Do rozwiązania niektórych problemów przyda się tabela tożsamości trygonometrycznych, która znacznie ułatwi transformację funkcji:

Najprostsze tożsamości trygonometryczne

Iloraz dzielenia sinusa kąta alfa przez cosinus tego samego kąta jest równy tangensowi tego kąta (wzór 1). Zobacz także dowód poprawności transformacji najprostszych tożsamości trygonometrycznych.
Iloraz dzielenia cosinusa kąta alfa przez sinus tego samego kąta jest równy cotangensowi tego samego kąta (wzór 2)
Sekans kąta jest równy jedności podzielonej przez cosinus tego samego kąta (wzór 3)
Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa jeden (wzór 4). zobacz także dowód sumy kwadratów cosinusa i sinusa.
Suma jedności i tangens kąta jest równa stosunkowi jedności do kwadratu cosinusa tego kąta (wzór 5)
Jeden plus cotangens kąta jest równy ilorazowi jedności przez sinus kwadrat tego kąta (wzór 6)
Iloczyn stycznej i cotangensu tego samego kąta jest równy jeden (wzór 7).

Zamiana kątów ujemnych funkcji trygonometrycznych (parzystych i nieparzystych)

Aby pozbyć się wartości ujemnej miara stopnia kąta przy obliczaniu sinusa, cosinusa lub tangensa można skorzystać z następujących przekształceń trygonometrycznych (tożsamości) opartych na zasadach parzystych lub nieparzystych funkcji trygonometrycznych.

Jak widać, cosinus i sieczna wynosi nawet funkcjonować , sinus, tangens i cotangens są funkcjami nieparzystymi.

Sinus kąta ujemnego jest równy ujemna wartość sinus tego samego kąta dodatniego (minus sinus alfa).
Cosinus minus alfa da tę samą wartość, co cosinus kąta alfa.
Tangens minus alfa jest równy minus tangens alfa.

Wzory na redukcję kątów podwójnych (sinus, cosinus, tangens i cotangens kątów podwójnych)

Jeśli chcesz podzielić kąt na pół lub odwrotnie, przejść od kąta podwójnego do kąta pojedynczego, możesz użyć następujących tożsamości trygonometrycznych:

Konwersja podwójnego kąta (sinus podwójnego kąta, cosinus podwójnego kąta i tangens podwójnego kąta) w singlu występuje przez następujące zasady:

Sinus podwójnego kąta równy dwukrotności iloczynu sinusa i cosinusa pojedynczego kąta

Cosinus podwójnego kąta równa różnicy między kwadratem cosinusa pojedynczego kąta a kwadratem sinusa tego kąta

Cosinus podwójnego kąta równy dwukrotności kwadratu cosinusa pojedynczego kąta minus jeden

Cosinus podwójnego kąta równy jeden minus podwójny sinus kwadrat pojedynczy kąt

Tangens kąta podwójnego jest równy ułamkowi, którego licznik jest dwukrotnością tangensu pojedynczego kąta, a mianownik jest równy jeden minus tangens kwadratu pojedynczego kąta.

Cotangens kąta podwójnego jest równy ułamkowi, którego licznikiem jest kwadrat cotangensu pojedynczego kąta minus jeden, a mianownik jest równy dwukrotności cotangensu pojedynczego kąta

Wzory na uniwersalne podstawienie trygonometryczne

Poniższe wzory przeliczeniowe mogą być przydatne, gdy trzeba podzielić argument funkcji trygonometrycznej (sin α, cos α, tan α) przez dwa i sprowadzić wyrażenie do wartości połowy kąta. Z wartości α otrzymujemy α/2.

Formuły te nazywane są wzory uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego. Ich wartość polega na tym, że za ich pomocą wyrażenie trygonometryczne sprowadza się do wyrażenia tangensa połowy kąta, niezależnie od tego, jakie funkcje trygonometryczne (sin cos tan ctg) były pierwotnie w wyrażeniu. Następnie równanie ze tangensem połowy kąta jest znacznie łatwiejsze do rozwiązania.

Tożsamości trygonometryczne dla transformacji półkątowych

Poniżej znajdują się wzory na trygonometryczne przeliczenie połowy kąta na jego całą wartość.
Wartość argumentu funkcji trygonometrycznej α/2 sprowadza się do wartości argumentu funkcji trygonometrycznej α.

