją minimalną wartość w wierzchołku z odciętą $((d)_(0))$. Oczywiście tę odciętą możemy obliczyć korzystając ze standardowego schematu (istnieje wzór $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale dużo rozsądniej byłoby to zauważyć że żądany wierzchołek leży na osi symetrii paraboli, zatem punkt $((d)_(0))$ jest w równej odległości od pierwiastków równania $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
Dlatego nie spieszyło mi się szczególnie z otwieraniem zamków: w ich oryginalnej formie korzenie były bardzo, bardzo łatwe do znalezienia. Dlatego odcięta jest równa średniej liczby arytmetyczne−66 i −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Co daje nam odkryta liczba? Wraz z nim potrzebny produkt jest zabierany najmniejsza wartość(nawiasem mówiąc, nigdy nie obliczaliśmy $((y)_(\min ))$ - nie jest to od nas wymagane). Jednocześnie liczba ta jest różnicą pierwotnego postępu, tj. znaleźliśmy odpowiedź. :)
Odpowiedź: −36
Zadanie nr 9. Pomiędzy liczby $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ wstaw trzy liczby tak, aby razem z nimi tworzyły ciąg arytmetyczny.
Rozwiązanie. Zasadniczo musimy utworzyć sekwencję pięciu liczb, przy czym pierwsza i ostatnia liczba są już znane. Oznaczmy brakujące liczby za pomocą zmiennych $x$, $y$ i $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Zauważ, że liczba $y$ jest „środkiem” naszego ciągu - jest w równej odległości od liczb $x$ i $z$ oraz od liczb $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)(6)$. A jeśli z liczb $x$ i $z$ w którym się znajdujemy ten moment nie uda nam się zdobyć $y$, wtedy sytuacja wygląda inaczej przy końcówkach progresji. Przypomnijmy średnią arytmetyczną:
Teraz, znając $y$, znajdziemy pozostałe liczby. Zauważ, że $x$ leży pomiędzy liczbami $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$, które właśnie znaleźliśmy. Dlatego
Stosując podobne rozumowanie, znajdujemy pozostałą liczbę:
Gotowy! Znaleźliśmy wszystkie trzy liczby. Zapiszmy je w odpowiedzi w kolejności, w jakiej należy je wstawić pomiędzy oryginalne liczby.
Odpowiedź: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Zadanie nr 10. Pomiędzy liczby 2 i 42 wstaw kilka liczb, które razem z tymi liczbami tworzą ciąg arytmetyczny, jeśli wiesz, że suma pierwszej, drugiej i ostatniej z wstawionych liczb wynosi 56.
Rozwiązanie. Nawet więcej trudne zadanie, który jednak rozwiązuje się według tego samego schematu, co poprzednie - poprzez średnią arytmetyczną. Problem w tym, że nie wiemy dokładnie, ile liczb należy wstawić. Załóżmy więc dla pewności, że po wstawieniu wszystkiego będzie dokładnie $n$ liczb, a pierwsza z nich to 2, a ostatnia to 42. W tym przypadku wymagany postęp arytmetyczny można przedstawić w postaci:
\[\lewo(((a)_(n)) \prawo)=\lewo\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \prawo\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Należy jednak pamiętać, że liczby $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ otrzymuje się z liczb 2 i 42 na krawędziach o jeden krok ku sobie, tj. . do środka sekwencji. A to oznacza, że
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ale wtedy wyrażenie zapisane powyżej można przepisać w następujący sposób:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Znając $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, możemy łatwo znaleźć różnicę progresji:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Strzałka w prawo d=5. \\ \end(align)\]
Pozostaje tylko znaleźć pozostałe wyrazy:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Tym samym już w 9. kroku dotrzemy do lewego końca ciągu – liczby 42. W sumie należało wstawić tylko 7 liczb: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Odpowiedź: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Zadania tekstowe z progresją
Podsumowując, chciałbym rozważyć kilka stosunkowo prostych problemów. No cóż, proste: dla większości uczniów, którzy uczą się matematyki w szkole i nie przeczytali tego, co napisano powyżej, te problemy mogą wydawać się trudne. Niemniej jednak tego typu problemy pojawiają się na egzaminie OGE i Unified State Exam z matematyki, dlatego polecam się z nimi zapoznać.
Zadanie nr 11. W styczniu zespół wyprodukował 62 części, a w każdym kolejnym miesiącu wyprodukował o 14 części więcej niż w miesiącu poprzednim. Ile części wyprodukował zespół w listopadzie?
Rozwiązanie. Oczywiście liczba części wymienionych według miesiąca będzie reprezentować rosnący postęp arytmetyczny. Ponadto:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Listopad to 11 miesiąc roku, więc musimy znaleźć $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Tym samym w listopadzie wyprodukowane zostaną 202 części.
Zadanie nr 12. Pracownia introligatorska opatrzyła w styczniu 216 woluminów, a w każdym kolejnym miesiącu oprawiała o 4 woluminy więcej niż w miesiącu poprzednim. Ile książek oprawiono w grudniu na warsztatach?
Rozwiązanie. Wszystkie takie same:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Grudzień jest ostatnim, 12-tym miesiącem roku, więc szukamy $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Oto odpowiedź – w grudniu zostanie oprawionych 260 książek.
Cóż, jeśli doczytałeś aż dotąd, spieszę pogratulować: „Oczywiście młody wojownik„W postępach arytmetycznych pomyślnie zdałeś egzamin. Możesz bezpiecznie przejść do następnej lekcji, gdzie przestudiujemy wzór na sumę progresji, a także ważne i bardzo przydatne konsekwencje z niego wynikające.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)
Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każda liczba jest większa (lub mniejsza) od poprzedniej o tę samą kwotę.
Temat ten często wydaje się skomplikowany i niezrozumiały. Indeksy liter, n-ty wyraz progresji, różnica progresji - wszystko to jest w jakiś sposób mylące, tak... Ustalmy znaczenie postępu arytmetycznego i od razu wszystko się poprawi.)
Pojęcie postępu arytmetycznego.
Postęp arytmetyczny jest pojęciem bardzo prostym i przejrzystym. Czy masz jakieś wątpliwości? Na próżno.) Przekonaj się sam.
Napiszę niedokończony ciąg liczb:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Czy możesz przedłużyć tę serię? Jakie liczby będą następne, po piątce? Wszyscy… hm… w skrócie, wszyscy zorientują się, że liczby 6, 7, 8, 9 itd. będą następne.
Skomplikujmy zadanie. Podaję niedokończony ciąg liczb:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Będziesz mógł złapać wzór, rozszerzyć serię i nazwać siódmy Numer wiersza?
Jeśli zdałeś sobie sprawę, że ta liczba to 20, gratulacje! Nie tylko ty to czułeś kluczowe punkty postępu arytmetycznego, ale także z sukcesem wykorzystał je w biznesie! Jeśli jeszcze tego nie zrozumiałeś, czytaj dalej.
Teraz przełóżmy kluczowe punkty z wrażeń na matematykę.)
Pierwszy kluczowy punkt.
Postęp arytmetyczny dotyczy szeregów liczb. Na początku jest to mylące. Jesteśmy przyzwyczajeni do rozwiązywania równań, rysowania wykresów i tak dalej... Ale tutaj przedłużamy szereg, znajdujemy numer szeregu...
W porządku. Tyle, że progresje to pierwsza znajomość z nową gałęzią matematyki. Sekcja nosi nazwę „Seria” i działa w szczególności z seriami liczb i wyrażeń. Przyzwyczaić się do tego.)
Drugi kluczowy punkt.
W postępie arytmetycznym każda liczba różni się od poprzedniej o tę samą kwotę.