Wzory trygonometryczne na dodawanie kątów

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

grzech (α + β) = grzech α cos β + grzech β cos α

grzech (α - β) = grzech α cos β - grzech β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangens i cotangens sumy kątów alfa i beta można przekonwertować, korzystając z następujących zasad konwersji funkcji trygonometrycznych:

Tangens sumy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest sumą tangensa pierwszego i tangensa drugiego kąta, a mianownik to jeden minus iloczyn tangensu pierwszego kąta i tangensa drugiego kąta.

Tangens różnicy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest równy różnicy między tangensem zmniejszanego kąta a tangensem odejmowanego kąta, a mianownik to jeden plus iloczyn stycznych tych kątów.

Cotangens sumy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest równy iloczynowi kotangensów tych kątów plus jeden, a mianownik jest równy różnicy między kotangensem drugiego kąta i kotangensem pierwszego kąta.

Kotansa różnicy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest iloczynem kotangensów tych kątów minus jeden, a mianownika równa sumie kotanganse tych kątów.

Te tożsamości trygonometryczne są wygodne w użyciu, gdy trzeba obliczyć na przykład tangens 105 stopni (tg 105). Jeśli przedstawisz to jako tg (45 + 60), możesz użyć podanego identyczne przekształcenia tangens sumy kątów, a następnie po prostu podmień tabelaryczne wartości stycznej 45 i stycznej 60 stopni.

Wzory na przeliczenie sumy lub różnicy funkcji trygonometrycznych

Wyrażenia reprezentujące sumę postaci sin α + sin β można przekształcić za pomocą następujących wzorów:

Wzory na kąt potrójny - przeliczenie sin3α cos3α tan3α na sinα cosα tanα

Czasami konieczne jest przekształcenie potrójnej wartości kąta, aby argumentem funkcji trygonometrycznej stał się kąt α zamiast 3α.
W tym przypadku można skorzystać ze wzorów transformacji potrójnego kąta (tożsamości):

Wzory na przeliczanie iloczynów funkcji trygonometrycznych

Jeśli zachodzi potrzeba przekształcenia iloczynu sinusów pod różnymi kątami, cosinusów pod różnymi kątami, a nawet iloczynu sinusa i cosinusa, można skorzystać z następujących tożsamości trygonometrycznych:


W takim przypadku iloczyn funkcji sinus, cosinus lub stycznej pod różnymi kątami zostanie przeliczony na sumę lub różnicę.

Wzory na redukcję funkcji trygonometrycznych

Musisz skorzystać z tabeli redukcji w następujący sposób. W wierszu wybieramy interesującą nas funkcję. W kolumnie znajduje się kąt. Na przykład sinus kąta (α+90) na przecięciu pierwszego rzędu i pierwszej kolumny dowiadujemy się, że sin (α+90) = cos α.

Jak znaleźć sinus?

Studiowanie geometrii pomaga rozwijać myślenie. Temat ten koniecznie musi być uwzględniony w nauczaniu szkolnym. W życiu codziennym wiedza na ten temat może się przydać – na przykład przy planowaniu mieszkania.

Z historii

Kurs geometrii obejmuje także trygonometrię, która bada funkcje trygonometryczne. W trygonometrii badamy sinusy, cosinusy, styczne i cotangensy kątów.

Ale dalej ten moment Zacznijmy od najprostszej rzeczy – sinusa. Przyjrzyjmy się bliżej pierwszej koncepcji - sinusowi kąta w geometrii. Co to jest sinus i jak go znaleźć?

Pojęcie „kąta sinusoidalnego” i sinusoid

Sinus kąta to stosunek wartości przeciwnej strony i przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Jest to bezpośrednia funkcja trygonometryczna, którą zapisuje się jako „sin (x)”, gdzie (x) jest kątem trójkąta.

Na wykresie sinus kąta jest oznaczony falą sinusoidalną o własnej charakterystyce. Fala sinusoidalna wygląda jak ciągła linia falista, która leży w pewnych granicach na płaszczyźnie współrzędnych. Funkcja jest nieparzysta, zatem jest symetryczna względem 0 na płaszczyźnie współrzędnych (wychodzi z początku współrzędnych).