W pierwszym przykładzie różnica ta wynosi jeden. Bez względu na to, jaką liczbę wybierzesz, będzie ona o jeden większa od poprzedniej. W drugim - trzy. Dowolna liczba jest o trzy większa od poprzedniej. Właściwie to właśnie ten moment daje nam możliwość uchwycenia wzoru i obliczenia kolejnych liczb.
Trzeci kluczowy punkt.
Ten moment nie jest uderzający, to prawda... Ale jest bardzo, bardzo ważny. Tutaj jest: Każdy numer progresji znajduje się na swoim miejscu. Jest pierwsza liczba, jest siódma, jest czterdziesta piąta itd. Jeśli losowo je pomieszasz, wzór zniknie. Zniknie także postęp arytmetyczny. Pozostała tylko seria liczb.
O to właśnie chodzi.
Oczywiście w nowym temacie pojawiają się nowe terminy i oznaczenia. Musisz je poznać. Inaczej nie zrozumiesz zadania. Na przykład będziesz musiał zdecydować o czymś takim:
Zapisz pierwsze sześć wyrazów ciągu arytmetycznego (a n), jeśli a 2 = 5, d = -2,5.
Inspirujesz?) Listy, jakieś indeksy... A zadanie, swoją drogą, nie mogło być prostsze. Musisz tylko zrozumieć znaczenie terminów i oznaczeń. Teraz opanujemy tę sprawę i wrócimy do zadania.
Terminy i oznaczenia.
Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każda liczba różni się od poprzedniej o tę samą kwotę.
Ta ilość nazywa się . Przyjrzyjmy się tej koncepcji bardziej szczegółowo.
Różnica postępu arytmetycznego.
Różnica postępu arytmetycznego to kwota, o jaką dowolny numer progresji więcej Poprzedni.
Jeden ważny punkt. Proszę zwrócić uwagę na słowo "więcej". Matematycznie oznacza to, że każdy numer progresji jest poprzez dodanie różnica postępu arytmetycznego do poprzedniej liczby.
Powiedzmy, że do obliczenia drugi numery serii, musisz Pierwszy numer dodać właśnie tę różnicę w postępie arytmetycznym. Do obliczeń piąty- różnica jest konieczna dodać Do czwarty, cóż, itp.
Różnica postępu arytmetycznego Może pozytywny, wtedy każda liczba w szeregu okaże się prawdziwa więcej niż poprzednio. Ten postęp nazywa się wzrastający. Na przykład:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Tutaj uzyskuje się każdą liczbę poprzez dodanie liczba dodatnia, +5 do poprzedniej.
Różnica może być negatywny, wtedy każda liczba w serii będzie mniej niż poprzednio. Ten postęp nazywa się (nie uwierzysz!) malejące.
Na przykład:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Tutaj również uzyskuje się każdą liczbę poprzez dodanie do poprzedniej, ale już liczbą ujemną, -5.
Swoją drogą, pracując z progresją, bardzo przydatne jest od razu określenie jej charakteru – czy jest ona rosnąca, czy malejąca. To bardzo pomaga w podjęciu decyzji, dostrzeżeniu błędów i skorygowaniu ich, zanim będzie za późno.
Różnica postępu arytmetycznego zwykle oznaczone literą D.
Jak znaleźć D? Bardzo prosta. Konieczne jest odjęcie od dowolnej liczby w serii poprzedni numer. Odejmować. Nawiasem mówiąc, wynik odejmowania nazywa się „różnicą”).
Zdefiniujmy np. D dla zwiększenia postępu arytmetycznego:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Bierzemy dowolną liczbę z szeregu, na przykład 11. Odejmujemy od niej poprzedni numer te. 8:
To jest poprawna odpowiedź. W przypadku tego postępu arytmetycznego różnica wynosi trzy.
Możesz to wziąć dowolny numer progresji, ponieważ dla konkretnego postępu D-zawsze to samo. Przynajmniej gdzieś na początku rzędu, przynajmniej w środku, przynajmniej gdziekolwiek. Nie możesz wziąć tylko pierwszej cyfry. Po prostu dlatego, że jest to pierwsza liczba żadnego poprzedniego.)
Swoją drogą, wiedząc to d=3, znalezienie siódmej liczby tego ciągu jest bardzo proste. Do piątej liczby dodajemy 3 – otrzymamy szóstą, będzie to 17. Do szóstej liczby dodamy trzy, otrzymamy siódmą liczbę – dwadzieścia.
Zdefiniujmy D dla malejącego postępu arytmetycznego:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Przypominam, że niezależnie od znaków, należy ustalić D potrzebujesz z dowolnego numeru usuń poprzednią. Wybierz dowolny numer progresji, na przykład -7. Jego poprzednia liczba to -2. Następnie:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Różnicą ciągu arytmetycznego może być dowolna liczba: całkowita, ułamkowa, niewymierna, dowolna liczba.
Inne terminy i oznaczenia.
Każdy numer w serii jest wywoływany członek ciągu arytmetycznego.
Każdy członek postępu ma swój numer. Liczby są ściśle uporządkowane, bez żadnych sztuczek. Pierwszy, drugi, trzeci, czwarty itd. Na przykład w progresji 2, 5, 8, 11, 14, ... dwa to pierwszy wyraz, pięć to drugi, jedenaście to czwarty, cóż, rozumiesz...) Proszę jasno zrozumieć - same liczby może być absolutnie wszystko, całe, ułamkowe, ujemne, cokolwiek, ale numeracja liczb- ściśle w porządku!
Jak napisać progresję w ogólna perspektywa? Bez problemu! Każda liczba w serii jest zapisana jako litera. Do oznaczenia postępu arytmetycznego zwykle używa się litery A. Numer członkowski jest oznaczony indeksem w prawym dolnym rogu. Terminy piszemy oddzielone przecinkami (lub średnikami), w następujący sposób:
1, 2, 3, 4, 5,.....
1- to jest pierwsza liczba, 3- trzeci itd. Nic fajnego. Serię tę można w skrócie zapisać w następujący sposób: (jakiś).
Progresje się zdarzają skończone i nieskończone.
Ostateczny progresja ma ograniczoną liczbę członków. Pięć, trzydzieści osiem, nieważne. Ale to liczba skończona.
Nieskończony progresja - ma nieskończoną liczbę członków, jak można się domyślić.)
Możesz napisać końcowy postęp w serii w ten sposób, ze wszystkimi terminami i kropką na końcu:
1, 2, 3, 4, 5.
Lub w ten sposób, jeśli jest wielu członków:
1, 2, ... 14, 15.
W krótkim wpisie będziesz musiał dodatkowo wskazać liczbę członków. Na przykład (dla dwudziestu członków) w ten sposób:
(n), n = 20
Nieskończony postęp można rozpoznać po elipsie na końcu wiersza, jak w przykładach z tej lekcji.
Teraz możesz rozwiązać zadania. Zadania są proste i służą wyłącznie zrozumieniu znaczenia ciągu arytmetycznego.
Przykłady zadań z postępu arytmetycznego.
Przyjrzyjmy się szczegółowo zadaniu podanemu powyżej:
1. Zapisz pierwsze sześć wyrazów ciągu arytmetycznego (an), jeśli a 2 = 5, d = -2,5.
Przetłumaczymy zadanie na zrozumiały język. Dany jest nieskończony postęp arytmetyczny. Znana jest druga liczba tej progresji: za 2 = 5. Znana jest różnica w postępie: d = -2,5. Musimy znaleźć pierwszy, trzeci, czwarty, piąty i szósty wyraz tej progresji.
Dla jasności napiszę serię zgodnie z warunkami problemu. Pierwsze sześć terminów, gdzie drugi termin to pięć:
1,5,3,4,5,6,....