Dziedzina definicji tej funkcji mieści się w przedziale od -1 do +1 w kartezjańskim układzie współrzędnych. Okres funkcji kąta sinusoidalnego wynosi 2 Pi. Oznacza to, że co 2 Pi wzór się powtarza, a fala sinusoidalna przechodzi pełny cykl.

Równanie sinusoidalne

• grzech x = a/c
• gdzie a jest nogą przeciwną do kąta trójkąta
• c - przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego

Własności sinusa kąta

1. grzech(x) = - grzech(x). Ta cecha pokazuje, że funkcja jest symetryczna i jeśli wartości x i (-x) zostaną wykreślone na układzie współrzędnych w obu kierunkach, wówczas współrzędne tych punktów będą przeciwne. Będą w równej odległości od siebie.
2. Inną cechą tej funkcji jest to, że wykres funkcji rośnie na odcinku [- P/2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą. Zmniejszenie wykresu sinusa kąta będzie można zaobserwować na odcinku: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn].
3. sin(x) > 0, gdy x należy do zakresu (2Пn, П + 2Пn)
4. (X)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Wartości sinusów kąta określa się za pomocą specjalnych tabel. Tabele takie zostały stworzone, aby ułatwić proces obliczania skomplikowanych wzorów i równań. Jest łatwy w użyciu i zawiera nie tylko wartości funkcji sin(x), ale także wartości innych funkcji.

Co więcej, w obowiązkowym badaniu pamięci zawarta jest tabela standardowych wartości tych funkcji, podobnie jak tabliczka mnożenia. Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku zajęć o nastawieniu fizycznym i matematycznym. W tabeli możesz zobaczyć wartości głównych kątów stosowanych w trygonometrii: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 i 360 stopni.

Istnieje również tabela określająca wartości funkcji trygonometrycznych kątów niestandardowych. Korzystając z różnych tabel, możesz łatwo obliczyć sinus, cosinus, tangens i cotangens niektórych kątów.

Równania wykonuje się za pomocą funkcji trygonometrycznych. Rozwiązanie tych równań jest łatwe, jeśli znasz proste tożsamości trygonometryczne i redukcje funkcji, np. sin (P/2 + x) = cos (x) i inne. Dla takich obniżek sporządzono również osobną tabelę.

Jak znaleźć sinus kąta

Kiedy zadaniem jest znalezienie sinusa kąta, a zgodnie z warunkiem mamy tylko cosinus, tangens lub cotangens kąta, możemy łatwo obliczyć to, czego potrzebujemy, korzystając z tożsamości trygonometrycznych.

• grzech 2 x + sałata 2 x = 1

Z tego równania możemy znaleźć zarówno sinus, jak i cosinus, w zależności od tego, która wartość jest nieznana. Otrzymujemy równanie trygonometryczne z jedną niewiadomą:

• grzech 2 x = 1 - cos 2 x
• grzech x = ± √ 1 - cos 2 x
• łóżko 2 x + 1 = 1 / grzech 2 x

Z tego równania można znaleźć wartość sinusa, znając wartość cotangensu kąta. Aby uprościć, zamień sin 2 x = y i masz proste równanie. Na przykład wartość cotangens wynosi 1, a następnie:

• 1 + 1 = 1/rok
• 2 = 1/rok
• 2у = 1
• y = 1/2

Teraz wykonujemy odwrotną wymianę odtwarzacza:

• grzech 2 x = ½
• grzech x = 1 / √2

Ponieważ przyjęliśmy wartość cotangensu dla kąta standardowego (45 0), uzyskane wartości można sprawdzić w tabeli.

Jeśli masz wartość styczną i chcesz znaleźć sinus, pomoże Ci inna tożsamość trygonometryczna:

• tg x * ctg x = 1

Wynika, że:

• łóżeczko x = 1 / opalenizna x

Aby znaleźć sinus niestandardowego kąta, na przykład 240 0, należy skorzystać ze wzorów na redukcję kąta. Wiemy, że π odpowiada 180 0. Zatem wyrażamy naszą równość za pomocą standardowych kątów poprzez rozwinięcie.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Musimy znaleźć: grzech (180 0 + 60 0). W trygonometrii istnieją wzory redukcyjne, które w tym przypadku się przyda. Oto formuła:

• grzech (π + x) = - grzech (x)

Zatem sinus kąta 240 stopni jest równy:

• grzech (180 0 + 60 0) = - grzech (60 0) = - √3/2

W naszym przypadku odpowiednio x = 60, a P 180 stopni. Wartość (-√3/2) znaleźliśmy z tabeli wartości funkcji kątów standardowych.

W ten sposób można rozszerzyć niestandardowe kąty, np.: 210 = 180 + 30.

Podstawowe wzory trygonometryczne to wzory ustalające powiązania między podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi. Sinus, cosinus, tangens i cotangens są ze sobą powiązane wieloma relacjami. Poniżej przedstawiamy główne wzory trygonometryczne, a dla wygody pogrupujemy je według przeznaczenia. Za pomocą tych wzorów możesz rozwiązać prawie każdy problem ze standardowego kursu trygonometrii. Od razu zauważmy, że poniżej znajdują się jedynie same formuły, a nie ich wnioski, co zostanie omówione w osobnych artykułach.

Podstawowe tożsamości trygonometrii

Tożsamości trygonometryczne zapewniają związek między sinusem, cosinusem, styczną i cotangensem jednego kąta, umożliwiając wyrażenie jednej funkcji w kategoriach drugiej.

Tożsamości trygonometryczne

grzech 2 za + sałata 2 za = 1 t sol α = grzech α sałata α , do t sol α = sałata α sin α t sol α do t sol α = 1 t sol 2 α + 1 = 1 sałata 2 α , do t sol 2 α + 1 = 1 grzech 2 α

Tożsamości te wynikają bezpośrednio z definicji koła jednostkowego, sinusa (sin), cosinusa (cos), stycznej (tg) i cotangensu (ctg).

Formuły redukcyjne

Formuły redukcyjne pozwalają przejść od pracy z dowolnymi i dowolnie dużymi kątami do pracy z kątami z zakresu od 0 do 90 stopni.

Formuły redukcyjne

grzech α + 2 π z = grzech α , sałata α + 2 π z = cos α t sol α + 2 π z = t sol α , do t sol α + 2 π z = do t sol α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t sol - α + 2 π z = - t sol α , do t sol - α + 2 π z = - do t sol α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t sol π 2 + α + 2 π z = - do t sol α , do t sol π 2 + α + 2 π z = - t sol α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t sol π 2 - α + 2 π z = do t sol α , do t sol π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t sol π + α + 2 π z = t sol α , do t sol π + α + 2 π z = do t sol α grzech π - α + 2 π z = sin α , sałata π - α + 2 π z = - cos α t sol π - α + 2 π z = - t sol α , do t sol π - α + 2 π z = - do t sol α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = grzech α t sol 3 π 2 + α + 2 π z = - do t sol α , do t sol 3 π 2 + α + 2 π z = - t sol α grzech 3 π 2 - α + 2 π z = - sałata α , sałata 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t sol 3 π 2 - α + 2 π z = do t sol α , do t sol 3 π 2 - α + 2 π z = t sol α

Wzory redukcyjne są konsekwencją okresowości funkcji trygonometrycznych.

Wzory na dodawanie trygonometryczne

Wzory dodawania w trygonometrii pozwalają wyrazić funkcję trygonometryczną sumy lub różnicy kątów w kategoriach funkcji trygonometrycznych tych kątów.

Wzory na dodawanie trygonometryczne

sin α ± β = grzech α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t sol α ± β = t sol α ± t g β 1 ± t g α t g β do t g α ± β = - 1 ± c t sol α do t g β do t g α ± c t g β

Na podstawie wzorów dodawania wyprowadzane są wzory trygonometryczne dla wielu kątów.

Wzory na wiele kątów: podwójny, potrójny itp.

Wzory na kąt podwójny i potrójny

grzech 2 α = 2 · grzech α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 grzech 2 α , cos 2 α = 2 sałata 2 α - 1 t sol 2 α = 2 · t sol α 1 - t sol 2 α z t sol 2 α = z t sol 2 α - 1 2 · z t sol α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 grzech 3 α sałata 3 α = sałata 3 α - 3 sin 2 α · sałata α , cos 3 α = - 3 sałata α + 4 sałata 3 α t sol 3 α = 3 t sol α - t sol 3 α 1 - 3 t sol 2 α do t sol 3 α = do t sol 3 α - 3 do t sol α 3 do t sol 2 α - 1

Wzory na półkąta

Wzory na półkąt w trygonometrii są konsekwencją wzorów na podwójny kąt i wyrażają związek pomiędzy podstawowymi funkcjami półkąta i cosinusem całego kąta.