3 = 2 + D
Zastąp wyrażeniem za 2 = 5 I d = -2,5. Nie zapomnij o minusie!
3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Trzeci termin okazał się mniejszy niż drugi. Wszystko jest logiczne. Jeśli liczba jest większa niż poprzednia negatywny wartość, co oznacza, że sama liczba będzie mniejsza niż poprzednia. Postęp maleje. OK, weźmy to pod uwagę.) Liczymy czwarty wyraz naszego szeregu:
4 = 3 + D
4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = 4 + D
5=0+(-2,5)= - 2,5
6 = 5 + D
6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Obliczono więc terminy od trzeciego do szóstego. Rezultatem jest następująca seria:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Pozostaje znaleźć pierwszy wyraz 1 według dobrze znanego drugiego. To krok w drugą stronę, w lewo.) Czyli różnica ciągu arytmetycznego D nie należy dodawać 2, A na wynos:
1 = 2 - D
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Otóż to. Odpowiedź na zadanie:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Na marginesie chciałbym zauważyć, że rozwiązaliśmy to zadanie nawracający sposób. To straszne słowo oznacza jedynie poszukiwanie członka progresji zgodnie z poprzednim (sąsiednim) numerem. Poniżej przyjrzymy się innym sposobom pracy z progresją.
Z tego prostego zadania można wyciągnąć jeden ważny wniosek.
Pamiętać:
Jeśli znamy choć jeden wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, to możemy znaleźć dowolny wyraz tego ciągu.
Pamiętasz? Ten prosty wniosek pozwala rozwiązać większość problemów kursu szkolnego na ten temat. Wszystkie zadania skupiają się wokół trzech głównych parametrów: element postępu arytmetycznego, różnica w postępie, numer elementu ciągu. Wszystko.
Oczywiście cała poprzednia algebra nie jest anulowana.) Nierówności, równania i inne rzeczy są powiązane z progresją. Ale zgodnie z samym postępem- wszystko kręci się wokół trzech parametrów.
Jako przykład przyjrzyjmy się niektórym popularnym zadaniom na ten temat.
2. Zapisz skończony postęp arytmetyczny w postaci szeregu, jeśli n=5, d = 0,4 i a 1 = 3,6.
Tutaj wszystko jest proste. Wszystko zostało już dane. Trzeba pamiętać, jak liczone są elementy ciągu arytmetycznego, liczyć je i zapisywać. Wskazane jest, aby nie pominąć słów w warunkach zadania: „końcowy” i „ n=5”. Aby nie liczyć, dopóki nie zrobi ci się całkowicie siny na twarzy.) W tej progresji jest tylko 5 (pięciu) członków:
za 2 = za 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
za 3 = za 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Pozostaje zapisać odpowiedź:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Kolejne zadanie:
3. Ustal, czy liczba 7 będzie członkiem ciągu arytmetycznego (an), jeśli a1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kto wie? Jak coś ustalić?
Jak-jak... Zapisz progresję w formie serii i zobacz, czy będzie tam siódemka, czy nie! Liczymy:
za 2 = za 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
za 3 = za 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
4 = 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Teraz wyraźnie widać, że mamy dopiero siedem lat Prześlizgnął się między 6,5 a 7,7! Siedem nie mieściło się w naszym szeregu liczb, a zatem siedem nie będzie członkiem danej progresji.
Odpowiedź: nie.
Oto problem oparty na realna opcja GIA:
4. Zapisano kilka kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego:
...; 15; X; 9; 6; ...
Oto seria napisana bez końca i początku. Żadnych numerów członkowskich, żadnej różnicy D. W porządku. Aby rozwiązać problem, wystarczy zrozumieć znaczenie ciągu arytmetycznego. Spójrzmy i zobaczmy, co jest możliwe wiedzieć z tej serii? Jakie są trzy główne parametry?
Numery członkowskie? Nie ma tu ani jednej liczby.