Wzory na półkąta

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t sol 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α do t sol 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Wzory na redukcję stopni

Wzory na redukcję stopni

grzech 2 α = 1 - sałata 2 α 2 sałata 2 α = 1 + cos 2 α 2 grzech 3 α = 3 grzech α - grzech 3 α 4 sałata 3 α = 3 sałata α + cos 3 α 4 grzech 4 α = 3 - 4 sałata 2 α + sałata 4 α 8 sałata 4 α = 3 + 4 sałata 2 α + sałata 4 α 8

Praca z uciążliwymi mocami podczas wykonywania obliczeń jest często niewygodna. Wzory redukcji stopnia pozwalają zmniejszyć stopień funkcji trygonometrycznej z dowolnie dużego do pierwszego. Oto ich ogólny pogląd:

Ogólny widok wzorów na redukcję stopni

nawet dla n

grzech n α = do n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = do n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 do k n sałata ((n - 2 k) α)

dla nieparzystego n

grzech n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k do k n grzech ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Suma i różnica funkcji trygonometrycznych

Różnicę i sumę funkcji trygonometrycznych można przedstawić w postaci iloczynu. Rozkładanie na czynniki różnic sinusów i cosinusów jest bardzo wygodne w użyciu przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych i upraszczaniu wyrażeń.

Suma i różnica funkcji trygonometrycznych

grzech α + grzech β = 2 grzech α + β 2 cos α - β 2 grzech α - sin β = 2 grzech α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 grzech α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 grzech α + β 2 grzech β - α 2

Iloczyn funkcji trygonometrycznych

Jeżeli wzory na sumę i różnicę funkcji pozwalają dojść do ich iloczynu, to wzory na iloczyn funkcji trygonometrycznych dokonują odwrotnego przejścia - od iloczynu do sumy. Rozważane są wzory na iloczyn sinusów, cosinusów i sinusa przez cosinus.

Wzory na iloczyn funkcji trygonometrycznych

grzech α · grzech β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (grzech (α - β) + grzech (α + β))

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne

Wszystkie podstawowe funkcje trygonometryczne – sinus, cosinus, tangens i cotangens – można wyrazić w postaci tangensa połówki kąta.

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne

grzech α = 2 t sol α 2 1 + t sol 2 α 2 cos α = 1 - t sol 2 α 2 1 + t sol 2 α 2 t sol α = 2 t sol α 2 1 - t sol 2 α 2 do t sol α = 1 - t sol 2 α 2 2 t g α 2

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Notatka. W tej tabeli wartości funkcji trygonometrycznych do wskazania używa się znaku √ pierwiastek kwadratowy. Aby wskazać ułamek, użyj symbolu „/”.

Zobacz też przydatne materiały:

Dla wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznej, znajdź go na przecięciu linii wskazującej funkcję trygonometryczną. Na przykład sinus 30 stopni - szukamy kolumny z nagłówkiem sin (sinus) i znajdujemy przecięcie tej kolumny tabeli z wierszem „30 stopni”, na ich przecięciu odczytujemy wynik - połowę. Podobnie znajdujemy cosinus 60 stopni, sinus 60 stopnie (ponownie na przecięciu kolumny sinu i linii 60 stopni znajdujemy wartość sin 60 = √3/2) itd. Wartości sinusów, cosinusów i stycznych innych „popularnych” kątów znajdują się w ten sam sposób.

Sinus pi, cosinus pi, tangens pi i inne kąty w radianach

Poniższa tabela zawierająca cosinusy, sinusy i tangensy jest również przydatna do znajdowania wartości funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest podana w radianach. Aby to zrobić, użyj drugiej kolumny wartości kątów. Dzięki temu możesz przeliczyć wartość popularnych kątów ze stopni na radiany. Na przykład znajdźmy w pierwszej linii kąt 60 stopni i odczytajmy pod nim jego wartość w radianach. 60 stopni równa się π/3 radianów.