Ale są trzy liczby i - uwaga! - słowo "spójny" w stanie. Oznacza to, że liczby są ściśle uporządkowane, bez przerw. Czy w tym rzędzie jest dwóch? sąsiedni znane liczby? Tak, mam! Są to 9 i 6. Możemy zatem obliczyć różnicę postępu arytmetycznego! Odejmij od sześciu poprzedni numer, tj. dziewięć:
Pozostały już tylko drobnostki. Jaka liczba będzie poprzednia dla X? Piętnaście. Oznacza to, że X można łatwo znaleźć poprzez proste dodanie. Dodaj różnicę postępu arytmetycznego do 15:
To wszystko. Odpowiedź: x=12
Sami rozwiązujemy następujące problemy. Uwaga: te problemy nie są oparte na wzorach. Czysto po to, żeby zrozumieć znaczenie postępu arytmetycznego.) Po prostu zapisujemy serię cyfr i liter, patrzymy i wymyślamy.
5. Znajdź pierwszy dodatni wyraz ciągu arytmetycznego, jeśli a 5 = -3; d = 1,1.
6. Wiadomo, że liczba 5,5 należy do ciągu arytmetycznego (an), gdzie a 1 = 1,6; d = 1,3. Określ liczbę n tego elementu.
7. Wiadomo, że w postępie arytmetycznym a 2 = 4; za 5 = 15,1. Znajdź 3.
8. Zapisano kilka kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Znajdź termin progresji wskazany literą x.
9. Pociąg ruszył ze stacji, równomiernie zwiększając prędkość o 30 metrów na minutę. Jaka będzie prędkość pociągu za pięć minut? Podaj odpowiedź w km/h.
10. Wiadomo, że w postępie arytmetycznym a 2 = 5; za 6 = -5. Znajdź 1.
Odpowiedzi (w nieładzie): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Wszystko się udało? Niesamowity! Możesz opanować postęp arytmetyczny, aby uzyskać więcej wysoki poziom, na kolejnych lekcjach.
Czy nie wszystko się udało? Bez problemu. W sekcji specjalnej 555 wszystkie te problemy są rozwiązywane kawałek po kawałku.) I oczywiście opisano prostą, praktyczną technikę, która natychmiast jasno, wyraźnie i na pierwszy rzut oka podkreśla rozwiązanie takich zadań!
Nawiasem mówiąc, w układance pociągu są dwa problemy, o które ludzie często się potykają. Jeden dotyczy wyłącznie postępów, a drugi jest ogólny dla wszelkich problemów z matematyki, a także fizyki. Jest to tłumaczenie wymiarów z jednego na drugi. Pokazuje, jak należy te problemy rozwiązać.
Na tej lekcji przyjrzeliśmy się elementarnemu znaczeniu ciągu arytmetycznego i jego głównym parametrom. To wystarczy, aby rozwiązać prawie wszystkie problemy na ten temat. Dodać D do liczb, napisz serię, wszystko zostanie rozwiązane.
Rozwiązanie z palcami sprawdza się w przypadku bardzo krótkich fragmentów rzędu, jak w przykładach z tej lekcji. Jeżeli szereg jest dłuższy, obliczenia stają się bardziej skomplikowane. Na przykład, jeśli w zadaniu 9 w pytaniu zastępujemy "pięć minut" NA „trzydzieści pięć minut” problem znacznie się pogorszy.)
Są też zadania, które w istocie są proste, ale absurdalne pod względem obliczeniowym, na przykład:
Dany jest postęp arytmetyczny (an). Znajdź 121, jeśli a 1 = 3 i d = 1/6.
I co, będziemy dodawać 1/6 wiele, wiele razy?! Możesz się zabić!?
Możesz.) Jeśli nie znasz prostej formuły, dzięki której możesz rozwiązać takie zadania w ciągu minuty. Ta formuła będzie na następnej lekcji. I tam ten problem został rozwiązany. W minutę.)
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