Liczba pi jednoznacznie wyraża zależność obwodu od stopniowej miary kąta. Zatem pi radianów wynosi 180 stopni.

Dowolną liczbę wyrażoną w pi (radianach) można łatwo przeliczyć na stopnie, zastępując pi (π) liczbą 180.

Przykłady:
1. Sinus pi.
grzech π = grzech 180 = 0
zatem sinus pi jest taki sam jak sinus 180 stopni i jest równy zero.

2. Cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
zatem cosinus pi jest równy cosinusowi 180 stopni i jest równy minus jeden.

3. Styczna pi
tg π = tg 180 = 0
zatem tangens pi jest taki sam jak tangens 180 stopni i jest równy zero.

Tabela wartości sinusów, cosinusów i tangensów dla kątów 0 - 360 stopni (typowe wartości)

wartość kąta α (stopni)	wartość kąta α w radianach (przez pi)	grzech (Zatoka)	sałata (cosinus)	tg (tangens)	ctg (cotangens)	sek (sieczna)	cosek (cosekans)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Jeżeli w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych zamiast wartości funkcji zostanie wskazana kreska (styczna (tg) 90 stopni, cotangens (ctg) 180 stopni), to dla danej wartości stopnia miara kąta funkcja nie ma określonej wartości. Jeżeli nie ma myślnika, komórka jest pusta, co oznacza, że ​​nie wprowadziliśmy jeszcze wymaganej wartości. Interesuje nas, z jakimi zapytaniami przychodzą do nas użytkownicy i uzupełniają tabelę o nowe wartości, mimo że aktualne dane o wartościach cosinusów, sinusów i tangensów najczęstszych wartości kątów są w zupełności wystarczające do rozwiązania większości problemy.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych sin, cos, tg dla najpopularniejszych kątów
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 stopni
(wartości liczbowe „wg tabel Bradisa”)

wartość kąta α (stopnie)	wartość kąta α w radianach	grzech (sinus)	cos (cosinus)	tg (styczna)	ctg (cotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Pojęcia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangens są głównymi kategoriami trygonometrii, gałęzi matematyki, i są nierozerwalnie związane z definicją kąta. Opanowanie tej nauki matematycznej wymaga zapamiętywania i rozumienia wzorów i twierdzeń, a także rozwiniętego myślenia przestrzennego. Dlatego obliczenia trygonometryczne często sprawiają trudności uczniom i studentom. Aby je pokonać, powinieneś lepiej zapoznać się z funkcjami i wzorami trygonometrycznymi.

Pojęcia w trygonometrii

Aby zrozumieć podstawowe pojęcia trygonometrii, musisz najpierw zrozumieć, czym jest trójkąt prostokątny i kąt w okręgu i dlaczego wszystkie podstawowe obliczenia trygonometryczne są z nimi powiązane. Trójkąt, w którym jeden z kątów ma miarę 90 stopni, jest prostokątny. Historycznie rzecz biorąc, liczba ta była często używana przez ludzi zajmujących się architekturą, nawigacją, sztuką i astronomią. W związku z tym, badając i analizując właściwości tej liczby, ludzie zaczęli obliczać odpowiednie stosunki jej parametrów.

Główne kategorie związane z trójkątami prostokątnymi to przeciwprostokątna i nogi. Przeciwprostokątna - przeciwny bok trójkąta prosty kąt. Odpowiednio nogi to pozostałe dwie strony. Suma kątów dowolnego trójkąta wynosi zawsze 180 stopni.

Trygonometria sferyczna to dział trygonometrii, którego nie uczy się w szkole, ale naukowcy z niego korzystają w naukach stosowanych, takich jak astronomia i geodezja. Osobliwością trójkąta w trygonometrii sferycznej jest to, że suma kątów zawsze jest większa niż 180 stopni.

Kąty trójkąta

W trójkącie prostokątnym sinus kąta jest stosunkiem ramienia znajdującego się naprzeciwko żądanego kąta do przeciwprostokątnej trójkąta. Odpowiednio cosinus jest stosunkiem sąsiedniej nogi i przeciwprostokątnej. Obie te wartości zawsze mają wielkość mniejszą niż jeden, ponieważ przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa niż noga.

Tangens kąta to wartość równa stosunkowi przeciwnej strony do sąsiedniej strony żądanego kąta lub sinusa do cosinusa. Cotangens z kolei jest stosunkiem sąsiedniej strony żądanego kąta do strony przeciwnej. Kotangens kąta można również otrzymać, dzieląc jeden przez wartość tangensa.

Okrąg jednostkowy

Okrąg jednostkowy w geometrii to okrąg, którego promień jest równy jeden. Okrąg taki konstruuje się w kartezjańskim układzie współrzędnych, w którym środek okręgu pokrywa się z punktem początkowym, a położenie początkowe wektora promienia wyznacza się wzdłuż dodatniego kierunku osi X (oś odciętych). Każdy punkt na okręgu ma dwie współrzędne: XX i YY, czyli współrzędne odciętej i rzędnej. Wybierając dowolny punkt na okręgu w płaszczyźnie XX i upuszczając z niego prostopadłą na oś odciętej, otrzymujemy trójkąt prostokątny utworzony przez promień do wybranego punktu (oznaczonego literą C), prostopadłą poprowadzoną do osi X (punkt przecięcia jest oznaczony literą G) oraz odcinek osi odciętych pomiędzy początkiem układu współrzędnych (punkt jest oznaczony literą A) a punktem przecięcia G. Powstały trójkąt ACG jest trójkątem prostokątnym wpisanym w okrąg, gdzie AG to przeciwprostokątna, a AC i GC to nogi. Kąt pomiędzy promieniem okręgu AC a odcinkiem osi odciętej o oznaczeniu AG definiuje się jako α (alfa). Zatem cos α = AG/AC. Biorąc pod uwagę, że AC jest promieniem okręgu jednostkowego i jest równy jedności, okazuje się, że cos α=AG. Podobnie sin α=CG.

Dodatkowo znając te dane można wyznaczyć współrzędne punktu C na okręgu, gdyż cos α=AG, a sin α=CG, co oznacza, że ​​punkt C ma podane współrzędne (cos α;sin α). Wiedząc, że tangens jest równy stosunkowi sinusa do cosinusa, możemy ustalić, że tangens α = y/x i cot α = x/y. Uwzględniając kąty w ujemnym układzie współrzędnych, można obliczyć, że wartości sinus i cosinus niektórych kątów mogą być ujemne.

Obliczenia i podstawowe wzory

Wartości funkcji trygonometrycznych

Rozważając istotę funkcji trygonometrycznych poprzez okrąg jednostkowy, możemy wyprowadzić wartości tych funkcji dla niektórych kątów. Wartości podano w poniższej tabeli.

Najprostsze tożsamości trygonometryczne

Równania, w których pod znakiem funkcji trygonometrycznej znajduje się nieznana wartość, nazywane są trygonometrycznymi. Tożsamości o wartości sin x = α, k - dowolna liczba całkowita:

1. grzech x = 0, x = πk.
2. 2. grzech x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. grzech x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. grzech x = a, |a| > 1, brak rozwiązań.
5. grzech x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Tożsamości o wartości cos x = a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, brak rozwiązań.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.

Tożsamości o wartości tg x = a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Tożsamości o wartości ctg x = a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. łóżko x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Formuły redukcyjne

Ta kategoria stałe formuły oznacza metody, za pomocą których można przejść od funkcji trygonometrycznych formy do funkcji argumentu, to znaczy zredukować sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta o dowolnej wartości do odpowiednich wskaźników kąta przedziału od 0 do 90 stopni dla większej wygody obliczeń.

Wzory na redukcję funkcji dla sinusa kąta wyglądają następująco:

• grzech(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• grzech(1800 - α) = grzech α;
• grzech(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• grzech(3600 + α) = grzech α.

Dla cosinusa kąta:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Stosowanie powyższych wzorów możliwe jest z zastrzeżeniem dwóch zasad. Po pierwsze, jeśli kąt można przedstawić jako wartość (π/2 ± a) lub (3π/2 ± a), wartość funkcji zmienia się:

• od grzechu do cos;
• od winy do grzechu;
• od tg do ctg;
• z ctg na tg.

Wartość funkcji pozostaje niezmieniona, jeśli kąt można przedstawić jako (π ± a) lub (2π ± a).

Po drugie, znak zredukowanej funkcji nie zmienia się: jeśli początkowo był dodatni, tak pozostaje. To samo z funkcjami ujemnymi.

Formuły dodawania

Wzory te wyrażają wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa sumy i różnicy dwóch kątów obrotu poprzez ich funkcje trygonometryczne. Zazwyczaj kąty są oznaczane jako α i β.

Formuły wyglądają następująco:

1. sin(α ± β) = grzech α * cos β ± cos α * grzech.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * grzech.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Wzory te obowiązują dla dowolnych kątów α i β.

Wzory na kąt podwójny i potrójny

Wzory trygonometryczne podwójnego i potrójnego kąta to wzory, które wiążą funkcje odpowiednio kątów 2α i 3α z funkcjami trygonometrycznymi kąta α. Wyprowadzone ze wzorów na dodawanie:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α – 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Przejście od sumy do produktu

Biorąc pod uwagę, że 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), upraszczając ten wzór, otrzymujemy tożsamość sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α – β)/2. Podobnie sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α – β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α – β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Przejście od iloczynu do sumy

Wzory te wynikają z tożsamości przejścia sumy do iloczynu:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Wzory na redukcję stopni

W tych tożsamościach potęgi kwadratowe i sześcienne sinusa i cosinusa można wyrazić w postaci sinusa i cosinusa pierwszej potęgi kąta wielokrotnego:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Uniwersalna substytucja

Wzory na uniwersalne podstawienie trygonometryczne wyrażają funkcje trygonometryczne w postaci tangensa połówki kąta.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), gdzie x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), gdzie x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), gdzie x = π + 2πn;
• łóżko x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), gdzie x = π + 2πn.

Specjalne przypadki

Poniżej podano szczególne przypadki najprostszych równań trygonometrycznych (k jest dowolną liczbą całkowitą).

Iloraz sinusa:

Grzech x wartość	wartość x
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk lub 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk lub -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk lub 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk lub -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk lub 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk lub -2π/3 + 2πk

Ilorazy dla cosinusa:

wartość cosx	wartość x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Iloraz tangensa:

wartość tg x	wartość x
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Iloraz kotangensu:

wartość xtg	wartość x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Twierdzenia

Twierdzenie o sinusach

Istnieją dwie wersje twierdzenia – prosta i rozszerzona. Proste twierdzenie o sinusie: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. W tym przypadku a, b, c to boki trójkąta, a α, β, γ to odpowiednio przeciwne kąty.

Rozszerzone twierdzenie sinusoidalne dla dowolnego trójkąta: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. W tej tożsamości R oznacza promień okręgu, w który wpisany jest dany trójkąt.

Twierdzenie cosinus

Tożsamość jest wyświetlana w następujący sposób: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. We wzorze a, b, c są bokami trójkąta, a α jest kątem przeciwnym do boku a.

Twierdzenie styczne

Wzór wyraża związek między stycznymi dwóch kątów i długością boków znajdujących się naprzeciw nich. Boki są oznaczone a, b, c, a odpowiadające im przeciwne kąty to α, β, γ. Wzór twierdzenia stycznego: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Twierdzenie cotangensowe

Łączy promień okręgu wpisanego w trójkąt z długością jego boków. Jeżeli a, b, c są bokami trójkąta i odpowiednio A, B, C są kątami leżącymi naprzeciw nich, r jest promieniem okręgu wpisanego, a p jest półobwodem trójkąta, wówczas tożsamości są prawidłowe:

• łóżko A/2 = (p-a)/r;
• łóżeczko B/2 = (p-b)/r;
• łóżko C/2 = (p-c)/r.

Aplikacja

Trygonometria to nie tylko nauka teoretyczna związana ze wzorami matematycznymi. Jego właściwości, twierdzenia i zasady są wykorzystywane w praktyce przez różne gałęzie działalności człowieka - astronomię, nawigację powietrzną i morską, teorię muzyki, geodezję, chemię, akustykę, optykę, elektronikę, architekturę, ekonomię, inżynierię mechaniczną, prace pomiarowe, grafikę komputerową, kartografia, oceanografia i wiele innych.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens to podstawowe pojęcia trygonometrii, za pomocą których można matematycznie wyrazić zależności między kątami i długościami boków trójkąta oraz znaleźć potrzebne wielkości za pomocą tożsamości, twierdzeń i reguł.